医学角动量守恒定律
第3章 动量守恒和角动量守恒定律
第3章动量守恒定律和角动量守恒定律研究：对平动——动量定理力的时间积累作用对转动——角动量定理基础牛顿定律（牛顿力学）31基础：牛顿定律（牛顿力学）3.1 质点的动量定理3.2 动量守恒定律3.3 质心和质心运动定理3.413.4质点的角动量和角动量守恒定律3.5 质点系的角动量和角动量守恒定律3.1 质点的动量定理一. 力的冲量impulse定义r 的冲量定义：t f I d d ⋅=rr f 的元冲量t r r r ∫⋅=)()(21d t t f I 的冲量f 是过程量，反映力的时间积累。
SI:N·s 是过程量，反映力的时间积累SI: N s二. 质点的动量定理力的时间积累效果？p r r r r d 动量定理（微pt F tF d d d =⋅→=合力的动量的分形式）2元冲量元增量d p p t F I tt total r r r r −∫=⋅=动量定理（积分形式）合力的冲量动量增量应用场合（过程量）（始末状态量）①过程短暂，运动有明显改变，关心结果，应用场合：对过程细节不感兴趣。
−rr 例：平均冲击力0tt pp F −=r 如接球安全网延长作用时间以减小冲击力如：接球；安全网。
延长作用时间，以减小冲击力。
②连续质量作用：如流体冲击、喷气反推。
3②续质作用如体冲击喷气反推注意：定理为矢量方程计算：作用于单位面积的帆面上的风力F 因为连续作用，取d t 内风v ∆SF 横d (d sin )m S v t ρθ=∆⋅⋅θir222sin v v =∆rv m t F ∆=⋅)(d d 22F θ422v v S ∝=∆θρsin sin3.2 动量守恒定律( conservationf)一. 质点系的动量定理of momentum)每个质点ii j ij i p t f t F rr r d d d )(=∑⋅+⋅≠+d(d =⋅N N t F rr 外力内力全部方程求和+ 牛Ⅲ)()(11∑∑==i i i i p ∑−=I rr r ∑iii iexpp 0系统总动量的改变由外力的冲量决定，系统总动量的改变由外力的冲量决定与内力无关。
角动量 角动量守恒定律
h
vN2 2g
1 2g
3mvM m 6m
2
h
3m m 6m
2
19
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P104例3 质量很小长度为l 的均匀细杆, 可绕过其中心
O 并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 . 当细杆静止于
水l/4平处位, 置并时背,离有点一O只向小细虫杆以的速端率点vvA0 0垂爬直行落. 设在小距虫点与O细为杆
14
4-3 角动量 角动量守恒定律
比较 动量
F
dP dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
F
P
mv
力 动量
t2
Fdt 力的冲量
t1
第四章 刚体转动
角动量
M
dL dt
t2
Mdt ΔL
t1
LMMrrp0F角L力动矩量0或或角动力量矩
其角速度为ω, 求齿轮啮合后两圆盘的角速度.
解: 系统角动量守恒
J11 J22 (J1 J2)
J11 J22
(J1 J2 )
16
4-3 角动量 角动量守恒定律
第四章 刚体转动
P103例2 一杂技演员 M 由距水平跷板高为 h 处自由下
落到跷板的一端 A, 并把跷板另一端的演员 N 弹了起来.
R
x
26
dP
F dt
t2
Fdt ΔP
t1
F 0 P 0
角动量 角动量守恒定律
r为力的作用点到 参考点的位置矢量
20
2) 力对定轴的力矩
z
Mz
o
d
F F //
r
F
M r F r ( F// F ) r F// r F
第一项
力F对O点的力矩 （F不在转动平面内）：
M1 r F//
dL 可得 M r F dt
对 N 个质点 m1, m2 ,, mN 组成的质点系，由
dL1 r1 F1外 F1内 M 1外 M 1内 dt 两边求和得 dL2 r2 F2外 F2内 M 2外 M 2内 dL总 d dt Li dt i dt M i 外 M i内 dLN i i 24 rN FN外 FN内 M N外 M N内 dt
z
vi
转轴与其转动平面交点
o
转动 平面
mi 对 o 的角动量： Lio ri mi vi
大小：Lio ri mi vi mi ri 2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
o圆周运动半径为 ri
o ri
mi
6
定义：质点 mi 对其转动平面上圆心 o 点的角动 量的大小，称为质点对转轴的角动量。
11
m 1 L3 L3 1 2 m L 12 L 3 8 8
(2) 轴过一端端点
dm
o
x
J r dm x dm
2 2 L
L
x
2
若使用平行轴定理：
0
角动量守恒定律
角动量守恒定律生活中可能会发现，人走路的时候正常情况下都是会摆臂的，这在人看起来是十分正常的，但是其中也蕴含了科学的知识，就是角动量守恒。
一、角动量刚体的转动惯量和角速度的乘积叫做刚体转动的角动量，或动力矩，单位是kgm2/s。
的角动量是描述物体转动状态的物理量，对于质点在有心力场中的运动，如天体的运动，原子中电子的运动等，角动量是非常重要的物理量。
角动量可以表示为L=I 3。
其中L表示角动量，I表示惯量，3表示角速度矢量。
二、力矩在物理学中，力矩可以被想象成一个旋转的力，这个力会使物体产生旋转，这个力被定义为线型力乘径长。
国际单位制中，力矩的单位是N/m。
三、角动量守恒定律刚体的角动量定理常写成代数形式Mdt=dL。
当M=0时，dL=O, 即L=恒矢量。
当质点或质点系或刚体所受外力对同一参考点或转动轴的力矩的矢量和M为0时，系统对同一参考点或转动的角动量L 保持不变（大小、方向都不改变）。
这就是系统的角动量守恒定律。
角动量守恒定律和动量守恒定律和能量守恒定律一样，是近代物理理论的基础，是更为普适的物理定律。
角动量守恒定律适用于惯性系和质心系，对其他非惯性系，因为要计入惯性力的力矩，一般系统角动量不守恒；因此在应用角动量守恒定律时要注意参考系的选取，不能想当然地在非惯性系中运用角动量守恒定律。
角动量守恒定律是自然界普遍存在的基本定律之一，角动量守恒实质上对应着空间旋转不变性。
四、角动量守恒的判断当外力对参考点的力矩为0，质点或质点系对该参考点的角动量守恒。
四种情况下可判定角动量守恒。
1. 最简单的一种，系统不受外力。
2. 外力均通过参考点。
3. 每个外力的力矩不为0，但其矢量和为0。
4. 准确的说此种情况下角动量不守恒，内力对参考点的力矩远大于外力的对参考点的合力矩，即内力的影响远大于外力的影响，角动量近似守恒。
五、角动量守恒定律的应用人为什么走路的时候要甩动手臂，我们选取人的质心与地面垂直的直线作为参考轴，右脚向前同时左脚踩在地上提供摩擦力，此时右脚有一个相对于轴向前的速度，左脚有一个相对于轴向后的速度，如果手臂不动，那么此时身体有一个相对于轴向左运动的角动量，为了保持人体的平衡，人潜意识选择用与前进的脚相对的手臂摆动来弥补这个角动量。
角动量守恒定律及其应用
角动量守恒定律及其应用
对一固定点o，一个系统所受的合外力矩为零，则此质点的角动量矢量保持不变，即为一个系统角动量守恒的条件。
对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
对于质点，角动量定理可表述为：质点对固定点的角动量对时间的微商，等于作用于该质点上的力对该点的力矩。
一般定理，不要什么条件，定律有一定的适用条件。
质点系的角动量定理：质点系对任一固定点o的`角动量对时间的发微熵等同于促进作用于该质点系的诸外力对o点的力矩的矢量和。
内力无法发生改变质点系的整体旋转情况。
43角动量角动量守恒定律
r
F
dL
M
dt dt
dt
14
物理学
第五版
质点的合外力矩
4-3 角动量
M
dL
dt
角动量守恒定律
作用于质点的合外力对参考点 O 的力矩，等于质点对 该点 O 的角动量随时间的变化率.
2 质点的角动量定理
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩
t2
M
dt
t1
3 质点的角动量守恒定律
M 0 , L 恒矢量
做匀变速转动．
与二维平面圆周 运动情况相同
质点匀变速直线运动 刚体绕定轴作匀变速转动
v v0 at
0 t
x
x0
v0t
1 2
at 2
0
0t
1 2
t
2
v2
v02 2a(x x0 )
2
2 0
2 (
0
)
3
物理学
第五版
4-3 角动量 角动量守恒定律
三 角量与线量的关系
ω d
dt
dω dt
4-3 角动量 角动量守恒定律
对定轴转的刚体，受合外力矩M，从t1到t2内，角速度
M从 1变d(为J)2， 积dL分可得： dt dt
t2 t1
Mdt
L2
L1
冲量矩 J2 J1
刚体的角动量定理： 刚体绕定轴转动时，刚体的冲量矩等 于角动量的增量
非刚体定轴转动的角动量定理
了解
t2
t1
Mdt
J 22
i
i
L J
2 M刚 i体定dd轴Lti 转动ddt的(m角ir动i2量)定理
O ri
第五章动量角动量守恒
Lr p
大小： r F rF sin Fd
方向：服从右手定则 力矩
F
dL r F dt
质点角动量的时间变化率等于 质点所受合力的力矩 二、力矩
o
r
d
m
1. 对参考点的力矩： M r F
大小： Fd Frsin 方向： 垂直于r 和F组成的平面 , 服从右手定则。
例：
F
o
F
F
o
F
F 0 Mo 0
F 0 Mo 0
三、质点系角动量的时间变化率 对Ｎ个质点 m1 , m2 , , m N 组成的质点系，由
dL 可得 M r F d t
dL1 M 1外 M 1内 dt dL2 M 2外 M 2内 dt dLN M N外 M N内 dt
i
L
L自 旋
L轨 道
3.定轴转动刚体的角动量 转轴
z
角速度
z
转动 平面
刚体上任一质点 m i 转轴与其转动平面交点Ｏ
m i 绕Ｏ 圆周运动半径为 ri
m i 对Ｏ的角动量： Lio ri mi vi
r o i
mi
vi
大小：Lio ri mi v i mi ri2 Lio 方向：沿 2 即 Lio mi ri
不能改变质点系总角动量，但是影响总角动量 在系内各质点间的分配。
[例] 质量为 m ，长为 L 的细杆在水平粗糙桌面上 绕过其一端的竖直轴旋转，杆的密度与离轴距离成正 比，杆与桌面间的摩擦系数为 ，求摩擦力矩。
第3章 角动量守恒定律 PPT课件
若转轴不动，称定轴转动。 O
1. 定轴转动特征
(1) 刚体上各点都在垂直于固定轴的平面内(转动平面) 做圆周运动.其圆心都在一条固定不动的直线(转轴)上.
(2) 刚体上各点到转轴的垂直线在同样的时间内所转过 的角度都相同。因而用角量描述刚体的运动.
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3.3 刚体的运动
2. 定轴转动的描述
解：
N
R
T
Mg
T' M.
a R
mg
m
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3.4 刚体的角动量 转动定律 转动惯量
根据转动定律 根据牛顿第二定律
TR=Jβ
1 MR2
2
mg-T=ma
因绳与滑轮间无滑动，所以 a=Rβ
解以上三式得
a mg mM /2
a
mg
R R( m M / 2 )
rF
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3.1 质点的角动量 力矩
3.1.2 质点的角动量定理
力矩定义：
M rF
力矩大小：
M r F sinθ 式中 rsinθ d 为力臂，则
M Fd
因 Fsin θ F ，即合力切向分量，所以：
M r F
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3.2 质点的角动量守恒定律
(1) 角坐标 称角位置或角坐标。
规定逆时针转向 为正。
p x
O
刚体定轴转动的运动学方程
= (t) (2) 角位移
为 t时间内刚体所转过的角度。
p x O
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3.3 刚体的运动
(3) 角速度 角速度 lim Δ d Δt0 Δt dt 在定轴转动中，转向只可能有
3-4角动量守恒定律
、角动量
—、用规里
质量为也、以速度I鬼动的质点，其动量为
V V
p = mu
按照相仿的方法.刚体绕定轴转动时，把转动惯量和角速度的乘积称为刚体对定轴的角动量，用符号£表示
L —Ico
角动量是描述物体转动状态的物理量
在si中.角动量的单位是千克二次方米毎秒，符号为kgin-s4二、角动量定理
刚体绕定轴转动时，在给定的时间内，作用于刚体的合外力矩的冲量矩，等于刚体对该定轴的角动量的增量。
这一规律称为刚体定轴转动的角动量定理。
根据转动
定律二、角动量守恒定律
当作用于物体的合外力矩等于零时，物体的角动量保持不变。
这一规律称为角动量守恒定律。
例A5质量为，讥半径为确转台，可绕过中心的竖直轴转动，如图所示.质量为册人站在台的边缘.M 初，人和台都静止，后来P人在台的边缘开始跑动。
设人的角速度（相对地面｝为 Q求转台的转动角速度（忽
略转轴处的摩擦力矩和空气阻力）o 解：
人和转台系统不受外力矩作用, 其角动量
守恒。
开始时刻，人.台系统的角动暈厶严0
后来，人的角动量为L:=mR2co 台的角动量
为A如曲负号说明转台沿与人相反方面
转动°。
第5章-角动量角动量守恒定律
(2) 角动量 L r mv
MA 大小； M A mgd 1 MB MA MC 0
{
g
d2
B
d3
C
LA 0 方向：垂直图平面向里， LB 大小； LB mvd3
{
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
LC LB
例3、质量 m0 的质点固定不动，在它的万有引力的作用 下，质量 m 的质点作半径为 R的圆轨道运动。取圆周上 P 点为参考点，如图所示，试求：①质点 m在图中点1处所 受的力矩 M 1 和质点的角动量 m在图中点2处 L1 ；②质点 所受的力矩 M 2和质点的角动量 L2 。 解
（2） 卫星和地球视为系统，由角动量守恒，得
v 2ab 8.1 103 m / s r1mv1 r2 mv2 1 Tr1 dS 2ab 3 T ab v 6 . 3 10 m/s 2 dt Tr2
例8
一轻绳跨过轻定滑轮，一猴子抓住绳的一端，滑 轮另一侧的绳子则挂一质量与猴子相等的重物。若猴 子从静止开始以速度 v 相对绳子向上爬，求重物上升 的速度。 (复习题一、三. 19) v2 。 解 设猴子、重物对地面的速度分别为 v1、 由猴、重物组成的系统角动量守恒，得
将质点的角动量对时间求导
3. 角动量守恒定律 对某一固定点 o，若质点所受的合力矩为零， 则质点对该固定点的角动量守恒。 dL 即 M 0, 则 M 0 L 常矢量
dt
对于质点系，若系统所受的合外力矩为零， 则系统角动量的矢量和守恒。
即 M 外 0,
则
dL M外 0 dt
与连线垂直的等值反向初速度，如图所示。若在以后运 动过程中弹簧可达的最大长度 b 2a ，试求两球初速度 大小v0 。
3.3 角动量 角动量守恒定律
由角动量守恒定律，有
L 1 L 2 L 1 L 2
1 mv l h Ml 3
解得
2013-4-2Leabharlann 2 m l h
2
ω
ω
mv l h 1 3 Ml
2
m l h
2
13
力的空间累积效应： 力的功、动能、动能定理．
力矩的空间累积效应： 力矩的功、转动动能、动能定理．
成的系统在碰撞瞬间角动量守恒。
O
细杆的转动惯量： J 碰前： 细杆对轴O的角动量 子弹对轴O的角动量
2013-4-2
1 3
Ml
2
v P
m
L1 0
h
L 2 rmv mv l h
12
碰后： 细杆对轴O的角动量 子弹对轴O的角动量
L 1 Jω
L 2 rmv l h m ω
3.3
角动量
角动量守恒定律
力的时间累积效应：
冲量、动量、动量定理．
力矩的时间累积效应：
冲量矩、角动量、角动量定理．
第3章
刚体的转动
1
3.3
角动量
角动量守恒定律
一 质点的角动量定理和角动量守恒定律
质点运动描述
2 p m v， E k m v 2
2
刚体定轴转动描述 L J ， E k J
冲量矩
t1
t2
M dt
质点的角动量定理：对同一参考点O， 质点所受的冲量矩等于质点角动量的增量. 3 质点的角动量守恒定律 M 0 , L 恒矢量
第3章 刚体的转动
6
3.3
角动量
(6)角动量、角动量守恒定律
力矩为零的情况
h2
h1
m
(6)角动量、 (6)角动量、角动量守恒定律 角动量 讨论
如果作用于质点的合力矩不为零, 如果作用于质点的合力矩不为零, 而合力矩沿z轴的分量为零, 而合力矩沿 轴的分量为零,则 轴的分量为零 恒量 Lz = ( 当Mz = 0时 ) 时
轴的力矩为零时, 当质点所受对z轴的力矩为零时,质点对该轴的角动 量保持不变——质点对轴的角动量守恒定律。 质点对轴的角动量守恒定律。 量保持不变 质点对轴的角动量守恒定律
r r1
r r2
r r P = mv
r r p总 = MvC = 0
但是系统有机械运动，说明不宜使用动 但是系统有机械运动，说明不宜使用动 量来量度转动物体的机械运动量。 量来量度转动物体的机械运动量。
C M
ω
r r p 对应的角量 L ——角动量（动量矩） 角动量（ *引入与动量 角动量 动量矩）
(6)角动量、 (6)角动量、角动量守恒定律 角动量
【引入】为什么提出“角动量”概念？ 引入】为什么提出“角动量”概念？
问题一：两个质点如右图， 问题一：两个质点如右图，以不同半径 的轨道转动，动量大小相等， 的轨道转动，动量大小相等，位移方向 相同时连动量方向也相同， 相同时连动量方向也相同，该如何区别 两个质点？ 两个质点？ 问题二： 问题二：将一绕通过质心的固定轴转动 的圆盘视为一个质点系， 的圆盘视为一个质点系，系统总动量为
(6)角动量、 (6)角动量、角动量守恒定律 角动量
2、力矩(moment of force)
r r r M = r ×F
单位： 米 单位：牛·米 （N · m） ）
r r
m
o
v M
第四讲 角动量守恒定理(教师版)
第四讲 角动量守恒定律 2018.10.25一、角动量的概念类似于力对转轴的矩（力矩），我们引入动量对轴的矩，称为动量矩，也称角动量。
如右图，质点对点O 的角动量为αs i n m r v p r J =⨯= 对于绕固定轴转动的刚体，如右图，设其在某时刻转动的角速度为ω，刚体上某一质点的质量为i m ，它到轴的距离为i r ，则其动量大小为ωi i r m ，则整个刚体对转轴的角动量为 ∑∑==⋅=ωωωI r m r m r J ii i i 2 二、角动量定理由刚体绕定轴转动的转动定理可知βI M =，则ωβ∆=∆=∆I t I t M上式中t M ∆描述了力矩对时间的累积效应，称为冲量矩，用L 表示。
由于刚体定轴转动时转动惯量I 为恒量，故J I I ∆=∆=∆)(ωω，所以J L ∆=上式表明，合外力对刚体的冲量矩等于这段时间内刚体角动量的增量，称为角动量定理。
角动量定理不仅适用于刚体，对非刚体也可采用，这时物体对转轴的转动惯量不是恒量，前式应写成 1122ωωI I L -=三、角动量守恒定律如果物体受到的合力矩为零，即∑=0M ，则其冲量矩也为零，这有恒量=J这就是说，一个物体（系统），如果所受的外力对固定轴的力矩之矢量和为零，则该物体（系统）对该固定轴的角动量不变，这就是角动量守恒定律。
需要注意的是，角动量守恒定律适用于惯性系和质心系，对其它非惯性系，要引入惯性力矩，一般角动量不守恒。
因而不能直接在非惯性系中应用角动量守恒定律。
[例1]如图所示，一个半径为R 、内表面光滑的半球面固定在地面上，开口水平朝上。
一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度0v 。
忽略空气阻力。
求滑块在此后运动过程中的最大速率。
[例2]如图所示，一质量分布均匀的刚性螺旋环的质量为m，半径为R，螺距H=πR，可绕竖直的对称轴OO′无摩擦地转动，连接螺旋环与转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为m的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动，首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点A，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴OO′转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为h时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．[练习]如图，在水平的光滑桌面上开有一小孔，一条绳穿过小孔，其两端各系一质量为m 的小球。
角动量守恒定律解释
角动量守恒定律解释
1. 你知道角动量守恒定律吗？就像花样滑冰运动员在旋转时，把手臂收起来转速就会变快，这就是角动量守恒定律在起作用呀！
2. 哎呀，角动量守恒定律其实很神奇的啦！想想看，为啥旋转的陀螺不会轻易倒下呢，这可就是它在发挥作用哟！
3. 角动量守恒定律呀，就如同一个默默守护的卫士呢！比如说，游乐园里的旋转木马，不管怎么转，它的角动量都是守恒的哦！
4. 嘿，你有没有想过，为啥行星能一直稳定地绕着太阳转呢？这可多亏了角动量守恒定律这个厉害的家伙呀！
5. 哇塞，角动量守恒定律真的很重要呢！就像风扇的叶片转动，无论速度怎么变，角动量都不会乱套哦！
6. 角动量守恒定律，那可是自然界的一个奇妙法则呀！好比骑自行车时轮子的转动，始终遵循着这个规律呢！
7. 哈哈，你可别小瞧角动量守恒定律哦！你看那打蛋器搅拌蛋液的时候，不也是它在起作用嘛！
8. 角动量守恒定律可是无处不在呀！就说那飞速转动的车轮吧，没有它怎么行呢！
9. 哇哦，角动量守恒定律真的好酷呀！像直升机的螺旋桨旋转，这背后可全是它的功劳哟！
10. 你难道还不明白角动量守恒定律的厉害之处吗？就像时钟的指针不停地转呀转，都是因为它呀！
我的观点结论：角动量守恒定律在我们的生活和自然界中真是无处不在，它让各种物体的运动变得有规律可循，真的太神奇了！。
16-3-3 角动量 角动量守恒定律
演员N以u起跳，达到的高度：
12
u l 3m 2 h ( ) h 2g 8g m 6m
2 2 2
物理学
第五版
2.6.5
刚体的角动量
角动量守恒定律
例3 质量很小长度为l 的均匀细杆，可绕 过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内 转动．当细杆静止于水平位置时，有一只小 虫以速率 v 0 垂直落在距点O为 l/4 处，并背离 点O 向细杆的端点A 爬行．设小虫与细杆的 质量均为m．问：欲使细杆以恒定的角速度 转动，*小虫应以多大速率向细杆端点爬行?
物理学
第五版
2.6.5
刚体的角动量
角动量守恒定律
刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律
1 刚体定轴转动 的角动量
ri
mi
z
2 L mi ri
i
2
( mi ri )
O
vi
L J
i
物理学
第五版
2.6.5
刚体的角动量
角动量守恒定律
2、定轴转动的角动量定理
自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律 宇称守恒定律等
物理学
第五版
[例1] :一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其 2.6.5 刚体的角动量 角动量守恒定律 中心的竖直轴转动, 质量为 m 的人站在转台边缘，最 初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力) ，相对于地面，人和台各转了多少角度？
J mi ri r dm
2 2 i m
第5-6次课 角动量 角动量守恒定律
l
24
例10：一细杆质量为m， o 长度为l，一端固定在轴 上，静止从水平位置摆 下，求:（1）开始转动 的瞬间，细杆的角加速 度为多？(2)细杆摆到铅 直位置时的转动动能和 角速度。
m,l
mg
25
(1)
L J mg 2
1 2 J mL 3
3g 2L
26
(2)
1 1 2 mgl J 2 2
13
例2：两个共轴飞轮转动惯量分别为J1、 J2，角速度分别为 1 、2，求两飞轮啮 合后共同的角速度 。
J1 J2
1
2
14
解：两飞轮通过摩 擦达到共同速度,合 外力矩为0，系统角 动量守恒。
L0 L C
J11 J 22 ( J1 J 2 )
J1
J2
1
2
6mv ( M 3m)l
22
' 例8： 一质量为 m 、半径为 R 的圆盘，可绕一垂直 通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻绳， 一端挂质量为m 的物体 . 问物体在静止下落高度 h 时， 其速度的大小为多少? 设绳的质量忽略不计 。
解： 刚体系的机械能守恒
1 1 2 2 mgh mv J 2 2 v 1 2 J mR R 2
第三节 角动量 角动量守恒定律
设计制作 干耀国
山东科技大学济南校区
1
力的时间累积效应
冲量、动量、动量定理.
动量守恒定律
力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理 角动量守恒定律
为求刚体的角动量,先介绍质点的角动量.
一
质点的角动量定理和角动量守恒定律
2
1 质点的角动量 质量为 m 的质点以速度 v 在空间运动，某时刻相对原点 O 的位矢为 r，质点相对于原 点的角动量
5-3 角动量 角动量守恒定律
Lg
dm 2
dm 2
r
L0
u
5 – 3 刚体的角动量
第五章 刚体的转动
解：选飞船和排出废气m为研究系统
原系统对中心的角动量
L0 J
在喷气过程中， dt 时间内喷出气体为 dm ，其 对中心轴的角动量为 dm r (u v) ，方向与 飞船的角动量方向相同。
u v(v r)
dm r (u v) dm ru
u
Lg
dm 2
r
L0
u
dm 2
5 – 3 刚体的角动量
第五章 刚体的转动
dLg dm ru
在整个喷气过程中喷出废气的总角动量为
Lg dm ru mru
0
m
飞船停止旋转时，系统总角动量
J mru
m 所需时间 t 2.67 s q qru
5 – 3 刚体的角动量
第五章 刚体的转动
一、刚体对轴的角动量定理和角动量守恒定律 刚体定轴转动的角动量 Lz J z
t2
d( J z ) dLz Mz dt dt M z dt dLz
t1
M z dt L2 L1 J 22 J 11
刚体定轴转动的量等于外力 矩合对轴的冲量矩。
5 – 3 刚体的角动量
第五章 刚体的转动
t2
t1
M z dt L2 L1 J 22 J 11
若 J1 J 2
若 M z 0,
t2
J 恒量
t1
M z dt J 2 J 1
角动量守恒定律
角动量守恒定律的两种情况： 1、转动惯量保持不变的刚体 当 M 0 时，有 J J 0，则 0 2、转动惯量可变的物体 当 J 增大时， 就减小；
第 2 章 角动量 角动量守恒定律解剖
L
行星绕恒星的转动： ——轨道在一平面内！
因为 F 与 r 共线： L = c
即：mvrsin = c
dr
mvrsinα = m rsinα
dt
= 2m
1 r dr sinα
2
= 2m dS
dt
dt
dS = c dt
v α dr
r Fm
dr α
r
例：如图，光滑的水平面上一绳子长L=2m，一端固定于O 点，另一端系一质量m=0.5kg的物体。初始物体位于A 点，OA间距d=0.5m，绳处于松驰状态。现使物体以 初速vA=4m/s垂直于OA向右滑动，随后物体到达B点， 此时其速度方向与绳垂直，求此时物体速度的大小vB。
dt dt
dt
dr p = v p = 0 dt
即恒有：r dp d(r p) dt dt
卫星
r p = L ——角动量
——描述转动状态
M = dL ——转动定律
地球
+
dt
•力矩的大小
M = rF
M = r Fsinθ
力矩的方向：由 r F 确定，满足右手规则。
L = rp
力矩的单位：N ·m
M
=
rF
=
rm
d2r dt2
=
mr [-ω2 (acosωt
i
+ bsinωt
j
)]
= -mω2r r = 0
接上题：求质点对o的 L、M 。
ML
解：由力矩与角动量的定义，有：
L
=
r p
=
(r
+ r0 ) m
d(r + r0 ) dt
dr
4-3 角动量 角动量守恒定律
4-3 如果
则有
角动量
L 常矢量
r F 0
角动量守恒定律
质点的角动量守恒定理：如果作用在质点上的外力对 为零，则质点对 点的角动量在 某给定点 o 的力矩(r F ) o 运动过程中保持不变。这就叫做角动量守恒定律。
角动量守恒的条件： r F 0
两种情况力矩为零： 1） 2）
第四章 刚体的转动
18
物理学
第五版
4-3
角动量
角动量守恒定律
自然界中存在多种守恒定律 动量守恒定律 能量守恒定律 角动量守恒定律 电荷守恒定律 质量守恒定律等
第四章
刚体的转动
19
物理学
第五版
4-3
角动量
角动量守恒定律
许多现象都可以 用角动量守恒来说明. 花样滑冰 跳水运动员跳水
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14
i
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4-3
角动量
角动量守恒定律
2 刚体定轴转动的角动量定理 质点mi受合力矩Mi(包括Miex、 Miin )
dLi d (mi rvi ) d 2 i Mi (mi ri ) dt dt dt
对定轴转动的刚体
in i
M ห้องสมุดไป่ตู้ Mi
ex
d ( J ) dL M dt dt
t2
t1
Mdt J 22 J11
当转轴给定时，作用在物体上的冲量 矩等于角动量的增量． ——定轴转动的角动量定理
第四章 刚体的转动
16
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第五版
4-3
角动量
角动量守恒定律
3 刚体定轴转动的角动量守恒定律
若 M 0 ，则 L J =常量
4_3角动量 角动量守恒定律
二 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律 1 刚体定轴转动的角动量
L i = m i ri v i = m i ri ω
2
ω
v ri
mi
z
L = ∑ mi ri vi = (∑ mi ri 2 )ω = Jω
i i
O
v vi
L = Jω
刚体对转轴的 转动惯量
2 刚体定轴转动的角动量定理
dLi d (mi ri vi ) d (mi ri ω) Mi = = = dt dt dt
质点的角动量
v L
z
v v
v r
θ m y
x
v L
o
v v
θ
v r
v p
v L
L = mr ω = Jω
2
v m o r
二 质点的角动量守恒定律
Q∫
t2
t1
v v v M d t = L2 − L1
v v v ∴ M = 0， L2 =L1 =恒矢量
质点所受对参考点 O 的合力矩为零时，质点对该 的合力矩为零时， 的角动量为一恒矢量. 参考点 O 的角动量为一恒矢量
例1：杆质量M ，长l，绕中点转动，J =
初速水平 v，射入下端，问 ω = ？ 解：碰撞前角动量
M 2 l ，开始竖直静止。子弹m， 12
M
(1)
l L1 = mv 2 碰撞后角动量
L2 = J ω
(2)
且
l M J = J m + J M = m( ) 2 + l 2 2 12 (3)
mv
ω
碰撞过程中， M的重力矩为零， m的重力矩忽略不计。由 角动量守恒，得
有许多现象都可以 用角动量守恒来说明. 用角动量守恒来说明 花样滑冰 跳水运动员跳水
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大小：
Lm rv
方向：满足右手关系，向上。
2.行星在绕太阳公转时的椭圆轨道运动
对定点（太阳）的角动量： L r p m (r v ) 大小： Lmvsirn
v
v
r
r
Sun
方向： 满足右手关Байду номын сангаас，向上。
3.质点直线运动对某定点的角动量：
L r p m r v 等于零吗？？？
t1
质点的角动量
力是物体平动运动状态（用动量来描述）发生改
变的原因。力矩是引起物体转动状态（用角动量
来描述）改变的原因。
1. 质点的圆周运动 动量：p mv
L
Or v
（对圆心的）角动量：
m
L r p r ( m v ) m r v
(r v )
F
数点学积补充知识：a b b a
a a a2
叉积
a b b a
a a 0
c ( a b ) a ( b c ) b ( a c )
点积的微商 叉积的微商
c ( a b ) a ( b c ) b ( c a )
d(rp )v m d t v
d t d t d(rp)dL
M
dt dL
dt ——质点的v角 v 动 量0 定理
dt
定义角动量
dt
L r p m r v
tt1 2M d tL L 1 2d L L 2L 1 t2M dt为质 t内 点O 对 在 点的冲量矩
F r
MrF sin
X
方向由右手螺旋法则确定。
Y
说明：1. 力矩是改变质点系转动状态的
原因；力是改变质点系平动状态的原因。
2. 同一力对空间不同点的力矩是不同的；
中学的表达式：对O点力矩M
M F d Fsrin
M
正是前面定义的力 矩的大小。
r
O
d
力矩的方向由右手螺旋法则 来确定才有矢量的确切含义。
v
大小：Lmv sirnmvd
方向： 思考：如何使L=0？
d
m
r
O
质点的角动量总结：
定义：对 O点 的角 动量： L r p m r v
说明： 1.角动量是矢量（kg·m2·s-1）
Z
O X
v
L
r
Y
2.角动量对不同点是不同的。
3L .角 m 动r 量 的v 方m 向r ： ( r ) m 2 L r 与 同方向
永远与矢径是反平行的。故对力心质点所受的力矩为
零。则对力心角动量守恒！
注意
L
力心
v
m
r
F
r
Lmsvir nm rsin
2m12rrsin2tmS
t
t
——开普勒第二定律
行星的动量时刻在变,但其角动量可维持不变.
在研究质点受有心力作用的运动时,角动量将代替动量
起着重要的作用. 质点在有心力场中,它对力心的角动量守恒。
例:一r 质 量a 为c m的o t 质i 点b s 沿s 一条i 二t j维n 其曲中线a运,b动, 为常数
试解求：:该v质点dr对 原 点a 的s 角动量i t i 矢 n 量b 和c 力矩.o t j s
dt
Lm rv m ( a c o t i b s s i t j ) n
为了巩固质点角动量守恒的概念 判断下列情况角动量是否守恒：
圆锥摆运动中,做水平匀速圆周运 动的小球m。
C T
(1)对C点的角动量是否守恒？ (2)对O点的角动量是否守恒？
O
mg C'
(3)对竖直轴CC'的角动量是否守恒？
请同学思考！
质点系的角动量定理和角动量守恒定律
1.一对作用力、反作用力对定点（定轴）的合力
v
dr
asi t i n bco t j s
a
dt dv
a 2 c t o i b s 2 s i t jn
dt
M r F m r a m 2r r 0!
二、角动量守恒定律
质点角动量守恒
矩等于零。
证明：
M 1r1f1
M 2r2f2
r2
r
f2
M 1 M 2 r 1 f 1 r 2 f 2
O
f1 f2 r f2
( a si t i n b ct o j ) s
m ( a c b 2 t o k a s s b 2 i t k ) n
M dm L 0a !kb (恒矢量)
dt
或由 M rF 直接计算力矩
r a co ti b s sitjn
当 M 0,L r ( m v ) =恒矢量
当质点所受对参考点O的合力矩为零时，质点
对该参考点O的角动量为一恒矢量。
例：
L
v
r m
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
讨论：行星受力方向与矢径在一条直线（中心力），
角动量守恒 定律
开普勒三大定律
Kepler laws
实例：
行星对太阳的径矢在相等的时间内扫过相等的面积. —–开普勒第二定律 Kepler laws
除了动量，机械能守恒量以外一定还有另外一个守恒 量存在！
一、质点的角动量
Z
力矩
力F对o点的力矩表达式： M rF
M rF
d(a b )a d b d a b
d t
d t d t
d(a b )a d b d a b
d t
d t d t
质点的角动量定理：
仿照平动：F
dp
M r F d t r d p d ( r p ) d r p