2013年9月份考试高等数学(II)第一次作业

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2013年高考理科数学全国新课标(Ⅱ)试题及答案

2013年普通高等学校招生数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合},4)1(|{2R x x x M ∈<-=，}3,2,1,0,1{-=N ，则N M ⋂＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3}2．设复数z 满足i z i 2)1(=- ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则=1a ( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．已知m ，n 为异面直线，⊥m 平面α，⊥n 平面β.直线l 满足m l ⊥，n l ⊥，α⊄l ，β⊄l ，则( )． A ．α∥β且l ∥α B ．βα⊥且β⊥lC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数为5，则=a ( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．执行下面的程序框图，如果输入的10=N ，那么输出的=S ( )．A ．10131211++++B ．!101!31!211++++C ．11131211++++D ．!111!31!211++++7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系xyz O -中的坐标分别是)1,0,1(，)0,1,1(，)1,1,0(，)0,0,0(，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．设6log 3=a ，10log 5=b ，14log 7=c ，则( )．A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．c b a >>9．已知0>a ，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若y x z +=2的最小值为1，则=a ( )．A ．14B ．12 C ．1 D ．210．已知函数c bx ax x x f +++=23)(，下列结论中错误的是( )．A ．R x ∈∃0，0)(0=x f ；B ．函数)(x f y =的图像是中心对称图形；C ．若0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f 在区间),(0x -∞单调递减；D ．若0x 是)(x f 的极值点，则0)(0='x f .11．设抛物线C ：)0(22>=p px y 的焦点为F ，点M 在C 上，5||=MF ，若以MF 为直径的圆过点)2,0( ，则C 的方程为( )．A ．x y 42=或x y 82= B ．x y 22=或x y 82=C ．x y 42=或x y 162= D ．x y 22=或x y 162=12．已知点)0,1(-A ，)0,1(B ，)1,0(C ，直线)0(>+=a b ax y 将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是( )．A.)1,0( B ．)21,221(- C ．]31,221(- D ．)21,31[第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅＝__________.14．从n 个正整数1,2，…，n 中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为114，则 =n _________.15．设θ为第二象限角，若21)4tan(=+πθ，则=+θθcos sin __________.16．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知010=S ，2515=S ，则n nS 的最小值为__________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.(本小题满分12分) ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知 B c C b a sin cos +=. (1)求B ；(2)若2=b ，求ABC ∆面积的最大值． 18．(本小题满分12分)如图，直三棱柱111C B A ABC -，D ，E 分别是AB，1BB 的中点，AB CB AC AA 221===. (1)证明：1BC ∥平面CD A 1；(2)求二面角E C A D --1的正弦值．19．(本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出t 1该产品获利润500元，未售出的产品，每t 1亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了t 130该农产品．以X (单位：t ，500100≤≤X )表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润． (1)将T 表示为X 的函数；(2)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率；(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量)110,100[∈X ，则取105=X ，且105=X 的概率等于需求量落入)110,100[的频率)，求T 的数学期望．20．(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：12222=+by a x )0(>>b a 右焦点的直线0x y +=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12.(1)求M 的方程；(2) C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线AB CD ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值．21． (本小题满分12分)已知函数)ln()(m x e x f x+-=． (1)设0=x 是)(x f 的极值点，求m ，并讨论)(x f 的单调性； (2)当2≤m 时，证明0)(>x f .22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ， E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且AF DC AE BC ⋅=⋅，B ， E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；(2)若EA BE DB ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上，对应参数分别为α=t 与)20(2παα<<=t ，M 为PQ 的中点．(1)求M 的轨迹的参数方程；(2)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．24． (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设a ，b ，a 均为正数，且1=++c b a ，证明： (1) 31≤++ac bc ab ； (2)2221a b c b c a++≥.2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类（全国新课标卷II)第Ⅰ卷(一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．答案：A解析：解不等式4)1(2<-x ，得31<<-x ，即}31|{<<-=x x M ．而}3,2,1,0,1{-=N ，所以)2,1,0(=⋂N M ，故选A .2．答案：A 解析：2i 2i 1i =1i 1i 1i z (+)=-(-)(+)＝22i 2-+＝－1＋i.3．答案：C解析：设数列}{n a 的公比为q ，若1=q ，则由95=a ，得91=a ，此时273=S ，而9910123=+=a a S ，不满足题意，因此1≠q ，∵1≠q 时，11313101)1(a q a q q a S +=--=，10113+=--∴q qq ，整理得92=q ，∵9415==q a a ，即9811=a ，∴911=a .4．答案：D解析：因为α⊥m ，m l ⊥，α⊄l ，所以l ∥α.同理可得l ∥β. 又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线．故选D .5．答案：D解析：因为5)1(x +的二项展开式的通项为),50(5Z r r x C rr ∈≤≤，则含2x 的项为215225)510(x a x axC x C +=+，所以5510=+a ，1-=a .6．答案：B解析：由程序框图知，当1=k ，0=s ，1=T 时，1=T ，1=s ；当2=k 时，12T =，1=1+2S ；当3=k 时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当4=k 时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…；当10=k 时，123410T =⨯⨯⨯⨯，1111+2!3!10!S =+++，k 增加1变为11，满足N k >，输出s ，所以B 正确．7．答案：A解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系xyz O -的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为，故选A .8．答案：D解析：根据公式变形，lg 6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg 7lg 7c ==+，因为3lg 5lg 7lg >>，所以lg 2lg 2lg 2lg 7lg5lg3<<，即c b a >>.故选D .9．答案：B解析：由题意作出⎩⎨⎧≤+≥31y x x 所表示的区域如图阴影部分所示，作直线12=+y x ，因为直线12=+y x 与直线1=x 的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线)3(-=x a y 过点(1，－1)，代入得12a =，所以12a =.10．答案：C解析：∵0x 是)(x f 的极小值点，则)(x f y =的图像大致如下图所示，则在),(0x -∞上不单调，故C 不正确．11．答案：C解析：设点M 的坐标为),(00y x ，由抛物线的定义，得52||0=+=p x MF ，则20p x -=,又点F 的坐标为,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为0)()2)((00=-+--y y y px x x ,将0=x ，0=y 代入得04800=-+y px ，即0842020=+-y y ，所以40=y .由0202px y =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2=p ，或8=p .所以C 的方程为x y 42=或x y 82=，故选C .12．答案：B第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．答案：2解析：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为(0,0)，点B 的坐标为(2,0)，点D 的坐标为(0,2)，点E 的坐标为(1,2)，则AE ＝(1,2)，BD ＝(－2,2)，所以2AE BD ⋅=.14．答案：8解析：从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)两种，所以221C 14n =，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8=n .15．答案：5- 解析：由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得31tan -=θ，即θθcos 31sin -=.将其代入1cos sin 22=+θθ，得210cos 19θ=.因为θ为第二象限角，所以10103cos -=θ，1010sin =θ，510cos sin -=+θθ.16．答案：49-解析：设数列}{n a 的首项为1a ，公差为d ，则045102910101110=+=⨯+=d a d a S ，① 01051521415151115=+=⨯+=d a d a S , ② 联立①②，得31-=a ，23d =，所以S n ＝2(1)211032333n n n n n --+⨯=-. 令n nS n f =)(，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-. 令0)(='n f ，得0=n 或203n =.当203n >时，0)(>'n f ,200<<3n 时，0)(<'n f ，所以当203n =时，)(n f 取最小值，而+∈N n ，则48)6(-=f ，49)7(-=f ，所以当7=n 时，)(n f 取最小值49-.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．解：(1)由已知及正弦定理得：B C C B A sin sin cos sin sin +=，① 又)(B A A +-=π，故C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+=，②由①，②和),0(π∈C 得B B cos sin =，又),0(π∈B ，所以π4B =. (2) ABC ∆的面积1sin 24S ac B ac ==. 由已知及余弦定理得4cos 2422πac c a -+=，又ac c a 222≥+，故ac ≤，当且仅当c a =时，等号成立．因此ABC ∆.18．解：(1)连结1AC 交C A 1于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1BC ∥DF ，因为⊂DF 平面CD A 1，⊄1BC 平面CD A 1，所以1BC ∥平面CD A 1.(2)由AB CB AC 22==得，CB AC ⊥. 以C 为坐标原点，CA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz C -，设2=CA ，则)0.1.1(D ，)1.2.0(E ，)2.0.2(1A ，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设),,(z y x =是平面CD A 1的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅001CA CD n ，即 ⎩⎨⎧=+=+0220z x y x ，可取)1,1,1(--=．同理，设是平面CE A 1的法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅01CA CE m ，可取)2.1.2(-=．从而33,cos >=<m n ，故36,sin >=<m n ，即二面角E C A D --1的正弦值为319．解：(1)当)130,100[∈X 时，39000800)130(300500-=--=X X X T ，当]150,130[∈X 时，65000130500=⨯=T ，所以80039000,100130,65000,130150.X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩(2)由(1)知利润T 不少于57 000元当且仅当150120≤≤X .由直方图知需求量]150,120[∈X 的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(3)依题意可得T 的分布列为所以1.045000+⨯=ET20．解：(1)设),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x P ，则221122=1x y a b +，222222=1x y a b +，2121=1y y x x ---，由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-.因为0112x x x =+，0112y y y =+，0012y x =，所以222b a =，又由题意知，M 的右焦点为)0,3( ，故322=-b a ，因此62=a ，32=b .所以M 的方程为22=163x y +. (2)由220,1,63x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或0,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，因此364||=AB . 由题意可设直线CD 的方程为: )3335(<<-+=n n x y ，设),(33y x C ，),(44y x D ．由22,163y x n x y=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得0624322=-++n nx x ，是x 3,4. 因为直线CD 的斜率为1，所以234934||2||n x x CD -=-=. 由已知，四边形ACBD的面积1||||2S CD AB =⋅=.当0=n 时，S取得最大值，最大值为3,所以四边形ACBD面积的最大值为3.21．解：(1) mx e x f x+-='1)(. 由0=x 是)(x f 的极值点得0)0(='f ，所以1=m ；于是)ln()(m x e x f x +-=，定义域为),1(+∞-，11)(+-='x e x f x. 函数11)(+-='x e x f x在),1(+∞-单调递增，且0)0(='f ，因此当)0,1(-∈x 时，0)(<'x f ；当 ),0(+∞∈x 时，0)(>'x f . 所以)(x f 在)0,1(-单调递减，在),0(+∞单调递增．(2)当2≤m ，),(+∞-∈m x )时，)2ln()ln(+≤+x m x ，故只需证明当2=m 时，0)(>x f .当2=m 时，函数21)(+-='x e x f x在),2(+∞-单调递增．又0)1(<-'f ，0)0(>'f ，故0)(='x f 在),2(+∞-有唯一实根0x ，且)2,1(0∈x ．当),2(0x x -∈时，0)(<'x f ；当),(0+∞∈x x 时，0)(>'x f ，从而当0x x =时，)(x f 取得最小值．由0)(0='x f 得2100+=x e x，00)2ln(x x -=+，故02)1(21)()(020000>++=++=≥x x x x x f x f ，综上，当2≤m 时，0)(>x f .22．解：(1)因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以A BDC ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB ∆∽AEF ∆，所以EFA DBC ∠=∠，因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以DBC CFE ∠=∠，故090=∠=∠EFA CFE ，所以090==∠CBA ，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径． (2)连结CE ，因为090==∠CBE ，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由BE DB =，有DC CE =，又222DB BA DB BC =⋅=，所以222264DB BC DB CA =+=,而223DB DA DB DC =⋅=，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12. 23．解：(1)依题意有)sin 2,cos 2(ααP ，)2sin 2,2cos 2(ααQ ，因此)2sin sin ,2cos (cos αααα++M ．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，)20(πα<<．(2)M 点到坐标原点的距离d ==)20(πα<<．当πα=时，0=d ，故M 的轨迹过坐标原点．24．解：(1)由，bc c b 222≥+，ca a c 222≥+，得ca bc ab c b a ++≥++222，由题设得1)(2=++c b a ，即1222222=+++++ca bc ab c b a ，所以1)(3≤++ca bc ab ，即31≤++ca bc ab . (2)因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故222()a b c a b c b c a +++++)(2c b a ++≥，即222a b c b c a ++c b a ++≥，所以222a b c b c a++1≥.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试全国卷2 数学试卷含答案(理科)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)理数本卷满分150分,考试时间120分钟.第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|(x-1)2<4,x∈R},N={-1,0,1,2,3},则M∩N=()A.{0,1,2}B.{-1,0,1,2}C.{-1,0,2,3}D.{0,1,2,3}2.设复数z满足(1-i)z=2i,则z=( )A.-1+IB.-1-iC.1+iD.1-i3.等比数列{a n}的前n项和为S n,已知S3=a2+10a1,a5=9,则a1=( )A.13B.-13C.19D.-194.已知m,n为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α,l⊄β,则( )A.α∥β且l∥αB.α⊥β且l⊥βC.α与β相交,且交线垂直于lD.α与β相交,且交线平行于l5.已知(1+ax)(1+x)5的展开式中x2的系数为5,则a=( )A.-4B.-3C.-2D.-16.执行下面的程序框图,如果输入的N=10,那么输出的S=( )A.1+12+13+…+110 B.1+12!+13!+…+110! C.1+12+13+…+111D.1+12!+13!+…+111!7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为( )8.设a=log 36,b=log 510,c=log 714,则( ) A.c>b>aB.b>c>aC.a>c>bD.a>b>c9.已知a>0,x,y 满足约束条件{x ≥1,x +y ≤3,y ≥a (x -3).若z=2x+y 的最小值为1,则a=( )A.14B.12C.1D.210.已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是( ) A.∃x 0∈R, f(x 0)=0B.函数y=f(x)的图象是中心对称图形C.若x 0是f(x)的极小值点,则f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若x 0是f(x)的极值点,则f '(x 0)=011.设抛物线C:y 2=2px(p>0)的焦点为F,点M 在C 上,|MF|=5,若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( ) A.y 2=4x 或y 2=8x B.y 2=2x 或y 2=8x C.y 2=4x 或y 2=16xD.y 2=2x 或y 2=16x12.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC 分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( ) A.(0,1)B.(1-√22,12)C.(1-√22,13]D.[13,12)第Ⅱ卷(非选择题,共90分)本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = . 14.从n 个正整数1,2,…,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n= .15.设θ为第二象限角,若tan (θ+π4)=12,则sin θ+cos θ= . 16.等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 10=0,S 15=25,则nS n 的最小值为 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知a=bcos C+csin B. (Ⅰ)求B;(Ⅱ)若b=2,求△ABC 面积的最大值.18.(本小题满分12分)如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,D,E 分别是AB,BB 1的中点,AA 1=AC=CB=√22AB. (Ⅰ)证明:BC 1∥平面A 1CD; (Ⅱ)求二面角D-A 1C-E 的正弦值.19.(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1 t该产品获利润500元,未售出的产品,每1 t亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如下图所示.经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品,以X(单位:t,100≤X≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量,T(单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润.(Ⅰ)将T表示为X的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率;(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量X∈[100,110),则取X=105,且X=105的概率等于需求量落入[100,110)的频率),求T的数学期望.20.(本小题满分12分)平面直角坐标系xOy中,过椭圆M:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)右焦点的直线x+y-√3=0交M于A,B两点,P为AB的中点,且OP的斜率为12.(Ⅰ)求M的方程;(Ⅱ)C,D为M上两点,若四边形ACBD的对角线CD⊥AB,求四边形ACBD面积的最大值.21.(本小题满分12分) 已知函数f(x)=e x-ln(x+m).(Ⅰ)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性; (Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答,不选、多选均按所答第一题评分;多答按所答第一题评分.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为△ABC 外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D,E,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC·AE=DC·AF,B,E,F,C 四点共圆. (Ⅰ)证明:CA 是△ABC 外接圆的直径;(Ⅱ)若DB=BE=EA,求过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值.23.(本小题满分10分)选修4— 4:坐标系与参数方程已知动点P,Q 都在曲线C:{x =2cost ,y =2sint (t 为参数)上,对应参数分别为t=α与t=2α(0<α<2π),M 为PQ 的中点. (Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设a,b,c 均为正数,且a+b+c=1,证明: (Ⅰ)ab+bc+ca≤13; (Ⅱ)a 2b +b 2c +c 2a ≥1.2013年普通高等学校招生全国统一考试(课标全国卷Ⅱ)一、选择题1.A 化简得M={x|-1<x<3},所以M ∩N={0,1,2},故选A.2.A 由题意得z=2i 1-i =2i ·(1+i)2=-1+i,故选A.3.C 由已知条件及S 3=a 1+a 2+a 3得a 3=9a 1,设数列{a n }的公比为q,则q 2=9. 所以a 5=9=a 1·q 4=81a 1,得a 1=19,故选C.4.D 若α∥β,则m ∥n,这与m 、n 为异面直线矛盾,所以A 不正确.将已知条件转化到正方体中,易知α与β不一定垂直,但α与β的交线一定平行于l,从而排除B 、C.故选D.评析本题考查了线面的位置关系,考查了空间想象能力,本题利用排除法求解效果比较好.5.D 由二项式定理得(1+x)5的展开式的通项为T r+1=C 5r ·x r ,所以当r=2时,(1+ax)(1+x)5的展开式中x 2的系数为C 52,当r=1时,x 2的系数为C 51·a,所以C 52+C 51·a=5,a=-1,故选D.6.B 由框图知循环情况如下:T=1,S=1,k=2; T=12,S=1+12,k=3;T=12×3,S=1+12+12×3,k=4; T=14!,S=1+12!+13!+14!,k=5;…;T=110!,S=1+12!+13!+…+110!,k=11>10,输出S,故选B. 7.A 设O(0,0,0),A(1,0,1),B(1,1,0),C(0,1,1),将以O 、A 、B 、C 为顶点的四面体补成一正方体后,由于OA ⊥BC,所以该几何体以zOx 平面为投影面的正视图为A.8.D 由对数运算法则得a=log 36=1+log 32,b=1+log 52,c=1+log 72,由对数函数图象得log 32>log 52>log 72,所以a>b>c,故选D.9.B 由约束条件画出可行域(如图所示的△ABC),由{x =1,y =a(x -3)得A(1,-2a), 当直线2x+y-z=0过点A 时,z=2x+y 取得最小值,所以1=2×1-2a,解得a=12,故选B.10.C 由三次函数值域为R 知f(x)=0有解,所以A 项正确;因为y=x 3的图象为中心对称图形,而f(x)=x 3+ax 2+bx+c 的图象可以由y=x 3的图象平移得到,故B 项正确;若f(x)有极小值点,则f '(x)=0有两个不等实根x 1,x 2(x 1<x 2), f '(x)=3x 2+2ax+b=3(x-x 1)(x-x 2),则f(x)在(-∞,x 1)上为增函数,在(x 1,x 2)上为减函数,在(x 2,+∞)上为增函数,故C 项错误;D 项正确.故选C.评析本题考查了三次函数的图象和性质,考查了利用导数研究函数极值与单调性. 11.C ∵以MF 为直径的圆过点(0,2),∴点M 在第一象限.由|MF|=x M +p2=5得M (5-p 2,√2p (5-p 2)).从而以MF 为直径的圆的圆心N 的坐标为(52,12√2p (5-p2)),∵点N 的横坐标恰好等于圆的半径,∴圆与y 轴切于点(0,2),从而2=12√2p (5-p2),即p 2-10p+16=0,解得p=2或p=8,∴抛物线方程为y 2=4x 或y 2=16x.故选C.评析本题考查了直线、圆、抛物线的位置关系,考查了综合解题能力.建立关于p 的方程是求解的关键.12.B (1)当直线y=ax+b 与AB 、BC 相交时(如图1),由{y =ax +b,x +y =1得y E =a+ba+1,又易知x D =-ba,∴|BD|=1+ba,由S △DBE =12×a+b a×a+b a+1=12得b=√1+1a+1∈(0,12).图1(2)当直线y=ax+b 与AC 、BC 相交时(如图2),由S △FCG =12(x G -x F )·|CM|=12得b=1-√22√1-a 2∈(1-√22,1)(∵0<a<1),图2∵对于任意的a>0恒成立, ∴b∈(0,12)∩(1-√22,1),即b ∈(1-√22,12).故选B.二、填空题 13.答案 2解析解法一:AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=22-12×22=2. 解法二:以A 为原点建立平面直角坐标系(如图).则AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,2)·(-2,2)=1×(-2)+2×2=2.14.答案 8解析因为5=1+4=2+3,所以2C n2=114,即n(n-1)=56,解得n=8或n=-7(舍).15.答案 -√105解析 tan θ=tan [(θ+π4)-π4]=12-11+12=-13,∴sin θ=-13cos θ,将其代入sin 2θ+cos 2θ=1得109cos 2θ=1,∴cos 2θ=910,易知cos θ<0, ∴cos θ=-310√10,sin θ=√1010,故sin θ+cos θ=-√105. 16.答案 -49 解析由S n =na 1+n(n -1)2d 得{10a 1+45d =0,15a 1+105d =25,解得a 1=-3,d=23,则S n =-3n+n(n -1)2·23=13(n 2-10n),所以nS n =13(n 3-10n 2),令f(x)=13(x 3-10x 2),则 f '(x)=x 2-203x=x (x -203),当x ∈(1,203)时, f(x)递减, 当x ∈(203,+∞)时, f(x)递增,又6<203<7, f(6)=-48, f(7)=-49,所以nS n 的最小值为-49.评析本题考查了数列与函数的应用,考查了数列的基本运算,利用导数求最值.本题易忽略n 的取值范围. 三、解答题17.解析 (Ⅰ)由已知及正弦定理得sin A=sin Bcos C+sin C ·sin B.① 又A=π-(B+C),故sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C.② 由①,②和C ∈(0,π)得sin B=cos B. 又B ∈(0,π),所以B=π4.(Ⅱ)△ABC 的面积S=12acsin B=√24ac. 由已知及余弦定理得4=a 2+c 2-2accos π4.又a 2+c 2≥2ac,故ac ≤2-√2,当且仅当a=c 时,等号成立.因此△ABC 面积的最大值为√2+1.18.解析 (Ⅰ)连结AC 1交A 1C 于点F,则F 为AC 1中点. 又D 是AB 中点,连结DF,则BC 1∥DF.因为DF ⊂平面A 1CD,BC 1⊄平面A 1CD,所以BC 1∥平面A 1CD. (Ⅱ)由AC=CB=√22AB 得,AC ⊥BC.以C 为坐标原点,CA⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz.设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A 1(2,0,2),CD⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,1),CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=(2,0,2). 设n =(x 1,y 1,z 1)是平面A 1CD 的法向量,则{n ·CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=0,即{x 1+y 1=0,2x 1+2z 1=0. 可取n =(1,-1,-1).同理,设m 是平面A 1CE 的法向量,则{m ·CE ⃗⃗⃗⃗ =0,m ·CA ⃗⃗⃗⃗⃗ 1=0. 可取m =(2,1,-2).从而cos<n,m >=n ·m |n||m|=√33,故sin<n,m >=√63.即二面角D-A 1C-E 的正弦值为√63.评析本题考查了线面平行的判定和性质,考查二面角的计算.考查了空间想象能力.正确求出平面的法向量是解题的关键.19.解析 (Ⅰ)当X ∈[100,130)时,T=500X-300(130-X)=800X-39 000,当X ∈[130,150]时,T=500×130=65 000.所以T={800X -39 000,100≤x <130,65 000,130≤X ≤150.(Ⅱ)由(Ⅰ)知利润T 不少于57 000元当且仅当120≤X ≤150.由直方图知需求量X ∈[120,150]的频率为0.7,所以下一个销售季度内的利润T 不少于57 000元的概率的估计值为0.7.(Ⅲ)依题意可得T 的分布列为T45 000 53 000 61 000 65 000 P 0.1 0.2 0.3 0.4所以ET=45 000×0.1+53 000×0.2+61 000×0.3+65 000×0.4=59 400.20.解析 (Ⅰ)设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),P(x 0,y 0),则x 12a 2+y 12b 2=1,x 22a 2+y 22b 2=1,y 2-y 1x 2-x 1=-1,由此可得b 2(x 2+x 1)a 2(y 2+y 1)=-y 2-y1x 2-x 1=1. 因为x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0,y 0x 0=12, 所以a 2=2b 2.又由题意知,M 的右焦点为(√3,0),故a 2-b 2=3.因此a 2=6,b 2=3.所以M 的方程为x 26+y 23=1. (Ⅱ)由{x +y -√3=0,x 26+y 23=1解得{x =4√33,y =-√33,或{x =0,y =√3. 因此|AB|=4√63. 由题意可设直线CD 的方程为y=x+n (-5√33<n <√3),设C(x 3,y 3),D(x 4,y 4).由{y =x +n,x 26+y 23=1得3x 2+4nx+2n 2-6=0. 于是x 3,4=-2n±√2(9-n 2)3.因为直线CD 的斜率为1,所以|CD|=√2|x 4-x 3|=43√9-n 2.由已知,四边形ACBD 的面积S=12|CD|·|AB|=8√69√9-n 2. 当n=0时,S 取得最大值,最大值为8√63. 所以四边形ACBD 面积的最大值为8√63.评析本题考查了直线和椭圆的位置关系,考查了解析几何中的中点问题和最值问题,计算量大,综合性较强.应充分重视方程思想和函数思想在解题中的作用.21.解析 (Ⅰ)f '(x) =e x -1x+m .由x=0是f(x)的极值点得f '(0)=0,所以m=1.于是f(x)=e x -ln(x+1),定义域为(-1,+∞), f '(x)=e x -1x+1.函数f '(x)=e x -1x+1在(-1,+∞)单调递增,且f '(0)=0,因此当x ∈(-1,0)时, f '(x)<0;当x ∈(0,+∞)时, f '(x)>0.所以f(x)在(-1,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增.(Ⅱ)当m ≤2,x ∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时, f(x)>0.当m=2时,函数f '(x)=e x -1x+2在(-2,+∞)单调递增.又f '(-1)<0, f '(0)>0,故f '(x)=0在(-2,+∞)有唯一实根x 0,且x 0∈(-1,0).当x ∈(-2,x 0)时, f '(x)<0;当x ∈(x 0,+∞)时, f '(x)>0,从而当x=x 0时, f(x)取得最小值. 由f '(x 0)=0得e x 0=1x0+2,ln(x 0+2)=-x 0, 故f(x)≥f(x 0)=1x 0+2+x 0=(x 0+1)2x 0+2>0. 综上,当m ≤2时, f(x)>0.评析本题考查了函数的极值、单调性,考查了构造函数证明不等式;考查了函数与方程思想,转化与化归的思想,对运算能力要求很高.22.解析 (Ⅰ)因为CD 为△ABC 外接圆的切线,所以∠DCB=∠A,由题设知BC FA =DCEA ,故△CDB ∽△AEF,所以∠DBC=∠EFA.因为B,E,F,C 四点共圆,所以∠CFE=∠DBC,故∠EFA=∠CFE=90°.所以∠CBA=90°,因此CA 是△ABC 外接圆的直径.(Ⅱ)连结CE,因为∠CBE=90°,所以过B,E,F,C 四点的圆的直径为CE,由DB=BE,有CE=DC,又BC 2=DB ·BA=2DB 2,所以CA 2=4DB 2+BC 2=6DB 2.而DC 2=DB ·DA=3DB 2,故过B,E,F,C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12.23.解析 (Ⅰ)依题意有P(2cos α,2sin α),Q(2cos 2α,2sin 2α),因此M(cos α+cos 2α,sin α+sin 2α).M 的轨迹的参数方程为{x =cosα+cos2α,y =sinα+sin2α(α为参数,0<α<2π). (Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d=√x 2+y 2=√2+2cosα (0<α<2π).当α=π时,d=0,故M 的轨迹过坐标原点.24.解析 (Ⅰ)由a 2+b 2≥2ab,b 2+c 2≥2bc,c 2+a 2≥2ca 得a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca ≤13.(Ⅱ)因为a 2b +b ≥2a,b 2c +c ≥2b,c 2a +a ≥2c,故a 2b +b 2c +c 2a +(a+b+c)≥2(a+b+c),即a 2b +b 2c +c 2a ≥a+b+c.所以a 2b +b 2c +c 2a ≥1.。

2013年普通高等学校招生全国统一考试理数(新课标Ⅱ卷)word版(含答案)

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共12小题。

每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x-1)2 < 4,x ∈R ｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M ∩N =( ）（A ）｛0，1，2｝（B ）｛-1，0，1，2｝（C ）{-1，0，2，3} （D ）{0，1，2，3}（2）设复数z 满足（1-i ）z=2 i ，则z = （）（A ）-1+i （B ）-1-i （C ）1+i （D ）1-i（3）等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，已知S 3 = a 2 +10a 1 ，a 5 = 9，则a 1=（）（A ）13 （B ）13- （C ）19 （D ）19-（4）已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β。

直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l l αβ⊄⊄，则（）（A ）α∥β且l ∥α（B ）α⊥β且l ⊥β（C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx ）(1+x )5的展开式中x 2的系数为5，则ɑ=（）（A ）-4 （B ）-3 （C ）-2 （D ）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的S=（A ）11112310++++L （B ）11112!3!10!++++L（C ）11112311++++L （D ）11112!3!11!++++L（7）一个四面体的顶点在空间直角坐标系O-xyz 中的坐标分别是（1，0，1），（1，1，0），（0，1，1），（0，0，0），画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到正视图可以为(A) (B) (C) (D)（8）设a=log 36，b=log 510，c=log 714,则（A ）c ＞b ＞a （B ）b ＞c ＞a （C ）a ＞c ＞b (D)a ＞b ＞c（9）已知a ＞0，x ，y 满足约束条件()133x x y y a x ⎧≥⎪+≤⎨⎪≥-⎩,若z=2x+y 的最小值为1，则a=(A) 14 (B) 12(C)1 (D)2（10）已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+c ，下列结论中错误的是（A ）∃x α∈R,f(x α)=0 （B ）函数y=f(x)的图像是中心对称图形（C ）若x α是f(x)的极小值点，则f(x)在区间（-∞,x α）单调递减（D ）若x 0是f （x ）的极值点，则()0'0f x =（11）设抛物线y 2=3px(p>0)的焦点为F ，点M 在C 上，|MF |=5，若以MF 为直径的圆过点（0，2），则C 的方程为（A ）y 2=4x 或y 2=8x （B ）y 2=2x 或y 2=8x （C ）y 2=4x 或y 2=16x （D ）y 2=2x 或y 2=16x （12）已知点A （-1，0）；B （1，0）；C （0，1），直线y=ax+b (a >0)将△ABC 分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（A ）（0，1）(B)211,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭( C) 211,23⎛⎤- ⎥ ⎦⎝(D) 11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题，每个试题考生都必修作答。

2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M ＝{x |(x －1)2＜4，x ∈R }，N ＝{－1,0,1,2,3}，则M ∩N ＝( )．A ．{0,1,2}B ．{－1,0,1,2}C ．{－1,0,2,3}D ．{0,1,2,3} 2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z 满足(1－i)z ＝2i ，则z ＝( )．A ．－1＋iB ．－1－IC ．1＋iD ．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝( )．A ．13B ．13-C ．19D ．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β.直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，lα，lβ，则( )．A ．α∥β且l ∥αB ．α⊥β且l ⊥βC ．α与β相交，且交线垂直于lD ．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( )．A ．－4B ．－3C ．－2D ．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N ＝10，那么输出的S ＝( )．A ．1111+2310+++B ．1111+2!3!10!+++C ．1111+2311+++D ．1111+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O －xyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a ＝log 36，b ＝log 510，c ＝log 714，则( )．A ．c ＞b ＞aB ．b ＞c ＞aC ．a ＞c ＞bD ．a ＞b ＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a ＞0，x ，y 满足约束条件1,3,3.x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝( )．A ．14 B．12 C ．1 D ．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．11,22⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．1123⎛⎤-⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

2013年高考全国Ⅱ理科数学试题

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国II ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2013年全国Ⅱ，理1，5分】已知集合{}2|(1)4),M x x x R =-<∈，{}1,0,1,2,3N =-，则M N =I （）（A ）{}0,1,2 （B ）{}1,0,1,2- （C ）{}1,0,2,3- （D ）{}0,1,2,3 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ，所以{}0,1,2M N =I ，故选A ．（2）【2013年全国Ⅱ，理2，5分】设复数z 满足(1i)2i z -=则z =（）（A ）1i -+ （B ）1i -- （C ）1i + （D ）1i - 【答案】A【解析】2i 2i(1i)1i 1i (1i)(1i)z +===-+--+，故选A ．（3）【2013年全国Ⅱ，理3，5分】等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知32110S a a =+，59a =，则1a =（）（A ）13 （B ）13- （C ）19（D ）19-【答案】C【解析】设数列{}n a 的公比为q ，若1q =，则由59a =，得19a =，此时327S =，而211099a a +=，不满足题意，因此1q ≠．∵1q ≠时，33111(1)·101a q q a a S q -=-=+，∴31101q q q-=+-，整理得29q =． ∵451·9a a q ==，即1819a =，∴119a =，故选C ．（4）【2013年全国Ⅱ，理4，5分】已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l m ⊥，l n ⊥，l α⊄，l β⊄，则（）（A ）//αβ且//l α （B ）αβ⊥且l β⊥ （C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l 【答案】D【解析】因为m α⊥，l m ⊥，l α⊄，所以//l α．同理可得//l β．又因为m ，n 为异面直线，所以α与β相交，且l 平行于它们的交线，故选D ．（5）【2013年全国Ⅱ，理5，5分】已知5(1)(1)ax x ++的展开式中2x 的系数是5，则a =（）（A ）4- （B ）3- （C ）2- （D ）1- 【答案】D【解析】因为5(1)x +的二项展开式的通项为5C 0)5(r rr r x ≤≤∈Z ，，则含2x 的项为 221552C C 105()x ax x a x +⋅=+，所以1055a +=，1a =-，故选D ．（6）【2013年全国Ⅱ，理6，5分】执行右面的程序框图，如果输入的10N =，那么输出的S =（）（A ）1111+2310+++L （B ）1111+2!3!10!+++L （C ）1111+2311+++L （D ）1111+2!3!11!+++L【答案】D【解析】由程序框图知，当1k =，0S =，1T =时，1T =，1S =；当2k =时，12T =，1=1+2S ；当3k =时，123T =⨯，111+223S =+⨯；当4k =时，1234T =⨯⨯，1111+223234S =++⨯⨯⨯；…；当10k =时，123410T =⨯⨯⨯⨯L ，1111+2!3!10!S =+++L ，k 增加1变为11，满足k N >，输出S ，所以B 正确，故选D ．（7）【2013年全国Ⅱ，理7，5分】一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是()1,0,1，()1,1,0，()0,1,1，()0,0,0，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx 平面为投影面，则得到的正视图可以为（）（A ）（B ）（C ）（D ）【答案】A【解析】如图所示，该四面体在空间直角坐标系O xyz -的图像为下图：则它在平面zOx 上的投影即正视图为A 图形，故选A ．（8）【2013年全国Ⅱ，理8，5分】设3log 6a =，5log 10b =，7log 14c =，则（）（A ）c b a >> （B ）b c a >> （C ）a c b >> （D ）a b C >> 【答案】D【解析】根据公式变形，lg6lg 21lg3lg3a ==+，lg10lg 21lg5lg5b ==+，lg14lg 21lg7lg7c ==+，因为lg7lg5lg3>>，所以lg 2lg 2lg 2lg7lg5lg3<<，即c b a <<，故选D ．（9）【2013年全国Ⅱ，理9，5分】已知0a >，,x y 满足约束条件13(3)x x y y a x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，若2z x y =+的最小值是1，则a =（）（A ）14 （B ）12（C ）1 （D ）2【答案】B【解析】由题意作出13x x y ≥⎧⎨+≤⎩所表示的区域如图阴影部分所示，作直线21x y +=，因为直线21x y +=与直线1x =的交点坐标为(1)1-，，结合题意知直线()3y a x =-过点(1)1-，，代入得12a =，故选B ．（10）【2013年全国Ⅱ，理10，5分】已知函数32()f x x ax bx c =+++，下列结论中错误的是（）（A ）0x R ∃∈，0()0f x = （B ）函数()y f x =的图象是中心对称图形（C ）若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间0(,)x -∞单调递减（D ）若0x 是()f x 的极值点，则0'()0f x = 【答案】C【解析】若0c =则有(0)0f =，所以A 正确．由32()f x x ax bx c =+++得32()f x c x ax bx -=++，因为函数32y x ax bx =++的对称中心为0,0（），所以32()f x x ax bx c =+++的对称中心为(0,)c ，所以B 正确．由三次函数的图象可知，若0x 是()f x 的极小值点，则极大值点在0x 的左侧，所以函数在区间0,x -∞（）单调递减是错误的，D 正确，故选C ．（11）【2013年全国Ⅱ，理11，5分】设抛物线22(0)y px p =≥的焦点为F ，点M 在C 上，5MF =，若以MF 为直径的圆过点0,2（），则C 的方程为（）（A ）24y x =或28y x = （B ）22y x =或28y x = （C ）24y x =或216y x = （D ）22y x =或216y x = 【答案】C【解析】设点M 的坐标为00()x y ，，由抛物线的定义，得052P MF x =+=，则052x p =-．又点F 的坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，所以以MF 为直径的圆的方程为()()0020p y y x x x y ⎛⎫- ⎭-⎪⎝-+=．将0x =，2y =代入得00840px y +-=，即0202480y y -+=，所以04y =．由0202y px =，得16252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，解之得2p =，或8p =．所以C 的方程为24y x =或216y x =，故选C ．（12）【2013年全国Ⅱ，理12，5分】已知1,0A -（），1,0B （），0,1C （），直线(0)y ax b a =+>将ABC ∆分割为面积相等的两部分，则b 的取值范围是（）（A ）0,1（）（B）1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ （C）1123⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（D ）11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【答案】B第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上（13）【2013年全国Ⅱ，理13，5分】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ⋅=u u u r u u u r______．【答案】2【解析】解法一：在正方形中，12AE AD DC =+u u u r u u u r u u u r ,BD BA AD AD DC =+=-u u ur u u u r u u u r u u u r u u u r ,所以2222111()()222222AE BD AD DC AD DC AD DC ⋅=+⋅-=-=-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．解法二：以AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A 的坐标为()0,0，点B 的坐标为()2,0，点D 的坐标为()0,2，点E 的坐标为()1,2，则()1,2AE =u u u r，()2,2BD =-u u u r，所以2AE BD ⋅=u u u r u u u r ．（14）【2013年全国Ⅱ，理14，5分】从n 个正整数1,2,3,4,5，…，n 中任意取出两个不同的数，若其和为5的概率是114，则n =__ ____．【答案】8【解析】从1,2，…，n 中任取两个不同的数共有2C n 种取法，两数之和为5的有()1,4，()2,3 2种，所以221C 14n=，即24111142n n n n ==(-)(-)，解得8n =．（15）【2013年全国Ⅱ，理15，5分】设θ为第二象限角，若1tan()42πθ+=，则sin cos θθ+=_______．【答案】【解析】由π1tan 1tan 41tan 2θθθ+⎛⎫+== ⎪-⎝⎭，得1tan 3θ=-，即1sin cos 3θθ=-．将其代入22sin cos 1θθ+=，得210cos 19θ=．因为θ为第二象限角，所以cos θ=，sin θ=sin cos θθ+= （16）【2013年全国Ⅱ，理16，5分】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知100S =，1525S =，则n nS 的最小值为_______．【答案】49-【解析】设数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，则1101109S =10210450a a d d ⨯=+=＋，①115115141521510525d S a d a =+⨯==+．② 联立①②，得13a =-，23d =，所以2(1)211032333n n n n S n n --+⨯=-=．令()n f n nS =，则32110()33f n n n =-，220'()3f n n n =-．令()0f n '=，得0n =或203n =．当203n >时，()0f n '>,200<<3n 时，()0f n '<，所以当203n =时，()f n 取最小值，而n +∈N ，则()648f =-，()749f =-，所以当7n =时，()f n 取最小值49-．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2013年全国Ⅱ，理17，12分】ABC ∆的内角的对边分别为,,,a b c 已知cos cos a b C c B =+．（1）求B ；（2）若2b =，求ABC ∆的面积的最大值．解：（1）由已知及正弦定理得sin sin cos sin sin A B C C B =+．① 又()A B C π=-+，故()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+．② 由①，②和0()C π∈，得sin cos B B =，又0()B π∈，，所以π4B =．（2）ABC ∆的面积1sin 24S ac B ac ==．由已知及余弦定理得22π2cos 44ac a c =+-．又222a c ac +≥，故ac ≤a c =时，等号成立．因此ABC ∆．（18）【2013年全国Ⅱ，理18，12分】如图，直三棱柱111ABC A B C -中，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点．12AA AC CB AB ===．（1）证明：1//BC 平面11A CD ；（2）求二面角1D ACE --的正弦值．解：（1）连结1AC 交1A C 于点F ，则F 为1AC 中点．又D 是AB 中点，连结DF ，则1//BC DF ．因为DF ⊂平面1ACD ，1BC ⊄平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ．（2）由AC CB AB ==得，AC BC ⊥．以C 为坐标原点，CA u u u r 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz -．设2CA =，则()1,1,0D ，()0,2,1E ，()12,0,2A ，()1,1,0CD =u u u r， ()0,2,1CE =u u u r ，()12,0,2CA =u u u r．设111()x y z =n ，，是平面1ACD 的法向量，则100CD CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n u u u r u u u r即11110220x y x z +=⎧⎨+=⎩，可取11(1)=--n ，，．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则10CE CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m u u u r u u u r可取2,1()2=-m ，．从而||||o c s =n?m n n m m 〈，〉，故sin ,3=n m ．即二面角1D ACE --（19）【2013年全国Ⅱ，理19，12分】经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t 该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t 亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t 该农产品．以X (单位：t ，100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量，T (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润（1）将T 表示为X 的函数；（2）根据直方图估计利润T 不少于57000元的概率；（3）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量[)100,110X ∈，则取105X =，且105X =的概率等于需求量落入[)100,110的频率)，求T 的数学期望．解：（1）当[)100,130X ∈时，()50030013080039000T X X X =--=-，当[]130,150X ∈时，50013065000T =⨯=．所以80039000,10013065000,130150X X T X -≤<⎧=⎨≤≤⎩．（2）由（1）知利润T 不少于57000元当且仅当120150X ≤≤．由直方图知需求量[]120,150X ∈的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57000元的概率的估计值为0.7．（3）依题意可得T所以450000.1ET =⨯+（20）【2013年全国Ⅱ，理20，12分】平面直角坐标系xOy 中，过椭圆M ：2222=1x y a b +(0ab>>)右焦点的直线0x y +-=交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为12．1（1）求M 的方程；（2）C ，D 为M 上两点，若四边形ACBD 的对角线CD AB ⊥，求四边形ACBD 面积的最大值．解：（1）设11()A x y ，，22()B x y ，，00()P x y ，，则221122=1x y a b +，222222=1x y a b+，2121=1y y x x ---，由此可得2212122121=1b x x y y a y y x x (+)-=-(+)-．因为1202x x x +=，1202y y y +=，0012y x =，所以222a b =．又由题意知，M的右焦点为)，故223a b -=．因此26a =，23b =．所以M 的方程为22=163x y +．（2）由220163x y x y⎧+-=⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3AB =．由题意可设直线CD 的方程为：y x n n ⎛=+<< ⎝，设33()C x y ，，44()D x y ，．由22163y x nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得2234260x nx n ++-=．于是3,4x =．因为直线CD 的斜率为1，所以43|x x CD -=由已知，四边形ACBD的面积1||||2S CD AB =⋅．当0n =时，SACBD．（21）【2013年全国Ⅱ，理21，12分】已知函数()ln()x f x e x m =-+．（1）设0x =是()f x 的极值点，求m 并讨论()f x 的单调性；（2）当2m ≤时，证明()0f x >．解：（1）()1e x mf x x =-'+．由0x =是()f x 的极值点得()00f '=，所以1m =．于是()()e ln 1x f x x =-+，定义域为()1-+∞，，()1e 1x f x x =-+'．函数()1e 1x f x x =-+'在()1-+∞，单调递增，且()00f '=．因此当()1,0x ∈-时，()0f x '<；当0()x ∈+∞，时，()0f x '>．所以()f x 在()1,0-单调递减，在(0)+∞，单调递增．（2）当2m ≤，()x m ∈-+∞，时，()()ln ln 2x m x +≤+，故只需证明当2m =时，()0f x >．当2m =时，函数()1e 2x f x x =-+'在()2-+∞，单调递增．又()10f '-<，()00f '>，故()0f x '=在()2-+∞，有唯一实根0x ，且()01,0x ∈-．当02()x x ∈-，时，()0f x '<；当0()x x ∈+∞，时，()0f x '>，从而当0x x =时，()f x 取得最小值．由()00f x '=得001e 2x x =+， ()00ln 2x x +=-，故()()20000011022f x x x x f x x (+)+=≥>++=．综上，当2m ≤时，()0f x >．请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时请写清题号．（22）【2013年全国Ⅱ，理22，10分】（选修4-1：几何证明选讲）如图，CD 为ABC ∆外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且 ··BC AE DC AF =，B ，E ，F ，C 四点共圆．（1）证明：CA 是ABC ∆外接圆的直径；（2）若DB BE EA ==，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值．解：（1）因为CD 为ABC ∆外接圆的切线，所以DCB A ∠=∠，由题设知BC DCFA EA=，故CDB AEF ∆∆∽，所以DBC EFA ∠=∠．因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以CFE DBC ∠=∠，故90EFA CFE ∠=∠=︒．所以90CBA ∠=︒，因此CA 是ABC ∆外接圆的直径．（2）连结CE ，因为90CBE ∠=︒，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE ，由DB BE =，有CE DC =，又22·2BC DB BA DB ==，所以222246CA DB BC DB =+=．而22·3DC DB DA DB ==，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与ABC ∆外接圆面积的比值为12．（23）【2013年全国Ⅱ，理23，10分】（选修4-4：坐标系与参数方程）已知动点P Q 、都在曲线2cos :2sin x tC y t =⎧⎨=⎩（t 为参数）上，对应参数分别为=t α与=2t α（02απ<<），M 为PQ 的中点．（1）求M 的轨迹的参数方程；（2）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点．解：（1）依题意有2cos (n )2si P αα，，2cos2(2)2sin Q αα，，因此cos cos ()2sin sin2M αααα++，．M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αααα=+⎧⎨=+⎩(α为参数，02απ<<)．（2）M 点到坐标原点的距离)02d απ=<<．当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点．（24）【2013年全国Ⅱ，理24，10分】（选修4-5：不等式选讲）设a ，b ，c 均为正数，且1a b c ++=，证明：（1）13ab bc ac ++≤；（2）2221a b c b c a++≥．解：（1）由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c a ca +≥，得222a b c ab bc ca ++≥++．由题设得()21a b c ++=，即2222221a b c ab bc ca +++++=．()31ab bc ca ∴++≤，即13ab bc ca ++≤．（2）因为22a b a b +≥，22b c b c +≥，22c a c a +≥，故()222(2)a b c a a b c c a b c b +≥++++++，即222a b c a b c b c a ≥++++．所以2221a b c b c a++≥．。

13级《高等数学I、II》(上)期末考试卷及答案

2013—2014学年第一学期《高等数学I 、II 》考试试卷（A 卷）一、填空题（每小题3分，共48分）1. 2()ln(1)f x x =-, 已知 000()(2)3lim2h f x f x h h →--=, =0x 13- .2. 2sin 10()0ax x e x f x x a x ⎧+-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a = 1- . 3. 函数32()391f x x x x =--+的既递减又上凸的区间是 (1,1)- .4. 21tx t y e ⎧=+⎨=⎩，则22d d y x 4t t． 5. 设)(x f 在0=x 点处连续，且0()lim12x f x x→=，那么(0)f '= 2 6. 222||2x x dx x -++⎰ ln3 .7.x y dye dx+=的通解为 y x e e c --=+ 8. 设3(1)f x x +=，则(1)f x '-= 23(2)x - ．9. 方程2610y e xy x ++-=确定隐函数()y y x =，则(0)y '= 0 。

10. 若函数)(x f 具有二阶连续导数，,0)()(21='='x f x f ),(0)( 21x f x f ''<<''则12(),().f x f x 的大小关系为 ).()(21x f x f >11. 变上限函数⎰21sin x tdt 的导数等于 2sin 2x x12. 设x ，x e ，x e -是二阶非齐次线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，则该方程的通解为x x e C x e C y x x +-+-=-)()(21。

得分13. 广义积分21(ln )edx x x +∞⎰= 1 。

14. 微分方程052=+'-''y y y 的通解为12(cos 2sin 2)x y e c x c x =+ 15. ⎰⎰'+=dx x f x c x dx x f )( ,sin )(2 2sin 2sin x x x C -+ .16. 函数x e x f -=)(的四阶麦克劳林公式是)(!!!443243211x o xx x x ++-+-二、计算题（满分24分，每小题6分）17.求020()lim (0,0)ln(1)xt t xx a b dt a b t dt→->>+⎰⎰)(b a ≠原式=-+→limln()x x x a b x 0212 3分=-+→lim ln ln x x x a a b b x 0412=14lna b 3分18、求曲线xex y 12-+=)(的渐近线。

2013年秋大连工大高数作业及答案

一大题一、单选题（共 10 道试题，共 60 分。

）1.题目见图片答案：B满分：6 分2.题目见图片答案：B满分： 63.题目见图片答案：C满分：6 分4.题目见图片答案：A满分：6 分5.题目见图片答案：C满分：6 分6.题目见图片答案：C满分：6 分7.题目见图片答案：D满分：6 分8.题目见图片答案：D满分：6 分9.题目见图片答案：C满分：6 分10.题目见图片答案：A分：6 分二、判断题（共 10 道试题，共 40 分。

）1. 函数y=f(x)与y=-f(x)的图形关于y轴对称A. 错误B. 正确答案：A满分：4 分2.题目见图片A. 错误B. B正确答案：B满分：4 分3.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：B 满分：4 分4.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：B 满分：4 分5.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：B 满分：4 分6.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：B满分：4 分7.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：A满分：4 分8.题目见图片A. 错误B. B 正确答案： A满分：4 分9.题目见图片A. 错误B. B 正确答案：A满分：4 分10. 函数y=x在（-1,1）内的最小值是-1A. A错误B. B 正确答案： A满分：4 分二大题、一、单选题（共 10 道试题，共 60 分。

）1. 题目见图片答案： C：6 6 分2. 题目见图片答案： C分：6 分3. 题目见图片答案： D分：6 分4. 题目见图片答案：B满分：6 分5. 题目见图片答案：C6 分6. 题目见图片答案：C分：6 分7. 题目见图片答案： D ：6 6 分8. 题目见图片答案：B ：6 6分9. 题目见图片答案： B：6 6分10. 题目见图片答案： D分：6 分二、判断题（共 10 道试题，共 40 分。

）1. 可导的偶函数的导数是偶函数.A. A 错误B.B 正确答案： A满分：4 分2. 可导的奇函数的导数是奇函数.A.A 错误B. B 正确答案：A满分：4 分3. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数A. A 错误B. B 正确答案： B满分：4 分4. 设曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴，那么该切线方程为y=f(1)A. A 错误B. B 正确答案：B满分：4 分5. 函数的导数是函数改变量与自变量改变量之比,当自变量改变量趋于0时的极限。

2013级高等数学II(1)试卷A

南
大
学
考
试
卷
专
用
纸
1 x . 1 x
本题得分
四、 (本题 10 分)证明：当 0 x 1 时 , e 2 x
1 4 x2 , (4) 设 f ( x) 2 x , 2 1 x
x0, 0 x 1, 求 f ( x 2)dx.
阅卷人
三、计算题(每小题 8 分, 共 32 分)
本题得分
一、填空题(每小题 4 分, 共 16 分)
.
1 1 (1) 求极限 lim x x 0 ln(1 x ) e 1
(1) 设函数 y x1 x ( x 0) , 则微分 dy
(2) 不定积分 tan 3 x dx
考试形式开卷（）、闭卷（√），在选项上打（√）开课教研室大学数学部命题教师命题组命题时间
2013-12
使用学期
1
13-14-1
总张数
3
教研室主任审核签字
d
江
xa (3) 设 lim te 2t dt , 求常数 a 的值. a x x a x
0 3
本题得分
五、 (本题 10 分)一条向上凸的光滑曲线连接点 O (0 , 0) 和 A (1 , 4) , 而 P ( x , y ) 为曲线上的任意一点 , 已知曲线与线段 OP 所围区域的面积为 x 4 3 , 求该曲线的方程 .
2
江
南
大
学
考
试
卷
专
用
纸
本题得分
六、 (本题 10 分)求抛物线 y x 在区间 ( 0 , 3 ) 内的一条切线 L , 使得该抛物线与切线 L 及直线 x 0 , x 3 所围平面图形绕 x 轴旋转所得旋转体的体积最小 , 并求此最小体积 .

2013年高考理科数学全国新课标卷2试题与答案word解析版

2013考研数学二真题答案

2013年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）设cos 1sin ()x x x α-=，其中()2x πα<，则当0x →时，()x α是（）（A ）比x 高阶的无穷小（B ）比x 低阶的无穷小（C ）与x 同阶但不等价的无穷小（D ）与x 等价的无穷小【答案】（C ）【解析】因为200sin ()cos 11limlim 2x x x x x x α→→-==-，所以0limsin ()0x x α→=，因此当0x →时，()0x α→，所以sin ()()x x αα，所以00sin ()()1lim lim 2x x x x x x αα→→==-，所以()x α是与x 同阶但不等价的无穷小。

（2）设函数()y f x =由方程cos()ln 1xy y x +-=确定，则2lim ()1n n f n→∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦（）（A ）2 （B ）1 （C ）1- （D ）2- 【答案】（A ）【解析】由于(0)1f =，所以2()(0)2lim ()1lim 22(0)2n n f f n n f f n n →∞→∞⎡⎤-⎢⎥⎡⎤'-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，对此隐函数两边求导得()sin()10y y xy xy y ''-++-=，所以(0)1f '=，故2lim ()12n n f n →∞⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦。

（3）设函数sin ,0()=2,2x x f x x πππ≤<⎧⎨≤≤⎩，0()()x F x f t dt =⎰，则（）（A ）x π= 是函数()F x 的跳跃间断点（B ）x π= 是函数()F x 的可去间断点（C ）()F x 在x π=处连续但不可导（D ）()F x 在x π=处可导【答案】（C ）【解析】0sin 1cos ,0()()sin 22(1),2x xxtdt x x F x f t dt tdt dt x x ππππππ⎧=-≤<⎪==⎨⎪+=-+≤≤⎩⎰⎰⎰⎰，由于lim ()lim ()2x x F x F x ππ→-→+==，所以()F x 在x π=处连续；()()1cos limlim 0x x F x F x x x πππππ→-→+---==--，()()2()lim lim 2x x F x F x x x ππππππ→+→+--==--，所以()F x 在x π=处不可导。

2013年考研数学(二)真题

2．设函数
y
f
(x) 由方程 cos(xy) ln
y
x
1
确定，则
lim
n
n
f
(
2 n
)
1
（
）。
（A）2
（B）1
（C）-1
（D）-2
sin x, 0 x
f (x)=
3．设函数
2,
x
x 2 ， F (x)
0
f (t)dt
，则（
）。
（A） x 是函数 F (x) 的跳跃间断点
（B） x 是函数 F (x) 的可去间断点
19．（本题满分 10 分）。
求曲线 x3 xy y3 1(x 0, y 0) 上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。
20．（本题满分 11 分）。
f (x) ln x 1
设函数
x，
（1）求 f (x) 的最小值。
ln （2）设数列{xn} 满足
xn
1 xn
1
，证明
lim
n
xn
存在，并求此极限。
2013 年全国硕士研究生招生考试数学（二）真题
一、选择题（1—8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求）
1．设 cos
x
1
x sin (x)
，其中
( x)
2
，则当
x
0
时， (x) 是（
）。
（A）比 x 高阶的无穷小（B）比 x 低阶的无穷小（C）与 x 同阶但不等价的无穷小（D）与 x 等价的无穷小
当 x 0 时，1 cos x cos 2x cos 3x 与 axn 为等价无穷小，求 n 与 a 的值。

2013年高考全国二卷理科数学试卷与答案

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅱ卷)数学(理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。

2. 回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3. 答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4. 考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题。

每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合M=｛x|(x+1)2 < 4,x∈R｝，N=｛-1，0，1，2，3｝，则M∩N=（）（A）｛0，1，2｝（B）｛-1，0，1，2｝（C）{-1，0，2，3} （D）{0，1，2，3}（2）设复数z满足（1-i）z=2 i，则z= （）（A）-1+i （B）-1-i （C）1+i （D）1-i（3）等比数列｛a n｝的前n项和为S n，已知S3 = a2 +10a1 ，a5 = 9，则a1= （）（A）错误!未找到引用源。

（B）- 错误!未找到引用源。

（C）错误!未找到引用源。

（D）- 错误!未找到引用源。

（4）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β。

直线l满足l ⊥m，l ⊥n，lβ，则（）（A）α∥β且l ∥α（B）α⊥β且l⊥β（C）α与β相交，且交线垂直于l （D）α与β相交，且交线平行于l（5）已知（1+ɑx）(1+x)5的展开式中x2的系数为5，则ɑ=（A）-4 （B）-3 （C）-2 （D）-1（6）执行右面的程序框图，如果输入的N=10，那么输出的s=（A）1+ 错误!未找到引用源。

+ 错误!未找到引用源。

+…+ 错误!未找到引用源。

（B）1+ 错误!未找到引用源。

+ 错误!未找到引用源。

2013年9月份百题精练(2)数学含答案

2013年9月份百题精练（2）数学试题(一）（理）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．集合{1,0,1}A =-，A 的子集中，含有元素的子集共有.（）A ．2个B ． 4个C ．6个D ． 8个2．已知复数(3)(3)2i i z i+-=-，则||z = （）A ． 55B ． 255C ．5D ．253．已知1tan 2α=，则2(sin cos )cos 2ααα+= ( ）A ． 2B ．2-C ． 3D ．3-4．阅读右边的程序框图,运行相应的程序，则输出i 的值为（）A ． 3B ． 4C ． 5D ． 6 5．设函数()y f x =()x R ∈的图象关于直线0x =及直线1x =对称，且[0,1]x ∈时，2()f x x =,则3()2f -=（ )A ． 12B ． 14C ． 34D ．946．在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如左图所示，则相应的侧视图可以为( )第6题图．7．设nS 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知342332,32Sa S a =-=-,则公比q =（）()()()()4328A B C D8．已知命题1p ：函数22xx y -=-在R 为增函数，2p ：函数22x x y -=+在R 为减函数，则在命题1q :12p p ∨，2q ：12p p ∧，3q ：()12p p ⌝∨和4q ：()12p p ⌝∧中，真命题是。

( )A ． 1q ，3qB ． 2q ，3qC ．1q ，4qD ． 2q ，4q9．已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线假定为直线、行驶、甲车、乙车的速度曲线分别为vv 乙甲和，那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是。

( ）A ．在1t 时刻，甲车在乙车前面B ． 1t 时刻后，甲车在乙车后面()01v t v v Ot t t甲乙9题图C ．在0t 时刻，两车的位置相同D ． 0t 时刻后，乙车在甲车前面10．为了迎接党的十八大胜利召开，北京某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒。

2012年9月份考试高等数学(II-2)第一次作业.docx

2012年9月份考试高等数学（II-2）第一次作业一、单项选择题（本大题共90分，共 30 小题，每小题 3 分）1. 下列阶数最高的微分方程是（）。

A. B.C. D.2. 在空间直角坐标系中，点 A(1,-2,3) 在：（）A. 第五卦限B. 第八卦限C. 第三卦限D. 第四卦限3. 下列方程表示抛物面的是（）A. x2+y2+z2=1B. x+y+z=1C. x+y2+z2=0D. x2-y2+z2=04. 方程x=2在空间表示( )A. yoz坐标面。

B. 一个点。

C. 一条直线。

D. 与yoz面平行的平面。

5. 微分方程x(y')2-2yy'+x=0是（）的。

A. 2阶B. 3阶C. 不能确定D. 1阶6. 下列二重积分的性质不正确的是（）A.B.C.D.7. 已知点 M(1,-4,8) ，则向量的方向余弦为（）A.B.C.D.8. 设,若则（）A. x=0.5 y=6B. x=-0.5 y=-6C. x=1 y=-7D. x=-1 y=-39. 点（ 4 ， -3 ， 5 ）到 oy 轴的距离为 ()A.B.C.D.10. 若limn→∞u n=0，则级数u n∞n=1（）A. 一定发散B. 一定条件收敛C. 可收敛也可发散D. 一定绝对收敛11. 收敛级数加括号后所成的级数（）A. 收敛但级数和改变B. 发散C. 收敛且级数和不变D. 敛散性不确定12. 级数的敛散性为( )A. 收敛B. 不能确定C. 可敛可散D. 可敛可散=5，则C=（）13. 函数x2-y2=C初始条件y|x=0A. 0B. 25C. 1D. -2514. 微分方程y'+y=0的通解是（）A. y=3sin x-4cos xB. y=Ce-x（C是任意常数）C. y= Ce x（C是任意常数）D. y=3sin x-4cos x+515. 设 u=a-b+2c,v=-a+3b-c . 则用 a,b,c 表示 2u-3v 为：（）A. 5a +11b+7cB. 5a -1b+7cC. 5a -1b-7cD. 5a -1b+7c16. 设a为常数，则级数 ( )A. 绝对收敛B. 条件收敛C. 发散D. 敛散性与a的值有关17. 点 A(1,-1,0) 的位置特征是（）A. A 位于 yOz 平面B. A位于xOy平面C. A位于z轴D. A位于x轴18. 微分方程的通解为（）。

2013高考全国2卷数学理科试题及答案详解

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(全国新课标卷II)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013课标全国Ⅱ，理1)已知集合M＝{x|(x－1)2＜4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝( )．A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2} C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}2．(2013课标全国Ⅱ，理2)设复数z满足(1－i)z＝2i，则z＝( )．A．－1＋i B．－1－I C．1＋i D．1－i3．(2013课标全国Ⅱ，理3)等比数列{a n}的前n项和为S n.已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝( )．A．13 B ．13-C．19 D．19-4．(2013课标全国Ⅱ，理4)已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )．A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l5．(2013课标全国Ⅱ，理5)已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝( )．A．－4 B．－3 C．－2 D．－16．(2013课标全国Ⅱ，理6)执行下面的程序框图，如果输入的N＝10，那么输出的S＝( )．A ．111 1+2310+++B．111 1+2!3!10!+++C．111 1+2311+++D．111 1+2!3!11!+++7．(2013课标全国Ⅱ，理7)一个四面体的顶点在空间直角坐标系O－xyz中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为( )．8．(2013课标全国Ⅱ，理8)设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )．A．c＞b＞a B．b＞c＞a C．a＞c＞b D．a＞b＞c9．(2013课标全国Ⅱ，理9)已知a＞0，x，y满足约束条件1,3,3.xx yy a x≥⎧⎪+≤⎨⎪≥(-)⎩若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )．A．14 B．12 C．1 D．210．(2013课标全国Ⅱ，理10)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )．A．∃x0∈R，f(x0)＝0B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝011．(2013课标全国Ⅱ，理11)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )．A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8xC．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x12．(2013课标全国Ⅱ，理12)已知点A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )．A．(0,1) B．112⎛⎫-⎪⎪⎝⎭ C．113⎛⎤⎥⎝⎦ D．11,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。

数2--13真题答案

2013年考研数学(二)试题答案速查一、选择题（1）C （2）A （3）C （4）D （5）A （6）B （7）B （8）B 二、填空题（9）12e （10（11）π12（12）π04y x +−−= （13）32e e e x x x x −− （14）1− 三、解答题(15)2,7n a ==. （16）a =（17）3416. （18）略.（19）最短距离为1,.（20）（Ⅰ）(1)1f =是最小值.（Ⅱ）lim 1n n x →∞=.(21) （Ⅰ）21e 4+.（Ⅱ）4233e 2e 34e 7−−−（）（）.（22）当0,1=−=b a 时,121121k k k k k ⎛++−⎫= ⎪⎭⎝C ,其中21,k k 为任意常数.（23）略.2013年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上．（1）【答案】C .【解答】因为cos 1sin ()x x x α−=，所以00sin ()cos 11limlim 2x x x x x x α→→−==−，则limsin ()0x x α→=. 再由π()2x α<，可知0lim ()0x x α→=，即当0x →时，1sin ()()2x x x αα−. 故选C . （2）【答案】A ．【解答】利用隐函数求导法则有1sin 1sin y xyy x xy y+'=−，且当0x =时，有1,(0)1y y '==.0012(2)1(2)1lim 1lim 2lim 2(0)22n t t t f t f t n n f f n t t →∞→→=⎡⎤−−⎛⎫'−=== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦. （3）【答案】C .【解答】由变现积分函数的性质可知)(x F 是连续函数.πππ()d 2()(π)(π0)lim lim lim ()0ππxx x x f t t F x F F f x x x −−−→→→−−−====−−⎰.ππππ(π)()d 2()(π)(π0)lim lim lim ()2ππx x x x F f t t F x F F f x x x +++→→→+−−+====−−⎰.)(x F 在πx =处左右导数不相等，故答案可选C.（4）【答案】D . 【解答】由题目条件e1111e 11()d d d (1)ln f x x x x x x xαα+∞+∞−+=+−⎰⎰⎰. 11ee e 111d d(ln )(ln )ln ln x x x x x x αααα+∞+∞+∞−++−==⎰⎰,可知0α>时收敛.()ee e121111211d (1)d (1)(1)2x x x x x ααααα−−−<−=−−−⎰⎰收敛.()ee11121d ln(1)(1)x x x αα−=−−⎰发散.所以，20<<α，故选D . （5）【答案】A . 【解答】由条件可得21()(),()()z y y z yf xy f xy y f xy f xy x x x x y x x∂∂''=−+=+∂∂ 所以，2()x z zyf xy y x y∂∂'+=∂∂.（6）【答案】B .【解答】由题目条件可知，积分()d d kD y x x y −⎰⎰关于,x y 轮换对称，所以130II ==.在第二象限，0y x −>，在四象限0y x −<，所以答案选B .（7）【答案】B ．【解答】对矩阵A,C 分别按列分块,不妨设12123(,),(,)n ==A αααC γγγ,1111n n nn b b b b ⎛⎫ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭B ．可见矩阵C 的列向量组可由矩阵A 的列向量组线性表出. 再B 可逆可得1−=CB A ，同理有矩阵A 的列向量组可由矩阵C 的列向量组线性表出,即二者等价,故选答案B ．（8）【答案】B ．【解答】不妨设11200,0011000a a b a b a ⎫⎛⎛⎫⎪ ⎪==⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎝⎭⎭⎝A B .因为211[(2)()2]11aa b a b a a λλλλλλλ−−−⎫⎛⎪ −=−−−=−−−⎪ ⎪−−−⎝⎭E A ，所以，当0a =时，矩阵A 的特征值分别为2,,0b ,且b 可为任意常数. 显然可得矩阵B 的特征值分别为2,,0b ,故选答案B .二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（9）【答案】12e .【解答】00ln(1)ln(1)1ln 111lim lim0ln(1)lim 2e ex x x x x x xxxx x x →→+⎧⎫⎡⎤++−⎨⎬−⎢⎥⎣⎦⎩⎭→+⎡⎤−==⎢⎥⎣⎦200011ln(1)11limlimlim2(1)22eeee x x x xx x x x x xx→→→−−+++====.（10）.【解答】由()x f x t =−⎰可知(1,0)x ∈−.又函数存在反函数，所以要求函数具有单调性，而()0f x '=>单调递增满足要求.因为d 1d d d y xy yx==，d ()d yf x x'==，且当0y =时得1x =−，所以d d y x y ==.（11）【答案】π12. 【解答】由极坐标下平面图形面积公式πππ22666π006111cos 6πd 2cos 3d d 22212S r θθθθθ−+====⎰⎰⎰.（12）【答案】π1ln 2042x y +−−=. 【解答】1=t 时对应的π1,ln 242x y ==，且21d 11d 12t x t t ===+，21d 1d 12t y t t t ===+ 所以，法线方程为1πln 2()24y x −=−−. （13）【答案】32e ee xxx x −+−.【解答】因为3222123e e ,e e ,e x xxxxy x y x y x =−=−=−，所以31323e ,e x xy y y y −=−= 为对应的齐次方程的解.因为二者线性无关，所以齐次方程的通解312e e x xy C C =+，故原方程的通解3212e e e x x xy C C x =+−.再由初始条件，解得121,1C C =−=，故可得结果.(14)【答案】1−.【解答】因为0ij ij a A +=，所以*T=−A A .再由*=AA A E ,得T−=AA A E ，有23−=A A .由于矩阵为三阶非零矩阵,所以ij A 不全为0.不妨设110a ≠,而2221112130a a a =−−−≠A ,所以1=−A .三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上．（15）（本题满分10分）解：01cos cos 2cos3lim n x x x x ax→−0cos 6cos 4cos 2114lim n x x x x ax →+++−= 1003cos 6cos 4cos 26sin 64sin 42sin 2lim lim44n n x x x x x x x xax anx −→→−−−++== 2036cos616cos 44cos 2lim4(1)n x x x xan n x−→++=−. 当2n =时极限存在，则2036cos 616cos 44cos 27lim1,4(1)n x x x x an n x a−→++==− 故7a =.所以2,7n a ==. （16）（本题满分10分）解：由旋转体积公式得：15523333π3ππ()d 055ax a V x x x a ===⎰， 177333036π2π()d 2π077a y a V x x x x a ===⎰，由已知条件知，10y x V V =，故736π7a 533π105a =，所以a =（17）（本题满分10分）解：直线8=+y x 与二直线x y y x 3,3==的交点分别为(6,2)和(2,6)，则积分区域D 可以分割为12,D D 两部分，所以，12222d d d d d d DD D x x y x x y x x y =+⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2368220233d d d d x xx x x x y x x y −=+⎰⎰⎰⎰62434022813241612833333x x x ⎛⎫=+−=+= ⎪⎝⎭.（18）（本题满分10分）证：（Ⅰ）因为()f x 在[]1,1−上的奇函数,所以(0)0f =.令()(),F x f x x =−xx y +x因为()f x 在[]1,1−上具有2阶导数,所以()F x 可导.因为(0)00,(1)1f f ===, 所以(0)(1)0F F ==.根据罗尔定理存在)1,0(∈ξ,使得0)(='ξF ,即1)(='ξf . （Ⅱ）令)1)(()(−'=x f e x G x.因为)(x f 为奇函数,故)(x f '为偶函数,所以()()1f f ξξ''=−=且()()0G G ξξ''=−=.由罗尔定理存在)1,1(),(−⊂−∈ξξη,使得,0)(='ηG 即1)()(='+''ηηf f .（19）（本题满分10分）解：设距离为d =构造拉格朗日函数2233(,,)()(1)L x y x y x xy y λλ=++−+−，令 22332(3)0,2(3)0,10,L x x y x Ly y x y L x xy y λλλ⎧∂=+−=⎪∂⎪∂⎪=+−=⎨∂⎪⎪∂=−+−=⎪∂⎩解得1x y ==，或0,1x y ==，或0,1y x ==. 当1x y ==当0,1x y ==或0,1y x ==，得1d =. 所以最短距离为1（20）（本题满分11分）解：（Ⅰ）由1()ln ,0,f x x x x =+>则22111()x f x x x x−'=−=. 令()0,1f x x '==是唯一驻点，且当01,()0,1,()0x f x x f x ''<<<>>当，所以1x =是()f x 的唯一极小值点，故(1)1f =是最小值. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，+111ln 1,ln 1n n n n x x x x ++<又已知,可得1111,n n n n x x x x ++><即, 所以{}n x 单调递增.又由+11ln 1n n x x +<可得ln 1,0n n x x e <<<，所以{}n x 有上界. 由单调有界定理，lim n x x →∞存在，设为A ,对于+11ln 1n n x x +<，两边取极限得1ln 1A A +,又1ln1AA+，所以1ln1AA+=，又由（Ⅰ）知1A=即lim1nnx→∞=.（21）（本题满分11分）解：（Ⅰ）设弧长为s，则1s x=⎰，因为11()22y x xx'=−，所以11s x x==⎰⎰21e11(ln)142x x x==+⎰21e4+=.（Ⅱ）由形心的横坐标公式得211e1ln242100e e221111d d(ln)dd d421111d d(ln)d(ln)d4242x xDDx x y x x x xx x yxx y x x x x x x−−−===−−⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰4233(e2e3)4(e7)−−=−. （22）（本题满分11分）解：由题意可设1234x xx x⎛⎫= ⎪⎭⎝C,则−=AC CA B成立的充要条件是方程组23124134230,1,1,,x axax x axx x xx ax b−+=⎧⎪−++=⎪⎨−−=⎪⎪−=⎩①有解. 对①的增广矩阵利用初等变换得010010111101010010111000010100000aa a aaa b b−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−−⎪ ⎪→⎪ ⎪−−+⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭.当1a≠−或0b≠时,线性方程组①无解.当0,1=−=ba时,线性方程组①有解,10111101110100011000000100000000000000aab−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−⎪ ⎪→⎪ ⎪+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，通解为1122131421,,,,x k k x k x k x k =++⎧⎪=−⎪⎨=⎪⎪=⎩（21,k k 为任意常数）.综上,当且仅当0,1=−=b a 时,存在满足条件的矩阵C ,使−=AC CA B ,且121121k k k k k ⎛++−⎫= ⎪⎭⎝C （21,k k 为任意常数）.（23）（本题满分11分）证明：（Ⅰ）记113x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭X ,由于()111231232123233(,,)2(,,),,a x f x x x x x x a a a a x a x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎪ ⎪=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦()111232123233(,,),,b x x x x b b b b x b x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦TTTTTTT(2)()(2)=+=+X ααX X ββX X ααββX , 又T T 2+ααββ为对称矩阵,所以二次型f 的矩阵为T T2=+A ααββ. （Ⅱ）记TT2=+A ααββ.由于α,β正交且均为单位向量,所以=A α2T T T (2)22+=+=ααββαααββαα,则a 为A 的对应于21=λ的特征向量；=A β2T T T (2)2+=+=ααβββααββββ,则β为A 的对应于21λ=的特征向量.又,TT()(2)()()()23r r r r r +=+=<A ααββαβ，所以30λ=也是矩阵A 的一个特征值,故f 在正交变换下的标准形为22122y y +.。

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