2009级《微积分A》第一学期阶段练习二留空
大学一年级上学期-微积分课后练习及答案-4-1-定积分的概念和性质
《微积分 A》习题解答
解:根据定积分的几何意义,∫a f ( x)dx 表示由曲线 y = f ( x)( x ∈ [−a, a]) 与 x 轴所围成 −a
的图形面积的代数和。由于函数 y = f ( x) 是连续的奇函数,其图像关于原点对称,因此函
数在区间[0, a] 上图形与在区间[−a, 0] 上图形一个位于 x 轴上方,一个位于 x 轴下方,这
度 Δxi
=
1 n
,取
ξ
i
=
xi
=
i n
,则 ∫01 e
x dx
=
ni
lim ∑ e n
n→ ∞ i=1
⋅1 n
=
lim
1
n
∑
e
i n
n→ ∞ n i=1
1
1
1
1
1
求公比为e n的 数列的前项和
lim
n→∞
1 n
⋅
e n [1 −
(e n
1
)n ]
=
lim
n→∞
1 n
⋅
en
(1 − e)
1
=
lim
x→+∞
(2) ∫ 1 2 xdx 0
解:根据定积分的几何意义,定积分
1 ∫
2 xdx
表示由直线
y
=
2x
、
x
=
1
以及
x
轴围成的
0
1
三角形面积,因此 ∫ 2xdx = 1 0
(3) ∫ 2π sin xdx 0
解:根据定积分的几何意义,
2π ∫
sin
xdx
表示由曲线
y
=
微积分同步练习参考答案
《微积分》同步练习一及其参考答案(一)、选择题1.()()x g x f '>'是()()x g x f >的(D ).A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分又非必要条件 解:如取 ()x x f 2=,()4+=x x g ,()1,0∈x 则()()12='>='x g x f ,但()().x g x f < 反之,如取()2=x f ,()1=x g ,()+∞∞-∈,x 则()()x g x f >,但()()x g x f '='. 2.设()x x x f ln =,则()x f (A ).A. 在⎪⎭⎫ ⎝⎛e 1,0内单调减少B. 在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1e 内单调减少C. 在()+∞,0内单调减少D. 在()+∞,0内单调增加 解:(一)()+∞=,0D (二)()x x f ln 1+='; (三)令()ex x f 101=⇒='.定义域内无不可导点. (四)列表判断:x ()1,0e⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,1e y ' — + y ↓ ↑ 根据上表知应选A.3.设()x f 在[]b a ,上连续,且()()b f a f =,但()x f 不恒为常数,则在()b a ,内(A ). A. 必有最大值或最小值 B. 既有最大值又有最小值 C. 既有极大值又有极小值 D. 至少存在一点ξ,使().0='ξf 解:根据基本结论知:()x f 在[]b a ,上连续,则()x f 在[]b a ,上必可取到最大值和最小值.又因为()()b f a f =,故()x f 的最大值与最小值不可能都在端点处取到(否则,()x f 在[]b a ,上必恒为常数),即()x f 在()b a ,内必有最大值或最小值.4.设()x f 在[]b a ,上有()0<'x f ,()0>''x f ,则曲线()x f y =在[]b a ,上(A ). A. 沿x 轴正向下降向上凹 B. 沿x 轴正向下降向下凹 C. 沿x 轴正向上升向上凹 D.沿x 轴正向上升向下凹 5.曲线1123+-=x x y 在()2,0内(B ).A. 上凹且单调增加B. 上凹且单调减少C. 下凹且单调增加D. 上凹且单调减少 解:(一)()+∞∞-=,D(二)()()2231232-+=-='x x x y ,x y 6=''; (三)令2,2021=-=⇒='x x y .无不可导点.令003=⇒=''x y ; (四)列表判断:x ()2,-∞- ()0,2- ()2,0 ()+∞,2 y ' + — — +y '' — —+ +y ↑⋂ ↓⋂ ↓⋃ ↑⋃ 根据上表知应选B. (二)、填空题6.设()x f 在()b a ,内可导,则()0<'x f 是在()b a ,内单调_________减少的,在________充分条件.7.函数()x f 在0x 处可导,()x f 在0x 取得极值的________必要条件是()________0.0='x f8.当()x f 的二阶导数存在,()00=''x f 是曲线在()()00,x f x 为拐点的________必要条件.9.若在一个区间,曲线总在它的每一点的切线上方,则曲线在这个区间是上凹的. 10.函数()4011≤≤+-=x x x y 在________0=x 取得最小值;在________4=x 取得最大值.解: (一)2)1(2+='x y ; (二)令0='y ,无解;在1-=x 处不可导(舍去);比较()10-=y ,()534=y 得最小值为()10-=y ,最大值为()534=y . 11.若曲线()3b ax y -=在()()3,1b a -处为拐点,则b a ,应满足关系是.________b a =解:()23b ax a y -=';()b ax a y -=''26.根据题意知()01=''y 即 ()062=-b a a 所以.b a = 12.函数x x y 4+=的单调减少区间为()________0,2-,()________2,0. 解:(一)()()+∞⋃∞-=,00,D ; (二)()22)2(241xx x x y -+=-='; (三)令2,2021=-=⇒='x x y .在定义域内无不可导点. (四)列表判断:x ()2,-∞- ()0,2- ()2,0 ()+∞,2 y ' + — —+y ↑ ↓ ↓ ↑ (三)解答与证明题13.研究下列函数的单调性. (1)x x y arctan -=解:函数的定义域().,+∞∞-=D 因为当()+∞∞-∈,x 时,01112>+-='x y , 所以x x y arctan -=在()+∞∞-,是单调增加的.(2)())0)11(>+=x xy x函数的定义域().,0+∞=D在x xy )11(+=两边取对数得)11l n (ln xx y +=,即 []x x x y ln )1ln(ln -+= ①① 两边关于x 求导得⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++='x x x x y y 111)11l n (.1x x +-+=11)11l n ( 故 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+⎪⎭⎫⎝⎛+='x x x y x11)11ln(11. ② 由不等式)0()1ln(11><+<+x x x x 知,当()+∞∈,0x 时,0>'y .所以x xy )11(+=在()+∞,0是单调增加的.(3)()21ln x x y ++=. 解:()'++++='22111xx xx y ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛'+++++=)1(121111222x x x x 函数的定义域().,+∞∞-=D 因为当()+∞∞-∈,x 时,0112>+='xy ,所以()21ln x x y ++=在()+∞∞-,是单调增加的. (4)342x x y -=. 解:(一)()+∞∞-=,D(二)⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-='23464223x x x x y(三)令()23,00321===⇒='x x x x f .无不可导点. (四)列表判断:x ()0,∞- ⎪⎭⎫⎝⎛23,0⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,23 y ' — — + y ↓ ↓ ↑所以342x x y -=在⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-23,上单调减少;在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,23上单调增加.(5)32)1(x x y -=.解:(一)()+∞∞-=,D ;(二)3313252.35.32)1(xx x x x y -=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+='-; (三)5201=⇒='x y ,在02=x 处不可导; (四)列表判断:x ()0,∞- ⎪⎭⎫⎝⎛52,0⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,52 y ' + — + y ↑ ↓ ↑所以32)1(x x y -=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡52,0上单调减少;在)0,∞-和⎪⎭⎫⎝⎛+∞,52单调增加.(6) xx y ln =解:(一)()()+∞⋃=,11,0D ; (二)xx y 2ln 1ln -='; (三)e x y =⇒='0;定义域内无不可导点; (四)列表判断:x ()1,0 ()e ,1 ),(+∞e y ' — — + y ↓ ↓ ↑所以xxy ln =在()1,0和()e ,1上单调减少;在[)+∞,e 上单调增加. 14.证明下列不等式(1)当0>x 时,xxx +>+1)1ln(.证明:原命题等价于()()01ln 1>-++x x x . 令()()()[)+∞∈-++=,0,1ln 1x x x x x f ,则()()()+∞∈>+=-++++=',0,0)1ln(111).1(1ln x x xx x x f . 所以,()()()[)+∞∈-++=,0,1ln 1x x x x x f 单增.故当0>x 时()()()()00arctan 1ln 1=>-++=f x x x x f ,即:当0>x 时,()xx x +>+11ln . (2)当0>x 时,21arctan π>+x x .证明:令()21arctan π-+=x x x f ,[)+∞∈,0x .则 ()().,0,011122+∞∈<-+='x x x x f 所以,()21arctan π--=x x x f 在[)+∞,0上单增.故当0>x 时()()0lim 21arctan =>--=+∞→x f x x x f x π,即:21arctan π>+x x .(3)当0>x 时,x x <arctan ;当0<x 时,x x >arctan .(或x x <arctan ); 证明:令()x x x f -=arctan ,. 则 ()().,,01112+∞∞-∈<-+='x xx f 所以,()x x x f -=arctan 在()+∞∞-,上单增. 故(i )当0>x 时,()()00=<f x f ,即:x x <arctan . (ii )当0<x 时,()()00=>f x f ,即:x x >arctan .(4)当0>x 时,221)1ln(1x x x x +>+++.证明:令()221)1ln(1x x x x x f +-+++=,[)+∞∈,0x . 则 ()()01ln 1ln 2=>++='x x x f ,[)+∞∈,0x .所以,()221)1ln(1x x x x x f +-+++=在[)+∞,0上单增. 故当0>x 时()()001)1ln(122=>+-+++=f x x x x x f ,即221)1ln(1x x x x +>+++.(5)当20π<<x 时,x x x 2tan sin >+.证明:令()x x x x f 2tan sin -+=,⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx .则 ()2s e c c o s 2-+='x x x f ,.2,0⎪⎭⎫ ⎝⎛∈πx .()xxx x x x x f 32c o s s i n 2s i n t a n .s e c 2s i n+-=+-='' ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1c o s 2s i n 3x x 0>,.2,0⎪⎭⎫⎝⎛∈πx 所以()x f '在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π单增,故当⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx 时,()()00='>'f x f ,从而()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π单增.所以当20π<<x 时,()()00=>f x f ,即x x x 2tan sin >+.15.求下列函数的极值(1)21x xy +=解法一:(一)()+∞∞-=,D ; (二)()()()()2222211111x x x x x y +-+=+-=';(三)1,1021=-=⇒='x x y ;无不可导点; (四)列表判断:x ()1,-∞- 1- ()1,1- 1 ),1(+∞y ' — 0 + 0 —y ↓ 极小21-↑ 极大21↓从上表可见,极小值为()211-=-y ;极大值为()211=y .解法二:第(一)、(二)、(三)步同解法一.(四)()()4253222124611x x x x x x y ++--='⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-=''.因为 ()0211>=-''y ,所以()211-=-y 为极小值. 因为 ()0211<-=''y ,所以()211=y 为极大值.(2)2332x x y -= 解:(一)()+∞∞-=,D ;(二)()16662-=-='x x x x y ;(三)1,0021==⇒='x x y ;无不可导点; (四)列表判断:x ()0,∞- 0 ()1,0 1 ),1(+∞y ' + 0 — 0 + y ↑ 极大0 ↓ 极小1- ↑从上表可见,极小值为()11-=y ;极大值为()00=y . 解法二:第(一)、(二)、(三)步同解法一. (四)612-=''x y 。
微积分第二章详细答案
第二章习题2-11. 证明:若lim n →∞x n =a ,则对任何自然数k ,有lim n →∞x n +k =a .证:由lim n n x a →∞=,知0ε∀>,1N ∃,当1n N >时,有n x a ε-<取1N N k =-,有0ε∀>,N ∃,设n N >时(此时1n k N +>)有n k x a ε+-<由数列极限的定义得 l i m n k x x a +→∞=.2. 证明:若lim n →∞x n =a ,则lim n →∞∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ,说明上述结论反之不成立.证:lim 0,,.使当时,有n x n x aN n N x a εε→∞=∴∀>∃>-<而 n n x a x a -≤- 于是0ε∀>,,使当时,有N n N ∃>n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-<由数列极限的定义得 l i m n n x a →∞=考察数列 (1)nn x =-,知lim n n x →∞不存在,而1n x =,lim 1n n x →∞=,所以前面所证结论反之不成立。
3. 证明:lim n →∞x n =0的充要条件是lim n →∞∣x n ∣=0.证:必要性由2题已证,下面证明充分性。
即证若lim 0n n x →∞=,则lim 0n n x →∞=,由lim 0n n x →∞=知,0ε∀>,N ∃,设当n N >时,有0 0n n n x x x εεε-<<-<即即由数列极限的定义可得 l i m 0n n x →∞=4. 利用夹逼定理证明:(1) lim n →∞222111(1)(2)nn n ⎛⎫+++ ⎪+⎝⎭ =0; (2) lim n →∞2!n =0. 证:(1)因为222222111112(1)(2)n n n nnn n n nn++≤+++≤≤=+而且 21lim0n n→∞=,2lim0n n→∞=,所以由夹逼定理,得222111lim 0(1)(2)n nn n →∞⎛⎫+++= ⎪+⎝⎭ . (2)因为22222240!1231nn n n n<=<- ,而且4lim 0n n →∞=,所以,由夹逼定理得2lim0!nn n →∞=5. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在. (1) x 1>0,x n +1=13()2n nx x +,n =1,2,…;(2) x 1x n +1,n =1,2,…;(3) 设x n 单调递增,y n 单调递减,且lim n →∞(x n -y n )=0,证明x n 和y n 的极限均存在.证:(1)由10x >及13()2n n nx x x =+知,有0n x >(1,2,n = )即数列{}n x 有下界。
微积分A第一学期期末试卷A及答案
《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级 学号 姓名 成绩一、求解下列各题(每小题7分,共35分) 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题(每小题7分,共28分)1 设当0→x 时,c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小,求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数,求.dx dy 4 求证:.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、(8分)设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导,又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =,上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件,并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线,记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ,(1) 求图形D 的面积;(2) 求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、(7分)求证:方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、(8分)一圆柱形桶内有500升含盐溶液,其浓度为每升溶液中含盐10克。
现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合),同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。
2009秋讨论课(2a)参考答案
第二次讨论课参考答案(微分法与微分应用)1.证明二元函数的拉格朗日中值定理:设有两点),(000y x P 和),(y x P ,二元函数),(y x f 在线段P P 0上处处存在连续偏导数.求证在线段P P 0上存在一点),(ηξ,使得),(00)(),(),(ηξx f kx f hy x f y x f ∂∂+∂∂+=.解:令0x x h -=,0y y k -=,则线段P P 0上的点可以表示为)10(),(00≤≤++t tk y ht x .且1,0=t 分别对应点),(000y x P 和),(y x P .在这条线段上,),(y x f 可以表示成参数t 的一元函数:)10(),()(00≤≤++=t tk y ht x f t g .其中),()0(00y x f g =,),()1(y x f g =.注意到),(y x f 具有连续偏导数,利用二元函数的复合函数微分法可以推出:一元函数)(t g 在]1,0[连续、在)1,0(可导.并且对于任意的)1,0(∈t ,有),(00)()(kt y ht x y f kxf ht g ++∂∂+∂∂='.对于一元函数)(t g 在]1,0[运用拉格朗日中值定理,得到)()0()1(θg g g '+=()10<<θ).由此立即得到)10()(),(),()(0000<<∂∂+∂∂+=+++θθθk y h x y f kx f hy x f y x f .这就是二元函数的微分中值定理.2.设),(y x f z =处处可微.b a ,不全等于零.求证满足方程y x z a z b '='的充要条件是存在一元函数)(u g ,使得)(),(by ax g y x f z +==. 提示:必要性:直接求偏导数验证. 充分性:考察直线C by ax =+的方向向量22),(ba ab v T +-=.方向导数0),(=⋅''=∂∂v z z vf y x.于是在直线C by ax =+上),(y x f 恒等于常数.即)(by ax g z +=.3. 设方程⎪⎩⎪⎨⎧==--0),(0),(y z xy G z y x y F 可以确定隐函数)(),(y z z y x x ==,求y z y x d d ,d d . 解:⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-'++'=-'+-'0)d d 1()d d (0)d d 1()d d 1(22121y zy y z G y x y x G y z F y x F .1'222212211)1(1d d G yF G F yG F yz yG F x G F yyx '-''''-+''+''=.G F y G F yG F yz G F y G F y x yz ''-'''-''+''+-=221'21222111)(d d .4.设)),(,()(22x x x f x g ϕ=,其中函数f 与ϕ 的二阶偏导数连续,求22d )(d xx g 。
高数必不挂-2008–2009年第1学期A解答 (2)
2008–2009年第1学期《高等数学A 》课程期末考试试卷解答 2009.1一、单项选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在题末的括号中) (本大题分3小题, 每小题3分, 共9分) 1、D 2、C 3、C 二、填空题(将正确答案填在横线上) (本大题分5小题, 每小题3分, 共15分) 1、21e 2、0=+ex y 3、3 4、21π+ 5、)1,1( 三 计算题(本大题分9小题,每小题7分,共63分)1、 解: xxxe x y e x y e x y ----='''-=''-=')3(,)2(,)1( 4分x n n e n x y ---=)()1()( 7分3、解:y xe e y yy'--=' 3分1+-='y yxe e y 6分e y y x -='==,1,0 7分4、解:内可导在上连续在)65,6(,]65,6[sin ln )(ππππx x f = 21ln )65()6(==ππf f 3分xx f x f cot )(]65,6[)(='上满足罗尔定理的条件在即 ππ 5分 0)(2)65,6(22,0)(='=+=='ξπξππππf k x x f 使内存在以上即在得令 7分7、解:t at dt dy t at dtdxsin ,cos ==,t dx dy t dx dy 22sec 1tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛+= ,,2分d y dxt at t tat 2223==sec cos sec , 4分 k d y dx dy dx =+⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎢⎤⎦⎥⎥222321 ==sec sec 231tat tat, 6分ππa kt 1==。
7分6、解:tdt t dx t x tan sec 2sec 2⋅== 令 2分C t tdt dt t t t t +==⋅⋅=⎰⎰sin 41cos 41tan 2sec 4tan sec 22 原式 6分.442C xx +-=7分 7、l 参数方程为x t y t z t =+=+=+⎧⎨⎪⎩⎪75454代入π方程,解得t =-1,故l ,π交点M 0为(,,)2313分过M 0与l 垂直的平面方程为54170x y z ++-=6分 所求直线为 325054170x y z x y z -+-=++-=⎧⎨⎩7分2、)2(u sin cos cos 20x duuu u-=+=⎰ππ原式⎰+=20cos sin cos πdx xx x4分所以原式=4cos sin cos sin 2120ππ=++⎰dx x x x x 7分 9、⎰⎰'+=ππ)(sin sin )(x f xd dx x x f 左边 3分=⎰⎰'-'⋅+πππ00cos )(|)(sin sin )(xdx x f x f x xdx x f 4分=⎰⎰--πππ00sin )(|cos )(sin )(xdx x f x x f xdx x f 6分=.2)0(,3)0()(=∴=+f f f π7分8、解:设},,{z y x d =,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=+-=-+14322032032zy x z y x z y x , 5分解答:x=-42,y=z=42,即}42,42,42{-=d。
A2009-2010学年第二学期《微积分》期末试题A
四川外语学院 2009-2010学年第二学期 《微积分》期末考试试卷(A ) 考试时间:120分钟 系部: 年级: 2009级 班级: 一.单项选择题 (共5小题,每小题4分,共20分) 1.已知x x f x f ,f x )3()(lim 1)0(0-='→则 A. 3 B. -3 C. 6 D. -2 2.过曲线x x y -+=44上一点(2,3)的切线斜率为( ) A. -2 B. 2 C. -1 D. 1 3.下列导函数错误的是( ) x x x D x x x C x x B x x A 22sin 1 )sin cos (.cos 1 )cos sin (.csc 1 )(cos .sec 1 )(sin .-='-='-='=' 4. .20sin cos 1lim x x x -→= ( ) A. 1 B. -1 C. 1/2 D. -1/25.dx xe x x ⎰-)(23= ( ) A.242141x x - B.C e x x +-2441 C.C e x x +-221414 D.C e x x ++421 二.填空题(共5小题,每小题4分,共20分)6.y=sin(x+y)的微分_____7._______1lim 2=++∞→xx x 8.函数29323=--=x x x y 在处取得极_______值9.dx x x )sec (2-⎰=_______ 10.设⎪⎩⎪⎨⎧+=-=322t t y t x 确定)(x y y =, 则22dx y d =_______.三.解下列各题(每小题7分,共5小题,共35分)11. xx e e xx x --→sin lim sin 0 12. 1,ln ==x dy x x y 求13. dx x x⎰cos14.当b a 、为何值时,函数0002)21()(<=>⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=x x x ,,,x b e x x f x a 在0=x 处连续15.已知2sin 2x y x +=,求22dx y d .四.证明题(6分)16.证明不等式x e x x +<-1)1(2 )0(>x五. 应用题(8分)17.将一长为a 的铁丝切成两段,并将其中一段围成正方形,另一段围成圆形。
09-10本微积分I(A)参考答案及评分标准(修改)
广东金融学院期末考试试题标准答案及评分标准 学期:2009—2010学年第一学期 考试科目:微积分I (A 卷) 出卷老师:李芳使用班级:09级本科班(除数学和计算机专业)标准答案和评分标准:一、填空题(每小题3分,共15分):1. 3;2. 1y x =+;3. ;1y =4. x (2ln x +1);5.评分标准:填对1题得3分,填错得0分。
二、单项选择题(每小题3分,共15分):6. A7. B8.B9. B 10. D评分标准:填对1题得3分,填错得0分。
三、计算题(每小题5分,共40分):11.原式=xx x x x x ln )1(1ln lim 1-+-→ …………1分 x xx x x x x x x x x ln 11ln lim 1ln 1ln 1lim 11+-=-+-+=→-→ …………3分 .21111lim 21=+=-→xx x x …………5分 12. 131sin lim 220-+→x x x =220321lim x x x ⋅→=.32= ……4分 ……5分13. 原式= )11ln(lim x x x e +∞→ …………2分= )11ln(lim 2x x x e +∞→=x x x e 1)11ln(lim 2+∞→ )e x xx 11lim 2(∞→或 …………3分 12lim 2+∞→=x xx e e (x x 1lim∞→或 ………4分 10==e ………5分 方法二:原式= x x x x x 1lim 22)11(lim ∞→⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∞→ …………3分10==e ………5分14. )()(arcsin arcsin'-+'+'='2422x x x x x y …………1分 )()(arcsin x x x x x 242121211222--+-+= ……4分 2x arcsin = ……5分15.y y '''=== ………2分 ……3分…………5分 …………5分16. 方程两边求微分22(ln )(sin )()()y y d y d x e d x x d e +=+ …………1分21cos 2y y dy xdx xe dx x e dy y+=+ …………3分 21()(2cos )y y x e dy xe x dx y -=- …………4分 所以 .1cos 2)1(cos 222dx ye x x y xye dx e x yx xe dy y y y y --=--= …………5分 17. 原式=⎰-x d xln ln 112 …………3分C x +=ln arcsin …………5分18. 原式=dx x sin 2202⎰π…………2分dx x sin 220⎰=π…………3分π0)x cos (22-= …………4分 .24= …………5分四、综合应用题(每小题8分,共24分):19. 函数定义域为),(+∞-∞, …………1分 求导得 ),2(363)(2-=-='x x x x x f …………2分 令0=')(x f ,得驻点x 1 =0, x 2 = 2. …………3分所以函数的单调增区间为(-∞,0)和 (2,+∞);单调减区间为(0,2) 。
2008-2009微积分BII(A)答案试卷
2008-2009学年第二学期〈微积分(B)II 〉期末考试试卷(A)答案一、填空题(每小题4分,共24分) 1.设dz x z y则,2==xdy x dx yx y y ln 2222+.2. 0),(),,(),,(====),,(都是由设z y x F y x z z z x y y z y x x 所确定的函数,且F 的一阶偏导数连续, xzz y y x F F F z y x ∂∂⋅∂∂⋅∂∂≠'''则,0= -1 . 3.设函数),ln(),,(222z y x z y x f ++=则此函数的梯度)(f grad =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++2222222222,2,2z y x z z y x y z y x x . 4. 交换二次积分的积分次序.后,⎰⎰--ydx y x f dy121),(= ⎰⎰--0121),(xdy y x f dx .5.⎰⎰∑+≥=++∑dS y x z z y x )(,0,122222则是上半球面设= 34π. 6.下列4个级数的收敛性(填收敛或发散)为(A)发散, (B)收敛, (C)收敛, (D)发散.(A)∑∞=+++13254321n n n n, (B)∑∞=++++++1)1()12)(1()9()92)(9(n n ne e e πππ , (C)∑∞=+-1)1ln()1(n n n , (D)∑∞=-+-1])1([)1(n n nn n . 评分:第4题差一个负号给3分。
第2题差一个负号给1分。
二、简单计算题(每小题6分,共36分) 7. 计算⎰⎰+Ddxdy y x)(22,其中D 是由1,0,2===x y x y 所围成的区域.解:原式=10526]31[]31[)(101640320221022=+=+=+⎰⎰⎰⎰==dx x x dx y y x dy y x dx x y y x .评分:第一个等号给4分,积分限3分(前1后2)。
微积分A(1)第2次习题课答案
+
n ,显然有 n +n
2
1 n(1 + n) 1 n(1 + n) 1 + n ⋅ < an < 2 ⋅ = 2 2 2n n +n n
两边取极限,由夹逼准则得到
n n
lim ∑
n→∞
1 k = 。 2 k +1 n + k
2
n
1 1 1 ⎛ 1 ⎞ ⎛ n −1⎞ (5) ⎜1 − ⎟ = ⎜ → , n → +∞ = ⎟ = n n −1 e ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ 1 ⎞ 1 ⎞ ⎛ ⎛ ⎛ n ⎞ ⎟ ⎟ ⋅ ⎜1 + ⎜1 + ⎟ ⎜ ⎝ n −1⎠ ⎝ n −1⎠ ⎝ n −1⎠
2 4 n →+∞
(1 + x
2n−1
(1 − x)(1 + x)(1 + x 2 )(1 + x 4 ) ) = lim n →+∞ 1− x (1 − x 2 ) 1 = lim = n →+∞ 1 − x 1− x
n
二、无穷大量 2.(教材 19 页第 6 题) 若 lim an = a ≠ 0 , lim bn = ∞ . 证明: lim an bn = ∞ .
*
,只要 n, m > N ,就有 | an − am |< ε 。
,只要 n, m > N ,就有 | an − am |< ε 。
(1)利用 Cauchy 收敛准则证明单调有界数列收敛; (2)利用区间套定理证明单调有界数列收敛。 证明: (1)假设 {a n } 为单调递增有上界的数列,但发散。 由 Cauchy 收敛准则,∃ε 0 > 0 ,∀N ∈
立信大一高数2009级本科《微积分(上)》期末试卷A(教考分离卷)答案
解: dy = e y dx + xe y dy
dy e = dx 1 - xe y x -1 7.求函数 y = 在 [0 , 4] 上的最大值,最小值。 x +1 2 > 0 函数单调增 解: y¢ = (1 + x)2 3 y min = y (0) = -1,y max = y (4) = 5 dx \
1分
3分
综上述: 当x ¹ 0, 时恒有e x > 1 + x
或:证:令 f ( x ) = e x - x - 1 , f ¢( x) = e x - 1 2分 3分 4分 5分 6分
6分
\ x < 0, f ¢( x ) < 0, f ( x ) ¯ f ( x ) > f (0) = 0, e x > 1 + x 同理,\ x > 0, f ¢( x ) > 0, f ( x) f ( x ) > f (0) = 0, e x > 1 + x 所以,当 x ¹ 0 时, e x > 1 + x 。
生产 20000 件产品时有最大利润为 340000 元 得 分 评卷人 五、证明题 (本大题 6 分) 证明:当 x ¹ 0 时, e x > 1 + x
2分 3分
4分 5分 6分 7分
证: 令f ( x ) = e x , 由拉格朗日中值定理知 e x - 1 = e x × x ( 式中x介于 0与x之间 ) 当x > 0, 0 < x < x,e x > 1, 得 e x - 1 > x即e x > 1 + x 当x < 0,x < x < 0, e x < 1则e x x > x 从而有e x - 1 > x, 即e x > 1 + x
大一微积分练习题及答案
《微积分(1)》练习题一.单项选择题1.设()0x f '存在,则下列等式成立的有( ) A . ()()()0000limx f x x f x x f x '=∆-∆-→∆ B .()()()0000lim x f xx f x x f x '-=∆-∆-→∆C .()()()00002limx f h x f h x f h '=-+→ D .()()()0000212lim x f h x f h x f h '=-+→2.下列极限不存在的有( )A .201sin lim xx x → B .12lim 2+-+∞→x x x xC . xx e1lim → D .()xx xx +-∞→632213lim3.设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( )A .x e 22--B .x e 2-C .x e 24-D . x xe 22--4.函数⎪⎩⎪⎨⎧>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为( )间断点。
A .跳跃间断点;B .无穷间断点;C .可去间断点;D .振荡间断点5. 设函数()x f 在[]b a ,上有定义,在()b a ,内可导,则下列结论成立的有( ) A . 当()()0<b f a f 时,至少存在一点()b a ,∈ξ,使()0=ξf ; B . 对任何()b a ,∈ξ,有()()[]0lim =-→ξξf x f x ;C . 当()()b f a f =时,至少存在一点()b a ,∈ξ,使()0='ξf ;D .至少存在一点()b a ,∈ξ,使()()()()a b f a f b f -'=-ξ; 6. 已知()x f 的导数在a x =处连续,若()1lim-=-'→ax x f ax ,则下列结论成立的有( )A .a x =是()x f 的极小值点;B .a x =是()x f 的极大值点;C .()()a f a ,是曲线()x f y =的拐点;D .a x =不是()x f 的极值点,()()a f a ,也不是曲线()x f y =的拐点; 二.填空: 1.设⎪⎭⎫⎝⎛=x f y 1arcsin,f 可微,则()='x y 2.若32325-+-=x x x y ,则()=6y3.过原点()1,0作曲线x e y 2=的切线,则切线方程为4.曲线()2142-+=x x y 的水平渐近线方程为 铅垂渐近线方程为 5.设x x f +='1)(ln ,则()='x f ()=x f三.计算题:(1)321lim 221-+-→x x x x (2)32lim +∞→⎪⎭⎫⎝⎛-x x x x(3)xx x x 3sin )1ln(lim 20+→ (4)()[]221ln x y -= 求dy(5)053=-+x y exy求=x dxdy四.试确定a ,b ,使函数()()⎩⎨⎧<-≥+++=0,10,2sin 1x e x a x b x f ax在0=x 处连续且可导。
微积分A( 二)课外项目题
2011-2012冬季学期课外项目题
以下4题中,第1题每人必做一份自己的解答.2-4题中任选2题.小组成员不得多于5人.( 另: 小测验在寒假开学后第一次课进行.)
1.总结你在不定积分和定积分计算中使用的方法和曾遇到的困难(可举具体不会做的积分题),是如何解决的?
2. 某段河道的河床截线呈抛物线型, 河两岸相距100m, 岸与河道最深处的垂直距离为10m. 为了抗洪, 现需要将河床改成如图所示梯型
状. 试问: (1)
量的几倍?
(2)在改造过程中, 将1m长的河道里挖出
1m
的淤泥运至河岸处至少需做多少功? (设3
3.一场降雪开始于午前某时刻,并持续到下午,雪量稳定.某人从正午开始清扫某条街的人行道,他的铲雪速度和清扫面的宽度均不变,到下午两点,他扫了两个街区,到下午四点,他又扫了一个街区.问:雪是从什么时候开始下的?可以认为他没有回头清扫已经扫过的路面上的雪.
4.建筑工程打地基时,需用汽锤将桩打进土层. 汽锤每次击打,都要克服土层对桩的阻力而作功. 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比(比例系数为k,k>0).汽锤第一次击打将桩打进地下a m. 根据设计方案,要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次击打时所作的功之比为常数r(0<r<1). 问
(1) 汽锤击打桩3次后,可将桩打进地下多深?
(2) 若击打次数不限,汽锤至多能将桩打进地下多深?。
2009年微积分(上册)期末考试卷含答案
4---○---○------○---○---………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题,密封线外不准填写考生信息,违者考试成绩按0分处理…………评卷密封线………… 中南大学考试试卷2009 ~2010学年 一 学期 微积分A 课程(时间:10年1月21日,星期四,15:20—15:00,共计:100分钟)一、填空题(本大题共5小题,每小题3分,总计15分)1.])2(sin 11sin[lim x x xx x x x x +++∞→= . 2. 函数32y ax bx cx d =+++满足条件 时, 这函数没有极值.3. 广义积分=-+∞⎰dx e x 20.4.幂级数nn n x n 30212∑∞=-的收敛半径=R ,收敛区间为 . 5.曲线⎪⎩⎪⎨⎧==++11222z z y x 的参数方程为 .4二、选择题(在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案,填在括号中,本大题共5小题,每小题3分,总计15分)1.当0→x 时,下列变量是无穷小量的是( ).(A )x1sin ; (B )x e 1; (C ))1ln(2x +; (D )xe .2.设xex f -=)(,则='⎰dx xx f )(ln ( ). (A )C x +-1; (B )C x x+ln 1; (C )C x+1; (D )C e x x +1.3. 若)(x f 是奇函数且)0(f '存在,则0=x 点是函数xx f x F )()(=的( ). (A )无穷间断点; (B )可去间断点; (C )连续点; (D )振荡间断点.4.如果b a ,是方程0)(=x f 的两个根,)(x f 在],[b a 上连续,在),(b a 内可导,那么方程0)(='x f 在),(b a 内( ).(A)只有一个根; (B)至少有一个根; (C)没有根; (D)以上结论都不对.5.无穷级数∑∞=--11)1(n pn n ,(0>p )敛散性是( ).(A)一定绝对收敛; (B)一定条件收敛; (C)一定收敛; (D)以上结论都不对.4三、(14分,每小题7分)按要求求下列函数的导数1.设0tan ln arcsin 2=+-y e y x x ,求40π==y x dxdy .2.设⎩⎨⎧==-tt ey te x ,求dx dy ,22dx y d . 四、(10分)已知由曲线2x y = 与)0(3>=c cx y 所围成平面图形D 的面积为32。
微积分(3)2009秋期末试题
+ xy − y )dx + (e x + y +
1 2 x )dy 。 2
解:设曲线 C 所围区域为 D ,由 Green 公式 原积分=
∫∫
D
dxdy = ∫ dt ∫
0
2π
cos6 t + sin 6 t
0
rdr =
2π
3π 。 16
( 我算得结果 π
5 8
, ∫ dt ∫
0
2π
cos 6 t + sin 6 t
14.
(6 分)设 f ( x) 是以 T 为周期的连续函数,而 y = ϕ ( x) 是方程
dy + y = f ( x) dx (1)
的解,且满足 ϕ (T ) = ϕ (0) .求证 ϕ ( x) 以 T 为周期。 证明:由 f ( x + T ) ≡ f ( x ) 知 ϕ ( x + T ) 也是方程(1)的解……………………(2 分) 证明
u = 4e − y + ce −2 y ,………………………….(2 分) dy = ± 4e − y + ce −2 y . dx
e y = x 2 + c1 x + c2 ……………………………(1 分)
(10 分) 求函数 f ( x, y ) = 2 xy + y 在闭圆域 x 2 + y 2 ≤
原积分= ∫∫ F ⋅ ndS …………………………………………………………………(1 分)
S
= ∫∫∫
0≤ z ≤ R 2 − x 2 − y 2
div( F )dV − ∫∫ F ⋅ ndS …………………………………………….(4 分)
大学一年级上学期-微积分课后练习及答案-4-3-不定积分
1.求下列不定积分.
(1) ∫ x xdx
习题 4.3(P236)
解: ∫ x
xdx
=
∫
3
x 2 dx
=
2 5
5
x2
+C
10x 3 + 3
(2) ∫ x 4 dx
解:
∫
10 x 3 + x4
3
dx
=
∫ (10 x −1
+
3 x −4 )dx
=
10 ln
x
−
x −3
+
C
(3) ∫ (1 − x)2 dx
∫
sin 1+
x cos x cos2 x
dx
=
−
1 2
∫
d(1 + cos2 x) 1 + cos2 x
=
−
1 2
ln(1 +
cos 2
x)
+
C
(12)
∫ cos2
x 2
dx (与本节习题
6(4)题目完全一样)
解: ∫ cos2
x 2
dx
=
1 2
∫ (1 +
cos x)
dx
=
1 (x 2
+
sin
x) +
∫
t
3
t3 −
t
2
6t 5dt
=
6∫
t6 dt
t −1
=
6∫
(t
6
− 1) + t −1
1
dt
= 6∫ (t 5
+ t4
微积分(上)A卷试题册(2009级)
微积分试卷A (09级)一、填空题(每小题2分,共10分)1、函数x x x y 31sin 3121sin 21sin ++=最小正周期为 。
2、若函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠-+=0,0,12sin )(2x a x x e x x f ax 在),(+∞-∞内连续,则=a 。
3、设,1sin )cos(22xx y = 则='y 。
4、已知1)1(=f ,若)(x f 满足方程0)()(=+'x f x f x ,则=)2(f ; 5、设C x dx xx f +=⎰ln )(,则⎰=xdx x f cot )(sin 。
二、单项选择题(每小题2分,共10分) 1、设函数)(x f 的定义域为]2,1[,则函数)ln 1(x f -的定义域为( )。
(A )]2ln 1,1[-; (B )]1,0(; (C )],1[e ; (D )]1,1[e。
2、=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→x x x e xx 2210arcsin 1sin lim ( )。
(A )0; (B )1; (C )2; (D )不存在。
3、已知)(,)(x f e y x f =二阶可导,则=''y ( )。
(A ))(x f e(B ))()(x f e x f '' (C ))]()([)(x f x f e x f ''+' (D ))]())([(2)(x f x f e x f ''+' 4、若)()(x f x f =-)(+∞<<-∞x ,在)0,(-∞内0)(>'x f 且0)(<''x f ,则在),0(+∞内有( )(A )0)(,0)(<''>'x f x f (B )0)(,0)(>''>'x f x f(C )0)(,0)(<''<'x f x f (D )0)(,0)(>''<'x f x f5、已知⎰+=C e dx xx f x )(,则⎰=dx x f )(( ). (A )C xe x + (B ))(C e x x +(C )C x e x ++)1( (D )C x e x +-)1(三、计算题(每小题7分,共56分)1、已知函数2)(x e x f =,x x f -=1)]([ϕ,且0)(>x ϕ。
09年微积分部分
2009年2+2高等数学考试微积分部分,总计76分一、填空题(12分) 1.函数 11,,)1ln()(<≥++⋅⎩⎨⎧=x x e b x a x f x在 1=x 处可导 , 则 a = , b = . 2.若函数 0)(≠x f 满足方程 1)(2)(02+=⎰xdt t f x f ,则)(x f = .3 . 二阶常系数线性非齐次微分方程 x y y sin ''=+ 的通解是 . 二、选择题(12分)1.二元函数 y x y x y x f ln ln 22),(22--+= 在其定义域内 ( ) . (A ) 有极小值 (B ) 有极大值(C ) 既有极大值也有极小值 (D ) 无极值2. R 为收敛半径的充分必要条件是 ( ) . (A )当 R x ≤ 时,∑+∞=1n nnx a收敛,且当 R x > 时∑+∞=1n n nx a发散(B ) 当 R x < 时,∑+∞=1n nnx a收敛,且当 R x ≥ 时∑+∞=1n n nx a发散(C )当 R x < 时,∑+∞=1n nnx a收敛,且当 R x > 时∑+∞=1n n nx a发散(D )当 R x R ≤<- 时,∑+∞=1n nnx a收敛,且当 R x > 或 R x -≤ 时∑+∞=1n n nx a发散3.已知二元函数 ),(y x f 在点 )0,0( 某邻域内连续 , 且 1),(lim 22330=+++→→yx y x y x f y x , 则( ).(A ) 点 )0,0( 不是二元函数 ),(y x f 的极值点 (B ) 点 )0,0( 是二元函数 ),(y x f 的极大值点 (C ) 点 )0,0( 是二元函数 ),(y x f 的极小值点 (D ) 无法判断点 )0,0( 是否是二元函数 ),(y x f 的极值点 三.计算题(36分)1. 已知 )ln 2ln (2),(y x y x y x f z +⋅+== ,在计算点 )1,2( 处函数值时,如果自变量 x 和 y 分别发生误差 02.0-=∆x 和 01.0=∆y , 试用二元函数的微分来估计此时产生的函数值误差 z ∆ 的近似值 .2.设函数 )(x f 在点 0=x 的邻域内 连续,极限 ])1ln(2)(3[lim 2xx x x f A x ++-=→ 存在 ,(1)求 )0(f 的值; (2)若 1=A ,问:)(x f 在点 0=x 处是否可导? 如不可导,说明理由;如可导,求出 )0('f .3. (1)已知广义积分dx e x 2-+∞∞-⎰是收敛的,试利用初等函数 x e 的幂级数展开式推导出这个广义积分的值大于1 的结论 ,详细说明你的理由(4 分) ;(2) 利用(1) 的结论,试比较dx ex xx 222)2(+-+∞⋅-⎰与dx e x xx2212)2(+-⋅-⎰的大小 ,详细说明你的理由 (5 分) .4.已知定义在全平面上的二元函数 32),()1(),(),(2+⋅++⋅=⎰⎰⎰Dd y x f x dx y x x f y x f σ ,其中 D 是由直线 x y =, 1=y 和 y 轴所围成的封闭平面区域,求 ),(y x f 的解析表达式 .四、应用题(10分)1. 设工厂生产 A 、B 两种相同用途但不同档次的产品。
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2009级《微积分A 》第一学期阶段练习二 2009.12
一、 填空
1 不定积分⎰=+++-dx x x
x x )]1ln(cos sin 1[2 . 2 不定积分⎰=-24x x dx
.
3 不定积分⎰=++))(1(22x x x dx .
4 不定积分=⎰dx x x |}|,min{2
. 5 已知,)(x
e x
f x
=则⎰=''dx x f x )( . 6 极限=-++⎰→1
1)1ln(lim 4sin 0
2x dt t x x . 7 定积分=-++⎰-dx x x x x 332293cos 2 . 8 利用定积分的定义计算极限=++++++∞→)12111(lim n
n n n n . 9 计算广义积分
⎰+∞∞--+dx e x x x ||)|(|= . 10 计算广义积分⎰-e x x dx 12)(ln 1= .
11 设有由参数方程⎪⎩
⎪⎨⎧-==⎰2122cos 21cos cos t udu u t t y t x 表示的曲线C ,则C 在参数1=t 对应点处的曲率半径为 .
12 设函数⎪⎩⎪⎨⎧<<--≥=-01110)(22x x
x xe x f x ,则=-⎰525)3(dx x f . 13 设)(u f 连续,⎰=x dt xt f x F 0)()(,则x
x F x )(lim 0→= .
14 曲线22,y x y x -==,及0=y 围成一平面图形 D ,则D 的面积= ;D 绕直线1-=x 轴旋转而成的立体的体积= .
二、 设()x F 是()x f 的一个原函数,且当0≥x 时,有()(),21-=
x e x F x f 已知,0)(,0)0(>=x F F 试求().x f
三、 设函数()x f 在],[b a 上连续且单调增加,证明:
()()().2⎰⎰≤+b
a b a dx x xf dx x f b a
四、圆周122=+y x 被极坐标方程为θ+=ρcos 1的心形线分割成两部分,求
这两部分的面积.
五、 设)(x f 在),(+∞-∞上连续,且⎰-=x
dt t f t x x F 0)()2()(. 证明: (1) 若)(x f 是偶函数,则)(x F 也是偶函数;
(2) 若)(x f 在),0(+∞是单调递减函数,则)(x F 是单调递增函数.
六、 设)(x f 在]1,0[上可导,且满足,)(5)1(51
0⎰=dx x xf f 证明:至少存在一点
),1,0(∈ξ使.)()(ξ
ξ-
=ξ'f f
七、 设2
0π<<t ,记由直线t x t x 2,==及0=y 与曲线)2(sin t x t x y ≤≤=所围成的曲边梯形为D ,且记由D 绕y 轴旋转而成的旋转体的体积为)(t V ,问t 为何值时)(t V 最大.
八、 有一半径为R ,长度为L 的圆柱体平放在深度为R 2的水池中(圆柱体的
侧面与水面相切),设圆柱体的比重为)1(>ρρ,现将圆柱体从水中移出水面,问需做多少功?。