《332简单的线性规划问题》教案

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高二数学人教A版必修5教学教案3-3-2简单的线性规划问题(7)

《简单的线性规划问题》教学设计一、教学内容解析线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，是辅助人们进行科学管理的数学方法，为合理地利用有限的人力、物力、财力等资源作出最优决策。

本节的教学重点是线性规划问题的图解法。

数形结合和化归思想是研究线性约束条件下求线性目标函数的最值问题的数学理论和方法，本节课重点体现了这一数学思想，将目标函数与直线的截距、斜率、两点距离联系起来，这样就能使学生对数形结合思想的理解和应用更透彻，为以后解析几何的学习和研究奠定了基础，使学生从更深层次地理解“以形助数”的作用。

二、教学目标设置（1）知识与技能：使学生了解线性规划的意义，利用数形结合及化归的数学方法，理解并掌握非线性目标函数及非线性约束条件下目标函数的最值求法；（2）过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力；（3）情态、态度与价值观：激发学生动手操作、勇于探索的精神，培养学生发现问题、分析问题及解决问题的能力，体会数学活动充满着探索与创造。

三、教学重点难点教学重点：求非线性目标函数的最值；教学难点：能将代数问题转化为斜率或距离等几何问题；四、学情分析本节课学生在学习了简单线性规划问题的基础上，会画出平面区域，并且会计算简单线性目标函数的最值。

从数学知识上看，学生在此基础上还学习过直线的斜率，两点距离问题，直线与圆的位置关系，具备本节课所需知识要素。

从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。

五、教学方法本课以例题为载体，以学生为主体，以数学实验为手段，以问题解决为目的，激发学生动手操作、观察思考、猜想探究的兴趣。

注重引导帮助学生充分体验“从具体到一般”的抽象过程。

应用“数形结合”的思想方法，培养学生学会分析问题，解决问题的能力。

六、教学过程。

教学设计1：3.3.2简单的线性规划问题（1）

3.3.2简单的线性规划问题（Ⅰ）【教学目标】1．知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2．过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3．情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。

【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题【教学难点】准确求得线性规划问题的最优解【教学过程】1.课题导入[复习提问]1、二元一次不等式Ax +By +C >0在平面直角坐标系中表示什么图形？2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项？3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。

2.讲授新课在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。

1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A 、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A 配件耗时1h,每生产一件乙产品使用4个B 配件耗时2h ，该厂每天最多可从配件厂获得16个A 配件和12个B 配件，按每天8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产x 、y 件，又已知条件可得二元一次不等式组：{ x +2y ≤84x ≤164y ≤12x ≥0y ≥0……………………………………………….（1）（2）画出不等式组所表示的平面区域：如下图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。

（3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x 件，乙产品y 件时，工厂获得的利润为z ,则z=2x+3y .这样，上述问题就转化为：当x,y 满足不等式（1）并且为非负整数时，z 的最大值是多少？把z=2x+3y 变形为y =−23+z 3，这是斜率为−23，在y 轴上的截距为z 3的直线。

高中数学五第三章3.3.2 简单的线性规划问题(第2课时)【教案】

3。

2简单线性规划问题（第2课时）一、教学目标1．知识目标：1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力；2、在变式训练的过程中，培养学生的分析能力、探索能力；3、会用线性规划的理论和方法解决一些较简单的实际问题。

2．能力目标: 1、了解线性规划的意义,了解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域和最优解等概念；2、理解线性规划问题的图解法；3、会利用图解法求线性目标函数的最优解；4、让学生体验数学来源于生活，服务于生活，体验应用数学的快乐。

3．情感目标: 1、培养学生学习数学的兴趣和“用数学"的意识,激励学生创新，鼓励学生讨论，学会沟通，培养团结协作精神；2、让学生学会用运动观点观察事物，了解事物之间从一般到特殊、从特殊到一般的辨证关系，渗透辩证唯物主义认识论的思想。

二、教学重点与难点:重点：1、画可行域；在可行域内,用图解法准确求得线性规划问题的最优；2、解经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力和意识。

难点：1、建立数学模型．把实际问题转化为线性规划问题；2、在可行域内，用图解法准确求得线性规划问题的最优解.三、教学模式与教法、学法教学模式：采用探究教学法,通过“猜想，验证,证明”来探究二元一次不等式（组)表示的平面区域，并通过讲练结合巩固所学的知识。

使用多媒体辅助教学.教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导．“抓三线”，即（一)知识技能线（二）过程与方法线（三）能力线。

“抓两点”,即一抓学生情感和思维的兴奋点,二抓知识的切入点.学法：突出探究、发现与交流．学法设计:引导学生通过主动参与、合作探讨学习知.来源:学四、教学过程：数学教学是数学活动的教学。

因此，我将整个教学过程分为以下六个教学环节:1、创设情境，提出问题；2、分析问题，解决问题，3、复习概念，回顾方法;4、实际应用，强化思想；5、自主思考，归纳总结;6、布置作业,巩固提高._五、教学过程设计①画出了可行域后用闪动的方式加以强调；②拖动直线l 平移，平移过程中可以显示z 值的大小变化。

《简单的线性规划问题》教学设计

《简洁的线性规划问题》教学设计一、教学内容分析线性规划是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支,主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产支配等问题，它是一种重要的数学模型。

简洁的线性规划指的是目标函数含两个变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。

涉及更多个变量的线性规划问题不能用初等方法解决。

与其它部分学问的联系，表现在：二、学情分析本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例，巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域，使学生从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，理解平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简洁的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题。

从数学学问上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量，多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的相识还很少，数形结合的思想方法的驾驭还需时日，这都成了学生学习的困难。

所以，通过这种从点与数对的对应，线与方程的对应，到平面区域与不等式组的对应的过渡和提升，使学生进一步理解数形结合思想方法的实质及其重要性。

三、设计思想本课以问题为载体，以学生为主体，以数学试验为手段，以问题解决为目的，以多媒体课件作为平台，激发他们动手操作、视察思索、猜想探究的爱好。

留意引导帮助学生充分体验“从实际问题到数学问题”的建构过程，“从详细到一般”的抽象思维过程，应用“数形结合”的思想方法，培育学生的学会分析问题、解决问题的实力。

四、教学目标1.使学生了解二元一次不等式表示平面区域；2.了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；3.了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简洁的实际问题4.培育学生视察、联想以及作图的实力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的实力5.结合教学内容，培育学生学习数学的爱好和“用数学”的意识，激励学生创新五、教学重难点教学重点：用图解法解决简洁的线性规划问题教学难点：精确求得线性规划问题的最优解。

简单的线性规划问题——教案

简单的线性规划问题（1）三维目标知识与能力：了解线性规划的常用术语、掌握确定二元一次不等式所表示的平面区域得方法过程与方法：通过实例介绍线性规划的常用术语，利用二元一次方程将平面分成两部分进而确定二元一次不等式所能表示的平面区域情感态度与价值观：通过学习，激发学生探索欲望、热爱数学学习的激情，引导正确的价值观、人生观，使学生不断建立信心，成为自主学习的真正主体。

教学过程：一．创设情景我们先考察生产中的遇到的一个问题：某工厂生产甲、乙两种产品，生产1吨甲种产品需要A 种原料4吨、B 种原料12吨，产生的利润为2万元；生产1吨乙种产品需要A 种原料1吨、B 种原料9吨，产生的利润为1万元。

现在库存A 种原料10吨、B 种原料60吨，如何安排生产才能使利润最大？设计划生产甲、乙两种产品的吨数分别为x,y ，利润为P （万元）。

根据题意，A,B 两种原料分别不得超过10吨和60吨，又常量不可能是负数，于是可得二元一次不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0060912104y x y x y x 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+002034104y x y x y x 因此，上述问题转化为如下的一个数学问题：在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+002034104y x y x y x 下，求出y x ,（满足约束条件的变量y x ,，称为可行解），使得利润y x 2+=P （含有两个变量y x ,的函数，称为：目标函数）达到最大（满足条件的y x ,称为最优解）●如何解决这个问题？二．教学生成我们分两步求解上面的问题：第一步研究问题中的约束条件，确定数对),(y x 的范围；第二步在第一步得到的数对),(y x 放入范围中，找出是的目标函数P 达到最大的数对),(y x 今天，我们先讨论解决这个问题的第一步。

如图1，直线104:=+y x l 将平面分成上、下两个半平面区域，直线l 上的点的坐标满足方程410x y +=，即104y x =-，直线l 上方的平面区域中的点的坐标满足不等式104y x >-，直线l 下方的平面区域中的2中的阴影部分（包括边界直线l ）。

简单的线性规划问题

三、新知建构，典例分析
某工厂用A,B两种配件生产甲,乙两种产品, 每生产一件甲种产品使用4个A配件耗时1h, 每生产一件乙种产品使用4个B配件耗时2h, 该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和 12个B配件,按每天工作8小时计算,该厂所有可能的日生产安排是什么?
若生产1件甲种产品获利2万元,生产1 件乙种产品获利3万元,采用哪种生产安排利润最大?
x2y 8
44
x y
16 12
象这样关于x,y一次不等式组的约束条件称为线性约束条件
x
0
Z=2x+3y称为目标函数,(因这里目标函数为关于x,y的一次式,又
y 0
称为线性目标函数
在线性约束下求线性目标函数的最值问题,统称为线性规划,
满足线性约束的解(x,y)叫做可行解, 所有可行解组成的集合叫做可行域使目标函数取得最值的可行解叫做这个问题的最优解
y4x z 3 28
z 28 是直线在y轴上
的截距，当截距最
5/7 M
小时，z的值最小。 3/7
3、移
如图可见，当直线z＝ 28x＋21y 经过可行域上的点M时，纵截距最小，即z最小。
o
3/7
y4x 3
/ 57 6/7 x
4、求 M点是两条直线的交点，解方程组
7 x 7 y 5
14x 7 y 6
二、新课引入，任务驱动
1、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法：
“直线定界、特殊点定域”
2、二元一次不等式组表示的平面区域
各个不等式所表示的平面区域的公共部分
二、新课引入，任务驱动
通过本节的学习你能掌握简单的线性规划问题的解法及步骤吗？
三、新知建构，典例分析

《3.3.3 简单的线性规划问题》教学案

第2课时《简单的线性规划的应用》教学案教学教法分析●三维目标1.知识与技能(1)巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；(2)会用画网格的方法求解整数线性规划问题；(3)能从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能给出解答；(4)培养学生的数学应用意识和解决问题的能力，培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力．2.过程与方法(1)引导学生学会如何使用网格法；(2)通过讲解实例，让学生感受线性规划中的建模问题，培养学生应用数学的能力．3．情感、态度与价值观(1)培养学生学数学、用数学的意识，并进一步提高解决问题的能力；(2)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新．●重点、难点重点：将实际问题转化为线性规划问题，并通过最优解的判断予以解决．难点：如何把实际问题转化为简单的线性规划问题，并准确给出解答．解决重点、难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解．为突出重点，突破难点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、数学问题几何化．教学方案设计●教学建议1．为了激发学生学习的主体意识，应面向全体学生，使学生在获取知识的同时，各方面的能力得到进一步的培养．根据本节课的内容特点，建议采用启发引导、讲练结合的教学方法，着重于培养学生分析、解决实际问题的能力以及良好的学习品质．2．学生在建立数学模型时，应主要分清已知条件中，哪些属于约束条件，哪些与目标函数有关，列出正确的不等式组．可采用分组讨论、各组竞争、自主总结、部分同学示范画图等方式，让学生更切身地在活动中探索出建模的一般规律，并在交流中找到自己的思维漏洞．●教学流程⇒引导学生探寻要求变量取整数的线性规划问题的解法，及最优整数解可能出现的位置.⇒通过例1及其变式训练使学生掌握利用线性规划解决收益最大问题的方法.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划解决耗费最小问题的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握整数线性规划问题的求法.⇒归纳整理进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.课前自主导学此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．课堂互动探究例1 2吨、二级子棉1吨，生产乙种棉纱需消耗一级子棉1吨，二级子棉2吨．每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过3 00吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少吨，才能使利润总额最大？【思路探究】由已知数据可列表如下：【自主解答】设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，那么利润总额z＝600x＋900y元，线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≤300，x ＋2y ≤250，x ≥0，y ≥0.作出其可行域如图所示．把z ＝600x ＋900y 变形为平行直线系l ：y ＝－23x ＋z900.由图可知当直线l 经过可行域上的点M 时，截距z900最大，即z 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝300，x ＋2y ＝250，得交点M (3503，2003)．所以应生产甲种棉纱3503吨，乙种棉纱2003吨．规律方法1．利用线性规划求最大值，主要是收益最大、效率最高、利润最大等问题，要将求最值的变量设为z ，将z 表示成其它变量的函数，求其最大值．2．对于线性规划问题，由于题干太长，数据太多，为便于理清数据间的关系，不妨用列表法．变式训练某公司计划在今年内同时出售某种多功能电子琴和一种智能型洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力等)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大，已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查得到关于这两种产品的有关数据如下表：【解】设月供应电子琴x 架、洗衣机y 台，依题意得：⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ≤300，5x ＋10y ≤110，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .目标函数为z ＝6x ＋8y ，不等式组表示的平面区域如图所示．作直线l ：6x ＋8y ＝0，即作直线l ：3x ＋4y ＝0.把直线l 向右上方平移，当直线l 经过可行域中的点M 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧30x ＋20y ＝300，5x ＋10y ＝110，得点M 的坐标为(4，9)，将M (4，9)代入z ＝6x ＋8y ，得z ＝6×4＋8×9＝96.所以当月供应量为电子琴4架、洗衣机9台时，才能使总利润最大，最大总利润为9600元.例2 0.06 kg 的蛋白质，0.06 kg 的脂肪.1 kg 食物A 含有0.105 kg 碳水化合物，0.07 kg 蛋白质，0.14 kg 脂肪，且食物A 的价格为28元/kg ；而1 kg 食物B 含有0.105 kg 碳水化合物，0.14 kg 蛋白质，0.07 kg 脂肪，且食物B 的价格为21元/kg .为了满足营养专家指出的日常饮食要求．同时使花费最低，需要同时食用多少食物A 和食物B ？【思路探究】将已知数据列成下表：【自主解答】设每天食用x k g 食物A ，y k g 食物B ，总成本为z 元，则⎩⎪⎨⎪⎧0.105x ＋0.105y ≥0.075，0.07x ＋0.14y ≥0.06，0.14x ＋0.07y ≥0.06，x ≥0，y ≥0，①目标函数为z ＝28x ＋21y . 二元一次不等式组①等价于⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋7y ≥5，7x ＋14y ≥6，14x ＋7y ≥6，x ≥0，y ≥0.②作出二元一次不等式组②所表示的平面区域(如图所示)，即为可行域．考虑z ＝28x ＋21y ，将它变形为y ＝－43x ＋z 21，这是斜率为－43且随z 变化的一族平行直线，z21是直线在y 轴上的截距，当z21取最小值时，z 的值最小．当然直线要与可行域相交，即求在满足约束条件时目标函数z ＝28x ＋21y 的最小值．由图可知当直线z ＝28x ＋21y 经过可行域上的点M 时，截距z21最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧14x ＋7y ＝6，7x ＋7y ＝5，得M (17，47)．所以为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用17kg 食物A 和47kg 食物B .规律方法1．利用线性规划求最小值，可以用来解决许多实际问题，诸如省钱，省工，省材料等问题．2．利用线性规划解决实际问题，建立约束条件往往是关键的一步，设出未知数后，应特别注意文字语言与符号语言的转换，以免因审题不细或表达不当而出现错误．变式训练医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配营养餐．甲种原料每10 g 含5单位蛋白质和10单位铁质，售价3元；乙种原料每10 g 含7单位蛋白质和4单位铁质，售价2元．若病人每餐至少需要35单位蛋白质和40单位铁质．试问：应如何使用甲、乙原料，才能既满足营养，又使费用最省？【解】设甲、乙两种原料分别用10x g 和10y g ，总费用为z ，那么⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋7y ≥35，10x ＋4y ≥40，x ≥0，y ≥0，目标函数为z ＝3x ＋2y ，作出可行域如图．把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，得到斜率为－32，在y 轴上的截距为z2，随z 变化的一族平行直线．由图可知，当直线y ＝－32x ＋z 2经过可行域上的点A 时，截距z2最小，即z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧10x ＋4y ＝40，5x ＋7y ＝35，得A (145，3)，∴z min ＝3×145＋2×3＝14.4.∴甲种原料145×10＝28(g )，乙种原料3×10＝30(g )，费用最省.例3 的小钢板的块数如下表所示：今需要A ，B 所需的三种规格的成品，且使所用钢板的张数最少？【思路探究】设截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张．【自主解答】设需截第一种钢板x 张，第二种钢板y 张，共使用钢板z 张，则⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥15x ＋2y ≥18，x ＋3y ≥27，x ≥0，y ≥0，且x ，y 都是整数，求使目标函数z ＝x ＋y 取最小值时的x ，y . 作可行域如图所示，平移直线z ＝x ＋y ，可知直线经过点(185，395)时z 取最小值，此时x ＋y ＝575，但185与395都不是整数，所以可行域内的点(185，395)不是最优解．因为非整点最优解为(185，395)，z ＝575，所以z ≥12.令x ＋y ＝12，则y ＝12－x ，代入约束条件整理得3≤x ≤92，所以x ＝3或x ＝4，这时最优整点为(3，9)和(4，8)．故有以下两种截法：第一种截法是截第一种钢板3张、第二种钢板9张；第二种截法是截第一种钢板4张、第二种钢板8张．最少要截两种钢板共12张．规律方法1．当变量为车辆、产品个数、钢板块数等数量时，应为整数，利用线性规划求最值，最优解也应为整数．2．若按常规方法求出的不是整数解，可按以下方法调整：(1)平移直线法：先在可行域中画网格，再描整点，平移直线l 0，最先经过或最后经过的整点坐标就是最优解．(2)调整优值法：先求非整点最优解，再借助于不定方程知识调整最优值，最后筛选出整点最优解．变式训练预计用2 000元购买单价为50元的桌子和单价为20元的椅子，希望使桌子、椅子的总数尽可能多，但椅子数不少于桌子数，且不多于桌子数的1.5倍，则买桌子、椅子各多少才行？【解】设买桌子x 张、买椅子y 把．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ≤y ，y ≤1.5x ，50x ＋20y ≤2 000，x ，y ∈N ，目标函数为z ＝x ＋y ，满足以上不等式组的可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1.5x ，50x ＋20y ＝2000，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝25，y ＝752，∴点B 的坐标为(25，752)．作直线l ：x ＋y ＝0，将直线向右上方平移，当直线l 经过可行域中的点B 时，z 取得最大值． ∵x ，y ∈N ，∴y ＝37. ∴应买桌子25张、椅子37把.易错易误分析可行域内整点寻找错误典例有一批钢管，长度都是4000 mm ，要截成500 mm 和600 mm 两种毛坯，且这两种毛坯数量比大于13，要使钢管截得的毛坯最多，怎样截最合理？【错解】设每根钢管截500 mm 的毛坯x 根，600 mm 的毛坯y 根，则x ，y 满足的约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4000，xy ＞13，x ＞0，y ＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋6y ≤40，y ＜3x ，x ＞0，y ＞0，其中x ，y 均为正整数．作出可行域，如图所示．目标函数为z ＝x ＋y .作一族平行线y ＝－x ＋z ，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线为过A 点的直线，求出A 点的坐标．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，5x ＋6y ＝40，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝11723，y ＝5523.所以A (11723，5523)由于x ，y 均为正整数，故调整为x ＝2，y ＝5. 所以x ＋y ＝7.经检验，满足条件，所以每根钢管截500 mm 的毛坯两根，600 mm 的毛坯五根最合理．【错因分析】本题错误的原因是：①没能准确作出一族平行直线y ＝－x ＋z ；②可行域内的整点寻找不准确．【防范措施】准确作图，充分考虑实际问题的特殊性．当图上的整点不好分辨时，应将几个有可能符合题意的整点的坐标都求出来然后逐一检验，而不能采取“四舍五入”的办法．【正解】设每根钢管截500 mm 的毛坯x 根，600 mm 的毛坯y 根．根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧500x ＋600y ≤4000，xy ＞13，x ＞0，y ＞0，且x ，y 均为正整数．作出可行域，如图3－3－62所示．目标函数为z＝x＋y，作一族平行直线y＝－x＋z，经过可行域内的点且和原点距离最大的直线必为过点B(8，0)的直线，这时x＋y＝8.因为x，y均为正整数，所以(8，0)不是最优解．在可行域内找整点，使x＋y＝7.经验证，可知点(2，5)，(3，4)，(4，3)，(5，2)，(6，1)均为最优解．答：每根钢管截500mm的毛坯两根，600mm的毛坯五根，或截500mm的毛坯三根，6 00mm的毛坯四根，或截500mm的毛坯四根，600mm的毛坯三根，或截500mm的毛坯五根，600mm的毛坯两根，或截500mm的毛坯六根，600mm的毛坯一根最合理．1．基础知识：(1)实际应用问题的最优解；(2)整数线性规划；(2)用线性规划解决实际问题的一般步骤．2．基本技能：(1)收益最大问题；(2)耗费最小问题；(3)简单的整数线性规划问题． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)转化与化归思想； (3)函数思想.当堂双基达标1．有5辆载重6吨的汽车，4辆载重4吨的汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为________．【解析】设6吨的有x 辆，4吨的有y 辆，运送货物吨数为z ，则z ＝6x ＋4y . 【答案】 z ＝6x ＋4y2．某厂生产甲产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 1 kg ，b 1 kg ，生产乙产品每千克需用原料A 和原料B 分别为a 2 kg ，b 2 kg ，甲、乙产品每千克可获得的利润分别为d 1元，d 2元，月初一次性购进原料A ，B 各c 1 kg ，c 2 kg ，本月要生产甲产品和乙产品各多少千克才能使月利润总额达到最大；在这个问题中，设全月生产甲、乙两种产品分别为x kg ，y kg ，月利润总额为z 元，那么，用于求使总利润最大的数学模型中，约束条件为________．【解析】对原料A 的限制：a 1x ＋a 2y ≤c 1，对原料B 的限制：b 1x ＋b 2y ≤c 2，另外甲、乙两种产品产量x ≥0，y ≥0.【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1x ＋a 2y ≤c 1b 1x ＋b 2y ≤c2x ≥0y ≥03．某著名品牌汽车零件生产企业生产甲、乙两种汽车配件，已知生产每万件甲种配件要用A 原料3吨，B 原料2吨，生产每万件乙种配件要用A 原料1吨，B 原料3吨，销售每件甲种配件可获得利润5元，每件乙种配件可获得利润3元．已知该企业在一年内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业在一年内可获得的最大利润是________．【解析】设生产甲种配件x 万件，生产乙种配件y 万件，利润为z 万元．则根据题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，y ＞0，3x ＋y ≤13，2x ＋3y ≤18，目标函数为z ＝5x ＋3y .作出可行域如图所示，则可知A (133，0)，B (0，6)，C (3，4)．由图形可知，目标函数在点C (3，4)处取得最大值，最大值为5×3＋3×4＝27.【答案】 27万4．甲、乙两个居民小区的居委会组织本小区的中学生利用双休日去市郊的敬老院参加献爱心活动，两个小区都有同学参加．已知甲区的每位同学往返车费是3元，每人可为5位老人服务，乙区的每位同学在返车费是5元，每人可为3位老人服务，如果要求乙区参与活动的同学比甲区的同学多，且去敬老院的往返总车费不超过37元，怎样安排甲、乙两区参与活动同学的人数，才能使受到服务的老人最多？受到服务的老人最多是多少？【解】设甲、乙两区参与活动的人数分别为x ，y ，受到服务的老人的人数为z ，则z ＝5x ＋3y ，应满足的约束条件是⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥1，3x ＋5y ≤37，x ≥1，y ≥1，x ，y ∈N .根据上述不等式组，作出表示可行域的平面区域中的整点，如图所示阴影部分中的点所示．画直线l 0：5x ＋3y ＝0，平行移动l 0到直线l 的位置，使l 过可行域内的点M ，该点到直线l 0的距离最大，则这一点的坐标使目标函数取得最大值，解方程⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝－1，3x ＋5y ＝37，得点M (4，5)．因此当x ＝4，y ＝5时，z 取得最大值，并且z max ＝5×4＋3×5＝35.答：甲、乙两区参与活动的同学人数分别为4人和5人时，受到服务的老人最多，受到服务的老人最多是35人.课后知能检测一、填空题1．车间有男工25人，女工20人，要组织甲、乙两种工作小组，甲组有5名男工，3名女工，乙组有4名男工，5名女工，并且要求甲种组数不少于乙种，乙种组数不少于1，求各自最多组成的工作小组数．要建立的数学模型中，约束条件为________．【解析】设组成甲种组x 组，乙种组y 组，则对男工人数的限制为5x ＋4y ≤25，对女工人数的限制为3x ＋5y ≤20，组数限制x ≥y ≥1，故约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，1≤y ≤x ..【答案】 ⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y ≤25，3x ＋5y ≤20，1≤y ≤x .2．某同学拿50元钱买纪念邮票，票面8角的每套5张，票面2元的每套4张，如果每种至少买两套，共有________种买法．【解析】设票面8角的买x 套，票面2元的买y 套．由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ∈N *，y ≥2，y ∈N *，0.8×5x ＋2×4y ≤50，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，y ≥2，2x ＋4y ≤25，x ，y ∈N *.画出如右图平面区域得y ＝2时，x ＝2，3，4，5，6，7，8； y ＝3时，x ＝2，3，4，5， 6； y ＝4时，x ＝2，3，4； y ＝5时，x ＝2. 共有7＋5＋3＋1＝16. 【答案】 163．实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元，在满足需要的条件下，最少要花费________．【解析】设购买每袋35千克的x 袋，购买每袋24千克的y 袋，则⎩⎪⎨⎪⎧35x ＋24y ≥106，x ≥0，y ≥0.求z ＝140x ＋120y 的最小值，作出可行域知，当x ＝1，y ＝3时费用最少．此时要花费：z ＝140×1＋120×3＝500元．【答案】 500元4．一批长400 cm 的条形钢材，需要将其截成518 mm 与698 mm 的两种毛坯，则钢材的最大利用率为________．【解析】设518 mm 和698 mm 的毛坯个数分别为x ，y ，最大利用率为z ，则z ＝51.8x ＋69.8y400。

简单的线性规划问题教案

2009级本科学生试讲教案课题简单的线性规划院系数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师曾德强班级2009级2班姓名贾晓玉学号200902410402012年5月20日课题§3.2简单的线性规划问题教学目标(一)知识目标1、了解线性规划的意义；理解线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；2、掌握线性规划的图解法；3、会利用图解法求线性目标函数的最大（小）值.(二) 能力目标1、在应用图解法解题的过程中培养学生的观察能力、理解能力、分析能力以及探索能力；2、在对具体事例的感性认识上升到对线性规划的理性认识过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力和化归能力.(三) 情感目标1、让学生体验数学来源于生活又服务于生活，体验数学在建设节约型社会中的作用，品尝学习数学的乐趣.2、让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生勤于思考、勇于探索的精神.教学重点让学生经历用图解法求最优解的探索过程,体会数形结合思想在解决数学问题时的优越性.教学难点将实际问题抽象转化为线性规划问题，在可行域内用图解法准确求得线性规划问题的最优解.教学方法(一) 教法分析讲解法，变式教学法等．(二) 学法指导讨论，思考，练习等．(三) 教学活动1、在引入时让学生思考怎样求解最大利润Z，然后请同学发表自己的看法；2、在探究题中让学生探索最优解在哪一点取得，老师检查讲解.教学用具彩色粉笔，多媒体.课型新知课．课时安排第一课时．教学过程（一）创设情境，提出问题设计一个场景：20年后的你,坐在宽敞的办公室里，思考着如何安排公司的生产，你会考虑些什么？ 1、计划可行，2、效益最大，3、资源最优……我们今天就来解决你们经常会碰到的资源利用、人力调配、生产安排等问题，这就是我们今天要学习的内容---简单的线性规划问题.例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8h计算.又知每件甲产品可获利2万元，每件乙产品可获利3万元，问该厂每天最多可获利多少万元?（二）分析问题，构建新知1、分析问题对于以上问题我们可以从以下几步来进行分析：(1) 设该工厂每天生产甲产品x件，乙产品y件，获利Z万元，由题意可得下列式子：23z x y=+①28 416412x yxyxy+≤⎧⎪≤⎪⎪≤⎨⎪≥⎪≥⎪⎩②（2）我们可以将不等式组②表示成平面上的区域（3）我们可以把23z x y =+变形为233z y x =-+，这是斜率为23-,在y 轴上的截距为3z的直线.当z 变化时,可以得到一组相互平行的直线（如图2所示）,由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点（例如（1，2）），就能确定一条直线.这说明,截距3z可以有平面内的一个点唯一确定.可以看到，直线233zy x =-+与表示不等式组②的区域的交点坐标满足不等式组②，而且当截距3z 最大时，Z 取最大值.因此，上述问题可以转化为当直线233zy x =-+与不等式组②确定的平面有公共交点时，在区域内找一点P ，使直线经过点P 时截距3z最大.2、概念引入（1）在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题.（2）满足线性约束条件的解叫做可行解. （3）由所有可行解组成的集合叫做可行域. （三）、变式演练、深入探究在上述问题中，如果每生产一件甲产品获利1万元，每生产一件乙产品获利3万元，问该工厂每天又可最多获利多少万元？解：由题意可得目标函数为：3z x y =+；将目标函数变形为1133y x z =-+.则利润Z 的几何意义就是直线1133y x z =-+在Y 轴上截距的3倍，所以当直线在Y 轴上的截距最大时，利润Z 最大.如图3所示可得，当直线1133y x z =-+经过点N （2,3）时截距3z最大，所以Z 最大，并且23311z =+⨯=.(四）归纳小结，强化思想解答线性规划问题的步骤：◆ 第一步：根据约束条件画出可行域； ◆ 第二步：令z ＝0，画直线l 0；◆ 第三步：观察，分析，平移直线l 0，从而找到最优解； ◆ 第四步：求出目标函数的最大值或最小值. (五）作业布置，升华知识书面题：P91 T1, 2思考题：在上述探究题中，将甲、乙产品的获利从新换几组你喜欢的数据，求该工厂可获的最大利润；在这过程中你能得出最优解和可行域之间的关系吗？板书设计。

2022年《.3.3简单的线性规划问题》教学优秀教案

§简单的线性规划问题【三维目标】：一、知识与技能1从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；2了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；会根据条件建立线性目标函数3了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大〔小〕值4培养学生观察、联想以及作图的能力；渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想，提高学生“建模〞和解决实际问题的能力，培养学生应用数学的意识。

二、过程与方法1本节课是以二元一次不等式表示的平面区域的知识为根底，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决。

2考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过鼓励学生探究入手，讲练结合，真正表达数学的工具性。

同时，可借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性三、情感、态度与价值观1结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学〞的意识，鼓励学生创新2渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合〞的应用数学的意识；激发学生的学习兴趣【教学重点与难点】：重点：线性规划的图解法难点：从实际情景中抽象出一些简单的二元线形规划问题；寻求线性规划问题的最优解【学法与教学用具】：1 学法：通过让学生观察、讨论、辨析、画图，亲身实践，调动多感官去体验数学建模的思想；学生要学会用“数形结合〞的方法建立起代数问题和几何问题间的密切联系2 教学用具：直角板、投影仪，计算机辅助教材【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】：一、创设情景，揭示课题1 在生活、生产中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排的等问题，本节课就学习此方面的应用2问题：在约束条件下，如何求目标函数的最大值？二、研探新知1 根本概念对于在约束条件下，假设，式中变量、满足上面不等式组，那么不等式组叫做变量、的约束条件，叫做目标函数；又因为这里的是关于变量、的一次解析式，所以又称为线性目标函数。

满足线性约束条件的平面区域叫做可行解，如图〔1〕所示．由所有可行解组成的集合叫做可行域；将目标函数变形为的形式，它表示一条直线，斜率为，且在轴上的截距为．平移直线，当它经过两直线与的交点时，直线在轴上的截距最大，如图〔2〕所示．因此，当时，目标函数取得最大值，即当甲、乙两种产品分别生产和时，可获得最大利润万元．这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：平移直线时，要始终保持直线经过可行域〔即直线与可行域有公共点〕．2求解线性规划的可行解的步骤①指出线性约束条件和线性目标函数②画出可行域的图形③平移直线，在可行域内找到最优解提问：由此看出，你能找出最优解和可行域之间的关系吗？3初步尝试假设生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？设生产甲产品乙产品件时，工厂获得的利润为,那么这样，上述问题就转化为：当、满足不等式并且为非负整数时，的最大值是多少？①变形——把，这是斜率为；当变化时，可以得到一组互相平行的直线；的平面区域内有公共点时，在区域内找一个点，使直线经点时截距最大②平移——通过平移找到满足上述条件的直线③表述——找到给〔4，2〕后，求出对应的截距及的值三、质疑辩论，排难解惑，开展思维例1 投资生产A产品时，每生产一百吨需要资金2021元，需场地2021m，可获利润300万元；投资生产B 产品时，每生产一百米需要资金300万元，需场地100m ，可获利润2021元．现某单位可使用资金1400万元，场地900 m ，问应作怎样的组合投资，可获利最大？分析：解设生产A 产品百吨，生产B 产品百米，利润为S 百万元，那么约束条件为：目标函数为，作出可行域〔如下图〕，将目标函数随着变化的直线族．当最大时，S 最大，但直线要与可行域相交．当直线经过两条直线的交点时，直线在轴上的截距最大，此时,因此，生产A 产品325t ，生产B 产品250m 时，获利最大，且最大利润为1475万元．例2 某运输公司向某地区运送物资，每天至少运送180t ．该公司有8辆载重为6t 的A 型卡车与4辆载重为10t 的B 型卡车，有10名驾驶员．每辆卡车每天往返次数为A 型车4次，B 型车3次．每辆卡车每天往返的本钱费A 型车为32021B 型车为504元．试为该公司设计调配车辆方案，使公司花费的本钱最低，假设只调配A 型或B 型卡车，所花的本钱费分别是多少？解设每天调出A 型车辆，B 型车辆，公司花费本钱元，将题中数据整理成如下表格：那么约束条件为即目标函数为．作出可行域：当直线经过直线与轴的交点〔，0〕时，有最小值，由于〔，0〕不是整点，故不是最优解．由图可知，经过可行域内的整点，且与原点距离最近的直线是，经过的整点是〔8，0〕，它是最优解．答公司每天调出A型车8辆时，花费的本钱最低，即只调配A型卡车，所花最低本钱费〔元〕；假设只调配B型卡车，那么无允许值，即无法调配车辆．例3的三边长满足，，求的取值范围。

【课后作业】~3.3.2简单的线性规划问题(第一课时)教学设计

《简单的线性规划问题》（第一课时）教学设计授课教师：龙鑫教材分析：本节课是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第三章《不等式》中3.3.2《简单的线性规划问题》的第一课时。

主要内容是线性规划的相关概念和简单的线性规划问题的解法。

线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应用广泛、方法较成熟的一个重要分支，它是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，广泛地应用于军事作战、经济分析、经营管理和工程技术等方面。

简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出。

简单的线性规划关心的是两类问题：一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成。

教科书利用生产安排的具体实例，介绍了线性规划问题的图解法，引出线性规划等概念，最后举例说明了简单的二元线性规划在饮食营养搭配中的应用。

本节内容蕴含了丰富的数学思想方法，突出体现了优化思想、数形结合思想和化归思想。

学情分析：本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化成数学问题。

从数学知识上看，问题涉及多个已知数据，多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，数形结合的思想方法的掌握还需时日，这成了学生学习的困难。

教学目标：知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；理解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；过程与方法：在实验探究的过程中，培养学生的数据分析能力、探究能力、合情推理能力；在应用图解法解题的过程中，培养学生运用数形结合思想解题的能力。

情态、态度与价值观：让学生体会数学源于生活，服务于生活；体会数学活动充满着探索与创造，培养学生动手操作、勇于探索的精神。

教案332简单的线性规划问题

必修5 3.3.2 简单的线性规划问题（教案）（第1课时）【教学目标】1 •知识与技能：使学生了解线性规划的意义及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2•过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3•情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力.【重点】用图解法解决简单的线性规划问题.【难点】准确求得线性规划问题的最优解.【预习提纲】（根据以下提纲，预习教材第87页〜第89页）x 2y 8,4x 16,1 •在教材第87页引例中，约束条件是4y 12,为什么又叫线性约束条件？（约x 0,y o.束条件都是关于x, y的一次不等式）目标函数是z 2x 3y，为什么又叫线性目标函数？（目标函数是关于x, y的一次解析式）2•在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题称为线性规划问题；3 •满足线性约束条件的解（x, y）叫做可行解；由所有可行解组成的集合叫做可行域;使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解.【基础练习】1•给定下列命题：在线性规划问题中，①最优解指的是目标函数的最大值或最小值；②最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的变量x或y ；③最优解指的是目标函数取得最大值或最小值的可行域；④最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 其中真命题的序号是④•2•在教材第87页引例中，当直线z 2x 3y,即y - x -经过可行域时，直线3 3越向上（上，下）z越大，直线越向下（上，下）z越小，为什么？（由z的几何意义决定的）z的几何意义是 -是直线在y轴上的截距.3 —y x,(1)求z 2x y 的最大值，使x, y 满足约束条件x y 1, y 15x 3y 15,(2)求z 23x 5y 的最大值和最小值，使 x,y 满足约束条件y x 1, x 5y 3.答案：(1)z max3-(2) z max17, z min11 .【典型例题】2x y 300例1 已知x, y 满足不等式组x 2y 250 ，试求z300x 900y 的最大值时点的x 0y 0坐标，及相应的z 的最大值的点并求最大值如图所示平面区域AOBC ,点，点B(150,0)，点C 的坐标由方程组350 200)丿，3 3z 300x 900y ,得1 z y =- x 3 900欲求z 300x 900y 的最大值，即转化为求截距 —的最大值，从而可求z 的最大值，900 1z 1 1 因直线y =- x与直线y =- x 平行，故作与y =- x 的平行线，当过点A (0, 125)390033时，对应直线的截距最大，所以此时整点 A 使z 取最大值，z max =300 X 0+900 X 125=112500【方法总结】1•在线性约束条件下，求 z ax by c 的最值时，作图需准确，要区别目标函数所对应直线的斜率与可行域的边界直线的斜率的大小关系,3 .解下列线性规划问题:【审题要津】先画出平面区域, 然后在平面区域内寻找使z 300x 900 y 取最大值时解：A(0,125)2x x 得C 由y 300 350 x3 2y 250200 y3分清目标函数所对应直线在y 轴上的截距与z 的关系.2 .用图解法求最优解的步骤可概括为“画、移、求、答” 变式训练：3x y 300,x 2y 250,求目标函数z 600x 300y 的最大值，并求整 x 0,y0.最优解为(70,90).例2 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.06kg 的蛋白质，0.06kg 的脂肪，1kg 食物A 含有0.105kg 碳水化合物，0.07kg 蛋白质， 0.14kg 脂肪，花费28元；而1kg 食物B 含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg 蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A 和食物B 多少kg ?食物/ kg碳水化合物/ kg蛋白质/ kg脂肪/ kgA 0 . 10 5 0 . 0 7 0 . 14 B0 . 10 50 . 140 . 0 7解：设每天食用x 千克食物, 千克食物，总成本为z .那么已知X, y 满足约束条件点最优解.解：可行域如图所示: 四边形由方程组：AOBC 易求点(0, 126)，3x y x 2y300 25269 3 5 91 5得点C 的坐标为 3 (69,9151)因题设条件要求整点(x, y)使 z 600x 300y 取最大值，将点(69, 91), (70, 90)代入z600x 300y ，可知当70时,90z 取最大值为 Z max =600X 70+300 x 900=69000,0.075kg 的碳水化合物,得M 点的坐标为答：每天食用食物 A 约143g ，食物B 约571g ，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.【方法总结】线性规划解决实际问题的解题思路：首先，应准确建立数学模型，即根据题意找出约束条件，确定线性目标函数.然后，用图解法求得数学模型的解，即画出可行域,在可行域内求得使目标函数取得最值的解，最后，要根据实际意义将数学模型的解转化为实际问题的解，即结合实际情况求得最优解.目标函数为0.105x 0.07x 014x x 0,0.105y 0175, 0-14y 0-06, 0-07y 0-06,y 0. 28x 21y •元一次不等式组①等价于7x 7y 7x 14y 14x 7 y x 0,5, 6, 6, y 0.作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.考虑z 28x21y ，将它变形为y4x z ,这是斜率为-，随3 213z 变化的一族平行直线. —是直线在 21y 轴上的截距，当—取最小值时，z21的值最小.当然直线要与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z 28x 21y 取得最小值.由图可见，当直线z 28x21y经过可行域上的点 M 时，截距 —最小，即z 最小•解方程组217x 14x 7y 7y 5,6,所以 Z min28x21y 16x < 2,y < 2, 则目标函数x y > 2,变式训练：某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲产品 1吨，需要煤9吨，需电4瓦，工作日3个（一个2人劳动一天等于一个工作日），生产乙种产品1吨，需要用煤4吨，需电5瓦，工作日12个，又知甲产品每吨售价 7万元，乙产品每吨售价 12万元，且每天供煤最多360吨，供电最多200瓦，全员劳动人数最多 300人，问每天安排生产两种产品各多少吨；才能使日产值最大，最大产值是多少？，乙种产品y 吨，日产值为解：设每大生产甲种产品 x 吨 9x 4y 360, 4x 5y 200, 3x 12y 150, x 0,y 0. 线性目标函数为 z = 7x 12y . 可行域如图所示：155 45 由图可知当过点（，竺）4 16Z max =305 (万元)时，z 最大. z 万元。

3.3.2简单的线性规划问题(3)教案

龙文教育个性化辅导教案提纲学生: 日期: 年月日第次时段: 教学课题 3.3.2简单的线性规划问题（3）--导学案教学目标考点分析 1．从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；2．体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题.教学重点从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并加以解决；教学难点体会线性规划的基本思想，借助几何直观解决一些简单的线性规划问题. 教学方法观察法、探究法、启发式教学、讲练结合法教学过程：一、课前准备复习1：已知1260,1536,a a b a b b<<<<-求及的取值范围复习2：已知41,145a b a b -≤-≤--≤-≤，求9a b -的取值范围.二、新课导学 ※ 学习探究课本第91页的“阅读与思考”——错在哪里？若实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，求4x +2y 的取值范围．错解：由①、②同向相加可求得：024x ≤≤即 048x ≤≤ ③由②得 11y x -≤-≤将上式与①同向相加得024y ≤≤ ④③十④得 04212x y ≤+≤以上解法正确吗?为什么?上述解法中，确定的0≤4x ≤8及0≤2y ≤4是对的，但用x 的最大(小)值及y 的最大(小)值来确定4x 十2y 的最大(小)值却是不合理的．x 取得最大（小）值时，y 并不能同时取得最大（小）值.由于忽略了x 和 y 的相互制约关系，故这种解法不正确．此例有没有更好的解法?怎样求解?※ 典型例题例1 若实数x ，y 满足1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，求4x +2y 的取值范围．变式：设2()f x ax bx =+且1(1)2f -≤-≤，2(1)4f ≤≤，求(2)f -的取值范围※ 动手试试练1. 设2z x y =+，式中变量x 、y 满足 4335251x y x y x -≤-⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求z 的最大值与最小值.练2. 求z x y =-的最大值、最小值，使x 、y 满足条件200x y x y +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩.三、总结提升※ 学习小结1．线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得.2．线性目标函数的最大值、最小值也可能在可行域的边界上取得，即满足条件的最优解有无数多个． ※ 知识拓展求解线性规划规划问题的基本程序：作可行域，画平行线，解方程组，求最值.目标函数的一般形式为z Ax By C =++，变形为1A C y x z B B B =-+-，所以1C z B B-可以看作直线1A C y x z B B B=-+-在y 轴上的截距. 当0B >时，1C z B B -最大，z 取得最大值，1C z B B-最小，z 取得最小值；当0B <时，1C z B B -最大，z 取得最小值，1C z B B-最小，z 取得最大值. 学习评价※ 自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若0x ≥，0y ≥且1x y +≤，则z x y =-的最大值为（）.A ．-1B ．1C ．2D ．-22. 在ABC ∆中，三顶点分别为A （2，4），B （-1，2），C （1，0），点(,)P x y 在ABC ∆内部及其边界上运动，则的取值范围为（）.A ．[1，3]B ．[-1，3]C ．[-3，1]D ．[-3，-1]3. (2007北京)若不等式组5002x y y a x -+≥⎧⎪≥⎨⎪≤≤⎩表示的平面区域是一个三角形，则的取值范围是（）.A ．5a <B ．7a ≥C ．57a ≤<D ．5a <或7a ≥4. (2004全国)设x 、y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则32z x y =+的最大值是 .5.（2004上海）设x 、y 满足约束条件2438x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则32k x y =-的最大值是 .总结与反思：课后作业：1. 画出(21)(3)0x y x y +--+>表示的平面区域.2. 甲、乙两个粮库要向A 、B 两镇运送大米，已知甲库可调出100t 大米，乙库可调出80t 大米，A 镇需70t 大米，B 镇需110t 大米.两库到两镇的路程和运费如下表:路程/km 运费/(元11t km -- )甲库乙库甲库乙库A 镇 2015 12 12 B 镇 2520 10 8 (1) 这两个粮库各运往A 、B 两镇多少t 大米，才能使总运费最省?此时总运费是多少?(2) 最不合理的调运方案是什么?它使国家造成的损失是多少?学生对于本次课评价： ○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差学生签字：教师评定：1、上次作业评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化2、上课情况评价： ○非常好 ○好 ○ 一般 ○ 需要优化教师签字：教务主任签字： ___________龙文教育教务处。

332简单的线性规划问题(2)教案.docx

龙文教育个性化辅导教案提纲学生: ________________ H期: ______ 年 _____ 月_____ 日第—次吋段: ________________教学过程：—、课前准备x-4y < 一3复习1：已知变量兀』满足约束条件<3x + 5y525 ,设z = 2x+y,取点（3, 2）可求得z = 8,取点（5, 2）x>l可求得Sax"?，取点（1，1）可求得“命=3取点（0, 0）可求得z = o,取点（3, 2）叫做_____________点（0, 0）叫做______________ ，点（5, 2）和点（1,1）____________________复习2：阅读课木Pg*至P91二、新课导学探学习探究线性规划在实际中的应用：线性规划的理论和方法主要在两类问题屮得到应用，一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何使用它们來完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.卜•面我们就來看看线性规划在实际中的一些应用：探典型例题例1营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，lkg食物A含有0.105kg碳水化合物,0.07kg蛋白质,0.14kg脂肪，花费28元而1kg食物B含有0.105kg 碳水化合物，0.14kg蛋白质，0.07kg脂肪，花费21元.为了满足营养专家指出的tl常饮食要求，同时便花费最低，需要同时食用食物A和食物3多少kg?例2耍将两种大小不同的钢板截成A、3、C三种规格，每张钢板町同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示：今需要三种规格的成品分别为12块、15块、27块，各截这两种钢板多少张可得所需A、B、C、三种规格成品，且使所用钢板张数最少？变式：第一种钢板为第二种为2 /n2 ,各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格的成品且所用钢板面积最小？例3 —个化肥厂生产甲乙两种混合肥料，生产1车皮甲肥料的主要原料是磷酸盐4t,硝酸盐1&；生产1车皮乙种肥料的主要原料是磷酸盐It,硝酸盐15t.现库存磷酸盐10t,硝酸盐66t,在此基础上生产这两种混合肥料.若生1车皮甲种肥料能产生的利润为10000元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5000元.那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？探动手试试练1.某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元、2000元.甲、乙产品都需要在人、B两种设备上加工，在每台A、B设备上加工1件甲设备所需工时分別为lh、2h,力口工1件乙和设备所需工吋分別为2h、lh, A、B两种设备每月有效使用台时数分别为400h和500h.如何安排牛:产可使收入最大？练2.某家电牛产金业根据市场调查分析，决定调整产品牛产方案，准备每周（按40个工时计算）牛产空调器、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生20台口知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：问每周应牛产空调器、彩电、冰箱共多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）三、总结提升探学习小结简单线性规划问题就是求线性H 标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题H 是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；（2）由二元一次不等式表示平面区域做出町行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.探知识拓展含绝对值不等式所表示的平面区域的作法：（1）去绝对值，转化为不等式组；（2）采用分零点讨论或分象限讨论去绝对值;（3）利用对称性可避免讨论.一学刃M L探自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A.很好B.较好C. 一般D.较差当堂检测（时量:5分钟满分：10分）计分:1.完成一项装修工程，请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工资每人40元，现有工人工资预算2000元, 设木工兀人，瓦工y 人，请工人的约束条件是（）•A. 19B. 18C. 17D. 16 2x + 3y >243.变量X,)，满足约束条件;§则使得"3x + 2y 的值的最小的(x,y)是(). x>0,y>0A. (4, 5) B ・(3, 6) C. (9, 2) D. (6, 4)A. 50% + 40y = 2000 C. 50x +40)7 2000B ・ 50%+ 40)匕2000 D. 40x + 50y<2000 0 < x < 4 2已知M 足约束条件第则z = 2x + 5y 的最大值为（。

《3.3.3 简单的线性规划问题》教学案4

3．3.3《简单的线性规划问题》教学案第1课时教学教法分析●三维目标1.知识与技能(1)从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决；(2)了解线性规划的意义以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念，会根据条件建立线性目标函数；(3)了解线性规划的图解法，并会用图解法求线性目标函数的最大(小)值；(4)培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合、等价转化的数学思想．2.过程与方法(1)本节课是以二元一次不等式(组)表示的平面区域的知识为基础，将实际生活问题通过数学中的线性规划问题来解决；(2)考虑到学生的知识水平和消化能力，教师可通过激励学生探究入手，讲练结合，真正体现数学的工具性，同时，借助计算机的直观演示可使教学更富趣味性和生动性．3．情感、态度与价值观(1)结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新；(2)渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用数学的意识，激发学生的学习兴趣.●重点、难点重点：线性规划问题的图解法，寻求线性规划问题的最优解．难点：利用图解法求最优解．为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，将实际问题数学化，代数问题几何化．解决难点的方法是精确作图，利用数形结合的思想将代数问题几何化．教学方案设计●教学建议从内容上看，简单的线性规划问题是在学习了不等式、直线方程的基础上展开的，它是对二元一次不等式的深化和再认识、再理解．它是用数学知识解决实际问题，属于数学建模，是初等数学中较抽象的，对学生要求较高，又是必须予以掌握的内容．考虑到学生的认知水平和理解能力，建议教师可以通过激励学生探究入手，讲练结合，培养学生对本节内容的学习兴趣，培养学生数形结合的意识，让学生体味数学的工具性作用．另外，教师还可借助计算机直观演示利用图解法求最优解的过程，增强教学的趣味性和生动性．●教学流程⇒结合教材让学生掌握线性规划问题的图解法.⇒通过例1及其变式训练使学生巩固掌握利用图解法求最优解的步骤.⇒通过例2及其变式训练使学生掌握利用线性规划研究字母参数的方法.⇒通过例3及其变式训练使学生掌握求非线性目标函数的最值的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双达达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.课前自主导学上述只含两个变量的简单线性规划问题可用图解法解决.课堂互动探究例1 设z ＝3x ＋5y ，式中变量x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥3，7x ＋10y ≥17，x ≥0，y ≥0.求z 的最小值．【思路探究】【自主解答】画出约束条件表示的点(x ，y )的可行域，如图所示的阴影部分(包括边界直线)．把z ＝3x ＋5y 变形为y ＝－35x ＋z 5，得到斜率为－35，在y 轴上的截距为z5，随z 变化的一族平行直线．作直线l ：3x ＋5y ＝0，把直线向右上方平行移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，此时l 1：3x ＋5y －z ＝0的纵截距最小，同时z ＝3x ＋5y 取最小值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝3，7x ＋10y ＝17，得M (1，1)．故当x ＝1，y ＝1时，z min ＝8.规律方法1．由本例可以看出，解线性规划问题时，一定要注意最优解的对应点是最大值点，还是最小值点．对于目标函数z ＝ax ＋by ，当b >0时，直线截距最大时，z 有最大值，截距最小时，z 有最小值；当b <0时，则相反．2．图解法是解决线性规划问题的有效方法，其关键是利用z 的几何意义求解．平移直线ax ＋by ＝0时，看它经过哪个点(哪些点)时最先接触可行域和最后离开可行域，则这样的点即为最优解，最优解一般是在可行域的边界取得．变式训练设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x －5y ＋10≤0，x ＋y －8≤0，则目标函数z ＝3x －4y 的最大值和最小值分别为多少．【解】作可行域如图所示，解⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，x ＋y －8＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝5，∴A (3，5)．解⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －8＝0，x －5y ＋10＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3，∴B (5，3)．平移直线3x －4y ＝z 可知，直线过A 点时，z 取最小值，过B 点时，z 取最大值． ∴z min ＝3×3－4×5＝－11， z max ＝3×5－4×3＝3.例2 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＋3≤0，3x ＋5y ≤25，x ≥1，设z ＝ax ＋y (a ＞0)，若当z 取最大值时，对应的点有无数多个，求a 的值．【思路探究】【自主解答】作出可行域如图所示．由⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋5y ＝25，x －4y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝2，∴点A 的坐标为(5，2)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，3x ＋5y ＝25，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.4，∴点C 的坐标为C (1，4.4)．当直线z ＝ax ＋y (a ＞0)平行于直线AC ，且直线经过线段AC 上任意一点时，z 均取得最大值，此时有无数多点使z 取得最大值，而k AC ＝－35，∴－a ＝－35，即a ＝35.规律方法1．本题中，z 取最值时对应的点有无数多个，故这无数多个对应点构成平面区域的一段边界．2．解线性规划问题时一般要结合图形(平面区域)及目标函数的几何意义解题．变式训练若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围是________．【解析】作出可行域，让目标函数所表示的直线过定点，观察斜率的范围，构建不等式求参数范围．如图所示，约束条件所表示的平面区域为三角形，目标函数z ＝ax ＋2y ，即y＝－a 2x ＋z 2仅在点(1，0)处取得最小值，故其斜率应满足－1＜－a2＜2，即－4＜a ＜2.故填(－4，2)．【答案】 (－4，2)例3 已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(1)求u ＝x 2＋y 2的最大值和最小值；(2)求z ＝yx ＋5的最大值和最小值．【思路探究】【自主解答】画出不等式组所表示的平面区域，如图所示．(1)∵u ＝x 2＋y 2，∴u 为点(x ，y )到原点(0，0)的距离，结合不等式组所表示的平面区域可知，点B 到原点的距离最大，而当(x ，y )在原点时，距离为0.由⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23＝0，4x ＋y ＋10＝0得点B 的坐标为(－1，－6)，∴(x 2＋y 2)max ＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x 2＋y 2)min ＝0.(2)z ＝y x ＋5＝y －0x －－，所以求z 的最大值和最小值，即是求可行域内的点(x ，y )与点(－5，0)连线斜率的最大值和最小值．设点M 的坐标为(－5，0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0得点C 的坐标为(－3，2)，由(1)知点B 的坐标为(－1，－6)，∴k max ＝k M C ＝2－0－3－－＝1， k min ＝k M B ＝－6－0－1－－＝－32，∴yx ＋5的最大值是1，最小值是－32.规律方法1．本题中，(1)x 2＋y 2是平面区域内的点(x ，y )到原点的距离的平方；(2)yx ＋5＝y －0x －－可看成平面区域内的点(x ，y )与点(－5，0)连线的斜率．2．解决此类问题，应先准确作出线性约束条件表示的平面区域，然后弄清非线性目标函数的几何意义．变式训练已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0.(1)求z ＝x 2＋y 2＋2x －2y ＋2的最小值； (2)求z ＝|x ＋2y －4|的最大值．【解】 (1)作出可行域，如图所示，∵z ＝(x ＋2＋y －2)2，∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到点M (－1，1)的距离的平方．由图可知z min 等于原点到直线x ＋y －4＝0的距离的平方， ∴z min ＝(|－4|2)2＝8.(2)∵z ＝|x ＋2y －4|＝5·|x ＋2y －4|5， ∴z 可看作是可行域内任意一点(x ，y )到直线x ＋2y －4＝0的距离的5倍．由图可知点C 到直线x ＋2y －4＝0的距离最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＝0，2x －y －5＝0得点C (7，9)，∴z max ＝|7＋2×9－4|5×5＝21.易错易误辨析直线的倾斜程度判断不准致误典例已知⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ≤44，7x ＋5y ≤35，6x ＋7y ≤42，x ≥0，y ≥0，求z ＝x ＋y 的最大值．【错解】作出可行域，如图所示．作出直线l 0：x ＋y ＝0，将它移至点B ，则点B 的坐标是可行域中的最优解，它使z 达到最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧11x ＋4y ＝44，7x ＋5y ＝35，得点B 的坐标为(8027，7727)．所以z max ＝8027＋7727＝15727.【错因分析】将直线l 0向上移动时，最后离开可行域的点不是点B 而是点A ，这是由于直线倾斜程度不准确引起的，由于三条边界直线的斜率依次是－67，－75，－114，而目标函数z ＝x ＋y 的斜率为－1，它夹在－67与－75之间，故经过点B 时，直线x ＋y ＝z 必在点A 的下方，即点B 不是向上平移直线时最后离开可行域的点，而是点A .【防范措施】解决线性规划问题时，可行域一定要准确，关键点的位置不能画错，若数据比较大，不易画图，也可用斜率分析法确定关键点或取得最值点．【正解】作出二元一次不等式组所表示的平面区域如上图．作出直线l ′0：x ＋y ＝0，将它向上平移，当它经过点A 时，z 取得最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧7x ＋5y ＝35，6x ＋7y ＝42，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3519，y ＝8419，故z max ＝3519＋8419＝119191．基础知识： (1)可行域； (2)线性规划． 2．基本技能： (1)解线性规划问题；(2)利用线性规划求字母参数的值(或范围)； (3)求非线性目标函数的最值． 3．思想方法： (1)数形结合思想； (2)函数思想； (3)转化思想．当堂双基达标1．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则目标函数z ＝x ＋2y 的最小值为________．【解析】画出不等式组表示的平面区域，由图可知目标函数在点(3，－3)处取得最小值－3.【答案】－3图3－3－72．给出平面区域(包含边界)如图3－3－7所示，若使目标函数z ＝ax ＋y (a ＞0)取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为________．【解析】由题意知－a ＝k AC ＝－35，∴a ＝35. 【答案】 353．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2＜0，x ＞1，x ＋y －7＜0，则yx 的取值范围是________．【解析】目标函数y x 是可行域上的动点(x ，y )与原点连线的斜率，最小值是k O C ＝95，最大值是k A O ＝6，又可行域边界取不到，∴95＜yx ＜6.【答案】 (95，6)4．已知x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求z ＝4x －3y 的最值．【解】原不等式组表示的平面区域如图所示：其中A (4，1)、B (－1，－6)、C (－3，2)．作与4x －3y ＝0平行的直线l ：4x －3y ＝t ，即y ＝43x －t3，则当l 过C 点时，t 最小；当l 过B 点时，t 最大．∴z max ＝4×(－1)－3×(－6)＝14，z min ＝4×(－3)－3×2＝－18.课后知能检测一、填空题1．(2013·微山高二检测)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－2，则z ＝3x ＋y 的最大值为________．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋y 变形为y ＝－3x ＋z 得到斜率为－3，在y 轴截距为z 的一族平行直线，由图当直线l ：y ＝－3x ＋z 过可行域内一点M 时，在y 轴截距最大，z 也最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y ＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－2，即M (3，－2)．∴当x ＝3，y ＝－2时，z max ＝3×3＋(－2)＝7. 【答案】 72．(2013·苏州高二检测)变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ≥12，2x ＋9y ≥36，2x ＋3y ≥24，x ≥0，y ≥0，则使得z ＝3x ＋2y 的值最小的(x ，y )是________．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示：把z ＝3x ＋2y 变形为y ＝－32x ＋z 2，作与直线l 0：y ＝－32x 平行的直线l ，显然当l 经过可行域内点M 时在y 轴上截距最小，z 也最小．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝12，2x ＋3y ＝24，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝6，即M (3，6)时，z ＝3x ＋2y 的值最小．【答案】 (3，6)⎩2y －x ≥1，【解析】作出满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域(如图所示)，作直线2y －2x ＝0，并将其平移，由图象可知当直线经过点A (0，2)时，z max ＝2×2－2×0＋4＝8；当直线经过点B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4. 所以z 的取值范围是[4，8]．【答案】 [4，8]4．(2013·连云港检测)设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －4≥0，2y －3≤0，则yx 的最大值是________．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示：又y x ＝y －0x －0表示过平面区域内一点(x ，y )与原点(0，0)的直线的斜率，由图知(x ，y )在平面区域内A 点处时直线斜率最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －4＝0，2y －3＝0得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝32，∴A (1，32)，∴y x 的最大值为32. 【答案】 32⎩x ＋y ＋4＞0y 取得最小值的整点坐标为________．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示：∵平面区域不包括边界，∴平面区域内的整点共有(－1，－1)，(－1，－2)，(－2，－1)三个．代入检验知，整点为(－1，－2)时x ＋2y 取得最小值．【答案】 (－1，－2)6．已知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0，x －y ＋1≥0，y ≥－1，且u ＝x 2＋y 2－4x －4y ＋8，则u 的最小值为________．【解析】不等式组表示的平面区域如图所示，由已知得(x －2)2＋(y －2)2＝(u )2，则(u )min ＝|2＋2－1|1＋1＝32，u min ＝92.【答案】 927．已知变量x ，y 满足约束条件1≤x ＋y ≤4，－2≤x －y ≤2.若目标函数z ＝ax ＋y (其中a ＞0)仅在点(3，1)处取得最大值，则a 的取值范围为________．【解析】由题设知可行域为如图所示的矩形，要使目标函数z ＝ax ＋y 在点(3，1)处取得最大值，结合图形可知a ＞1.【答案】 (1，＋∞)8．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内，点Q 在曲线x 2＋(y ＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为________．【解析】首先作出不等式组表示的平面区域和曲线x 2＋(y ＋2)2＝1，如图所示，从而可知点P 到Q 的距离最小值是可行域上的点到(0，－2)的最小值减去圆的半径1，由图可知|PQ |min ＝12＋－2－1＝5－1。