人教A版高中数学同步辅导与检测必修一单元评估验收(三)
【人教A版】高中数学必修5同步辅导与检测：单元评估验收(三)(含答案)
单元评估查收 (三)(时间： 120 分钟满分： 150 分)一、选择题 (本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)．不等式2≥2x 的解集是 ()1xA．{x|x≥2}B．{x|x≤2}C．{x|0≤x≤2}D．{x|x≤0 或 x≥ 2}分析：由 x2≥ 2x 解得： x(x－2)≥0，所以 x≤0 或 x≥2.答案： D．不等式(x ＋3)2＜1的解集是 ()2A．{x|x＞－ 2}B．{x|x＜－ 4}C．{x|－4＜x＜－ 2}D．{x|－4≤x≤－ 2}分析：原不等式可化为 x2＋6x＋8＜0，解得－ 4＜x＜－ 2.答案： Cx－2≤0，．已知点，在不等式组 y－1≤0，表示的平面地区上运3P(x y)x＋2y－2≥0动，则 z＝x－y 的最小值是 ()A．－ 2 B．2 C．－ 1 D．1分析：画出可行域：z ＝x －y? y ＝x － z ，由图形知最优解为 (0，1)，所以 min ＝－ 1.z答案： C4．以下函数：①y ＝x ＋1≥ ；②＝tan x ＋ 1；③ y ＝x －3＋ 1 . x (x 2)ytan x－ 3x 此中最小值为 2 的个数有 ( )A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个 分析：①y ＝x ＋ 1≥211x x ·≥2，当且仅当 x ＝x ，即 x ＝1 时等号x建立，因为 x ≥2，所以 ①的最小值不是 2；②中 tan x 可能小于零，最小值不是 2；③中 x －3 可能小于零，最小值不是2.答案： A15．二次不等式 ax 2＋bx ＋1＞ 0 的解集为 x －1＜x ＜3 ，则 ab的值为()A ．－ 6B ．6C ．－ 5D ．5分析：由题意知 a ＜0，－ 1 与13是方程 ax 2＋bx ＋1＝0 的两根，1b 1 1所以－ 1＋3＝－a，(－1)×3＝a，解得a＝－ 3，b＝－ 2，所以ab＝6.答案： B6．若不等式 (a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对全部 x∈R 恒建立，则 a的取值范围是 ()A．(－∞， 2]B．[－2，2]C．(－2，2]D．(－∞，－ 2)分析：当 a＝2 时，不等式－ 4<0 恒建立，所以 a＝2 知足题意．当 a≠2 时，不等式 (a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 对全部 x∈R 恒成立，a－2<0，需知足4（a－2）2－4（a－2）（－ 4）<0，解得－ 2<a<2.综上所述， a 的取值范围是－ 2<a≤2.应选 C.答案： C1 17．若a＜b＜0，则以下结论不正确的选项是()A．a2＜b2B．ab＜b2b aC.a＋b＞2D．|a|－|b|＝ |a－b|1 1分析：由a＜b＜0，所以 a＜0，b＜0，所以 0＞a＞b，由不等式基天性质知A，B，C 对．答案： D（x－y＋5）（ x＋y）≥ 0，8．不等式组表示的平面地区的面积0≤x≤3是()A．12 B．24 C．36 D ．48分析：平面地区图形以下图：S＝（5＋11）×32＝24.答案： B19．函数 y＝log1 x＋＋5(x>1)的最大值为()x－1A．4B．3C．－ 4D．－ 3分析：由 x＋1＋5＝x－1＋1＋6≥2＋6＝8(x>1)，x－1x－1所以 y＝log1 x＋1＋5≤log1＝－，应选D.x－18322答案： D．已知a ＞，＞，，b的等差中项是1，且α＝a＋1，β＝10b0a2a1b ＋b .则 α＋β的最小值是 ()A ．3B ．4C ． 5D ．6111 1 b分析：因为 α＋β＝a ＋a ＋b ＋b ＝1＋ a ＋b ·(a ＋b)＝1＋1＋1＋aa＋b ≥5.答案： Cx － y ≥0， 2x ＋y ≤2，11．若不等式组表示的平面地区是一个三角形，则y ≥0， x ＋ y ≤a正数 a 的取值范围是 ()4B ．(0，1]A. 3，＋∞C. 1，4D ．(0，1]∪4，＋∞33分析：画出前三个不等式表示的平面地区， 为图中 △OAB ，当直线 l ：x ＋y ＝a 在 l 0 与 l 1 之间 (包含 l 1)时不等式组表示的平面地区为三角形；当 l 在 l 2 的地点或从 l 2 向右挪动时，不等式组表示的平面地区4是三角形；又 l 在 l 1，l 2 的地点时， a 的值分别为 1，3.所以 0<a ≤14或 a ≥3.答案： D1， x ＞0，．定义符号函数sgn x ＝ 0， x ＝0，则当 x ∈R 时，不等式 x12－1，x ＜0， ＋2＞(2x －1)sgn x 的解集是 ()A. x －3＋ 33 －3＋ 334 ＜ x ＜ 43＋ 33B. x x ＞－4－3＋ 33C. x x ＜4D. x －3＋ 33＜ x ＜3 4分析：当 x ＞0 时，不等式化为 x ＋2＞2x －1，解得 x ＜3，即 0＜x ＜3；当 x ＝0 时，不等式恒建立；当 x ＜0 时，不等式化为 x ＋2＞(2x －1)－1，即 2x 2＋3x －3＜0，3＋ 33－3＋ 33解得－4 ＜x ＜ 4，3＋ 33即－4 ＜x ＜0.综上可知，不等式的解集为x －3＋ 334 ＜x ＜3.答案： D二、填空题 (本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上 )13．|x|2－2|x|－15＞0 的解集是 ________．分析：因为 |x|2－2|x|－15＞0，所以 |x|＞5 或|x|＜－ 3(舍去 )．所以 x＜－ 5 或 x＞5.答案： (－∞，－ 5)∪(5，＋∞ )14．若不等式 x2－ (a＋1)x＋a≤0 的解集是 [－4，3]的子集，则 a 的取值范围是 ________．分析：原不等式即 (x－a)(x－1)≤0，当 a<1 时，不等式的解集为[a，1]，此时只需 a≥－4 即可，即－ 4≤a<1；当 a＝1 时，不等式的解为 x＝1，此时切合要求；当 a>1 时，不等式的解集为 [1，a]，此时只需 a≤3 即可，即 1<a≤ 3.综上可得－ 4≤a≤3.答案： [－4，3]．设，为正数，且＋＝，则1＋1的最小值是________．15 a b a b12a b分析：因为111113＋ 2.＋＝＋b(a＋b)＝＋1＋a＋b≥2a b2a2 b 2a 2答案：3＋ 2 216．某公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买 x 吨，运费为4 万元 /次，一年的总储存花费为4x 万元，要使一年的总运费与总存储花费之和最小，则x＝________吨．分析：该公司一年购买某种货物400 吨，每次都购买 x 吨，则需7400400年的总运费与总储存花费之和为x·4＋4x万元，x·4＋4x≥160，1600当x＝4x，即 x＝20 吨时，一年的总运费与总储存花费之和最小．答案： 20三、解答题 (本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分 10 分)(1)已知正数 a，b 知足 a＋b＝1，求证：a2＋b2≥1 2；(2)设 a、 b、c 为△ ABC 的三条边，求证： a2＋b2＋c2<2(ab＋bc ＋c a)．证明： (1)a2＋ b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×a＋b 2＝1－1221＝2.(2)因为 a，b，c 是△ABC 的三边，不如设a≥b≥c>0，则 a>b －c≥0，b>a－c≥0，c>a－b≥0.平方得：a2>b2＋c2－2bc，b2>a2＋c2－2ac，c2>a2＋b2－2ab，三式相加得： 0>a2＋b2＋c2－2bc－2ac－2ab.所以 2ab＋2bc＋2ac>a2＋b2＋c2，即 a2＋b2＋c2<2(ab＋bc＋ca)．18．(本小题满分 12 分)已知 lg(3x)＋lg y＝lg( x＋y＋1)．(1)求 xy 的最小值；(2)求 x＋y 的最小值．解：由 lg(3x)＋lg y＝lg( x＋y＋1)，x＞0，得 y＞0，3xy＝x＋y＋1.(1)因为 x＞0，y＞0，所以 3xy＝x＋y＋1≥2 xy＋1.所以 3xy－2 xy－1≥0.即 3( xy)2－2 xy－1≥0.所以 (3 xy＋1)( xy－1)≥0.所以xy≥1，所以 xy≥1.当且仅当 x＝y＝1 时，等号建立．所以 xy 的最小值为 1.(2)因为 x＞0，y＞0，2所以＋＋＝≤x＋yx y13xy32所以 3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0.所以 [3(x＋y)＋2][(x＋y)－2] ≥0.所以 x＋y≥2.当且仅当 x＝y＝1 时取等号．所以 x＋y 的最小值为 2.19．(本小题满分 12 分)徐州、苏州两地相距500 千米，一辆货车从徐州行驶到苏州，规定速度不得超出100 千米 /时．已知货车每小时的运输成本 (以元为单位 )由可变部分和固定部分构成：可变部分与速度 v(千米 /时)的平方成正比，比率系数为0.01；固定部分为 a 元(a＞0)．(1)把全程运输成本y(元)表示为速度v(千米 /时)的函数，并指出这个函数的定义域；(2)为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解： (1)依题意知汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为500 v ，则全程运输成本为500500500a＋5v ，y＝a·＋0.01v2·＝vv v500a则 y＝v＋5v, v ∈ (0，100]．(2)依题意知 a，v 都为正数，500a500a则v＋5v≥2v·5v＝100 a，500a当且仅当v＝5a，即v＝10 a时取等号．若 10 a≤100，即 0＜a≤ 100，当 v＝10 a时，全程运输成本 y 最小．若 10 a＞100，即 a＞100 时，则当 v∈(0，100]时，能够证明函500a数 y＝v＋5v是减函数，即此时当v＝100 时，全程运输成本y 最小．综上所得，当0＜a≤100 时，行驶速度应为v＝ 10 a千米 /时，全程运输成本最小；当 a＞100 时，行驶速度应为v＝100 千米 /时，全程运输成本最小．20．(本小题满分 12 分)某公司生产 A，B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力、煤和电耗以下表：产品品劳动力 /煤/吨电/千种个瓦A 产品394B 产品1045已知生产每吨 A 产品的收益是 7 万元，生产每吨 B 产品收益是 12 万元，现因条件限制，该公司仅有劳动力 300 个，煤 360 吨，而且供电局只好供电200 千瓦，试问该公司怎样安排生产，才能获取最大收益？解：设生产 A，B 两种产品分别为x 吨， y 吨，收益为 z 万元，依题意，得3x＋10y≤300，9x＋4y≤360，4x＋5y≤200，x≥ 0，y≥0.11目标函数为 z＝7x＋12y.作出可行域，如图暗影所示．当直线 7x＋12y＝0 向右上方平行挪动时，经过M 时 z 获得最大值．3x＋10y＝300，x＝20，解方程组得4x＋5y＝200，y＝ 24.所以，点 M 的坐标为 (20，24)．所以该公司生产A，B 两种产品分别为20 吨和 24 吨时，才能获得最大收益．21．(本小题满分12 分)某个公司公司部下的甲、乙两个公司在2014 年1 月的产值都为a 万元，甲公司每个月的产值与前一个月对比增添的产值相等，乙公司每个月的产值与前一个月对比增添的百分数相等，到 2015 年 1 月两个公司的产值再次相等．(1)试比较 2014 年 7 月甲、乙两个公司产值的大小，并说明原因．(2)甲公司为了提升产能，决定投入 3.2 万元买台仪器，而且从2015 年 2 月 1 日起投入使用．从启用的第一天起连续使用，第n 天n＋49的维修养护费为10元(n∈N* )，求前 n 天这台仪器的日均匀耗费 (含仪器的购买费 )，并求日均匀耗费最小时使用的天数？解： (1)设从 2014 年 1 月到 2015 年 1 月甲公司每个月的产值分a 1，a 2，a 3，⋯，a 13，乙企 每个月的 分b 1，b 2，⋯，1b 13.由 意 {a n }成等差数列， {b n }成等比数列，所以a 7＝2(a 1＋a 13)，b 7＝ b 1·b 13，1因 a 1＝b 1，a 13＝b 13，进而 a 7＝2(a 1＋a 13)＞a 1·a 13＝b 1·b 13＝b 7，所以到 7 月份甲企 的 比乙企 的 要大． (2) 一共使用了 n 天， n 天的均匀耗32 000＋1＋492＋49 3＋49n ＋49P(n)＝ 10＋10 ＋ 10＋⋯＋10＝n32 000＋ 49n n （n ＋1）10 ＋20＝ n32 000 n 9932 000 n 99 1 699 元， n＋ ＋ ≥2n · ＋ ＝20 ()20 20 20 20当且 当32 000n ＝ n，获得最小 ， 此 n ＝800，改日均匀耗20最小 使用了800 天．22．(本小 分 12 分)已知 f(x)＝x 2－2ax ＋2(a ∈R)，当 x ∈ [－1，＋∞ ) ， f(x)≥a 恒建立，求 a 的取 范 ．解：法一：f(x)＝(x －a)2＋2－a 2，此二次函数 象的 称x＝ a .①当 a ∈(－∞，－ 1) ， f(x)在[－ 1，＋ ∞)上 增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使 f(x)≥a 恒建立，只需 f(x)min≥a，即 2a＋3≥a，解得－ 3≤a＜－ 1；②当 a∈[ －1，＋∞，)时， f(x)min＝f(a)＝2－a2，由 2－a2≥a，解得－ 1≤a≤1.综上所述，所求 a 的取值范围为－ 3≤a≤ 1.法二：令 g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0 在[ －1，＋∞)上恒建立，＞0，即＝4a2－4(2－a)≤0 或a＜－ 1，g（－ 1）≥0.解得－ 3≤a≤1.。
人教A版数学必修一必修1 质量评估检测.docx
高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作必修1 质量评估检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知A ＝{x|x ＋1＞0}，B ＝{－2，－1,0,1}，则(∁R A )∩B ＝( ) A ．{－2，－1} B ．{－2} C ．{－1,0,1} D ．{0,1}解析：因为集合A ＝{x |x ＞－1}，所以∁R A ＝{x |x ≤－1}，则(∁R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．答案：A2.(2014·天水高一检测)下列四组函数，表示同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝xB ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xC ．f (x )＝ln x 2，g (x )＝2ln xD ．f (x )＝log a a x (a ＞0，a ≠1)，g (x )＝3x 3解析：A 中，f (x )与g (x )的值域不同；B 中，f (x )与g (x )的定义域不同；C 中，f (x )与g (x )的定义域不同．故D 正确．答案：D3.(2014·厦门高一检测)函数f (x )＝x －4lg x －1的定义域是( )A ．[4，＋∞)B ．(10，＋∞)C ．(4,10)∪(10，＋∞)D ．[4,10)∪(10，＋∞)解析：由题意可知⎩⎨⎧x ＞0，lg x －1≠0，x －4≥0，解得x ≥4且x ≠10.答案：D4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递减的是( )A ．y ＝1x B ．y ＝e －xC ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝lg|x |解析：A 项，y ＝1x 是奇函数，故不正确；B 项，y ＝e －x 为非奇非偶函数，故不正确；C ，D 两项中的两个函数都是偶函数，且y ＝－x 2＋1在(0，＋∞)上是减函数，y ＝lg|x |在(0，＋∞)上是增函数，故选C.答案：C5.(2014·荆州高一检测)已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图象是( )ABCD解析：由题意可知f (x )＝2x ，∴f (1－x )＝21－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1.显然其过点(0,2)，故选C.答案：C6.(2014·临沂高一检测)设函数y ＝x 2与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析：设f (x )＝x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2，则f (0)＝－4＜0，f (1)＝1－2＝－1＜0，f (2)＝4－1＝3＞0，f (3)＝172＞0，f (4)＝634＞0，∴f (x )在(1,2)内有零点，即x 0∈(1,2)． 答案：B7．设a ＝log 123，b ＝log 1213，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，则( )A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜c ＜aD ．b ＜a ＜c解析：∵a ＝log 123＜0，b ＝log 1213＝log 23＞1，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3∈(0,1)，∴b ＞c ＞a .故选B.答案：B8.(2014·潍坊高一检测)已知f (x )为奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2，则当x ∈[1,3]时，f (x )的最小值是( )A ．2 B.14C ．－2D ．－14解析：当x ＜0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋322－14，在[－3，－1]内，当x ＝－3时，f (x )有最大值2.∵f (x )为奇函数，∴其图象关于原点对称，∴f (x )在[1,3]内的最小值为－2.答案：C9．已知x 2＋y 2＝1，x >0，y >0，且log a (1＋x )＝m ，log a 11－x＝n ，则log a y 等于( )A ．m ＋nB ．m －n C.12(m ＋n ) D.12(m －n )解析：由m －n ＝log a (1＋x )－log a 11－x＝log a (1－x 2)＝log a y 2＝2log a y ，∴log a y＝12(m －n )，故选D.答案：D10．若实数x ，y 满足|x |－ln 1y ＝0，则y 关于x 的函数的图象大致是( )AB CD解析：把|x |－ln 1y ＝0变形得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e |x |，即y ＝⎩⎨⎧e －x，x ≥0，e x ，x <0，故选B.答案：B11．已知f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (－3)＝0，则x ·f (x )<0的解集是( )A ．{x |x <－3或0<x <3}B ．{x |－3<x <0或x >3}C ．{x |x <－3或x >3}D ．{x |－3<x <0或0<x <3}解析：由f (x )是奇函数知， f (3)＝－f (－3)＝0，∵f (x )在(0，＋∞)内单调增， ∴f (x )在(－∞，0)内也单调增， 其大致图象如右图．由图象知，x ·f (x )<0的解集为(－3,0)∪(0,3)，故选D. 答案：D12.(2014·福州高一检测)衣柜里的樟脑丸，随着时间会挥发而体积缩小，刚放进的新丸体积为a ，经过t 天后体积V 与天数t 的关系式为：V ＝a ·e －kt .已知新丸经过50天后，体积变为49a .若一个新丸体积变为827a ，则需经过的天数为( )A ．125B ．100C ．75D ．50解析：由已知得49a ＝a ·e －50k ，∴e －k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49150设经过t 1天后，一个新丸体积变为827a ，则827a ＝a ·e －kt 1，∴827＝(e －k )t 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫49t 150，∴t 150＝32，t 1＝75.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若函数f (x )＝⎩⎨⎧log 3x (x ＞0)，16x (x ≤0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝____.解析：∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝log 313＝－1，f (－1)＝116，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝116. 答案：11614．若幂函数f (x )的图象经过点(3,9)，那么函数f (x )的单调增区间是__________．解析：设f (x )＝x α，由题意可知f (3)＝9，即3α＝9，α＝2，∴f (x )＝x 2，∴f (x )的单调增区间为[0，＋∞)．答案：[0，＋∞)15．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为__________(m)．解析：设矩形花园的宽为y m ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400，当x ＝20 m 时，面积最大．答案：20 16．如果函数f (x )对其定义域内的任意两个实数x 1，x 2都满足不等式f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2，则称函数f (x )在定义域上具有性质M .给出下列函数：①y ＝x ；②y ＝x 2；③y ＝2x ；④y ＝log 2x .其中具有性质M 的是__________(填上所有正确答案的序号)．解析：根据函数图象的上凸与下凹判断．函数y ＝x 与函数y ＝log 2x 的图象是上凸的，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞f (x 1)＋f (x 2)2；函数y ＝x 2与函数y ＝2x的图象是下凹的，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f (x 1)＋f (x 2)2.答案：②③三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知全集U ＝R .集合A ＝{x |－1≤x <3}，B ＝{x |x －k ≤0}． (1)若k ＝1，求A ∩(∁U B )；(2)若A ∩B ≠∅，求k 的取值范围．解析：(1)当k ＝1时，B ＝{x |x －1≤0}＝{x |x ≤1}． ∴∁U B ＝{x |x >1}，∴A ∩(∁U B )＝{x |1<x <3}． (5分)(2)∵A ＝{x |－1≤x <3)，B ＝{x |x ≤k }，A ∩B ≠∅， ∴k ≥－1.(10分)18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)． (1)若f (x 0)＝2，求f (3x 0)的值；(2)若f (x 2－3x ＋1)≤f (x 2＋2x －4)，求x 的取值范围． 解析：(1)f (3x 0)＝a 3x 0＝()ax 03＝23＝8.(4分) (2)当0<a <1时，f (x )＝a x 在R 上单调递减， ∴x 2－3x ＋1≥x 2＋2x －4,5≥5x ，解得x ≤1； 当a >1时，f (x )＝a x 在R 上单调递增． ∴x 2－3x ＋1≤x 2＋2x －4,5≤5x ，解得x ≥1. ∴当0<a <1时，x 的取值范围是(－∞，1]；当a >1，x 的取值范围是[1，＋∞)．(12分) 19．(本小题满分12分)已知定义R 上的函数f (x )＝2x ＋a2x (a 为常数)． (1)若f (x )为偶函数，求a 的值；(2)当f (x )满足(1)的条件的时，用单调性的定义判断函数在[0，＋∞)上的单调性，并判断f (x )在(－∞，0]上的单调性(不必证明)．解：(1)由题意，得f (－x )＝f (x )，即2－x ＋a 2－x ＝2x ＋a2x ，所以(a －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x ＝0，又对任意的x ∈R 都成立，所以a ＝1.(4分)(2)由(1)可得f (x )＝2x＋12x ，在[0，＋∞)上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋12x 1－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 2＋12x 2＝(2x 1－2x 2)·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2.因为0≤x 1<x 2，所以2x 1＋x 2>1,2x 1－2x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)．所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增．因为偶函数在对称的区间上单调性相反，所以f (x )在(－∞，0]上单调递减．(12分)20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x ＋2ax ＋b ，且f (1)＝52、f (2)＝174. (1)求a ，b 的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明；(3)判断并证明函数f (x )在[0，＋∞)上的单调性．解析：(1)⎩⎪⎨⎪⎧ f (1)＝52，f (2)＝174⇒⎩⎪⎨⎪⎧2＋2a ＋b ＝52，22＋22a ＋b＝174⇒⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝0.(4分) (2)f (x )为偶函数，(5分) 证明如下：由(1)可知f (x )＝2x ＋2－x ，定义域为R ，关于原点对称， ∵f (－x )＝2－x ＋2x ＝f (x )， ∴f (x )为偶函数．(8分)(3)函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数．(9分) 证明如下：任取x 1<x 2，且x 1，x 2∈[0，＋∞)， f (x 1)－f (x 2)＝()2x 1＋2－x 1－()2x 2＋2－x 2＝()2x 1－2x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 1－12x 2 ＝()2x 1－2x 2·2x 1＋x 2－12x 1＋x 2， ∵x 1<x 2且x 1，x 2∈[0，＋∞)，∴2x 1－2x 2<0,2x 1＋x 2>1， ∴f (x 1)－f (x 2)<0，∴f (x )在[0，＋∞)为增函数．(12分)21.(2014·台州高一检测，12分)函数f (x )＝2x －ax 的定义域为(0,1](a 为实数)． (1)当a ＝1时，求函数y ＝f (x )的值域；(2)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，求a 的取值范围．解析：(1)此时，f (x )＝2x －1x 单调递增，显然函数y ＝f (x )的值域为(－∞，1]．(4分)(2)若函数y ＝f (x )在定义域上是减函数，则任取x 1，x 2∈(0,1]且x 1＜x 2都有f (x 1)＞f (x 2)成立，即(x 1－x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋a x 1x 2＞0，只要a ＜－2x 1x 2即可，由于x 1x 2∈(0,1]且x 1＜x 2，故－2x 1x 2∈(－2,0)，所以a ≤－2，故a 的取值范围是(－∞，－2]．(12分)22.(2014·桂林高一检测，12分)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且x ≤0时，f (x )＝log 12(－x ＋1)．(1)求f (0)，f (1)；(2)求函数f (x )的解析式；(3)若f (a －1)＜－1，求实数a 的取值范围．解析：(1)因为当x ≤0时，f (x )＝log 12(－x ＋1)，所以f (0)＝0.(2分) 又函数f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (1)＝f (－1)＝log 12[－(－1)＋1]＝log 122＝－1，即f (1)＝－1.(4分) (2)令x ＞0，则－x ＜0，从而f (－x )＝log 12(x ＋1)＝f (x )，∴x ＞0时，f (x )＝log 12(x ＋1)． ∴函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(x ＋1)，x ＞0，log 12(－x ＋1)，x ≤0.(8分)(3)设x 1，x 2是任意两个值，且x 1＜x 2≤0， 则－x 1＞－x 2≥0， ∴1－x 1＞1－x 2.∵f (x 2)－f (x 1)＝log 12(－x 2＋1)－log 12(－x 1＋1)＝log 121－x 21－x 1＞log 121＝0，∴f (x 2)＞f (x 1)，∴f (x )＝log 12(－x ＋1)在(－∞，0]上为增函数．(10分)又f(x)是定义在R上的偶函数，∴f(x)在[0，＋∞)上为减函数，由f(a－1)＜－1，f(1)＝－1，得f(|a－1|)＜f(1)．∴|a－1|＞1，a＜0或a＞2.故a的取值范围为(－∞，0)∪(2，＋∞)．(12分)。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修1全集单元评估验收(三)
单元评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：因为Δ＝b 2＋4×2×3＝b 2＋24>0，所以函数图象与x 轴有两个不同的交点，故函数有2个零点．答案：C2．函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1，0) B ．－1 C ．1 D ．0解析：令1＋1x＝0，得x ＝－1，即为函数的零点． 答案：B3．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值为( )A ．3 B.127 C ．27 D.13解析：因为幂函数y ＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以(－2)a＝－18，所以a ＝－3.又因为f (x )＝27，所以x －3＝27，所以x ＝13. 答案：D4．若函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，4 B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：因为函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，所以f (－2)·f (1)≤0，解得m ≤－2或m ≥1.答案：D5．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)与(1，e)D ．(e ，＋∞)解析：易知函数f (x )在(2，3)上是连续的，且f (2)＝ln 2－1＝ln 2－ln e ＝ln 2e <0，f (3)＝ln 3－23>0，所以函数f (x )的零点所在的大致区间是(2，3)．答案：B6．函数f (x )＝2x －1的零点是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：由2x －1＝0，得x ＝0，故函数的零点为0.答案：A7．用二分法求f (x )＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．x 0＝－32 C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0＝1解析：由于f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 答案：C8．甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中( )A ．甲刚好盈亏平衡B ．甲盈利9元C ．甲盈利1元D ．甲亏本1.1元解析：甲两次付出为1 000元和1 000×1110×910元，两次收入为1 000×1110元和1 000×1110×910×910元， 而1 000×1110＋1 000×1110×910×910－1 000－1 000×1110×910＝1，故甲盈利1元．答案：C9．方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多个解析：画出y ＝log 12x 与y ＝2x －1的图象(图略)可知，两曲线仅有一个交点，故实根个数为1.答案：B。
人教A版高中同步学案数学必修第一册精品习题课件 模块综合测评
+
= + ( ∈ ),解得 =
∈ ),当 = −时可得 =
− ,所以图象C
对称,故A正确.
对于B,由题意知 + = ( ∈ ),解得 = − + ( ∈ ),即()图象的对称
中心为(− + , ), ∈ ，当 = 时可得 = − ,所以图象C关于点(− ,)对称,而
关于直线 = −
调递增,故C正确.
对于D,把函数() = (
+ )
+ 的图象上各点的横坐标缩短为原来的一半
（纵坐标不变）得到函数 = ( + ) + 的图象,不是图象C,故D错误.
综上,A,C正确.
1
10.已知不等式 2 + + > 0的解集为(− ,2),则下列结论正确的是() BCD
(1 ) = (2 ) = (3 ) = (4 ),则下列结论正确的是() BCD
A.1 + 2 = −1B.3 4 = 1C.1 < 4 < 2D.0 < 1 2 3 4 < 1
[解析]
画出函数()的大致图象如图,得出 + = −,− = ,则 = ,故A
A.
B.
C.
D.
[解析]对于A,阴影部分表示的集合为 ∩ = {, , },元素个数为3,故A错误;对于B,
阴影部分表示的集合为{, },元素个数为2,故B正确;对于C,阴影部分表示的集合为{},
元素个数为1,故C错误;对于D,阴影部分表示的集合为{, , },元素个数为3,故D错误.
人教A版高中数学同步辅导与检测必修一第三章章末复习课
第三章章末复习课[整合·网络构建][警示·易错提醒]1．正确认识零点存在定理，要抓住两个关键点：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线．(2)f(a)·f(b)<0，否则极易出错．2．在用二分法求函数的零点的近似值或方程的近似解时，要注意精确度的要求．3．在建立函数模型解决实际问题时，先作散点图，根据散点图来选择模拟函数，可避免盲目性，是较好的方法．专题一函数的零点与方程的根根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个相异实根．函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决函数、方程与不等式的问题．[例1](1)方程|x|－2x＝0的零点有()A ．1个B ．2个C ．3个D ．至少1个(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为________解析：(1)令f (x )＝|x |，g (x )＝2x，作出两个函数的图象，如图，从图象可以看出，交点只有1个．(2)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0，所以g (x )＝⎩⎨⎧x 2－4x ＋3，x ≥0，－x 2－4x ＋3，x <0.由⎩⎨⎧x ≥0，x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝1或x ＝3；由⎩⎨⎧x <0，－x 2－4x ＋3＝0，解得x ＝－2－7.所以函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为{－2－7，1，3}． 答案：(1)A (2){－2－7，1，3}归纳升华确定函数零点个数的方法(1)解方程f (x )＝0，找到几个相异实根．(2)利用图象，找出y ＝f (x )的图象与x 轴的交点个数或转化成求两个函数图象的交点个数．(3)利用f (a )·f (b )与0的关系进行判断．[变式训练] (1)已知函数f (x )＝6x－log 2x ，在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞) (2)设f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1，1]内( )A ．可能有3个实根B ．可能有2个实根C ．有唯一实根D ．没有实根解析：(1)因为函数f (x )在定义域(0，＋∞)上是连续不断的，且f (2)＝3－1>0，f (4)＝32－2<0，所以，函数f (x )的零点在区间(2，4)内． (2)由于f (x )＝x 3＋bx ＋c 是[－1，1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， 所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，12上有唯一零点，即方程f (x )＝0在[－1，1]内有唯一实根．答案：(1)C (2)C专题二 函数零点的应用函数零点的应用主要表现在：(1)利用函数零点求参数的值；(2)利用函数零点求参数的范围．[例2] (2015·湖南卷)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是__________．解析：若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，可得方程|2x －2|＝b有两个根，从而函数y ＝|2x －2|与函数y ＝b 的图象有两个交点，结合图象可得0<b <2.答案：0<b <2归纳升华已知函数的零点确定参数范围，其关键是利用数形结合思想与等价转化思想去建立参数不等关系，对于二次函数的零点问题，要充分利用图象，结合零点的条件从开口方向、对称轴位置、区间端点值的符号及判别式这几个方向去考虑．[变式训练] (1)若函数f (x )＝ax 2－x －1仅有一个零点，则实数a 的取值范围是______________．(2)已知函数f (x )＝2mx ＋5－3m 在(－1，2)内存在零点x 0，求实数m 的取值范围．(1)解析：当a ＝0时，f (x )＝－x －1是一次函数，有一个零点；当a ≠0时，Δ＝1＋4a ＝0，得a ＝－14. 综上知a ＝0或a ＝－14. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a |a ＝0或a ＝－14 (2)解：m ＝0时，f (x )＝5，不合题意；当m ≠0时，函数f (x )的图象是一条直线，依题意f (－1)·f (2)<0，即(5－5m )(m ＋5)<0，即(m －1)(m ＋5)>0，解得m<－5或m>1.所以实数m的取值范围是{m|m<－5或m>1}．专题三函数模型及其应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数模型来刻画．这当然需要我们深刻理解基本函数的图象和性质，熟练掌握基本函数和常用函数的特点，并对一些重要的函数模型要有清晰的认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图象的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为接近的函数模型进行模拟，从而解决一些实际问题或预测一些结果．[例3]某上市股票在30天内每股的交易价格P(元)与时间t(天)组成有序数对(t，P)，点(t，P)落在图中的两条线段上；该股票在30天内的日交易量Q(万股)与时间t(天)的部分数据如下表所示：(1)根据提供的图象，写出该种股票每股交易价格P(元)与时间t(天)所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q(万股)与时间t(天)的一次函数关系式；(3)用y表示该股票日交易额(万元)，写出y关于t的函数关系式，并求在这30天中第几天日交易额最大，最大值是多少？解析：(1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧15t ＋2，0<t ≤0，－110t ＋8，20<t ≤30(t ∈N *)． (2)设Q ＝at ＋b (a ，b 为常数)，把(4，36)，(10，30)代入得⎩⎨⎧4a ＋b ＝36，10a ＋b ＝30.∴a ＝－1，b ＝40 所以日交易量Q (万股)与时间t (天)的一次函数关系式为Q ＝－t ＋40，0<t ≤30，t ∈N *.(3)由(1)(2)可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫15t ＋2×（40－t ），0<t ≤20，⎝ ⎛⎭⎪⎫－110t ＋8×（40－t ），20<t ≤30. 即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－15（t －15）2＋125，0<t ≤20，110（t －60）2－40，20<t ≤30(t ∈N *)． 当0<t ≤20时，y 有最大值y max ＝125万元，此时t ＝15；当20<t ≤30时，y 随t 的增大而减少，y max <110(20－60)2－40＝120(万元)．所以，在30天中的第15天，日交易额取得最大值125万元．归纳升华函数模型的应用实例主要包含三个方面：(1)利用给定的函数模型解决实际问题；(2)建立确定性函数模型解决问题；(3)建立拟合函数模型解决实际问题．[变式训练] 如图所示，A 、B 两城相距100 km ，某天然气公司计划在两地之间建一天然气站D 给A 、B 两城供气．已知D 地距A 城x km ，为保证城市安全，天然气站距两城市的距离均不得少于10 km.已知建设费用y (万元)与A 、B 两地的供气距离(km)的平方和成正比．当天然气站D 距A 城的距离为40 km 时，建设费用为1 300万元(供气距离指天然气站距到城市的距离)．(1)把建设费用y (万元)表示成供气距离x (km)的函数，并求定义域；(2)天然气供气站建在距A 城多远，才能使建设供气费用最小，最小费用是多少？解：(1)由题意知D 地距B 地(100－x )km ，则⎩⎨⎧10≤100－x ，x ≥10，所以10≤x ≤90. 设比例系数为k ，则y ＝k [x 2＋(100－x )2](10≤x ≤90)，又x ＝40时，y ＝1 300，所以1 300＝k (402＋602)，即k ＝14，所以y ＝14[x 2＋(100－x )2]＝12(x 2－100x ＋5 000)(10≤x ≤90)． (2)由于y ＝12(x 2－100x ＋5 000)＝12(x －50)2＋1 250，所以当x ＝50时，y 有最小值为1 250万元．所以当供气站建在距A 城50 km 处，能使建设费用最小，最小费用是1 250万元．专题四 化归与转化思想化归是将待解决的问题通过某种转化的过程，归结为一类已解决或比较容易解决的问题；转化是将数学命题由一种形式转向另一种形式的转换过程．在解决函数问题时，常进行数与形或数与数的转化，从而达到解决问题的目的．[例4] 已知关于x 的方程ax 2－2(a ＋1)x ＋a －1＝0，试问当a 为何值时，方程的两根都大于1?解：设方程的两根为x 1，x 2，方程的两根都大于1，则x 1－1＞0，x 2－1＞0，故⎩⎨⎧（x 1－1）（x 2－1）＞0，（x 1－1）＋（x 2－1）＞0.即⎩⎨⎧x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1＞0，x 1＋x 2＞2.得⎩⎪⎨⎪⎧a －1a －2（a ＋1）a ＋1>0，2（a ＋1）a >2，解得⎩⎨⎧a >0，a <0，矛盾． 故不论a 为何值，方程的两根不可能都大于1.归纳升华本题中，将方程的根都大于1，转化为两根减1与0的大小比较，然后用一元二次方程的根与系数的关系得到等价不等式组，从而使问题得以解决．转化过程中一定要注意转化的等价性．[变式训练] 当a 为何值时，函数y ＝7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2的一个零点在区间(0，1)上，另一个零点在区间(1，2)上？解：已知函数对应的方程为7x 2－(a ＋13)x ＋a 2－a －2＝0，函数的大致图象如图所示．根据方程的根与函数的零点的关系，方程的根一个在(0，1)上，另一个在(1，2)上，则：⎩⎪⎨⎪⎧f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a －2>0，a 2－2a －8<0，a 2－3a >0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a <－1或a >2，－2<a <4，a <0或a >3.所以－2<a <－1或3<a <4.。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修1全集单元评估验收(三)
单元评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：因为Δ＝b 2＋4×2×3＝b 2＋24>0，所以函数图象与x 轴有两个不同的交点，故函数有2个零点．答案：C2．函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1，0) B ．－1 C ．1 D ．0解析：令1＋1x＝0，得x ＝－1，即为函数的零点． 答案：B3．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值为( )A ．3 B.127 C ．27 D.13解析：因为幂函数y ＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以(－2)a＝－18，所以a ＝－3.又因为f (x )＝27，所以x －3＝27，所以x ＝13. 答案：D4．若函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，4 B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：因为函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，所以f (－2)·f (1)≤0，解得m ≤－2或m ≥1.答案：D5．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)与(1，e)D ．(e ，＋∞)解析：易知函数f (x )在(2，3)上是连续的，且f (2)＝ln 2－1＝ln 2－ln e ＝ln 2e <0，f (3)＝ln 3－23>0，所以函数f (x )的零点所在的大致区间是(2，3)．答案：B6．函数f (x )＝2x －1的零点是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：由2x －1＝0，得x ＝0，故函数的零点为0.答案：A7．用二分法求f (x )＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．x 0＝－32 C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0＝1解析：由于f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 答案：C8．甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中( )A ．甲刚好盈亏平衡B ．甲盈利9元C ．甲盈利1元D ．甲亏本1.1元解析：甲两次付出为1 000元和1 000×1110×910元，两次收入为1 000×1110元和1 000×1110×910×910元， 而1 000×1110＋1 000×1110×910×910－1 000－1 000×1110×910＝1，故甲盈利1元．答案：C9．方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多个解析：画出y ＝log 12x 与y ＝2x －1的图象(图略)可知，两曲线仅有一个交点，故实根个数为1.答案：B10．某城市为保护环境、维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月用水超过8吨，超过部分加倍收费．若某职工某月缴水费20元，则该职工这个月实际用水()A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8，则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，所以x＝9.答案：D11．设甲、乙两地的距离为a km(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min，在乙地休息10 min后，又匀速从乙地返回甲地用了30 min.则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()解析：由题意知，中间休息时，时间与路程之间的函数为常函数，其余时间段随时间的增加，路程也增加．观察图象知D选项正确．答案：D12．函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，满足f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，其中a<b<c，则y＝f(x)在(a，c)上零点个数为()A．2 B．至少2个C．奇数D．偶数解析：因为函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，由f(a)·f(b)<0，知y＝f(x)在(a，b)上至少有1个零点，由f(b)·f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有1个零点，所以y＝f(x)在(a，c)上至少有2个零点．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x)是定义域为R的奇函数，且在区间(0，＋∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为________．解析：由题意知f(0)＝0，f(x)在区间(0，＋∞)上有一个零点，在区间(－∞，0)上也必有一个零点，所以f(x)在定义域R上有三个零点．答案：314．若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则实数m的取值是________．解析：若m≠0，则Δ＝4－12m＝0，m＝13，若m＝0，则f(x)＝－2x＋3只有一个零点，符合要求，所以m＝0或13.答案：0或1315．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y ＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于________．解析：设产量为x 台，利润为S 万元，则S ＝25x －y ＝25x －(0.1x 2－11x ＋3 000)＝－0.1x 2＋36x －3 000＝－0.1(x －180)2＋240，则当x ＝180时，生产者的利润取得最大值．答案：180台16．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．解析：由题意得⎩⎨⎧192＝e b，48＝e 22k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧e b ＝192，e 11k ＝12， 当x ＝33时，y ＝e33k ＋b ＝(e 11k )3e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24. 答案：24 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某市出租车的计价标准是4 km 以内10元(含4 km)，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2元/千米，超出18 km 的部分1.8元/千米．(1)不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20 km ，那么他要付多少车费？解：(1)设行车里程为x km ，车费为y 元．由题意得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0<x ≤4，10＋1.2（x －4），4<x ≤18，10＋1.2×14＋1.8（x －18），x >18，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0<x ≤4，1.2x ＋5.2，4<x ≤18，1.8x －5.6，x >18.(2)将x ＝20代入函数解析式，得y ＝1.8×20－5.6＝30.4(元)． 故乘车20 km ，要付车费30.4元．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个零点，且都大于2，求实数m 的取值范围．解：函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个大于2的零点，即方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0有两个不相等的实数解，且都大于2.结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧（m －2）2－4（5－m ）>0，2－m 2>2，4＋2（m －2）＋5－m >0，解得－5<m <－4.故实数m 的取值范围是(－5，－4)． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．解：由f (x )＝0，得x －1＝－12x 2＋2.令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0，2)，与x 轴的交点分别为(－2，0)，(2，0)，y 1与y 2的图象有3个交点，由此可知函数f (x )有3个零点．设函数y 1＝x －1与y 2＝－12x 2＋2图象三个交点的横坐标从左往右分别为x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的三个零点分别为x 1，x 2，x 3，因为f (－3)＝1－3＋12×9－2>0，f (－2)＝1－2＋12×4－2<0，即x 1∈(－3，－2)，同理x 2∈(0，1)，x 3∈(1，2)．20．(本小题满分12分)某同学在用120分钟做150分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时，卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分数分别为P (单位：分)和Q (单位：分)，在每部分做了20分钟的条件下发现它们与投入时间m (单位：分钟)的关系有经验公式，P ＝15m ＋36，Q ＝65＋23m . (1)试建立数学总成绩y (单位：分)与对卷Ⅱ投入时间x (单位：分钟)的函数关系式，并指明函数定义域；(2)如何计划使用时间，才能使得所得分数最高．解：(1)设对卷Ⅱ用x 分钟，则对卷Ⅰ用(120－x )分钟，所以y ＝P＋Q ＝65＋23x ＋15(120－x )＋36＝ －15x ＋23x ＋125，其定义域为[20，100]． (2)令t ＝x ∈[25，10]，则函数为关于t 的二次函数：y ＝－15t 2＋23t ＋125＝－15(t －53)2＋140. 所以当t ＝53，即x ＝75时，y max ＝140.即当卷Ⅰ用45分钟，卷Ⅱ用75分钟时，所得分数最高．21．(本小题满分12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .(1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根．证明：(1)由f (x )＝1得x 2＋(2t －1)x ＋1－2t ＝1，即x 2＋(2t －1)x －2t ＝0.因为Δ＝(2t －1)2＋8t ＝4t 2＋4t ＋1＝(2t ＋1)2≥0，所以对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根．(2)当12<t <34时，f (－1)＝3－4t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫34－t >0， f (0)＝1－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t <0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t >0， 故方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根． 22．(本小题满分12分)旅游社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15 000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团人数最多为75人．(1)写出飞机票的价格关于旅游团人数的函数；(2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)设旅游团人数为x 人，飞行票价格为y 元，依题意，当1≤x ≤30，且x ∈N *时，y ＝900，当30<x ≤75，且x ∈N *时，y ＝900－10(x －30)＝－10x ＋1 200.所以所求函数为y ＝⎩⎨⎧900，1≤x ≤30，x ∈N *，－10x ＋1 200，30<x ≤75，x ∈N *.(2)设利润为f (x )元，则f (x )＝y ·x －15 000＝⎩⎨⎧900x －15 000，1≤x ≤30，x ∈N *，－10x 2＋1 200x －15 000，30<x ≤75，x ∈N.当1≤x ≤30，且x ∈N *时，f (x )max ＝f (30)＝12 000(元)， 当30<x ≤75，且x ∈N *时，f (x )max ＝f (60)＝21 000元，因为21 000元>12 000元，所以旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润．。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修1模块综合评价(一)
模块综合评价(一)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．设集合A ＝{x |1≤x ≤5}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中元素的个数是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：因为A ∩Z ＝{1，2，3，4，5}，所以A ∩Z 中有5个元素． 答案：B2．设集合A ＝{x |1<x <2}，B ＝{x |x <a }．若A ⊆B ，则a 的范围是( )A ．a ≥1B ．a ≤1C ．a ≥2D ．a ≤2解析：在数轴上作出两个集合所在的区间，可知满足A ⊆B 的a ≥2.答案：C3．已知幂函数f (x )＝x a 的图象过点(4，2)，若f (m )＝3，则实数m 的值为( )A.3 B ．±3 C ．±9 D ．9 解析：依题意有2＝4a ，得a ＝12，所以f (x )＝x 12，当f (m )＝m 12＝3时，m ＝9. 答案：D4．设a ＝log 123，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫130.2，c ＝213，则( )A．a<b<c B．c<b<aC．c<a<b D．b<a<c解析：数形结合，画出三个函数的图象．由图象可知a<0，0<b<1，c>1，因此a<b<c.答案：A5．已知A∩{－1，0，1}＝{0，1}，且A∪{－2，0，2}＝{－2，0，1，2}，则满足上述条件的集合A共有()A．2个B．4个C．6个D．8个解析：因为A∩{－1，0，1}＝{0，1}，所以0，1∈A且－1∉A.又因为A∪{－2，0，2}＝{－2，0，1，2}，所以1∈A且至多－2，0，2∈A.故0，1∈A且至多－2，2∈A，所以满足条件的A只能为{0，1}，{0，1，－2}，{0，1，2}，{0，1，2，－2}，共有4个．答案：B6．已知集合A＝{x|y＝x＋1}，B＝{y|y＝x2＋1}，则A∩B＝() A．∅B．[－1，1]C．[－1，＋∞) D．[1，＋∞)解析：A＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，B＝{y|y＝x2＋1}＝{y|y≥1}．所以A∩B＝[1，＋∞)．答案：D7．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0，x1＋x2>0，则()A．f(－x1)>f(－x2)B．f(－x1)＝f(－x2)C．f(－x1)<f(－x2)D．f(－x1)与f(－x2)大小不确定解析：由x1<0，x1＋x2>0得x2>－x1>0，又f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．答案：A8．已知a>b，函数f(x)＝(x－a)(x－b)的图象如图所示，则函数g(x)＝log a(x＋b)的图象可能为()解析：易知0<b<1<a，所以g(x)＝log a(x＋b)为增函数，且g(0)<0，显然B符合．答案：B9．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝10lg x的定义域和值域相同的是()A．y＝x B．y＝lg xC．y＝2x D．y＝1 x解析：函数y＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y＝x的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x 的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．故选D. 答案：D10．设二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)．若f (m )<0，则f (m －1)的值为( )A ．正数B ．负数C ．非负数D ．正数、负数和零都有可能解析：二次函数f (x )＝x 2－x ＋a (a >0)的对称轴是x ＝12，且f (0)＝f (1)＝a >0.因为f (m )<0，所以m －1<0，所以f (m －1)>0. 答案：A11．已知函数在f (x )＝⎩⎨⎧x 2－ax ＋5，x <1，1＋1x ，x ≥1在R 上单调，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[4，＋∞)D ．[2，4]解析：当x ≥1时，f (x )＝1＋1x为减函数，所以f (x )在R 上应为单调递减函数，要求当x <1时，f (x )＝x 2－ax ＋5为减函数，所以a2≥1，即a ≥2，并且满足当x ＝1时，f (x )＝1＋1x 的函数值不大于x ＝1时，f (x )＝x 2－ax ＋5的函数值，即1－a ＋5≥2，解得a ≤4，所以实数a 的取值范围[2，4]． 答案：D12．设方程3－x ＝|lg x |的两个根分别为x 1，x 2，则( ) A ．x 1x 2<0 B ．x 1x 2＝1 C ．x 1x 2>1D ．0<x 1x 2<1解析：由题意知，当x >1时，3－x 1＝lg x 1，当0<x <1时，3－x 2＝－lg x 2且3－x 1<3－x 2.故3－x 1－3＋x 2＝lg x 1＋lg x 2＝lg(x 1x 2)<0，所以0<x 1x 2<1.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x >0时，f (x )＝12x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________．解析：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝12－x ＋1，所以f (－x )＝－12－x ＋1＝－2x 1＋2x . 答案：－2x 1＋2x14．已知函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，则a ＋b ＝________．解析：因为函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义是区间[－2a ，3a －1]上的奇函数，所以－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1.又f (0)＝b －2020＋1＝b －12＝0，所以b ＝1.故a ＋b ＝2.答案：215．若函数f (x )＝|4x －x 2|－a 的零点个数为3，则a ＝________． 解析：作出g (x )＝|4x －x 2|的图象(图略)，g (x )的零点为0和4.由图象可知，将g (x )的图象向下平移4个单位时，满足题意，所以a ＝4.答案：416．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a，则a ＝________，b ＝________．解析：因为log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b ＝52，所以log a b ＝2或12.因为a >b >1，所以log a b <log a a ＝1， 所以log a b ＝12，所以a ＝b 2.因为a b ＝b a ，所以(b 2)b ＝bb 2，所以b 2b ＝bb 2， 所以2b ＝b 2，所以b ＝2，所以a ＝4. 答案：4 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知集合A ＝{x |x <－1或x >4}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：当B ＝∅时，只需2a >a ＋3，即a >3；当B ≠∅时，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，a ＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋3≥2a ，2a >4，解得a <－4或2<a ≤3.综上，实数a 的取值范围为(－∞，－4)∪(2，＋∞)．18．(本小题满分12分)已知x 1，x 2是方程x 2－2(m －1)x ＋m ＋1＝0的两个不等实根，且y ＝x 21＋x 22，求y ＝f (m )的表达式及值域．解：由Δ＝4(m －1)2－4(m ＋1)>0， 解得m >3或m <0.由韦达定理可得x 2＋x 1＝2(m －1)，x 2x 1＝m ＋1.故y ＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝4(m －1)2－2(m ＋1)＝4m 2－10m＋2(m >3或m <0)．因为f (m )＝4m 2－10m ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫m －542－174，所以f (m )的值域为(2，＋∞)．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －5x .(1)判断函数的奇偶性，并证明；(2)用单调性的定义证明函数f (x )＝2x －5x 在(0，＋∞)上单调递增．解：(1)函数f (x )＝2x －5x是奇函数．证明如下：易知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称．因为f (－x )＝2(－x )－5－x＝－2x ＋5x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1<x 2， 则f (x 2)－f (x 1) ＝2x 2－5x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1－5x 1＝2(x 2－x 1)＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 2－x 1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋5x 1x 2，因为0<x 1<x 2，所以x 2－x 1>0，x 1x 2>0， 所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， 所以f (x )＝2x －5x在(0，＋∞)上单调递增．20．(本小题满分12分)求函数f (x )＝x 2＋2x ＋a －1在区间⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12上的零点．解：Δ＝4－4(a －1)＝8－4a . 当Δ<0，即a >2时，f (x )无零点． 当Δ＝0，即a ＝2时，f (x )有一个零点－1.当Δ>0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，即⎩⎨⎧8－4a >0，14＋1＋a －1<0，a <－14时，f (x )仅有一个零点：－1－2－a .当Δ>0且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0，即⎩⎨⎧8－4a >0，14＋1＋a －1≥0⇒－14≤a <2时，f (x )有两个零点：x ＝－2±8－4a2＝－1±2－a .综上所述，当a >2时，f (x )无零点； 当a ＝2时，f (x )有一个零点－1；当－14≤a <2时，f (x )有两个零点：－1±2－a ；当a <－14时，f (x )有一个零点：－1－2－a .21．(本小题满分12分)“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点．研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v (单位：千克/年)是养殖密度x (单位：尾/立方米)的函数．当x 不超过4(尾/立方米)时，v 的值为2(千克/年)；当4≤x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x 达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v 的值为0(千克/年)．(1)当0<x ≤20时，求函数v (x )的表达式；(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．解：(1)由题意：当0<x ≤4时，v (x )＝2 当4<x ≤20时，设v (x )＝ax ＋b ， 显然该函数在[4，20]是减函数， 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧20a ＋b ＝0，4a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18，b ＝52.故函数v (x )＝⎩⎨⎧2，0<x ≤4，x ∈N *，－18x ＋52，4≤x ≤20，x ∈N *.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0<x ≤4，x ∈N *，－18x 2＋52x ，4≤x ≤20，x ∈N *.当0≤x ≤4时，f (x )为增函数， 故f max (x )＝f (4)＝4×2＝8；当4≤x ≤20时，f (x )＝－18x 2＋52x ＝－18(x 2－20x )＝－18(x －10)2＋10028，f max(x)＝f(10)＝12.5.所以，当0<x≤20时，f(x)的最大值为12.5.当养殖密度为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值约为12.5千克/立方米．22．(本小题满分12分)已知奇函数f(x)＝m－g（x）1＋g（x）的定义域为R，其中g(x)为指数函数，且过定点(2，9)．(1)求函数f(x)的解析式；(2)若对任意的t∈[0，5]，不等式f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)>0恒成立，求实数k的取值范围．解：(1)设g(x)＝a x(a>0，且a≠1))，则a2＝9，所以a＝－3 (舍去)或a＝3，所以g(x)＝3x，f(x)＝m－3x 1＋3x.又f(x)为奇函数，且定义域为R，所以f(0)＝0，即m－301＋30＝0，所以m＝1，所以f(x)＝1－3x 1＋3x.(2)设x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝1－3x11＋3x1－1－3x21＋3x2＝2（3x2－3x1）（1＋3x1）（1＋3x2）.因为x1<x2，所以3x2－3x1>0，所以2（3x2－3x1）（1＋3x1）（1＋3x2）>0，所以f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在R上单调递减．要使对任意的t∈[0，5]，f(t2＋2t＋k)＋f(－2t2＋2t－5)>0恒成立，即对任意的t∈[0，5]，f(t2＋2t＋k)>－f(－2t2＋2t－5)恒成立．因为f(x)为奇函数，所以f(t2＋2t＋k)>f(2t2－2t＋5)恒成立．又因为函数f(x)在R上单调递减，所以对任意的t∈[0，5]，t2＋2t＋k<2t2－2t＋5恒成立，即对任意的t∈[0，5]，k<t2－4t＋5＝(t－2)2＋1恒成立．而当t∈[0，5]时，1≤(t－2)2＋1≤10，所以k<1.。
人教版高中数学高一必修一：第三章单元质量评估
第三章单元质量评估时限：120分钟 满分：150分一、选择题(每小题5分，共60分)1．若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是( )A ．若f (a )f (b )>0，则不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0B ．若f (a )f (b )<0，则只存在一个实数c ∈(a ，b )，使得f (c )＝0C ．若f (a )f (b )>0，则有可能存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝0D ．若f (a )f (b )<0，则有可能不存在实数c ∈(a ，b )使得f (c )＝02．函数y ＝f (x )在区间(－2,2)上的图象是连续的，且方程f (x )＝0在(－2,2)上仅有一个实根0，则f (－1)·f (1)的值( )A ．大于0B ．小于0C ．等于0D ．无法确定3．若函数f (x )在[a ，b ]上的图象为连续不断的一条曲线，且同时满足f (a )f (b )<0，f (a )·f (a ＋b 2)>0，则( )A ．f (x )在[a ，a ＋b2]上有零点 B ．f (x )在[a ＋b2，b ]上有零点 C ．f (x )在[a ，a ＋b2]上无零点 D ．f (x )在[a ＋b2，b ]上无零点4．函数f (x )＝1－x ln x 的零点所在的区间是( ) A ．(0，12) B ．(12，1) C ．(1,2)D ．(2,3)5．设f(x)＝3x＋3x－8，若用二分法求方程3x＋3x－8＝0在区间(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0，f(1.5)>0，f(1.25)<0，则方程的根所在的区间为() A．(1,1.25) B．(1.25,1.5)C．(1.5,2) D．不能确定6．若函数f(x)＝x2＋3x＋2，且f(a)>f(b)>0，则函数f(x)的区间(a，b)内() A．一定无零点B．一定有零点C．可能有两个零点D．至多有一个零点7．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗中盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t(分钟)的函数关系表示的图象可能是()8．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况加油时间加油量(升)加油时的累计里程(千米)2015年5月1日1235 000 2015年5月15日4835 600注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为( ) A ．6升 B ．8升 C ．10升D ．12升9．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－110．设a 是函数f (x )＝2x －log 12x 的零点，若x 0>a ，则( ) A ．f (x 0)＝0 B ．f (x 0)>0C ．f (x 0)<0D ．f (x 0)的符号不确定11．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2，－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－|x |，x ≤2，(x －2)2，x >2，函数g (x )＝b －f (2－x )，其中b ∈R .若函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A ．(74，＋∞) B ．(－∞，74) C ．(0，74)D ．(74，2) 答案1．C 当零点在区间(a ，b )内时，f (a )f (b )>0也可能成立，因此A 不正确，C 正确；若y ＝f (x )满足零点存在性定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B ，D 都不正确．2．D 由题意，知f (x )在(－1,1)上有零点0，该零点可能是变号零点，也可能是不变号零点，∴f (－1)·f (1)的符号不确定，如f (x )＝x 2，f (x )＝x .3．B 由f (a )f (b )<0，f (a )f (a ＋b 2)>0可知f (a ＋b2)f (b )<0，根据零点存在性定理可知f (x )在[a ＋b2，b ]上有零点．4．C 由于f (1)＝1－ln1＝1>0，f (2)＝1－2ln2＝lne －ln4<0，由零点存在性定理可知所求区间为(1,2)．5．B ∵f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，∴f (1.5)·f (1.25)<0，因此方程的根所在的区间为(1.25,1.5)．6．C 根据二次函数的图象可知选项C 正确．7．B 由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取12t 时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的12，对比四个选项的图象可知选B.8．B 因为第一次(即5月1日)把油加满，而第二次把油加满加了48升，即汽车行驶35 600－35 000＝600千米耗油48升，所以每100千米的耗油量为8升，选B.9．D 设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2，解得x ＝(1＋p )(1＋q )－1，故选D.10．B 如图所示，画出函数y ＝2x 与y ＝log 12x 的图象，可知当x 0>a 时，2x0>log 12x 0，故f (x 0)>0.11．D 当x ≥0时，函数g (x )的零点即方程f (x )＝x －3的根，由x 2－3x ＝x －3，解得x ＝1或3.当x <0时，由f (x )是奇函数得－f (x )＝f (－x )＝x 2－3(－x )，即f (x )＝－x 2－3x .由f (x )＝x －3得x ＝－2－7(正根舍去)．故选D.12．D 函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点，即方程f (x )－g (x )＝0，即b ＝f (x )＋f (2－x )有4个不同的实数根，即直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点．又y ＝f (x )＋f (2－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x <0，2，0≤x ≤2，x 2－5x ＋8，x >2，作出该函数的图象如图所示，由图可得，当74<b <2时，直线y ＝b 与函数y ＝f (x )＋f (2－x )的图象有4个不同的交点，故函数y ＝f (x )－g (x )恰有4个零点时，b 的取值范围是(74，2)．———————————————————————————— 二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知定义在R 上的函数f (x )的图象是连续不断的，且有如下部分对应值表：x 1 23456f (x )136.13515.552 －3.92 10.88 －52.488 －232.06414．用二分法求函数f (x )的一个零点，其参考数据如下：f (1.600 0)≈0.200f (1.587 5)≈0.133f (1.575 0)≈0.06715．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是________小时．16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －a ，x <1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1.若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17．(10分)(1)判断函数f (x )＝x 3－x －1在区间[－1，2]上是否存在零点； (2)求函数y ＝x ＋2x －3的零点．18．(12分)若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝ln x ＋2x －6，试判断函数f (x )的零点个数．答案13.3解析：由已知数据可知f (2)f (3)<0，f (3)f (4)<0，f (4)f (5)<0，所以函数在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内各至少有1个零点，则函数至少有3个零点．14．1.562 5(答案不唯一)解析：由参考数据知，f (1.562 5)≈0.003>0，f (1.556 25)≈－0.029<0，即f (1.556 25)·f (1.562 5)<0，又1.562 5－1.556 25＝0.006 25<0.01，∴f (x )的一个零点的近似值可取为1.562 5.15．24解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e 22k ＋b ＝48，即⎩⎨⎧e b＝192，e 11k ＝12，所以该食品在33℃的保鲜时间是y ＝e 33k ＋b ＝(e 11k )3·e b ＝(12)3×192＝24(小时)．16．[12，1)∪[2，＋∞)解析：当a ≥1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足21－a ≤0，即a ≥2，所以a ≥2；当a <1时，要使f (x )恰有2个零点，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <1≤2a ，21－a >0，解得12≤a <1.综上，实数a 的取值范围为[12，1)∪[2，＋∞)．17．解：(1)∵f (－1)＝－1<0，f (2)＝5>0，f (－1)f (2)<0.∴f (x )在[－1,2]上存在零点．(2)x ＋2x －3＝x 2－3x ＋2x ＝(x －1)(x －2)x ，解方程x ＋2x －3＝0，即(x －1)(x －2)x ＝0，可得x ＝1或x ＝2.∴函数y ＝x ＋2x －3的零点为1,2.18．解：方法一：当x <0时，－x >0，f (－x )＝ln(－x )－2x －6，又f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－ln(－x )＋2x ＋6. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln x ＋2x －6，x >00，x ＝0－ln (－x )＋2x ＋6，x <0令f (x )＝0易得函数f (x )有3个零点．方法二：当x >0时，在同一坐标系中作出函数y ＝ln x 和y ＝6－2x 的图象如图所示，易知两函数图象只有1个交点，即当x >0时，函数f (x )有1个零点．由f (x )为定义在R 上的奇函数，可知f (0)＝0，且图象关于原点对称，则当x <0时，函数f (x )有1个零点．综上可知，f (x )在R 上有3个零点．————————————————————————————19．(12分)已知二次函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，且方程f (x )＋4＝0有唯一解x ＝1. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若函数f (x )在区间[a ，a ＋4]上存在零点，求实数a 的取值范围．(12分)某医药研究所开发的一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(mg)与时间t(h)之间近似满足如图所示的曲线．(1)写出服药后y与t之间的函数关系式y＝f(t)；(2)据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25 mg时，对治疗疾病有效，求服药一次治疗疾病有效的时间．答案19.解：(1)方程f (x )＋4＝0有唯一解x ＝1，即一元二次方程x 2＋bx ＋c ＋4＝0有唯一解x ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 2－4(c ＋4)＝0，b ＋c ＋5＝0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2，c ＝－3，所以f (x )＝x 2－2x －3.(2)结合(1)易知函数f (x )的零点为－1,3. 当－1∈[a ，a ＋4]时，－5≤a ≤－1； 当3∈[a ，a ＋4]时，－1≤a ≤3. 故实数a 的取值范围为[－5,3]． 20．解：(1)当0≤t <1时 ，y ＝4t ；当t ≥1时，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －a 此时M (1,4)在曲线上，故4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫121－a ，解得a ＝3，即y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3.故y ＝f (t )＝⎩⎨⎧4t ，0≤t <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3，t ≥1.(1)因为f (t )≥0.25，则⎩⎨⎧4t ≥0.25，⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －3≥0.25.解得⎩⎨⎧t ≥116，t ≤5，所以116≤t ≤5，因此服药一次治疗疾病有效的时间为 5－116＝41516(h)．————————————————————————————21．(12分)设f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－(x －2)2＋2.(1)求函数f(x)在R上的解析式；(2)在直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(3)若方程f(x)－k＝0有四个解，求实数k的取值范围．22.(12分)人们对声音有不同的感觉，这与它的强度I(单位：W/m2)有关系．但在实际测量时，常用声音的强度水平L1(单位：dB)表示，它满足公式：L1＝10×lg II0 (L1≥0，其中I0＝1×10－12W/m2，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．根据以上材料，回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语声的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播声的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50 dB以下，试求声音的强度I的范围是多少？答案21.解：(1)由于f (x )为定义在R 上的偶函数，则f (－x )＝f (x )，若x <0，则－x >0，f (x )＝f (－x )＝－(－x －2)2＋2＝－(x ＋2)2＋2，则f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －2)2＋2，x ≥0，－(x ＋2)2＋2，x <0. (2)图象如图所示：(3)由于方程f (x )－k ＝0的解就是函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 的交点的横坐标，观察函数y ＝f (x )的图象可知，当－2<k <2时，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝k 有四个交点，即方程f (x )－k ＝0有四个解．22．解：(1)由题意可知，树叶沙沙声的强度是I 1＝1×10－12W/m 2，则I 1I 0＝1，所以LI 1＝10×lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0 dB.耳语声的强度是I 2＝1×10－10W/m 2，则I 2I 0＝102，所以LI 2＝10×lg102＝20，即耳语声的强度水平为20 dB.恬静的无线电广播声的强度是I 3＝1×10－8 W/m 2，则I 3I 0＝104，所以LI 3＝10×lg104＝40，即恬静的无线电广播声的强度水平为40 dB.(2)由题意知，0≤L 1<50，即0≤10×lg I I 0<50，所以1≤I I 0<105，即10－12≤I <10－7.所以小区内公共场所的声音的强度I的范围为大于或等于10－12W/m2，同时应小于10－7W/m2.【…、￥。
(人教版A版2017课标)高中数学必修第一册第一章综合测试03含答案解析
加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。
２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。
亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。
相信你是最棒的！第一章综合测试一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，则下列关系正确的是（ ） A .A B =B .A B ⊆C .B A ⊆D .AB =∅∩ 2.已知集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，那么实数a 的取值集合是（ ）A .98⎧⎫⎨⎬⎩⎭B .908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，C .{}0D .203⎧⎫⎨⎬⎩⎭， 3.已知函数()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩＞，，≤，则()2f 的值等于（ ）A .4B .3C .2D .无意义4.已知函数()f x =的定义域为R ，则实数k 的取值范围是（ ）A .()()00-∞+∞，∪，B .[]04，C .[)04，D .()04，5.已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}123，，，其定义如表所示，则()()f g x 对应的三个值依次为（ ）x1 2 3 ()f x 2 3 1 ()g x 1 3 2 ()()f g xA .2，1，3B .1，2，3C .3，2，1D .1，3，26.已知函数()221x f x x =+，则()()()()1111234234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ） A .3B .4C .72D .927.设全集为R ，函数()0f x =定义域为M ，则M =R （ ）A .{}|2x x ≥B .{}|21x x x -＜且≠C .{}|21x x x -≥或=D .{}|21x x x -＞或=8.若函数()()221341x x x f x a x a x ⎧-+⎪=⎨-+⎪⎩，＜，，≥满足对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --成立，则实数a 的取值范围是（ ）A .()1+∞，B .[)13，C .233⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D .()3-∞，9.已知()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，且()()112f g -+=，()()114f g +-=，则()1g 等于（ ） A .4B .3C .2D .110.已知()22f x x ax =-+与()ag x x=在区间[]12，上都是减函数，则a 的取值范围为（ ） A .()01，B .(]01，C .()()1001-，∪，D .[)(]1001-，∪， 11.已知(){}2min 26f x x x x x =--，，，则()f x 的值域是（ ） A .(]2-∞，B .(]3-∞，C .[]02，D .[)2+∞，12.已知定义域为R 的函数()f x 在区间()4+∞，上为减函数，且函数()4y f x =+为偶函数，则（ ） A .()()23f f ＞B .()()25f f ＞C .()()35f f ＞D .()()36f f ＞二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.设集合{}24A t =-，，集合{}591B t t =--，，，若9A B ∈∩，则实数t =________.14.)13fx =+，则()f x =________.15.若函数y =的定义域为R ，则a 的取值范围为________. 16.已知函数()y f x =在()()00-∞+∞，∪，上为奇函数，且在()0+∞，上为增函数，()20f -=，则不等式()x f x ⋅＜0的解集为________.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分10分）已知函数()mf x x x=+，且()13f =. （1）求m ；（2）判断函数()f x 的奇偶性.18.（本小题满分12分）设全集U =R ，{}|13A x x =≤≤，{}|23B x a x a =+＜＜. （1）当1a =时，求()U A B ∩ ；（2）若()U A B B =∩ ，求实数a 的取值范围.19.（本小题满分12分）设函数()()21f x ax bx a b =++，为实数，()()()00.f x x F x f x x ⎧⎪=⎨-⎪⎩，＞，，＜（1）若()10f -=，且对任意实数x 均有()0f x ≥成立，求()F x 的表达式；（2）在（1）的条件下，当[]22x ∈-，时，()()g x f x kx =-是单调函数，求实数k 的取值范围.20.（本小题满分12分）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v （单位：千克/年）是养殖密度x （单位：尾/立方米）的函数.当04x ＜≤时，v 的值为2千克/年；当420x ＜≤时，v 是x 的一次函数；当20x ＞时，因缺氧等原因，v 的值为0千克/年.（1）当020x ＜≤时，求v 关于x 的函数表达式.（2）当养殖密度x 为多少时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值.21.（本小题满分12分）定义在()11-，上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，且()()1120f a f a -+-＜.若()f x 是()11-，上的减函数，求实数a 的取值范围.22.（本小题满分12分）已知()f x 是二次函数，()()050f f ==，且()112f -=. （1）求()f x 的解析式；（2）求()f x 在[]0m ，上的最小值()g m ；（3）对（2）中的()g m ，求不等式()()21g t g t -＜的解集.第一章综合测试答案解析一、 1.【答案】C【解析】由集合{}21,0,1,2A =--，，{}|1B y y x x A ==-∈，，得{}101B =-，，.又因为集合{}21,0,1,2A =--，，所以B A ⊆，故选C . 2.【答案】B【解析】 集合{}2|320A x ax x =-+=中有且只有一个元素，0a ∴=或0980a a ⎧⎨∆=-=⎩≠，，解得0a =或98a =，∴实数a 的取值集合是908⎧⎫⎨⎬⎩⎭，.3.【答案】C【解析】()()12232x x x f x f x x +⎧⎪-=⎨⎪+⎩，＞，，≤，()()5125252f f +∴===-.故选C .4.【答案】B【解析】()f x 的定义域为R ，∴不等式210kx kx ++≥的解集为R .①当0k =时，10≥恒成立，满足题意；②当0k ≠时，2040k k k ⎧⎨∆=-⎩＞，≤，解得04k ＜≤.综上，04k ≤≤.故选B . 5.【答案】A【解析】当1x =时，()11g =，()()()112f g f ==；当2x =时，()23g =，()()()231f g f ==；当3x =时，()32g =，()()()323f g f ==，故选A . 6.【答案】C【解析】因为()221x f x x =+，所以222111111x f x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎝⎭== ⎪+⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以()11f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 故()()()()1111712343234112f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++=+= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C . 7.【答案】C【解析】要使函数有意义，则120x x +⎧⎨-⎩≠0，＞，得2x ＜且1x -≠，所以{}|21M x x x =＜且≠-，所以{}|2M x x x ==R ≥或-1 .故选C .8.【答案】C【解析】 对任意实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x --＞成立，()f x ∴在R 上是增函数，()230314121a a a -⎧⎪∴⎨-⨯+-+⨯⎪⎩＞，≥，解得233a -≤＜.故选C . 9.【答案】B【解析】()f x 是奇函数，()()11f f -=-. 又()g x 是偶函数，()()11g g ∴-=.()()()()112112f g g f -+=∴-= ，.① ()()()()114114f g f g +-=∴+= ，.②由①②，得()13g =. 10.【答案】B【解析】()()2222f x x ax x a a =-+=--+，其单调递减区间为()a ∞，+，()f x 在区间[]12，上是减函数，则1a ≤.又()ag x x=在区间[]12，上是减函数，则0a ＞.01a ∴＜≤. 11.【答案】B【解析】(){}2min 26f x x x x x =-- ，，，的同一平面直角坐标系中分别作出22y x x =-，6y x =-，y x =的图像，并取其函数值较小的部分，如图所示.则由图像可知函数(){}2min 26f x x x x x =--，，的值域为(]3-∞，，故选B .12.【答案】D【解析】()4y f x =+ 为偶函数，()()44f x f x ∴-+=+.令2x =，得()()()()224246f f f f =-+=+=，同理，()()35f f =.又知()f x 在()4+∞，上为减函数，56 ＜，()()56f f ∴＞.()()23f f ∴＜，()()()265f f f =＜，()()()356f f f =＞.故选D .二、13.【答案】3-【解析】{}24A t =- ，，{}591B t t =--，，，且9A B ∈∩，29t ∴=，解得3t =或3t =-，当3t =时，根据集合元素互异性知不符合题意，舍去；当3t =-时，符合题意. 14.【答案】()()2131x x -+≥1t =，()21x t ∴=-，1t ≥，()()213f t t ∴=-+，()()()2131f x x x ∴=-+≥.15.【答案】[]19，【解析】 函数y =的定义域为R ，()()2221101a x a x a ∴-+-++恒成立.当210a -=时，1a =±，当1a =时，不等式恒成立，当1a =-时，无意义；当210a -≠时，()()22210214101a a a a ⎧-⎪⎨∆=---⋅⎪+⎩＞，，解得19a ＜≤.综上所述，a 的取值范围为[]19，. 16.【答案】()()2002-，∪， 【解析】根据题意画出()f x 的大致图像，如图所示.由图像可知当20x -＜＜或02x ＜＜时，()0x f x ⋅＜. 三、17.【答案】解（1）()13f = ，13m ∴+=，2m ∴=. （2）由（1）知，()2f x x x=+，其定义域是{}|0x x x ∈R ≠，，关于原点对称.又()()22f x x x f x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭ ，∴函数()f x 是奇函数. 18.【答案】解（1）当1a =时，{}|24B x x =＜＜.{}|13A x x = ≤≤，{}|13U A x x x ∴=＜或＞ ， (){}|34U A B x x ∴=∩＜＜ .（2）若()U A B B =∩ ，则U B A ⊆ . ①B =∅时，23a a +≥，则3a ≥；②B ∅≠时，2331a a a +⎧⎨+⎩＜，≤或2323a a a +⎧⎨⎩＜，≥，则2a -≤或332a ≤＜.综上，实数a 的取值范围是(]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，∪，. 19.【答案】解（1）()10f -= ，1b a ∴=+，由()0f x ≥恒成立，知0a ＞且()()22241410b a a a a ∆=-=+-=-≤， 1a ∴=，从而()221f x x x =++，()()()221010.x x F x x x ⎧+⎪∴=⎨-+⎪⎩，＞，，＜ （2）由（1）可知()221f x x x =++，()()()221g x f x kx x k x ∴=-=+-+. ()g x 在[]22-，上是单调函数， 222k -∴--或222k --，解得2k -≤或6k ≥. 即实数k 的取值范围是(][)26-∞-+∞，∪，. 20.【答案】解（1）由题意得当04x ＜≤时，2v =. 设当420x ＜≤时，v ax b =+，由已知得20042a b a b +=⎧⎨+=⎩，，解得1852a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，，所以1582v x =-+.故函数20415420.82x v x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤ （2）设鱼的年生长量为()f x 千克/立方米，依题意，由（1）可得()220415420.82x x f x x x x ⎧⎪=⎨-+⎪⎩，＜≤，，＜≤当04x ＜≤时，()f x 为增函数，故()()max 4428f x f ==⨯=；当420x ＜≤时，()()2215125108282f x x x x =-+=--+，()()max 1012.5f x f ==.所以当020x ＜≤时，()f x 的最大值为12.5，即当养殖密度x 为10尾/立方米时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米.21.【答案】解：由()()1120f a f a -+-＜， 得()()112f a f a ---＜.()()f x f x -=- ，()11x ∈-，， ()()121f a f a ∴--＜. 又()f x 是()11-，上的减函数， 1111211121,a a a a --⎧⎪∴--⎨⎪--⎩＜＜，＜＜，＞解得203a ＜＜. 故实数a 的取值范围是203⎛⎫⎪⎝⎭，.22.【答案】解（1）因为()f x 是二次函数，且()()050f f ==， 所以设()()()50f x ax x a =-≠. 又因为()1612f a -==，所以2a =， 所以()()225210f x x x x x =-=-. （2）由（1）知()f x 的对称轴为52x =，高中数学 必修第一册 6 / 6 当502m ＜≤时，()f x 在区间[]0m ，上单调递减， 所以()f x 的最小值为()2210f m m m =-； 当52m ＞时，()f x 在区间502⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递减，在区间52m ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上单调递增， 所以()f x 的最小值为52522f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 综上所述，()()2min 521002255.22m m m f x g m m ⎧-⎪⎪==⎨⎪-⎪⎩，＜≤＞ （3）因为()()21g t g t -＜，所以210215212t t t t ⎧⎪-⎪-⎨⎪⎪-⎩＞，＜，＜，解得112t ＜， 即不等式()()21g t g t -＜的解集为1|12t t ⎧⎫⎨⎬⎩⎭＜＜.。
25、【人教A版】高中数学同步辅导与检测(选修1-1)第三章章末评估验收(三)
章末评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f (x )可导，则 f （1－Δx ）－f （1）－Δx 等于( )A ．f ′(1)B ．不存在 C.13f ′(1) D ．以上都不对解析：f （1－Δx ）－f （1）－Δx＝ f （1－Δx ）－f （1）1－Δx －1＝f ′(1)．答案：A2．曲线y ＝f (x )＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线方程为( ) A ．y ＝－3x ＋3 B ．y ＝－3x ＋1 C ．y ＝－3D ．x ＝2解析：因为y ′＝f ′(x )＝3x 2－6x ，则曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(2，－3)处的切线的斜率k ＝f ′(2)＝3×22－6×2＝0，所以切线方程为y －(－3)＝0×(x －2)，即y ＝－3.答案：C3．函数f (x )＝x 3－3x ＋1的单调递减区间是( ) A ．(1，2) B ．(－1，1)C ．(－∞，－1)D ．(－∞，－1)，(1，＋∞)解析：f′(x)＝3x2－3，由f′(x)＜0，可得－1＜x＜1.答案：B4．函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9，在x＝－3时取得极值，则a等于()A．2 B．3 C．4 D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3.由f(x)在x＝－3时取得极值，即f′(－3)＝0，即27－6a＋3＝0，所以a＝5.答案：D5．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，归纳可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)＝()A．f(x) B．－f(x) C．g(x) D．－g(x)解析：观察可知，偶函数f(x)的导函数g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)．答案：D6．若函数f(x)＝13x3－f′(1)·x2－x，则f′(1)的值为() A．0 B．2 C．1 D．－1解析：f′(x)＝x2－2f′(1)·x－1，则f′(1)＝12－2f′(1)·1－1，解得f′(1)＝0.答案：A7．某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品．设该商品零售价定为P元，销售量为Q件，且Q与P有如下关系：Q＝8 300－170P－P2，则最大毛利润为(毛利润＝销售收入－进货支出)()A ．30元B ．60元C ．28 000元D ．23 000元解析：设毛利润为L (P )元，由题意知L (P )＝PQ －20Q ＝Q (P －20)＝(8 300－170P －P 2)(P －20)＝－P 3－150 P 2＋11 700 P －166 000，所以L ′(P )＝－3P 2－300P ＋11 700.令L ′(P )＝0，解得P ＝30或P ＝－130(舍去)．当20≤P ＜30时，L ′(P )＞0，L (P )为增函数；当P ＞30时，L ′(P )＞0，L (P )为减函数，故P ＝30为L (P )的极大值点，也是最大值点，此时L (30)＝23 000，即最大毛利润为23 000元．答案：D8．设函数f (x )＝13x －ln x (x ＞0)，则y ＝f (x )( )A ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1(1，e)内均有零点B ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 D ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点解析：由题意得f ′(x )＝x －33x ，令f ′(x )＞0得x ＞3；令f ′(x )＜0得0＜x ＜3；f ′(x )＝0得x ＝3，故知函数f (x )在区间(0，3)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数，在点x ＝3处有极小值1－ln 3＜0；又f (1)＝13＞0，f (e)＝e3－1＜0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e＋1＞0.答案：C9．设f(x)，g(x)是R上的可导函数，f′(x)，g′(x)分别为f(x)，g(x)的导函数，且f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)<0，则当a<x<b时，有() A．f(x)g(b)>f(b)g(x) B．f(x)g(a)>f(a)g(x)C．f(x)g(x)>f(b)g(b) D．f(x)g(x)>f(a)g(a)解析：因为[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋g′(x)·f(x)<0，所以函数y＝f(x)g(x)是减函数．所以当a<x<b时，f(a)g(a)>f(x)g(x)>f(b)g(b)．故选C.答案：C10．函数y＝x2－2sin x的图象大致是()A BC D解析：y ′＝12－2cos x ，令y ′＝0，解得cos x ＝14，根据三角函数的知识可知此方程有无穷多个解，即函数y ＝x2－2sin x 有无穷多个极值点，又函数y ＝x2－2sin x 是奇函数，所以图象关于坐标原点对称，故选C.答案：C11．对任意的x ∈R ，函数f (x )＝x 3＋ax 2＋7ax 不存在极值点的充要条件是( )A ．0≤a ≤21B ．a ＝0或a ＝7C ．a ＜0或a ＞21D ．a ＝0或a ＝21解析：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋7a ，令f ′(x )＝0，即3x 2＋2ax ＋7a ＝0，对于此方程，Δ＝4a 2－84a ，当Δ≤0，即0≤a ≤21时，f ′(x )≥0恒成立，函数不存在极值点．答案：A12．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：函数的导数为f ′(x )＝12x 2－2ax －2b ，由函数f (x )在x ＝1处有极值，可知函数f ′(x )在x ＝1处的导数值为0，即12－2a －2b ＝0，所以a ＋b ＝6，由题意知a ，b 都是正实数，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋b 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝9，当且仅当a ＝b ＝3时取到等号． 答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若曲线y ＝x a ＋1(a ∈R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则a ＝________．解析：由题意，知y ′＝ax a －1，故在点(1，2)处的切线的斜率a ，又因为切线过坐标原点，所以a ＝2－01－0＝2.答案：214．函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．解析：先利用导数判断函数的单调性，再进一步求解函数的最大值．f ′(x )＝（x －1）－x （x －1）2＝－1（x －1）2，当x ≥2时，f ′(x )<0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数， 故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.答案：215．当x ∈[－1，2]时，x 3－x 2－x ＜m 恒成立，则实数m 的取值范围是________．解析：记f (x )＝x 3－x 2－x ， 所以f ′(x )＝3x 2－2x －1. 令f ′(x )＝0，得x ＝－13或x ＝1.又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝527，f (2)＝2，f (－1)＝－1，f (1)＝－1，所以当x ∈[－1，2]时，(f (x ))max ＝2，所以m ＞2. 答案：(2，＋∞)16．已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程是________．解析：设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1＋x . 因为f (x )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )， 所以f (x )＝e x －1＋x .因为当x >0时，f ′(x )＝e x －1＋1， 所以f ′(1)＝e 1－1＋1＝1＋1＝2.所以曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案：2x －y ＝0三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知函数f (x )＝x 3＋x －16. (1)求曲线y ＝f (x )在点(2，－6)处的切线的方程；(2)如果曲线y ＝f (x )的某一切线与直线y ＝－14x ＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)因为f ′(x )＝(x 3＋x －16)′＝3x 2＋1，所以f (x )在点(2，－6)处的切线的斜率为k ＝f ′(2)＝13. 所以切线的方程为y ＝13(x －2)＋(－6)， 即y ＝13x －32.(2)因为切线与直线y ＝－x4＋3垂直，所以切线的斜率k ＝4. 设切点的坐标为(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20＋1＝4， 所以x 0＝±1，所以⎩⎨⎧x 0＝1，y 0＝－14或⎩⎨⎧x 0＝－1，y 0＝－18.即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18)．切线方程为y ＝4(x －1)－14或y ＝4(x ＋1)－18. 即y ＝4x －18或y ＝4x －14.18．(本小题满分12分)设函数y ＝f (x )＝4x 3＋ax 2＋bx ＋5在x ＝32与x ＝－1处有极值．(1)写出函数的解析式； (2)指出函数的单调区间； (3)求f (x )在[－1，2]上的最值．解：(1)y ′＝12x 2＋2ax ＋b ，由题设知当x ＝32与x ＝－1时函数有极值，则x ＝32与x ＝－1满足y ′＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧12×⎝⎛⎭⎪⎫322＋2a ·32＋b ＝0，12×（－1）2＋2a ·（－1）＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－18，所以 y ＝4x 3－3x 2－18x ＋5.(2)y ′＝12x 2－6x －18＝6(x ＋1)(2x －3)，列表如下： ↗↘↗由上表可知(－∞，－1)和(32，＋∞)为函数的单调递增区间，⎝⎛⎭⎪⎫－1，32为函数的单调递减区间．(3)因为f (－1)＝16，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－614，f (2)＝－11，所以f (x )在[－1，2]上最小值是－614，最大值为16.19．(本小题满分12分)有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是P 万元和Q 万元，它们与投入资金x 万元的关系有经验公式：P ＝x5，Q ＝35x .现有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？解：设对乙种商品投资x 万元，则甲种商品投资为(3－x )万元，总利润为y 万元．根据题意，得y ＝3－x 5＋35x (0≤x ≤3)，y ′＝－15＋310·1x .令y ′＝0，解得x ＝94.由实际意义知x ＝94即为函数的极大值点，也是最大值点，此时3－x ＝34.因此为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入应分别为0.75万元和2.25万元，获得的最大利润为1.05万元．20．(本小题满分12分)若函数f (x )＝4x 3－ax ＋3在[－12，12]上是单调函数，则实数a 的取值范围为多少？解：f ′(x )＝12x 2－a ，若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上为单调增函数， 则f ′(x )≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立， 即12x 2－a ≥0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立． 所以 a ≤12x 2在[－12，12]上恒成立， 所以 a ≤(12x 2)min ＝0.当a ＝0时，f ′(x )＝12x 2≥0恒成立[只有x ＝0时f ′(x )＝0]． 所以 a ＝0符合题意．若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上为单调减函数， 则f ′(x )≤0，在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立， 即12x 2－a ≤0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立， 所以 a ≥12x 2在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上恒成立， 所以 a ≥(12x 2)max ＝3.当a ＝3时，f ′(x )＝12x 2－3＝3(4x 2－1)≤0恒成立(且只有x ＝±12时f ′(x )＝0.因此，a 的取值范围为a ≤0或a ≥3.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝12x 2＋ln x .(1)求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值、最小值；(2)求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方．(1)解：由f (x )＝12x 2＋ln x 得f ′(x )＝x ＋1x ， 因为当x ∈[1，e]时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在[1，e]上是增函数．f (x )max ＝f (e)＝12e 2＋1，f (x )min ＝f (1)＝12. (2)证明：设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3，则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝（1－x ）（1＋x ＋2x 2）x. 因为x >1，所以F ′(x )<0，所以函数F (x )在(1，＋∞)上是减函数，又因为F (1)＝－16，故在[1，＋∞)上有F (x )<0，即f (x )<g (x )，所以在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方． 22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x 3－3x .(1)求f (x )在区间[－2，1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)过点A (－1，2)，B (2，10)，C (0，2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切(只需写出结论)?解：(1)由f (x )＝2x 3－3x ，得f ′(x )＝6x 2－3.令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22.因为f (－2)＝ －10，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＝－2，f (1)＝1， 所以f (x )在区间[－2，1]上的最大值为f ⎝⎛⎭⎪⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)，则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3，所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)，因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)，整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0.设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同的零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)．当x 变化时，g ′(x )与g (x )的变化情况如下：所以g (0)＝t ＋3是g (x )的极大值，g (1)＝t ＋1是g (x )的极小值．当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(0)＞0且g(1)＜0，即－3＜t＜－1时，因为g(－1)＝t－7＜0，g(2)＝t＋11＞0，所以g(x)分别在区间[－1，0]，[0，1)和[1，2)上恰有1个零点．由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞]上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t 的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切，过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测：必修1全集单元评估验收(二)
单元评估验收(二)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a 的定义域为R 且为奇函数的所有a 值为( )A ．1，3B ．－1，1C ．－1，3D ．－1，1，3 解析：易知y ＝x 和y ＝x 3满足题设条件． 答案：A 2．函数y ＝1log 0.5（4x －3）的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C ．(1，＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫34，1∪(1，＋∞) 解析：要使函数有意义，应满足⎩⎨⎧log 0.5（4x －3）>0，4x －3>0，即⎩⎨⎧0<4x －3<1，4x －3>0，解得34<x <1.答案：A3．已知幂函数y ＝f (x )的图象过点(9，3)，则log 4f (2)的值为( ) A.14 B ．－14C ．2D ．－2解析：设幂函数为f (x )＝x α，则有3＝9α，得α＝12，所以f (x )＝x 12，f (2)＝2， 所以log 4f (2)＝log 42＝log 4414＝14.答案：A4．函数y ＝2|x |的大致图象是( )解析：易知函数y ＝2|x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，在区间(0，＋∞)上是增函数，观察图象知B 选项正确．答案：B5．函数f (x )＝|log 12x |的单调递增区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(0，1) C ．(0，＋∞)D ．[1，＋∞)解析：画f (x )＝|log 12x |的图象如图所示：由图象知单调增区间为[1，＋∞)．答案：D6．计算⎝ ⎛⎭⎪⎫51160.5＋(－1)－1÷0.75－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21027－23＝( )A ．－49B ．－94C.49D.94解析：原式＝94＋(－1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫43－2＝94－916＋916＝94.答案：D7．已知函数f (x )＝e －x －e xx ，则其图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y ＝x 轴对称C ．关于原点对称D ．关于y 轴对称解析：函数的定义域为{x |x ≠0}，f (－x )＝e x －e －x －x ＝e －x －e xx ＝f (x )，所以函数f (x )的偶函数，其图象关于y 轴对称．答案：D8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2（2－x ），x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12解析：依据给出的分段函数，分别求出f (－2)与f (log 212)的值，然后相加即可．∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log 212－1＝122＝6.∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.故选C. 答案：C9．已知方程log 2x ＋log 2(x －1)＝1的解集为M ，方程2·2x ＋1－9·2x＋4＝0的解集为N ，则M 与N 的关系是( )A ．M ＝NB ．M NC ．MND ．M ∩N ＝∅解析：由题意知，M ＝{x |x ＝2}， N ＝{x |x ＝2或x ＝－1}，所以M N . 答案：B10．已知0<a <1，x ＝log a 2＋log a3，y ＝12log a 5，z ＝log a 21－log a 3，则( )A ．x >y >zB ．z >y >xC ．y >x >zD ．z >x >y解析：x ＝log a 2＋log a 3＝log a6＝12log a 6，z ＝log a 21－log a 3＝log a 7＝12log a 7.因为0<a <1，所以12log a 5>12log a 6>12log a 7.即y >x >z .答案：C11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2（x ＋1），x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：当a ≤1时，f (a )＝2a －1－2＝－3， 即2a －1＝－1，不成立，舍去； 当a >1时，f (a )＝－log 2(a ＋1)＝－3， 即log 2(a ＋1)＝3，得a ＋1＝23＝8，所以a ＝7，此时f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74.故选A.答案：A12．若偶函数f (x )在(－∞，0)上单调递减，则不等式f (－1)<f (lg x )的解集是( )A ．(0，10)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，10 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫110，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，110∪(10，＋∞) 解析：因为f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)，因为f (x )在(－∞，0)内单调递减，所以f (x )在(0，＋∞)内单调递增，故|lg x |>1，即lg x >1或lg x <－1，解得x >10或0<x <110.答案：D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，则f (9)＝________． 解析：设幂函数y ＝f (x )＝x a ，因为幂函数y ＝f (x )的图象经过点(2，2)，所以2＝2a ，解得a ＝12，则y ＝f (x )＝x 12，所以f (9)＝3. 答案：314．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x <2，log 3（2x－1），x ≥2，则f (f (2))＝______． 解析：因为f (2)＝log 3(22－1)＝1， 所以f (f (2))＝f (1)＝2e 1－1＝2. 答案：215．函数f (x )＝a x －2 017＋2 017的图象一定过点P ，则P 点的坐标是________．解析：当x －2 017＝0，即x ＝2 017时，f (x )＝a 0＋2 017＝2 018，所以定点P 的坐标为(2 017，2 018)．答案：(2 017，2 018)16．若函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)在区间[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a ＝________．解析：当0<a <1时log a 2－log a 4＝2，解得a ＝22；当a >1时，log a 4－log a 2＝2，解得a ＝ 2. 故a 的值为2或22.答案：2或22三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)计算：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－338－23＋0.002－12－10(5－2)－1＋(2－3)0；(2)lg 5(lg 8＋lg 1 000)＋3lg 22＋lg 16＋lg 0.06.解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫338－23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1500－12－105－2＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫278－23＋50012－10(5＋2)＋1＝ 49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3lg 22＋lg 1－lg 6＋lg 6－2＝ 3lg 2×lg 5＋3lg 5＋3lg 22－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3lg 2＋3lg 5－2＝ 3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2－xx －1的定义域为A ，关于x 的不等式22ax <2a ＋x 的解集为B ，求使A ∩B ＝A 的实数a 的取值范围．解：由⎩⎨⎧（2－x ）（x －1）≥0，x ≠1，⇒1<x ≤2，即A ＝(1，2]．由2ax <a ＋x 得(2a －1)x <a .(*) 又A ∩B ＝A 得A ⊆B ，故①当a <12时，(*)式即x >a 2a －1，有a2a －1≤1得a ≥2a －1，所以a ≤1，此时a <12；②当a ＝12时，(*)式x ∈R 满足A ⊆B ；③当a >12时，(*)式即x <a 2a －1，有a2a －1>2得a >4a －2，所以a <23，此时12<a <23.综合①②③可知：a <23.19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)， (1)若函数y ＝f (x )的图象经过点P (3，4)，求a 的值；(2)当a 变化时，比较f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 1100与f (－2.1)的大小，并写出比较过程．解：(1)函数y ＝f (x )的图象经过点P (3，4)， 所以a 3－1＝4，即a 2＝4，又a >0，所以a ＝2.(2)当a >1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100>f (－2.1)；当0<a <1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100<f (－2.1)，比较过程如下：因为f ⎝⎛⎭⎪⎫lg 1100＝f (－2)＝a －3，f (－2.1)＝a －3.1，当a >1时，y ＝a x －1在(－∞，＋∞)上为增函数， 因为－3>－3.1，所以a －3>a －3.1.即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100>f (－2.1)；当0<a <1时，y ＝a x －1在(－∞，＋∞)上为减函数， 因为－3>－3.1，所以a －3<a －3.1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 1100<f (－2.1)．20．(本小题满分12分)若f (x )＝x 2－x ＋b 且f (log 2a )＝b ，log 2f (a )＝2(a ≠1)．(1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值； (2)x 取何值时，f (log 2x )>f (1)且log 2f (x )<f (1)． 解：(1)因为f (x )＝x 2－x ＋b ， 所以(log 2a )2－log 2a ＋b ＝b ， 所以log 2a (log 2a －1)＝0，因为a ≠1，所以log 2a －1＝0，所以a ＝2. 又log 2f (a )＝2，所以f (a )＝4，所以a 2－a ＋b ＝4， 所以b ＝4－a 2＋a ＝2，故f (x )＝x 2－x ＋2.从而f (log 2x )＝(log 2x )2－log 2x ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －122＋74.所以当log 2x ＝12即x ＝2时，f (log 2x )有最小值74.(2)由题意⎩⎨⎧（log 2x ）2－log 2x ＋2>2，log 2（x 2－x ＋2）<2， 解得⎩⎨⎧x >2或0<x <1，－1<x <2，所以0<x <1.21．(本小题满分12分)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x.(1)求函数f (x )的解析式；(2)画出函数f (x )的图象，根据图象写出该函数的单调区间． 解：(1)因为f (x )是R 上的奇函数， 所以f (0)＝0. 当x <0时，－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x＝－2x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x <0，0，x ＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，x >0.(2)函数图象如图所示，通过函数的图象可以知道，f (x )的单调递减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －12|x |. (1)若f (x )＝2，求x 的值；(2)若2t f (2t )＋mf (t )≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)当x <0时，f (x )＝0；当x ≥0时，f (x )＝2x －12x . 由条件可知2x －12x ＝2，即22x －2·2x －1＝0， 解得2x ＝1±2.因为2x >0，所以x ＝log 2(1＋2)．(2)当t ∈[1，2]时，2t ⎝ ⎛⎭⎪⎫22t －122t ＋m ⎝ ⎛⎭⎪⎫2t －12t ≥0， 即m (22t －1)≥－(24t －1)．因为22t －1>0，所以m ≥－(22t ＋1)．因为t ∈[1，2]，所以－(1＋22t )∈[－17，－5]，故m 的取值范围是[－5，＋∞)．。
高中数学 章末质量评估3同步练习 新人教A版必修1
(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题 (本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．一辆汽车在某段路程中的行驶路程s 关于时间t 变化的图象如图所示，那么图象所对应的函数模型是( )．A ．分段函数B ．二次函数C ．指数函数[来源:学|科|网Z|X|X|K]D ．对数函数解析 由图象知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数． 答案 A2．不论m 为何值，函数f (x )＝x 2－mx ＋m －2的零点有( )．[来源:学科网] A ．2个 B ．1个 C ．0个 D ．不确定解析 ∵Δ＝m 2－4(m －2)＝(m －2)2＋4＞0，∴方程有两实根，f (x )有两个零点． 答案 A3．下列给出的四个函数f (x )的图象中能使函数y ＝f (x )－1没有零点的是( )．解析 把y ＝f (x )的图象向下平移一个单位后，只有C 图中的图象满足y ＝f (x )－1与x 轴无交点． 答案 C4．下列函数中没有零点的是( )． A ．f (x )＝lo g 2x －7 B ．f (x )＝x －1 C ．f (x )＝1xD ．f (x )＝x 2＋x解析 由于函数f (x )＝1x 中，对任意自变量x 的值，均有1x≠0，故该函数不存在零点．答案 C5．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( )．A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，18 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤18，14 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1 解析 因为f (x )在定义域内为单调递增函数，而在4个选项中，只有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜0，所以零点所在区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12. 答案 C6．下列函数中，随着x 的增大，其增大速度最快的是( )． A ．y ＝0.001e xB ．y ＝1 000ln xC ．y ＝x1 000D ．y ＝1 000·2x解析 增大速度最快的应为指数型函数，又知e≈2.718＞2.故选A. 答案 A7．如图表示人的体重与年龄的关系，则( )．A ．体重随年龄的增长而增加B ．25岁之后体重不变C ．体重增加最快的是15岁至25岁D ．体重增加最快的是15岁之前解析 ∵函数不是增函数，∴A 错；[25,50]上为增函数，故B 错；[0,15]上线段增长比[15,25]上线段增长快． 答案 D8．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R )的部分对应值如下表x －3 －2[来源:Z ]－1 0 1 2 3 4y 6 m －4－6 －6 －4 n 6不求a ，b ，c 的值，可以判断方程ax ＋bx ＋c ＝0的两个根所在的区间是( )． A ．(－3，－1)和(2,4) B ．(－3，－1)和(－1,1) C ．(－1,1)和(1,2)D ．(－∞，－3)和(4，＋∞)解析由于f(－3)＝6＞0，f(－1)＝－4＜0，f(2)＝－4＜0，f(4)＝6＞0，则f(－3)·f(－1)＜0，f(2)·f(4)＜0.故方程的两根分别在区间(－3，－1)和(2,4)内．答案 A9．设方程|x2－3|＝a的解的个数为m，则m不可能等于( )．A．1 B．2 C．3 D．4解析在同一坐标系中分别画出函数y1＝|x2－3|和y2＝a的图象．如图所示．可知方程解的个数为0,2,3或4，不可能有1个解．答案 A10．某工厂生产两种成本不同的产品，由于市场发生变化，A产品连续两次提价20%，B产品连续两次降低20%，结果都以23.04元出售，此时厂家同时出售A、B产品各一件，盈亏情况为( )．A．不亏不赚 B．亏5.92元C．赚5.92元 D．赚28.96元解析由题意得，A产品原价为16元，B产品原价为36元，若厂家同时出售A、B两种产品，亏5.92元，故选B.答案 B二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确的答案填在题中的横线上．) 11．函数f(x)＝－2x＋1的零点个数是________．解析由f(x)＝0，得l＝2x－1在同一坐标系分别画出函数y＝和y＝2x－1的图示如图所示，由图象知函数f(x)有一个零点．答案 112．1992年底，世界人口已达到54.8亿，若世界人口的年平均增长率为x,2011年底人口数为y亿，那么y与x之间的函数关系式为________．解析1年后，世界人口数为54.8(1＋x)；2年后，世界人口数为54.8(1＋x)(1＋x)＝54.8(1＋x)2；3年后，世界人口数为54.8(1＋x )2(1＋x )＝54.8(1＋x )3； ……19年后即2011年底，世界人口数y ＝54.8(1＋x )19. 答案 y ＝54.8(1＋x )1913．用“二分法”求方程x 3－2x －5＝0在区间(2,3)内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．解析 f (2.5)＝2.53－2×2.5－5＝5.625＞0. 又f (2)＝23－2×2－5＝－1＜0，f (3)＝33－2×3－5＝16＞0，∴f (2)·f (2.5)＜0，故下一个有根区间为(2,2.5)．答案 (2,2.5)14．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物：①如不超过200元，则不予优惠；②如超过200元但不超过500元的按标价给予9折优惠；③如超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分，给予8折优惠．某人两次去购物，分别付款168元和423元，若他只去一次购买同样的商品，则应付款________元． 解析 由题意可知，设消费金额为x 元，应付款为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ≤200，0.9x ，200＜x ≤500，0.8x －500＋0.9×500，x ＞500，由①168＜200所以每一次购物的消费金额为168元． ②200＜423≤500第二次购物的消费金额为4230.9＝470(元)．所以x ＝168＋470＝638＞500，y ＝0.8×(638－500)＋0.9×500＝560.4(元)．答案 560.4三、解答题(本大题共5小题，共54分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(10分)设函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab 的两个零点分别是－3和2； (1)求f (x )；(2)当函数f (x )的定义域是[0,1]时，求函数f (x )的值域． 解 (1)∵f (x )的两个零点是－3和2， ∴函数图象过点(－3,0)、(2,0)， ∴有9a －3(b －8)－a －ab ＝0，① 4a ＋2(b －8)－a －ab ＝0，② ①－②得b ＝a ＋8.③③代入②得4a ＋2a －a －a (a ＋8)＝0，即a 2＋3a ＝0. ∵a ≠0，a ＝－3，∴b ＝a ＋8＝5. ∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(2)由(1)得f (x )＝－3x 2－3x ＋18＝－3(x ＋12)2＋1834，图象的对称轴方程是x ＝－12，又0≤x ≤1，∴f min (x )＝f (1)＝12，f max (x )＝f (0)＝18， ∴函数f (x )的值域是[12,18]．16．(10分)为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的，研究表明：假设课桌的高度为y cm ，椅子的高度为x cm ，则y 应是x 的一次函数，下表列出两套符合条件的课桌椅的高度：第一套 第二套 椅子高度x (cm) 40.0 37.0 桌子高度y (cm)75.070.2(1)请你确定y 与x (2)现有一把高42.0 cm 的椅子和一张高78.2 cm 的课桌，它们是否配套？为什么？ 解 (1)依题意，由于课桌高度y 是椅子高度x 的一次函数，故可设y ＝ax ＋b ，将给出的符合条件的两套课桌椅的高度代入上述函数关系式，得⎩⎪⎨⎪⎧40a ＋b ＝75，37a ＋b ＝70.2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1.6，b ＝11.所以y 与x 的函数关系式是y ＝1.6x ＋11.(2)将x ＝42代入(1)中的函数解析式得y ＝1.6×42＋11＝78.2，因此给出的这套课桌椅是配套的．17．(10分)某种储蓄按复利计算利息，若本金为a 元，每期利率为 r ，设存期是x ，本利和(本金加上利息)为y 元．(1)写出本利和y 随x 变化的函数关系式；[来源:学*科*网Z*X*X*K](2)如果存入本金 1 000元，每期利率为2.25%，试计算4期后的本利和(1.022 54＝1.093 08,1.022 55＝1.117 68)．[来源:] 解 (1)y ＝a (1＋r )x(x ∈N *)． (2)a ＝1 000，r ＝2.25% ，x ＝4，y ＝1 000×(1＋2.25%)4＝1 000×1.022 54≈1 093.08(元)．所以4期后本利和为1 093.08元．18．(12分)若关于x 的方程3x 2－5x ＋a ＝0的一个根在(－2,0)内，另一个根在(1,3)内，求a的取值范围．解 设f (x )＝3x 2－5x ＋a ，则f (x )为开口向上的抛物线(如图所示)．∵f (x )＝0的两根分别在区间(－2,0)、(1,3)内，∴⎩⎪⎨⎪⎧f －2＞0，f0＜0，f1＜0，f3＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧3×－22－5×－2＋a ＞0，a ＜0，3－5＋a ＜0，3×9－5×3＋a ＞0.解得－12＜a ＜0.所求a 的取值范围是(－12,0)．19．(12分)甲商店某种商品4月份(30天，4月1日为第一天)的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系如图(一)所示，该商品日销售量Q (件)与时间t (天)的函数关系如图(二)所示．(1)写出图(一)表示的销售价格与时间的函数关系式P ＝f (t )，写出图(二)表示的日销售量与时间的函数关系式Q ＝g (t )，及日销售金额M (元)与时间的函数关系M ＝h (t )．(2)乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N (元)与时间t (天)之间的函数关系为N ＝－2t 2－10t ＋2 750，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系． 解 (1)设销售价格函数是y ＝kt ＋b ，过点(0,15)，(30,30)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝15，30k ＋b ＝30⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝15，k ＝12，∴P ＝f (t )＝12t ＋15(0＜t ≤30，t ∈N )，日销售量函数y ＝at ＋m ， 过点(0,160)，(30,40)．则⎩⎪⎨⎪⎧m ＝160，30a ＋m ＝40⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝160，a ＝－4，∴Q ＝g (t )＝－4t ＋160(0＜t ≤30，t ∈N )．则M ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋15(－4t ＋160)＝－2t 2＋20t ＋2 400(0＜t ≤30，t ∈N )． (2)∵N ＝－2t 2－10t ＋2 750(0＜t ≤30，t ∈N )， ∴M －N ＝30t －350(0＜t ≤30，t ∈N )． 当0＜t ≤11时，M －N ＜0； 当12≤t ≤30时，M －N ＞0.即前11天甲商店每天的销售额少，以后乙商店每天的销售额均比甲少．。
人教A版高中数学必修一练习：模块质量评估(3)(1)
人教A版高中数学必修一练习：模块质量评估(3)(1)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，M＝{1,3,5,6}，N＝{1,2,4,7,9}，则M∪(∁UN)等于( )B．{1,3,5,6,8}A．{3,5,8}D．{1,5,6,8}C．{1,3,5,8}解析：∵∁UN＝{3,5,6,8}，∴M∪(∁UN)＝{1,3,5,6,8}．故选B.答案：B2．如图，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( ) B．(∁IB∪A)∩CA．(∁IA∩B)∩CD．(A∩∁IB)∩CC．(A∩B)∩∁IC解析：阴影部分位于集合A与集合C的内部，且位于集合B的外部，因此可表示为(A∩∁IB)∩C.答案：D3．已知函数f(x)＝7＋ax－1的图象恒过点P，则P点的坐标是( )B．(1,7)A．(1,8)D．(8,0)C．(0,8)解析：过定点则与a的取值没有关系，所以令x＝1，此时f(1)＝8.所以P点的坐标是(1,8)．故选A.答案：A4．下列各组函数中，表示同一函数的是( )A．y＝和y＝()2B．y＝lg(x2－1)和y＝lg(x＋1)＋lg(x－1)C．y＝logax2和y＝2logaxD．y＝x和y＝logaax解析：要表示同一函数必须定义域、对应法则一致，A、B、C中的定义域不同，故选D.答案：D5．若x＝1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的一个零点，则函数h(x)＝ax2＋bx的零点是( )B．0或－2A．0或－1D．0或2C．0或1解析：因为1是函数f(x)＝＋b(a≠0)的零点，所以a＋b＝0，即a＝－b≠0.所以h(x)＝－bx(x－1)．令h(x)＝0，解得x＝0或x＝1.故选C.答案：C6．若lg x－lg y＝a，则lg3－lg3＝( )B.aA．3aD．aC．a2解析：lg3－lg3＝3＝3(lg x－lg y)＝3a.答案：A7．设a＝22.5，b＝2.5，c＝2.5，则a，b，c之间的大小关系是( ) B．c>a>bA．c>b>aD．b>a>cC．a>c>b解析：a＝22.5>22＝4，b＝2.5<1＝0，c＝2.5<0＝1，又c＝2.5＞0，所以a>c>b.故选C.答案：C8．函数f(x)＝＋lg(3x＋1)的定义域是( )A. B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1 C.D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13解析：要使函数有意义，须使⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x ＞0，3x ＋1＞0，解得－＜x ＜1.故选B.答案：B9．若实数x ，y 满足|x|－ln ＝0，则y 关于x 的函数的图象形状大致是( )解析：只要把原函数化为y ＝|x|＝错误!则正确答案不难得出．答案：B10．设函数f(x)＝ x ＞0，))若f(x0)＞1，则x0的取值范围是( )A ．(－1,1)B ．(－1，＋∞)C ．(－∞，－2)∪(0，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析：当x0≤0时，2－x0－1＞1，即2－x0＞2，∴x0＜－1.当x0＞0时，x0＞1，即x0＞1.综上可知，x0＜－1或x0＞1，故选D.答案：D11．已知f(x)为奇函数，且当x ＜0时，f(x)＝x2＋3x ＋2.则当x ∈[1,3]时，f(x)的最小值是( )A ．2B.14D．－1C．－24解析：当x＜0时，f(x)＝2－，在[－3，－1]内，当x＝－3时，f(x)有最大值2，∵f(x)为奇函数，∴其图象关于原点对称．∴f(x)在[1,3]内存在最小值－2.答案：C12．对于定义域为R的函数f(x)，若存在非零实数x0，使函数f(x)在(－∞，x0)和(x0，＋∞)上与x轴均有交点，则称x0为函数f(x)的一个“界点”．则下列四个函数中，不存在“界点”的是( )A．f(x)＝x2＋bx－1(b∈R)B．f(x)＝|x2－1|C．f(x)＝2－|x－1|D．f(x)＝x3＋2x解析：本题以新定义的形式考查了函数的单调性的知识．由于f(x)＝x3＋2x在(－∞，＋∞)上单调递增，又f(0)＝0，∴函数f(x)的图象与x轴只有一个交点．∴函数f(x)＝x3＋2x不存在“界点”．故选D.答案：D第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上) 13．已知集合M＝{(x，y)|y＝－x＋1}，N＝{(x，y)|y＝x－1}，那么M∩N为__________．解析：本题主要考查集合中点集的交集运算．由得∴M∩N＝{(1,0)}．答案：{(1,0)}14．已知函数f(x)＝则f(f(2π))＝____________.解析：本题主要考查分段函数函数值的求解．因为2π∈∁RQ，所以f(2π)＝0.所以f(f(2π))＝f(0)＝1.答案：115．对于函数f(x)＝ln x的定义域中任意的x1，x2(x1≠x2)，有如下结论：①f(x1＋x2)＝f(x1)·f(x2)；②f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)；③>0.上述结论中正确结论的序号是__________．解析：本题考查对数函数的性质．函数f(x)＝ln x满足ln(x1·x2)＝ln(x1)＋ln(x2)；由函数f(x)＝ln x是增函数，知>0，即>0成立．故②③正确．答案：②③16．已知直线y＝mx与函数f(x)＝的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是__________．解析：本题主要考查指数函数及二次函数的图象和性质，也考查了一元二次方程根的个数问题等知识的应用．作出函数f(x)＝的图象，如图所示，直线y＝mx的图象是绕坐标原点旋转的动直线．当m≤0时，直线y＝mx与函数f(x)的图象只有一个公共点；当m>0时，直线y＝mx始终与函数y＝2－x(x≤0)的图象有一个公共点，故要使直线y＝mx与函数f(x)的图象有三个公共点，直线y＝mx与函数y＝x2＋1(x>0)的图象必有两个公共点，即方程mx＝x2＋1在x>0上有两个不相等的实数根，即方程x2－2mx＋2＝0在x>0上有两个不等实根，则解得m>.故实数m的取值范围是(，＋∞)．答案：(，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分12分)已知全集U＝R，A＝{x|2x－4>0}，B＝{x|2≤2x<16}，C＝{0,1,2}．(1)求∁U(A∩B)；(2)如果集合M＝(A∪B)∩C，写出M的所有真子集．解：(1)∵A＝{x|x>2}，B＝{x|1≤x<4}，A∩B＝{x|2<x<4}，∴∁U(A∩B)＝(－∞，2]∪[4，＋∞)．(2)∵(A∪B)∩C＝{x|x≥1}∩{0,1,2}＝{1,2}，∴集合M的真子集有∅，{1}，{2}．18．(本小题满分12分)已知f(x)＝log2.(1)求f(x)的定义域和值域；(2)判断f(x)的奇偶性并证明．解：(1)由题可得>0，解得x<－1，或x>1，所以定义域为∪(1，＋∞)．设u＝＝1＋，当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，u∈(0,1)∪(1，＋∞)，∴y＝log2u，u∈(0,1)∪(1，＋∞)．∴f(x)的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)f(x)的定义域关于原点对称，且f(x)＋f(－x)＝log2＋log2－x＋1－x－1＝log2＋log2x－1x＋1＝log2＝log2 1＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．19．(本小题满分12分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x.(1)求f(x)的解析式；(2)解关于x的不等式f(x)≤.解：(1)∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0.当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝log2(－x)．又f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－log2(－x)．综上，f(x)＝错误!(2)由(1)得f(x)≤等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x>0，log2 x≤12或或错误!解得0<x ≤或x ＝0或x ≤－，即所求x 的集合为.20．(本小题满分12分)某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购1件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．(1)设销售商一次订购x 件，服装的实际出厂单价为p 元，写出函数p ＝f(x)的表达式．(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？最大利润是多少？解：(1)当0<x ≤100且x ∈N*时，p ＝60；当100<x ≤600且x ∈N*时，p ＝60－(x －100)×0.02＝62－0.02x.∴p ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60，0<x≤100且x∈N*，62－0.02x ，100<x≤600且x∈N*.(2)设该厂获得的利润为y 元，则当0<x ≤100时且x ∈N*，y ＝60x －40x ＝20x ；当100<x ≤600时且x ∈N*，y ＝(62－0.02x)x －40x ＝22x －0.02x2.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 20x ，0<x≤100且x∈N*，22x －0.02x2，100<x≤600且x∈N*.当0<x ≤100时且x ∈N*，y ＝20x 是单调增函数，∴当x ＝100时，y 最大，ymax ＝20×100＝2 000；当100<x ≤600时且x ∈N*，y ＝22x －0.02x2＝－0.02(x －550)2＋6 050，∴当x ＝550时，y 最大，ymax ＝ 6 050.显然6 050>2 000，∴当销售商一次订购550件时，该厂获得的利润最大，最大利润为6 050元．21．(本小题满分12分)定义在[－1,1]上的偶函数f(x)，已知当x ∈[0,1]时的解析式为f(x)＝－22x ＋a2x(a ∈R)．(1)求f(x)在[－1,0]上的解析式．(2)求f(x)在[0,1]上的最大值h(a)．解：(1)设x ∈[－1,0]，则－x ∈[0,1]，f(－x)＝－2－2x ＋a2－x.又∵函数f(x)为偶函数，∴f(x)＝f(－x)．∴f(x)＝－2－2x ＋a2－x ，x ∈[－1,0]．(2)∵f(x)＝－22x ＋a2x ，x ∈[0,1]，令t ＝2x ，t ∈[1,2]，∴g(t)＝at －t2＝－2＋.当≤1，即a ≤2时，h(a)＝g(1)＝a －1；当1<<2，即2<a<4时，h(a)＝g ＝；当≥2，即a ≥4时，h(a)＝g(2)＝2a －4.综上所述，h(a)＝⎩⎪⎨⎪⎧a －1，a≤2，a24，2<a<4，2a －4，a≥4. 22．(本小题满分14分)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x≤0，12x2－x ＋1，x>0.(1)写出该函数的单调区间；(2)若函数g(x)＝f(x)－m 恰有3个不同零点，求实数m 的取值范围；(3)若f(x)≤n2－2bn ＋1对所有x ∈[－1,1]，b ∈[－1,1]恒成立，求实数n 的取值范围．解：(1)函数的图象如图所示，则函数f(x)的单调递减区间是(0,1)，单调递增区间是(－∞，0)及(1，＋∞)．(2)作出直线y ＝m ，函数g(x)＝f(x)－m 恰有3个不同零点等价于直线y ＝m 与函数f(x)的图象恰有三个不同交点．根据函数f(x)＝的图象，又f(0)＝1，f(1)＝，∴m ∈.∴实数m 的取值范围为.(3)∵f(x)≤n2－2bn ＋1对所有x ∈[－1,1]恒成立，∴[f(x)]max ≤n2－2bn ＋1.又[f(x)]max ＝f(0)＝1，∴n2－2bn ＋1≥1，即n2－2bn ≥0在b ∈[－1,1]上恒成立．∴h(b)＝－2nb ＋n2在b ∈[－1,1]上恒大于等于0.∴即错误!由①得或⎩⎪⎨⎪⎧ n≤0，n ＋2≤0，解得n ≥0或n ≤－2；同理由②得n ≤0或n ≥2.∴n∈(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．∴n的取值范围是(－∞，－2]∪{0}∪[2，＋∞)．。
新教材高中数学全册综合验收评价新人教A版必修第一册
全册综合验收评价(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1．设全集U ＝{x ∈N|x ≤5},A ＝{x ∈N|log 2x ＜2},则∁U A 等于( ) A ．{0,4,5} B ．{4,5} C ．{5}D ．{x |4≤x ≤5}解析：选A ∵A ＝{x ∈N|log 2x ＜2}＝{1,2,3},全集U ＝{x ∈N|x ≤5}＝{0,1,2,3,4,5},∴∁U A ＝{0,4,5}．2．不等式2x ＋1x －1≤1成立的一个必要不充分条件是( )A ．－2＜x ＜1B ．－2≤x ＜1C ．－2≤x ≤1D ．x ＜－2解析：选C ∵2x ＋1x －1≤1,∴x ＋2x －1≤0,解得－2≤x ＜1.∴不等式2x ＋1x －1≤1成立的一个必要不充分条件是－2≤x ≤1.3．已知P (－1,t )在角α终边上,若sin α＝255,则t 的值为( )A.12 B ．－2 C ．2D ．±2 解析：选C ∵P (－1,t )在角α终边上,sin α＝255,∴t1＋t2＝255,解得t ＝2. 4．若关于x 的不等式x 2＋ax －b ＜0(a ,b 为常数)的解集为(－2,1),则不等式bx 2＋ax －3＞0的解集是( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1,＋∞) B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1C ．(－∞,－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞D ．⎝⎛⎭⎪⎫－1，32 解析：选A ∵关于x 的不等式x 2＋ax －b ＜0(a ,b 为常数)的解集为(－2,1),∴⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝－2＋1＝－1，－b ＝－2×1＝－2，解得a ＝1,b ＝2,∴所求不等式bx 2＋ax －3＞0即为2x 2＋x －3＞0,解得x ＜－32或x ＞1,∴不等式bx 2＋ax －3＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1,＋∞)．5．设函数f (x )＝tan x2,若a ＝f (log 32),b ＝,c ＝f (20.2),则( )A ．a ＜b ＜cB ．b ＜c ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：选D ∵f (x )在(0,π)上单调递增, log 32＝1log 23,log 1512＝1log 25,且log 25＞log 23＞1,∴0＜1log 25＜1log 23＜1,∴0＜log 1512＜log 32＜1.又1＜20.2＜2,∴0＜log 1512＜log 32＜20.2＜π,∴b ＜a ＜c .6．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,＋∞)上单调递增,若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,则不等式f (2x －1)＜0的解集为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，14∪⎝ ⎛⎭⎪⎫34，＋∞解析：选A ∵f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,＋∞)上单调递增,∴若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0,则不等式f (2x －1)＜0等价为f (|2x －1|)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12, 即|2x －1|＜12,即－12＜2x －1＜12,得14＜x ＜34,即不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，34.7．在△ABC 中,若sin A ＋cos A ＝105,则tan A 的值为( )A ．±22 B ．31010C ．3D ．－3解析：选D 由题意可知,A ∈(0,π), 由sin A ＋cos A ＝105,① 两边平方可得1＋2sin A cos A ＝25,则2sin A cos A ＝－35＜0.∴sin A ＞0,cos A ＜0,∴sin A －cos A ＝1－2sin A cos A ＝2105,② 联立①②可得sin A ＝31010,cos A ＝－1010.∴tan A ＝sin Acos A＝－3.8．若不等式1x ＋11－4x －m ≥0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立,则实数m 的最大值为( ) A ．7 B ．8 C ．9D ．10解析：选C 根据题意,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14,则1－4x ＞0,则1x ＋11－4x ＝44x ＋11－4x ＝[4x ＋(1－4x )]⎝ ⎛⎭⎪⎫44x ＋11－4x＝5＋41－4x 4x ＋4x 1－4x≥5＋2× 41－4x 4x ×4x1－4x＝9,当且仅当1－4x ＝2x ,即x ＝16时等号成立,则1x ＋11－4x的最小值为9, 若不等式1x ＋11－4x －m ≥0对x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14恒成立,即不等式1x ＋11－4x ≥m 恒成立,必有m ≤9恒成立,故实数m 的最大值为9.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤0，－x 2，x >0，则下列结论中正确的是( )A ．f (－2)＝4B ．若f (m )＝9,则m ＝±3C ．f (x )是偶函数D ．f (x )在R 上单调递减解析：选AD 由于－2<0,所以f (－2)＝(－2)2＝4,故A 选项正确；由f (m )＝9>0知m ≤0,且m 2＝9,因此m ＝－3,故B 选项错误；由f (x )的图象(图略)可知f (x )是奇函数,且在R 上单调递减,故C 选项错误,D 选项正确．综上,正确的结论是A 、D.10．设a ,b ,c 都是正数,且4a＝6b＝9c,那么( ) A ．ab ＋bc ＝2ac B ．ab ＋bc ＝ac C.2c ＝2a ＋1bD ．1c ＝2b －1a解析：选AD 依题意设4a ＝6b ＝9c＝k ,则a ＝log 4k ,b ＝log 6k ,c ＝log 9k ,对于A,ab ＋bc ＝2ac ,即b c ＋b a ＝2,因为b c ＋b a ＝log 6k log 9k ＋log 6klog 4k＝log 69＋log 64＝log 636＝2,故A 正确,B 错误；对于C,2a ＋1b ＝2log 4k ＋1log 6k ＝2log k 4＋log k 6＝log k 96≠2c ＝2log k 9＝log k 81,故C 错误；对于D,2b －1a ＝2log k 6－log k 4＝log k 364＝log k 9＝1c,故D 正确．11．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0),将函数f (x )图象向左平移π3个单位长度后所得的函数图象过点P (0,1),则函数f ( x )＝sin(2x ＋φ)( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递减B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3上单调递增C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π6上单调递减 D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，－2π3上单调递增解析：选BD 函数f (x )图象向左平移π3个单位长度后的解析式为f (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＋φ,由题得f (0)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1,解得φ＝－π6,所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6, 令－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π(k ∈Z),解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6＋k π，π3＋k π(k ∈Z),即为函数f (x )的单调增区间；令π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π(k ∈Z), 解得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z),即为函数f (x )的单调减区间．所以当k ＝0时,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时单调递增,B 符合； 当k ＝－1时,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－7π6，－2π3时单调递增,D 符合．12．关于函数f (x )＝sin 2x ＋sin x ＋cos x ,以下说法中正确的是( ) A ．最小正周期为2πB ．最小值为－54C ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增D ．关于x ＝π4对称解析：选ABD ∵f (x ＋2π)＝sin[2(x ＋2π)]＋sin(x ＋2π)＋cos(x ＋2π)＝sin 2x ＋sin x ＋cos x ＝f (x ),∴函数f (x )的最小正周期为2π,故A 正确；设t ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[－2,2],∴t 2＝(sin x ＋cos x )2＝1＋sin 2x , ∴sin 2x ＝t 2－1,∴y ＝sin 2x ＋sin x ＋cos x ＝t 2－1＋t ＝t 2＋t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋122－54,t ∈[－2,2],∴当t ＝－12时,函数取得最小值－54,故B 正确；由B 可知C 错误；∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝sin(π－2x )＋cos x ＋sin x ＝sin 2x ＋sin x ＋cos x ＝f (x ), ∴函数关于x ＝π4对称,故D 正确．三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13．已知x ＞0,则xx 2＋4的最大值为________． 解析：因为xx 2＋4＝1x ＋4x, 又x >0时,x ＋4x≥2x ·4x ＝4, 当且仅当x ＝4x, 即x ＝2时取等号,所以0<1x ＋4x≤14,即x x 2＋4的最大值为14. 答案：1414.1＋2sin 210°sin 60°sin 30°－cos 30°的值为________．解析：1＋2sin 210°sin 60°sin 30°－cos 30°＝1－2sin 30°cos 30°sin 30°－cos 30°＝sin 30°－cos 30°2sin 30°－cos 30°＝cos 30°－sin 30°sin 30°－cos 30°＝－1.答案：－115．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，log 2x ，x >0，那么函数y ＝f (f (x ))－1的零点个数为________．解析：当x ≤0时,f (f (x ))＝f (2x)＝log 22x＝x ； 当0<x ≤1时,f (f (x ))＝f (log 2x )＝2log 2x ＝x ； 当x >1时,f (f (x ))＝f (log 2x )＝log 2(log 2x )． 所以由f (f (x ))＝1得x ＝1或x ＝4, 即函数有两个零点． 答案：216．已知函数f (x )＝cos(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜0.(1)函数f (x )的最小正周期为________；(2)若函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上有且只有三个零点,则φ的值是________．解析：(1)函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3,可得2x ＋φ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3＋φ，8π3＋φ,根据函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3上有且只有三个零点,可得⎩⎪⎨⎪⎧－π2＜2π3＋φ≤π2，5π2≤8π3＋φ＜7π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－7π6＜φ≤－π6，－π6≤φ＜5π6，所以φ＝－π6.答案：(1)π (2)－π6四、解答题(本大题共6小题,共70分)17．(10分)U ＝R,非空集合A ＝{x |x 2－5x ＋6＜0},集合B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0}． (1)a ＝12时,求(∁U B )∩A .(2)若x ∈B 是x ∈A 的必要条件,求实数a 的取值范围． 解：(1)x 2－5x ＋6＜0,解得2＜x ＜3.∴A ＝(2,3)． ∵a 2＋2＞a ,∴集合B ＝{x |(x －a )(x －a 2－2)＜0}＝(a ,a 2＋2)． a ＝12时,B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，94. ∴∁U B ＝⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，12∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，＋∞.∴(∁U B )∩A ＝⎣⎢⎡⎭⎪⎫94，3. (2)若x ∈B 是x ∈A 的必要条件,则⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3≤a 2＋2，解得a ≤－1或1≤a ≤2.∴实数a 的取值范围是(－∞,－1]∪[1,2]．18．(12分)设函数f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x ),且19≤x ≤9.(1)求f (3)的值；(2)令t ＝log 3x ,将f (x )表示成以t 为自变量的函数；并由此求出函数f (x )的最大值与最小值及与之对应的x 的值．解：(1)∵f (x )＝log 3(9x )·log 3(3x ),且19≤x ≤9,∴f (3)＝log 327·log 39＝3×2＝6.(2)令t ＝log 3x ,则－2≤t ≤2,且f (x )＝(log 3x ＋2)(1＋log 3x )＝t 2＋3t ＋2,令g (t )＝t 2＋3t ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋322－14,故当t ＝－32时,函数g (t )即f (x )取得最小值为－14,此时求得x ＝3－32＝39；当t ＝2时,函数g (t )即f (x )取得最大值为12,此时求得x ＝9. 19．(12分)已知函数f (x )＝2sin 2x ＋2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6,x ∈R.(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，m 上的最小值为1,求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝(1－cos 2x )＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－cos 2x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 2x ＋32sin 2x ＋2,＝32sin 2x －12cos 2x ＋2＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2,所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. 由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π (k ∈Z), 得f (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z)．(2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋2,因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，m ,所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，2m －π6.要使f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，m 上的最小值为1,即y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，m 上的最小值为－1. 所以2m －π6≥3π2,即m ≥5π6.所以m 的最小值为5π6.20．(12分)党的十九大报告指出,建设生态文明是中华民族永续发展的千年大计．而清洁能源的广泛使用将为生态文明建设提供更有力的支撑．沼气作为取之不尽、用之不竭的生物清洁能源,在保护绿水青山方面具有独特功效．通过办沼气带来的农村“厕所革命”,对改善农村人居环境等方面,起到立竿见影的效果．为了积极响应国家推行的“厕所革命”,某农户准备建造一个深为2米,容积为32立方米的长方体沼气池,如果池底每平方米的造价为150元,池壁每平方米的造价为120元,沼气池盖子的造价为3 000元,问怎样设计沼气池能使总造价最低？最低总造价是多少元？解：设沼气池的底面长为x 米,沼气池的总造价为y 元,因为沼气池的深为2米,容积为32立方米,所以底面积为16平方米, 因为底面长为x 米,所以底面的宽为16x,依题意有y ＝3 000＋150×16＋120×2⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×16x ＝5 400＋480⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋16x ,因为x ＞0,由基本不等式和不等式的性质可得 5 400＋480⎝⎛⎭⎪⎫x ＋16x ≥5 400＋480×2x ·16x＝9 240,当且仅当x ＝16x,即x ＝4时,等号成立,所以当沼气池的底面是边长为4米的正方形时,沼气池的总造价最低,最低总造价是9 240元．21．(12分)已知函数y ＝f (x )是二次函数,且满足f (0)＝3,f (1)＝f (3)＝0. (1)求y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (log 2x ),x ∈[2,8]的最小值；(3)若x ∈[1,t ](t ＞1),试将y ＝f (x )的最小值表示成关于t 的函数g (t )． 解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ,因为f (0)＝c ＝3,所以f (x )＝ax 2＋bx ＋3, 又f (1)＝f (3)＝0,所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0，9a ＋3b ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4.所以f (x )＝x 2－4x ＋3. (2)令t ＝log 2x ,x ∈[2,8],则y ＝t 2－4t ＋3＝(t －2)2－1,t ∈[1,3], 所以当t ＝2即x ＝4时,y min ＝－1. (3)f (x )＝x 2－4x ＋3,x ∈[1,t ](t ＞1), ①当1＜t ≤2时,f (x )在[1,t ]上单调递减,所以f (x )的最小值g (t )＝t 2－4t ＋3.②当t ＞2时,f (x )在[1,2]上单调递减,在[2,t ]上单调递增, 所以f (x )的最小值g (t )＝－1,综上所述,g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 2－4t ＋3，1＜t ≤2，－1，t ＞2.22．(12分)已知函数f (x )＝2cos x (3sin x ＋cos x )－1.(1)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值；(2)若f (x )＝－85,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π,求cos 2x 的值；(3)若函数y ＝f (ωx )(ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上是单调递增函数,求正数ω的取值范围．解：(1)f (x )＝2cos x (3sin x ＋cos x )－1 ＝23sin x cos x ＋2cos 2x －1 ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2,∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6,故2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6∈[－1,2], ∴函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为－1.(2)∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－85, ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝－45,又∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，π,∴2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π2，13π6,故cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＝35, ∴cos 2x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6sin π6＝33－410. (3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2时,11 2ωx ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ωπ3＋π6，ωπ＋π6,于是⎩⎪⎨⎪⎧ ωπ3＋π6≥2k π－π2，ωπ＋π6≤2k π＋π2k ∈Z.∴⎩⎪⎨⎪⎧ ω≥6k －2，ω≤2k ＋13k ∈Z. ∵ω＞0,∴ω的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，13.。
人教A版数学必修一单元质量评估(三).docx
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单元质量评估(三)(第三章)(90分钟120分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.(2016·哈尔滨高一检测)函数f(x)={x2+2x−3,x≤0,−2+lnx,x>0的零点个数为( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.当x≤0时，令x2+2x-3=0，得x=-3；当x>0时，令-2+lnx=0，得x=e2.所以函数有两个零点.2.已知函数f(x)=a x-2(a>0，a≠1)，f(x0)=0且x0∈(0，1)，则( )A.a=2B.1<a<2C.a>2D.a≥2【解析】选C.因为x0∈(0，1)，所以f(0)·f(1)<0，即(1-2)(a-2)<0，所以a>2.3.若函数f(x)=x2lga-2x+1有两个零点，则实数a的取值范围是( )A.0<a<10B.1<a<10C.0<a<1D.0<a<1或1<a<10【解析】选D.lga≠0且Δ=4-4lga>0，解得0<a<1或1<a<10.【补偿训练】无论m为何值，函数f(x)=x2-mx+m-2的零点总有( )A.2个B.1个C.0个D.都有可能【解析】选A.因为Δ=m2-4(m-2)=(m-2)2+4>0，所以f(x)=0有两个不等的实根，即函数f(x)总有2个零点.4.如图所示的图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )A.①③B.②④C.①②D.③④【解析】选A.对于①③在函数零点两侧函数值的符号相同，故不能用二分法求.5.(2016·芜湖高一检测)已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x 1 2 3 4 5 6f(x) 123.56 21.45 -7.82 11.57 -53.76 -126.49则函数f(x)在区间[1，6]上的零点有( )A.2个B.3个C.至多2个D.至少3个【解析】选D.因为f(2)·f(3)<0，f(3)·f(4)<0，f(4)·f(5)<0，所以f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点.6.某公司在甲、乙两地销售同一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1=5.06x-0.15x2，L2=2x，其中x为销售量(单位：辆).若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为( )A.45.606万元B.45.6万元C.46.8万元D.46.806万元【解析】选B.设在甲地销售x辆，则在乙地销售(15-x)辆，则总利润L=L1+L2=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x-10.2)2+45.606(0≤x≤15且x∈N).所以当x=10时，L取得最大值，即获得最大利润，L max=-0.15×102+3.06×10+30=45.6(万元).【误区警示】本题易错在直接把L1和L2相加作为总利润，另外求最大值时要根据实际意义取整数值.7.如图，△ABC为等腰直角三角形，直线l与AB相交且l⊥AB，直线l截这个三角形所得的位于直线右方的图形面积为y，点A到直线l的距离为x，则y=f(x)的图象大致为四个选项中的( )【解析】选C.设AB=a ，则y=12a 2-12x 2=-12x 2+12a 2，其图象为抛物线的一段，开口向下，顶点在x 轴上方.8.根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x)={√x ,x <A,√A ,x ≥A.(A ，c 为常数)，已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么c 和A 的值分别是 ( )A.75，25B.75，16C.60，25D.60，16【解析】选D.由函数解析式可以看出，组装第A 件产品所需时间为√A =15，故组装第4件产品所需时间为√4=30，解得c=60，将c=60代入√A =15得A=16.9.下列函数中，随着x 的增大，其增大速度最快的是 ( )A.y=0.001e xB.y=1000lnxC.y=x 1000D.y=1000·2x【解析】选A.增大速度最快的应为指数型函数，又因为e ≈2.718>2，故y=0.001e x 增大速度最快.10.有浓度为90%的溶液100g ，从中倒出10g 后再倒入10g 水称为一次操作，要使浓度低于10%，这种操作至少应进行的次数为(参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771) ( )A.19B.20C.21D.22【解析】选 C.操作次数为n 时的浓度为(910)n+1，由(910)n+1<10%，得n+1>−1lg 910=−12lg3−1≈21.8，所以n ≥21.11.(2016·桂林高一检测)已知f(x)=(x-a)(x-b)-2，并且α，β是函数f(x)的两个零点，则实数a ，b ，α，β的大小关系可能是 ( )A.a<α<b<βB.a<α<β<bC.α<a<b<βD.α<a<β<b【解析】选C.因为α，β是函数f(x)的两个零点，所以f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0，结合二次函数的图象(如图所示)可知a ，b 必在α，β之间.12.某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y=[x]([x]表示不大于x 的最大整数)可以表示为 ( )A.y=[x 10]B.y=[x+310] C.y=[x+410] D.y=[x+510] 【解题指南】求解本题可抓住“当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表”这一特征，并借助特殊值法求解.【解析】选B.由题意，可用特殊值法求解，当x=17时，A 选项错误，当x=16时，[x+410]=2，[x+510]=2，所以C ，D 选项错误，故选B.【拓展延伸】特殊值法解选择题的方法技巧(1)用特殊值(特殊数值、特殊图形、特殊位置、特殊情形等)代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而作出正确的判断.(2)常用的特殊值有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.(3)注意：特殊值法只能否定选择项，不能肯定选择项.当正确的选择对象在题设普遍条件下都成立时，用特殊值(取得越简单越好)进行探求.判断一般规律，是解答本类选择题的最佳策略.二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)13.(2016·兰州高一检测)用二分法求方程x 3+4=6x 2的一个近似解时，已经将一根锁定在区间(0，1)内，则下一步可断定该根所在的区间为 .【解析】设f(x)=x 3-6x 2+4，显然f(0)>0，f(1)<0，又f (12)=(12)3-6×(12)2+4>0， 所以下一步可断定方程的根所在的区间为(12,1). 答案：(12,1) 14.(2015·湖北高考)函数f(x)=2sinxsin (x +π2)-x 2的零点个数为 .【解题指南】利用函数与方程的关系，将零点个数问题转化为两个函数图象的交点的问题.【解析】函数f(x)=2sinxsin (x +π2)-x 2的零点个数等价于方程2sinxsin (x +π2)-x 2=0的根的个数，即函数g(x)=2sinxsin (x +π2)=2sinxcosx=sin2x 与h(x)=x 2的图象交点个数.分别画出其函数图象如图所示，由图可知，函数g(x)与h(x)的图象有2个交点.答案：215.(2016·成都高一检测)某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y=0.1x2-11x+3000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x等于.【解析】设产量为x台，利润为S万元，则S=25x-y=25x-(0.1x2-11x+3000)=-0.1x2+36x-3000=-0.1(x-180)2+240，则当x=180时，生产者的利润取得最大值.答案：180台16.(2015·四川高考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y=e kx+b(e=2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0℃的保鲜时间是192小时，在22℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33℃的保鲜时间是小时.【解题指南】把题设中两组时间与温度的值代入函数解析式，利用方程思想解题.【解析】由题意得{192=e b, 48=e22k+b,解得{e b =192,e 11k =12, 当x=33时，y=e33k+b =(e 11k )3e b =(12)3×192=24. 答案：24 三、解答题(本大题共4个小题，共40分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2016·广州高一检测)已知函数f(x)=x -1+12x 2-2，试利用基本初等函数的图象，判断f(x)有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间.(各区间长度不超过1)【解题指南】本题可把f(x)=x -1+12x 2-2拆成两个函数y 1=x -1，y 2=-12x 2+2，分别画出它们的图象，由图象结合零点的定义求解.【解析】由f(x)=0，得x -1=-12x 2+2.令y 1=x -1，y 2=-12x 2+2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0，2)，与x 轴的交点分别为(-2，0)，(2，0)，y 1与y 2的图象有3个交点，由此可知函数f(x)有3个零点.设函数y 1=x -1与y 2=-12x 2+2图象三个交点的横坐标从左往右分别为x 1，x 2，x 3，即函数f(x)的三个零点分别为x 1，x 2，x 3，因为f(-3)=1−3+12×9-2>0，f(-2)=1−2+12×4-2<0，即x 1∈(-3，-2)，同理x 2∈(0，1)，x 3∈(1，2).18.(10分)若二次函数f(x)=-x 2+2ax+4a+1有一个零点小于-1，一个零点大于3，求实数a 的取值范围.【解析】因为二次函数f(x)=-x 2+2ax+4a+1的图象开口向下，且在区间(-∞，-1)，(3，+∞)内各有一个零点，所以{f(−1)>0,f(3)>0,即{−(−1)2−2a +4a +1>0,−32+2a ×3+4a +1>0,即{2a >0,10a −8>0.解得a>45. 19.(10分)(2016·菏泽高一检测)旅行社为某旅游团包飞机旅游，其中旅行社的包机费为15000元.旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数为30人或30人以下，每张飞机票的价格为900元；若旅游团的人数多于30人，则给予优惠，每多1人，每张机票的价格减少10元，但旅游团的人数最多有75人.(1)写出飞机票的价格关于旅游团的人数的函数关系式.(2)旅游团的人数为多少时，旅行社可获得最大利润？【解析】(1)设旅游团人数为x ，飞机票价格为y 元.当30<x ≤75时，y=900-10(x-30)=-10x+1200.故所求函数为y={900(1≤x ≤30,x ∈N),−10x +1 200(30<x ≤75,x ∈N).(2)设利润函数为f(x)，则f(x)=y ·x-15000={900x −15 000(1≤x ≤30,x ∈N),−10x 2+1 200x −15 000(30<x ≤75,x ∈N).当1≤x ≤30时，f(x)max =f(30)=12000；当30<x ≤75时，f(x)max =f(60)=21000>12000.故旅游团的人数为60时，旅行社可获得最大利润.【补偿训练】“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度v(单位：千克/年)是养殖密度x(单位：尾/立方米)的函数.当x 不超过4(尾/立方米)时，v 的值为2(千克/年)；当4<x ≤20时，v 是x 的一次函数；当x 达到20(尾/立方米)时，因缺氧等原因，v 的值为0(千克/年).(1)当0<x ≤20时，求函数v(x)的解析式.(2)当养殖密度x 为多大时，鱼的年生长量(单位：千克/立方米)f(x)=x ·v(x)可以达到最大，并求出最大值.【解析】(1)由题意：当0<x ≤4时，v(x)=2；当4<x ≤20时，设v(x)=ax+b ，显然v(x)=ax+b 在(4，20]内是减函数，由已知得{20a +b =0,4a +b =2,解得{a =−18,b =52.故函数v(x)={2,0<x ≤4,x ∈N ∗,−18x +52,4<x ≤20,x ∈N ∗. (2)依题意可得f(x)={2x,0<x ≤4,x ∈N ∗,−18x 2+52x,4<x ≤20,x ∈N ∗. 当0<x ≤4时，f(x)为增函数，故f max (x)=f(4)=4×2=8；当4<x ≤20时，f(x)=-18x 2+52x=-18(x 2-20x)=-18(x-10)2+1008，f max (x)=f(10)=12.5.所以，当0<x ≤20时，f(x)的最大值为12.5千克/立方米.20.(10分)今年冬季，我国大部分地区遭遇雾霾天气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究，发现工业废气等污染物排放是雾霾形成和持续的重要因素，污染治理刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气处理设备，使产生的废气经过过滤后排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气的污染物数量P(单位：mg/L)与过滤时间t(单位：小时)间的关系为P(t)=P 0e -kt (P 0，k 均为非零常数，e 为自然对数的底数)，其中P 0为t=0时的污染物数量.若经过5小时过滤后还剩余90%的污染物.(1)求常数k 的值.(2)试计算污染物减少到40%至少需要多少时间.(精确到1小时，参考数据：ln0.2≈-1.61，ln0.3≈-1.20，ln0.4≈-0.92，ln0.5≈-0.69，ln0.9≈-0.11)【解析】(1)由已知，当t=0时，P=P 0；当t=5时，P=90%P 0.于是有90%P 0=P 0e -5k ，解得k=-15ln0.9(或0.022). (2)由(1)，知P=P 0e (15ln0.9)t ，当P=40%P 0时，有0.4P 0=P 0e(15ln0.9)t ， 解得t=ln0.415ln0.9≈−0.9215×(−0.11)=4.600.11≈42.故污染物减少到40%至少需要42小时.【补偿训练】某皮鞋厂从今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双，由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了使推销员在推销产品时，接受的订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量.厂里分析，目前产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程，同时厂里暂时也不准备增加设备和工人.现就月份x，产量y(万双)给出四种函数模型：y1=0.1x+1，y2=-0.05x2+0.35x+0.7，y3=0.48x 12+0.52，y4=-0.8(12)x+1.4.假如你是厂长，你将利用哪个模型去估算以后几个月的产量？【解析】借助计算器或计算机作出函数y1=0.1x+1，y2=-0.05x2+0.35x+0.7，y3=0.48x 12+0.52，y4=-0.8(12)x+1.4的图象，观察图象发现，函数y1以及函数y3都是一直增长的，在不增加工人和设备的前提下，产量每月都上升是不可能的.通过对二次函数y2=-0.05x2+0.35x+0.7的分析可知，其对称轴为x=3.5，当x>3.5时，即从4月份开始，产量将逐月下降，也不合实际.只有指数函数模型y4能较好地反映产量的增加，又由于工人的训练程度达到一定程度之后，如果不增加设备和工人，产量的增加是很少的.所以，选用y4=-0.8(12)x+1.4模拟比较接近客观实际.关闭Word文档返回原板块。
【人教A版】高中数学同步辅导与检测必修1单元评估验收(二)
A、 B、 C、 D、
3.求不等式 的解集
4.解不等式
一、分式方程与分式不等式
分式方程：将所求分式方程转化为整式方程，利用整式方程的解法或是一元二次方程的根的求解来解决即可，注意求解后根的检验，要使得方程是有意义的。
分式不等式的解法：
基本思路：应用同号相乘（除）得正，异号同号相乘（除）得负，将其转化为同解整式不等式。在此过程中，变形的等价性尤为重要。
基本方法：①通过移项，将分式不等式右边化为零；
学员姓名：学科教师：
年级：新高一辅导科目：数学
授课日期
时间
段
主题
分式不等式
学习目标
1.掌握解分式不等式的基本思路和方法；
2.会通过同解变形解分式不等式；
3.学会讨论参数解分式不等式；
4.能通过不等式的解集确定参数的值；
教学内容
分式不等式的定义：
分母中含有未知数字母的有理不等式叫做分式不等式。只含有一个未知数的分式不等式叫做一元分式不等式。即：型如 或 （其中 、 为整式且 ）的不等式称为分式不等式。
（2）讨论含参数的根与其他根的大小关系。
而对于第二类，一般只需牢记：不等式解集的端点对应不等式改写为方程后的根，代入即可。
1、讨论参数的取值确定解集
【例6】若 则不等式 的解集是__________
【例7】若关于 的不等式 ；
（1）当 时，求它的解集；
（2）若 ，求不等式的解集。
2、给定解集确定参数的取值
【例8】关于 的不等式 的解集为 ，求 的解集。
【例9】不等式 的解集为 ，那么实数 的值等于__________
【例10】已知关于 的不等式 的解集是 ；
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单元评估验收(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)1．二次函数f (x )＝2x 2＋bx －3(b ∈R)的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．4解析：因为Δ＝b 2＋4×2×3＝b 2＋24>0，所以函数图象与x 轴有两个不同的交点，故函数有2个零点．答案：C2．函数y ＝1＋1x的零点是( ) A ．(－1，0) B ．－1 C ．1 D ．0解析：令1＋1x＝0，得x ＝－1，即为函数的零点． 答案：B3．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫－2，－18，则满足f (x )＝27的x 的值为( )A ．3 B.127 C ．27 D.13解析：因为幂函数y ＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－18，所以(－2)a＝－18，所以a ＝－3.又因为f (x )＝27，所以x －3＝27，所以x ＝13. 答案：D4．若函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，4 B ．[－2，1]C ．[－1，2]D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞) 解析：因为函数f (x )＝2mx ＋4在区间[－2，1]上存在x 0使得f (x 0)＝0，所以f (－2)·f (1)≤0，解得m ≤－2或m ≥1.答案：D5．函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间( ) A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)与(1，e)D ．(e ，＋∞)解析：易知函数f (x )在(2，3)上是连续的，且f (2)＝ln 2－1＝ln 2－ln e ＝ln 2e <0，f (3)＝ln 3－23>0，所以函数f (x )的零点所在的大致区间是(2，3)．答案：B6．函数f (x )＝2x －1的零点是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：由2x －1＝0，得x ＝0，故函数的零点为0.答案：A7．用二分法求f (x )＝0在区间(1，2)内的唯一实数解x 0时，经计算得f (1)＝3，f (2)＝－5，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝9，则下列结论正确的是( )A ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32 B ．x 0＝－32 C ．x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2 D ．x 0＝1解析：由于f (2)·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32<0，所以x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 答案：C8．甲用1 000元人民币购买了一手股票，随即他将这手股票卖给乙，获利10%，而后乙又将这手股票卖给甲，但乙损失了10%，最后甲又按乙卖给甲的价格的九成将这手股票卖给了乙．在上述股票交易中( )A ．甲刚好盈亏平衡B ．甲盈利9元C ．甲盈利1元D ．甲亏本1.1元解析：甲两次付出为1 000元和1 000×1110×910元，两次收入为1 000×1110元和1 000×1110×910×910元， 而1 000×1110＋1 000×1110×910×910－1 000－1 000×1110×910＝1，故甲盈利1元．答案：C9．方程log 12x ＝2x －1的实根个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无穷多个解析：画出y ＝log 12x 与y ＝2x －1的图象(图略)可知，两曲线仅有一个交点，故实根个数为1.答案：B10．某城市为保护环境、维护水资源，鼓励职工节约用水，作出了如下规定：每月用水不超过8吨，按每吨2元收取水费，每月用水超过8吨，超过部分加倍收费．若某职工某月缴水费20元，则该职工这个月实际用水()A．10吨B．13吨C．11吨D．9吨解析：设该职工该月实际用水为x吨，易知x>8，则水费y＝16＋2×2(x－8)＝4x－16＝20，所以x＝9.答案：D11．设甲、乙两地的距离为a km(a>0)，小王骑自行车匀速从甲地到乙地用了20 min，在乙地休息10 min后，又匀速从乙地返回甲地用了30 min.则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图象为()解析：由题意知，中间休息时，时间与路程之间的函数为常函数，其余时间段随时间的增加，路程也增加．观察图象知D选项正确．答案：D12．函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，满足f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，其中a<b<c，则y＝f(x)在(a，c)上零点个数为()A．2 B．至少2个C．奇数D．偶数解析：因为函数y＝f(x)是定义在R上的连续不断的一条曲线，由f(a)·f(b)<0，知y＝f(x)在(a，b)上至少有1个零点，由f(b)·f(c)<0知y＝f(x)在(b，c)上至少有1个零点，所以y＝f(x)在(a，c)上至少有2个零点．答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．若f(x)是定义域为R的奇函数，且在区间(0，＋∞)上有一个零点，则f(x)的零点个数为________．解析：由题意知f(0)＝0，f(x)在区间(0，＋∞)上有一个零点，在区间(－∞，0)上也必有一个零点，所以f(x)在定义域R上有三个零点．答案：314．若函数f(x)＝mx2－2x＋3只有一个零点，则实数m的取值是________．解析：若m≠0，则Δ＝4－12m＝0，m＝13，若m＝0，则f(x)＝－2x＋3只有一个零点，符合要求，所以m＝0或13.答案：0或1315．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y ＝0.1x2－11x＋3 000，若每台产品的售价为25万元，则生产者的利润取最大值时，产量x 等于________．解析：设产量为x 台，利润为S 万元，则S ＝25x －y ＝25x －(0.1x 2－11x ＋3 000)＝－0.1x 2＋36x －3 000＝－0.1(x －180)2＋240，则当x ＝180时，生产者的利润取得最大值．答案：180台16．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时．解析：由题意得⎩⎨⎧192＝e b，48＝e 22k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧e b ＝192，e 11k ＝12， 当x ＝33时，y ＝e33k ＋b ＝(e 11k )3e b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123×192＝24. 答案：24 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)某市出租车的计价标准是4 km 以内10元(含4 km)，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2元/千米，超出18 km 的部分1.8元/千米．(1)不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20 km ，那么他要付多少车费？解：(1)设行车里程为x km ，车费为y 元．由题意得，y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0<x ≤4，10＋1.2（x －4），4<x ≤18，10＋1.2×14＋1.8（x －18），x >18，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0<x ≤4，1.2x ＋5.2，4<x ≤18，1.8x －5.6，x >18.(2)将x ＝20代入函数解析式，得y ＝1.8×20－5.6＝30.4(元)． 故乘车20 km ，要付车费30.4元．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个零点，且都大于2，求实数m 的取值范围．解：函数f (x )＝x 2＋(m －2)x ＋5－m 有两个大于2的零点，即方程x 2＋(m －2)x ＋5－m ＝0有两个不相等的实数解，且都大于2.结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧（m －2）2－4（5－m ）>0，2－m 2>2，4＋2（m －2）＋5－m >0，解得－5<m <－4.故实数m 的取值范围是(－5，－4)． 19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝x －1＋12x 2－2，试利用基本初等函数的图象，判断f (x )有几个零点，并利用零点存在性定理确定各零点所在的区间(各区间长度不超过1)．解：由f (x )＝0，得x －1＝－12x 2＋2.令y 1＝x －1，y 2＝－12x 2＋2，在同一直角坐标系中分别画出它们的图象(如图所示)，其中抛物线的顶点坐标为(0，2)，与x 轴的交点分别为(－2，0)，(2，0)，y 1与y 2的图象有3个交点，由此可知函数f (x )有3个零点．设函数y 1＝x －1与y 2＝－12x 2＋2图象三个交点的横坐标从左往右分别为x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的三个零点分别为x 1，x 2，x 3，因为f (－3)＝1－3＋12×9－2>0，f (－2)＝1－2＋12×4－2<0，即x 1∈(－3，－2)，同理x 2∈(0，1)，x 3∈(1，2)．20．(本小题满分12分)某同学在用120分钟做150分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时，卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分数分别为P (单位：分)和Q (单位：分)，在每部分做了20分钟的条件下发现它们与投入时间m (单位：分钟)的关系有经验公式，P ＝15m ＋36，Q ＝65＋23m . (1)试建立数学总成绩y (单位：分)与对卷Ⅱ投入时间x (单位：分钟)的函数关系式，并指明函数定义域；(2)如何计划使用时间，才能使得所得分数最高．解：(1)设对卷Ⅱ用x 分钟，则对卷Ⅰ用(120－x )分钟，所以y ＝P＋Q ＝65＋23x ＋15(120－x )＋36＝ －15x ＋23x ＋125，其定义域为[20，100]． (2)令t ＝x ∈[25，10]，则函数为关于t 的二次函数：y ＝－15t 2＋23t ＋125＝－15(t －53)2＋140. 所以当t ＝53，即x ＝75时，y max ＝140.即当卷Ⅰ用45分钟，卷Ⅱ用75分钟时，所得分数最高．21．(本小题满分12分)已知关于x 的二次函数f (x )＝x 2＋(2t －1)x ＋1－2t .(1)求证：对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根；(2)若12<t <34，求证：方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根．证明：(1)由f (x )＝1得x 2＋(2t －1)x ＋1－2t ＝1，即x 2＋(2t －1)x －2t ＝0.因为Δ＝(2t －1)2＋8t ＝4t 2＋4t ＋1＝(2t ＋1)2≥0，所以对于任意t ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根．(2)当12<t <34时，f (－1)＝3－4t ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫34－t >0， f (0)＝1－2t ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12－t <0， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝14＋12(2t －1)＋1－2t ＝34－t >0， 故方程f (x )＝0在区间(－1，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内各有一个实数根． 22．(本小题满分12分)旅游社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15 000元．旅游团中每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团人数多于30人，则给予优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团人数最多为75人．(1)写出飞机票的价格关于旅游团人数的函数；(2)旅游团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解：(1)设旅游团人数为x 人，飞行票价格为y 元，依题意，当1≤x ≤30，且x ∈N *时，y ＝900，当30<x ≤75，且x ∈N *时，y ＝900－10(x －30)＝－10x ＋1 200.所以所求函数为y ＝⎩⎨⎧900，1≤x ≤30，x ∈N *，－10x ＋1 200，30<x ≤75，x ∈N *.(2)设利润为f (x )元，则f (x )＝y ·x －15 000＝11 ⎩⎨⎧900x －15 000，1≤x ≤30，x ∈N *，－10x 2＋1 200x －15 000，30<x ≤75，x ∈N.当1≤x ≤30，且x ∈N *时，f (x )max ＝f (30)＝12 000(元)， 当30<x ≤75，且x ∈N *时，f (x )max ＝f (60)＝21 000元，因为21 000元>12 000元，所以旅游团人数为60时，旅行社可获得最大利润．。