线性代数LA4-3B

2．等价向量组：设向量组rT ααα,,,:211 ,s T βββ,,,:212若),,2,1(r i i=α可由s βββ,,,21 线性表示, 称1T 可由2T 线性表示；若1T 与2T 可以互相线性表示, 称1T 与2T 等价．(1) 自反性：1T 与1T 等价(2) 对称性：1T 与2T 等价⇒2T 与1T 等价(3) 传递性：1T 与2T 等价, 2T 与3T 等价⇒1T 与3T 等价定理8 向量组与它的最大无关组等价． 证 设向量组T的秩为r,T的一个最大无关组为r T ααα,,,:211 ．(1) 1T 中的向量都是T 中的向量⇒1T 可由T 线性表示；(2) 任意T ∈α, 当1T ∈α时, α可由1T 线性表示；当1T ∉α时, αααα,,,,21r 线性相关, 而r ααα,,,21 线性无关由定理2知, α可由1T 线性表示．故T 可由1T 线性表示．因此,T与1T 等价． 推论 向量组的任意两个最大无关组等价． 定理9 向量组rT ααα,,,:211 , 向量组s T βββ,,,:212 ．若1T 线性无关, 且1T 可由2T 线性表示, 则s r ≤．证 不妨设i α与j β都是列向量, 考虑向量组s r T βββααα,,,,,,,:2121易见, 秩≥)(T 秩r T ≥)(1．构造矩阵[]s r A ββαα 11=因为1T 可由2T 线性表示, 所以[]s A ββ 100列→s A ≤⇒rank于是可得≤r 秩s A T ≤=rank)(． 推论1 若1T 可由2T 线性表示, 则 秩≤)(1T 秩)(2T ．证 设 秩r T =)(1, 且1T 的最大无关组为r αα,,1 ；秩s T =)(2, 且2T 的最大无关组为s ββ,,1 , 则有1T 可由2T 线性表示⇒r αα,,1 可由2T 线性表示r αα,,1 可由s ββ,,1 线性表示⇒ s r ≤ （定理9）推论2 设向量组1T 与2T 等价, 则 秩=)(1T 秩)(2T ．[注] 由“秩=)(1T 秩)(2T ”不能推出“1T 与2T 等价”！正确的结论是：⇒⎭⎬⎫=)()(2121T T T T 秩秩线性表示可由1T 与2T 等价⇒⎭⎬⎫=)()(2112T T T T 秩秩线性表示可由1T 与2T 等价例8 设lm A ⨯,nl B ⨯, 则AAB rank )rank(≤,B AB rank )rank(≤．证 设()lm ija A ⨯=,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=l b b B 1, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==m c c C AB 1Δ, 则),,2,1(11m i b a b a c lil i i =++=即m c c ,,1 可由l b b ,,1 线性表示, 故B C rank rank ≤．根据上述结果可得A A ABC C rank )rank()rank()rank(rank T T T T =≤==§4.4 向量空间1．向量空间：设V 是具有某些共同性质的n 维向量的集合, 若 对任意的V ∈βα,, 有V∈+βα； （加法封闭）对任意的V ∈α,R ∈k , 有Vk ∈α． （数乘封闭）称集合V 为向量空间．例如：}R ),,,,({R 21∈==i n nx xξξξξ 是向量空间 }R ),,,,0({20∈==i n x x V ξξξ是向量空间 }),,,,1({21R x x V i n ∈==ξξξ 不是向量空间 12)0,,0,0(),,,1(0V n ∉=⋅ξξ, 即数乘运算不封闭． 例9 给定n 维向量组)1(,,1≥m m αα , 验证}R ,{11∈++==i m m k k k V αααα是向量空间．称之为由向量组m αα,,1 生成的向量空间, 记作),,(1m L αα 或者 },,span{1m αα 证 设V∈βα,, 则mm k k ααα++= 11,m m t t ααβ++= 11, 于是有V t k t k m m m ∈++++=+ααβα)()(111V k k k k k m m ∈++=ααα)()(11 R)(∈∀k由定义知, V是向量空间．2．子空间：设1V 和2V 都是向量空间, 且21V V ⊂, 称1V 为2V 的子空间．例如：前面例子中的0V 是nR 的子空间． 例9中的),,(1m L αα 也是n R 的子空间．3．向量空间的基与维数：设向量空间V , 若(1)V 中有r 个向量r αα,,1 线性无关；(2)V∈∀α可由r αα,,1 线性表示．称r αα,,1 为V的一组基, 称r 为V的维数, 记作r V =dim 或者r V ．[注] 零空间}{θ没有基, 规定0}{=θdim ．由条件(2)可得：V 中任意1+r 个向量线性相关．（自证）若r V =dim , 则V 中任意r 个线性无关的向量都可作为V 的基．例10 设向量空间V的基为rαα,,1 , 则),,(1r L V αα =．证V ∈∀αL k k r r ∈++=⇒ααα 11L V ⊂⇒L ∈∀αV k k r r ∈++=⇒ααα 11VL ⊂⇒4．向量在基下的坐标：设向量空间V 的基为r αα,,1 , 对于V ∈∀α,表示式rr x x ααα++= 11唯一（定理2）, 称T ),,(1r x x 为α在基r αα,,1 下的坐标（列向量）．[注] α为n 维向量, α在V 的基r αα,,1 下的坐标为r 维列向量．因为线性无关的“n 维向量组”最多含有n 个向量, 所以由 n 维向量构成的向量空间的基中最多含有n 个向量,故n r≤．例11 设向量空间3V 的基为T)1,1,1,1(1=α,T)1,1,1,1(2-=α,T )1,1,1,1(3--=α求T )1,1,2,1(=α在该基下的坐标．解 设332211ααααx x x ++=, 比较等式两端的对应分量可得：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---1121111111111111321x x x⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---000211002101010011111111121111111 ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡21211321x x x [注] α是4维向量, α在3V 的基321,,ααα下的坐标为3维列向量．5．正交基：设向量空间V的基为rαα,,1 , 若)(0],[j i j i ≠=αα,称rαα,,1 为V的正交基；若还有),,2,1(1r i i ==α,称r αα,,1 为V的标准正交基．例如：nR 的标准正交基为n e e ,,1 ． 特点：向量空间V 的正交基为r αα,,1 , 对于V ∈∀α,有rr x x ααα++= 11：),,2,1(],[],[r i x i i i i ==αααα当r αα,,1 为标准正交基时, 有rr x x ααα++= 11：),,2,1(],[r i x i i ==αα6．Schmidt 正交化过程：设向量空间V 的基为r αα,,1 , 令11αβ=, 01≠β12122βαβk +=, 02≠β （否则21,αα线性相关）],[],[0],[11122112βββαββ-=⇒=k13123233ββαβk k ++=,03≠β （否则321,,ααα线性相关）],[],[0],[11133113βββαββ-=⇒=k],[],[0],[22233223βββαββ-=⇒=k………………1111,ββαβr r r r r r k k +++=-- , 0≠r β （否则r αα,,1 线性相关）)1,,2,1(],[],[0],[-=-=⇒=r j k j j j r rj j r βββαββ结论：rβββ,,,21 两两正交且非零⇒r βββ,,,21 线性无关⇒r βββ,,,21 是V 的正交基⇒令j jj u ββ1=, 则r u u u ,,,21 是V的标准正交基例12 已知向量空间3V 的基为)0,0,1,1(1=α,)0,1,0,1(2=α,)1,0,0,1(3-=α求3V 的一组正交基． 解 )0,0,1,1(11==αβ)0,1,21,21()21(1212122-=-+=+=βαβαβk31,31,31(213112213123233-=++=++=ββαββαβk k故3V 的一组正交基为321,,βββ．。