高中数学 第3章3.3.1知能优化训练 新人教B版选修11
高中数学 第3章3.1.3知能优化训练 新人教B版选修11
1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．2．曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2解析：选A.f ′(1)＝lim Δx →0 －11＋Δx ＋11Δx＝lim Δx →0 11＋Δx ＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即y ＝x －2.3．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________.解析：2＝lim Δx →0 x 0＋Δx 2＋4x 0＋Δx －x 20－4x 0Δx＝2x 0＋4，∴x 0＝－1.答案：－14．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. 证明：∵y ′＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx＝lim Δx →0 x ＋Δx ＋1x ＋Δx －x ＋1x Δx＝x 2－1x 2＝1－1x 2<1， ∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.一、选择题1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是( )A ．在点x 0处的斜率B ．在点(x 0，f (x 0))处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率D ．点(x 0，f (x 0))与点(0,0)连线的斜率答案：C2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2解析：选C.曲线在点A 处的切线的斜率就是函数y ＝2x 2在x ＝2处的导数．f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2x ＋Δx 2－2x 2Δx＝lim Δx →0 4x ·Δx ＋2Δx 2Δx＝4x .则f ′(2)＝8.3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＞0D ．f ′(x 0)不确定解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．4．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14) 解析：选D.k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝limΔx →0(2x ＋Δx )＝2x . ∵倾斜角为π4，∴斜率为1. ∴2x ＝1，得x ＝12，故选D. 5．y ＝－1x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4C ．y ＝4x ＋4D ．y ＝2x －4解析：选B.先求y ＝－1x ＋1的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x x ＋Δx ，Δy Δx ＝1x x ＋Δx，lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x x ＋Δx ＝1x 2，即y ′＝1x 2.所以y ＝－1x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率k ＝y ′|x ＝12＝4. 所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 6．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f 1－f 1－x x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．2B ．－1 C.12D ．－2 解析：选B.∵lim x →0f 1－f 1－x x＝－1， ∴lim x →0 f 1－x －f 1－x＝－1， ∴f ′(1)＝－1. 二、填空题7．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝________.解析：设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋a ＝1，即a ＝3.答案：38．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 解析： lim Δx →0 a 1＋Δx 2－a Δx ＝lim Δx →0(a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即b a ＝2. 答案：2 9．已知曲线y ＝3x 2，则在点A (1,3)处的曲线的切线方程为________．解析：∵Δy Δx ＝31＋Δx 2－3×12Δx＝6＋3Δx ， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6. ∴曲线在点A (1,3)处的切线斜率为6.∴所求的切线方程为y －3＝6(x －1)，即6x －y －3＝0.答案：6x －y －3＝0三、解答题10．曲线y ＝－x 2＋4x 上有两点A (4,0)，B (2,4)．求：(1)割线AB 的斜率k AB ；(2)点A 处的切线的斜率；(3)点A 处的切线方程．解：(1)k AB ＝4－02－4＝－2. (2)f ′(x )＝lim Δx →0 －x ＋Δx 2＋4x ＋Δx ＋x 2－4x Δx＝lim Δx →0 －2x ·Δx －Δx 2＋4Δx Δx＝limΔx →0(－2x ＋4－Δx )＝－2x ＋4， ∴点A (4,0)处的切线的斜率k ＝f ′(4)＝－2×4＋4＝－4.(3)点A 处的切线方程为y ＝－4(x －4)，即4x ＋y －16＝0.11．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．解：先求曲线y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处的切线的斜率，k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 31＋Δx 2－41＋Δx ＋2－3＋4－2Δx＝limΔx →0(3Δx ＋2)＝2. 设过点P (－1,2)且斜率为2的直线为l ，则由点斜式y －2＝2(x ＋1)，化为一般式2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.12．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得x 2＋4＝10＋x ， 即x 2－x －6＝0，∴x ＝－2或x ＝3.代入直线的方程得y ＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 2＋4－x 2＋4Δx＝lim Δx →0 Δx 2＋2x ·Δx Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.。
2022高中数学 第3章3.3.1知能优化训练 新人教B版选修1-1
1．函数＝3＋的递增区间是A．0，＋∞B．－∞，1C．－∞，＋∞ D．1，＋∞解析：选′＝32＋1＞0对于任何实数都恒成立．2．命题甲：对任意∈a，b，有f′>0；命题乙：f在a，b内是单调递增的．则甲是乙的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选＝3在－1,1内是单调递增的，但f′＝32≥0－10，解得>1；再令1－错误!错误!0，∴>错误!即函数的单调递增区间为错误!，＋∞．3．若在区间a，b内，f′>0，且fa≥0，则在a，b内有A．f>0 B．f0，所以f在a，b内是增函数，所以f>fa≥0 4．下列函数中，在区间－1,1上是减函数的是A．＝2－32B．＝nC．＝错误!D．＝in解析：＝错误!，其导数′＝错误!＜0，且函数在区间－1,1上有意义，所以函数＝错误!在区间－1,1上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C5．函数＝co－in在下面哪个区间内是增函数解析：选′＝co－in－co＝－in，若＝f在某区间内是增函数，只需在此区间内′恒大于或等于0即可．∴只有选项B符合题意，当∈π，2π时，′≥0恒成立．6．函数＝a3－在R上是减函数，则A．a≥错误!B．a＝1C．a＝2 D．a≤0解析：′＝3a2－1，函数＝a3－在－∞，＋∞上是减函数，所以′＝3a2－1≤0恒成立，即3a2≤1恒成立．当＝0时，3a2≤1恒成立，此时a∈R；当≠0时，若a≤错误!恒成立，则a≤0综上可得a≤0二、填空题7．＝2e的单调递增区间是________．解析：∵＝2e，∴′＝2e＋2e＝e2＋>0⇒0∴递增区间为－∞，－2和0，＋∞．答案：－∞，－2，0，＋∞8．若函数f＝3＋b2＋c＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________ 解析：∵′＝32＋2b＋c，由题意知[－1,2]是不等式32＋2b＋c0，∴a>0答案：0，＋∞三、解答题10．求下列函数的单调区间．1f＝3＋错误!；2f＝＋错误!b＞0．解：1函数的定义域为－∞，0∪0，＋∞，f′＝32－错误!＝32－错误!，由f′>0，解得1，由f′0，结合－4≤≤4，得－4≤0时，要使f′＝a错误!－错误!2＋a－错误!≥0恒成立，则a－错误!≥0，解得a≥1综上，a的取值范围为{a|a≥1或a＝0}．。
【优化方案】2020高中数学 第3章3.1.3知能优化训练 新人教B版选修1-1.doc
1．设f ′(x 0)＝0，则曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线( )A ．不存在B ．与x 轴平行或重合C ．与x 轴垂直D ．与x 轴相交但不垂直解析：选B.函数在某点处的导数为零，说明相应曲线在该点处的切线的斜率为零．2．曲线y ＝－1x 在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝xC ．y ＝x ＋2D ．y ＝－x －2解析：选A.f ′(1)＝lim Δx →0 －11＋Δx ＋11Δx＝lim Δx →0 11＋Δx ＝1，则在(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝x －1，即y ＝x －2.3．函数y ＝x 2＋4x 在x ＝x 0处的切线斜率为2，则x 0＝________.解析：2＝lim Δx →0 x 0＋Δx 2＋4x 0＋Δx －x 20－4x 0Δx＝2x 0＋4，∴x 0＝－1.答案：－14．求证：函数y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1. 证明：∵y ′＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx＝lim Δx →0 x ＋Δx ＋1x ＋Δx －x ＋1x Δx＝x 2－1x 2＝1－1x 2<1， ∴y ＝x ＋1x图象上的各点处的切线斜率小于1.一、选择题1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是( )A ．在点x 0处的斜率B ．在点(x 0，f (x 0))处的切线与x 轴所夹锐角的正切值C ．曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处切线的斜率D ．点(x 0，f (x 0))与点(0,0)连线的斜率答案：C2．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2解析：选C.曲线在点A 处的切线的斜率就是函数y ＝2x 2在x ＝2处的导数．f ′(x )＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 2x ＋Δx 2－2x 2Δx＝lim Δx →0 4x ·Δx ＋2Δx 2Δx＝4x .则f ′(2)＝8. 3．已知曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为2x ＋y ＋1＝0，那么( )A ．f ′(x 0)＝0B ．f ′(x 0)＜0C ．f ′(x 0)＞0D ．f ′(x 0)不确定解析：选B.曲线在某点处的切线的斜率为负，说明函数在该点处的导数也为负．4．下列点中，在曲线y ＝x 2上，且在该点处的切线倾斜角为π4的是( ) A ．(0,0) B ．(2,4) C ．(14，116) D ．(12，14) 解析：选D.k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx＝limΔx →0(2x ＋Δx )＝2x . ∵倾斜角为π4，∴斜率为1. ∴2x ＝1，得x ＝12，故选D. 5．y ＝－1x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝4x B ．y ＝4x －4C ．y ＝4x ＋4D ．y ＝2x －4解析：选B.先求y ＝－1x ＋1的导数：Δy ＝－1x ＋Δx ＋1x ＝Δx x x ＋Δx ，Δy Δx ＝1x x ＋Δx，lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 1x x ＋Δx ＝1x 2，即y ′＝1x 2.所以y ＝－1x ＋1在点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2处的切线斜率k ＝y ′|x ＝12＝4. 所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. 6．设f (x )为可导函数，且满足lim x →0 f 1－f 1－x x＝－1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率是( )A ．2B ．－1 C.12D ．－2 解析：选B.∵lim x →0f 1－f 1－x x＝－1， ∴lim x →0 f 1－x －f 1－x＝－1， ∴f ′(1)＝－1. 二、填空题7．若曲线y ＝2x 2－4x ＋a 与直线y ＝1相切，则a ＝________.解析：设切点坐标为(x 0,1)，则f ′(x 0)＝4x 0－4＝0，∴x 0＝1.即切点坐标为(1,1)．∴2－4＋a ＝1，即a ＝3.答案：38．已知函数y ＝ax 2＋b 在点(1,3)处的切线斜率为2，则ba＝________. 解析： lim Δx →0 a 1＋Δx 2－a Δx ＝lim Δx →0(a ·Δx ＋2a )＝2a ＝2，∴a ＝1，又3＝a ×12＋b ，∴b ＝2，即b a ＝2. 答案：2 9．已知曲线y ＝3x 2，则在点A (1,3)处的曲线的切线方程为________．解析：∵Δy Δx ＝31＋Δx 2－3×12Δx＝6＋3Δx ， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0(6＋3Δx )＝6. ∴曲线在点A (1,3)处的切线斜率为6.∴所求的切线方程为y －3＝6(x －1)，即6x －y －3＝0.答案：6x －y －3＝0三、解答题10．曲线y ＝－x 2＋4x 上有两点A (4,0)，B (2,4)．求：(1)割线AB 的斜率k AB ；(2)点A 处的切线的斜率；(3)点A 处的切线方程．解：(1)k AB ＝4－02－4＝－2. (2)f ′(x )＝lim Δx →0 －x ＋Δx 2＋4x ＋Δx ＋x 2－4x Δx＝lim Δx →0 －2x ·Δx －Δx 2＋4Δx Δx＝limΔx →0(－2x ＋4－Δx )＝－2x ＋4， ∴点A (4,0)处的切线的斜率k ＝f ′(4)＝－2×4＋4＝－4.(3)点A 处的切线方程为y ＝－4(x －4)，即4x ＋y －16＝0.11．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．解：先求曲线y ＝3x 2－4x ＋2在M (1,1)处的切线的斜率，k ＝y ′|x ＝1＝lim Δx →0 31＋Δx 2－41＋Δx ＋2－3＋4－2Δx＝limΔx →0(3Δx ＋2)＝2. 设过点P (－1,2)且斜率为2的直线为l ，则由点斜式y －2＝2(x ＋1)，化为一般式2x －y ＋4＝0.所以所求直线方程为2x －y ＋4＝0.12．已知抛物线y ＝x 2＋4与直线y ＝x ＋10，求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋4，y ＝x ＋10，得x 2＋4＝10＋x ， 即x 2－x －6＝0，∴x ＝－2或x ＝3.代入直线的方程得y ＝8或13.∴抛物线与直线的交点坐标为(－2,8)或(3,13)．(2)∵y ＝x 2＋4，∴y ′＝lim Δx →0 x ＋Δx 2＋4－x 2＋4Δx＝lim Δx →0 Δx 2＋2x ·Δx Δx＝lim Δx →0 (Δx ＋2x )＝2x . ∴y ′|x ＝－2＝－4，y ′|x ＝3＝6，即在点(－2,8)处的切线斜率为－4，在点(3,13)处的切线斜率为6. ∴在点(－2,8)处的切线方程为4x＋y＝0；在点(3,13)处的切线方程为6x－y－5＝0.。
优化方案2020高中数学第3章3.3.3知能优化训练新人教A版选修11
1．函数y＝f(x)在[a，b]上( )A．极大值必然比极小值大B．极大值必然是最大值C．最大值必然是极大值D．最大值必然大于极小值剖析：选D.由函数的最值与极值的看法可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值必然大于极小值．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值剖析：选D.f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，所以f(x)在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，应选D.3．函数y＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．剖析：由y′＝1224x－16x＝0，得x＝0或x ＝.34128当x＝0时，y＝0；当x＝3时，y＝－27；当x＝－2时，y＝－64；当x＝2时，y＝0.比较可知ymax＝0，ymin＝－64.答案：－6404．已知函数()＝13－4＋4.x3x x(1)求函数的极值；求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，得x＝－2，x＝2.12当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况以下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)′()＋0－fx28f(x)3从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为4小值，且极小值为－.3(2，＋∞)0 ＋4328；而当x＝2时，函数有极3f(－3)＝1×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，31 328f(4)＝×4－4×4＋4＝，3 328 4与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是3，最小值是－3.一、选择题1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是()A．f(2)，f(3)B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5)D．f(5)，f(3)剖析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单调递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．2．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．22D．4剖析：选C.′()＝3x －6＝3(x－2)，令′()＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，f x x x fx当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.所以当x＝0时，f(x)获取最大值为2.lnx3．函数y＝x的最大值为()A．e－1B．e210C．e D.3剖析：选A.令y′＝lnx′x－lnx·x′x21－lnxx2＝0.解得x＝e.当x>e时，y′<0；当x<e时，y′>0.y＝f(e)1极＝e，在定义域内只有一个极大值值，1所以ymax＝.e4．函数y＝x－sinx，xπ，π的最大值是()∈2πA．π－1 B.2－1 C．πD．π＋1剖析：选C.因为y′＝1－cosx，当x∈π，π时，y′>0，则函数y在区间π，π22上为增函数，所以y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，应选C.5．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为() A．－10B．－71C．－15D．－22剖析：选B.′()＝3x 2－6－9＝3(x－3)(x＋1)．fx x由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.6．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为15，则a等于()431A．－2 B.21 13C ．－ 2 D.2或－ 2剖析：选C.当a ≤－1 时，最大值为 4，不吻合题意，当－1<a<2时，f(x)在[a,2]上是2 151 3减函数，f(a)最大，－a －2a ＋3＝4，解得a ＝－2或a ＝－2(舍去)． 二、填空题7．函数y ＝xe x的最小值为________．x剖析：令y ′＝(x ＋1)e ＝0，得x ＝－1.1ymin ＝f(－1)＝－e . 1答案：－e2＋8．已知 f ( x)＝－ x＋1 在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f ( x)的极大值，则mxm 的取值范围是________．m剖析： f′()＝－2x，令 f′()＝0，得＝.xm xx2m1]，故m ∈[－4，－2]． 由题设得2∈[－2，－ 答案：[－4，－2]9．函数f ( x )＝ ax 4－4ax 2＋( >0,1≤≤2)的最大值为 3，最小值为－5，则＝________，b a xab ＝________.32剖析：f ′(x)＝4ax －8ax ＝4ax(x －2)＝0，又f(1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f(2)＝16a －16a ＋b ＝b ，f(2)＝b－4a，f(0)＝b，f(－2)＝b－4a.∴b－4a＝－5，∴a＝2.＝3，b答案：2 3三、解答题10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，x＝2是f(x)的一个极值点，求：实数a的值；f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值．解：(1)∵f(x)在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0.f′(x)＝3x2＋2ax，∴3×4＋4a＝0，∴a＝－3.由(1)知a＝－3，∴f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x变化时f′(x)，f(x)的变化情况以下表：x－1(－1,0)0(0,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)－22－22从上表可知f ()在区间[－1,3]上的最大值是2，最小值是－2. x11．设f(x)＝x3－12x2－2x＋5.求函数f(x)的单调递加、单调递减区间；解：f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．令f′(x)＞0，得x＜－2或x＞1.3令′()＜0，得－2＜x ＜1.fx 3∴函数f(x)的单调递加区间为(－∞，－23)，(1，＋∞)；单调递减区间为12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．解：(1)令f′(x)＝3x2－2ax＋3＞0，3 1∴a＜2x＋x min＝3(当x＝1时取最小值)．x≥1，∴a＜3，a＝3时亦吻合题意，∴a≤3.f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.∴ 1令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．3当1＜x＜3时，f′(x)＜0，当3＜x＜5时，f′(x)＞0，即当x＝3时，f(x)的极小值f(3)＝－9.又f(1)＝－1，f(5)＝15，f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.2(－3，1)．。
高中数学 第2章231知能优化训练 选修11 试题(共6页)
知能优化训练(x ùnli àn)[学生用书 P 33]1．动点P 到直线x ＋4＝0的间隔 与它到M (2,0)的间隔 之差等于2，那么P 的轨迹是( ) A ．直线 B ．椭圆 C ．双曲线D ．抛物线解析：选D.依题意知，动点P 到定直线x ＝－2的间隔 与到定点M (2,0)的间隔 相等，故动点P 的轨迹是抛物线．2．抛物线y ＝14a x 2(a ≠0)的焦点坐标为( )A ．当a >0时，(0，a )，当a <0时，(0，－a )B ．当a >0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2，当a <0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a 2C ．(0，a )D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，0 解析：选C.a >0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴正半轴上；a <0时，x 2＝4ay 的焦点为(0，a )，这时焦点在y 轴负半轴上．故不管a 为何值，x 2＝4ay 的焦点总为(0，a )，所以选C.3．(2021年模拟)点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，点P 到准线的间隔 为d ，点A (72，4)，那么|PA |＋d 的最小值是( ) A.72 B ．4C.92D ．5y 2＝2x 的焦点为F ，那么F (12，0)．又点A (72，4)在抛物线的外侧，且点P 到准线的间隔 为d ，所以d ＝|PF |，那么|PA |＋d ＝|PA |＋|PF |≥|AF |＝5.应选D.4．抛物线y ＝ax 2的准线(zhǔn xiàn)方程是y ＝2，那么a 的值是______． 解析：由y ＝ax 2的准线方程为y ＝－14a ＝2，得a ＝－18.答案：－18一、选择题1．准线方程为x ＝1的抛物线的HY 方程是( ) A ．y 2＝－2x B ．y 2＝－4x C ．y 2＝2xD ．y 2＝4xx ＝1知，抛物线的HY 方程是y 2＝－4x .应选B.2．抛物线y ＝mx 2的准线方程是y ＝1，那么实数m 的值是( ) A.14 B ．－14C ．4D ．－4y ＝mx 2，得x 2＝1m y ，14m ＝－1，a ＝－14.3．P (8，a )在抛物线y 2＝4px 上，且P 到焦点的间隔 为10，那么焦点到准线的间隔 为( ) A ．2 B ．4 C ．8D ．16x ＝－p ，∴8＋p ＝10，p ＝2.∴焦点到准线的间隔 为2p ＝4.4．(2021年高考卷)抛物线y 2＝2px (p >0)的准线与圆x 2＋y 2－6x －7＝0相切，那么p 的值是( ) A.12 B ．1 C ．2D ．4x ＝－p 2.由x 2＋y 2－6x －7＝0得(x －3)2＋y 2＝16.∵准线(zhǔn xiàn)与圆相切，∴3＋p2＝4，∴p ＝2.5．(2021年高考卷)设抛物线y 2＝8x 上一点P 到y 轴的间隔 是4，那么点P 到该抛物线焦点的间隔 是( ) A ．4 B ．6 C ．8 D ．12解析：选 B.如下图，抛物线的焦点为F (2,0)，准线方程为x ＝－2，由抛物线的定义知：|PF |＝|PE |＝4＋2＝6.6．假设点P 到定点F (4,0)的间隔 比它到直线x ＋5＝0的间隔 小1，那么点P 的轨迹方程是( ) A ．y 2＝－16x B ．y 2＝－32xC ．y 2＝16xD ．y 2＝16x 或者y ＝0(x <0)解析：选C.∵点F (4,0)在直线x ＋5＝0的右侧，且P 点到点F (4,0)的间隔 比它到直线x ＋5＝0的间隔 小1，∴点P 到F (4,0)的间隔 与它到直线x ＋4＝0的间隔 相等．故点P 的轨迹为抛物线，且顶点在原点，开口向右，p ＝8，故P 点的轨迹方程为y 2＝16x . 二、填空题7．抛物线y 2＝2px (p >0)过点M (2,2)，那么点M 到抛物线准线的间隔 为________．解析：y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的间隔 为2＋p 2＝52.答案(dá àn)：528．抛物线y 2＝4x 的弦AB ⊥x 轴，假设|AB |＝43，那么焦点F 到直线AB 的间隔 为________．解析：由抛物线的方程可知F (1,0)，由|AB |＝43且AB ⊥x 轴得y 2A ＝(23)2＝12，∴x A ＝y 2A4＝3，∴所求间隔 为3－1＝2. 答案：29．动点P 到点F (2,0)的间隔 与它到直线x ＋2＝0的间隔 相等，那么点P 的轨迹方程为________．解析：由抛物线定义知，点P 的轨迹是以点F (2,0)为焦点，x ＝－2为准线的抛物线，那么其方程为y 2＝8x . 答案：y 2＝8x 三、解答题10．假设抛物线y 2＝－2px (p >0)上有一点M ，其横坐标为－9.它到焦点的间隔 为10，求抛物线方程和M 点的坐标．解：由抛物线定义知焦点为F (－p 2，0)，准线为x ＝p2，由题意设M 到准线的间隔 为|MN |， 那么|MN |＝|MF |＝10， 即p2－(－9)＝10，∴p ＝2.故抛物线方程为y 2＝－4x ，将M (－9，y )代入y 2＝－4x ，解得y ＝±6， ∴M (－9,6)或者M (－9，－6)．11．指出抛物线方程为x ＝ay 2(a ≠0)的顶点坐标、焦点坐标、准线方程． 解：∵原抛物线方程(fāngchéng)为y 2＝1a x ，∴2p ＝1|a |.当a ＞0时，p 2＝14a ，抛物线顶点坐标为(0,0)，开口向右，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a；当a ＜0时，p 2＝－14a ，抛物线顶点坐标为(0,0)，开口向左，焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a.综上，当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2的顶点坐标为(0,0)，焦点坐标为(14a ，0)，准线方程为x＝－14a.12．根据以下所给条件，写出抛物线的HY 方程及准线方程： (1)焦点是F (0，－2)； (2)焦点是F (3,0)； (3)准线方程为x ＝－14；(4)焦点到准线的间隔 是2.解：(1)∵焦点F (0，－2)在y 轴的负半轴上， ∴抛物线的HY 方程的形式为x 2＝－2py (p >0)． 由p2＝2，得p ＝4， ∴抛物线的HY 方程的形式为：x 2＝－8y ， 其准线方程为y ＝2.(2)∵焦点F (3,0)在x 轴的正半轴上， ∴抛物线的HY 方程的形式为y 2＝2px (p >0)． 由p2＝3，得p ＝6， ∴抛物线的HY 方程(fāngchéng)为：y 2＝12x ， 其准线方程为x ＝－3.(3)∵准线方程为x ＝－14，∴抛物线的HY 方程为：y 2＝2px (p >0)．由p 2＝14，得p ＝12， 所以抛物线的HY 方程为：y 2＝x . (4)由参数p 的几何意义，可知p ＝2.焦点在x 轴的正半轴上时，抛物线的HY 方程为：y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1；焦点在x 轴的负半轴上时，抛物线的HY 方程为：y 2＝－4x ，其准线方程为x ＝1；焦点在y 轴的正半轴上时，抛物线的HY 方程为：x 2＝4y ，其准线方程为y ＝－1；焦点在y 轴的负半轴上时，抛物线的HY 方程为：x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.内容总结。
高中数学 第3章3知能优化训练 选修11 试题
卜人入州八九几市潮王学校1．曲线y ＝x n(n∈N＋)在x＝2处的导数为12，那么n 等于()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C.∵y′＝nx n－1，∴y′|x＝2＝n·2n－1＝12，∴n＝3.2．以下结论：①假设y＝，那么y′|x＝2＝－；②假设y＝cos x，那么y′|x＝＝－1；③假设y＝e x，那么y′＝e x.其中正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．3②③，一共有2个，应选C.3．函数f(x)＝x3的切线的斜率等于3，那么这样的切线有()A．1条B．2条C．多于2条D．不确定解析：选B.f′(x)＝3x2，令f′(x)＝3，即3x2＝3，∴x＝±1，故应有2条．4．f(x)＝x2，g(x)＝x3，假设f′(x)－g′(x)＝－2，那么x＝________.解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2，于是有2x－3x2＝－2，解得x＝.答案：一、选择题1．(2021年检测)假设f(x)＝cos x，那么f′(α)等于()A．sinαB．cosαC．2α＋sinαD．－sinα解析：选D.∵f′(x)＝(cos x)′＝－sin x，∴f′(α)＝－sinα.2．在曲线y＝x2上切线倾斜角为的切点是()A．(0,0) B．(2,4)C. D.解析：选D.设切点为(x0，x)，∵倾斜角为，∴y′＝2x0＝1，∴x0＝，故切点为(，)．3．函数f(x)＝a x，且f′(e)＝4，那么a＝()A．4－B．4－eC．e－4D．4解析：选D.∵f′(x)＝a x ln a，∴f′(e)＝a e＝4，∴a＝4.4．曲线f(x)＝x5上一点M处的切线与直线y＝－x＋3垂直，那么该切线方程为()A．5x＋5y＋4＝0 B．5x－5y－4＝0C．5x＋5y±4＝0 D．5x－5y±4＝0y＝－x＋3垂直，所以切线的斜率为1.又f′(x)＝x4，∴x4＝1，∴x＝±1.当x＝1时，切点为，切线方程为5x－5y－4＝0.当x＝－1时，切点为，切线方程为5x－5y＋4＝0.5．假设函数f(x)的导数为f′(x)＝－sin x，那么函数图像在点(4，f(4))处的切线的倾斜角为() A．90°B．0°C．锐角D．钝角f(x)在点(4，f(4))处的切线斜率为f′(4)＝－sin4＞0，∴此切线的倾斜角为锐角．6．(2021年高考大纲全国卷Ⅱ)假设曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，那么a＝()A．64 B．32C．16 D．8y′＝－x－(x>0)，所以曲线y＝x－在点(a，a－)处的切线l的斜率k＝－a－，由点斜式得切线的方程为y－a－＝－a－(x－a)，易求得直线l与x轴，y轴的交点分别为(3a,0)，，所以直线l与两个坐标轴围成的三角形面积S＝×3a×a－＝a＝18，解得a＝64.二、填空题7．(1)函数f(x)＝，那么f′(0)＝________；(2)函数f(x)＝x n，且f′(1)＝2，那么n＝________.解析：(1)因为f′(x)＝0，所以f′(0)＝0.(2)由公式得f′(x)＝nx n－1，所以f′(1)＝n＝2，即n＝2.答案：028．0<x<，f(x)＝x2，g(x)＝，那么f′(x)与g′(x)之间的大小关系是________．解析：f′(x)＝2x，g′(x)＝，因为0<x<，所以f′(x)＝2x∈，g′(x)＝∈(1，＋∞)，所以f′(x)＜g′(x)．答案：f′(x)＜g′(x)9．假设曲线y＝x2－1的一条切线平行于直线y＝4x－3.那么这条切线的方程为________．解析：f′(x)＝＝＝＝(2x＋Δx)＝2x.设切点坐标为(x0，y0)，那么由题意知，f′(x0)＝4，即2x0＝4，∴x0＝2.代入曲线方程得y0＝3.故该切线过点(2,3)且斜率为4.∴这条切线的方程为y－3＝4(x－2)，即4x－y－5＝0.答案：4x－y－5＝0三、解答题10．求以下函数的导数．(1)y＝2；(2)y＝；(3)y＝10x；(4)y＝log x；(5)y＝2cos2－1.解：(1)∵y′＝c′＝0，∴y′＝2′＝0.(2)∵y′＝(x n)′＝n·x n－1，∴y′＝()′＝(x)′＝x－1＝x－＝.(3)∵y′＝(a x)′＝a x·ln a，∴y′＝(10x)′＝10x·ln10.(4)∵y′＝(log a x)′＝，∴y′＝(log x)′＝＝－.(5)∵y＝2cos2－1＝cos x，∴y′＝(cos x)′＝－sin x.11．求曲线y＝与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．解：由，解得交点为(1,1)．而′＝－；(x2)′＝2x，∴斜率分别为－1和2，∴切线方程分别为y－1＝－(x－1)，及y－1＝2(x－1)；令y＝0，得与x轴交点为(2,0)及，∴S△＝·×1＝.12．点P是曲线y＝e x上任意一点，求点P到直线y＝x的最小间隔．解：由设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝e x相切于点(x0，y0)，该切点即为与直线y＝x间隔最近的点．∵y＝e x，∴y′＝e x.又∵在点(x0，y0)处的切线斜率为1，∴e x0＝1，∴x0＝0，代入y＝e x，可得：y0＝1，∴切点为(0,1)，利用点到直线的间隔公式可以求出d＝.。
高中数学 第3章3.2.2知能优化训练 湘教版选修11
高中数学 第3章3.2.2知能优化训练 湘教版选修11[学生用书 P 33]1．已知f (x )＝x 2，则f ′(3)＝( )A ．0B ．2xC ．6D ．9解析：选C.∵f ′(x )＝2x ，∴f ′(3)＝6.2．已知函数f (x )＝1x ，则f ′(－3)＝( )A ．4 B.19C ．－14 D ．－19解析：选D.∵f ′(x )＝－1x 2，∴f ′(－3)＝－19.3．(2011年青州高二检测)若f (x )＝cos x ，则f ′(α)等于( )A ．sin αB ．cos αC ．2α＋sin αD ．－sin α解析：选D.f ′(x )＝(cos x )′＝－sin x ，∴f ′(α)＝－sin α.4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成三角形的面积为________． 解析：y ′＝(e x )′＝e x ，∴k ＝e 2，∴切线方程为：y －e 2＝e 2(x －2)．令x ＝0得y ＝－e 2；令y ＝0得x ＝1.∴S △＝12e 2·1＝12e 2.答案：12e 2一、选择题1．函数y ＝cot x 的导数是( )A.1sin 2x B ．－1cos 2xC ．－1sin 2x D.1cos 2x解析：选C.由导数公式表可知(cot x )′＝－1sin 2x .2．下列结论中不正确的是( )A ．若y ＝3，则y ′＝0B ．若y ＝1x ，y ′＝－12xC ．若y ＝－x ，则y ′＝－12xD ．若y ＝3x ，则y ′＝3解析：选B.∵y ′＝(1x )′＝(x －12)′＝－12x －12－1＝－12x －32＝－12x x ，∴B 错误．3．若f (x )＝sin x ，则f ′(2π)等于( )A ．1B ．－1C ．0D ．cos x解析：选A.因为f (x )＝sin x ，所以f ′(x )＝cos x ，所以f ′(2π)＝cos2π＝1.4．(2011年高考江西卷)曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( )A ．1B ．2C ．e D.1e解析：选A.y ′＝(e x )′＝e x ，∴当x ＝0时，y ′＝e 0＝1，故y ＝e x 在A (0,1)处的切线斜率为1，选A.5．若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析：选A.y ′＝(x 4)′＝4x 3.设切点为(x 0，y 0)，则4x 30×(－14)＝－1， ∴x 0＝1.∴切点为(1,1)．∴l 的方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0，故选A.6．设f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2010(x )等于( )A ．sin xB ．－sin xC ．cos xD ．－cos x解析：选B.利用正、余弦函数的求导公式及函数的周期性求解．f 0(x )＝sin x ，f 1(x )＝f 0′(x )＝cos x ，f 2(x )＝f 1′(x )＝－sin x ，f 3(x )＝f 2′(x )＝－cos x ，f 4(x )＝f 3′(x )＝sin x ，…，∴周期为4，故f 2010(x )＝f 2(x )＝－sin x ．故选B.二、填空题7．已知函数f (x )＝3x ，则f ′(0)＝________.解析：f ′(x )＝3x ln3，则f ′(0)＝ln3.答案：ln38．已知f (x )＝ln x ，且f ′(x 0)＝1x 20，则x 0＝________. 解析：f ′(x )＝1x ，所以f ′(x 0)＝1x 0， 又f ′(x 0)＝1x 20，所以1x 0＝1x 20， 所以x 0＝x 20.所以x 0＝0(舍)或x 0＝1.答案：19．y ＝1x的斜率为－1的切线方程为________． 解析：令y ′＝－1x 2＝－1，得x ＝±1. ∴切点为(1,1)或(－1，－1)．∴切线方程为y －1＝－(x －1)或y ＋1＝－(x ＋1)．即x ＋y －2＝0或x ＋y ＋2＝0.答案：x ＋y －2＝0或x ＋y ＋2＝0三、解答题10．求下列函数的导数．(1)y ＝2；(2)y ＝4x 3；(3)y ＝10x ；(4)y ＝log 12x ；(5)y ＝2cos 2x 2－1. 解：(1)∵y ′＝c ′＝0，∴y ′＝2′＝0.(2)∵y ′＝(x n )′＝n ·x n －1，∴y ′＝(4x 3)′＝(x 34)′＝34x 34－1 ＝34x －14＝344x. (3)∵y ′＝(a x )′＝a x ·ln a ，∴y ′＝(10x )′＝10x ·ln10.(4)∵y ′＝(log a x )′＝1x ·ln a， ∴y ′＝(log 12x )′＝1x ·l n 12＝－1x ·ln2. (5)∵y ＝2cos 2x 2－1＝cos x ， ∴y ′＝(cos x )′＝－sin x .11．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线4x －y －2＝0?解：设点的坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2.∴Δy Δx＝4x 0＋2Δx . 当Δx 无限趋近于零时，Δy Δx无限趋近于4x 0. 即f ′(x 0)＝4x 0.(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°，∴斜率为tan45°＝1.即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝14，该点为(14，98)． (2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0，∴斜率为4.即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)．12．已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解：设两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)．∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0.若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1，即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin2x 0＝2，这是不可能的．∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条曲线的切线互相垂直．。
人教A版高中数学选修1-1全册同步测控知能训练题集含答案
人教A版高中数学选修1-1全册同步测控知能训练题集目录第1章1.1.1知能优化训练第1章1.1.3知能优化训练第1章1.2知能优化训练第1章1.3知能优化训练第1章1.4知能优化训练第2章2.1.1知能优化训练第2章2.1.2第一课时知能优化训练第2章2.1.2第二课时知能优化训练第2章2.2.1知能优化训练第2章2.2.2知能优化训练第2章2.3.1知能优化训练第2章2.3.2知能优化训练第3章3.1.2知能优化训练第3章3.1.3知能优化训练第3章3.2知能优化训练第3章3.3.1知能优化训练第3章3.3.2知能优化训练第3章3.3.3知能优化训练第3章3.4知能优化训练1．下列语句是命题的是( )A ．梯形是四边形B ．作直线ABC ．x 是整数D ．今天会下雪吗答案：A2．(2011年高考课标全国卷)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |>1⇔θ∈[0，2π3) p 2：|a ＋b |>1⇔θ∈(2π3，π] p 3：|a －b |>1⇔θ∈[0，π3) p 4：|a －b |>1⇔θ∈(π3，π] 其中的真命题是( )A ．p 1，p 4B ．P 1，p 3C ．P 2，p 3D ．P 2，p 4解析：选A.|a ＋b |>1⇔1＋1＋2cos θ>1⇔θ∈[0，2π3)． |a －b |>1⇔1＋1－2cos θ>1⇔θ∈(π3，π]． 3．判断下列命题的真假：①3≥3：________；②100或50是10的倍数：________.答案：①真命题 ②真命题4．写出命题“如果一个函数的图象是一条直线，那么这个函数为一次函数”的条件p 和结论q .解：条件p ：一个函数的图象是一条直线；结论q ：这个函数为一次函数．一、选择题1．下列语句不是命题的有( )①2<1；②x <1；③若x <2，则x <1；④函数f (x )＝x 2是R 上的偶函数．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选B.①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题．2．下列命题是真命题的是( )A ．{∅}是空集B.{}x ∈N||x －1|<3是无限集C ．π是有理数D ．x 2－5x ＝0的根是自然数解析：选D.x 2－5x ＝0的根为x 1＝0，x 2＝5，均为自然数．3．(2010年高考山东卷)在空间，下列命题正确的是( )A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行答案：D4．下列命题中真命题的个数为( )①面积相等的两个三角形是全等三角形；②若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；③若a >b ，则a ＋c >b ＋c ；④矩形的对角线互相垂直．A．1 B．2C．3 D．4解析：选A.①错；②错，若xy＝0，则x，y至少有一个为0，而未必|x|＋|y|＝0；③对，不等式两边同时加上同一个常数，不等号开口方向不变；④错．5．已知A、B是两个集合，则下列命题中为真命题的是()A．如果A⊆B，那么A∩B＝AB．如果A∩B＝A，那么(∁U A)∩B＝∅C．如果A⊆B，那么A∪B＝AD．如果A∪B＝A，那么A⊆B解析：选A.由集合的Venn图知选项A中的命题是真命题．6．下列命题中，是真命题的为()A．若一个四边形的对角线互相垂直且平分，则该四边形为正方形B．若集合M＝{x|x2＋x<0}，N＝{x|x>0}，则M⊆NC．若a2＋b2≠0，则a，b不全为零D．若x2＋x＋1<0，则x∈R⊆/解析：选C.A也可为菱形；B中的集合M＝{x|－1<x<0}，M N；D中的不等式无解，x∈∅.二、填空题7．命题：一元二次方程x2＋bx－1＝0(b∈R)有两个不相等的实数根．则条件p：________，结论q：________，是________(填“真”或“假”)命题．答案：一元二次方程为x2＋bx－1＝0(b∈R)有两个不相等的实数根真8．下列语句中是命题的有________，其中是假命题的有________．(只填序号)①垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？②一个数不是正数就是负数；③大角所对的边大于小角所对的边．解析：根据命题的概念，判断是否是命题；若是，再判断其真假．①是疑问句，没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，不是命题；②是假命题，因为0既不是正数也不是负数；③是假命题，没有考虑到“在两个三角形中”的情况．答案：②③②③9．给出下列几个命题：①若x，y互为相反数，则x＋y＝0；②若a>b，则a2>b2；③若x>－3，则x2＋x－6≤0；④若a，b是无理数，则a b也是无理数．其中的真命题有________个．解析：①是真命题．②设a＝1>b＝－2，但a2<b2，假命题．③设x＝4>－3，但x2＋x－6＝41>0，假命题．④设a＝(2)2，b＝2，则a b＝(2)2＝2是有理数，假命题．答案：1三、解答题10．指出下列命题的条件p与结论q，并判断命题的真假：(1)若整数a是偶数，则a能被2整除；(2)对角线相等且互相平分的四边形是矩形；(3)相等的两个角的正切值相等．解：(1)条件p：整数a是偶数，结论q：a能被2整除，真命题．(2)命题“对角线相等且互相平分的四边形是矩形”，即“若一个四边形的对角线相等且互相平分，则该四边形是矩形”．条件p：一个四边形的对角线相等且互相平分，结论q：该四边形是矩形，真命题．(3)命题“相等的两个角的正切值相等”，即“若两个角相等，则这两个角的正切值相等”．条件p：两个角相等，结论q：这两个角的正切值相等，假命题．11．将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：(1)6是12和18的公约数；(2)当a >－1时，方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根；(3)已知x 、y 为非零自然数，当y －x ＝2时，y ＝4，x ＝2.解：(1)若一个数是6，则它是12和18的公约数，是真命题．(2)若a >－1，则方程ax 2＋2x －1＝0有两个不等实根，是假命题．因为当a ＝0时，方程变为2x －1＝0，此时只有一个实根x ＝12. (3)已知x 、y 为非零自然数，若y －x ＝2，则y ＝4，x ＝2，是假命题．12．已知p ：x 2＋mx ＋1＝0有两个不等的负根，q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0(m ∈R)无实根，求使p 正确且q 正确的m 的取值范围．解：若p 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝m 2－4>0，m >0，解得m >2. 若q 为真，则Δ＝16(m －2)2－16<0，解得1<m <3.p 真，q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧m >2，1<m <3.故m 的取值范围是(2,3)．1．(2011年高考山东卷)已知a ，b ，c ∈R ，命题“若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2≥3”的否命题是( )A ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2<3B ．若a ＋b ＋c ＝3，则a 2＋b 2＋c 2<3C ．若a ＋b ＋c ≠3，则a 2＋b 2＋c 2≥3D ．若a 2＋b 2＋c 2≥3，则a ＋b ＋c ＝3解析：选A.命题“若p ，则q ”的否命题是“若綈p ，则綈q ”．2．命题“若a >0，则3a 4a ＝34”的逆命题为( ) A ．若a ≤0，则3a 4a ≠34 B ．若3a 4a ≠34，则a >0 C ．若3a 4a ≠34，则a ≤0 D ．若3a 4a ＝34，则a >0 解析：选D.逆命题为把原命题的条件和结论对调．3．命题“若A ∪B ＝B ，则A ⊆B ”的否命题是________．答案：若A ∪B ≠B ，则A B 4．已知命题p ：“若ac ≥0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实根”．(1)写出命题p 的否命题；(2)判断命题p 的否命题的真假．解：(1)命题p 的否命题为：“若ac <0，则二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根”(2)命题p 的否命题是真命题．证明如下：∵ac <0，∴－ac >0⇒Δ＝b 2－4ac >0⇒二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有实根．∴该命题是真命题．一、选择题1．若“x >y ，则x 2>y 2”的逆否命题是( )A ．若x ≤y ，则x 2≤y 2B ．若x >y ，则x 2<y 2C ．若x 2≤y 2，则x ≤yD ．若x <y ，则x 2<y 2解析：选C.由互为逆否命题的定义可知，把原命题的条件的否定作为结论，原命题的结论的否定作为条件即可得逆否命题．2．命题“若△ABC 有一内角为π3，则△ABC 的三内角成等差数列”的逆命题( ) A ．与原命题同为假命题B ．与原命题的否命题同为假命题C ．与原命题的逆否命题同为假命题D ．与原命题同为真命题解析：选D.原命题显然为真，原命题的逆命题为“若△ABC 的三内角成等差数列，则△ABC有一内角为π3”，它是真命题．故选D. 3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A ．逆命题、否命题、逆否命题都为真B ．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真⊆/解析：选D.因为原命题“菱形的对角线互相垂直”是真命题，所以它的逆否命题为真；其逆命题：“对角线互相垂直的四边形是菱形”显然是假命题，所以原命题的否命题也是假命题．4．若命题p的逆命题是q，命题q的否命题是r，则p是r的()A．逆命题B．逆否命题C．否命题D．以上判断都不对解析：选B.命题p：若x，则y，其逆命题q：若y，则x，那么命题q的否命题r：若綈y，则綈x，所以p是r的逆否命题．所以选B.5．与命题“能被6整除的整数，一定能被3整除”等价的命题是()A．能被3整除的整数，一定能被6整除B．不能被3整除的整数，一定不能被6整除C．不能被6整除的整数，一定不能被3整除D．不能被6整除的整数，不一定能被3整除解析：选B.一个命题与它的逆否命题是等价命题，选项B中的命题恰为已知命题的逆否命题．6．存在下列三个命题：①“等边三角形的三个内角都是60°”的逆命题；②“若k>0，则一元二次方程x2＋2x－k＝0有实根”的逆否命题；③“全等三角形的面积相等”的否命题．其中真命题的个数是()A．0 B．1C．2 D．3解析：选C.①②正确．二、填空题7．命题“若a>1，则a>0”的逆命题是________，逆否命题是________．答案：若a>0，则a>1若a≤0，则a≤18．有下列几个命题：①“若a>b，则a2>b2”的否命题；②“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题；③“若x2<4，则－2<x<2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．答案：②③9．在空间中，①若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．以上两个命题中，逆命题为真命题的是________．解析：①中的逆命题是：若四点中任何三点都不共线，则这四点不共面．我们用正方体AC1做模型来观察：上底面A1B1C1D1中任意三点都不共线，但A1，B1，C1，D1四点共面，所以①中的逆命题不是真命题．②中的逆命题是：若两条直线是异面直线，则两条直线没有公共点．由异面直线的定义可知，成异面直线的两条直线不会有公共点．所以②中的逆命题是真命题．答案：②三、解答题10．写出下列原命题的其他三种命题，并分别判断真假．(1)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B；(2)正偶数不是素数．解：(1)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题；否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题；逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．(2)逆命题：若一个数不是素数，则它一定是正偶数，假命题；否命题：若一个数不是正偶数，则它一定是素数，假命题；逆否命题：若一个数是素数，则它一定不是正偶数，假命题．11．判断下列命题的真假：(1)“若x∈A∪B，则x∈B”的逆命题与逆否命题；(2)“若自然数能被6整除，则自然数能被2整除”的逆命题．解：(1)逆命题：若x∈B，则x∈A∪B.根据集合“并”的定义，逆命题为真．逆否命题：若x∉B，则x∉A∪B.逆否命题为假．如2∉{1,5}＝B，A＝{2,3}，但2∈A∪B.(2)逆命题：若自然数能被2整除，则自然数能被6整除．逆命题为假．反例：2,4,14,22等都不能被6整除．12．判断命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题的真假．解：∵m>0，∴12m>0，∴12m＋4>0.∴方程x2＋2x－3m＝0的判别式Δ＝12m＋4>0.∴原命题“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”为真命题．又因原命题与它的逆否命题等价，所以“若m>0，则方程x2＋2x－3m＝0有实数根”的逆否命题也为真命题．1．(2011年高考福建卷)若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.a ＝2⇒(a －1)(a －2)＝0，但(a －1)(a －2)＝0⇒a ＝1或2，故选A.2．“θ＝0”是“sin θ＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.由于“θ＝0”时，一定有“sin θ＝0”成立，反之不成立，所以“θ＝0”是“sin θ＝0”的充分不必要条件．3．用符号“⇒”或“ ”填空：(1)整数a 能被4整除________a 的个位数为偶数；(2)a >b ________ac 2>bc 2.答案：(1)⇒ (2)4．“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的什么条件？解：当a ＝2时，直线ax ＋2y ＝0，即2x ＋2y ＝0与直线x ＋y ＝1平行，因为直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1，所以a 2＝1，a ＝2， 综上，“a ＝2”是“直线ax ＋2y ＝0平行于直线x ＋y ＝1”的充要条件．一、选择题1．设集合M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，那么“a ∈M ”是“a ∈N ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选B.M ＝{x |0<x ≤3}，N ＝{x |0<x ≤2}，所以N M ，故a ∈M 是a ∈N 的必要不充分条件．2．(2010年高考福建卷)若向量a ＝(x,3)(x ∈R)，则“x ＝4是|a |＝5”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：选A.由x ＝4知|a |＝42＋32＝5；反之，由|a |＝x 2＋32＝5，得x ＝4或x ＝－4.故“x ＝4”是“|a |＝5”的充分而不必要条件，故选A.3．“b ＝c ＝0”是“二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)经过原点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.b ＝c ＝0⇒y ＝ax 2，二次函数一定经过原点；二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 经过原点⇒c ＝0，b 不一定等于0，故选A.4．已知p，q，r是三个命题，若p是r的充要条件且q是r的必要条件，那么q是p的() A．充分条件B．必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B.p是r的充要条件且q是r的必要条件，故有p⇔r⇒q，即p⇒q，q p，所以q是p的必要条件．5．已知条件：p：y＝lg(x2＋2x－3)的定义域，条件q：5x－6>x2，则q是p的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A.p：x2＋2x－3>0，则x>1或x<－3；q：5x－6>x2，即x2－5x＋6<0，由小集合⇒大集合，∴q⇒p，但p⇒/ q．故选A.6．下列所给的p、q中，p是q的充分条件的个数是()①p：x>1，q：－3x<－3；②p：x>1，q：2－2x<2；③p：x＝3，q：sin x>cos x；④p：直线a，b不相交，q：a∥b.A．1B．2C．3 D．4解析：选C.①由于p：x>1⇒q：－3x<－3，所以p是q的充分条件；②由于p：x>1⇒q：2－2x<2(即x>0)，所以p是q的充分条件；③由于p：x＝3⇒q：sin x>cos x，所以p是q的充分条件；④由于p：直线a，b不相交q：a∥b，所以p不是q的充分条件．二、填空题7．不等式x2－3x＋2<0成立的充要条件是________．解析：x2－3x＋2<0⇔(x－1)(x－2)<0⇔1<x<2.答案：1<x<28．在△ABC中，“sin A＝sin B”是“a＝b”的________条件．解析：在△ABC中，由正弦定理及sin A＝sin B可得2R sin A＝2R sin B，即a＝b；反之也成立．答案：充要9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以是x2<1的一个充分条件的所有序号为________．解析：由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．答案：②③④三、解答题10．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件：(1)p：|x|＝|y|，q：x＝y；(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；(3)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形．解：(1)∵|x|＝|y|⇒/ x＝y，但x＝y⇒|x|＝|y|，∴p是q的必要条件，但不是充分条件．(2)△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形．△ABC是等腰三角形△ABC是直角三角形．∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．(3)四边形的对角线互相平分四边形是矩形．四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分．∴p是q的必要条件，但不是充分条件．11．命题p ：x >0，y <0，命题q ：x >y ，1x >1y，则p 是q 的什么条件？ 解：p ：x >0，y <0，则q ：x >y ，1x >1y成立； 反之，由x >y ，1x >1y ⇒y －x xy>0， 因y －x <0，得xy <0，即x 、y 异号，又x >y ，得x >0，y <0.所以“x >0，y <0”是“x >y ，1x >1y”的充要条件． 12．已知条件p ：－1≤x ≤10，q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0(m >0)不变，若綈p 是綈q 的必要而不充分条件，如何求实数m 的取值范围？解：p ：－1≤x ≤10.q ：x 2－4x ＋4－m 2≤0⇔[x －(2－m )][x －(2＋m )]≤0(m >0)⇔2－m ≤x ≤2＋m (m >0)．因为綈p 是綈q 的必要而不充分条件，所以p 是q 的充分不必要条件，即{x |－1≤x ≤10}{x |2－m ≤x ≤2＋m }，故有⎩⎪⎨⎪⎧ 2－m ≤－12＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧2－m <－12＋m ≥10， 解得m ≥8.所以实数m 的范围为{m |m ≥8}．1．若命题p∧q为假，且綈p为假，则()A．p∨q为假B．q为假C．q为真D．不能判断答案：B2．命题“平行四边形的对角线相等且互相平分”是()A．简单命题B．“p或q”形式的复合命题C．“p且q”形式的复合命题D．“非p”形式的复合命题答案：C3．判断下列命题的形式(从“p∨q”、“p∧q”中选填一种)：(1)6≤8：________；(2)集合中的元素是确定的且是无序的：________.答案：p∨q p∧q4．已知命题p：6是12的约数，q：6是24的约数，试写出由它们构成的“p∧q”、“p∨q”、“綈p”形式的命题．解：“p∧q”：6既是12的约数又是24的约数．“p∨q”：6是12或24的约数．“綈p”：6不是12的约数．一、选择题1．如果命题“p∨q”与命题“綈p”都是真命题，那么()A．命题p不一定是假命题B．命题q一定为真命题C．命题q不一定是真命题D．命题p与命题q的真假相同解析：选B.“p∨q”为真，则p、q至少有一个为真．綈p为真，则p为假，∴q是真命题．2．若命题p：0是偶数，命题q：2是3的约数，则下列命题中为真的是()A．p∧q B．p∨qC．綈p D．(綈p)∧(綈q)解析：选B.∵p是真命题，q是假命题，∴“p∨q”是真命题．3．命题p：a2＋b2<0(a，b∈R)；命题q：a2＋b2≥0(a，b∈R)，则下列结论中正确的是() A．“p∨q”为真B．“p∧q”为真C．“綈p”为假D．“綈q”为真解析：选A.∵p为假命题，q为真命题，∴“p∨q”为真命题．4．若命题p：2m－1(m∈Z)是奇数，命题q：2n＋1(n∈Z)是偶数，则下列说法正确的是() A．p∨q为真B．p∧q为真C．綈p为真D．綈q为假解析：选A.命题p：“2m－1(m∈Z)是奇数”是真命题，而命题q：“2n＋1(n∈Z)是偶数”是假命题，所以p∨q为真．5．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题为真命题的是()A．(綈p)∨q B．p∧qC．(綈p)∧(綈q) D．(綈p)∨(綈q)解析：选D.p为真，q为假，所以綈q为真，(綈p)∨(綈q)为真．6．给出两个命题：p ：函数y ＝x 2－x －1有两个不同的零点；q ：若1x<1，则x >1，那么在下列四个命题中，真命题是( ) A ．(綈p )∨q B ．p ∧q C ．(綈p )∧(綈q ) D ．(綈p )∨(綈q )解析：选D.对于p ，函数对应的方程x 2－x －1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×(－1)＝5>0. 可知函数有两个不同的零点，故p 为真．当x <0时，不等式1x<1恒成立；当x >0时，不等式的解为x >1.故不等式1x<1的解为x <0或x >1.故命题q 为假命题．所以只有(綈p )∨(綈q )为真．故选D. 二、填空题7．用“或”、“且”、“非”填空，使命题成为真命题： (1)若x ∈A ∪B ，则x ∈A ________x ∈B ； (2)若x ∈A ∩B ，则x ∈A ________x ∈B ； (3)若ab ＝0，则a ＝0________b ＝0；(4)a ，b ∈R ，若a ＞0________b ＞0，则ab ＞0. 答案：(1)或 (2)且 (3)或 (4)且8．设命题p ：2x ＋y ＝3；q ：x －y ＝6.若p ∧q 为真命题，则x ＝________，y ＝________. 解析：若p ∧q 为真命题，则p ，q 均为真命题，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＝3，x －y ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝－3. 答案：3 －39．命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为________，命题的否定为________． 解析：命题“若a <b ，则2a <2b ”的否命题为“若a ≥b ，则 2a ≥2b ”，命题的否定为“若a <b ，则2a ≥2b ”． 答案：若a ≥b ，则2a ≥2b 若a <b ，则2a ≥2b 三、解答题10．指出下列命题的形式及构成它们的简单命题： (1)方程x 2－3＝0没有有理根；(2)不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2或x <－1}．解：(1)这个命题是“綈p ”的形式，其中p ：方程x 2－3＝0有有理根．(2)这个命题是“p 或q ”的形式，其中p ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x >2}，q ：不等式x 2－x －2>0的解集是{x |x <－1}．11．判断由下列命题构成的p ∨q ，p ∧q ，綈p 形式的命题的真假： (1)p ：负数的平方是正数，q ：有理数是实数； (2)p ：2≤3，q ：3<2；(3)p ：35是5的倍数，q ：41是7的倍数．解：(1)p 真，q 真，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为真命题，綈p 为假命题； (2)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题； (3)p 真，q 假，∴p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，綈p 为假命题．12．设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. (1)若a ＝1，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；(2)綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得 (x －3a )(x －a )<0.又a >0，所以a <x <3a ，当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时， 实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0. 解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3.所以q 为真时实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p ∧q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <32<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)． (2)綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈p 且綈q 綈q .设A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }，B ＝{x |x ≤2或x >3}，则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．1．下列是全称命题且是真命题的是( ) A ．∀x ∈R ，x 2>0 B ．∀x ∈Q ，x 2∈Q C ．∃x 0∈Z ，x 20>1 D ．∀x ，y ∈R ，x 2＋y 2>0 答案：B2．命题“一次函数都是单调函数”的否定是( ) A ．一次函数都不是单调函数 B ．非一次函数都不是单调函数 C ．有些一次函数是单调函数 D ．有些一次函数不是单调函数解析：选D.命题的否定只对结论进行否定，“都是”的否定是“不都是”，即“有些”． 3．(2010年高考安徽卷)命题“对任何x ∈R ，|x －2|＋|x －4|>3”的否定是________． 答案：存在x ∈R ，使得|x －2|＋|x －4|≤34．(1)用符号“∀”表示命题“不论m 取什么实数，方程x 2＋x －m ＝0必有实根”； (2)用符号“∃”表示命题“存在实数x ，使sin x >tan x ”． 解：(1)∀m ∈R ，x 2＋x －m ＝0有实根． (2)∃x 0∈R ，sin x 0>tan x 0.一、选择题1．下列语句不是特称命题的是( ) A ．有的无理数的平方是有理数 B ．有的无理数的平方不是有理数 C ．对于任意x ∈Z,2x ＋1是奇数 D ．存在x 0∈R,2x 0＋1是奇数 答案：C2．(2010年高考湖南卷)下列命题中的假命题是( ) A ．∃x ∈R ，lg x ＝0 B ．∃x ∈R ，tan x ＝1 C ．∀x ∈R ，x 3>0 D ．∀x ∈R,2x >0解析：选C.对于A ，当x ＝1时，lg x ＝0，正确；对于B ，当x ＝π4时，tan x ＝1，正确；对于C ，当x <0时，x 3<0，错误；对于D ，∀x ∈R,2x>0，正确． 3．下列命题中，是正确的全称命题的是( ) A ．对任意的a ，b ∈R ，都有a 2＋b 2－2a －2b ＋2<0 B ．菱形的两条对角线相等 C ．∃x 0∈R ，x 20＝x 0D ．对数函数在定义域上是单调函数解析：选D.A 中含有全称量词“任意”，a 2＋b 2－2a －2b ＋2＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，是假命题．B 、D 在叙述上没有全称量词，实际上是指“所有的”．菱形的对角线不一定相等；C 是特称命题．所以选D.4．将“x 2＋y 2≥2xy ”改写成全称命题，下列说法正确的是( ) A ．∀x ，y ∈R ，都有x 2＋y 2≥2xyB ．∃x 0，y 0∈R ，使x 20＋y 20≥2x 0y 0C ．∀x >0，y >0，都有x 2＋y 2≥2xyD ．∃x 0<0，y 0<0，使x 20＋y 20≤2x 0y 0解析：选A.这是一个全称命题，且x ，y ∈R ，故选A. 5．下列命题的否定是假命题的是( )A ．p ：能被3整除的整数是奇数；綈p ：存在一个能被3整除的整数不是奇数B．p：每一个四边形的四个顶点共圆；綈p：存在一个四边形的四个顶点不共圆C．p：有的三角形为正三角形；綈p：所有的三角形不都是正三角形D．p：∃x0∈R，x20＋2x0＋2≤0；綈p：∀x∈R，都有x2＋2x＋2>0解析：选C.p为真命题，则綈p为假命题．6．下列命题中，假命题的个数是()①∀x∈R，x2＋1≥1；②∃x0∈R,2x0＋1＝3；③∃x0∈Z，x0能被2和3整除；④∃x0∈R，x20＋2x0＋3＝0.A．0 B．1C．2 D．3解析：选B.①②③都是真命题，而④为假命题．二、填空题7．写出命题“每个函数都有奇偶性”的否定：________.解析：命题的量词是“每个”，即为全称命题，因此否定是特称命题，用量词“有些、有的、存在一个、至少有一个”等，再否定结论．答案：有些函数没有奇偶性8．命题“存在实数x，y，使得x＋y>1”，用符号表示为________；此命题的否定是________(用符号表示)，是________命题(填“真”或“假”)．解析：原命题为真，所以它的否定为假．也可以用线性规划的知识判断．答案：∃x0，y0∈R，x0＋y0>1∀x，y∈R，x＋y≤1假9．下列命题：①存在x0<0，使|x0|>x0；②对于一切x<0，都有|x|>x；③已知a n＝2n，b n＝3n，对于任意n∈N＋，都有a n≠b n；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，对于任意n∈N＋，都有A∩B＝∅.其中，所有正确命题的序号为________．解析：命题①②显然为真命题；③由于a n－b n＝2n－3n＝－n<0，对于任意n∈N＋，都有a n<b n，即a n≠b n，故为真命题；④已知A＝{a|a＝2n}，B＝{b|b＝3n}，例如n＝1,2,3时，A∩B＝{6}，故为假命题．答案：①②③三、解答题10．判断下列语句是不是命题？如果是，说明其是全称命题还是特称命题：(1)有一个向量a0，a0的方向不能确定；(2)存在一个函数f(x0)，使f(x0)既是奇函数又是偶函数；(3)对任何实数a，b，c，方程ax2＋bx＋c＝0都有解；(4)平面外的所有直线中，有一条直线和这个平面垂直吗？解：(1)(2)(3)都是命题，其中(1)(2)是特称命题，(3)是全称命题．由于(4)是一个问句，因此(4)不是命题．11．用“∀”“∃”写出下列命题的否定，并判断真假：(1)二次函数的图象是抛物线；(2)直角坐标系中，直线是一次函数的图象；(3)∀a，b∈R，方程ax＋b＝0恰有一解．解：(1)綈p：∃x0∈{二次函数}，x0的图象不是抛物线．假命题．(2)綈p：在直角坐标系中，∃x0∈{直线}，x0不是一次函数的图象．真命题．(3)綈p：∃a0，b0∈R，方程a0x＋b0＝0无解或至少有两解．真命题．12．判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定：(1)三角形的内角和为180°；(2)每个二次函数的图象都开口向下；(3)存在一个四边形不是平行四边形．解：(1)是全称命题且为真命题．命题的否定：三角形的内角和不全为180°，即存在一个三角形的内角和不等于180°.(2)是全0称命题且为假命题．命题的否定：存在一个二次函数的图象开口不向下．(3)是特称命题且为真命题．命题的否定：所有的四边形都是平行四边形．1．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点，若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案：D2．椭圆x 216＋y 225＝1的焦点坐标是( )A ．(±4,0)B ．(0，±4)C ．(±3,0)D ．(0，±3) 答案：D3．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝6，则椭圆的标准方程为________．答案：x 29＋y 28＝14．已知B 、C 是两定点，|BC |＝8，且△ABC 的周长等于18，求这个三角形顶点A 的轨迹方程．解：以过B 、C 两点的直线为x 轴，线段BC 的中点为原点，建立平面直角坐标系(图略)． 由|BC |＝8，可设B (－4,0)，C (4,0)． 由|AB |＋|BC |＋|AC |＝18， 得|AB |＋|AC |＝10>|BC |＝8.因此，点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，这个椭圆上的点与两焦点的距离之和为2a ＝10，即a ＝5，且点A 不能在x 轴上．由a ＝5，c ＝4，得b 2＝9.所以A 点的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)．一、选择题1．已知椭圆的焦点为(－1,0)和(1,0)，点P (2,0)在椭圆上，则椭圆的方程为( ) A.x 24＋y 23＝1 B.x 24＋y 2＝1 C.y 24＋x 23＝1 D.y 24＋x 2＝1 解析：选A.c ＝1，a ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3.∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.2．椭圆x 29＋y225＝1的焦点为F 1、F 2，AB 是椭圆过焦点F 1的弦，则△ABF 2的周长是( )A ．20B ．12C ．10D ．6 解析：选A.∵AB 过F 1，∴由椭圆定义知 ⎩⎪⎨⎪⎧|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，|AF 1|＋|AF 2|＝2a ， ∴|AB |＋|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＝20.3．椭圆x 225＋y 2＝1上一点P 到一个焦点的距离为2，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选D.设到另一焦点的距离为x ，则x ＋2＝10，x ＝8.4．已知椭圆x 2a 2＋y 22＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是( )A.x 24＋y 22＝1B.x 23＋y 22＝1 C ．x 2＋y 22＝1 D.x 26＋y 22＝1解析：选D.由题意知a 2－2＝4，∴a 2＝6.∴所求椭圆的方程为x 26＋y 22＝1.5．已知椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于( )A ．4B ．5C ．7D ．8解析：选D.焦距为4，则m －2－(10－m )＝⎝⎛⎭⎫422，∴m ＝8.6．椭圆的两焦点为F 1(－4,0)、F 2(4,0)，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2的面积最大为12，则椭圆方程为( ) A.x 216＋y 29＝1 B.x 225＋y 29＝1 C.x 225＋y 216＝1 D.x 225＋y 24＝1 解析：选B.S △PF 1F 2＝12×8b ＝12，∴b ＝3，又∵c ＝4，∴a 2＝b 2＋c 2＝25，∴椭圆的标准方程为x 225＋y 29＝1.二、填空题7．椭圆的焦点在y 轴上，其上任意一点到两焦点的距离和为8，焦距为215，则此椭圆的标准方程为________． 解析：∵2a ＝8，∴a ＝4，∵2c ＝215，∴c ＝15，∴b 2＝1.即椭圆的标准方程为y 216＋x 2＝1.答案：y216＋x 2＝18．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 顶点A (－4,0)和C (4,0)，顶点B 在椭圆x 225＋y 29＝1上，则sin A ＋sin C sin B＝________.解析：由题意知，|AC |＝8，|AB |＋|BC |＝10.所以，sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|AB ||AC |＝108＝54.答案：549．若方程x 25－k ＋y 2k －3＝1表示椭圆，则k 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－k >0，k －3>0，5－k ≠k －3，解得3<k <5且k ≠4.答案：3<k <5且k ≠4 三、解答题10．已知椭圆8x 281＋y 236＝1上一点M 的纵坐标为2.(1)求M 的横坐标；(2)求过M 且与x 29＋y 24＝1共焦点的椭圆的方程．解：(1)把M 的纵坐标代入8x 281＋y 236＝1，得8x 281＋436＝1，即x 2＝9.∴x ＝±3.即M 的横坐标为3或－3.(2)对于椭圆x 29＋y 24＝1，焦点在x 轴上且c 2＝9－4＝5，故设所求椭圆的方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1(a 2>5)，把M 点坐标代入得9a 2＋4a 2－5＝1，解得a 2＝15.故所求椭圆的方程为x 215＋y 210＝1.11．已知椭圆的中心在原点，两焦点F 1，F 2在x 轴上，且过点A (－4,3)．若F 1A ⊥F 2A ，求椭圆的标准方程．解：设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)．设焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)．∵F 1A ⊥F 2A ，∴F 1A →·F 2A →＝0， 而F 1A →＝(－4＋c,3)， F 2A →＝(－4－c,3)， ∴(－4＋c )·(－4－c )＋32＝0， ∴c 2＝25，即c ＝5. ∴F 1(－5,0)，F 2(5,0)． ∴2a ＝|AF 1|＋|AF 2|＝ (－4＋5)2＋32＋ (－4－5)2＋32 ＝10＋90＝410. ∴a ＝210，∴b 2＝a 2－c 2＝(210)2－52＝15.∴所求椭圆的标准方程为x 240＋y 215＝1.12．已知椭圆的两焦点为F 1(－1,0)、F 2(1,0)，P 为椭圆上一点，且2|F 1F 2|＝|PF 1|＋|PF 2|. (1)求此椭圆方程；(2)若点P 满足∠F 1PF 2＝120°，求△PF 1F 2的面积． 解：(1)由已知得|F 1F 2|＝2， ∴|PF 1|＋|PF 2|＝4＝2a ，∴a ＝2.∴b 2＝a 2－c 2＝4－1＝3，∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1.(2)在△PF 1F 2中，由余弦定理得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|cos 120°，即4＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－|PF 1||PF 2|，∴4＝(2a )2－|PF 1||PF 2|＝16－|PF 1||PF 2|， ∴|PF 1||PF 2|＝12，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|sin120°＝12×12×32＝3 3.1．已知点(2,3)在椭圆x 2m 2＋y 2n2＝1上，则下列说法正确的是( )A ．点(－2,3)在椭圆外B ．点(3,2)在椭圆上C ．点(－2，－3)在椭圆内D ．点(2，－3)在椭圆上 答案：D2．直线y ＝x ＋2与椭圆x 2m ＋y 23＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．m >1B ．m >1且m ≠3C ．m >3D ．m >0且m ≠3 答案：B3．直线y ＝a 与椭圆x 23＋y 22＝1恒有两个不同的交点，则a 的取值范围是________．答案：(－2，2)4．如图，已知斜率为1的直线l 过椭圆y 28＋x24＝1的下焦点，交椭圆于A 、B 两点，求弦AB之长．解：令A 、B 坐标分别为A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 由椭圆方程知a 2＝8，b 2＝4， ∴c ＝a 2－b 2＝2，∴椭圆的下焦点F 的坐标为F (0，－2)， ∴直线l 的方程为y ＝x －2.将其代入y 28＋x 24＝1，化简整理得3x 2－4x －4＝0，∴x 1＋x 2＝43，x 1·x 2＝－43，∴|AB |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝2(x 2－x 1)2＝ 2 (x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝ 2 ⎝⎛⎭⎫432－4×(－43) ＝823.一、选择题1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2<a <2B ．a <－2或a > 2C ．－2<a <2D ．－1<a <1答案：A2．椭圆x 24＋y 23＝1的右焦点到直线y ＝3x 的距离是( )A.12B.32 C ．1 D. 3 解析：选B.椭圆的右焦点为F (1,0)，∴d ＝33＋1＝32.3．过椭圆x 225＋y 29＝1的右焦点且倾斜角为45°的弦AB 的长为( )A ．5B ．6 C.9017D ．7 解析：选C.椭圆的右焦点为(4,0)，直线的斜率为k ＝1， ∴直线AB 的方程为y ＝x －4，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －4x 225＋y 29＝1得9x 2＋25(x －4)2＝225， 由弦长公式易求|AB |＝9017.4．直线y ＝x ＋m 与椭圆x 2144＋y 225＝1有两个公共点，则m 的取值范围是( )A ．(－5,5)B ．(－12,12)C ．(－13,13)D ．(－15,15)解析：选C.联立直线与椭圆方程，由判别式Δ>0，可得－13<m <13.5．已知椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP →＝2PB →，则椭圆的离心率是( )A.32B.22C.13D.12解析：选D.如图，由于BF ⊥x 轴，故x B ＝－c ，y B ＝b 2a.设P (0，t )，∵AP →＝2PB →，∴(－a ，t )＝2⎝⎛⎭⎫－c ，b 2a －t .∴a ＝2c ， ∴c a ＝12. 6．经过椭圆x 22＋y 2＝1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．设O 为坐标原点，则OA →·OB →等于( )A ．－3B ．－13C ．－13或－3D ．±13解析：选B.不妨设l 过椭圆的右焦点(1,0)， 则直线l 的方程为y ＝x －1.。
高中数学 第3章331知能优化训练 选修11 试题
知能优化训练[学生用书 P 33]1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．那么甲是乙的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A.例如：f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件，选A.2．函数y ＝x －ln(1＋x )的单调增区间为( ) A ．(－1,0) B ．(－∞，－1)和(0，＋∞) C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－1)解析：选C.y ′＝1－11＋x ＝x 1＋x .令y ′＞0，得x1＋x ＞0，∴x ＞0或者xx ＋1＞0，∴x ＞0.3．假设在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，那么在(a ，b )内有( ) A ．f (x )>0 B ．f (x )<0 C ．f (x )＝0D ．不能确定f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )上是增函数，所以f (x )>f (a )≥0.4．(2021年高考卷改编)函数f (x )＝2log 5x ＋1的单调增区间是________． 解析：令f ′(x )＝2x ln5>0，得x ∈(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)一、选择题1．函数f (x )＝(x －3)e x 的单调递增区间是( ) A ．(－∞，2) B ．(0,3) C ．(1,4)D ．(2，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝(x －3)′e x ＋(x －3)(e x )′＝(x －2)e x ， 令f ′(x )>0，解得x >2，应选D.2．函数y ＝12x 2－ln x 的单调递减区间为( )A ．(0,1)B ．(0,1)和(－∞，－1)C ．(0,1)∪(1，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选A.y ＝12x 2－ln x 的定义域为(0，＋∞)，由y ′＝x －1x ＝x 2－1x＜0，∴0＜x ＜1.所以选A.3．设f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于零的可导函数，且f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )＜0，那么当a ＜x ＜b 时，有( ) A ．f (x )g (x )＞f (b )g (b ) B ．f (x )g (a )＞f (a )g (x ) C ．f (x )g (b )＞f (b )g (x ) D ．f (x )g (x )＞f (a )g (a ) F (x )＝f (x )g (x )，那么F ′(x )＝f ′(x )·g (x )－f (x )g ′(x )g 2(x )＜0.∵f (x )、g (x )是定义域为R 的恒大于零的可导函数， ∴F (x )在R 上为递减函数，当x ∈(a ，b )时，f (x )g (x )＞f (b )g (b ).∴f (x )g (b )＞f (b )g (x )．4.函数y ＝f (x )在定义域[－4，6]内可导，其图象如图，记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，那么不等式f ′(x )≤0的解集为( ) A ．[－43，1]∪[113，6]B ．[－3,0]∪[73，5]C ．[－4，－43]∪[1，73]D ．[－4，－3]∪[0,1]∪[5,6]f ′(x )≤0的解集即为原函数f (x )的单调递减区间所对应的x 的取值范围，知选A. 5．设f (x )，g (x )在(a ，b )上可导，且f ′(x )＞g ′(x )，那么当a ＜x ＜b 时有( ) A ．f (x )＞g (x ) B ．f (x )＜g (x )C ．f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )D ．f (x )＋g (b )＞g (x )＋f (b )解析：选C.利用函数的单调性判断．令φ(x )＝f (x )－g (x )，那么φ′(x )＝f ′(x )－g ′(x )，∵f ′(x )＞g ′(x )，∴φ′(x )＞0，即函数φ(x )为定义域上的增函数．又a ＜x ＜b ，∴φ(a )＜φ(x )，即f (a )－g (a )＜f (x )－g (x )，从而得f (x )＋g (a )＞g (x )＋f (a )． 6．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，3π2 B.()π，2π C.⎝⎛⎭⎫3π3，5π2D.()2π，3π解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，假设y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此间内y ′恒大于或者等于0即可．∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立． 二、填空题7．函数y ＝3x －x 3在(－1,1)内的单调性是________． 解析：y ′＝3－3x 2，由y ′＞0得－1＜x ＜1， ∴y ＝3x －x 3在(－1,1)内单调递增． 答案：增函数8．y ＝x 2e x 的单调递增区间是________． 解析：∵y ＝x 2e x ，∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或者x >0. ∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)． 答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)9．函数f (x )＝x 3＋ax 在区间[0，＋∞)上是增加的，那么a 的取值范围是________． 解析：f ′(x )＝3x 2＋a ，那么当x ≥0时，f ′(x )≥0恒成立，即3x 2＋a ≥0，∴a ≥－3x 2.又当x ≥0时，－3x 2≤0，∴a ≥a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 三、解答题10．求以下函数的单调区间． (1)f (x )＝x 3＋3x；(2)f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)， f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x 2)，由f ′(x )>0，解得x <－1或者x >1， 由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0，∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)， 递减区间为(－1,0)，(0,1)．(2)f ′(x )＝cos x (1＋cos x )＋sin x (－sin x ) ＝2cos 2x ＋cos x －1 ＝(2cos x －1)(cos x ＋1)． ∵0≤x ≤2π，∴由f ′(x )＝0得x 1＝π3，x 2＝π，x 3＝53π，那么区间[0,2π]被分成三个子区间，如表所示：∴f (x )＝sin x (1＋cos x )(0≤x ≤2π)的单调递增区间为[0，π3]，[53π，2π]，单调递减区间为(π3，53π)．11．函数f (x )＝ax －ax －2ln x (a ≥0)，假设函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围．解：∵f ′(x )＝a ＋a x 2－2x，要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数， 那么在(0，＋∞)内f ′(x )恒大于等于0或者恒小于等于0. 当a ＝0时，f ′(x )＝－2x <0在(0，＋∞)内恒成立；当a >0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，那么a －1a≥0，解得a ≥1.综上，a 的取值范围为a ≥1或者a ＝0.12．设k ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧11－x ， x ＜1，－x －1，x ≥1，F (x )＝f (x )－kx ，x ∈F (x )的单调性．解：F (x )＝f (x )－kx ＝⎩⎨⎧11－x－kx ， x ＜1，－x －1－kx ，x ≥1.F ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(1－x )2－k ， x ＜1，－12x －1－k ，x ≥1.对于F (x )＝11－x－kx (x ＜1)，当k ≤0时，函数F (x )在(－∞，1)上是增函数； 当k ＞0时，函数F (x )在(－∞，1－1k )上是减函数，在(1－1k，1)上是增函数． 对于F (x )＝－x －1－kx (x ≥1)，当k ≥0时，函数F (x )在(1，＋∞)上是减函数；当k ＜0时，函数F (x )在(1,1＋14k 2)上是减函数，在(1＋14k2，＋∞)上是增函数．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高中数学 第3章333知能优化训练 A选修11 试题(共6页)
1．函数(hánshù)y ＝f (x )在[a ，b ]上( ) A ．极大值一定比极小值大 B ．极大值一定是最大值 C ．最大值一定是极大值 D ．最大值一定大于极小值解析：选 D.由函数的最值与极值的概念可知，y ＝f (x )在[a ，b ]上的最大值一定大于极小值．2．函数f (x )＝x 3－3x (|x |<1)( ) A ．有最大值，但无最小值 B ．有最大值，也有最小值 C ．无最大值，但有最小值 D ．既无最大值，也无最小值解析：选 D.f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，当x ∈(－1,1)时，f ′(x )<0，所以f (x )在(－1,1)上是单调递减函数，无最大值和最小值，应选D.3．函数y ＝4x 2(x －2)在x ∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________． 解析：由y ′＝12x 2－16x ＝0，得x ＝0或者x ＝43.当x ＝0时，y ＝0；当x ＝43时，y ＝－12827；当x ＝－2时，y ＝－64；当x ＝2时，y ＝0. 比拟可知y max ＝0，y min ＝－64. 答案：－64 04．函数f (x )＝13x 3－4x ＋4.(1)求函数的极值(jí zhí)；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值． 解：(1)f ′(x )＝x 2－4，解方程x 2－4＝0， 得x 1＝－2，x 2＝2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，－2)－2 (－2,2) 2 (2，＋∞)f ′(x ) ＋0 －0 ＋ f (x )283－43从上表可看出，当x ＝－2时，函数有极大值，且极大值为3；而当x ＝2时，函数有极小值，且极小值为－43.(2)f (－3)＝13×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，f (4)＝13×43－4×4＋4＝283，与极值比拟，得函数在区间[－3,4]上的最大值是283，最小值是－43.一、选择题1．函数f (x )＝－x 2＋4x ＋7，在x ∈[3,5]上的最大值和最小值分别是( ) A ．f (2)，f (3) B ．f (3)，f (5) C ．f (2)，f (5)D ．f (5)，f (3)解析：选B.∵f ′(x )＝－2x ＋4， ∴当x ∈[3,5]时，f ′(x )<0， 故f (x )在[3,5]上单调递减，故f (x )的最大值和最小值分别是f (3)，f (5)．2．f (x )＝x 3－3x 2＋2在区间[－1,1]上的最大值是( ) A ．－2B ．0C ．2D ．4解析(jiě xī)：选C.f ′(x )＝3x 2－6x ＝3x (x －2)，令f ′(x )＝0可得x ＝0或者x ＝2(舍去)，当－1≤x <0时，f ′(x )>0，当0<x ≤1时，f ′(x )<0. 所以当x ＝0时，f (x )获得最大值为2. 3．函数y ＝ln xx的最大值为( )A ．e －1B ．eC ．e 2D.103y ′＝ln x ′x －ln x ·x ′x2＝1－ln xx 2x ＝e.当x >e 时，y ′<0； 当x <e 时，y ′>0.y 极大值＝f (e)＝1e，在定义域内只有一个极值，所以y max ＝1e.4．函数y ＝x －sin x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π的最大值是( ) A ．π－1 B.π2－1 C ．πD ．π＋1y ′＝1－cos x ，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π时，y ′>0，那么函数y 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上为增函数，所以y 的最大值为y max ＝π－sinπ＝π，应选C.5．函数(hánshù)f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋k 在区间[－4,4]上的最大值为10，那么其最小值为( )A ．－10B ．－71C ．－15D ．－22解析：选B.f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)． 由f ′(x )＝0得x ＝3，－1. 又f (－4)＝k －76，f (3)＝k －27，f (－1)＝k ＋5，f (4)＝k －20.由f (x )max ＝k ＋5＝10，得k ＝5， ∴f (x )min ＝k －76＝－71.6．函数y ＝－x 2－2x ＋3在区间[a,2]上的最大值为154，那么a 等于( )A ．－32B.12 C ．－12D.12或者－32a ≤－1时，最大值为4，不符合题意，当－1<a <2时，f (x )在[a,2]上是减函数，f (a )最大，－a 2－2a ＋3＝154，解得a ＝－12或者a ＝－32(舍去)．二、填空题7．函数y ＝x e x的最小值为________． 解析：令y ′＝(x ＋1)e x＝0，得x ＝－1. 当x <－1时，y ′<0；当x >－1时，y ′>0. ∴y min ＝f (－1)＝－1e .答案：－1e8．f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，那么m 的取值范围是________．解析(jiě xī)：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，得x ＝m2.由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]9．函数f (x )＝ax 4－4ax 2＋b (a >0,1≤x ≤2)的最大值为3，最小值为－5，那么a ＝________，b ＝________.解析：f ′(x )＝4ax 3－8ax ＝4ax (x 2－2)＝0，x 1＝0，x 2＝2，x 3＝－2，又f (1)＝a －4a ＋b ＝b －3a ，f (2)＝16a －16a ＋b ＝b ，f (2)＝b －4a ，f (0)＝b ，f (－2)＝b －4a .∴⎩⎪⎨⎪⎧b －4a ＝－5，b ＝3，∴a ＝2.答案：2 3 三、解答题10．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋2，x ＝2是f (x )的一个极值点，求： (1)实数a 的值；(2)f (x )在区间[－1,3]上的最大值和最小值． 解：(1)∵f (x )在x ＝2处有极值，∴f ′(2)＝0. ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ， ∴3×4＋4a ＝0，∴a ＝－3.(2)由(1)知a ＝－3，∴f (x )＝x 3－3x 2＋2，f ′(x )＝3x 2－6x .令f ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝2.当x 变化时f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：11．设f (x )＝x 3－12x 2－2xf (x )的单调递增、单调递减区间；解：f ′(x )＝3x 2－x －2＝(3x ＋2)(x －1)． 令f ′(x )＞0，得x ＜－23或者x ＞1.令f ′(x )＜0，得－23＜x ＜1.∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－23)，(1，＋∞)；单调递减区间为(－23，1)．12．函数f (x )＝x 3－ax 2＋3x .(1)假设f (x )在x ∈[1，＋∞)上是增函数，务实数a 的取值范围；(2)假设x ＝3是f (x )的极值点，求f (x )在x ∈[1，a ]上的最大值和最小值． 解：(1)令f ′(x )＝3x 2－2ax ＋3＞0，∴a ＜⎣⎢⎡⎦⎥⎤32x ＋1x min ＝3(当x ＝1时取最小值)．∵x ≥1，∴a ＜3，a ＝3时亦符合题意， ∴a ≤3.(2)f ′(3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5，f (x )＝x 3－5x 2＋3x ，f ′(x )＝3x 2－10x ＋3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝13(舍去)．当1＜x ＜3时，f ′(x )＜0，当3＜x ＜5时，f ′(x )＞0， 即当x ＝3时，f (x )的极小值f (3)＝－9. 又f (1)＝－1，f (5)＝15，∴f (x )在[1,5]上的最小值是f (3)＝－9， 最大值是f (5)＝15.内容总结。
高中数学 第3章323知能优化训练 选修11 试题(共6页)
[学生(xué sheng)用书 P 33]1．(2021年高二检测)以下求导运算正确的选项是( ) A ．(x ＋1x )′＝1＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x)′＝3x·log a e D ．(x 2·cos x )′＝－2x sin x解析：选B.A 错误，因为(x ＋1x )′＝(x )′＋(1x )′＝1－1x2；B 正确；C 错误，因为(3x)′＝3x ln3；D 错误，因为(x 2·cos x )′＝(x 2)′cos x ＋x 2(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x . 2．(2021年高考卷)曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －1 B ．y ＝－3x ＋5 C ．y ＝3x ＋5 D ．y ＝2x解析：选A.y ′＝－3x 2＋6x ，当x ＝1时，切线的斜率k ＝－3×12＋6×1＝3，故切线方程为y －2＝3(x －1)，即y ＝3x －1，应选A.3．函数y ＝cos xx的导数是( )A ．－sin x x2B ．－sin xC ．－x sin x ＋cos xx 2D ．－x cos x ＋cos xx 2解析：选C.y ′＝(cos x x )′＝cos x ′x －x ′cos xx2＝－x sin x －cos xx2.4．y ＝2cos x ＋13sin x －3x 2，那么(nà me)y ′＝________.解析：y ′＝(2cos x ＋13sin x －3x 2)′＝(2cos x )′＋(13sin x )′－(3x 2)′＝－2sin x ＋13cos x－23x －13. 答案：13cos x －2sin x －233x一、选择题1．(2021年高考卷)曲线y ＝x 3＋11在点P (1,12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是( ) A ．－9 B ．－3 C ．9D ．15解析：选C.y ′＝3x 2，所以过P (1,12)的切线的斜率k ＝3，切线方程为3x －y ＋9＝0，故其与y 轴交点为(0,9)，应选C.2．对任意x ，有f ′(x )＝4x 3，f (1)＝－1，那么此函数为( ) A ．f (x )＝x 4B ．f (x )＝x 4－2 C ．f (x )＝x 4＋1D ．f (x )＝x 4＋2解析：选B.∵f ′(x )＝4x 3， ∴f (x )＝x 4＋c (c 为常数)， ∵f (1)＝1＋c ＝－1， ∴c ＝－2， ∴f (x )＝x 4－2. 3．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋32B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋32D.3x 2＋6x x ＋32解析(jiě xī)：选A.y ′＝(x 2x ＋3)′＝x 2′x ＋3－x 2·x ＋3′x ＋32＝2xx ＋3－x 2x ＋32＝x 2＋6xx ＋32.4．(2021年高考卷)曲线y ＝sin x sin x ＋cos x －12在点M (π4，0)处的切线的斜率为( )A ．－12B.12 C ．－22D.22解析：选B.y ′＝cos 2x ＋sin 2xsin x ＋cos x2＝11＋sin 2x，故切线斜率k ＝y ′|x ＝π4＝12，选B.5．设曲线y ＝xn ＋1－2(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，那么log 2021x 1＋log 2021x 2＋…＋log 2021x 2021的值是( ) A ．－log 20212021 B ．－1 C ．log 20212021－1D ．1y ＝x n ＋1，得y ′＝(n ＋1)x n ，那么在点(1,1)处切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝n ＋1，切线方程为y－1＝(n ＋1)·(x －1)，令y ＝0，得x n ＝nn ＋1，∴log 2021x 1＋log 2021x 2＋…＋log 2021x 2021＝log 2021(x 1·x 2·…·x 2021)＝log 2021(12×23×34×…×20212021)＝log 202112021＝－1，应选B.6．假设函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，那么f ′(－1)的值是( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析(jiě xī)：选B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2. ∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2. ∴f ′(－1)＝－1. 二、填空题7．令f (x )＝x 2·e x，那么f ′(x )等于________． 解析：f ′(x )＝(x 2)′·e x ＋x 2·(e x)′ ＝2x ·e x ＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2)． 答案：e x(2x ＋x 2)8．一物体的运动方程是s (t )＝1t，当t ＝3时的瞬时速度为________．解析：∵s ′(t )＝－1t 2，∴s ′(3)＝－132＝－19.答案：－199．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，那么a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ，f ′(0)＝－b ＝1得b ＝－1， f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0.答案：0 －1 三、解答题10．求以下函数的导数． (1)y ＝sin 4x4＋cos 4x4；(2)y ＝(x ＋1)(1x－1)；(3)y ＝－sin x2(1－2cos 2x4)．解：(1)∵y ＝sin 4x4＋cos 4x4＝(sin 2x4＋cos 2x4)2－2sin 2x4cos 2x4＝1－12sin 2x 2＝1－12·1－cos x 2＝34＋14cos x ， ∴y ′＝－14sin x .(2)∵y ＝x ·1x－x ＋1x－1＝－x 12＋x －12，∴y ′＝－12x －12－12x －32＝－12x (1＋1x )．(3)∵y ＝－sin x2(1－2cos 2x4)＝－sin x 2[1－(1＋cos x2)] ＝sin x 2·cos x 2＝12sin x ，∴y ′＝12cos x .11．设f (x )＝a ·e x＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e ，求a ，b 的值．解：由f (x )＝a ·e x＋b ln x ， ∴f ′(x )＝a ·e x＋b x，根据(gēnjù)题意应有⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝a e ＋b ＝e f ′－1＝a e －b ＝1e ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，所以a ，b 的值分别是1,0.12．f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式． 解：由f ′(x )为一次函数可知(kě zhī)f (x )为二次函数． 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 那么f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )、f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得：x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0 要使方程对任意x 恒成立， 那么需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1， 所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.内容总结。
高中数学 第3章3.1.3知能优化训练 湘教版选修11
[学生用书 P 33]1．当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( )A ．在区间[x 0，x 1]上的平均变化率B ．在x 0处的变化率C ．在x 1处的变化量D ．在区间[x 0，x 1]上的导数答案：A2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，d ＝0.1时，f (x ＋d )－f (x )的值为( )A ．0.40B ．0.41C ．0.43D ．0.44解析：选B.f (x ＋d )－f (x )＝f (2.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41.3．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是( ) A ．3 B ．－3C ．2D ．－2解析：选B.f 32＋d －f 32d＝－d －3， 当d 趋于0时，－d －3趋于－3，故选B.4．已知f ′(1)＝1，则当d →0时，f ＋d －f d →________.解析：当d →0时，f ＋d －f d →f ′(1)＝1.答案：1一、选择题1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋d ，f (1＋d ))，则f ＋d －f d等于( ) A ．4B ．4xC ．4＋2dD ．4＋2d 2 解析：选C.f ＋d －f d ＝＋d 2－4＋2d ＝2d 2＋4d d＝2d ＋4. 2．正方体的棱长从1增加到2时，正方体的体积平均膨胀率为( )A ．8B ．7 C.72D ．1 解析：选B.V ＝V －V 2－1＝23－13＝7. 3．球的半径从a 增加到a ＋h 时，球表面积的平均变化率为( )A ．π(2a ＋h )B ．π(a ＋h )C ．4π(2a ＋h )D ．4π(a ＋h ) 解析：选C.S ＝S a ＋h －S a h ＝4πa ＋h 2－4πa 2h＝4π(2a ＋h )．4．一个物体的运动方程为s ＝1－t ＋t 2(其中s 的单位是m ，t 的单位是s)，那么物体在3 s 末的瞬时速度是( )A ．7 m/sB ．6 m/sC ．5 m/sD ．8 m/s解析：选C.s ＋d －s d＝1－＋d ＋＋d 2－－3＋32d ＝5＋d ，当d 趋于0时，5＋d 趋于5.5．球的半径r ＝a 时，球表面积相对于r 的瞬时变化率为( )A ．2a πB ．a πC ．8a πD ．4a π解析：选C.4πa ＋d 2－4πa 2d＝4π(2a ＋d )， 当半径的改变量d 趋于0时，4π(2a ＋d )趋于8a π.即球表面积相对于r 的瞬时变化率为8a π.6．若函数f (x )＝－x 2＋x 在[2,2＋d ](d >0)上的平均变化率不大于－1，则d 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A.f ＋d －f d＝－＋d 2＋＋d －－4＋d＝－3－d .∴由－3－d ≤－1得d ≥－2.又∵d >0，∴d 的取值范围是(0，＋∞)． 二、填空题7．函数y ＝x 2－2x ＋1在x ＝－2附近的平均变化率为______．解析：当自变量从－2变化到－2＋d 时，函数平均变化率－2＋d 2－－2＋d ＋1－＋4＋d＝d －6. 答案：d －68．质点的运动方程是s (t )＝1t 2，则质点在t ＝2时的速度为________． 解析：s ＋d －s d ＝1＋d 2－122d ＝－4－d＋d 2， 当d 趋于0时，－4－d ＋d 2趋于－14， 所以质点在t ＝2时的速度为－14. 答案：－149．函数f (x )＝23x 2－2，则f ′(－12)＝________. 解析：f －12＋d －f－12d＝23－12＋d 2－2－[23－122－2]d ＝－23＋23d ， 当d 趋于0时，－23＋23d 趋于－23， ∴f ′(－12)＝－23. 答案：－23三、解答题10．球半径r ＝a 时，计算球体积相对于r 的瞬时变化率．解：半径r 从a 增加到a ＋d 时，球体积的平均变化率为：43πa ＋d 3－43πa 3d＝43πa 2d ＋3ad2＋d 3d＝4πa 2＋4πad ＋43πd 2， 当d 趋于0时，4πa 2＋4πad ＋43πd 2趋于4πa 2. 即球半径r ＝a 时，球体积相对于r 的瞬时变化率为4πa 2. 11．求函数y ＝x 在x ＝1处的导数．解：令f (x )＝y ＝x ， ∵f (1＋d )－f (1)＝1＋d －1， ∴f ＋d －f d ＝1＋d －1d ＝11＋d ＋1， 当d 趋于0时，11＋d ＋1趋于12. 即函数y ＝x 在x ＝1处的导数为12. 12．甲、乙两人走过的路程s 1(t )，s 2(t )与时间t 的关系如图所示，试比较两人的速度哪个快？ 解：在t 0处，s 1(t 0)＝s 2(t 0)，但s 1(t 0－d )>s 2(t 0－d )，故s 1t 0－s 1t 0－d d <s 2t 0－s 2t 0－d d， 所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快．。
优化方案2020高中数学第3章3.3.3知能优化训练新人教A版选修11
1．函数y＝f(x)在[a，b]上( )A．极大值必定比极小值大B．极大值必定是最大值C．最大值必定是极大值D．最大值必定大于极小值分析：选D.由函数的最值与极值的观点可知，y＝f(x)在[a，b]上的最大值必定大于极小值．2．函数f(x)＝x3－3x(|x|<1)( )A．有最大值，但无最小值B．有最大值，也有最小值C．无最大值，但有最小值D．既无最大值，也无最小值分析：选D.f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，当x∈(－1,1)时，f′(x)<0，因此f(x)在(－1,1)上是单一递减函数，无最大值和最小值，应选 D.3．函数y＝4x2(x－2)在x∈[－2,2]上的最小值为________，最大值为________．分析：由y′＝1224x－16x＝0，得x＝0或x ＝.34128当x＝0时，y＝0；当x＝3时，y＝－27；当x＝－2时，y＝－64；当x＝2时，y＝0.比较可知ymax＝0，ymin＝－64.答案：－644．已知函数()＝13－4＋4.x3x x(1)求函数的极值；(2)求函数在区间[－3,4]上的最大值和最小值．解：(1)f′(x)＝x2－4，解方程x2－4＝0，得x＝－2，x＝2.12当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x(－∞，－2)－2(－2,2)′()＋0－fx28f(x)3从上表可看出，当x＝－2时，函数有极大值，且极大值为4小值，且极小值为－.3(2，＋∞)0 ＋4328；而当x＝2时，函数有极3f(－3)＝1×(－3)3－4×(－3)＋4＝7，31 328f(4)＝×4－4×4＋4＝，3 328 4与极值比较，得函数在区间[－3,4]上的最大值是3，最小值是－3.一、选择题1．函数f(x)＝－x2＋4x＋7，在x∈[3,5]上的最大值和最小值分别是()A．f(2)，f(3)B．f(3)，f(5)C．f(2)，f(5)D．f(5)，f(3)分析：选B.∵f′(x)＝－2x＋4，∴当x∈[3,5]时，f′(x)<0，故f(x)在[3,5]上单一递减，故f(x)的最大值和最小值分别是f(3)，f(5)．2．f(x)＝x3－3x2＋2在区间[－1,1]上的最大值是()A．－2B．0C．22D．4分析：选C.′()＝3x －6＝3(x－2)，令′()＝0可得x＝0或x＝2(舍去)，f x x x fx当－1≤x<0时，f′(x)>0，当0<x≤1时，f′(x)<0.因此当x＝0时，f(x)获得最大值为2.lnx3．函数y＝x的最大值为()A．e－1B．e210C．e D.3分析：选A.令y′＝lnx′x－lnx·x′x21－lnxx2＝0.解得x＝e.当x>e时，y′<0；当x<e时，y′>0.y＝f(e)1极大值＝e，在定义域内只有一个极值，1因此ymax＝.e4．函数y＝x－sinx，xπ，π的最大值是()∈2πA．π－1 B.2－1 C．πD．π＋1分析：选C.由于y′＝1－cosx，当x∈π，π时，y′>0，则函数y在区间π，π22上为增函数，因此y的最大值为ymax＝π－sinπ＝π，应选C.5．函数f(x)＝x3－3x2－9x＋k在区间[－4,4]上的最大值为10，则其最小值为() A．－10B．－71C．－15D．－22分析：选B.′()＝3x 2－6－9＝3(x－3)(x＋1)．fx x由f′(x)＝0得x＝3，－1.又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，∴f(x)min＝k－76＝－71.6．已知函数y＝－x2－2x＋3在区间[a,2]上的最大值为15，则a等于()431A．－2 B.21 13C ．－ 2 D.2或－ 2分析：选C.当a ≤－1 时，最大值为 4，不切合题意，当－1<a<2时，f(x)在[a,2]上是2 151 3减函数，f(a)最大，－a －2a ＋3＝4，解得a ＝－2或a ＝－2(舍去)． 二、填空题7．函数y ＝xe x的最小值为________．x分析：令y ′＝(x ＋1)e ＝0，得x ＝－1.1ymin ＝f(－1)＝－e . 1答案：－e2＋8．已知 f ( x)＝－ x＋1 在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f ( x)的极大值，则mxm 的取值范围是________．m分析： f′()＝－2x，令 f′()＝0，得＝.xm xx2m1]，故m ∈[－4，－2]． 由题设得2∈[－2，－ 答案：[－4，－2]9．函数f ( x )＝ ax 4－4ax 2＋( >0,1≤≤2)的最大值为 3，最小值为－5，则＝________，b a xab ＝________.32分析：f ′(x)＝4ax －8ax ＝4ax(x －2)＝0，又f(1)＝a－4a＋b＝b－3a，f(2)＝16a－16a＋b＝b，f(2)＝b－4a，f(0)＝b，f(－2)＝b－4a.∴b－4a＝－5，∴a＝2.＝3，b答案：2 3三、解答题10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋2，x＝2是f(x)的一个极值点，求：实数a的值；f(x)在区间[－1,3]上的最大值和最小值．解：(1)∵f(x)在x＝2处有极值，∴f′(2)＝0.f′(x)＝3x2＋2ax，∴3×4＋4a＝0，∴a＝－3.由(1)知a＝－3，∴f(x)＝x3－3x2＋2，f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝2.当x变化时f′(x)，f(x)的变化状况以下表：x－1(－1,0)0(0,2)2(2,3)3f′(x)＋0－0＋f(x)－22－22从上表可知f ()在区间[－1,3]上的最大值是2，最小值是－2. x11．设f(x)＝x3－12x2－2x＋5.求函数f(x)的单一递加、单一递减区间；解：f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．令f′(x)＞0，得x＜－2或x＞1.3令′()＜0，得－2＜x ＜1.fx 3∴函数f(x)的单一递加区间为(－∞，－23)，(1，＋∞)；单一递减区间为12．已知函数f(x)＝x3－ax2＋3x.(1)若f(x)在x∈[1，＋∞)上是增函数，务实数a的取值范围；若x＝3是f(x)的极值点，求f(x)在x∈[1，a]上的最大值和最小值．解：(1)令f′(x)＝3x2－2ax＋3＞0，3 1∴a＜2x＋x min＝3(当x＝1时取最小值)．x≥1，∴a＜3，a＝3时亦切合题意，∴a≤3.f′(3)＝0，即27－6a＋3＝0，∴a＝5，f(x)＝x3－5x2＋3x，f′(x)＝3x2－10x＋3.∴ 1∴令f′(x)＝0，得x1＝3，x2＝(舍去)．3∴当1＜x＜3时，f′(x)＜0，当3＜x＜5时，f′(x)＞0，即当x＝3时，f(x)的极小值f(3)＝－9.∴又f(1)＝－1，f(5)＝15，∴f(x)在[1,5]上的最小值是f(3)＝－9，最大值是f(5)＝15.2(－3，1)．。
【优化方案】高中数学 第3章3.2.3知能优化训练 新人教B版选修11
1．函数y ＝x －(2x －1)2的导数是( ) A ．3－4x B ．3＋4x C ．5＋8x D ．5－8x解析：选D.y ＝x －(4x 2－4x ＋1)＝－4x 2＋5x －1，y ′＝－8x ＋5，选D.2．函数y ＝x ＋1x的导数是( )A ．1－1x 2B ．1－1xC ．1＋1x2 D ．1＋1x解析：选A.(x ＋1x )′＝(x )′＋(1x )′＝1－1x2.3．设函数f (x )＝x 3－2x 2＋x ＋5，若f ′(x 0)＝0，则x 0＝________.解析：f ′(x )＝3x 2－4x ＋1，由f ′(x 0)＝0，得3x 20－4x 0＋1＝0，解得x 0＝1或x 0＝13.答案：1或134．求下列函数的导数： (1)y ＝3x 2＋x cos x ；(2)y ＝x1＋x；(3)y ＝lg x －e x.解：(1)y ′＝6x ＋cos x －x sin x .(2)y ′＝1＋x －x ＋x 2＝1＋x2.(3)y ′＝(lg x )′－(e x )′＝1x ln10－e x.一、选择题1．下列求导运算正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ′＝2x ＋1x2B ．(log 2x )′＝1x ln2C ．(3x )′＝3x·log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x 解析：选B.⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ′＝2x －1x2，(3x )′＝3xln3，(x 2cos x )′＝2x cos x －x 2sin x .2．曲线y ＝x 3－3x 2＋1在点(1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝3x －4 B ．y ＝－3x ＋2 C ．y ＝－4x ＋3 D ．y ＝4x －5解析：选B.由y ′＝3x 2－6x 在点(1，－1)的值为－3，故切线方程为y ＋1＝－3(x －1)．即y ＝－3x ＋2.3．函数y ＝x 2x ＋3的导数是( )A.x 2＋6x x ＋2B.x 2＋6x x ＋3C.－2x x ＋2D.3x 2＋6x x ＋2解析：选A.y ′＝(x 2x ＋3)′＝x 2x ＋－x 2x ＋x ＋2＝2x x ＋－x 2x ＋2＝x 2＋6x x ＋2.4．函数y ＝x 3cos x 的导数是( )A ．3x 2cos x ＋x 3sin xB ．3x 2cos x －x 3sin xC ．3x 2cos xD ．－x 3sin x解析：选B.y ′＝(x 3cos x )′＝3x 2·cos x ＋x 3(－sin x )＝3x 2cos x －x 3sin x ，故选B.5．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B.由题意知f ′(x )＝4ax 3＋2bx ，若f ′(1)＝2，即f ′(1)＝4a ＋2b ＝2，从题中可知f ′(x )为奇函数，故f ′(－1)＝－f ′(1)＝－4a －2b ＝－2，故选B.6．若函数f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，则f ′(－1)的值为( )A ．0B ．－1C ．1D ．2解析：选B.∵f (x )＝12f ′(－1)x 2－2x ＋3，∴f ′(x )＝f ′(－1)x －2.∴f ′(－1)＝f ′(－1)×(－1)－2. ∴f ′(－1)＝－1. 二、填空题7．令f (x )＝x 2·e x，则f ′(x )等于________．解析：f ′(x )＝(x 2)′·e x ＋x 2·(e x )′＝2x ·e x ＋x 2·e x ＝e x (2x ＋x 2)．答案：e x (2x ＋x 2)8．设f (1x )＝x 2－2x ＋ln 1x(x ＞0)，则f ′(1)＝________.解析：令1x ＝t ，则x ＝1t，∴f (t )＝(1t )2－2t ＋ln t ，∴f (x )＝(1x)2－2x ＋ln x ，f ′(x )＝－2x －3－2＋1x，∴f ′(1)＝－2－2＋1＝－3.答案：－39．设f (x )＝ax 2－b sin x ，且f ′(0)＝1，f ′(π3)＝12，则a ＝________，b ＝________.解析：∵f ′(x )＝2ax －b cos x ， f ′(0)＝－b ＝1得b ＝－1，f ′(π3)＝23πa ＋12＝12，得a ＝0.答案：0 －1 三、解答题10．求下列函数的导数：(1)f (x )＝(x ＋2)(x －3)； (2)f (x )＝1x －1x2；(3)f (x )＝sin x 1＋sin x； (4)f (x )＝lg x －3x.解：(1)因为f (x )＝(x ＋2)(x －3)＝x 2－x －6， 所以f ′(x )＝2x －1.(2)因为f (x )＝1x －1x 2，所以f ′(x )＝－1x－－2x ＝2x －1x ＝2－xx .(3)因为f (x )＝sin x1＋sin x，所以f ′(x )＝cos x ＋sin x －sin x ·cos x＋sin x2＝cos x ＋sin x2.(4)因为f (x )＝lg x －3x，所以f ′(x )＝1x ln10－3xln3. 11．设f (x )＝a ·e x＋b ln x ，且f ′(1)＝e ，f ′(－1)＝1e，求a ，b 的值．解：由f (x )＝a ·e x＋b ln x ， ∴f ′(x )＝a ·e x＋b x，根据题意应有⎩⎪⎨⎪⎧f ＝a e ＋b ＝e f －＝a e －b ＝1e，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝0，所以a ，b 的值分别是1,0.12．已知f ′(x )是一次函数，x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1，求f (x )的解析式．解：由f ′(x )为一次函数可知f (x )为二次函数．设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则f ′(x )＝2ax ＋b .把f (x )，f ′(x )代入方程x 2f ′(x )－(2x －1)f (x )＝1中得： x 2(2ax ＋b )－(2x －1)(ax 2＋bx ＋c )＝1，即(a －b )x 2＋(b －2c )x ＋c －1＝0 要使方程对任意x 恒成立，则需有a ＝b ，b ＝2c ，c －1＝0， 解得a ＝2，b ＝2，c ＝1，所以f (x )＝2x 2＋2x ＋1.。
高中数学 第3章1知能优化训练 选修11 试题
1．对于函数y ＝1x，当Δx ＝1时，Δy 的值是( )A ．1B ．－1C ．0.1D ．不能确定解析：选D.函数值的改变量是指函数在某一点附近的改变量，因此要求Δy ，必须指明在某处附近的函数改变量．2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)解析：选D.根据定义，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)．3．如下图，物体甲、乙在时间是0到t 1范围内路程的变化情况，以下说法正确的选项是( )A ．在0到t 0范围内甲的平均速度大于乙的平均速度B ．在0到t 0范围内甲的平均速度小于乙的平均速度C ．在t 0到t 1范围内甲的平均速度大于乙的平均速度D ．在t 0到t 1范围内甲的平均速度小于乙的平均速度t 0范围内甲、乙的平均速度v ＝s 0t 0，故A 、B 错；在t 0到t 1范围内甲的平均速度为s 2－s 0t 1－t 0，乙的平均速度为s 1－s 0t 1－t 0，很明显s 2－s 0t 1－t 0>s 1－s 0t 1－t 0，故C 正确． 4．函数y ＝x 3－2，当x ＝2时，Δy Δx＝________解析：∵Δy ＝(2＋Δx )3－2－6＝(Δx )3＋6(Δx )2＋12Δx . ∴Δy Δx＝(Δx )2＋6Δx ＋12. 答案：(Δx )2＋6Δx ＋12一、选择题1．函数y ＝f (x )＝log 2x ，当x 从2变到4时，函数值的改变量Δy ＝( ) A ．2B.12 C ．1D ．－12y ＝f (4)－f (2)＝log 24－log 22＝1.2．函数f (x )＝－x 2＋x 的图像上一点(－1，－2)及邻近一点(－1＋Δx ，－2＋Δy )，那么ΔyΔx＝( )A ．3B ．3Δx －(Δx )2C ．3－(Δx )2D ．3－Δxy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－(－2) ＝－Δx 2＋3Δx ，∴Δy Δx ＝－Δx 2＋3Δx Δx＝－Δx ＋3. 3．函数y ＝f (x )＝3x ＋1在点x ＝2处的瞬时变化率估计是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5y ＝f (2＋Δx )－f (2)＝3(2＋Δx )＋1－(3×2＋1)＝3Δx ，那么Δy Δx ＝3ΔxΔx＝3，∴当Δx 趋于0时，ΔyΔx趋于3.应选B.4．(2021年质检)将半径为R 的铁球加热，假设铁球的半径增加ΔR ，那么铁球的外表积增加( )A ．8πR (ΔR )B ．8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2C ．4πR (ΔR )＋4π(ΔR )2D ．4π(ΔR )2s ＝4π(R ＋ΔR )2－4πR 2＝8πR (ΔR )＋4π(ΔR )2.5．物体运动时位移s 与时间是t 的函数关系是s ＝－4t 2＋16t ，此物体在某一时刻的速度为零，那么相应的时刻为( )A ．t ＝1B ．t ＝2C ．t ＝3D ．t ＝4s ＝－4(t ＋Δt )2＋16(t ＋Δt )－(－4t 2＋16t )＝16Δt －8t ·Δt －4(Δt )2.又因为在某时刻的瞬时速度为零．当Δt →0时，ΔsΔt ＝16－8t －4Δt ＝0.即16－8t ＝0，解得t ＝2.6．物体按照s (t )＝3t 2＋t ＋4的规律做直线运动，那么在4 s 时物体的瞬时速度为( ) A ．56 m/s B ．48 m/s C ．25 m/sD ．20 m/ss ＝s (4＋Δt )－s (4)＝3(4＋Δt )2＋(4＋Δt )＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt ＋3(Δt )2. ΔsΔt＝25＋3Δt ， 当Δt ＝0.1时，ΔsΔt ＝25.3，当Δt ＝0.01时，ΔsΔt ＝25.03，当Δt ＝0.001时，ΔsΔt＝25.003，…所以估计4 s 时物体的瞬时速度为25 m/s. 二、填空题7．汽车行驶的路程s 和时间是t 之间的函数图像如图，在时间是段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，那么三者的大小关系为________．解析：∵v 1＝s t 1－s t 0t 1－t 0＝k OA ；v 2＝s t 2－s t 1t 2－t 1＝k AB ；v 3＝s t 3－s t 2t 3－t 2＝k BC .又∵k BC >k AB >k OA ，∴v 3>v 2>v 1. 答案：v 3>v 2>v 18．物体的运动方程是s (t )＝4tt 2，那么从t ＝2到t ＝4的平均速度是________． 解析：由题意可得，Δt ＝4－2＝2，Δs ＝(4×4－0.3×42)－(4×2－0.3×22)＝11.2－6.8＝4.4，∴平均速度为ΔsΔt＝,2)＝2.2.9．某汽车启动阶段的位移函数为s (t )＝2t 3－5t 2(s 的单位是米)，那么t ＝2秒时，汽车的瞬时速度是________．解析：Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝2(2＋Δt )3－5(2＋Δt )2－2×23＋5×22＝2(Δt )3＋7(Δt )2＋4·Δt .所以Δs Δt ＝2(Δt )2＋7Δtt →0时，Δs Δt＝4(米/秒)．答案：4米/秒 三、解答题10．(2021年高三模拟)假设一物体运动方程如下：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋10≤t ≤3，2＋3t －32t >3.求物体在t ＝1到t ＝3过程中的平均速度． 解：令s (t )＝3t 2＋1(0≤t ≤3)， ∴s (3)＝28，s (1)＝4， ∴Δs ＝s (3)－s (1)＝24. 又∵Δt ＝3－1＝2， ∴Δs Δt ＝242＝12. 故物体在t ＝1到t ＝3过程中的平均速度为v ＝12.11．(2021年调研)一做直线运动的物体，其位移s 与时间是t 的关系是s ＝3t －t 2. (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度． 解：(1)当t ＝0时的速度为初速度．在0时刻取一时间是段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]， ∴Δs Δt ＝s Δt －sΔt＝3Δt －Δt 2Δt＝3－Δt .当Δt →0时，ΔsΔt →3.∴物体的初速度为3.(2)取一时间是段[2,2＋Δt ]， 那么Δs Δt ＝s 2＋Δt －s 2Δt＝32＋Δt －2＋Δt2－6－4Δt＝－Δt 2－ΔtΔt＝－Δt －1当Δt →0时，ΔsΔt→－1.∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. (3)当t ∈[0,2]时，v ＝s 2－s 02－0＝3×2－42＝1.∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12．国家环保局在规定的排污达标的日期前，对甲、乙两家企业进展检查，其连续检测结果如下图．试问哪个企业治污效果好？(其中W 表示排污量)解：当自变量的变化由t 0－Δt 到t 0时，甲的平均变化率为W 甲＝W 1t 0－W 1t 0－Δt Δt，乙的平均变化率为W 乙＝W 2t 0－W 2t 0－Δt Δt，由图可知W 1(t 0)＝W 2(t 0)，W 1(t 0－Δt )>W 2(t 0－Δt )＞W 1(t 0)， 可得W 甲<W 乙<0，所以说，在单位时间是里企业甲比企业乙的平均排污率小，因此，企业甲比企业乙治污效果好．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。
高中数学 第3章332第1课时知能优化训练 B选修11 试题(共6页)
1．设x 0为可导函数(hánshù)f (x )的极值点，那么以下说法正确的选项是( ) A ．必有f ′(x 0)＝0 B ．f ′(x 0)不存在C ．f ′(x 0)＝0或者f ′(x 0)不存在D ．f ′(x 0)存在但可能不为0 答案：A2．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，f (x )在x ＝－3时获得极值，那么a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选D.f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋3， ∵f (x )在x ＝－3处获得极值， ∴f ′(－3)＝0，即27－6a ＋3＝0， ∴a ＝5.3．y ＝x 3－6x 的极大值为________．解析：y ′＝3x 2－6＝0，得x ＝± 2.当x <－2或者x >2时，y ′>0；当－2<x <2时，y ′<0.∴函数在x ＝－2时，获得极大值4 2.答案：4 24．求函数f (x )＝x ＋1x的极值．解：函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，f ′(x )＝1－1x2＝x ＋1x －1x2，令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝1. 当x 变化时，y ′，y 的变化情况如下表：x (－∞，－1) －1 (－1,0) (0,1) 1 (1，＋∞)y ′ ＋ 0 － － 0 ＋ y↗极大值－2↘↘极小值2↗因此(yīncǐ)，当x ＝－1时，y 有极大值，且y 极大值＝f (－1)＝－2，当x ＝1时，y 有极小值，且y 极小值＝f (1)＝2.一、选择题1．“函数y ＝f (x )在一点的导数值为0〞是“函数y ＝f (x )在这点取极值〞的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件f (x )＝x 3，f ′(x )＝3x 2，f ′(0)＝0，不能推出f (x )在x ＝0处取极值，反之成立．应选B.2．以下函数存在极值的是( ) A ．y ＝1xB ．y ＝x －e xC ．y ＝x 3＋x 2＋2x －3D ．y ＝x 3f ′(x )＝－1x2，令f ′(x )＝0无解，且f (x )为双曲函数．∴A 中函数无极值．B 中f ′(x )＝1－e x，令f ′(x )＝0可得xx <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0.∴y ＝f (x )在x ＝0处取极大值，f (0)＝－1.C 中f ′(x )＝3x 2＋2x ＋2，Δ＝4－24＝－20<0. ∴y ＝f (x )无极值．D 也无极值．应选B.3．函数f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数f ′(x )在(a ，b )内的图象如下图，那么函数f (x )在开区间(a ，b )内的极小值点有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个f (x )的定义域为开区间(a ，b )，导函数(hánshù)f ′(x )在(a ，b )内的图象如题图所示，函数f (x )在开区间(a ，b )内有极小值点即函数由减函数变为增函数的点，其导数值为由负到正的点，只有1个．4．函数f (x )＝－13x 3＋12x 2＋2x 取极小值时，x 的值是( )A ．2B ．2，－1C ．－1D ．－3解析：选C.f ′(x )＝－x 2＋x ＋2＝－(x －2)(x ＋1)．∵在x ＝－1的附近左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，如下图． ∴x ＝－1时取极小值．5．函数y ＝2－x 2－x 3的极值情况是( ) A ．有极大值，没有极小值 B ．有极小值，没有极大值 C ．既无极大值也无极小值 D ．既有极大值又有极小值解析：选D.y ′＝－2x －3x 2＝0⇒x ＝0或者x ＝－23.所以x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－23时，y ′<0，y为减函数；在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－23，0时，y ′>0，y 为增函数；在x ∈(0，＋∞)时，y ′<0，y 为减函数，∴函数既有极大值又有极小值．6．函数f (x )＝x 3－ax 2－bx ＋a 2在x ＝1处有极值10，那么a 、b 的值是( )A ．a ＝3，b ＝－3或者a ＝－4，b ＝11B ．a ＝－4，b ＝11C ．a ＝－1，b ＝5D ．以上(yǐshàng)都不正确解析：选B.f ′(x )＝3x 2－2ax －b ，∵在x ＝1处f (x )有极值，∴f ′(1)＝0，即3－2a －b ＝0.①又f (1)＝1－a －b ＋a 2＝10，即a 2－a －b －9＝0.② 由①②得a 2＋a －12＝0，∴a ＝3或者a ＝－4.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－3，(舍去)或者⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝11.二、填空题7．函数f (x )＝x 3－6x 2－15x ＋2的极大值是________，极小值是________． 解析：f ′(x )＝3x 2－12x －15＝3(x －5)(x ＋1)， 在(－∞，－1)，(5，＋∞)上f ′(x )>0， 在(－1,5)上f ′(x )<0， ∴f (x )极大值＝f (－1)＝10，f (x )极小值＝f (5)＝－98.答案：10 －988．函数y ＝x 2(x －1)－1，当x ＝________时，获得极大值________；当x ＝________时，获得极小值________．解析：f (x )的定义域为x ≠1. y ′＝2xx －1－x 2x －12＝x x －2x －12＝0，解得x ＝0或者x ＝2.当x ＜0或者x ＞2时，y ′＞0，当0＜x ＜1或者1＜x ＜2时，y ′＜0.∴当x ＝0时，函数获得极大值0. 当x ＝2时，函数获得极小值4. 答案(dá àn)：0 0 2 49．假设函数y ＝－x 3＋6x 2＋m 的极大值等于13，那么实数m 等于________．解析：y ′＝－3x 2＋12x ，由y ′＝0，得x ＝0或者x ＝4，容易得出当x ＝4时函数获得极大值，所以－43＋6×42＋m ＝13，解得m ＝－19.答案：－19 三、解答题 10．求f (x )＝2xx 2＋1－2的极值． 解：函数的定义域为R . f ′(x )＝2x 2＋1－4x 2x 2＋12＝－2x －1x ＋1x 2＋12. 令f ′(x )＝0，得x ＝－1或者x ＝1. 当x 变化时，f ′(x )、f (x )变化状态如下表：x (－∞，－1)－1 (－1,1) 1 (1，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ 0 － f (x )↘极小值－3↗极大值－1↘所以当x ＝－1时，函数有极小值，且f (－1)＝2－2＝－3；当x ＝1时，函数有极大值，且f (1)＝22－2＝－1.11．函数f (x )＝ax 3＋bx 2，当x ＝1时有极大值3. (1)求a ，b 的值；(2)求函数f (x )的极小值． 解：(1)f ′(x )＝3ax 2＋2bx由可得⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6b ＝9.(2)由(1)可知f (x )＝－6x 3＋9x 2∴f ′(x )＝－18x 2＋18x由f ′(x )＝0可得x ＝0或者x ＝1， 列表(liè biǎo)：12．函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋11. (1)写出函数的递减区间；(2)讨论函数的极大值或者极小值，如有，试写出极值； (3)画出它的大致图象．解：(1)f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)， 令f ′(x )＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.x 变化时，f ′(x )的符号变化情况及f (x )的增减性如下表：(2)由上表可得，当x ＝－1时，函数有极大值为f (－1)＝16；当x ＝3时，函数有极小值为f (3)＝－16.(3)当x ＝0时，f (x )＝11，结合函数的单调区间以及极值的情况可画出f (x )的大致图象，如下图．内容总结。
优化方案2020高中数学第3章3.3.1知能优化训练新人教A版选修11
1．命题甲：对任意x∈(a，b)，有f′(x)>0；命题乙：f(x)在(a，b)内是单调递加的．则甲是乙的( )A．充分不用要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不用要条件剖析：选A.)＝3在(－1,1)内是单调递加的，但′()＝32≥0(－1<<1)，故甲xx x是乙的充分不用要条件，选.2．已知函数f(x)＝x3－ax－1，若f(x)在(－1,1)上单调递减，则a的取值范围为()A．a≥3B．a>3C．a≤32－D．a<3剖析：选A.∵′()＝3又f(x)在(－1,1)上单调递减，∴f′(x)≤0在(－1,1)上恒成立，2即3x－a≤0在(－1,1)上恒成立．2∴a≥3x在(－1,1)上恒成立，2又0≤3x<3，∴a≥3，经考据当a＝3时，f(x)在(－1,1)上单调递减．3．(2020年高考江苏卷)函数f(x)＝log5(2x＋1)的单调增区间是________．剖析：令f′(x)11＝22x＋1ln5>0，得x ∈(－2，＋∞)．1答案：(－2，＋∞)4．求以下函数的单调区间：1(1)y ＝x －lnx ；(2)y ＝2x .解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)． 1其导数为y ′＝1－x. 11令1－x >0，解得x>1；再令1－x <0，解得0<x<1. 因此，函数的单调增区间为 (1，＋∞)， 函数的单调减区间为 (0,1)． 函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 1 1 y ′＝－2x 2，因此当x ≠0时，y ′＝－2x 2<0， 而当x ＝0时，函数没心义， 1因此y ＝2x 在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数， 1即y ＝2x 的单调减区间是 (－∞，0)，(0，＋∞)．一、选择题1．函数f(x)＝(x －3)ex 的单调递加区间是A ．(－∞，2)()B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 剖析：选D.f ′(x)＝(x －3)′e x＋(x －3)(ex)′＝(x －2)e x，令f ′(x)>0，解得x>2，应选D.2．函数＝42＋的单调递加区间是()xA ．(0，＋∞)B ．(－∞，1)C ．(1，＋∞)D ．(1，＋∞)28x 3－1剖析：选C.∵′＝811－2＝ x 2>0，∴>.y21即函数的单调递加区间为(2，＋∞)．3．若在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，且f(a )≥0，则在(a ，b)内有( ) A ．f(x)>0B ．f(x)<0 C ．f(x)＝0D ．不能够确定剖析：选A.因f ′(x)>0，因此f(x)在(a ，b)上是增函数，因此 f(x)>f(a )≥0.4．以下函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是()A ．y ＝2－3x 2B ．y ＝lnx1C ．y ＝x －2D ．y ＝sinx1 －1剖析：选C.对于函数y ＝x －2，其导数y ′＝ x－22＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，因此函数y ＝1在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不吻合要求，应选C.x －25．函数y ＝xcosx －sinx 在下面哪个区间内是增函数()π3πB.(π，2π )，A.223π 5πD.(2π，3π)C.，32剖析：选B.y ′＝cosx －xsinx －cosx ＝－xsinx ，若y ＝f(x)在某区间内是增函数，只需在此间内y ′恒大于或等于0即可．∴只有选项B 吻合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立． 6．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则()1A ．a ≥3B ．a ＝1C ．a ＝2D ．a ≤剖析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数， 因此y ′＝3ax 2－1≤0恒成立， 即3ax 2≤1恒成立．当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R；1当x ≠0时，若a ≤3x2恒成立，则a ≤0.综上可得a≤0.二、填空题7．y＝x2e x的单调递加区间是________．2x剖析：∵y＝xe，y′＝2xe x＋x2e x＝e x x(2＋x)>0?x<－2或x>0.∴递加区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)8．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，则b＝________，c＝________.剖析：∵y′＝3x2＋2bx＋c，由题意知[－1,2]是不等式3x2＋2bx＋c<0的解集，∴－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的根，由根与系数的关系得3b＝－2，c＝－6.答案：－3－629．若函数43y＝－3x＋ax有三个单调区间，则a的取值范围是________．2剖析：∵y′＝－4x＋a，且y有三个单调区间，2∴方程y′＝－4x＋a＝0有两个不等的实根，2∴Δ＝0－4×(－4)×a>0，3a>0.答案：(0，＋∞)三、解答题10．求以下函数的单调区间．3f(x)＝x＋x；f(x)＝sinx(1＋cosx)(0≤x≤2π)．解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，2 3 2 1f′(x)＝3x－x2＝3(x－x2)，由f′(x)>0，解得x<－1或x>1，由f′(x)<0，解得－1<x<1且x≠0，∴递加区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，递减区间为(－1,0)，(0,1)．f′(x)＝cosx(1＋cosx)＋sinx(－sinx)＝2cos2x＋cosx－1(2cosx－1)(cosx＋1)．∵0≤x≤2π，∴由f′(x)＝0得x＝π，x＝π，x53＝3π，123则区间[0,2π]被分成三个子区间，如表所示：ππ π5π5π(5πxπ3，2π(0，3)3(3，π)(π，3)32π)f ′(x) ＋－－＋f(x)∴f(x)＝sinx(1＋cosx )(0≤x ≤2π)的单调递加区间为π]，[ 5[0， π，2π]，单调递335减区间为[3，3π]．3211．求函数 f(x)＝x －3x －9x ＋1在区间[－4,4]上的单调性．∴f ′(x)＝3x 2－6x －9.令f ′(x)>0，结合－4≤x ≤4， 得－4≤x<－1或3<x ≤4.令f ′(x)<0，结合－4≤x ≤4， 得－1<x<3.∴函数f(x)在[－4，－1)和(3,4]上为增函数，在 (－1,3)上为减函数．aa 12．已知函数f(x)＝ax －x －2lnx(a ≥0)，若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围． 2解：∵f ′(x)＝a ＋x 2－x ，要使函数f(x)在定义域(0，＋∞)内为单调函数，则在(0，＋∞)内 f ′()恒大于等于0或恒小于等于0.x2当a ＝0时，f ′(x)＝－x <0在(0，＋∞)内恒成立；当 a >0时，要使 ′()＝a ( 11 2 ＋ 1－) －≥0恒成立，f xxaaa1则a －a ≥0，解得a ≥1.综上， a 的取值范围为≥1或＝0.aa。
高中数学 第3章2知能优化训练 选修11 试题
卜人入州八九几市潮王学校1．函数f(x)在x＝x0处的导数可表示为()A．f′(x0)＝B．f′(x0)＝[f(x0＋Δx)－f(x0)]C．f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)D．f′(x0)＝f′(x0)＝[f(x0＋Δx)－f(x0)]，右边的式子表示函数值的变化量的极限，趋近于0；C中f′(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，右边的式子表示函数值的变化量；D中f′(x0)＝，右边的式子表示函数的平均变化率．2．(2021年高考大纲全国卷Ⅱ)假设曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，那么()A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1解析：选A.∵＝＝Δx＋a，当Δx趋于0时，趋于a，∴a＝1.又点(0，b)在切线x－y＋1＝0上，∴0－b＋1＝0，即b＝1.3．(2021年模拟)假设＝k，那么等于()A．2k B．kC.k D．以上都不是＝·2＝2·＝2k.4．设函数y＝f(x)，f′(x0)>0，那么曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处切线的倾斜角的范围是________．解析：根据导数的几何意义，曲线y＝f(x)在点x＝x0处的导数即为曲线在这一点的切线的斜率，由f′(x0)>0知斜率大于零，故倾斜角为锐角．答案：(0，)一、选择题1．函数y＝3x2在x＝1处的导数为()A．2 B．3C．6 D．12解析：选C.f′(1)＝＝＝6.2．设f(x)＝ax＋4，假设f′(1)＝2，那么a等于()A．2 B．－2C．3 D．－3解析：选A.∵＝＝a，且f′(1)＝＝2，∴f′(1)＝a＝2.3．函数y＝f(x)的图像如图，那么f′(x A)与f′(x B)的大小关系是()A．f′(x A)>f′(x B)B．f′(x A)<f′(x B)C．f′(x A)＝f′(x B)D．不能确定解析：选B.f′(x A)和f′(x B)分别表示函数图像在点A、B处的切线斜率，故f′(x A)<f′(x B)．4．设P0为曲线f(x)＝x3＋x－2上的点，且曲线在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，那么点P0的坐标为()A．(1,0) B．(2,8)C．(1,0)或者(－1，－4) D．(2,8)或者(－1，－4)f′(x)＝3x2＋1，由于曲线f(x)＝x3＋x－2在P0处的切线平行于直线y＝4x－1，所以f(x)在P0处的导数值等于4，设P0(x0，y0)，故f′(x0)＝3x＋1＝4，解得x0＝±1，这时P0点的坐标为(1,0)或者(－1，－4)．5．曲线y＝在点(－1，－1)处的切线方程为()A．y＝2x＋1 B．y＝2x－1C．y＝－2x－3 D．y＝－2x－2解析：选A.∵点(－1，－1)在曲线y＝上，∴先求y＝f(x)＝在x＝－1处的导数，由＝＝，当Δx趋近于零时，趋近于2可知y＝在x＝－1处的导数为f′(－1)＝2，∴切线方程为y＋1＝2(x＋1)，即y＝2x＋1.6．点P是曲线y＝－x2上任意一点，那么点P到直线y＝x＋2的最小间隔为()A．1 B.C. D.解析：选B.依题意知，当过P点的曲线y＝－x2的切线与直线y＝x＋2平行时，点P到直线y＝x＋2的间隔最小，设此时P点的坐标为(x0，－x)．令f(x)＝－x2，那么由导数的定义可以求得f′(x0)＝＝(－2x0－Δx)＝－2x0，由导数的几何意义可知过P点的切线的斜率为k＝－2x0，因为该切线与直线y＝x＋2平行，所以－2x0＝1，解得x0＝－.故P点的坐标为(－，－)，这时点P到直线y＝x＋2的间隔d＝＝.二、填空题7．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－2x＋9，P点的横坐标是4，那么f(4)＋f′(4)＝________.解析：由导数的几何意义知f′(4)＝－2，由点P在切线y＝－2x＋9上知y P＝－2×4＋9＝1.∴点P的坐标为(4,1)，∴f(4)＝1，∴f(4)＋f′(4)＝1＋(－2)＝－1.答案：－18．假设f′(x0)＝－3，那么等于________．解析：＝＝＋3＝f′(x0)＋3f′(x0)＝4f′(x0)＝－12.答案：－129．在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：y＝x3－10x＋3上，且在第二象限内，曲线C在点P处的切线的斜率为2，那么点P的坐标为________．解析：设P点的坐标为(x0，y0)．y′＝＝＝3x2－10，曲线C在点P处的切线的斜率k P x－10＝2，解得x0＝±2，∵点P在第二象限内，∴x0＝－2，又点P在曲线C上，那么y0＝(－2)3－10×(－2)＋3＝15，∴点P的坐标为(－2,15)．答案：(－2,15)三、解答题10．f(x)＝，求f′(2)．解：∵Δy＝－，∴＝＝＝.∴f′(x)＝＝＝.f′(2)＝＝.11．过曲线y＝f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的斜率，并求曲线在P点的切线斜率．解：∵Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)3－1＝3Δx＋3Δx2＋Δx3，∴＝＝3＋3Δx＋Δx2.当Δx＝0.1时，割线PQ的斜率为tanβ＝＝3＋3×0.1＋(0.1)2＝1，曲线在点P的切线斜率为tanα＝＝(3＋3Δx＋Δx2)＝3.12．曲线y＝x2＋1，问是否存在实数a，使得经过点(1，a)可以作出该曲线的两条切线？假设存在，求出实数a的取值范围；假设不存在，请说明理由．解：因为y＝x2＋1，由导数的定义知y′＝＝＝2x.设切点为(t，t2＋1)，因为y′＝2x，所以切线方程的斜率为y′|x＝t＝2t，于是可得切线方程为y－(t2＋1)＝2t(x－t)，将(1，a)代入，得a－(t2＋1)＝2t(1－t)，即t2－2t＋(a－1)＝0.因为切线有两条，所以Δ＝(－2)2－4(a－1)>0，解得a<2.故存在实数a，使得经过点(1，a)可以作出该曲线的两条切线，a的取值范围是(－∞，a)．。
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1．函数y ＝x 3＋x 的递增区间是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，1)
C ．(－∞，＋∞)
D ．(1，＋∞)
解析：选C.y ′＝3x 2＋1＞0对于任何实数都恒成立．
2．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：选A.f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是
乙的充分不必要条件，选A.
3．函数y ＝x 3＋x 2－5x －5的单调递增区间是________．
解析：令y ′＝3x 2＋2x －5＞0得
x ＜－53
或x ＞1. 答案：(－∞，－53
)，(1，＋∞) 4．求下列函数的单调区间：
(1)y ＝x －ln x ；(2)y ＝12x
. 解：(1)函数的定义域为(0，＋∞)．
其导数为y ′＝1－1x
. 令1－1x >0，解得x >1；再令1－1x
<0，解得0<x <1. 因此，函数的单调增区间为(1，＋∞)，
函数的单调减区间为(0,1)．
(2)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
y ′＝－12x 2，所以当x ≠0时，y ′＝－12x 2<0， 而当x ＝0时，函数无意义，
所以y ＝12x
在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是减函数， 即y ＝12x
的单调减区间是(－∞，0)，(0，＋∞)．
一、选择题
1．函数f (x )＝x －2ln x 的单调减区间为( )
A ．(－∞，0)
B ．(2，＋∞)
C ．(0,2)
D ．(－∞，0)，(2，＋∞)
答案：C
2．函数y ＝4x 2＋1x
的单调递增区间是( )
A ．(0，＋∞)
B ．(－∞，1)
C ．(12
，＋∞) D ．(1，＋∞) 解析：选C.∵y ′＝8x －1x 2＝8x 3－1x 2>0，∴x >12
. 即函数的单调递增区间为(12
，＋∞)． 3．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )
A ．f (x )>0
B ．f (x )<0
C ．f (x )＝0
D ．不能确定
解析：选A.因f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，b )内是增函数，所以f (x )>f (a )≥0.
4．下列函数中，在区间(－1,1)上是减函数的是( )
A ．y ＝2－3x 2
B ．y ＝ln x
C ．y ＝1x －2
D ．y ＝sin x 解析：选C.对于函数y ＝1x －2，其导数y ′＝－1x －2
＜0，且函数在区间(－1,1)上有意义，所以函数y ＝1x －2
在区间(－1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求，故选C. 5．函数y ＝x cos x －sin x 在下面哪个区间内是增函数( )
A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2
，3π2 B.()π，2π C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3
，5π2 D.()2π，3π 解析：选B.y ′＝cos x －x sin x －cos x ＝－x sin x ，若y ＝f (x )在某区间内是增函数，只需在此区间内y ′恒大于或等于0即可．
∴只有选项B 符合题意，当x ∈(π，2π)时，y ′≥0恒成立．
6．函数y ＝ax 3－x 在R 上是减函数，则( )
A ．a ≥13
B ．a ＝1
C ．a ＝2
D ．a ≤0
解析：选D.因为y ′＝3ax 2－1，函数y ＝ax 3－x 在(－∞，＋∞)上是减函数，
所以y ′＝3ax 2－1≤0恒成立，
即3ax 2≤1恒成立．
当x ＝0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；
当x ≠0时，若a ≤13x 2恒成立，则a ≤0. 综上可得a ≤0.
二、填空题
7．y ＝x 2e x 的单调递增区间是________．
解析：∵y ＝x 2e x ，
∴y ′＝2x e x ＋x 2e x ＝e x x (2＋x )>0⇒x <－2或x >0.
∴递增区间为(－∞，－2)和(0，＋∞)．
答案：(－∞，－2)，(0，＋∞)
8．若函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 的单调减区间为[－1,2]，则b ＝________，c ＝________.
解析：∵y ′＝3x 2＋2bx ＋c ，由题意知[－1,2]是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集，∴－1,2
是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的根，由根与系数的关系得b ＝－32
，c ＝－6. 答案：－32
－6
9．若函数y ＝－43
x 3＋ax 有三个单调区间，则a 的取值范围是________． 解析：∵y ′＝－4x 2＋a ，且y 有三个单调区间，
∴方程y ′＝－4x 2＋a ＝0有两个不等的实根，
∴Δ＝02－4×(－4)×a >0，∴a >0.
答案：(0，＋∞)
三、解答题
10．求下列函数的单调区间．
(1)f (x )＝x 3＋3x
； (2)f (x )＝x ＋b x
(b ＞0)． 解：(1)函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，
f ′(x )＝3x 2－3x 2＝3(x 2－1x 2)， 由f ′(x )>0，解得x <－1或x >1，
由f ′(x )<0，解得－1<x <1且x ≠0，
∴递增区间为(－∞，－1)，(1，＋∞)，
递减区间为(－1,0)，(0,1)．
(2)函数的定义域为x ≠0.
f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b x ′＝1－b x 2＝1x 2(x ＋b )(x －b )． 令f ′(x )＞0，则1x (x ＋b )(x －b )＞0， ∴x ＞b 或x ＜－b .
∴函数的单调递增区间为(－∞，－b )和(b ，＋∞)．
令f ′(x )＜0，则1x 2(x ＋b )(x －b )＜0， ∴－b ＜x ＜b 且x ≠0.
∴函数的单调递减区间为(－b ，0)和(0，b )．
11．求函数f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1在区间[－4,4]上的单调性．
解：∵f (x )＝x 3－3x 2－9x ＋1，
∴f ′(x )＝3x 2－6x －9.
令f ′(x )>0，结合－4≤x ≤4，
得－4≤x <－1或3<x ≤4.
令f ′(x )<0，结合－4≤x ≤4，
得－1<x <3.
∴函数f (x )在[－4，－1)和(3,4]上为增函数，在(－1,3)上为减函数．
12．已知函数f (x )＝ax －a x
－2ln x (a ≥0)，若函数f (x )在其定义域内为单调函数，求a 的取值范围． 解：∵f ′(x )＝a ＋a x 2－2x
， 要使函数f (x )在定义域(0，＋∞)内为单调函数，
则在(0，＋∞)内f ′(x )恒大于等于0或恒小于等于0.
当a ＝0时，f ′(x )＝－2x
<0在(0，＋∞)内恒成立；
当a >0时，要使f ′(x )＝a (1x －1a )2＋a －1a ≥0恒成立，
则a －1a ≥0，解得a ≥1. 综上，a 的取值范围为{a |a ≥1或a ＝0}．。