芝罘区数学三角形中位线

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三角形中位线公开课课件

总结词
中位线定理在求线段长度中的应用
详细描述
中位线定理还可以用来求线段的长度。具体来说，如果知道三角形的一边和它所对应的中位线的长度，就可以利用中位线定理来求出其他边的长度。这个定理在解决几何问题时非常有用，可以帮助我们找到一些未知的长度。
03 三角形中位线的实际应用
在几何图形中的应用
三角形中位线定理
答案解析
基础练习题1解析
首先根据中位线的性质，我们知道DE平行于BC且DE=0.5BC。由于DE平行于BC，根据相似三角形的性质，我们可以得出△DEF 相似于△BCF。根据给定的BF:FC=1:3，我们可以计算出DE:BC=1:6。因此，AC与CF 的长度比为6:1。
基础练习题2解析
同理于基础练习题1，我们可以根据中位线的性质和相似三角形的性质得出DE:BC=1:4。因此，AC与CF的长度比为4:1。
三角形中位线的其他性质
总结词
三角形中位线具有一些重要的性质，包括中位线与第三边的关系、中位线与三角形的高的关系以及中位线与三角形的角平分线的关系等。
详细描述
三角形中位线具有许多重要的性质。其中，中位线与第三边的关系表明，中位线的长度是第三边的一半。此外，中位线与三角形的高的关系表明，中位线平行于三角形的高，并且等于高的一半。最后，中位线与三角形的角平分线的关系表明，中位线平行于角平
利用三角形中位线定理解决实际问题
在解决实际问题时，可以利用三角形中位线定理来找到解决问题的关键点，如测量、计算等。
三角形中位线定理在实际问题中的应用举例
在测量河宽、计算建筑物的高度等实际问题中，可以利用三角形中位线定理来简化计算过程。
三角形中位线定理在实际问题中的应用注意事项
在实际应用中，需要注意实际情况的限制条件，如测量角度、距离等误差的影响。

三角形中位线与反证法知识讲解

三角形中位线与反证法【学习目标】1. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．2. 三角形的中位线的性质的一些简单的应用.3. 了解反证法的含义、反证法的基本步骤.4、会利用反证法证明简单命题．5. 了解定理“在同一平面内，如果一条直线和两条平行直线中的一条相交，那么和另一条也相交”“在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”.【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系. （2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的12，每个小三角形的面积为原三角形面积的14.（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.要点二、反证法（一）定义在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义、基本事实、定理等矛盾,从而得出假设命题不成立是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法.要点诠释：（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．（二）用反证法证明定理的正确性在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.已知:l1∥l2 ,l 2 ∥l 3求证： l１∥l３证明：用反证法证明：假设l１不平行l ３，则l１与l ３相交，设交点为Ｐ，∵l１∥l２ ,l ２∥l ３则过点Ｐ就有两条直线l１，l ３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾．【典型例题】类型一、三角形的中位线1、如图，已知P、R分别是长方形ABCD的边BC、CD上的点，E、F分别是PA、PR的中点，点P在BC上从B向C移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）A．线段EF的长逐渐增大B．线段EF的长逐渐变小C．线段EF的长不变D．无法确定【答案】C；【解析】连AR，由E、F分别为PA，PR的中点知EF为△PAR的中位线, 则12EF AR，而AR长不变，故EF大小不变.【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线图形．举一反三：【变式】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴正半轴上，B点坐标为（3，2），OB与AC交于点P，D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，则四边形DEFG的周长为_____.【答案】5；解：∵四边形OABC是矩形，∴OA＝BC，AB＝OC；BA⊥OA，BC⊥OC．∵B点坐标为（3，2），∴OA＝3，AB＝2．∵D、E、F、G分别是线段OP、AP、BP、CP的中点，∴DE＝GF＝1.5； EF＝DG＝1．∴四边形DEFG的周长为（1.5＋1）×2＝5．2、（2016春•莲湖区期末）如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数．【思路点拨】根据中位线定理和已知，易证明△PMN是等腰三角形，根据等腰三角形的性质和已知条件即可求出∠PMN的度数．【答案与解析】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM=AB，PN=DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+（180﹣70）°=130°，∴∠PMN==25°．【总结升华】本题考查了三角形中位线定理及等腰三角形的判定和性质，解题时要善于根据已知信息，确定应用的知识．3、如图所示，在△ABC中，M为BC的中点，AD为∠BAC的平分线，BD⊥AD于D，AB ＝12，AC＝18，求MD的长．【思路点拨】本题中所求线段MD与已知线段AB、AC之间没有什么联系，但由M为BC的中点联想到中位线，另有AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角形ABN，D为BN的中点，DM即为中位线，不难求出MD的长度．【答案与解析】解：延长BD交AC于点N．∵ AD为∠BAC的角平分线，且AD⊥BN，∴∠BAD＝∠NAD，∠ADB＝∠ADN＝90°，在△ABD和△AND中，BAD NAD AD =ADADB ADN ∠∠⎧⎪⎨⎪∠∠⎩＝＝ ∴ △ABD ≌△AND(ASA)∴ AN ＝AB ＝12，BD ＝DN ．∵ AC ＝18，∴ NC ＝AC －AN ＝18－12＝6，∵ D 、M 分别为BN 、BC 的中点，∴ DM ＝12CN ＝162⨯＝3．【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一”、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．举一反三：【变式】（2015春•嵊州市校级期中）如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ，CF 平分∠ACB，AE=EB ，求证：EF=BD ．【答案】证明：∵CD=CA，CF 平分∠ACB，∴F 是AD 中点，∵AE=EB，∴E 是AB 中点， ∴EF=BD ．4、我们给出如下定义：有一组相邻内角相等的四边形叫做等邻角四边形．请解答下列问题：（1）如图1，在△ABC 中，AB=AC ，点D 在BC 上，且CD=CA ，点E 、F 分别为BC 、AD 的中点，连接EF 并延长交AB 于点G ．求证：四边形AGEC 是等邻角四边形；（2）如图2，若点D 在△ABC 的内部，（2）中的其他条件不变，EF 与CD 交于点H ，图中是否存在等邻角四边形，若存在，指出是哪个四边形，不必证明；若不存在，请说明理由．【思路点拨】（1）运用中位线的性质，找出对应相等的角；（2）根据题意易知满足条件的四边形即为第一题的四边形．【答案与解析】解：（1）取AC 的中点H ，连接HE 、HF∵点E 为BC 中点∴EH 为△ABC 的中位线∴EH∥AB，且EH=12AB 同理FH∥DC，且FH=12DC ∵AB=AC，DC=AC∴AB=DC，EH=FH∴∠1=∠2∵EH∥AB，FH∥DC∴∠2=∠4，∠1=∠3∴∠4=∠3∵∠AGE+∠4=180°，∠GEC+∠3=180°∴∠AGE=∠GEC∴四边形AGEC 是邻角四边形（2）存在等邻角四边形，为四边形AGHC ．【总结升华】本题考查了三角形的中位线以及等腰三角形的性质的综合运用．本题较灵活，要求学生能够把题中的条件转化成角，从而找出相等的角来解题．举一反三：【变式】如图，AB∥CD，E ，F 分别为AC ，BD 的中点，若AB=5，CD=3，则EF 的长是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D ；解：连接DE 并延长交AB 于H ，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E 是AC 中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE，∴DE=HE，DC=AH ，∵F 是BD 中点，∴EF 是△DHB 的中位线， ∴EF=12BH ， ∴BH=AB -AH=AB-DC=2，∴EF=1．类型二、反证法5、用反证法证明：“在一个三角形中，外角最多有一个锐角”．【思路点拨】先设原结论不成立，然后推出与三角形内角和定理相矛盾，从而得出原结论正确．【答案与解析】证明：假设三角形中的外角有两个角是锐角．根据三角形的外角与相邻的内角互补，知：与这两个角相邻的两个内角一定是钝角，大于90°，则这两个角的度数和一定大于180度，与三角形的内角和定理相矛盾．因而假设错误．故在一个三角形中，外角最多有一个锐角．【总结升华】解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．举一反三：【变式】用反证法证明下列问题：如图，在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，BD、CE相交于点O．求证：BD和CE不可能互相平分．【答案】证明：连接DE，假设BD和CE互相平分，∴四边形EBCD是平行四边形，∴BE∥CD，∵在△ABC中，点D、E分别在AC、AB上，∴AC不可能平行于AC，与已知出现矛盾，故假设不成立原命题正确，即BD和CE不可能互相平分．。

初一数学复习教案三角形的中位线

初一数学复习教案三角形的中位线初一数学复习教案三角形的中位线本教案旨在帮助初一学生复习三角形的中位线相关概念和性质。

通过清晰的解释和实例说明，学生将能够理解中位线的定义、性质和应用。

本教案分为以下几个部分：第一部分是引言，介绍三角形及其基本概念；第二部分是中位线的定义和性质；第三部分是中位线的应用举例；最后是小结与总结。

希望这个教案能够对初一学生的数学复习有所帮助。

引言三角形是平面几何中的基本概念之一，在我们的日常生活中随处可见。

三角形由三条边和三个角组成。

在本教案中，我们将重点关注三角形的中位线。

中位线是连接三角形中任意两个顶点并且平分第三个顶点的边。

我们将探索中位线的性质和应用。

中位线的定义和性质1. 定义：三角形的中位线是连接三角形任意两个顶点并平分第三个顶点的边。

2. 性质：- 中位线的长度是该边两点之间线段长度的一半。

- 三角形的三条中位线交于一点，该点被称为三角形的重心。

- 重心将中位线分成六个等长的线段。

- 中位线与对边平行。

中位线的应用举例1. 求三角形的重心：通过绘制三角形的中位线并求其交点，我们可以找到三角形的重心。

重心在三角形的内部，并且将三条中位线的长度平分为两段。

2. 判断三角形的类型：对于任意三角形，如果它的三条中位线相等长度，则该三角形是等边三角形。

如果三角形只有两条中位线相等长度，那么它是等腰三角形。

3. 求中位线的长度：已知三角形的三边长度，我们可以使用中位线的性质来求中位线的长度。

将中位线的定义应用于三角形的边上，我们可以得出中位线的长度。

小结与总结本教案回顾了三角形的中位线的定义和性质，并探讨了中位线的应用。

中位线不仅仅是一个几何概念，而且在解决实际问题时也有着广泛的应用。

通过深入研究和实践，学生可以更好地理解和应用中位线的概念和性质。

通过本教案，我们希望初一学生能够加深对三角形中位线的理解，并能够熟练地应用相关知识解决实际问题。

在掌握中位线的定义、性质和应用后，学生将能够更全面地理解三角形的特性，并在数学学习中取得更好的成绩。

三角形的中位线[1]

E F DE=EF，且⊿ADE≌⊿CFE。
∴∠ADE=∠F，AD=CF，
C
∴AB∥CF。
又∵BD=AD=CF，
∴四边形BCFD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴DF∥BC（根据什么？），
∴DE 1/2BC
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三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.
A
几何语言：
（2）要把所剪得的两个图形拼成一个平行四边形，可将其中的三角形作怎样的图形变换？
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A
D
E
因为 D、 E分别为AB、 AC的中点
所以 DE为 △ ABC的中位线
同理DF、 EF也为
B
F
C △ ABC的中位线
三角形有三条中位线
注意三角形的中位线和三角形的中线不同
(2) △DEF的面积与 △ABC的面积有什么关系?
已知：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是 AB、BC、CD、DA的中点.
求证：四边形EFGH是平行四边形.
A
H
D
E G
B
F
C
从例题中你能得到什么结论？
顺次连接四边形各边中点的
线段组成一个平行四边形
A
H
D
E G
B
F
C
课内练习
2.已知: 如图,DE,EF是⊿ABC的两条中位线.求证:
分析因为E是AC的
中点,可以考虑以E为
旋转中心,把⊿ADE旋
转1800,得到⊿CFE (为
什么?)如图5-37这样
就只需证明四边形
BCFD是平行四边形.
D B
证明：如图，以点E为旋转中心，把

三角形中位线课件

原四边形两条对角线连接四边中点所得四边形
互相垂直相等
矩形菱形
互相垂直且相等
既不互相垂直也不相等
正方形
平行四边形
例1 求证三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分．
已知：如图所示，在△ABC中，AD＝DB，BE＝EC， AF＝FC．求证： AE、DF互相平分．证明连结DE、EF． ∵ AD＝DB，BE＝EC， ∴ DE∥AC（三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半）．同理EF∥AB． ∴四边形ADEF是平行四边形． ∴ AE、DF互相平分（平行四边形图 24.4.3 的对角线互相平分）．
A
(中点)D
E(中点)
B
F （中点）
C
2、三角形三条中位线围成的三角形的面积与原三角形的面积的 1 4
大显身手
已知：如果，点D、E、F分别是△ABC 的三边的中点．
（1）若AB=8cm，求EF的长；（2）若DE=5cm，求BC的长．（3）若增加M、N分别BD、BF的中点，问 MN与AC有什么关系？为什么？
平行四边形
矩形
（ 3 ）顺次连结正方形各边中点所得的四边形是什么？
正方形
（4）顺次连结矩形各边中点所得的四边形是什么？
菱形
（5）顺次连结梯形各边中点所得的四边形是什么？
（6）顺次连结等腰梯形各边中点所得的四边形是什么？
平行四边形
菱形
结论
实际上，顺次连接四边形各边中点所得到的四边形一定是平行四边形，但它是否特它的对角线是否垂直殊的平行四边形取决于它的对角线是否垂直或者是否相等或者是否相等，与是否互相平分无关 .
定理应用
已知：在四边形ABCD中，AD＝BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N是AB的中点．求证：∠PMN＝∠PNM．

三角形的中位线ppt课件

∴AB= + = + =13.
∵点 D,E 分别是直角边 BC,AC 的中点,
∴DE 是 Rt△ABC 的中位线.

∴DE= AB=6.5.

三角形中位线的两个作用
位置关系: ∵ ,分别为,
⇒
的中点, ∴ ∥ .
数量关系: ∵ ,分别为,

的中点, ∴ = .

新知应用
1.如图所示,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点,若DE=2,则BC的长
为( D
)
A.1
B.2
C.3
D.4
2.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,D,E,F分别是边
AB,BC,AC的中点,连接DE,DF,EF,∠ADF的度数为53°.求:
A.1
B.2
C.3
D.4
4.如图所示,在四边形ABCD中,AC⊥BD,AC=6,BD=8,点E,F分别是边AD,BC
5
的中点,连接EF,则EF的长是
.
5.如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D是边AB上一点,DE∥BC交AC于点E,连
接BE,点F,G,H分别为BE,DE,BC的中点.求证:FG=FH.
点D,E,F,G依次连接,得到四边形DEFG.求证:四边形DEFG是平行四边形.
证明:∵AB,OB,OC,AC 的中点分别为 D,E,F,G,
∴DG 是△ABC 的中位线,EF 是△OBC 的中位线.

∴DG∥BC,DG= BC,EF∥BC,EF= BC.∴DG∥EF,DG=EF.
∴四边形 DEFG 是平行四边形.
到点D,使AB=2AD,连接DE,DF,AE,EF,AF与DE交于点O.试说明AF与DE互相

19.2 第4课时三角形的中位线

第4课时三角形的中位线1．理解三角形中位线的概念，掌握三角形的中位线定理；(重点)2．能灵活地运用三角形的中位线定理解决有关问题．(难点)一、情境导入我们已经学习了平行四边形的性质与判定方法，今天老师给同学一个剪纸的任务．怎样将一张三角形纸片剪成两部分，使分成的两部分能拼成一个平行四边形？能用什么定理来证明四边形DBCF是平行四边形呢？二、合作探究探究点一：三角形的中位线【类型一】利用三角形中位线定理求线段的长如图，在△ABC中，D、E分别为AC、BC的中点，AF平分∠CAB，交DE于点F.若DF＝3，则AC的长为()A.32B．3C．6D．9解析：∵D、E分别为AC、BC的中点，∴DE∥AB，∴∠2＝∠3.又∵AF平分∠CAB，∠1＝∠3，∴∠1＝∠2，∴AD＝DF＝3，∴AC ＝2AD＝6.故选C.方法总结：本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定与性质．解题的关键是熟记性质并熟练应用．【类型二】利用三角形中位线定理求角度如图，C、D分别为EA、EB的中点，∠E＝30°，∠1＝110°，则∠2的度数为()A．80°B．90°C．100°D．110°解析：∵C、D分别为EA、EB的中点，∴CD是三角形EAB的中位线，∴CD∥AB，∴∠2＝∠ECD.∵∠1＝110°，∠E＝30°，∴∠2＝∠ECD＝80°.故选A.方法总结：利用中位线定理中的平行关系可以解决一些角度的计算问题．【类型三】三角形的中位线性质与三角形其他性质的综合运用如图，在△ABC中，AB＝5，AC ＝3，点N为BC的中点，AM平分∠BAC，CM⊥AM，垂足为点M，延长CM交AB于点D，求MN的长．解析：首先证明△AMD ≌△AMC ，得到DM ＝MC ，即可解决问题．解：∵AM 平分∠BAC ，CM ⊥AM ，∴∠DAM ＝∠CAM ，∠AMD ＝∠AMC .在△AMD 与△AMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAM ＝∠CAM ，AM ＝AM ，∠AMD ＝∠AMC ，∴△AMD ≌△AMC (ASA )，∴AD ＝AC ＝3，DM ＝CM .∵BN ＝CN ，∴MN 为△BCD 的中位线，∴MN ＝12BD ＝12(AB －AD )＝12(AB －AC )＝12(5－3)＝1.方法总结：当已知三角形的一边的中点时，要注意分析问题中是否有隐含的中点．如已知一个三角形一边上的高又是这边所对的角平分线时，根据等腰三角形“三线合一”可知，这实际上是又告诉了我们一个中点．探究点二：利用三角形的中位线定理解决简单实际问题如图所示，吴伯伯家有一块等边三角形的空地ABC ，点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，量得EF ＝5m.他想把四边形BCFE 用篱笆围成一圈放养小鸡，则需要篱笆的长度是( )A ．15mB ．20C ．25mD ．30m 解析：∵点E ，F 分别是边AB ，AC 的中点，EF ＝5m ，∴BC ＝2EF ＝10m.∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC .∴BE ＝CF ＝12BC ＝5m.∴篱笆的长为BE ＋BC ＋CF ＋EF ＝5＋10＋5＋5＝25(m)．故选C.方法总结：利用“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半”的性质和“等边三角形三边相等”的性质求解．三、板书设计本节课在学生已有知识和经验的基础上，通过自己动手、自主探索、合作交流比较系统的得出三角形的中位线的位置和数量关系的性质，以及其相互的关系并将所学知识加以应用，在学习过程中充分体现教师引导，学生自主学习的教学理念.。

初二-数学-三角形中位线

数学-Day20三角形中位线一．三角形的中位线1．定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边的中点，则线段DE 是△ABC 的中位线．2．性质：平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．如图，点D 、E 分别是三角形ABC 的边AB 、AC 的中点，求证：DE ∥BC ，12DE BC证明：延长DE 到F ，使EF =DE ，连接FC 、DC 、AF ．3．补充说明：任一个三角形都有三条中位线，由此有下列结论：（1）三条中位线组成一个三角形，周长为原三角形周长的一半．（2）三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．（3）三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形．（4）三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分．（5）任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等．例1如图，AB∥CD，E，F 分别为AC，BD 的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是____A ．4B ．3C ．2D ．1例2在□ABCD 中的对角线AC ，BD 相交于点O ，且E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点．（1）求证：四边形EFGH 是平行四边形．（2）若□ABCD 的周长为8，求□EFGH 的周长．AB C DEFG H O例3如图所示，在△ABC 中，M 是BC 的中点，AN 平分∠BAC，BN⊥AN．若AB=14，AC=19，则MN的长度为__________．例4如图，已知ΔABC 是锐角三角形，分别以AB、AC 为边向外侧作两个等边三角形ΔABM 和ΔCAN，D、E、F 分别是MB，BC，CN 的中点，连结DE、FE，求证：DE=EF【答案与解析】1【答案】D 【解析】连接DE 并延长交AB 于H，∵CD∥AB，∴∠C=∠A，∠CDE=∠AHE，∵E 是AC 中点，∴AE=CE，∴△DCE≌△HAE（AAS），∴DE=HE，DC=AH，∵F 是BD 中点，∴EF 是△DHB 的中位线，∴EF=12BH，∴BH=AB-AH=AB-DC=2，∴EF=1．故选D．2【答案】（1）见解析（2）4【解析】该题考查的是平行四边形的判定与性质．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形∴,AB CD AD BC==∵E ，F ，G ，H 分别是AO ，BO ，CO ，DO 的中点∴12EF AB =，12EH AD =，12HG CD =，12FG BC =∴EF HG =，EH FG=∴四边形EFGH 是平行四边形（2）∵8l ABCD AB BC CD AD =+++= ∴()142l EFGH EF FG HG EH AB BC CD AD =+++=+++= 3【答案】 2.5【解析】延长BN 交AC 于D，∵AN⊥BN，AN 平分∠BAC，∴AN 是BD 的垂直平分线，∵点M是BC 的中点，∴MN 是△BCD 的中位线，111 2.5222MN CD AC AD AC AB ==-=-=（）（）4【答案】见解析【解析】该题考查的是全等三角形的判定和性质．连接MC、AN，∵△ABM 和△CAN 都是正三角形，∴AM AB =，AN AC =，∴60MAB CAN ∠=∠=︒，∴MAC BAN ∠=∠，∴△MAC≌△BAN（SAS）∴MC BN=又∵MC、BN 分别是△BMC、△BNC 的中位线，∴12DE MC =，12EF BN =，∴DE EF =．。

5.三角形的中位线课件鲁教版(五四制)数学八年级上册

.
A
E
F
B
D
C
知识应用
2. 如图所示，△ABC中,D、E、F分别是三边的中
点，AB=10，AC=6，则四边形AEDF的周长为
.
A
D
FE
B
C
知识应用
3.如图： △ABC中，点D、E、F 分别是AB、AC、BC中点.若△ABC 的周长为24，面积为16，则 △DEF的周长___，面积为____. B
拓展延伸
求证：顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是平行四边形。
已知：四边形ABCD中，E、F、G、H分别是四边的中点。
求证：四边形EFGH是平行四边形。
H D
C
E
G
A
F
B
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
变式练习（教材P140 第3题）
如图：在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、 CD、AC、BD的中点，四边形EGFH是平行四边形吗？
联系拓广（教材P140 第5题）已知：如图，在四边形ABCD中AB//DC, E,F分别是AC,BD的中点。
求证：EF= (AB-CD)
拓广应用
如图，AB//CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=6， CD=4，则EF的长是（）
A.4
B.3
C.2
D.1
共同探究——测量
在练习本上画一个△ABC，利用直尺和圆规找到边AB、
AC的中点D、E，并连接DE：
1.用直尺测量，你发现DE和BC有怎样的数量关系？
2.用量角器量一量∠ADE与∠B的度数，DE与BC有怎样
的位置关系？
A
D 用语言叙述你发现的性质：
E
B
C

三角形中位线

（4）已知三边AC、AB、BC分别为
8、10、12，则△DEF的周长为_1__5_.
（5）若G、H分别是BD、BF中点，
求证：GH果，DE两点之间
有阻隔，你有什么解
E 决办法？
A
DM
N C
性质自测
如果D、E、F分别为△ABC的
A
三边AB、BC、AC的中点：
D
E
（1）若AB=8cm，则EF=__4__cm. G
（2）若DF=5cm，则AC=_1__0_cm. B H F
C
（3）若∠ADE=50°，则∠B=_5_0_°.
A E C
?
证明
如图：在△ABC中，D是AB的中点，E
是AC的中点。求证：DE∥BC, DE=
1 2
BC.
A
D
E
B
C
得出结论
三角形的中位线定理：
三角形的中位线平行于第三边，
并且等于第三边的一半。
A
用几何语言表示:
∵ DE是△ABC的中位线
∴ DE∥BC
DE = 1 BC
2
B
D F
E C
在日出东方左侧取点A，右侧取点B, 你能帮我测出AB的距离吗？
在日出东方左侧取点A，右侧取点B, 你能帮我测出AB的距离吗？
A
B
1、探索并证明三角形中位线定理。 2、会用三角形中位线定理解决简单问题
剪纸游戏
将一个三角形纸片沿一条中位线剪开, 拼成一个平行四边形。
猜想
中位线DE在△ABC中有
什么样的性质呢?
D
DE和边BC有关系
位置关系：DE∥BC
B
数量关系：DE= 1 BC. 2

三角形的中位线

3 三角形的中位线1.知道什么是三角形的中位线,会画一个三角形的中位线.2.经历探索三角形中位线的性质的过程,会用三角形中位线的性质解决相关的问题.3.重点:三角形中位线的性质及应用.问题探究一三角形中位线的定义及性质请你阅读教材本节开始至“议一议”上面的内容,回答下列问题.1.如右图,在△ABC中,量取AB、AC边的中点,分别记为点D、点E,连接DE.2.请你量一量线段BC、DE的长度,你有什么发现?DE=BC3.量一量∠ADE和∠ABC的大小,你有什么发现?由此你可以得到DE和BC之间有什么位置关系?解:∠ADE=∠ABC,由此可得DE∥BC.4.如果量取BC的中点F,线段DF与AC有怎样的数量和位置关系?EF和AB呢?解:DF=AC,DF∥AC;EF=AB,EF∥AB.5.教材中证明三角形中位线的性质时,用到了哪种判定平行四边形的方法?用到了平行四边形的哪些性质?解:用到了一组对边平行且相等的四边形是平行四边形这一判定方法,用到了平行四边形的对边相等、平行的性质.【归纳总结】连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线,三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半.【预习自测】如右图,D、E、F分别是△ABC各边的中点,(1)如果DE=4cm,那么BC= 8cm;如果AC=10 cm,那么DF= 5cm.问题探究二中点四边形请你阅读教材本节中的“议一议”,回答下列问题.1.猜想教材中的四边形EFGH是什么特殊的四边形?平行四边形2.证明你的猜想.证明:如图,连接BD,∵E、H是AB、AD的中点,∴EH是△ABD的中位线,∴EH∥BD,且EH=BD,同理,FG∥BD,且FG=BD,∴EH∥FG,且EH=FG,∴四边形EFGH是平行四边形.【归纳总结】我们把依次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形;连接任意四边形的中点所形成的四边形是平行四边形.【预习自测】若四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为8 cm和10 cm,则连接四边形ABCD的四边中点所得的四边形的周长是18cm.互动探究1:如右图,在四边形ABCD中,点E、F、G、H分别是四边的中点,当四边形ABCD 满足对角线AC=BD条件时,四边形ABCD的四边相等.【方法归纳交流】中点四边形的形状只与原四边形的对角线的关系有关.互动探究2:已知:△ABC的中线BD、CE交于点O,F、G分别是OB、OC的中点.求证:四边形DEFG是平行四边形.证明:∵△ABC的中线BD、CE相交于点O,∴ED∥BC且ED=BC,∵F、G分别是OB、OC的中点,∴FG∥BC且FG=BC,∴ED∥FG且ED=FG,∴四边形DEFG是平行四边形.[变式训练]如右图,在▱ABCD中,AB=4 cm,AD=10 cm,点P在边BC上移动,点E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点.求证:EF+GH=5 cm.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,AD=10 cm,∴BC=AD=10 cm.∵E、F、G、H分别是AB、AP、DP、DC的中点,∴EF+GH=BP+PC=BC,∴EF+GH=5 cm.互动探究3:如图,DE是△ABC的中位线,AF是BC边上的中线,求证:DE与AF互相平分.证明:连接DF、EF,∵DE是△ABC的中位线,∴点D、E为AB、AC边的中点,∵AF是BC边上的中线,∴点F为BC边的中点,∴DF、EF为△ABC的中位线,∴DF∥AC,EF∥AB,∴四边形ADFE是平行四边形,∴DE与AF互相平分.*互动探究4:如图,已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线的一点,且CE=DC,连接AE,分别交BC、BD于点F、G,连接AC交BD于O,连接OF.求证:AB=2OF.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,OA=OC,∠BAF=∠CEF,∠ABF=∠ECF.∵CE=DC,∴AB=CE.∴在△ABF和△ECF中,,,,∴△ABF≌△ECF,∴BF=CF.∵OA=OC,∴OF是△ABC的中位线,∴AB=2OF.见《导学测评》P50。

三角形的中位线教案

三角形的中位线教案教案：三角形的中位线教学目标：1.理解什么是三角形的中位线，并能够准确作图；2.掌握通过中位线求解三角形的性质和问题；3.培养解决问题的能力和思维方式。

教学重难点：1.理解和掌握三角形的中位线的概念；2.能够独立运用中位线解决实际问题。

教学准备：教学课件、黑板、彩色粉笔、直尺、三角板、直角板。

教学过程：Step 1 引入新知识（5分钟）教师可通过几何图形引导学生思考三角形的特性，并找出其中线的特点。

通过让学生观察，引导学生理解中位线是指连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

Step 2 定义和性质（20分钟）教师通过示意图和实例，给出中位线的具体定义，并解释其性质。

如：定义：三角形的中位线是连接三角形的一个顶点与对边中点的线段。

性质1：三角形的三条中位线交于一个点，这个点叫做三角形的重心。

性质2：重心到三角形的顶点的距离等于重心到对边中点的距离的2倍。

Step 3 中位线作图（20分钟）教师通过示意图讲解中位线的作图方法。

具体步骤如下：A.首先，用直尺连接一个顶点和对边的中点，得到中位线。

B.然后，再用直尺连接另外两个顶点和对边的中点，得到另外两条中位线。

C.最后，三条中位线相交于一个点，这个点就是三角形的重心。

Step 4 中位线性质的运用（25分钟）教师通过实例来带领学生运用中位线的性质解决实际问题。

具体问题如下：问题1：有一个三角形ABC，D、E、F分别是三角形的三条边上的中点，请问三角形的重心是哪个点？问题2：在一个三角形ABC中，重心为G，如果AG=4cm，BG=3cm，CG=6cm，请问BC的长是多少？Step 5 综合练习（25分钟）教师分发练习题，让学生独立完成。

练习题可包括以下内容：1.根据已知条件，求解三角形重心的坐标；2.已知三角形的重心坐标，求解其它未知量；3.通过中位线的性质求解其他问题。

Step 6 拓展练习（20分钟）教师提供一些较为复杂的问题，让学生进行思考和讨论。

八年级下册数学期中复习重点之《三角形中位线》

八年级下册数学期中复习重点之《三角形中
位线》
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

(1)三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

(2)要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：
位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系。

常用结论：任一个三角形都有三条中位线，由此有：
结论1：三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长的一半。

结论2：三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形。

结论3：三条中位线将原三角形划分出三个面积相等的平行四边形。

结论4：三角形一条中线和与它相交的中位线互相平分。

结论5：三角形中任意两条中位线的夹角与这夹角所对的三角形的顶角相等。

小编为大家精心推荐的八年级下册数学期中复习重点还满意吗?相信大家都会仔细阅读，加油哦!
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八年级下册数学期中复习重点：平行四边形的判定
初二年级数学期中复习重点之平行四边形的性质。

三角形的中位线定理及判定方法

三角形的中位线定理及判定方法想要了解三角形中位线定理的小伙伴，赶紧来看看吧！下面由小编为你精心准备了“三角形的中位线定理及判定方法”，本文仅供参考，持续关注本站将可以持续获取更多的资讯！三角形的中位线定理连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

中位线定理是，三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。

三角形的中位线的判定方法1、过三角形的两边中点的线段，是三角形的中位线。

2、过三角形的一边中点且平行于另一边的线段，是三角形的中位线。

3、平行且等于三角形一边长度的一半的线段，是三角形的中位线。

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。

连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线，梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。

拓展阅读：三角形的面积公式1.已知三角形底a，高h，则等腰三角形的面积为S=ah/2。

2..已知三角形三边a，b，c，则S=√p（p-a）（p-b）（p-c）[p=（a+b+c）/2]。

3.已知三角形两边a，b，这两边夹角C，则S=（a*b*sinC）/2。

4.设三角形三边分别为a、b、c，内切圆半径为r，则三角形面积S=[（a+b+c）r]/2。

5.设三角形三边分别为a、b、c，外接圆半径为R，则三角形面积S=abc/4R。

6.海伦——秦九韶三角形中线面积公式：S=√[（Ma+Mb+Mc）*（Mb+Mc-Ma）*（Mc+Ma-Mb）*（Ma+Mb-Mc）]/3其中Ma，Mb，Mc为三角形的中线长。

7.已知三角形的三条边为a，b，c，三角形的角为A，B，C，则三角形面积为S=1/2absinC=1/2acsinB=1/2bcsinA。

三角形的基本定义由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。

平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。