(最新)2019年高考数学考点06 函数的奇偶性与周期性必刷题理

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专题06 函数的奇偶性与周期性复习资料(解析版)

小正周期．
3．函数的对称性常见的结论
a＋b (1)函数 y＝f(x)关于 x＝对称⇔f(a＋x)＝f(b－x)⇔f(x)＝f(b＋a－x)．
2
特殊：函数 y＝f(x)关于 x＝a 对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)；函数 y＝f(x)关于 x＝0 对称⇔f(x)＝f(－x)(即为偶函数)． (2)函数 y＝f(x)关于点(a，b)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝2b⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝2b. 特殊：函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称⇔f(a＋x)＋f(a－x)＝0⇔f(2a＋x)＋f(－x)＝0；函数 y＝f(x)关于(0,0)对称⇔f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)． (3)y＝f(x＋a)是偶函数⇔函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 对称； y＝f(x＋a)是奇函数⇔函数 y＝f(x)关于点(a,0)对称． [知识拓展]
数
f(x)就叫做奇函数
称
(2)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件．
2．函数的周期性
(1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，
那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最
综上可知：对于定义域内的任意 x，总有 f(－x)＝－f(x)成立，∴函数 f(x)为奇函数.
【解法小结】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：
(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；
(2)判断 f(x)与 f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关

江苏专用高考数学一轮复习考点06函数的奇偶性与周期性必刷题含解析

江苏专用高考数学一轮复习考点06函数的奇偶性与周期性必刷题含解析1．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，(1)0f =，且对任意0x >都有成立，则不等式的解集是______.【答案】【解析】等价于0()0x f x ≠⎧⎨>⎩，令，则，当0x >时，有()'0g x >，故()g x 为()0,∞+上的增函数，而()10g =，故当0x >时，()0g x >的解为()1,+∞，故当0x >时，()0f x >的解为()1,+∞，因，故()g x 为偶函数，当0x >时，()0f x >等价于()0g x <，因()g x 为偶函数，故当0x <时，()0g x <的解为()1,0-即当0x <时，()0f x >的解为()1,0-，综上，的解集是，填.2．已知函数则不等式的解集为____．【答案】【解析】由题可得：函数为奇函数，不等式等价于，即：当时，由，解得：当时，由，解得：综上所述：或所以不等式的解集为3．已知偶函数的定义域为R，且在[0，)上为增函数，则不等式的解集为_______．【答案】【解析】因为是偶函数，所以，所以等价于又在[0，)上为增函数，且，，所以.即：，解得：，即或所以的解集为4．已知函数是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋m(m为常数)，则的值为____．【答案】【解析】为上的奇函数又本题正确结果：5．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______.【答案】【解析】设，则，所以．因为是定义在上的奇函数，所以，所以，所以当时，，当时，.当时，当0≤时，.所以0≤.当x＜0时，所以-2＜x＜0.综上不等式的解集为.故答案为：6．已知函数，且，则______【答案】-5【解析】设，则为奇函数，且．∵，∴．∴．故答案为．7．已知函数是定义在上的奇函数，且．当时，，则实数a 的值为_____．【答案】2【解析】函数是定义在上的奇函数，所以，，又因为，所以，，即，即，所以，，解得：.故答案为：2.8．已知，函数为偶函数，且在上是减函数，则关于的不等式的解集为_________．【答案】【解析】解：因为＝为偶函数，所以，，，又因为在上是减函数，所以，，由二次函数图象可知：的解集为，的图象看成是的图象向右平移2个单位，得到，所以，的解集为故答案为：9．奇函数是R上的增函数，，则不等式的解集为______．【答案】【解析】根据题意，为R上的奇函数，且，则，且又由是R上的增函数，若，则有，则有，解可得：，即不等式的解集为；故答案为．10．若函数是奇函数，则为___________．【答案】【解析】若函数是奇函数，则f（﹣x）＝1即解得：m＝2，故答案为：2．11．已知函数为奇函数，则不等式的解集为_______．【答案】【解析】依题意，有：，即再由对数不等式的解法得到结果.＝，所以，即：，所以，k＝±1，当k＝1时，没有意义，舍去，所以，k＝－1，不等式即为：＜1＝所以，0＜＜2，由＞0，得：x＜－1或x＞1，由＜2，即＜0，即＞0，得：x＜1或x＞3，综上可得：x＜－1或x＞3，所以，解集为：（－∞，－1）∪（3，＋∞）12．已知函数，则不等式的解集为________. 【答案】【解析】,∴函数在R上位增函数，∵，∴函数为奇函数，由可得又函数在R上为增函数，∴，∴不等式的解集为故答案为：13．已知函数f (x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，．若f (a)＜4＋f (－a)，则实数a的取值范围是_____．【答案】【解析】∵f (x)为奇函数，∴∴f (a)＜4＋f (－a)可转化为f (a)＜2作出的图象，如图：由图易知：a＜2故答案为：14．定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，若在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，则实数k的取值范围为__．【答案】【解析】由定义在R上的偶函数f（x），且对任意实数x都有f（x+2）＝f（x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2，可得函数f（x）在区间[﹣3，3]的图象如图所示，在区间[﹣3，3]内，函数g（x）＝f（x）﹣kx﹣3k有6个零点，等价于y＝f（x）的图象与直线y＝k（x+3）在区间[﹣3，3]内有6个交点，又y＝k（x+3）过定点（﹣3，0），观察图象可知实数k的取值范围为：，故答案为：（0，]15．已知函数()f x 的周期为4，且当(0,4]x ∈时，，则的值为______. 【答案】0 【解析】∵函数()f x 的周期为4，且当(]0,4x ∈时，∴∴故答案为：0 16．已知函数，若给定非零实数，对于任意实数，总存在非零常数，使得恒成立，则称函数是上的级类周期函数，若函数是上的2级2类周期函数，且当时，，又函数.若，，使成立，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】根据题意，对于函数，当时，，可得：当时，，有最大值，最小值，当时，，函数的图像关于直线对称，则此时有，又由函数是定义在区间内的2级类周期函数，且；则在上，，则有，则，则函数在区间上的最大值为8，最小值为0；对于函数，有，得在上，，函数为减函数，在上，，函数为增函数，则函数在上，由最小值.若，，使成立，必有，即，解可得，即的取值范围为.故答案为：.17．函数满足，且在区间上，则的值为____．【答案】【解析】由得函数的周期为4，所以因此18．若是定义在上的周期为3的函数，且,则的值为_________．【答案】【解析】f（x）是定义在R上的周期为3的函数，且，可得f（0）=f（3），即有a=﹣18+18=0，则f（a+1）=f（1）=1+1=2，故答案为：219．函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于______________ 【答案】132【解析】由f (x )⋅f (x +2)=13得,f (x +2)f (x +4)=13，即f (x )=f (x +4)，所以函数f (x )是周期为4的周期函数。

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题06函数的奇偶性与周期性(题型专练)含解析

1．函数f(x)＝lg|sin x|是( )A．最小正周期为π的奇函数B．最小正周期为2π的奇函数C．最小正周期为π的偶函数D．最小正周期为2π的偶函数【解析】易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．【答案】C2．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( )A．－x(1－x) B．x(1－x)C．－x(1＋x) D．x(1＋x)【解析】当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x) (1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．【答案】B3．若y＝f(x)既是周期函数，又是奇函数，则其导函数y＝f′(x)( )A．既是周期函数，又是奇函数B．既是周期函数，又是偶函数C．不是周期函数，但是奇函数D．不是周期函数，但是偶函数【答案】B4．若f(x)是定义在R上以3为周期的偶函数，且f(2)＝0，则方程f(x)＝0在区间(0,6)内解的个数至少是( )A．1 B．4C．3 D．2【解析】由f(2)＝0，得f(5)＝0.∴f(－2)＝0，f(－5)＝0.∴f(－2)＝f(－2＋3)＝f(1)＝0.f(－5)＝f(－5＋9)＝f(4)＝0.故f(x)＝0在区间(0,6)内的解至少有1,2,4,5四个解．【答案】B5．已知函数f (x )＝x 2＋(b －4－a 2)x ＋2a －b 是偶函数，则函数图象与y 轴交点的纵坐标的最大值是( )A ．－4B ．2C ．3D ．4【解析】由f (x )为偶函数，可知f (－x )＝f (x )，∴b ＝4－a 2，∴f (x )＝x 2＋2a －4－a 2，令g (a )＝2a －4－a 2，问题转化为求g (a )的最大值．在坐标系中画函数y ＝2a ，y ＝－4－a 2的图象如图．易知当a ＝2时，g (a )取最大值，g (a )max ＝g (2)＝4，选D. 【答案】D6．已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若f (3)＝2，则f (2 015)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2【答案】A7．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53B.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，53C ．(1,3) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞【答案】A8．已知f (x )是奇函数，且当x <0时，f (x )＝x 2＋3x ＋2.若当x ∈[1,3]时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为( )A.94 B ．2 C.34 D.14【解析】设x >0，则－x <0.∴f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2＋3(－x )＋2]＝－x 2＋3x －2.在[1,3]上，当x ＝32时，f (x )max ＝14；当x ＝3时，f (x )min ＝－2，∴m ≥14且n ≤－2，故m －n ≥94.【答案】A9．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)> f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)【解析】∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x ，作出f (x )的大致图象如图中实线所示．结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得 2－a 2>a ，即－2<a <1. 【答案】C10．已知x ∈(0,1)时，函数f (x )＝1＋2x22x 1－x 2的最小值为b ，若定义在R 上的函数g (x )满足：对任意m ，n ，有g (m ＋n )＝g (m )＋g (n )＋b ，则下列结论正确的是( )A ．g (x )－1是奇函数B ．g (x )＋1是奇函数C ．g (x )－3是奇函数D ．g (x )＋3是奇函数＋3，即－[3＋g (x )]＝g (－x )＋ 3.令h (x )＝g (x )＋3，则h (－x )＝－h (x )，所以g (x )＋3是奇函数．故选D. 【答案】D11．下列函数中为偶函数的是( ) A ．y ＝x 2sin x B ．y ＝x 2cos x C ．y ＝|ln x |D ．y ＝2－x【解析】根据偶函数的定义知偶函数满足f (－x )＝f (x )且定义域关于原点对称，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数。

函数的奇偶性与周期性精选习题(含解析)

1 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（）. A ．-7B ．-9C ．-11D ．-132．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0B ．1C ．2D ．43．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（） A ． B ．C ．D ．4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（）A ．3B ．-3C ．2D ．-26．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与2 / 9(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（）A ．2020B ．2019C ．1010D ．10097．（利用奇偶性周期性求字母范围）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 20(1)a f x x a -+=>在区间(]2,6-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是（） A．B．)2C．2⎤⎦D．2⎤⎦二、填空题8．（利用奇偶性解不等式）已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___．9．（奇偶性与导函数结合）已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()22424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____．10（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________．3 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题解析一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（）. A ．-7 B ．-9C ．-11D ．-13【答案】C【解析】∵x ＞0时，f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称； ∴x ＞0时，f （x ）＝2x ；∴x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，又g （x ）是奇函数；∴g （﹣1）+g （﹣2）＝﹣[g （1）+g （2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11．故选C ．2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】对()f x 整理得，()22cos 21sin 21211x x f x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪++⎝⎭ 而易知2sin 2,1xy x y x ==+都是奇函数，则可设()()21sin 21g x f x x xx =-++=，可得()g x 为奇函数，即()g x 关于点()0,0对称所以可知()()1f x g x =+关于点()0,1对称，所以()f x 的最大值和最小值也关于点()0,1，因此它们的和为2. 故选C 项.3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（）4 / 9A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+，所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【答案】A【解析】Q ()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又Q (2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5 / 9又1111023--<-<-≤Q …，且函数在区间[1,0)-上是增函数， 11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】C【解析】由()()53f x f x +=-，得()()8f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[)0,4x ∈时，()()2log 2f x x =+，所以()()()76696822f f f =⨯-=-，又()f x 是定义在R 上的偶函数所以()()222log 42f f -===.故选C 。

2019年高考数学(文)一轮复习精品资料：专题06函数的奇偶性与周期性(教学案)含解析

2019年高考数学（文）一轮复习精品资料1.判断函数的奇偶性；2.利用函数的奇偶性求参数；3.考查函数的奇偶性、周期性和单调性的综合应用．一、函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数关于y轴对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1．周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【必会结论】1．函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f x，则T＝2a；(3)若f (x ＋a )＝－1f x，则T ＝2a .(a >0)3．对称性的三个常用结论(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称； (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．高频考点一判断函数的奇偶性例1、[2017·北京高考]已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数答案 A【变式探究】判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3； (2)f (x )＝lg （1－x 2）|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0. 因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． ∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数．【方法规律】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域； (2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f (x )＋f (－x )＝0(奇函数)或f (x )－f (－x )＝0(偶函数)是否成立．【变式探究】 (1)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( ) A ．y ＝x ＋sin 2x B ．y ＝x 2－cos x C ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x 2＋sin x(2)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数解析 (1)对于A ，定义域为R ，f (－x )＝－x ＋sin 2(－x )＝－(x ＋sin 2x )＝－f (x )，为奇函数；对于B ，定义域为R ，f (－x )＝(－x )2－cos(－x )＝x 2－cos x ＝f (x )，为偶函数；对于C ，定义域为R ，f (－x )＝2－x ＋12－x ＝2x ＋12x ＝f (x )，为偶函数；y ＝x 2＋sin x 既不是偶函数也不是奇函数，故选D.(2)依题意得对任意x ∈R ，都有f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此，f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－[f (x )·g (x )]，f (x )g (x )是奇函数，A 错；|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|·g (x )＝|f (x )|g (x )，|f (x )|g (x )是偶函数，B 错；f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|＝－[f (x )|g (x )|]，f (x )|g (x )|是奇函数，C 正确；|f (－x )·g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，|f (x )g (x )|是偶函数，D 错．答案 (1)D (2)C高频考点二函数的周期性例2、(1)定义在R 上的函数f(x)满足f(x ＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)等于________．(2)已知f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x ＋2)＝－1，当2≤x≤3时，f(x)＝x ，则f(105.5)＝______.答案 (1)337 (2)2.5解析 (1)∵f(x ＋6)＝f(x)，∴T ＝6. ∵当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x ＋2)2；当－1≤x<3时，f(x)＝x ，∴f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1， f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1， f(6)＝f(0)＝0，∴f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1，∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2015)＋f(2016) ＝1×20166＝336.又f(2017)＝f(1)＝1.∴f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＝337. (2)由已知，可得f(x ＋4)＝f[(x ＋2)＋2] ＝－1＋＝－1－1＝f(x)．故函数的周期为4.∴f(105.5)＝f(4×27－2.5)＝f(－2.5)＝f(2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f(2.5)＝2.5. ∴f(105.5)＝2.5.【感悟提升】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)函数周期性的三个常用结论： ①若f(x ＋a)＝－f(x)，则T ＝2a ， ②若f(x ＋a)＝1，则T ＝2a ， ③若f(x ＋a)＝－1，则T ＝2a (a>0)．【变式探究】设函数f(x)(x ∈R)满足f(x ＋π)＝f(x)＋sinx ．当0≤x<π时，f(x)＝0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6＝__________________________________________.答案 12例3、(1)[2017·山东高考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.答案 6解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.(2)奇函数f (x )满足f (x －2)＝－f (x )，且当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2，则f (2018)＋f (2019)＋f (2020)的值为________．答案－1解析函数f (x )是奇函数，则f (0)＝0，由f (x )＝2x －x 2，x ∈[0,2]知f (1)＝1，f (2)＝0，又f (x )的周期为4，所以f (2018)＋f (2019)＋f (2020)＝f (2)＋f (3)＋f (0)＝f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1.【变式探究】 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3(2)(若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________．解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1. (2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，则ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1. 答案 (1)C (2)1【方法规律】(1)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据f (x )±f (x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(2)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住在已知区间上的解析式，将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式或函数值．【变式探究】(1)若函数f (x )＝2x＋12x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )A ．(－∞，－1)B ．(－1，0)C ．(0，1)D ．(1，＋∞)(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．解析 (1)易知f (－x )＝2－x＋12－x －a ＝2x＋11－a 2x ，由f (－x )＝－f (x )，得2x ＋11－a 2x ＝－2x＋12x－a，即1－a 2x ＝－2x ＋a ，化简得a (1＋2x )＝1＋2x，所以a ＝1， f (x )＝2x＋12x －1，由f (x )>3，得0<x <1.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2＋4x . 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，则f (x )＝－x 2－4x (x <0)，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.答案 (1)C (2)⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0高频考点四函数的周期性及其应用例4、若函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (2)＝________．【方法规律】(1)根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间．(2)若f (x ＋a )＝－f (x )(a 是常数，且a ≠0)，则2a 为函数f (x )的一个周期．【变式探究】已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋2)＝－1f （x ），当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______．解析 f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－1f （x ＋2）＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5. 答案 2.51. （2018年全国I 卷）设函数．若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为A.B.C.D.【答案】D 【解析】因为函数是奇函数，所以，解得，所以，，所以，所以曲线在点处的切线方程为，化简可得，故选D.2. （2018年全国卷Ⅱ）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50【答案】C 【解析】因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.1、[2017·北京高考]已知函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )( )A ．是奇函数，且在R 上是增函数B ．是偶函数，且在R 上是增函数C ．是奇函数，且在R 上是减函数D ．是偶函数，且在R 上是减函数答案 A解析 ∵函数f (x )的定义域为R ，f (－x )＝3－x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －3x ＝－f (x )，∴函数f (x )是奇函数．∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，∴函数y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是增函数．又∵y ＝3x在R 上是增函数，∴函数f (x )＝3x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是增函数．故选A.2、[2017·山东高考]已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.答案 6解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)．又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.3．[2017·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝________.答案 12解析解法一：令x >0，则－x <0. ∴f (－x )＝－2x 3＋x 2.∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )． ∴f (x )＝2x 3－x 2(x >0)． ∴f (2)＝2×23－22＝12.解法二：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12. 1.【2016高考浙江文数】函数y =sin x 2的图象是（）【答案】D【解析】因为2sin =y x 为偶函数，所以它的图象关于y 轴对称，排除A 、C 选项；当22x π=，即2x π=±时，1max y =，排除B 选项，故选D.2.【2016高考四川文科】已知函数()f x 是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，()4xf x =，则5()(1)2f f -+= .【答案】-21.【2015高考四川，文5】下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) (A )y ＝sin (2x ＋2π) (B )y ＝cos (2x ＋2π) (C )y ＝sin 2x ＋cos 2x (D )y ＝sinx ＋cosx 【答案】B【解析】A 、B 、C 的周期都是π，D 的周期是2π 但A 中，y ＝cos 2x 是偶函数，C 中y ＝2sin (2x ＋4π)是非奇非偶函数故正确答案为B2.【2015高考天津，文7】已知定义在R 上的函数||()21()x m f x m -=-为实数为偶函数,记0.5(log 3),a f =2b (log 5),c (2)f f m ==,则,,a b c ,的大小关系为（）(A) b c a << (B) b c a << (C) b a c << (D) b c a << 【答案】B【解析】由()f x 为偶函数得0m =,所以0,52log 3log 32121312,a =-=-=-=2log 521514b =-=-=,0210c =-= ,所以b c a <<,故选B.3.【2015高考陕西，文9】设()sin f x x x =-，则()f x =（）A ．既是奇函数又是减函数B ．既是奇函数又是增函数C ．是有零点的减函数D ．是没有零点的奇函数【答案】B【解析】()sin ()()sin()sin (sin )()f x x x f x x x x x x x f x =-⇒-=---=-+=--=-，又()f x 的定义域为R 是关于原点对称，所以()f x 是奇函数；()1cos 0()f x x f x '=-≥⇒是增函数. 故答案选B4.【2015高考山东，文8】若函数21()2x x f x a+=-是奇函数，则使3f x >（）成立的x 的取值范围为( ) （A ）( ) (B)() （C ）0,1（）（D ）1,+∞（）【答案】C 【解析】由题意()()f x f x =--，即2121,22x x x x a a --++=---所以，(1)(21)0,1x a a -+==，21(),21x x f x +=-由21()321x x f x +=>-得，122,01,x x <<<<故选C . 5.【2015高考广东，文3】下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）A ．2sin y x x =+B ．2cos y x x =-C ．122x xy =+ D ．sin 2y x x =+ 【答案】A【解析】函数()2sin f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()11sin1f =+，()11sin1f -=-，所以函数()2sin f x x x =+既不是奇函数，也不是偶函数；函数()2cos f x x x =-的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()()22cos cos f x x x x x f x -=---=-=，所以函数()2cos f x x x =-是偶函数；函数()122x xf x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()112222x x x x f x f x ---=+=+=，所以函数()122x xf x =+是偶函数；函数()sin 2f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称，因为()()()sin 2sin 2f x x x x x f x -=-+-=--=-，所以函数()sin 2f x x x =+是奇函数．故选A ．6.【2015高考北京，文3】下列函数中为偶函数的是（）A ．2sin y x x =B ．2cos y x x =C ．ln y x =D ．2xy -=【答案】B【解析】根据偶函数的定义()()f x f x -=，A 选项为奇函数，B 选项为偶函数，C 选项定义域为(0,)+∞不具有奇偶性，D 选项既不是奇函数，也不是偶函数，故选B.7.【2015高考福建，文3】下列函数为奇函数的是( )A ．y x =B ．x y e =C ．cos y x =D ．x x y e e -=-【答案】D 【解析】函数y x =和x y e =是非奇非偶函数； cos y x =是偶函数；x x y e e -=-是奇函数，故选D ．8.【2015高考安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）（A ）y =lnx （B ）21y x =+ （C ）y =sinx （D ）y =cosx【答案】D【解析】选项A ：x y ln =的定义域为（0,+∞），故x y ln =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ：12+=x y 是偶函数，但012=+=x y 无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：x y sin =是奇函数，故C 错；选项D ：x y cos =是偶函数，且0cos ==x y ππk x +=⇒2，z k ∈，故D 项正确.9.【2015高考上海，文20】（本题满分14分）本题共2小题，第1小题6分，第2小题8分. 已知函数xax x f 1)(2+=，其中a 为实数. （1）根据a 的不同取值，判断函数)(x f 的奇偶性，并说明理由；（2）若)3,1(∈a ，判断函数)(x f 在]2,1[上的单调性，并说明理由.【答案】（1）)(x f 是非奇非偶函数；（2）函数)(x f 在]2,1[上单调递增.（2）设]2,1[22∈<∀x x ，则]1)()[())(()()(2121212112212121x x x x a x x x x x x x x x x a x f x f -+-=-++-=- 因为]2,1[21∈<x x ，所以021<-x x ，4221<+<x x ，4121<<x x ，所以12)(221<+<x x a ，114121<<x x ，所以01)(2121>-+x x x x a ，所以0)()(21<-x f x f ，即)()(21x f x f <，故函数)(x f 在]2,1[上单调递增.。

函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳

函数的性质——奇偶性、单调性、周期性知识点及题型归纳知识点精讲函数奇偶性定义设D D x x f y (),(∈=为关于原点对称的区间），如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f =-，则称函数)(x f y =为偶函数；如果对于任意的D x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称函数)(x f y =为奇函数. 性质(1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.(2)奇偶函数的图象特征.函数)(x f 是偶函数⇔函数)(x f 的图象关于y 轴对称；函数)(x f 是奇函数⇔函数)(x f 的图象关于原点中心对称.(3)若奇函数)(x f y =在0=x 处有意义，则有0)0(=f ；偶函数)(x f y =必满足|)(|)(x f x f =.(4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同.(5)若函数)(x f 的定义域关于原点对称，则函数)(x f 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记)]()([21)(x f x f x g -+=，)]()([21)(x f x f x h --=，则)()()(x h x g x f +=. (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如)()(),()(),()(),()(x g x f x g x f x g x f x g x f ÷⨯-+.对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶；奇)(÷⨯奇=偶；奇)(÷⨯偶=奇；偶)(÷⨯偶=偶.（7）复合函数)]([x g f y =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇.函数的单调性定义一般地，设函数)(x f 的定义域为D ，区间D M ⊆，若对于任意的M x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f <（或)()(21x f x f >），则称函数)(x f 在区间M 上是单调递增（或单调递减）的，区间M 为函数)(x f 的一个增（减）区间.注：定义域中的M x x ∈21,具有任意性，证明时应特别指出“对于任意的M x x ∈21,”.单调性是针对定义域内的某个区间讨论的.设],[,21b a M x x =∈且21x x <，则)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔>--在],[b a 上是增函数⇔过单调递增函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒大于零⇔0)]()()[(2121>--x f x f x x .)(0)()(2121x f x x x f x f ⇔<--在],[b a 上是减函数⇔过单调递减函数图象上任意不同两点的割线的斜率恒小于零⇔0)]()()[(2121<--x f x f x x .性质对于运算函数有如下结论：在公共区间上，增+增=增；减+减=减；增-减=增；减-增=减.一般地，对于乘除运算没有必然的结论.如“增×增=增”不一定成立；“若)(x f 为增函数，则)(1x f 为减函数”也是错误的.如)0,()(≠∈=x R x x x f ，则xx f y 1)(1==为减函数是不正确的，但若具备如下特殊要求，则结论成立: 若)(x f 为增函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为减函数. 若)(x f 为减函数，且(0)(>x f 或)(x f 0<），则)(1x f 为增函数. 复合函数的单调性复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增（减）函数，内层函数是增（减）函数，复合函数是增函数；外层函数是增（减）函数，内层函数是减（增）函数，复合函数是减函数. 函数的周期性定义设函数))((D x x f y ∈=，如存在非零常数T ，使得对任何D T x D x ∈+∈,，且)()(x f T x f =+，则函数)(x f 为周期函数，T 为函数的一个周期.若在所有的周期中存在一个最小的正数，则这个最小的正数叫做最小正周期.注：函数的周期性是函数的“整体”性质，即对于定义域D 中的任何一个x ，都满足)()(x f T x f =+；若)(x f 是周期函数，则其图像平移若干整数个周期后，能够完全重合.性质若)(x f 的周期为T ，则)0,(≠∈n Z n nT 也是函数)(x f 的周期，并且有)()(x f nT x f =+.有关函数周期性的重要结论（如表所示）()()()()211();()2()()()()2()()4()()2()()()()()2()()()2()()()(x R f x T f x T f x T f x T f x T f x T T f x f x f x T f x T T f x T f x T T f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a ∈+=+=-+=+=-+=-+=--+=-⎧-⎨+=-⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧-⎨+=--⎩函数式满足关系（）周期为偶函数)()2()()()4()()()()()4()()()4()x f a x a f x f a x f a x b a f b x f b x f a x f a x a f x f a x f a x a f x +=--⎧⎨⎩+=-⎧-⎨+=--⎩+=-⎧⎨⎩+=--⎧⎨⎩为奇函数为奇函数为偶函数函数的的对称性与周期性的关系（1）若函数)(x f y =有两条对称轴)(,b a b x a x <==，则函数)(x f 是周期函数，且)(2a b T -=；（2）若函数)(x f y =的图象有两个对称中心))(,(),,(b a c b c a <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(2a b T -=；（3）若函数)(x f y =有一条对称轴a x =和一个对称中心))(0,(b a b <，则函数)(x f y =是周期函数，且)(4a b T -=.题型归纳及思路提示题型1 函数的奇偶性思路提示：判断函数的奇偶性，常用以下两种方法：（1）定义法.①首先看定义域是否关于原点对称；②若)()(x f x f -=-，则函数)(x f 为奇函数；若)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数.若函数)(x f 的图像关于y 轴对称，则)(x f 为偶函数.【例2.25】判断下列函数的奇偶性.（1）3|3|36)(2-+-=x x x f ；（2）11)(22-+-=x x x f ；（3）)1(log )(22++=x x x f ；（4）2|2|)1(log )(22---=x x x f ；（5）⎩⎨⎧>+-<+=)0()0()(22x x x x x x x f .解析（1）由3|3|36)(2-+-=x x x f 可知⎩⎨⎧-≠≠≤≤-⇒⎩⎨⎧≠-+≥-606603|3|0362x x x x x 且，故函数)(x f 的定义域为}6006|{≤<<<-x x x 或，定义域不关于原点对称，故)(x f 为非奇非偶函数.(2)由110101222±=⇒=⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x x ，故函数)(x f 的定义域为}1,1{-，关于原点对称，故0)(=x f ，所以)()()(x f x f x f -==-，所以函数)(x f 既是奇函数又是偶函数.(3)因为对任意实数x ，都有0||12≥+>++x x x x ，故定义域为R.且)()1(log 11(log )1(log )(222222x f x x x x x x x f -=++-=++=-+=-），故)(x f 为奇函数.(4)由100102|2|012<<<<-⇒⎩⎨⎧≠-->-x x x x 或，定义域关于原点对称. 此时，xx x x x f --=---=)1(log 2|2|)1(log )(2222，故有)()(x f x f -=-，所以)(x f 为奇函数. (5)当0<x 时，)()(,02x f x x x f x -=--=->-；当0>x 时，)()(,02x f x x x f x -=-=-<-.故)(x f 为奇函数.评注利用定义判断函数的奇偶性要注意以下几点：①首先必须判断)(x f 的定义域是否关于原点对称.若不关于原点对称，则是非奇非偶函数.若关于原点对②有些函数必须根据定义域化简解析式后才可判断，否则可能无法判断或判断错误，如本例（2），若不化简可能误判为偶函数，而本例（4）可能误判为非奇非偶函数.③本例（3）若用奇偶性的等价形式，则01log )1(log )1(log )()(22222==+++-+=+-x x x x x f x f ，即)()(x f x f -=-，故)(x f 为奇函数，显然，等价形式的整理较定义法更为容易.这提醒我们，在函数解析式较复杂时，有时使用等价形式来判断奇偶性较为方便.变式1：判断下列函数的奇偶性.（1）xx x x f -+-=11)1()(；（2）24|3|3)(x x x f -+-=；（3）⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<+=)1(2)11(0)1(2)(x x x x x x f ；（4）|2||2|)(++-=x x x f .变式2：已知函数2lg )2lg()(2-++=x x x f ，试判断其奇偶性.【例2.26】已知函数),0()(2R x x xa x x f ∈≠+=，试判断其奇偶性. 分析利用函数奇偶性的定义进行判断.解析当0=a 时，2)(x x f =，满足)()(x f x f =-，故)(x f 为偶函数；当0≠a 时，xa x x f x a x x f -=-+=22)(,)(，假设)()(x f x f =-对任意R x ∈，0≠x 恒成立，则此时0=a ，与前提矛盾；假设)()(x f x f -=-对任意R x ∈，0≠x 恒成立，则此时022=x ，即0=x ，与条件定义域},0|{R x x x ∈≠矛盾.综上所述，当0=a 时，)(x f 为偶函数；当0≠a 时，函数)(x f 为非奇非偶函数.评注 ①函数)(x f 是奇函数⇔0)()(=-+x f x f ；函数)(x f 是偶函数0)()(=--⇔x f x f .奇偶函数②若要说明一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例.③本题的结论还可以借用运算函数的的奇偶性的规律获得，已知函数是一个由2x 与x a 通过加法法则运算得到的函数，而2x y =为偶函数，)0(≠=a x a y 为奇函数，故当0≠a 时，)(x f 为“偶+奇”形式，故为非奇非偶函数；当0=a 时，则2)(x x f =为偶函数.变式1：函数)()1221()(x f x F x ⋅-+=是偶函数，并且)(x f 不等于零，则)(x f 是（） A.奇函数 B.偶函数 C.既奇又偶函数 D.非奇非偶函数变式2：对于函数R x x f y ∈=),(，“|)(|x f y =的图象关于y 轴对称”是“)(x f 是奇函数”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【例 2.27】定义在实数集上的函数)(x f ，对任意R y x ∈,都有)()(2)()(y f x f y x f y x f =-++，且0)0(≠f ，试判断)(x f 的奇偶性.分析对于抽象函数的奇偶性判断通常利用赋值法得到)(x f 与)(x f -的关系.解析由函数定义域为R 可知定义域关于原点对称.依题意可令0,0==y x ，得2)]0([2)0(2f f =，因为0)0(≠f ，所以1)0(=f .令0=x ，可得)(2)()(y f y f y f =-+，即)()(y f y f -=，所以)()(x f x f -=，故函数)(x f 为偶函数.评注对于抽象函数奇偶性的判断，常通过赋值法（如令1,1,0-=x 等）凑成含有)(x f 与)(x f -的关系的式子，然后进行判断.变式1：已知函数)(x f 在R 上有定义，且对任意R y x ∈,都有)()()(y f x f y x f +=+，试判断)(x f 的奇偶性.变式2：若定义在R 上的函数)(x f 满足对任意R x x ∈21,有1)()()(2121++=+x f x f x x f ，则下列说法正确的是（）A.)(x f 是奇函数B.)(x f 是偶函数C.)(x f +1为奇函数D.)(x f +1为偶函数变式3：已知函数)(x f 在)1,1(-上有定义，且对任意)1,1(,-∈y x 都有)1()()(xyy x f y f x f ++=+，试判断函数)(x f 的奇偶性.变式4：已知)(x f ，)(x g 在R 上有定义，对任意的R y x ∈,，有)()()()()(y f x g y g x f y x f -=-，且0)1(≠f .(1)求证：)(x f 为奇函数；(2)若)2()1(f f =，求)1()1(-+g g 的值.【例 2.28】已知偶函数1)1()(23++-=mx x a x f 的定义域为),83(2m m m --，则=+a m 2______________.分析定义域关于原点对称是奇函数或偶函数的必要条件.解析因为)(x f 为偶函数，故其定义域必关于原点对称，所以0832=--m m ，且m m m <--832，解得4=m .由函数)(x f 为偶函数得3x 的系数为0，则01=-a ，即1=a ，故62=+a m .变式1：若函数))(12()(a x x x x f -+=为奇函数，则=a （） 21.A 32.B 43.C 1.D 变式2：若函数)2(log )(22a x x x f a ++=是奇函数，则=a _____________.变式3：若a x f x +-=121)(是奇函数，则=a _____________.变式4：函数k k k x f xx(212)(⋅+-=为常数）为其定义域上的奇函数，则=k ____________.变式5：函数)1)(11(log )(>--=a x kx x f a 为其定义域上的奇函数，则=k __________.【例2.29】已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，当)0,(-∞∈x 时，4)(x x x f -=，则当),0(+∞∈x 时，)(x f =_______________.解析当0>x 时，则44)()()(,0x x x x x f x --=---=-<-，因为)(x f 是偶函数，所以)(x f 4)(x x x f --=-=，故当),0(+∞∈x 时，4)(x x x f --=.评注解此类题分三步：第一步将所求解析式自变量的范围转化为已知解析式中自变量的范围；第2步将转化后的自变量代入已知解析式；第3步利用函数的奇偶性求出解析式.变式1：已知函数)(x f 为R 上的奇函数，且当0>x 时，2)(x x x f -=，求函数)(x f 的解析式.【例2.30】已知)(x f 为定义域是关于原点对称区间上的函数，求证：)(x f 一定可以写成一个奇函数与一个偶函数之和的形式.分析先设)(x f 能写成一个函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，再利用奇偶函数的定义列方程组，解方程组即得.解析先假设存在)()()(x h x g x f +=……………①其中)(x g 为奇函数，)(x h 是偶函数，则)()()()()(x h x g x h x g x f +-=-+-=-………②由①+②得，2)()()(x f x f x h -+=，由①-②得，2)()()(x f x f x g --=. 由此，我们得出结论，对定义域关于原点对称的函数)(x f ，都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和.变式1：已知定义在R 上的奇函数)(x f 和偶函数)(x g 满足)1,0(2)()(≠>+-=+-a a a a x g x f x x .若a g =)2(，则)2(f =（）2.A 415.B 417.C 2.a D变式2：设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论正确的是（）A.|)(|)(x g x f +是偶函数 |)(|)(.x g x f B -是奇函数)(|)(|.x g x f C +是偶函数 )()(|.x g x f D -是奇函数【例2.31】函数)(1sin )(3R x x x x f ∈++=，若2)(=a f ，则)(a f -的值为（）3.A 0.B 1.-C 2.-D分析函数1sin )(3++=x x x f 中x x y sin 3+=为奇函数，借助奇函数的性质求解.解析令x x x g sin )(3+=，得1)()(+=x g x f ，依题意得，21)(=+a g ，所以1)(=a g .由)(x g y =为奇函数，故1)()(-=-=-a g a g ，所以01)()(=+-=-a g a f ，故选B.评注本题中虽然函数整体没有奇偶性，但可利用局部的奇偶性求解，尤其是当)(x f 为奇函数时，0)()(=+-x f x f ，特别地0)()(max min =+x f x f .变式1：对于函数c bx x a x f ++=sin )(（其中Z c R b a ∈∈,,），选取c b a ,,的一组计算)1(f 和)1(-f ，所得出的正确结果一定不可能是（）A.4和6B.3和1C.2和4D.1和2变式2：已知函数),(4sin )(3R b a x b ax x f ∈++=，5))10(lg(log 2=f ，则=))2(lg(lg f ( )A.5-B.5-C.3D.4变式3：设函数1sin )1()(22+++=x x x x f 的最大值为M ，最小值为m ，则.______=+n M题型2 函数的单调性（区间）思路提示判断函数的单调性一般有四种方法：定义法、图像法、复合函数单调性法和导数法.【例2.32】求证：函数)0()(>+=a xa x x f 在),[+∞a 上是增函数. 分析利用函数单调性的定义来证明. 解析设任意的两个实数),[,21+∞∈a x x 且21x x <，则有)1)()()()(2121212121x x a x x x a x a x x x f x f --=++-=-（.因为),[,21+∞∈a x x ，所以a x x >21，0,012121<->-x x x x a ，)()(0)()(2121x f x f x f x f <⇒<-，故)(x f 在),[+∞a 上是增函数. 评注利用函数单调性的定义判定时，其步骤为：（1）取值；（2）作差比较；（3）定量；（4）判断.解题时注意所设的21,x x 在区间内须具有任意性.若否定函数单调性时，只要取两个特殊自变量说明不满足即可.变式1：已知函数)(x f 对任意R y x ∈,，满足2)()()(++=+y x f y f x f ，当0>x 时，2)(>x f ，求证：)(x f 在R 上是增函数.变式2：定义在R 上的函数0)0(),(≠=f x f y ，当0>x 时，1)(>x f ，且对任意的R b a ∈,，有)()()(b f a f b a f ⋅=+.（1）求证：1)0(=f ；（2）求证：对任意的R x ∈，恒有0)(>x f ；（3）证明：)(x f 是R 上的增函数；（4）若1)2()(2>-⋅x x f x f ，求x 的取值范围.【例2.33】设),(a -∞是函数5||42+-=x x y 的一个减区间，则实数a 的取值范围是（） ),2.[+∞-A ]2,.(--∞B ),2.[+∞C ]2,.(-∞D分析作出函数的图象，找出递减区间，从而确定a 的取值范围.解析由5||42+-=x x y 得，)()(x f x f =-，知)(x f y =为偶函数，其图象关于y 轴对称.只要画出当0≥x 时的图象，然后作出其关于y 轴对称的图形即可得到0<x 部分的图象，如图所示.可知，若),(a -∞为函数)(x f 的减区间，则2-≤a .故选B.变式1：下列区间中，函数|)2ln(|)(x x f -=在其上为增函数的是（） ]1,.(-∞A ]34,1.[-B )23,0.[C )2,1.[D变式2：（2012上海理7）已知函数a e x f a x ()(||-=为常数）.若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数，则a 的取值范围是__________________.变式3：定义在R 上的函数)(x f 是偶函数，且)2()(x f x f -=，若)(x f 在区间]2,1[上是减函数，则)(x f （）A.在区间]1,2[-上是增函数，在区间]4,3[上是减函数B.在区间]1,2[--上是增函数，在区间]4,3[上是减函数C.在区间]1,2[-上是减函数，在区间]4,3[上是增函数D.在区间]1,2[--上是减函数，在区间]4,3[上是增函数变式4：已知⎩⎨⎧≥<+-=)1(log )1(4)13()(x x x a x a x f a 是R 上的减函数，那么a 的取值范围是（）)1,0.(A )31,0.(B )31,71.[C )1,71.[D题型3 函数的周期性思路提示（1）)0(||)()(≠=⇒=+a a T x f a x f ；)(||)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+=+；（2）)0(||2)()(≠=⇒-=+a a T x f a x f ； )(||2)()(b a b a T b x f a x f ≠-=⇒+-=+；)0,(||2)()(≠≠-=⇒=+⋅+c b a b a T c b x f a x f . （3）)0(||6),2()()(≠=---=a a T a x f a x f x f . 【例2.34】已知函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)1(x f x f =+，若8)1(=f ，则=)2014(f ___________. 解析 1)(1(,)(1)1(=⋅+=+x f x f x f x f ），有1)2()1(=+⋅+x f x f ，所以)2()(+=x f x f ，故2=T ，所以81)1(1)0()2014(===f f f .变式1：函数)(x f 对任意实数x 都满足)(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f ____.【例 2.35】已知函数)(x f 满足),)(()()()(4,41)1(R y x y x f y x f y f x f f ∈-++==，则=)2010(f _____________.解析令)1()1()()1()1()1()(4,1-++=⇒-++==x f x f x f x f x f f x f y)1()()1(--=+⇒x f x f x f ，6=T ，所以)0()2010(f f =，又令0,1==y x ，有)1()1()0()1(4f f f f +=，所以21)2010(,21)0(==f f .【例 2.36】已知函数)(x f 是定义在实数集R 上的不恒等于零的偶函数，且对任意实数x 都有)()1()1(x f x x xf +=+，则)25(f 的值是（）A.0B.21C.1D.25分析 )(x f 为偶函数，有)()1()1(x f x x xf +=+，只能从x x =+1或者01=++x x 时入手. 解析当01=++x x 时，即21-=x 时，)21(21)21(21)21(21f f f =-=-，得0)25(,0)23(,0)21(===f f f ，故选A. 评注本题也可以从另外一方面解答，先构造一个函数，当Z x ∉时，x x f x x f )(1)1(=++.令xx f x g )()(=，则1)1()1(++=+x x f x g .所以)()1(x g x g =+，1=T ，令21-=x ，得0)21(),21(21)21(21)21(21==-=-f f f f .因为)21(25(g g =），即021)21(25)25(==f f .故0)25(=f .变式1：已知a 为非零常数，R x ∈且)(1)(1)(x f x f a x f -+=+，试判断)(x f 的周期性.题型4 函数性质的综合思路提示（1）奇偶性与单调性综合解题，尤其要重视利用偶函数（或轴对称函数）与单调性综合解不等式和比较大小.（2）奇偶性、单调性、周期性综合解题，尤其要注意对称性与周期性之间的关系，周期是两条对称轴（或对称中心）之间距离的2倍，是对称中心与对称轴之间距离的4倍.如函数)(x f 的图象关于点)0,(a 和点)0,(b 中心对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f --=--=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.如函数)(x f 的图象关于直线a x =和直线b x =轴对称，可得)(||2b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=-=，所以)2()2(x b f x a f -=-，可得||2b a T -=.如函数)(x f 关于点)0,(a 中心对称，且关于直线b x =轴对称，可得)(||4b a b a T ≠-=.)2()(),2()(x b f x f x a f x f -=--=，所以)2()2(x b f x a f -=--，故)()44(x f x a b f =+-，||4b a T -=.【2.37】定义在R 上的偶函数)(x f 满足：对任意的)](0,(,2121x x x x ≠-∞∈，有0)]()()[(2121>--x f x f x x ，则当*N n ∈时，有（）)1()1()(.+<-<-n f n f n f A )1()()1(.+<-<-n f n f n f B )1()()1(.-<-<+n f n f n f C )()1()1(.n f n f n f D -<-<+ 分析偶函数关于y 轴对称，关于y 轴对称的两部分图象单调性相反.解析由]0,(,21-∞∈∀x x ，有0)]()()[(2121>--x f x f x x 可得]0,(-∞∈x 时，)(x f 单调递增，因为)(x f 为偶函数，所以当),0(+∞∈x 时，)(x f 单调递减，所以自变量绝对值越小，所对应的的函数值越大.因为110+<<-≤n n n ，所以)1()()()1(+>-=>-n f n f n f n f ，故选C.变式1：已知定义域为R 的函数)(x f 在区间),8(+∞上减函数，且函数)8(+=x f y 为偶函数，则（） )7()6(.f f A > )7()6(.f f B > )9()7(.f f C > )10()7(.f f D >变式2：已知偶函数)(x f 在区间),0[+∞上单调递增，则满足)31()12(f x f <-的x 的取值范围是（） )32,31.(A )32,31.[B )32,21.(C )32,21.[D变式3：设函数)(x f 是奇函数，并且在R 上为增函数，若20πθ≤≤时，0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立，则实数m 的取值范围是（）)1,0.(A )0,.(-∞B )21,.(-∞C )1,.(-∞D变式4：设函数}{,1)3()(3n a x x x f -+-=是公差不为0的等差数列，14)(...)()(721=+++a f a f a f ，则=+++721...a a a （）A. 0B. 7C. 14D. 21【例2.38】函数)(x f 的定义域为R ，若)1(+x f 与)1(-x f 都是奇函数，则（） A.)(x f 是偶函数 B.)(x f 是奇函数 C.)2()(+=x f x f D.)2(+x f 是奇函数分析由奇偶性⇒对称性⇒周期性.解析因为)1(+x f 为奇函数，所以)1()1(+-=+-x f x f ，故)0,1(为函数)(x f 的对称中心，由)1(-x f 为奇函数，同理)0,1(-也为函数)(x f 的对称中心，利用结论知函数)(x f 的周期为4，则)1()3(-=+x f x f ，所以)3(+x f 为奇函数.故选D.变式1：定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()1(x f x f -=+，且在]0,1[-上单调递增，设)3(f a =，)2(),2(f c f b ==，则c b a ,,的大小关系是（）c b a A >>. b c a B >>. a c b C >>. a b c D >>.变式2：已知定义在R 上奇函数)(x f 满足)()4(x f x f -=-，且在区间]2,0[上是增函数，则（） )80()11()25(.f f f A <<- )25()11()80(.-<<f f f B)25()80()11(.-<<f f f C )11()80()25(.f f f D <<-【例2.39】定义在R 上的函数)(x f 是奇函数，且是以2为周期的周期函数，则)7()4()1(f f f ++=( ) 1.-A 0.B 1.C 4.D 解析因为)(x f 的T=2，且是定义在R上的奇函数，所以0)0(=f ，则0)1()0()1()7()4()1(=-++=++f f f f f f ，故选B.变式1：已知)(x f 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当20<≤x 时，x x x f -=3)(，则函数)(x f 的图象在区间]6,0[上与x 轴的交点的个数为（） A.6 B.7 C.8 D.9【例2.40】函数)(x f 的定义域为D ，若对任意的D x x ∈21,，当21x x <时，都有)()(21x f x f ≤，则称函数)(x f 在D 上为非减函数，设函数)(x f 在]1,0[上为非减函数，且满足以下3个条件：①0)0(=f ；②)(21)3(x f x f =；③)(1)1(x f x f -=-，则=+)81()31(f f ( ) 43.A 21.B 1.C 32.D解析 21)1(21)31(==f f ，也可得41)31(21)91(==f f ，由)(1)1(x f x f -=-可得21)21(=f ，所以41)21(21)61(==f f .因为当1021≤<≤x x 时都有)()(21x f x f ≤，所以可由618191<<得，)61()81()91(f f f ≤≤，即41)81(=f ，所以43)81()31(=+f f .故选A.变式1：定义在R 上的函数满足1)1()(,0)0(=-+=x f x f f ，)(21)3(x f x f =，且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则=)20101(f ___________.变式2：设)(x g 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数)()(x g x x f +=在区间]4,3[上的值域为]5,2[-，则)(x f 在区间]10,10[-上的值域为_____________.变式3：对于定义域为]1,0[的连续函数)(x f ，如果同时满足以下3个条件：①对任意的]1,0[∈x ，总有0)(≥x f ；②1)1(=f ；③若1,0,02121≤+≥≥x x x x ，都有)()()(2121x f x f x x f +≥+成立，则)(x f 为理想函数.（1）若函数为理想函数，求)(x f 的值域；（2）判断函数])1,0[(12)(∈-=x x g x是否为理想函数，并予以证明；（3）若函数)(x f 为理想函数，假定存在]1,0[0∈x ，使得]1,0[)(0∈x f ，且00))((x x f f =，求证：00)(x x f =.最有效训练题1.已知函数)32(log )(22--=x x x f ，现使)(x f 为减函数的区间是（） )6,3.(A )0,1.(-B )2,1.(C )1,.(--∞D2.已知函数]3,2[,)(2-∈=x x x f ，如果存在实数]3,2[,21-∈x x ，使得对任意实数]3,2[-∈x ，都有)()()(21x f x f x f ≤≤，则||21x x -的值是（）A.0B.2C.3D.53.函数)(x f )(R x ∈的图象如图所示，则下列哪个区间是函数)10)((log )(<<=a x f x g a 的单调减区间（）]21,0.[A ),21[)0,.(+∞-∞ B ]1,.[a C ]1,.[+a a D4.已知函数⎩⎨⎧≥<-=)2()2()4()(x a x x a x f x在R 上单调递增，则a 的取值范围是（） ]4,1.(A )4,2.(B )4,2.[C ),4.(+∞D5.函数)(x f 是以2为周期的偶函数，且当)1,0(∈x 时，12)(-=xx f ，则)12(log 2f 的值为（）31.A 34.B 2.C 11.D 6.设2)(3-+=x x x f ，若5)(,1)(-==b f a f ，则=+b a ( ) 2.-A 0.B 1.C 2.D7.设函数))(()(R x ae e x x f xx∈+=-是偶函数，则实数=a __________.8.(1)奇函数)(x f 的定义域为]5,5[-，若当]5,0[∈x 时，)(x f 的图象如图所示，则不等式0)(<x f 的解集是__________.(2)已知函数)(x f y =是R 上的偶函数，且在]0,(-∞上是减函数，若()(2)f a f ≥，则实数a 的取值范围是________.9．已知(),()f x g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且2()()23f x g x x x +=++，则()()f x g x -=_________.10.已知函数||sin 1()||1x x f x x -+=+()x R ∈的最大值为M ,最小值为m ，则M m +的值为___________.11.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x 恒有(2)()f x f x +=-.当[0,2]x ∈时,2()2f x x x =-.（1）求证: ()f x 是周期函数；（2）当[2,4]x ∈时，求()f x 的解析式；（3）计算(0)(1)(2)(2015)f f f f ++++.12．已知定义域为R 的函数1()41xf x a =++是奇函数.（1）求a 的值；（2）判断()f x 的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.。

函数奇偶性知识点与经典题型归纳

函数奇偶性知识点与经典题型归纳函数奇偶性是解析函数的性质之一，它在函数的图像对称性、定义域及值的关系等方面具有重要作用。

本文将介绍函数奇偶性的基本概念、性质以及一些经典的奇偶函数题型。

一、函数奇偶性的基本概念1. 奇函数和偶函数的定义在解析函数中，如果对于函数f(x)成立f(-x) = -f(x)，则该函数称为奇函数；如果对于函数f(x)成立f(-x) = f(x)，则该函数称为偶函数。

2. 奇函数和偶函数的图像特点奇函数的图像关于原点对称，即当点(x, y)在函数图像上时，点(-x, -y)也在函数图像上；偶函数的图像关于y轴对称，即当点(x, y)在函数图像上时，点(-x, y)也在函数图像上。

3. 奇偶函数的性质（1）奇函数的定义域可以是关于原点对称的任意区间，而值域为关于y=0对称的区间；（2）偶函数的定义域可以是关于y轴对称的任意区间，而值域为x 轴正半轴；（3）奇函数与偶函数的和，可以是一个任意的解析函数。

二、函数奇偶性的经典题型归纳题型描述：已知函数的解析式，判断该函数是奇函数还是偶函数。

解题思路：通过函数是否满足奇函数或偶函数的定义来进行判断。

如果满足奇函数定义，则判断为奇函数；如果满足偶函数定义，则判断为偶函数；如果都不满足，则为一般函数。

2. 函数与奇偶函数的四则运算题型题型描述：已知两个函数的奇偶性，求它们的和、差、积或商的奇偶性。

解题思路：根据奇函数与奇函数、奇函数与偶函数、偶函数与偶函数的运算法则可得出结论：（1）奇函数与奇函数的和为偶函数，差为奇函数，积为奇函数，商为一般函数；（2）奇函数与偶函数的和、差、积均为一般函数，商为奇函数；（3）偶函数与偶函数的和为偶函数，差、积为偶函数，商为一般函数。

3. 函数奇函数或偶函数的求解题型题型描述：已知函数满足一定的条件，求证函数的奇偶性。

解题思路：根据已知条件对函数的解析式进行转化或变形，判断奇函数或偶函数的定义是否满足，从而得出结论。

2019年高考数学(理)一轮复习精品资料专题06函数的奇偶性与周期性(押题专练)含解析

2019年高考数学（理）一轮复习精品资料1．下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A ．y ＝x 3B ．y ＝|x |＋1C ．y ＝－x 2＋1 D ．y ＝2－|x |答案 B2．设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( ) A ．f (x )g (x )是偶函数 B ．f (x )|g (x )|是奇函数 C ．|f (x )|g (x )是奇函数 D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 B解析 f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，|f (x )g (x )|为偶函数．故选B.3．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54 C.54 D ．3答案 A解析因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.4．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，则满足不等式f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53成立的x 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，43B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，43C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，43D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，43 答案 B解析因为偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递减，所以f (x )在区间(－∞，0]上单调递增，若f (2x －1)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，则－53<2x －1<53，解得－13<x <43.5．已知f (x )为奇函数，当x >0，f (x )＝x (1＋x )，那么x <0，f (x )等于( ) A ．－x (1－x ) B ．x (1－x ) C ．－x (1＋x ) D ．x (1＋x ) 答案 B解析当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x (1－x )． 6．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－2 答案 B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0.故选B.7．设偶函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f x ＋f －xx>0的解集为( )A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1) 答案 A8．已知函数f (x )是定义在R 上的函数，若函数f (x ＋2016)为偶函数，且f (x )对任意x 1，x 2∈[2016，＋∞)(x 1≠x 2)，都有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，则( )A ．f (2019)<f (2014)<f (2017)B ．f (2017)<f (2014)<f (2019)C ．f (2014)<f (2017)<f (2019)D ．f (2019)<f (2017)<f (2014) 答案 A解析因为f (x )对任意x 1，x 2∈[2016，＋∞)(x 1≠x 2)，都有f x 2－f x 1x 2－x 1<0，所以f (x )在[2016，＋∞)上单调递减，所以f (2017)>f (2018)>f (2019)．又因为f (x ＋2016)为偶函数，所以f (－x ＋2016)＝f (x ＋2016)，所以f (－2＋2016)＝f (2＋2016)，即f (2014)＝f (2018)，所以f (2017)>f (2014)>f (2019)．故选A.9．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x，则g (x )＝( ) A ．e x －e －xB.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x )D.12(e x －e －x ) 答案 D解析由f (x )＋g (x )＝e x ，可得f (－x )＋g (－x )＝e －x .又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，可得f (x )－g (x )＝e －x，则两式相减，可得g (x )＝e x－e －x2.选D.10．设函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则下列结论错误的是 ( )．A ．D (x )的值域为{0,1}B ．D (x )是偶函数C ．D (x )不是周期函数D ．D (x )不是单调函数11．设f (x )为定义在R 上的奇函数．当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)等于( )．A ．3B ．1C ．－1D ．－3解析由f (－0)＝－f (0)，即f (0)＝0.则b ＝－1，f (x )＝2x ＋2x －1，f (－1)＝－f (1)＝－3.答案 D12．已知定义在R 上的奇函数，f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，则f (6)的值为 ( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析 (构造法)构造函数f (x )＝sin π2x ，则有f (x ＋2)＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2x ＋＝－sin π2x ＝－f (x )，所以f (x )＝sin π2x 是一个满足条件的函数，所以f (6)＝sin 3π＝0，故选B. 答案 B13．定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (x ＋2)，当x ∈[3,5]时，f (x )＝2－|x －4|，则下列不等式一定成立的是( )．A ．f ⎝⎛⎭⎪⎫cos 2π3>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2π3B ．f (sin 1)<f (cos 1)C ．f ⎝⎛⎭⎪⎫sin π6<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6 D ．f (cos 2)>f (sin 2)14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2－x，x ≥0，2x－1，x <0，则该函数是 ( )．A ．偶函数，且单调递增B ．偶函数，且单调递减C ．奇函数，且单调递增D ．奇函数，且单调递减解析当x >0时，f (－x )＝2－x－1＝－f (x )；当x <0时，f (－x )＝1－2－(－x )＝1－2x＝－f (x )．当x ＝0时，f (0)＝0，故f (x )为奇函数，且f (x )＝1－2－x在[0，＋∞)上为增函数，f (x )＝2x－1在(－∞，0)上为增函数，又x ≥0时1－2－x≥0，x <0时2x－1<0，故f (x )为R 上的增函数．答案 C15．已知f (x )是定义在R 上的周期为2的周期函数，当x ∈[0,1)时，f (x )＝4x－1，则f (－5.5)的值为( ) A ．2 B ．－1 C ．－12D ．1解析f (－5.5)＝f (－5.5＋6)＝f (0.5)＝40.5－1＝1. 答案 D16．若函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则实数a ＝________.解析由题意知，函数f (x )＝x 2－|x ＋a |为偶函数，则f (1)＝f (－1)，∴1－|1＋a |＝1－|－1＋a |，∴a ＝0. 答案 017．已知y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且f (1)＝1.若g (x )＝f (x )＋2，则g (－1)＝________.解析因为y ＝f (x )＋x 2是奇函数，且x ＝1时，y ＝2，所以当x ＝－1时，y ＝－2，即f (－1)＋(－1)2＝－2，得f (－1)＝－3，所以g (－1)＝f (－1)＋2＝－1.答案－118．设奇函数f (x )的定义域为[－5,5]，当x ∈[0,5]时，函数y ＝f (x )的图象如图所示，则使函数值y ＜0的x 的取值集合为________．解析由原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值y ＜0的x 的取值集合为(－2,0)∪(2,5)．答案 (－2,0)∪(2,5)19．设f (x )是偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4的所有x 之和为________．解析∵f (x )是偶函数，f (2x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋4，∴f (|2x |)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，又∵f (x )在(0，＋∞)上为单调函数， ∴|2x |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ＋4，即2x ＝x ＋1x ＋4或2x ＝－x ＋1x ＋4，整理得2x 2＋7x －1＝0或2x 2＋9x ＋1＝0，设方程2x 2＋7x －1＝0的两根为x 1，x 2，方程2x 2＋9x ＋1＝0的两根为x 3，x 4. 则(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－92＝－8.答案－820．已知f (x )是定义在R 上的不恒为零的函数，且对任意x ，y ，f (x )都满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )． (1)求f (1)，f (－1)的值； (2)判断函数f (x )的奇偶性．解 (1)因为对定义域内任意x ，y ，f (x )满足f (xy )＝yf (x )＋xf (y )，所以令x ＝y ＝1，得f (1)＝0，令x ＝y ＝－1，得f (－1)＝0.(2)令y ＝－1，有f (－x )＝－f (x )＋xf (－1)，代入f (－1)＝0得f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数．21．已知函数f (x )对任意x ，y ∈R，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x ＞0时，f (x )＜0，f (1)＝－2. (1)求证f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．22.已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，且f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈[0,1]时，f (x )＝2x－1， (1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[1,2]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013)的值．解析(1)证明函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，函数f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (2＋x )＝f (－x )＝－f (x )，所以f (4＋x )＝f [(2＋x )＋2]＝－f (2＋x )＝f (x )，所以f (x )是以4为周期的周期函数． (2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，又f (x )的图象关于x ＝1对称，则f (x )＝f (2－x )＝22－x－1，x ∈[1,2]．(3) ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)＝－1又f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013) ＝f (2 012)＋f (2 013)＝f (0)＋f (1)＝1.23．已知函数f (x )的定义域为R ，且满足f (x ＋2)＝－f (x )． (1)求证：f (x )是周期函数；(2)若f (x )为奇函数，且当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，求使f (x )＝－12在[0,2 014]上的所有x 的个数．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． (2)解当0≤x ≤1时，f (x )＝12x ，设－1≤x ≤0，则0≤－x ≤1， ∴f (－x )＝12(－x )＝－12x .∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－12x ，即f (x )＝12x .故f (x )＝12x (－1≤x ≤1)．又设1<x <3，则－1<x －2<1， ∴f (x －2)＝12(x －2)．又∵f (x )是以4为周期的周期函数∴f (x －2)＝f (x ＋2)＝－f (x )，∴－f (x )＝12(x －2)，∴f (x )＝－12(x －2)(1<x <3)．∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，－1≤x ≤1，－12x －，1<x <3.由f (x )＝－12，解得x ＝－1.∵f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (x )＝－12的所有x ＝4n －1(n ∈Z )．令0≤4n －1≤2 014，则14≤n ≤2 0154.又∵n ∈Z ，∴1≤n ≤503(n ∈Z )，∴在[0,2 014]上共有503个x 使f (x )＝－12.24．已知奇函数f (x )的定义域为[－2,2]，且在区间[－2,0]上递减，求满足f (1－m )＋f (1－m 2)<0的实数m 的取值范围．25．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)． (1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f (4)＝1，f (x －1)<2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. (2) f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)， ∴f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数． (3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数， ∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数，∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是(－15,1)∪(1,17)．。

(山东专用)高考数学一轮复习专题06函数的奇偶性与周期性(含解析)

（山东专用）高考数学一轮复习专题06函数的奇偶性与周期性（含解析）一、【知识精讲】1．函数的奇偶性(1)2．函数的周期性(1)周期函数：对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．3．函数的对称性常见的结论(1)函数y ＝f (x )关于x ＝a ＋b2对称⇔f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )＝f (b ＋a －x )．特殊：函数y ＝f (x )关于x ＝a 对称⇔f (a ＋x )＝f (a －x )⇔f (x )＝f (2a －x )；函数y ＝f (x )关于x ＝0对称⇔f (x )＝f (－x )(即为偶函数)．(2)函数y ＝f (x )关于点(a ，b )对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝2b .特殊：函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称⇔f (a ＋x )＋f (a －x )＝0⇔f (2a ＋x )＋f (－x )＝0；函数y ＝f (x )关于(0,0)对称⇔f (x )＋f (－x )＝0(即为奇函数)．(3)y ＝f (x ＋a )是偶函数⇔函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称；y ＝f (x ＋a )是奇函数⇔函数y ＝f (x )关于点(a,0)对称．[知识拓展]1．函数奇偶性常用结论(1)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0.(2)如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)y ＝f (x ＋a )是奇函数，则f (－x ＋a )＝－f (x ＋a )；y ＝f (x ＋a )是偶函数，则f (－x ＋a )＝f (x ＋a )．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a ＞0)．(2)若f (x ＋a )＝，则T ＝2a (a ＞0)． (3)若f (x ＋a )＝－，则T ＝2a (a ＞0)．二、【典例精练】考点一判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝lg(1－x 2)|x －2|－2； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0. 【解析】 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称. ∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ，∴f (x )＝lg （1－x 2）－x. 又∵f (－x )＝lg[1－(－x )2]x ＝－lg （1－x 2）－x＝－f (x )， ∴函数f (x )为奇函数.(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称.∵当x <0时，－x >0，则f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x >0时，－x <0，则f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )；综上可知：对于定义域内的任意x ，总有f (－x )＝－f (x )成立，∴函数f (x )为奇函数.【解法小结】判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f (x )与f (－x )是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立.考点二函数的周期性及其应用例2. (1) (2018·全国Ⅱ卷)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f(1－x)＝f(1＋x).若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝( )A.－50B.0C.2D.50(2)已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点个数为________.【答案】(1)C (2)7【解析】(1)法一∵f(x)在R上是奇函数，且f(1－x)＝f(1＋x).∴f(x＋1)＝－f(x－1)，即f(x＋2)＝－f(x).因此f(x＋4)＝f(x)，则函数f(x)是周期为4的函数，由于f(1－x)＝f(1＋x)，f(1)＝2，故令x＝1，得f(0)＝f(2)＝0令x＝2，得f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，令x＝3，得f(4)＝f(－2)＝－f(2)＝0，故f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝2＋0－2＋0＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×0＋f(1)＋f(2)＝2.法二取一个符合题意的函数f(x)＝2sin πx2，则结合该函数的图象易知数列{f(n)}(n∈N*)是以4为周期的周期数列.故f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝12×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＋f(1)＋f(2)＝12×[2＋0＋(－2)＋0]＋2＋0＝2.(2)因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x.又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，则f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，∴f(3)＝f(5)＝f(1)＝0，故函数y＝f(x)的图象在区间[0，6]上与x轴的交点有7个.【解法小结】 1.根据函数的周期性和奇偶性求给定区间上的函数值或解析式时，应根据周期性或奇偶性，由待求区间转化到已知区间.2.若f(x＋a)＝－f(x)(a是常数，且a≠0)，则2a为函数f(x)的一个周期.第(1)题法二是利用周期性构造一个特殊函数，优化了解题过程.考点三函数性质的综合运用角度1 函数单调性与奇偶性【例3－1】(2017·全国卷Ⅰ)函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f (1)＝－1，则满足－1≤f (x －2)≤1的x 的取值范围是( )A ．[－2,2]B ．[－1,1]C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【解析】 (1)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．∵f (1)＝－1，∴f (－1)＝－f (1)＝1.故由－1≤f (x －2)≤1，得f (1)≤f (x －2)≤f (－1)．又f (x )在(－∞，＋∞)上单调递减，∴－1≤x －2≤1，∴1≤x ≤3.【解法小结】 1.函数单调性与奇偶性结合.注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性.2.本题充分利用偶函数的性质f (x )＝f (|x |)，避免了不必要的讨论，简化了解题过程.角度2 函数的奇偶性与周期性【例3－2】（1）(2017·山东高考)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.【答案】6【解析】 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f (x ＋6)＝f (x )，∴f (x )的周期为6，∵919＝153×6＋1，∴f (919)＝f (1)．又f (x )为偶函数，∴f (919)＝f (1)＝f (－1)＝6.(2)(2018·洛阳模拟)已知函数y ＝f (x )满足y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数，且f (1)＝π3，设F (x )＝f (x )＋f (－x )，则F (3)＝( )A.π3B.2π3C.πD.4π3 【答案】B【解析】由y ＝f (－x )和y ＝f (x ＋2)是偶函数知f (－x )＝f (x )，且f (x ＋2)＝f (－x ＋2)，则f (x ＋2)＝f (x －2).∴f (x ＋4)＝f (x )，则y ＝f (x )的周期为4.所以F (3)＝f (3)＋f (－3)＝2f (3)＝2f (－1)＝2f (1)＝2π3. 例3-3（1）(2018·全国卷Ⅱ)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝( )A ．－50B ．0C ．2D ．50(2)定义在R 上的奇函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )，当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，f (x )＝log 12(1－x )，则f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32内是( ) A ．减函数且f (x )>0B ．减函数且f (x )<0C ．增函数且f (x )>0D ．增函数且f (x )<0【答案】 (1)C (2)D【解析】 (1)法一：∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (1－x )＝－f (x －1)．由f (1－x )＝f (1＋x )，得－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴函数f (x )是周期为4的周期函数．由f (x )为奇函数得f (0)＝0.又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0.又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50)＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2. 法二：由题意可设f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ，作出f (x )的部分图象如图所示．由图可知，f (x )的一个周期为4，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝12[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＋f (49)＋f (50)＝12×0＋f (1)＋f (2)＝2. (2)当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12时，由f (x )＝log 12 (1－x )可知，f (x )单调递增且f (x )>0，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )在区间⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0上也单调递增，且f (x )<0.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x )知，函数的周期为32，所以在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32上，函数f (x )单调递增且f (x )<0.【解法小结】周期性与奇偶性结合的问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解.周期性、奇偶性与单调性结合.解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.【思维升华】1.判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件.2.利用函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值；(2)求解析式；(3)求函数解析式中参数的值；(4)画函数图象，确定函数单调性.3.在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用.【易错注意点】1.f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件.2.函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b －x )表明的是函数图象的对称性，函数f (x )满足的关系f (a ＋x )＝f (b ＋x )(a ≠b )表明的是函数的周期性，在使用这两个关系时不要混淆.三、【名校新题】1.(2019·衡水模拟)下列函数既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( )A.y ＝x 3B.y ＝x 14C.y ＝|x |D.y ＝|tan x |【答案】C 【解析】对于A ，y ＝x 3为奇函数，不符合题意；对于B ，y ＝x 14是非奇非偶函数，不符合题意；对于D ，y ＝|tan x |是偶函数，但在区间(0，＋∞)上不单调递增.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( ) A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称【答案】B【解析】因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y 轴对称．3． (2019·河北“五个一”名校联盟二模)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3（x ＋1），x ≥0，g （x ），x <0，则g (－8)＝( ) A.－2B.－3C.2D.3【答案】A 【解析】法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x ).因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2.法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2.4.(2019·山东、湖北部分重点中学模拟)已知定义在R 上的函数f (x )在[1，＋∞)上单调递减，且f (x ＋1)是偶函数，不等式f (m ＋2)≥f (x －1)对任意的x ∈[－1，0]恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.[－3，1]B.[－4，2]C.(－∞，－3]∪[1，＋∞)D.(－∞，－4]∪[2，＋∞) 【答案】A【解析】因为f (x ＋1)是偶函数，所以f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以f (x )的图象关于x ＝1对称，由f (m ＋2)≥f (x －1)得|(m ＋2)－1|≤|(x －1)－1|，即|m ＋1|≤|x －2|在x ∈[－1，0]恒成立，所以|m ＋1|≤|x －2|min ，所以|m ＋1|≤2，解得－3≤m ≤1.5.(2019·石家庄模拟)已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，若f (x －1)>0，则x 的取值范围为( )A.{x |0<x <1或x >2}B.{x |x <0或x >2}C.{x |x <0或x >3}D.{x |x <－1或x >1}【答案】A【解析】由题意知函数f (x )在(－∞，0)上单调递增，且f (－1)＝0，不等式f (x －1)>0⇔f (x －1)>f (1)或f (x －1)>f (－1).∴x －1>1或0>x －1>－1，解之得x >2或0<x <1.6．(2019·益阳、湘潭调研)定义在R 上的函数f (x )，满足f (x ＋5)＝f (x )，当x ∈(－3,0]时，f (x )＝－x。

函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题

函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题本节知识点详解：1．函数的奇偶性2.函数的周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y ＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．重要结论：1.函数奇偶性的四个重要结论(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0.(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(4)奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反。

(5)运算性质①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷奇”是偶；②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷偶”是偶；③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．2．函数周期性的三个常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；(2)若f(x＋a)＝1f(x)，则T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1f(x)，则T＝2a.(a>0)3．函数对称性的三个常用结论(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y ＝f(x)关于点(b,0)中心对称．经典选题一、判断题：判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错误的打“×”．(1)函数y＝x2，x∈(0，＋∞)是偶函数．()(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．()(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．()(5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．答案：(1)×(2)×(3)√(4)√(5)√二、选择题：1．已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b 的值是()A．－13 B.13 C.12D．－12答案：B2．下列函数为奇函数的是()A．y＝2x－12x B．y＝x3sin xC．y＝2cos x＋1 D．y＝x2＋2x答案：A3．下列函数为奇函数的是()A．y＝x B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x－e－x答案：D4．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝－x 3C ．y ＝－ln|x |D ．y ＝2x答案：C5．(高考全国Ⅰ卷)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案：C6.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋1)＝f (x )，当0＜x ＜12时，f (x )＝4x，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54＝( )A ．－ 2B ．－22C ．－1 D.22 答案：A7．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋m ，则f (－2)＝( )A ．－3B ．－54 C.54 D ．3 答案：A8．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－1,2)C ．(－2,1)D ．(－∞，－2)∪(1，＋∞) 答案：C9．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－1f (x )，且在(0,1)上f (x )＝3x ，则f (log 354)＝( )A.32B.23 C ．－32 D ．－23 答案：C10．已知f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝－x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝( )A ．－94B ．－14 C.14 D.94 答案：D11． (理科)(2015·高考新课标卷Ⅱ)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 答案：A12．已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a 的取值范围为( )A ．(－1,4)B ．(－2,0)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 答案：A13．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x ＜2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 答案：B14．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)<f (11) 答案：D三、填空题1． (2017·高考全国Ⅱ卷)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝ ________ . 答案：122．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，若当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg x ，则满足f (x )>0的x 的取值范围是 ________ .答案：(－1,0)∪(1，＋∞)3． (2015·高考全国Ⅰ卷)若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝ ________ .答案：14．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝ ________ .答案：⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <05．已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若f (a )≥f (2)，则实数a 的取值范围是 __________ .答案： {a |a ≥2或a ≤－2}。

2019年高考数学考点06 函数的奇偶性与周期性必刷题理

考点6 函数的奇偶性与周期性1．已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若,，则的大小关系是（）A． B． C． D．【答案】B2．已知是定义在上的奇函数，且，若，则（）A．． 0 C． 3 D． 2018【答案】C【解析】为的奇函数，且又由是周期为4的函数，又，，.3．已知是定义在R上的奇函数，当时(m为常数)，则的值为( )A． 4 B． -4 C． 6 D． -6【答案】B【解析】当时(m为常数)，则，则. .函数是定义在R上的奇函数，.4．设函数，则使得成立的的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D5．已知定义在R 上的奇函数满足，当时，，则（）A．B． 8 C．D．【答案】A【解析】，所以的图像的对称轴为，，因，故，其中，所以，故.选A.6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D27．定义在上的偶函数在上递增,,则满足的的取值范围是( )A．B．C． D．【答案】B【解析】由题意，函数是定义在上的偶函数，且.∵∴∵函数在上递增∴∴或∴或∴的取值范围是故选B.8．已知函数是定义在上的奇函数，若对于任意的实数，都有，且当3时，，则的值为( )A．－1 B．－2 C． 2 D． 1A【答案】（1）对任意，；（2）对任意，.关于函数的性质，有如下说法：①函数的最小值为3；②函数为偶函数；③函数的单调递增区间为.其中正确说法的序号为A．① B．①② C．①②③ D．②③【答案】B410．奇函数f(x)的定义域为R，若f(x＋1)为偶函数，且f(1)＝2，则f(4)＋f(5)的值为A． 2 B． 1 C．－1 D．－2【答案】A【解析】∵为偶函数，是奇函数，∴设，则，即，∵是奇函数，∴，即，，则，，∴，故选A.11．已知函数，则使得成立的的取值范围是（）A． B．C．D．【答案】C【解析】因为,所以函数为偶函数，又知当时，，所以函数在上是增函数，所以原不等式转化为即，所以，解得，故选C.512．已知函数满足和,且当时,则A． 0 B． 2 C． 4 D． 5【答案】C13．定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.14．定义在上的函数满足及，且在上有，则A．B．C．D．【答案】D615．已知定义在上的奇函数满足，当时，则（）A． B．C． D．【答案】C【解析】∵f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f[（x+2）+2]=﹣f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，f（6）=f（2）=f（0）=0，f （）=f （）=﹣f （﹣）=f （）=﹣1，f（﹣7）=f（1）=1，∴. 故选：C．16．已知函数的定义域为的奇函数，当时，，且，，则7A．B．C．D．【答案】B17．若函数，，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时，函数．若，，使成立，则实数的取值范围是（）A． B．C．D．【答案】B8必有g（x）min≤f（x）max ，即+m≤8，解可得m≤，即m 的取值范围为（﹣∞，]；故答案为：B18．函数是上的奇函数，满足，当,，则当时，（）A．B．C．D．【答案】B9119．已知定义在R 上的函数满足以下三个条件：①对于任意的，都有；②对于任意的③函数的图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】定义在R 上的函数y=f （x ）满足以下三个条件：由①对于任意的x ∈R ，都有f （x+4）=f （x ），可知函数f （x ）是周期T=4的周期函数；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f （x 1）＜f （x 2），可得函数f （x ）在[0，2]上单调递增； ③函数y=f （x+2）的图象关于y 轴对称，可得函数f （x ）的图象关于直线x=2对称． ∴f （4.5）=f （0.5），f （7）=f （3）=f （1），f （6.5）=f （2.5）=f （1.5）． ∵f （0.5）＜f （1）＜f （1.5）， ∴f （4.5）＜f （7）＜f （6.5）．故答案为：A 20．已知是定义是上的奇函数，满足，当时，，则函数在区间上的零点个数是（）A ． 3B ． 5C ． 7D ． 9 【答案】D21．已知定义在上的函数满足条件：①对任意的，都有；②对任意的且，都有；③函数的图象关于轴对称，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．【答案】C22．已知是定义在上的奇函数，满足，且当时，，则函数在区间上的所有零点之和为A． B． C． D．【答案】C【解析】由知关于成中心对称.又为奇函数，则周期为2.易知，作出函数在区间图像如图所示.所以在间，所有零点之和为.故答案为：C23．已知函数为偶函数，当时，，且为奇函数，则（）A． B． C． D．【答案】C24．设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是．【答案】25．已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则 ______. 【答案】-2【解析】根据题意，函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，则有f（﹣1）=f（1）且f（﹣1）=﹣f（1），即f（1）=﹣f（1），则f（1）=0，f（﹣）=﹣f（）=﹣f（）=﹣（）=﹣2，则f（﹣）+f（1）=﹣2+0=﹣2；故答案为：﹣2．26．已知函数是定义在实数集上的奇函数，且在区间上是单调递增，若，则的取值范围为___________．【答案】27．定义在R上的偶函数f(x) 满足①当 x≧-1时都有f(x＋2)＝2f(x)，②当x∈[0,1)时，f(x)＝x2；则在区间[－1,3]内，函数g(x)＝f(x)－kx－k零点个数最多时，实数k的取值范围是________．【答案】【解析】当时，，，又，故，所以当时，，当时，，，而，故函数的图像如图所示.的图像恒过，它与的图像最多有5个交点，此时．填．28．若对任意的，都有，且，，则的值为________．29．已知函数是定义在实数集上周期为2的奇函数，当时，，则__________.【答案】130．已知函数是偶函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）设，若函数与的图象有且只有一个公共点，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2） .【解析】（Ⅰ）由函数是偶函数可知：，所以，即对一切恒成立，所以．（Ⅱ）函数与的图象有且只有一个公共点31．已知定义域为的单调函数是奇函数，当时，．（）求的值．（）若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．【答案】（）；（）．【解析】（）．（）∵是奇函数，∴，∵，且在上单调，。

2019年高考数学一轮复习：函数的奇偶性与周期性

2019年高考数学一轮复习：函数的奇偶性与周期性函数的奇偶性与周期性1．奇、偶函数的概念(1)偶函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做偶函数．(2)奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有，那么函数f(x)就叫做奇函数．2．奇、偶函数的图象特征偶函数的图象关于对称；奇函数的图象关于对称．3．具有奇偶性函数的定义域的特点具有奇偶性函数的定义域关于，即“定义域关于”是“一个函数具有奇偶性”的条件．4．周期函数的概念(1)周期、周期函数对于函数f(x)，如果存在一个T，使得当x取定义域内的值时，都有，那么函数f(x)就叫做周期函数．T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个___的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．5．函数奇偶性与单调性之间的关系(1)若函数f(x)为奇函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为；(2)若函数f(x)为偶函数，且在[a，b]上为增(减)函数，则f(x)在[－b，－a]上为．6．奇、偶函数的“运算”(共同定义域上)奇±奇＝，偶±偶＝，奇×奇＝，偶×偶＝，奇×偶＝.7．函数的对称性如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a＋x)＝f(b－x)，那么函数的图象有对称轴x＝a＋b2；如果函数f(x)，x∈D，满足∀x∈D，恒有f(a－x)＝－f(b＋x)，那么函数的图象有对称中心⎝⎛⎭⎫a＋b2，0.8．函数的对称性与周期性的关系(1)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两条对称轴x＝a，x＝b(a<b)，则函数f(x)是周期函数，且周期T ＝2(b－a)(不一定是最小正周期，下同)．(2)如果函数f(x)(x∈D)在定义域内有两个对称中心A(a，0)，B(b，0)(a<b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝2(b－a)．(3)如果函数f(x)，x∈D在定义域内有一条对称轴x＝a和一个对称中心B(b，0)(a≠b)，那么函数f(x)是周期函数，且周期T＝4|b－a|.自查自纠1．(1)f(－x)＝f(x)(2)f(－x)＝－f(x)2．y轴原点3．原点对称原点对称必要不充分4．(1)非零常数每一个f(x＋T)＝f(x)(2)最小5．(1)增(减)函数(2)减(增)函数6．奇偶偶偶奇(2015·福建)下列函数为奇函数的是() A．y＝x B．y＝e xC．y＝cos x D．y＝e x－e－x解：显然A，B，C中的函数均不是奇函数，令f(x)＝e x－e－x，则f(－x)＝e－x－e x＝－f(x)，是奇函数．故选D.(2017·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x3＋x2，则f(2)＝()A．－20 B．20 C．－12 D．12解：f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－8)＋4]＝12.故选D .(2017·天津)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝⎛⎭⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b解：由题意，a ＝f ⎝⎛⎭⎫－log 215＝f (log 25)，且log 25>log 24.1>2>20.8，结合函数的单调性有：f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)，即c <b <a .故选C .(2016·四川)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________.解：f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)；而f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0，又f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－f ⎝⎛⎭⎫12＝－412＝－2，从而f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝－2.故填－2. (2017·山东)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3，0]时，f (x )＝6－x ，则f (919)＝________.解：由f (x ＋4)＝f (x －2)可知，f (x )是周期函数，且T ＝6，所以f (919)＝f (6×153＋1)＝f (1)＝f (－1)＝6.故填6.类型一函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x ；(2)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ＞0，x 2＋2x －1，x ＜0；(3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3；(4)f (x )＝9－x 2＋x 2－9；(5)f (x )＝log a (x ＋x 2＋1)(a >0且a ≠1)．解：(1)定义域要求1－x1＋x ≥0，所以－1＜x ≤1，所以f (x )的定义域不关于原点对称，所以f (x )不具有奇偶性．(2)解法一(定义法)：当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋2x ＋1，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2＋2(－x )－1＝x 2－2x －1＝－f (x )；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1，－x ＞0， f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＋1＝－x 2－2x ＋1＝－f (x )．所以f (x )为奇函数．解法二(图象法)：作出函数f (x )的图象，由图象关于原点对称的特征知函数f (x )为奇函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0 得－2≤x ≤2且x ≠0.所以f (x )的定义域为[－2，0)∪(0，2]，关于原点对称．所以f (x )＝4－x 2（x ＋3）－3＝4－x 2x .所以f (x )＝－f (－x )，所以f (x )是奇函数．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x 2－9≥0 得x ＝±3.所以f (x )的定义域为{－3，3}，关于原点对称．又f (3)＋f (－3)＝0，f (3)－f (－3)＝0. 所以f (x )＝±f (－x )．所以f (x )既是奇函数，又是偶函数． (5)因为函数的定义域为R ，又因为f (－x )＋f (x )＝log a [－x ＋（－x ）2＋1]＋log a (x ＋x 2＋1) ＝log a (x 2＋1－x )＋log a (x 2＋1＋x ) ＝log a [(x 2＋1－x )(x 2＋1＋x )] ＝log a (x 2＋1－x 2)＝log a 1＝0.即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．【点拨】(1)判断函数奇偶性的步骤是：①求函数定义域，看定义域是否关于原点对称，若不对称，则既不是奇函数，也不是偶函数；②验证f (－x )是否等于±f (x )，或验证其等价形式f (x )±f (－x )＝0或f （－x ）f （x ）＝±1(f (x )≠0)是否成立．(2)对于分段函数的奇偶性应分段验证，但比较繁琐，且容易判断错误，通常是用图象法来判断．(3)对于含有x 的对数式或指数式的函数常用“f (－x )±f (x )＝0”来判断．(1)(2015·安徽模拟)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.解：因为f (－x )＝k －2－x 1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k，所以 f (－x )＋f (x )＝（k －2x ）（2x ＋k ）＋（k ·2x －1）（1＋k ·2x ）（1＋k ·2x ）（2x ＋k ）＝（k 2－1）（22x ＋1）（1＋k ·2x ）（2x ＋k ）. 由f (－x )＋f (x )＝0对定义域中的x 均成立可得k 2＝1，所以k ＝±1.故填±1.(2)已知函数f (x )＝ln 1－x 1＋x.判断函数的奇偶性．解：由1－x 1＋x ＞0，得－1＜x ＜1，即f (x )＝ln 1－x 1＋x的定义域为(－1，1)．又f (－x )＝ln 1＋x 1－x ＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x －1＝－ln 1－x 1＋x＝－f (x )，故f (x )为奇函数．(3)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1.判断函数的奇偶性．解：令1＋9x 2－3x ＞0，得x ∈R ，故函数f (x )的定义域为R .f (x )＋f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1＋ln(1＋9x 2＋3x )＋1＝2，故f (x )不是奇函数；f (x )－f (－x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1－ln(1＋9x 2＋3x )－1＝ln(1＋9x 2－3x )2，不恒为0，故f (x )不是偶函数．综上得f (x )不具有奇偶性．(4)已知函数f (x )＝lg （4－x 2）|x －2|＋|x ＋4|.判断函数的奇偶性．解：由⎩⎪⎨⎪⎧4－x 2＞0，|x －2|＋|x ＋4|≠0，得－2＜x ＜2，即函数f (x )的定义域是{x |－2＜x ＜2}．又f (x )＝lg （4－x 2）|x －2|＋|x ＋4|＝lg （4－x 2）2－x ＋x ＋4＝16lg(4－x 2)，所以f (－x )＝16lg[4－(－x )2]＝16lg(4－x 2)＝f (x )，故函数f (x )是偶函数．(5)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ＜0，－x 2＋x ，x ＞0. 判断函数的奇偶性．解：当x ＜0时，f (x )＝x 2＋x ，－x ＞0， f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－f (x )；当x ＞0时，f (x )＝－x 2＋x ，－x ＜0，f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－f (x )．所以f (x )是奇函数．另解：作图．类型二利用函数性质求解析式已知函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13. (1)求证：f (x )是周期函数； (2)若f (1)＝2，求f (99)的值；(3)若当x ∈[0，2]时，f (x )＝x ，试求x ∈[4，8]时函数f (x )的解析式．解：(1)证明：由题意知f (x )≠0，则f (x ＋2)＝13f （x ）.用x ＋2代替x 得f (x ＋4)＝13f （x ＋2）＝f (x )，故f (x )为周期函数，且4为f (x )的周期．(2)若f (1)＝2，则f (99)＝f (24×4＋3)＝f (3)＝13f （1）＝132. (3)当x ∈[4，6]时，x －4∈[0，2]，则f (x －4)＝x －4，又周期为4，所以f (x )＝f (x －4)＝x －4.当x ∈(6，8]时，x －6∈(0，2]，则f (x －6)＝x －6，根据周期为4，则f (x ＋2)＝f (x －6)＝x －6.又f (x )·f (x ＋2)＝13，所以f (x )＝13f （x ＋2）＝13x －6.所以解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，4≤x ≤6，13x －6，6＜x ≤8.【点拨】本题存在规律性：若f (x ＋a )·f (x )＝b (常数)，则2a 为f (x )的周期(a ＞0)；同理，f (x ＋a )＝－f (x )或f (x ＋a )＝1f （x ）或f (x ＋a )＝－1f （x ），均可推得2a为f (x )的周期(a ＞0)．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解：(1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1，0)时，－x ∈(0，1]，f (x )＝－f (－x )＝－－x .故x ∈[－1，0]时，f (x )＝－－x . x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1，0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.类型三奇偶性与单调性的综合问题(2016·湖北七校联考)已知f (x )是奇函数，并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是( ) A.14 B.18 C ．－78 D ．－38解：令y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0，f (x )是奇函数，所以f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)．又因为f (x )是R 上的单调函数，所以2x 2＋1＝x －λ只有一个根，即2x 2－x ＋1＋λ＝0只有一个根，则Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.故选C .【点拨】已知函数奇偶性可以解决以下问题：(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出．(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象：利用奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．设定义在[－2，2]上的偶函数f (x )在区间[0，2]上单调递减，若f (1－m )＜f (m )，则实数m 的取值范围是________．解：因为f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．所以f (1－m )＜f (m )⇔f (|1－m |)＜f (|m |)．又当x ∈[0，2]时，f (x )是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧|1－m |＞|m |，－2≤1－m ≤2，－2≤m ≤2.解得－1≤m ＜12.故填⎣⎡⎭⎫－1，12.类型四函数周期性与奇偶性的应用(2016·呼伦贝尔统考)已知函数f (x )满足f (x＋2)＝f (x －2)，y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，当x ∈(0，2)时，f (x )＝log 2x 2，则下列结论中正确的是( )A ．f (4.5)<f (7)<f (6.5)B ．f (7)<f (4.5)<f (6.5)C ．f (7)<f (6.5)<f (4.5)D ．f (4.5)<f (6.5)<f (7) 解：由题知f (x )是以4为周期的周期函数，其图象的对称轴为x ＝2.因为当x ∈(0，2)时，f (x )＝log 2x 2，所以f (x )在区间(0，2)上是增函数．又f (4.5)＝f (0.5)，f (7)＝f (3)＝f (2＋1)＝f (2－1)＝f (1)，f (6.5)＝f (2.5)＝f (2＋0.5)＝f (2－0.5)＝f (1.5)，且0<0.5<1<1.5<2，所以f (0.5)<f (1)<f (1.5)，即f (4.5)<f (7)<f (6.5)．故选A .【点拨】易知函数f (x )在(0，2)上是增函数，根据图象的对称性及周期性，将待比较的函数值的自变量全部转化到(0，2)上，再比较大小．解这类问题建议数形结合，直观明了．(2016·河南重点中学二联)已知f (x ＋1)是周期为2的奇函数，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－2x (x＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫－32的值为________．解：f (x ＋1)是周期为2的函数，则f (x )也是周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12. 由f (x ＋1)是奇函数，得f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，即f (x )＝－f (2－x )，故f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－f ⎝⎛⎭⎫32＝－f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12. 故填－12.1．判断函数的奇偶性时，首先要确定函数的定义域(函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件，如果函数定义域不关于原点对称，那么它不具有奇偶性)，若定义域关于原点对称，再判断f (－x )与f (x )的关系，从而确定函数的奇偶性．2．奇、偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了方便判断函数的奇偶性，有时需要将函数进行化简，或应用定义的等价形式：f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f （－x ）f （x ）＝±1(f (x )≠0)进行判断．3．判断函数奇偶性的方法通常有 (1)定义法：根据定义判断．(2)图象法：函数的图象能够直观地反映函数的奇偶性，f (x )为奇函数的充要条件是函数f (x )的图象关于原点对称；f (x )为偶函数的充要条件是函数f (x )的图象关于y 轴对称．(3)运用奇、偶函数的运算结论．要注意定义域应为两个函数定义域的交集．4．判断周期函数的一般方法(1)定义法：应用定义法判断或证明函数是否具有周期性的关键是从函数周期的定义出发，充分挖掘隐含条件，合理赋值，巧妙转化．运用“考点梳理”栏目中有关周期的结论可简化运算．(2)公式法：若函数f (x )是周期函数，且周期为T ，则函数f (ax ＋b )(a ≠0)也为周期函数，且周期T ′＝T|a |.5．函数奇偶性和周期性的应用已知奇(偶)函数或周期函数在定义域的某一区间内的解析式，求函数在另一区间或整体定义域内的解析式时，一定要注意区间的转换．如：若x ＞0，则－x ＜0；若1＜x ＜2，则3＜x ＋2＜4等．如果要研究其值域、最值、单调性等问题，通常先在原点一侧的区间(对奇(偶)函数而言)或某一周期内(对周期函数而言)考虑，然后推广到整个定义域上．6．解题中要注意以下性质的灵活运用 (1)f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)；(2)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0； (3)若f (x )既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在x 轴上．1．下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x ＋12x D ．y ＝x ＋e x解：根据奇偶函数的定义可知，选项A ，C 中的函数是偶函数，选项B 中的函数是奇函数．故选D .2．(2017·北京)已知函数f (x )＝3x －⎝⎛⎭⎫13x ，则f (x )( )A ．是偶函数，且在R 上是增函数B ．是奇函数，且在R 上是增函数C ．是偶函数，且在R 上是减函数D ．是奇函数，且在R 上是减函数解：f (－x )＝3－x －⎝⎛⎭⎫13－x ＝⎝⎛⎭⎫13x －3x ＝－f (x )，所以函数是奇函数，并且3x 是增函数，⎝⎛⎭⎫13x 是减函数，根据增函数－减函数＝增函数，函数是增函数．故选B .3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ＞0，cos x ， x ≤0，则下列结论正确的是( )A ．f (x )是偶函数B ．f (x )是增函数C ．f (x )是周期函数D ．f (x )的值域为[－1，＋∞)解：由f (x )的图象易判断f (x )不是偶函数，不是单调函数，也不是周期函数，其值域为[－1，＋∞)．故选D .4．(2016·石家庄模拟)已知f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，若f (1)＜1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围为( )A ．(－1，4)B ．(－2，1)C ．(－1，2)D ．(－1，0) 解：因为函数f (x )是定义在R 上以3为周期的偶函数，所以f (5)＝f (－1)＝f (1)，即2a －3a ＋1＜1，化简得(a－4)(a ＋1)＜0，解得－1＜a ＜4.故选A .5．(2016·安庆二模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ∈(－∞，0]时，f (x )为减函数．若a ＝f (20.3)，b ＝f (log 124)，c ＝f (log 25)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b 解：由已知得，f (x )在[0，＋∞)上为增函数，b ＝f (－2)＝f (2)，而1<20.3<2<log 25，故c >b >a .故选B .6．已知g (x )是R 上的奇函数，当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g （x ），x ＞0，若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(1，2)D ．(－2，1)解：设x >0，则－x <0，所以g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，ln （1＋x ），x ＞0. 易知函数f (x )是R 上的单调递增函数，所以由f (2－x 2)>f (x )，得2－x 2>x ，解得－2<x <1.故选D .7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.解：由于f (－x )＝f (x )，所以ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x＋1)＋ax ，化简得2ax ＋3x ＝0(x ∈R )，则2a ＋3＝0，所以a ＝－32.故填－32.8．(2017·海口市第三次月考)设函数f (x )＝x1＋|x |，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围是________．解：f (－x )＝－f (x )，故f (x )是奇函数，且x >0时，f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x ，故f (x )单调递增，又f (0)＝0，从而f (x )是R 上的增函数，故f (x )>f (2x －1)⇔x >2x －1，得x <1.故填(－∞，1)．9．函数f (x )＝ax ＋b1＋x 2是定义在(－1，1)上的奇函数，且f ⎝⎛⎭⎫12＝25.(1)确定函数f (x )的解析式；(2)用定义证明f (x )在(－1，1)上是增函数； (3)解不等式f (t －1)＋f (t )＜0.解：(1)因为在x ∈(－1，1)上f (x )为奇函数，所以f (0)＝0，即b ＝0.所以f (x )＝ax1＋x 2.又因为f ⎝⎛⎭⎫12＝25，所以a 21＋14＝25.解得a ＝1. 所以f (x )＝x1＋x 2，经检验适合题意．(2)证明：设－1＜x 1＜x 2＜1，则f (x 1)－f (x 2)＝x 11＋x 21－x 21＋x 22＝（x 1x 2－1）（x 2－x 1）（1＋x 21）（1＋x 22），x 1x 2＜1，则x 1x 2－1＜0，x 2－x 1＞0，故f (x 1)－f (x 2)＜0.所以f (x )在(－1，1)上是增函数．(3)由f (t －1)＋f (t )＜0，得f (t －1)＜－f (t )，即f (t －1)＜f (－t )．所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＜t －1＜1，－1＜－t ＜1，t －1＜－t ，得0＜t ＜12.故t 的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，12. 10．设f (x )是定义域为R 的周期函数，最小正周期为2，且f (1＋x )＝f (1－x )，当－1≤x ≤0时，f (x )＝－x .(1)判定f (x )的奇偶性；(2)试求出函数f (x )在区间[－1，2]上的表达式．解：(1)因为f (1＋x )＝f (1－x )，所以f (－x )＝f (2＋x )．又f (x ＋2)＝f (x )，所以f (－x )＝f (x )．又f (x )的定义域为R ，所以f (x )是偶函数．(2)当x ∈[0，1]时，－x ∈[－1，0]，则f (x )＝f (－x )＝x ；进而当1≤x ≤2时，－1≤x －2≤0，f (x )＝f (x －2)＝－(x －2)＝－x ＋2.故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ∈[－1，0]，x ，x ∈（0，1），－x ＋2，x ∈[1，2].(2017·江苏)已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1ex ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________．解：因为f (－x )＝－x 3＋2x ＋1e x －e x ＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数，因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0，所以数f (x )在R 上单调递增，又f (a －1)＋f (2a 2)≤0，即f (2a 2)≤f (1－a )，所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0，解得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤－1，12.故填⎣⎡⎦⎤－1，12.1．(2017·肇庆三模)在函数y ＝x cos x ，y ＝e x ＋x 2，y ＝lg x 2－2，y ＝x sin x 中，偶函数的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0 解：y ＝x cos x 为奇函数，y ＝e x ＋x 2为非奇非偶函数，y ＝lg x 2－2与y ＝x sin x 为偶函数．故选B .2．下列函数不是周期函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝|sin x | C ．y ＝sin|x | D ．y ＝sin(x ＋1) 解：y ＝sin x 与y ＝sin(x ＋1)的周期T ＝2π，y ＝|sin x |的周期T ＝π，C 项y ＝sin|x |是偶函数，其图由y ＝sin x 去掉y 轴左侧图象，再将y 轴右侧图象对折到左侧得到，故不是周期函数．故选C .3．(2016·成都检测)设f (x )是定义在R 上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间(－2，1]上的图象，则f (2 016)＋f (2 017)＝()A ．3B ．2C ．1D ．0 解：f (2 016)＝f (3×672)＝f (0)＝0，f (2 017)＝f (3×672＋1)＝f (1)＝1，所以f (2 016)＋f (2 017)＝1.故选C .4．若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则实数a ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 解：因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )，即x ln(x ＋a ＋x 2)＝－x ln(－x ＋a ＋x 2)，所以x ＋a ＋x 2＝1－x ＋a ＋x 2，得a ＝1.故选C .5．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，若对于x ≥0，都有f (x ＋2)＝－1f （x ），且当x ∈[0，2)时，f (x )＝log 2(x ＋1)，则f (－2 017)＋f (2 019)的值为( )A ．0B ．－4C ．－2D ．2解：当x ≥0时，f (x ＋2)＝－1f （x ），所以f (x ＋4)＝f (x )，即4是f (x )(x ≥0)的一个周期．所以f (－2 017)＝f (2 017)＝f (1)＝log 22＝1，f (2 019)＝f (3)＝－1f （1）＝－1，所以f (－2 017)＋f (2 019)＝0.故选A .6．(2016·广西五市二联)设定义在R 上的偶函数f (x )满足对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (2－x )，且当x ∈(0，1]时，f (x )＝x e x .若a ＝f ⎝⎛⎭⎫20153，b ＝f ⎝⎛⎭⎫20165，c ＝f ⎝⎛⎭⎫20177，则( )A ．b <c <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．b <a <c解：因为函数f (x )是偶函数，所以f (x )＝f (－x )＝f (2＋x )，即f (x )是以2为周期的周期函数．因为对任意x ∈R ，都有f (x )＝f (2－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．当x ∈(0，1]时，f ′(x )＝1－xe x ≥0，即函数f (x )在(0，1]上单调递增．又a ＝f ⎝⎛⎭⎫20153＝f ⎝⎛⎭⎫671＋23＝f ⎝⎛⎭⎫53＝f ⎝⎛⎭⎫13，b ＝f ⎝⎛⎭⎫20165＝f ⎝⎛⎭⎫403＋15＝f ⎝⎛⎭⎫65＝f ⎝⎛⎭⎫45，c ＝f ⎝⎛⎭⎫20177＝f ⎝⎛⎭⎫288＋17＝f ⎝⎛⎭⎫17，且17＜13＜45，所以c ＜a ＜b .故选C . 7．函数f (x )＝ax 2＋b sin x 是定义在[a ，a ＋2]上的偶函数，则a ＋b ＝________.解：－a ＝a ＋2⇒a ＝－1.f (x )＝－x 2＋b sin x ，由f (x )＝f (－x )⇒2b sin x ＝0对任意x ∈[－1，1]恒成立，则b ＝0.故a ＋b ＝－1.故填－1.8．(2017·合肥质检)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x （1－x ），0≤x ≤1，sin πx ，1＜x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 解：由于函数f (x )是周期为4的奇函数，所以f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫－34＋f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫34－f ⎝⎛⎭⎫76＝－316＋sin π6＝516.故填516. 9．函数y ＝f (x )(x ≠0)是奇函数，且当x ∈(0，＋∞)时是增函数，若f (1)＝0，求不等式f ⎝⎛⎭⎫x ⎝⎛⎭⎫x －12<0的解集．解：因为y ＝f (x )是奇函数，所以f (－1)＝－f (1)＝0.又因为y ＝f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以y ＝f (x )在(－∞，0)上是增函数，所以①0＜x ⎝⎛⎭⎫x －12＜1或②x ⎝⎛⎭⎫x －12＜－1，解①得1－174＜x ＜0或12＜x ＜1＋174.解②得∅.所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1－174＜x ＜0或12＜x ＜1＋174. 10．函数f (x )的定义域为D ＝{x |x ≠0}，且满足对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)．(1)求f (1)的值；(2)判断f (x )的奇偶性并证明你的结论； (3)如果f (4)＝1，f (x －1)＜2，且f (x )在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．解：(1)因为对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，所以令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，所以f (1)＝0. (2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，所以f (－1)＝12f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x ，有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，所以f (－x )＝f (x )，所以f (x )为偶函数． (3)依题意有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，所以f (x －1)＜2⇔f (|x －1|)＜f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．所以0＜|x －1|＜16，解得－15＜x ＜17且x ≠1. 所以x 的取值范围是{x |－15＜x ＜17且x ≠1}．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)解：f (x －8)＝－f (x －4)＝f (x )，所以T ＝8，又f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0.因为f (x )在[0，2]上是增函数，且f (x )≥0，所以f (x )在[－2，0]上也是增函数，且f (x )≤0，又x ∈[2，4]时，f (x )＝－f (x －4)≥0，且f (x )为减函数．同理f (x )在[4，6]上为减函数且f (x )≤0，从而可得y ＝f (x )的大致图象如图所示．因为f (－25)＝f (－1)＜0，f (11)＝f (3)＞0，f (80)＝f (0)＝0.所以f (－25)＜f (80)＜f (11)，故选D .2019年高考数学一轮复习第9 页共9 页。

函数的奇偶性与周期性知识点与题型归纳.docx

●高考明方向1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2.会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3.了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性 .★备考知考情1.对函数奇偶性的考查，主要涉及函数奇偶性的判断，利用奇偶函数图象的特点解决相关问题，利用函数奇偶性求函数值，根据函数奇偶性求参数值等．2.常与函数的求值及其图象、单调性、对称性、零点等知识交汇命题．3.多以选择题、填空题的形式出现 .一、知识梳理《名师一号》 P18注意：研究函数奇偶性必须先求函数的定义域知识点一函数的奇偶性的概念与图象特征1.一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有 f(－x)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫做偶函数．2.一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f(－x)＝－f(x)，那么函数 f(x)就叫做奇函数．13.奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称 .知识点二奇函数、偶函数的性质1.奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．2.若 f(x)是奇函数，且在 x＝0处有定义，则 f (0) 0.3.若 f(x)为偶函数，则f ( x) f ( x) f (| x |) .《名师一号》 P19 问题探究问题1奇函数与偶函数的定义域有什么特点？(1)判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．(2)判断函数 f(x)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均有 f(－x)＝－ f(x)、f(－ x)＝f(x)，而不能说存在x0使 f(－ x0)＝－ f(x0)、 f(－x0)＝ f(x0)．(补充 )1、若奇函数f ( x)的定义域包含0，则f (0)0 ．f (0) 0 是 f (x) 为奇函数的既不充分也不必要条件2．判断函数的奇偶性的方法（1）定义法：1)首先要研究函数的定义域，22) 其次要考虑f x与 f x的关系，也可以用定义的等价形式：f ( x ) f (x )0 （对数型函数用），f (x )1（指数型函数用）．f ( x)3)分段函数应分段讨论（2）图象法：利用奇偶函数图象的对称性来判断．（3）复合函数奇偶性的判断若复合函数由若干个函数复合而成，则复合函数可依若干个函数的奇偶性而定，概括为“同奇为奇，一偶则偶”．注意：证明函数的奇偶性的方法只有定义法知识点三函数的周期性1.周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋ T)＝ f(x)，那么就称函数 y＝ f(x)为周期函数，称非零常数 T 为这个函数的周期．2．最小正周期：如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．并不是任何周期函数都有最小正周期，如常量函数 f ( x) a( x R) ；33. 几个重要的推论（ 1）《名师一号》 P19 问题探究问题 3若函数 f ( x) 恒满足 f ( xa)f (x) (a 0) ，则 f (x) 是周期函数， 2a 是它的一个周期；若函数 f ( x) 恒满足 f (xa)1 (a 0) ，f (x)则 f (x) 是周期函数， 2a 是它的一个周期；若函数 f ( x) 恒满足 f (xa)1 (a 0) ，f (x)则 f (x) 是周期函数，2a 是它的一个周期；( 补充 ) 若函数 f ( x) 恒满足 f ( x a) f ( x b) ，则 f (x) 是周期函数， a b 是它的一个周期；（ 2） ( 补充 ) 注意区分：若 f (ax) f (ax) （或 f ( x) f (2ax) ）则函数 f ( x) 关于 x a 对称。

2019年高考数学(理)热点题型和提分秘籍专题06函数的奇偶性与周期性(教学案)含解析

1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义 2．会运用函数图象理解和研究函数的奇偶性3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性热点题型一函数奇偶性的判定例1、【2017课标1，理5】函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是A ．[2,2]-B ．[1,1]-C ．[0,4]D ．[1,3]【答案】D【提分秘籍】判断函数奇偶性的三种方法(1)定义法：若函数的定义域不是关于原点的对称区域，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点的对称区域，再判断f (－x )是否等于±f (x )或判断f (x )±f (－x )是否等于零，或判断f x f －x(f (x )≠0)是否等于±1等。

(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(或y 轴)对称。

(3)性质法：偶函数的和、差、积、商(分母不为零)仍为偶函数；奇函数的和、差仍为奇函数；奇(偶)数个奇函数的积、商(分母不为零)为奇(偶)函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数。

(注：利用上述结论时要注意各函数的定义域)【举一反三】若函数f (x )(x ∈R)是奇函数，函数g (x )(x ∈R)是偶函数，则( ) A ．函数f (g (x ))是奇函数 B ．函数g (f (x ))是奇函数 C ．函数f (x )g (x )是奇函数 D ．函数f (x )＋g (x )是奇函数【解析】根据函数奇偶性的定义可知，f (g (－x ))＝f (g (x ))，所以f (g (x ))是偶函数，同理可以判断g (f (x ))是偶函数，函数f (x )＋g (x )的奇偶性不确定，而f (－x )g (－x )＝[－f (x )]g (x )＝－f (x )g (x )，所以f (x )g (x )是奇函数。