线性代数§1.7

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线性代数课本答案

2 a11 x1
1.2 矩阵的基本运算
+ + ··· +
a21 x1 x2
2 a22 x1
+ + ··· +
··· ··· ··· ···
+ + ··· +
an1 x1 xn an2 x2 xn ···
2 ann xn
a12 x1 x2 ··· a1n x1 xn
··· a2n x2 xn
α1 + α2 0.
= 4 β1 + 4 β1 = 4|A| + 4|B| = 20 ，|A − B| =
β2 + β2 β2 β2 β2 0 B4. 能拆成4个二阶行列式的和． a+1 b+2 a b+2 1 b+2 a b a 2 1 b 1 2 = + = + + + = ad − bc + 4a − 2c + d − 3b − 2. c+3 d +4 c d +4 3 d +4 c d c 4 3 d 3 4 B6. 总按第一行展开． 1 + a1 1 1 ··· 1 0 1 + a1 1 1 ··· 1 1
1 B7. 证法一：Dn = ··· 1 1 1 + a2 ··· 1 1 1 ··· 1 1 ··· ··· ··· ··· 1 ··· 1 + an−1 1 1 ··· + 1 1 1 ··· 1 1 1 + a2 ··· 1 1 1 ··· 1 1 ··· ··· ··· ··· 1 ··· 1 + an−1 1 0 ··· 0 an

上海财经大学《线性代数》分章节习题及答案

第一章行列式1.1计算以下排列的逆序数，判别其奇偶性。

（1） 365247；（2） 5216743；（3） 7654321；（4） 12)1(⋅−⋅L n n ；（5） 24)22()2()12(531⋅−⋅⋅−⋅⋅L L n n n 。

1.2选择与，使下列排列（1）成为奇排列；使（2）成为偶排列。

i k （1） 75132⋅⋅⋅⋅⋅⋅k i ；（2） 76532⋅⋅⋅⋅⋅⋅k i 。

1.3 写出把排列 1356742 变换成排列 4132567 的对换。

1.4 分别写出4级行列式和5级行列式中所有带有负号且包含因子的项。

2312a a 1.5 按定义计算下列行列式的值。

（1）121051103−−，（2） 430021001011002−，（3） 000100002000010L L L L L L L L L n n −。

1.6 按定义写出行列式xx x x x 111123111212−中与的系数。

4x 3x 1.7 按定义说明级行列式n λλλ−−−nn n nan n a a a a a a a a a L L L L L L L 22222111211是一个关于λ 的次多项式。

n1.8 计算下列行列式的值。

（1）3621−；（2） |2|−；（3）bia i bbi a −+；上海财经大学《线性代数》分章节习题及答案（4）λλ−−−1132；（5）θθθθsin cos cos sin −；（6） θθθθsin 0cos 010cos 0sin −；（7）691051203−；（8） 142151322−−−−；（9） 5142022000120003−−−；（10）2000130021403121；（11） 5142122000120023−−；（12）3242402052121303−−−；（13）101200211052014−−−−；（14） dc b a 000000000000。

线性代数第七章课件

2)对于R3中任一向量α=(a1, a2, a3)T,有
a1e1 a2e2 a3e3 .
由定义2.1知e1, e2, e3为R3的一个基,从而dim(R3)=3.
看过例2.1之后，读者关心的一定是解题背后的思路. 到底应该选几个向量、选什么样的向量来证明它们构成一个基呢？解决这一问题的关键是分析线性空间元素构成时的“自由度”.像例1的R3 ，它的向量都具有3个分量。每个分量的位置体现了一个自由度.3个自由度就预示着维数为3.寻找一个特征基的过程可以如下进行：让体现自由度的各个不同位置的数字轮流地每次有一处取 1，其余处取0. 这样，有多少个自由度就得到多少个互不相同的向量（对例2.1而言，按照这种方法得到的三个向量正是e1, e2, e3 ）. 剩下的工作就是确切证明这组向量满足定义2.1中的1）、 2）两条，从而确认它们构成一个基.
正是由于一般线性空间与普通数组向量加法与数乘运算性质的一致性，使我们可以把数组向量的那些基于线性运算的概念以及与之相关的性质、命题，包括它们的证明方法，都平移到线性空间中来。例如，对向量组线性相关的定义，可以叙述如下：设V是数域F上的线性空间,α1,α2, · · · ,αs 是V中向量，如果存在数域F中不全为零的一组数k1, k2,· · · , ks，使
情况的线性空间称为有限维线性空间,符合第二种情况的则称为无限维线性空间.本书中主要讨论有限维线性空间. 定义2.1 设V是数域F上的线性空间，如果V中存在n 个向量ε1，ε2，· · · ，ε n满足: 1) ε1， ε2 ，· · · ε n线性无关; 2) V中任何向量α均可由ε1，ε2，· · · ，εn线性表示,则称 ε1，ε2，· · · ，εn为V的一个基(或基底). 基的向量个数n称为线性空间V的维数,记为dim(V). 零空间是不存在基的线性空间,其维数为零. 维数为n的线性空间称为n维线性空间.

线性代数PPT全集

a31 a32 b3
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
a11 a12 b1 D3 a21 a22 b2 .
a31 a32 b3
则三元线性方程组的解为:
b1 a12 a13 D1 b2 a22 a23 ,
b3 a32 a33
a11 b1 a13 D2 a21 b2 a23 ,
Pn = n (n–1) (n–2) ··· 2 1 = n!
二、排列的逆序数
我们规定各元素之间有一个标准次序. 以 n 个不同的自然数为例, 规定由小到大为标准次序.
定义: 在一个排列 i1 i2 ···is ···it ···in 中, 若数 is>it, 则称这两个数组成一个逆序.
它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加强这些方面的训练。
第一章行列式第二章矩阵及其运算第三章矩阵的初等变换
及线性方程组
第四章向量组的线性相关性
第五章相似矩阵及二次型
基础基本内容

a13 x3 a23 x3

b1 , b2 ,
a31x1 a32 x2 a33 x3 b3;
的系数行列式
a11 a12 a13 D a21 a22 a23 0,
a31 a32 a33
aa2111xx11

a12 x2 a22 x2

a13 x3 a23 x3
(2)a12:
a12a21x1 + a12a22x2 = b2a12,
两式相减消去x2, 得 (a11a22 – a12a21) x1 = b1a22 – b2a12;

线性代数ppt

A 其中A是A的伴随阵.
推论设A、B 都是n阶方阵，若AB E(或
BA E) , 则B A1.
3. 可逆矩阵的性质
1 若A可逆,则A1也可逆,且 A1 1 A.
2 若A可逆,数 0,则A可逆,且 A1 1 A1.
3 若A, B为同阶可逆矩阵,则AB也可逆,且 1
1 1
4 若A可逆,则AT也可逆 ,且 A A .
线性代数总复习
第一章行列式
第一节 n阶行列式的定义
二阶行列式的计算方法
a11 a21
a12 a22
a11a22
a12a21.
三阶行列式的计算方法——沙路法
一些常用的行列式结果：
a11 a12 a1n
1.
0 a22 a2n
a11a22
ann
0 0 ann
1
2.
2
12 n
1
n
3.
（其中为数）;
3 AB C AB AC, B C A BA CA;
方阵的幂运算：（1） Ak Al Akl （2） ( Ak )l Akl
注意：ABk AkBk .
转置运算：
1 AT T A;
2 A BT AT BT ; 3 AT AT ; 4 ABT BT AT .
M
M
M
an1
an2
ann
则D等于下列两个行列式之和：
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
MMM
bi 2 bin ci1
M
M
M
ci 2 cin
M
M
an1 an2 ann
an1 an2 ann
性质1.6 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变． (倍加运算)

线性代数第七讲

义定' 设 r i i i ααα,...,,21是向量组 m ααα,...,,21的一个部分组。

若（1）r i i i ααα,...,,21线性无关；（2）每个j α（ j =1, 2, …, m ）均可由 r i i i ααα,...,,21 线性表出，则 r i i i ααα,...,,21是向量组 m ααα,...,,21的一个极大无关组。

义定'' 设 r i i i ααα,...,,21是向量组 m ααα,...,,21的一个部分组。

若（1）r i i i ααα,...,,21线性无关；（2）对任意 j α（j =1, 2, …, m ）均可由 ,,21i i ααr i α...,线性相关，则 r i i i ααα,...,,21是向量组 m ααα,...,,21的一个极大无关组。

例已知向量组m s s ααααα,...,,,...,,121+。

假设每个j α（j = s +1, s +2, …, m ）均可由 s ααα,...,,21线性表出，则秩{s ααα,...,,21}=秩{m s s ααααα,...,,,...,,121+}证明设秩{}s ααα,,, 21 =r ，任取 s ααα,...,,21的一个极大无关组 r i i i ααα,,,21 ，则 s ααα,...,,21可由 r i i i ααα,,,21 线性表出。

已知 m s s ααα,...,,21++可由s ααα,...,,21线性表出，故由传递性得 m s s ααα,...,,21++亦可由 r i i i ααα,,,21 线性表出。

于是，每个 j α ( j =1, 2, …, m ) 均可由 r i i i ααα,...,,21线性表出。

又r i i i ααα,,,21 线性无关，所以r i i i ααα,,,21 也是 m s s ααααα,...,,,...,,121+的一个极大无关组。

线性代数全套课件

a 21 D ai 1 a i1 a n1 a 22 a2n ai 2 a a in a i2 in an 2 a nn
则行列式D等于下列两个行列式之和：
a11 a 21 D ai 1 a n1 a12 a 22 ai 2 an 2 a1n a11 a 2 n a 21 a in a i1 a nn a n1 a12 a1n a 22 a 2 n a a i2 in a n 2 a nn
i j r[ j i ( k )] a j 2 a jn (a j 1 ka i 1 ) (a j 2 ka i 2 ) (a jn ka in ) an 2 a nn a n1 an 2 a nn
例计算四阶行列式
1 1
M 11 a11 A11
an 3 ann
对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置，即可得到结论。
定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D ai 1 Ai 1 ai 2 Ai 2 ain Ain ( i 1,2, , n) 或 D a1 j A1 j a2 j A2 j anj Anj
a11 a12 a13 a 23 0 0 a 21 a 22 D a 31 a 32 a41 0
n n 1 2
a1na2,n1 an1, 2an1
a14 0 a14a 23a 32a41 0 0
§3 对换
定义5 排列中，将某两个数对调，其余的数不动，这种对排列的变换叫对换，将相邻两数对换，叫做相邻对换（邻换）。定理1 一个排列中的任意两数对换，排列改变奇偶性。

线性代数同济大学第七版

【例 1.6】若
1 4 3 D 0 3 5 7 6 2
则
1 0 7 D T 4 3 6 2 5 2
19
第二节
行列式的性质
性质1
T 转置行列式的值等于原行列式的值，即 D D 。
在例1.6中的二个行列式 DT , D 的值相等，即
1 4 D 0 7 3 6 1 0 7 5 DT 4 3 6 2 5 2 2 3
n 阶行列式的定义按第一行展开等于按第一列展开根据这一性质，即：
D a11 A11 a12 A12 a1n A1n a11 A11 a21 A21 an1 An1
这一性质也说明行列式的对于每行具有的性质对每列也成立。
20
第二节
行列式的性质
性质2
交换行列式的任意两行（列）元素，行列式的值变号。交换以下行列式D的第一行和第三行，有
第二节
行列式的性质
则 D 等于下列两列行列式之和：
a11 D a21 a12 a1i a1n a11 a21 an1 i a1n a12 a1 i a2 n a22 a2 ann an 2 ani
a22 a2i a2 n
4 2 1 4 2 3k 5k k 2 3 5 6 2 7 6 2
这相当于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。这一性质可以由行列式的定义和性质2得到。
23
第二节
行列式的性质
性质4
行列式中两行（列）对应元素都成比例，行列式值为零。
设第 j 行为第 i 行的k 倍，由性质3，将 j 行提出公因子k ，即得第i 行
， 2，，n 的余子式，它是 D 中划 M 1j 表示元素a1j jn 1 其中，

【VIP专享】线性代数克拉默法则专题

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克拉默法则如果线性方程组的系数行列式D不等于零则方程组有唯一解xjDj/D(j1 2 n).
2x1 x2 5x3 x4 8
例1
解线性方程组
x1 x1
3x2 x2
4x2
x3 7x3
6x4 2x4 6x4
9 5
.
0
解因为
D27 D181
提示
2 1 5 1
D
8 27
18
1 3 16 64
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例2 设曲线ya0a1xa2x2a3x3通过四点(1 3)、(2 4)、 (3 3)、(4 3) 求系数a0 a1 a2 a3 .
解把四个点的坐标代入曲线方程得线性方程组
因为
a0 a1 a2 a3 3
aaa000
2a1 3a1 4a1
4a2 9a2 16a2
§1.7 克拉默法则
本节讨论n个未知数n个方程的线性方程组
的求解问题.
a11x1 a12x2 a1nxn b1
aan211xx11aan222xx22
a2n xn annxn
b2 bn
(＊)
a11 a12 a1n
行列式 D a21 a22 a2n 称为方程组(＊)的系数行列式.
解把四个点的坐标代入曲线方程得线性方程组
因为
a0 a1 a2 a3 3
aaa000
2a1 3a1 4a1
4a2 9a2 16a2
8a3 27a3 64a3
4 3
3
D12 D136 D218
提示
11 1 1
D

第一章线性代数

2. 初等矩阵的性质定理1.1. 定理1.1. 对m×n矩阵A施行一次初等行变换矩阵A施行一次初等行相当于在A 相当于在A的左边乘以相应的初等矩阵; 施行一次初等列矩阵; 对A施行一次初等列变换相当于在A 当于在A的右边乘以相应的初等矩阵.
第一章矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵一. 逆矩阵的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得定义: 为方阵, 若存在方阵B AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 2. 逆矩阵是唯一的， A−1. 逆矩阵是唯一的，记为A 记为 3. 性质:设A, B为同阶可逆方阵, 数k ≠ 0. 则性质: 为同阶可逆方阵, (1) (A−1)−1 = A. (2) (AT)−1 = (A−1)T. (A (3) (kA)−1 = k−1A−1. (4) (AB)−1 = B−1A−1.
则λA =
λA11 λA12 … λA1r λA21 λA22 … λA2r
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章矩阵
§1.3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)

线性代数克莱姆法则

a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n bn
(1)
齐次线性方程组的相关定理 a11 x1 a12 x 2 a1 n x n 0 a x a x a x 0 21 1 22 2 2n n a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n 0
例2 问取何值时，齐次方程组
2y 2z 0 (5 λ)x 2x (6 λ)y 0 2x (4 λ)z 0
有非零解？
5 2 6 0 2 0 4
解
D
2 2
5 2 8
5 6 4 44 46
1 3
1 3 0 1
1 5
27,
D1 81 x1 3, D 27 D3 27 x3 1, D 27
D2 108 x2 4, D 27 D4 27 x4 1. D 27
线性方程组
定理1.7 如果线性方程组1 的系数行列式D 0, 则1 一定有解,且解是唯一的 . 定理(逆否) 若线性方程组 1无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零.
3 2
齐次方程组有非零解，则 D 0 所以 0 , 2 或
3 时齐次方程组有非零解.
y a 0 a 1 x a 2 x 2 a 3 x 3 通过四点(1, 3)、补例设曲线 (2, 4)、(3, 3)、(4, -3), 求该曲线。
解：把四个点的坐标代入曲线方程，得方程组

赵林《线性代数》

安徽建筑工业学院继续教育学院自学周历及作业安排课程名称：线性代数注：作业面授时交批作业:1、计算下列各行列式:(1)265232112131412-; (2)dc b a 10110011001---.2、证明(1)y x z x z y z y x b a bz ay by ax bx az by ax bx az bz ay bx az bz ay by ax )(33+=+++++++++ (2)0)3()2()1()3()2()1()3()2()1()3()2()1(2222222222222222=++++++++++++d d d d c c c c b b b b a a a a 3. 计算下列各行列式(D k 为k 阶行列式):(1)x a aa x aa a xD n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ; (2)nnnnn d c d c b a b a D ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=111124. 用克莱姆法则解下列方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=+++-=----=+-+=+++01123253224254321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x ;5. λ取何值时,齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=+-+=+--0)1(0)3(2042)1(321321321x x x x x x x x x λλλ有非零解？6.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=111111111A , ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=150421321B ,求3AB -2A 及A T B .7. 计算下列乘积:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-127075321134;(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛123)321(;(3))21(312-⎪⎪⎭⎫⎝⎛ 8. 设A , B 为n 阶矩阵,且A 为对称矩阵,证明B T AB 也是对称矩阵. 9．求下列矩阵的逆矩阵:(1)⎪⎭⎫ ⎝⎛5221;(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛---145243121; 10. 解下列矩阵方程:(1)⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--234311*********X ;(2)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛021102341010100001100001010X 11. 设方阵A 满足A 2-A -2E =O , 证明A 及A +2E 都可逆, 并求A -1及(A +2E )-1.12. 设A 为3阶矩阵, 21||=A , 求|(2A )-1-5A *|.13.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ,且AB +E =A 2+B , 求B .14. 设A =diag(1, -2, 1), A *BA =2BA -8E , 求B .15. 设P -1AP =Λ, 其中⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1141P , ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λ2001, 求A 11. 16.已知矩阵A 的伴随阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A 且ABA -1=BA -1+3E ,求B .17. 把下列矩阵化为行最简形矩阵:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------34732038234202173132.18. 设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A , 求A .19. 试利用矩阵的初等变换, 求下列方阵的逆矩阵:⎪⎪⎭⎫⎝⎛323513123;20. 设⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=101110011A , AX =2X +A ,求X .21. 求下列矩阵的秩, 并求一个最高阶非零子式:⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------815073*********; 22.设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=32321321k k k A ,问k 为何值, 可使(1)R (A )=1; (2)R (A )=2; (3)R (A )=3. 23. 求解下列齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=-++=--+=-++05105036302432143214321x x x x x x x x x x x x ;(2)⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+-+=-++=+-+07420634072305324321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x24. 求解下列非齐次线性方程组:(1)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-+-=+-=++69413283542432z y x z y x z y x z y x(2)⎪⎩⎪⎨⎧-=+-+=-+-=+-+2534432312w z y x w z y x w z y x . 25. λ取何值时, 非齐次线性方程组:⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++23213213211λλλλλx x x x x x x x x .(1)有唯一解; (2)无解; (3)有无穷多个解?26. 设v 1=(1, 1, 0)T , v 2=(0, 1, 1)T , v 3=(3, 4, 0)T , 求v 1-v 2及3v 1+2v 2-v 3.27. 已知向量组：A : a 1=(0, 1, 2, 3)T , a 2=(3, 0, 1, 2)T , a 3=(2, 3, 0, 1)T ; B : b 1=(2, 1, 1, 2)T , b 2=(0, -2, 1, 1)T , b 3=(4, 4, 1, 3)T ,证明：B 组能由A 组线性表示,但A 组不能由B 组线性表示. 28. 已知R (a 1, a 2, a 3)=2, R (a 2, a 3, a 4)=3, 证明 (1) a 1能由a 2, a 3线性表示; (2) a 4不能由a 1, a 2, a 3线性表示.29. 判定下列向量组是线性相关还是线性无关: (-1, 3, 1)T , (2, 1, 0)T , (1, 4, 1)T ; 30. 问a 取什么值时下列向量组线性相关？ a 1=(a , 1, 1)T , a 2=(1, a , -1)T , a 3=(1, -1, a )T . 31. 求下列向量组的秩, 并求一个最大无关组:a 1=(1, 2, -1, 4)T , a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T ; 32. 利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组:⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛4820322513454947513253947543173125;33. 设向量组：(a , 3, 1)T , (2, b , 3)T , (1, 2, 1)T , (2, 3, 1)T 的秩为2, 求a ,b .34. 求下列齐次线性方程组的基础解系:⎪⎩⎪⎨⎧=-++=-++=++-02683054202108432143214321x x x x x x x x x x x x ;35. 设有向量组A : a 1=(α, 2, 10)T , a 2=(-2, 1, 5)T , a 3=(-1, 1, 4)T , 及b =(1, β, -1)T , 问α, β为何值时 (1)向量b 不能由向量组A 线性表示;(2)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式唯一; (3)向量b 能由向量组A 线性表示, 且表示式不唯一, 并求一般表示式.36. 求下列矩阵的特征值和特征向量:(1)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----201335212;(2)⎪⎪⎭⎫⎝⎛633312321; 37. 设A 为n 阶矩阵, 证明A T 与A 的特征值相同. 38. 设A 2-3A +2E =O , 证明A 的特征值只能取1或2. 39. 已知3阶矩阵A 的特征值为1, 2, 3, 求|A 3-5A 2+7A |. 40. 已知p =(1, 1, -1)T 是矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=2135212b a A 的一个特征向量.(1)求参数a , b 及特征向量p 所对应的特征值;(2)问A 能不能相似对角化？并说明理由. 41.设矩阵⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=12422421x A 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=Λy 45相似,求x , y ; 并求一个正交阵P , 使P -1AP =Λ.42. 设3阶方阵A 的特征值为λ1=2, λ2=-2, λ3=1; 对应的特征向量依次为p 1=(0, 1, 1)T , p 2=(1, 1, 1)T , p 3=(1, 1, 0)T , 求A . 43. 设3阶对称矩阵A 的特征值λ1=6, λ2=3, λ3=3, 与特征值λ1=6对应的特征向量为p 1=(1, 1, 1)T , 求A .44.设⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=340430241A ,求A 100.45. 求一个正交变换将下列二次型化成标准形: f =2x 12+3x 22+3x 33+4x 2x 3;编者：赵林。

线性代数_第一章

i = 1时, a1 j x j = b1 , 即 : a11x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1
n
将（2）代入（3）中得：
a x = a
j =1 ij j j =1 n n
Dj D
ij
1 n n 1 n = aij D j = aij bk Akj D j =1 k =1 D j =1
0
cj j
D
j =1,2,, n
=
n!
1 1 1
1 2 1 0 0
1 1 3 n 0 0 1 0 0 1
c1 - c j j =1,2,, n
=
n!
1 1 1 - - - 2 3 n 0 0 0
1 2 1 0 0
1 1 3 n 0 0 1 0 0 1
再设
a11 a21
a12 a22
=a11a22 -a12a21
D2 = a12 b1
D1 =
b1 b2
a12 a22
a21 b2
则上述方程组的解可写为：
b1 a12 a11 b1 b2 a22 a21 b2 x1= ———— x2= ———— a11 a12 a11 a12 a21 a22 a21 a22
1 1 1 = - + + + n! n 2 3
对一般爪型行列式：
例3：计算n+1阶行列式
爪型行列式
例4 计算n阶行列式
例5 计算n阶行列式
例6 证明范得蒙得(Vander-monde)行列式
例7 证明n阶行列式乘法规则
§1.4 克拉默（Cramer）法则

线性代数_课件

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五、关于等价定义的说明
对于行列式中的任一项
(1) a1p1...aipi ...a jpj ...anpn
(1)
其中 1...i... j...n为自然排列，为列下标排
列 p1...pi...p j... pn 的逆序数。对换 (1) 中元
素a
与
ip i
a jp
j
成：
(1) a1p1...a jpj ...aipi ...anpn
解：∵ 排列p1 p2 p3…pn与排列 pn…p3 p2 p1的逆序
数之和等于1～ n 这 n 个数中任取两个数的组合
数即：

(
p1 p2... pn )

(
pn
pn1... p1)

Cn2

n(n 1) 2

(
pn
pn1... p1)

n(n 1) 2

k
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例4 求排列(2k)1(2k 1)2(2k 2)...(k 1)k
a22 ...
... a2n ... ...
a11a22...ann
0 0 ... ann
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3) 次上三角行列式
a1,1 ... a1,n1 a1,n
a2,1 ... a2,n1 ... ... ...
0 ...
n ( n 1)
(1) 2 a1,na2,n1...an,n
例6 若 a13a2ia32a4k , a11a22a3ia4k , ai2a31a43ak 4 为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号，后一项带负号。

辅导讲义(线性代数第一讲)

4、利用行列式行列展开及余子式和代数余子式解题
12345 11122 【例1.21】设 D 3 2 1 4 6 ，则（1）A31 A32 A33 （ 22211 43210
（A）当 m n 时，必有行列式 AB 0
（B）当 m n 时，必有行列式 AB 0
（C）当 n m时，必有行列式 AB 0
【分析】
（D）当 n m 时，必有行列式 AB 0
【例1.12】已知 n 阶 (n 3) 行列式 A a ，将 A 中的每一列都减去其余各列之和得到新的行列
0
i j
其中 Ast 是 ast 的代数余子式。
注意：见到代数余子式马上想到展开定理，想到伴随矩阵。
43000
14300
例行列式 0 1 4 3 0 =
。
00143
00014
分析对于此类三对角行列式，一般采用的是递推法。按第一列展开，有
4300
3000
430
1 D5 4 0
4 1
3 4
0 (1)21 1
x 4 ，其系数显然是 2。而含 x3 的项只能是在 2x (x 3) (x 2) (x 1) 和 x 1 (x 2) (x 1) 中，
故 x3 的系数为 11。
1.2 行列式的性质性质 1．行列式和它的转置行列式相等；性质 2．行列式的两行（列）互换，行列式改变符号；
1
性质 3．行列式中某行（列）的公因子可提到行列式的的外面，或若以一个数乘行列式等于用该数乘此行列式的任意一行（列）；
n
6．若 A 是 n 阶矩阵， i (i 1,2,, n) 是 A 的特征值，则 A i ； i 1
7．若 A ～ B ，则 A B 。

1.7 简化阶梯形矩阵--线性代数PPT

1.7 简化阶梯形矩阵
.T 设是阶梯形矩阵,一个非零元⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---00000310003011040101⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---000003100001110
41211定义T 如果的主元所在列只有.T 简化阶则为梯形矩阵称
,A 对任意矩阵4定理A T 与是行等价的,T 化为简化阶梯形矩阵0,T A 设为的阶梯形证明12,,,.
r j j j 标号为01,2,
,1,T r r 将的第行乘以适当常数加到第行.
r j 可使第列上主元以外的元素都为零使得,T 存在简化阶梯形矩阵(A 或者可以经有限次初等行变换).T A 称为的简化阶梯形0,T r 有个主元主元所在列的
1,2,
,2,r -第行.
都为零,.A T 依此类推就可以得到的简化阶梯形证毕1r -然后将所得矩阵的第行乘以适当常数加到1r j -使得第列上主元以外的元素
11214246482311236979A -⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪-- ⎪-⎝⎭
12140110000300000111-⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
阶梯形 −−→
12070103000300000111-⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
−−−−→−+-+-2313)1()1(R R R R 01040103.000300001110-⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
−−−−→−+-12)1(R R 简化阶梯形 ▌ 12140110000300000111-⎛⎫ ⎪- ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
任意矩阵的简化阶梯形是唯一的
.。

pdf1.7有理数域上的多项式(线性代数)

g ( x) = bn x n + 是两个本原多项式.令
h( x) = f ( x) g ( x) = cm + n x
i+ j =k
m+n
+
+ c1 x + c0 ,
其中ck = ∑ ai b j ,假设h( x)不是本原多项式, 则有素数 p 能整除 h( x)的所有系数.因为f ( x), g ( x) 都是本原多项式,故有i, j (1 ≤ i ≤ m,1 ≤ j ≤ n) 使得 p | a0 ,… , p | ai 1 , p ai , p | b0 ,… , p | b j 1 , p b j .
注意到 ci + j = a0bi + j +
+ ai 1b j +1 + ai b j + ai +1b j 1 +
+ ai + j b0 ,
而且 p整除上式中除ai b j以外的所有项,因此,也必有p | ai b j .因为 p是素数,故p | ai或p | b j ,与假设矛盾,因此h( x)是本原多项式.
引理7.1 每个非零的有理系数多项式均可分解成一个有理数和一个本原多项式之积, 而且这样的分解在不计 ± 号时是唯一的.
证明设f ( x)是Q上的非零多项式, 则有整数a 使得af ( x)的系数均为整数.设b是af ( x)的所有系数的最大公因子, 则有af ( x) = bg ( x), 其中g ( x) 是一个本原多项式, 从而f ( x) = (a / b) g ( x)是一个有理数a / b和一个本原多项式g ( x)之积.
例如, 设f ( x) = 3 x x 6 x + 2.

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3 5 2 A 1 0 1 2 3 1 i j A ( 1 ) 3 0 1 5 1 2 1 3 2 ij 2 0 2 1 5 1 3 3 1 2
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a1n a2n ain ann
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补充：线性代数基础知识
判断A是否有逆矩阵：若|A|=0，则称A为奇异方阵，没有逆阵；若|A|≠0，则称A为非奇异方阵，有唯一的逆阵。
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补充：线性代数基础知识
§2 矩阵及其基本运算
矩阵的乘法
Cij等于左矩阵A的第i行各元素与右矩阵B的第j列
对应元素乘积之和。必须：左矩阵A的列数=右矩阵B的行数。
2 A 1 3 3 2 1
8 7 6 1 2 3 3 0 3 B C AB 2 1 0 5 7 9
a 11 a 12 A a a a a 11 22 12 21 a a 21 22
用加减消元法，得
b 1 a 22 b 2 a 12 x1 a 11 a 22 a 12 a 21 b 2 a 11 b 1 a 21 x2 a 11 a 22 a 12 a 21
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a 11 a 21 A a n1
xj
Aj A
克莱姆法则：有n元线性方程组
a11x1 a12x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 an1x1 an2 x2 annxn bn
一、一般概念
行矩阵（行向量）列矩阵（列向量） n×n阶矩阵（n阶方阵）
矩阵的相等同阶矩阵A=(aij), B=(bij)；当且仅当aij=bij时，A=B。