复习课：复数的概念与运算 2010.4.12

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复数的基本概念与运算例题和知识点总结

复数的基本概念与运算例题和知识点总结一、复数的基本概念复数是指形如＄a ＋ bi$ 的数，其中＄a$ 和＄b$ 都是实数，＄i$ 是虚数单位，满足＄i^2 ＝－1$。

在复数＄a ＋ bi$ 中，＄a$ 被称为实部，记作＄Re(z)＄；＄b$ 被称为虚部，记作＄Im(z)＄。

当＄b ＝ 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就变成了实数＄a$；当＄a ＝0$ 且＄b ＼neq 0$ 时，复数＄a ＋ bi$ 就被称为纯虚数。

复数的模长定义为：对于复数＄z ＝ a ＋ bi$，其模长为＄｜z| ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＄。

复数的辐角定义为：以＄x$ 轴正半轴为始边，向量＄＼overrightarrow{OZ}＄（其中＄O$ 为原点，＄Z$ 为复数＄z ＝ a ＋bi$ 对应的点）为终边的角＄＼theta$ 叫做复数＄z$ 的辐角。

二、复数的运算（一）复数的加法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的和为：＄z_1 ＋z_2 ＝（a ＋ c) ＋（b ＋ d)i$ 。

例如：＄z_1 ＝ 2 ＋ 3i$，＄z_2 ＝ 1 2i$，则＄z_1 ＋ z_2 ＝（2 ＋1) ＋（3 2)i ＝ 3 ＋ i$ 。

复数加法满足交换律和结合律，即＄z_1 ＋ z_2 ＝ z_2 ＋ z_1$，＄（z_1 ＋ z_2) ＋ z_3 ＝ z_1 ＋（z_2 ＋ z_3)＄。

（二）复数的减法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的差为：＄z_1 z_2 ＝（a c) ＋（b d)i$ 。

例如：＄z_1 ＝ 5 ＋ 4i$，＄z_2 ＝ 2 i$，则＄z_1 z_2 ＝（5 2) ＋（4 ＋ 1)i ＝ 3 ＋ 5i$ 。

（三）复数的乘法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$，则它们的乘积为：＼＼begin{align}z_1z_2&＝（a ＋ bi)（c ＋ di)＼＼＆＝ac ＋ adi ＋ bci ＋ bdi^2\＼＆＝（ac bd) ＋（ad ＋ bc)i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 3 ＋ 2i$，＄z_2 ＝ 1 ＋ 4i$，则＼＼begin{align}z_1z_2&＝（3 ＋ 2i)（1 ＋ 4i)＼＼＆＝3 ＋ 12i ＋ 2i ＋ 8i^2\＼＆＝3 ＋ 14i 8\＼＆＝－5 ＋ 14i＼end{align}＼（四）复数的除法设＄z_1 ＝ a ＋ bi$，＄z_2 ＝ c ＋ di$（＄c ＋ di ＼neq 0$），则它们的商为：＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{a ＋ bi}｛c ＋ di}＼＼＆＝＼frac{（a ＋ bi)（c di)｝｛（c ＋ di)（c di)｝＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd ＋（bc ad)i}｛c^2 ＋ d^2}＼＼＆＝＼frac{ac ＋ bd}｛c^2 ＋ d^2} ＋＼frac{bc ad}｛c^2 ＋ d^2}i＼end{align}＼例如：＄z_1 ＝ 6 ＋ 8i$，＄z_2 ＝ 2 ＋ 2i$，则＼＼begin{align}＼frac{z_1}｛z_2}＆＝＼frac{6 ＋ 8i}｛2 ＋ 2i}＼＼＆＝＼frac{（6 ＋ 8i)（2 2i)｝｛（2 ＋ 2i)（2 2i)｝＼＼＆＝＼frac{12 12i ＋ 16i 16i^2}｛4 ＋ 4}＼＼＆＝＼frac{28 ＋ 4i}｛8}＼＼＆＝＼frac{7}｛2} ＋＼frac{1}｛2}i＼end{align}＼三、复数运算的例题例 1：计算＄（2 ＋ 3i) ＋（4 5i)＄解：原式＄＝（2 ＋ 4) ＋（3 5)i ＝ 6 2i$例 2：计算＄（3 2i) （1 ＋ 4i)＄解：原式＄＝（3 1) ＋（－2 4)i ＝ 2 6i$例 3：计算＄（1 ＋ 2i)（3 4i)＄解：＼＼begin{align}＆（1 ＋ 2i)（3 4i)＼＼＝＆3 4i ＋ 6i 8i^2\＼＝＆3 ＋ 2i ＋ 8\＼＝＆11 ＋ 2i＼end{align}＼例 4：计算＄＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＄解：＼＼begin{align}＆＼frac{2 ＋ 3i}｛1 i}＼＼＝＆＼frac{（2 ＋ 3i)（1 ＋ i)｝｛（1 i)（1 ＋ i)｝＼＼＝＆＼frac{2 ＋ 2i ＋ 3i ＋ 3i^2}｛1 i^2}＼＼＝＆＼frac{－1 ＋ 5i}｛2}＼＼＝＆＼frac{1}｛2} ＋＼frac{5}｛2}i＼end{align}＼四、复数在几何中的应用复数可以用平面直角坐标系中的点来表示，实部对应＄x$ 轴坐标，虚部对应＄y$ 轴坐标。

复数的概念与运算

复数的概念与运算复数是数学中的一个重要概念，它包含了实数无法涵盖的一些数值。

在本文中，我将介绍复数的定义与表示方式，并探讨复数运算的基本规则和性质。

一、复数的定义与表示方式复数是由实数和虚数共同构成的数，可以用(a+bi)的形式表示，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，i的平方为-1。

在复数的表示中，a和b都是实数。

二、复数的基本运算1. 加法运算两个复数的加法是将它们对应的实部和虚部分别相加。

设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的和为：z1+z2=(a+c)+(b+d)i2. 减法运算两个复数的减法是将被减数的实部和虚部分别与减数的实部和虚部相减。

设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的差为：z1-z2=(a-c)+(b-d)i3. 乘法运算两个复数的乘法运算遵循分配律和虚数单位的平方性质。

设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的积为：z1*z2=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 除法运算两个复数的除法运算需要进行乘法运算和除法运算的综合。

设有两个复数z1=a+bi，z2=c+di，它们的商为：z1/z2=((ac+bd)/(c^2+d^2))+((bc-ad)/(c^2+d^2))i三、复数的性质与应用复数运算具有如下性质：1. 加法和乘法运算满足交换律和结合律。

2. 复数的乘法满足分配律和幂运算的规则。

复数的应用广泛，特别是在电学和物理学领域中。

在电路分析中，复数的使用可以简化计算，例如在交流电路的分析中，可以将电压和电流表示为复数形式，从而方便地进行计算。

总结：复数是由实数和虚数构成的数，可以用(a+bi)的形式表示。

复数的加法、减法、乘法和除法运算分别是实部和虚部的相应运算。

复数运算具有交换律、结合律和分配律。

复数在电学和物理学中有着广泛的应用。

以上就是对复数的概念与运算的介绍。

复数作为数学中一个重要的概念，其应用领域十分广泛，并且在实际问题中有着重要的作用。

复数的概念与运算(高三复习)

复数的概念与运算（高三复习课）（第一课时）【教学目标】1. 理解复数及有关概念，如复数的实部、虚部、模、共轭复数等；2. 建立复平面，用复平面上的点表示复数，发展数形结合思想；3. 掌握复数模的概念，理解复数模与实数绝对值的关系. 【教学过程】 1. 新数i 的引入在实数范围内，负数不能开平方，即方程21x =-在实数范围内无解.为此引入新数i ，规定21i =-，i 称为虚数单位，（类似1为实数的一个单位）引入虚数单位i 后，解决了负数开平方的问题，如1-的平方根为i ±，4-的平方根为2i ±,2-的平方根为. 一般地，a的平方根为,00,0,0a a a ⎧>⎪=⎨⎪<⎩.2. 复数的分类数i 可与其他数作运算，如乘法33i i ⨯=、1i i ⨯=-、加法1i +，202i +⨯=，这些数均可写成(),z a bi a b =+∈R 的形式，称为复数()()()()0,00b z a bi a b b a =⎧⎪=+⎨=⎪⎩∈≠R C 实数复数集、虚数时为纯虚数 3. 复数的坐标表示（1）复平面一个复数z a bi =+与平面直角坐标系内的一点(),Z a b 一一对应，建立了直角坐标系用来表示复数的平面，叫做复平面，x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴.问题：对应虚数的点是否都在虚轴上？虚轴上的点是否都对应纯虚数？（实数用数轴上的点表示，一维；复数用复平面上的点表示，二维）（2）复数的模复数z a bi =+所对应的点(),Z a b 到坐标原点的距离叫做复数z 的模，记作z ，z a bi =+（复数模的几何意义与实数绝对值的几何意义相同，是实数绝对值概念的延伸）（3）复数的相等与共轭若两个复数()12,,,,z a bi z c di a b c d =+=+∈R 的实部与虚部分别相等，即a c =且b d =，那么这两个复数相等. 它们在复平面上对应的点()1,Z a b 、()2,Z c d 坐标相同，是同一个点.（如果两个复数都是实数，那么它们具有大小关系，如果两个复数不都是实数，那么它们不能比较大小，只有相等和不相等的关系）若两个复数实部相等，虚部互为相反数，则称它们是共轭复数，复数z 的共轭复数用z 表示，当z a bi =+时，a bi =-. 共轭的复数在复平面上对应的点关于实轴对称，它们的模相等.问题：如何证明一个复数(),z a bi a b =+∈R 是实数的充要条件是z z =？问题：下列在实数范围内成立的结论，在复数范围内是否仍然成立，为什么？○1()0z a a z a =>⇒=±；○2()0z a a a z a <>⇒-<<； ○31212z z z z =⇒=±. 4. 课堂练习：（1）已知复数()()223222z m m i m m ---=+，()m ∈R . 求m 的值使得复数z 在复平面内对应的点Z 位于○1虚轴上；○2第二象限；○3直线10x y --=上.（2）已知复数z 满足23112z z i -=-，求复数z 的值. 5. 小结复数集是实数集的扩展，实数解是复数集的子集，在学习复数时，应注意在实数范围内成立的一些结论，在复数范围是否仍然成立.由于复数的实部与虚部都是实数，所以在复数中往往将虚数问题转化为实数问题来求解. 6. 回家作业（1）求当m 为何值时，复数()2221z m m m i =+-+-分别是：○1实数；○2虚数；○3纯虚数. （2）已知()()()223,,x y i y i x y -+=--∈R ，求x 、y 的值. （3）求关于x 的方程()200,x t t x +=>∈C 的解集.（第二课时）【教学目标】1. 掌握复数的四则运算及其运算性质；2. 能将在实数范围内成立有关结论在复数范围内进行讨论比较；3. 会利用复数相等把复数问题转化为实数问题，渗透转化的思想方法. 【教学过程】 1. 复数的运算（1）复数的加法、减法两个复数的和依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个复数虚部的和.复数减法是加法的逆运算，两个复数的差依然是复数，它的实部是原来两个复数实部的差，它的虚部是原来两个复数虚部的差.复数的加法满足交换律和结合律，即对任意复数1z 、2z 、3z ，有1221z z z z +=+，()()123123z z z z z z ++=++（复数的加法与实数的加法满足相同的运算律）问题：在复数范围内，12120z z z z ->⇒>是否成立？为什么？问题：能否从几何意义的角度，说明121212z z z z z z -≤±≤+在复数范围内仍然成立？（2）复数的乘法复数的乘法运算可用通常的多项式乘法运算得出：()()()()2a bi c di ac bci adi bdi ac bd bc ad i ++=+++=-++复数的乘法满足交换律、结合律、分配律，即对于任意复数1z 、2z 、3z ，有1221z z z z =，()()123123z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅，()1231213z z z z z z z +=+问题：能否证明：1212=⋅？（加、减法也有类似的性质可以证明）问题：在实数范围内，若0a b ⋅=，则a 、b 至少有一个为零，在复数范围内是否仍然成立？问题：共轭复数的和、差、积分别是什么数？（22222zz z z z z z ====≠）（3）复数的乘方复数的乘方可转化为复数的乘法，实数集中正整数指数幂的运算法则在复数集中仍然成立：即对任意复数z 、1z 、2z ，及正整数m 、n ，有m n m n z z z +⋅=，()nm mn z z =，()1212nn n z z z z ⋅=⋅（4）复数的除法复数的除法可用“分母实数化”的方法处理，在分子、分母上同乘分母的共轭复数. 问题：下列在实数范围内成立的结论，在复数范围内是否仍然成立，为什么？○120z ≥；○2221212z z z z >⇒>；○322121200z z z z +=⇒==；○41212120,00,0z z z z z z +>>⇒>>. 2. 课堂练习（1）（2007年上海高考试题）对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立：① 01≠+aa ； ②2222)(b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2，则b a =．那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是．（2）已知复数0z ai =，(0011z z z i =-+-，试问：是否存在实数a ，使得z 为纯虚数？若存在，则求出一个a 的值；若不存在，请说明理由.3. 小结从实数集扩充到复数集，建立了复数集内的运算法则、性质，产生了一系列与实数集中相类似或相同的结论，我们应该从概念的本质上去辨别这些结论的正确性. 4. 回家作业（1）设复数z 满足()2364z i i -=+，求z .（2）已知实数x 、y 满足()12x i i y i ++=+，求x y -的值.（3）已知1z =z 是z 的共轭复数，求z z -.。

高中数学备课教案复数的基本概念与运算

高中数学备课教案复数的基本概念与运算高中数学备课教案复数的基本概念与运算一、引言高中数学中，复数是一个重要的概念。

它既可以表示实数范围之外的数，也可以用于解决实数范围内的问题。

本教案旨在介绍复数的基本概念与运算，帮助学生理解复数的含义、性质，并能熟练运用复数进行计算。

二、复数的定义与表示法1. 复数定义复数是由实部与虚部组成的数，通常表示为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位，且满足i² = -1。

2. 复数表示法复数可以用代数形式、几何形式和指数形式等方式进行表示。

三、复数的性质1. 加法性质复数的加法遵循实部相加、虚部相加的规则，即(a+bi)+(c+di) = (a+c)+(b+d)i。

2. 减法性质复数的减法可通过加负数实现，即(a+bi)-(c+di) = (a-c)+(b-d)i。

3. 乘法性质复数的乘法满足分配律、交换律和结合律，即(a+bi)·(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。

4. 除法性质复数的除法可通过乘以倒数实现，即(a+bi)/(c+di) = [(ac+bd)/(c²+d²)] + [(bc-ad)/(c²+d²)]i。

四、复数的运算规则与常用公式1. 共轭复数复数a+bi的共轭复数为a-bi，表示为conjugate(a+bi)。

2. 模与幅角复数a+bi的模定义为|a+bi| = √(a²+b²)，即复数对应点到原点的距离；复数a+bi的幅角定义为arg(a+bi) = arctan(b/a)，即与实轴正半轴的夹角。

3. 乘方公式复数的乘方可通过将复数转化为指数形式，然后利用指数的运算法则进行计算。

4. 根式公式复数的根可通过将复数转化为指数形式，并利用指数的根式运算法则进行计算。

五、解决实际问题通过复数的基本概念与运算，我们可以解决一些实际问题，如以下两个例子：1. 电路问题当电路中存在交流电场时，复数可以用于表示电压和电流的相位差，从而帮助我们分析电路的行为。

复数复习课

复数复习课1．复数的有关概念 (1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若_____，则a ＋b i 为实数；若__________，则a ＋b i 为虚数；若_____________，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔____________(a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔________________(a ，b ，c ，d ∈R )． (4)复数的模：向量OZ 的模r 叫做复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝a 2＋b 2.2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ←−−−→一一对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )． (2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) ←−−−→一一对应平面向量OZ . 3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝____________________； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝__________________________； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝_______________________； ④除法：z 1z 2＝a ＋b i c ＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义． 2．利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件3．z 2<0在复数范围内有可能成立，例如：当z ＝3i 时z 2＝－9<0.[试一试]1．(2014·惠州调研)i 是虚数单位，若z (i ＋1)＝i ，则|z |等于_________2．(2013·天津高考)已知a ，b ∈R ，i 是虚数单位．若(a ＋i)·(1＋i)＝b i ，则a ＋b i ＝________.1．把握复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四则运算中，加、减、乘运算按多项式运算法则进行，除法则需分母实数化．2．掌握复数代数运算中常用的几个结论在进行复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i1＋i＝－i ； (2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)；(3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i 4n ＋1＋i 4n ＋2＋i 4n ＋3＝0，n ∈N ＋. [练一练](2013·安徽联考)已知i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 2 2 013在复平面内对应的点位于_______对应学生用书P72考点一复数的有关概念1.(2014·21)i 为纯虚数”的_______________________条件2．(2014·安徽“江南十校”联考)若a ＋b i ＝51＋2i (i 是虚数单位，a ，b ∈R )，则ab ＝____3．(2013·安徽高考)设i 是虚数单位，若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为_____ 4．(2013·洛阳统考)设复数z ＝－1－i(i 为虚数单位)，z 的共轭复数为z ，则|(1－z )·z －|＝_________[类题通法]解决复数概念问题的方法及注意事项(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋bi (a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．考点二复数的几何意义[典例] (1)(2013·四川高考)如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是_______(2)(2014·郑州质量预测)复数z 1＝3＋i ，z 2＝1－i ，则z ＝z 1z 2的共轭复数在复平面内的对应点位于第_____象限[类题通法]对复数几何意义的理解及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ 相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ . (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[针对训练]1．(2013·湖北八校联考)已知i 是虚数单位，z ＝1＋i ，z －为z 的共轭复数，则复数z 2z －在复平面上对应的点的坐标为________．2．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上对应的点分别为A ，B ，C ，若OC ＝λOA ＋μOB ，(λ，μ∈R )，则λ＋μ的值是________．考点三复数的代数运算[典例] (1)若复数z 满足z (2－i)＝11＋7i(i 为虚数单位)，则z 为_______(2)(2013·长春调研)已知复数z ＝1＋a i(a ∈R ，i 是虚数单位)，z －z ＝－35＋45i ，则a ＝____在本例(1)中，试求(1＋z )·z －的值.解：[类题通法]复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．[针对训练]1．(2013·山东高考)复数z 满足(z －3)(2－i)＝5(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 为______2．设复数z 的共轭复数为z ，若z ＝1－i(i 为虚数单位)，则z z＋z 2的值为______对应学生用书P73[课堂练通考点]1．(2014·石家庄模拟)复数z ＝1－i ，则1z＋z 对应的点所在的象限为第____象限2．(2014·浙江名校联考)已知i 是虚数单位，且复数z 1＝3－b i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2是实数，则实数b 的值为__________3．(2013·广东高考)若i(x ＋y i)＝3＋4i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i 的模是________ 4．(2013·河北教学质量监测)已知m ∈R ，复数m ＋i 1＋i －12的实部和虚部相等，则m ＝________.[课下提升考能]第Ⅰ组：全员必做题1．已知a 是实数，a ＋i 1－i 是纯虚数，则a 等于________2．(2013·郑州质量预测)若复数z ＝2－i ，则z －＋10z ＝________3．(2014·萍乡模拟)复数(1＋2i )(2＋i )(1－i )2等于_________4．(2014·长沙模拟)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫i ，i 2，1i ，(1＋i )2i ，i 是虚数单位，Z 为整数集，则集合Z ∩M 中的元素个数是_________5．(2013·陕西高考)设z 是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若z 2≥0，则z 是实数 B ．若z 2＜0，则z 是虚数 C ．若z 是虚数，则z 2≥0D ．若z 是纯虚数，则z 2＜06．(2013·重庆高考)已知复数z ＝5i 1＋2i (i 是虚数单位)，则|z |＝________.7．若3＋b i 1－i ＝a ＋b i(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.8．已知复数z ＝1－i ，则z 2－2zz －1＝________.9．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3；(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ；(3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2； (4)1－3i (3＋i )2. 10．已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．第Ⅱ组：重点选做题1．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是_________2．已知复数z ＝x ＋y i ，且|z －2|＝3，则yx 的最大值为________．。

初中数学知识归纳复数的基本概念和运算

初中数学知识归纳复数的基本概念和运算初中数学知识归纳：复数的基本概念和运算在初中数学学习过程中，复数是一个重要的概念。

它不仅扩展了实数系，还在解决方程、函数图像等问题中发挥了重要的作用。

本文将对初中数学中关于复数的基本概念和运算进行归纳总结，帮助同学们掌握这一知识点。

一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，形如a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

实部和虚部都是实数。

实数可以看作虚部为零的复数，即实数与复数是可以相互转化的。

二、复数的表示形式1. 笛卡尔形式：即a+bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。

在笛卡尔形式下，复数可以进行加减乘除等运算。

2. 三角形式：z=r(cosθ+isinθ)，其中r为模，θ为幅角。

三角形式的复数形式清晰、直观，适合于处理角度相关的问题。

三、复数的基本运算1. 加法和减法：复数相加减时，将实部与实部相加减，虚部与虚部相加减，得到结果的实部和虚部。

例如，(2+3i)+(4+5i)=6+8i；(2+3i)-(4+5i)=-2-2i。

2. 乘法：复数相乘时，按照FOIL法则进行计算，即先乘首项，再乘外项，再乘内项，最后乘末项。

例如，(2+3i)×(4+5i)=8+10i+12i+15i^2=8+22i-15=7+22i。

3. 除法：将除法转化为乘法，并与倒数相乘。

例如，(2+3i)/(4+5i)=(2+3i)×(4-5i)/(4+5i)×(4-5i)=（2+3i）(4-5i)/(4^2-(5i)^2)=(8+7i)/(16+25)=8/41+7/41i。

四、复数的性质1. 实部与虚部的运算：实数与复数相加减时，实数部分保持不变，虚数部分仍然是虚数。

例如，3+（2+5i）=5+5i；3-（2+5i）=1-5i。

2. 共轭复数：复数a+bi的共轭复数为a-bi，记作a-bi。

例如，共轭复数与原复数的实部相等，但虚部符号相反。

3. 幂：复数的幂运算可以使用三角形式直接计算。

初中数学知识归纳复数的概念与运算

初中数学知识归纳复数的概念与运算复数是数学中一个重要的概念，它可以用来表示一些无理数和虚数。

在初中数学中，学习复数的概念和运算是十分关键的。

本文将对初中数学中涉及的复数相关知识进行归纳总结。

一、复数的概念复数是由实数和虚数单位 i 组成的数。

其中，实数部分可以是任意的实数，虚数部分则为实数与 i 相乘得到的数。

复数通常用符号 a+bi来表示，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分。

二、复数的表示形式1. 代数形式代数形式是复数的一种常见表示形式，即复数的实部和虚部分别用实数表示。

例如，复数 2+3i 就是采用代数形式表示的。

2. 几何形式几何形式是复数另一种重要的表示形式，它用平面向量的概念来表示复数。

复数 a+bi 可以看成是平面上点的坐标，其中实部 a 表示点的横坐标，虚部 b 表示点的纵坐标。

三、复数的运算1. 复数的加法复数的加法遵循实部相加、虚部相加的原则。

例如，(2+3i) + (4+5i) = 6+8i。

2. 复数的减法复数的减法与加法类似，实部相减，虚部相减。

例如，(2+3i) -(4+5i) = -2-2i。

3. 复数的乘法复数的乘法需要应用到乘法公式 (a+bi)(c+di) = (ac-bd)+(ad+bc)i。

例如，(2+3i)(4+5i) = -7+22i。

4. 复数的除法复数的除法可以通过乘以共轭复数，并应用乘法公式来实现。

例如，(2+3i) ÷ (4+5i) = (2+3i)(4-5i) ÷ (4+5i)(4-5i) = (23/41)-(2/41)i。

四、复数的性质1. 共轭复数两个复数的共轭复数指的是虚部相反的复数。

例如，复数 a+bi 的共轭复数为 a-bi。

2. 模复数的模指的是复数对应的向量的长度，即平面上从原点到该点的距离。

3. 模的性质复数 a+bi 的模的平方等于 a^2 + b^2，即 |a+bi|^2 = a^2 + b^2。

这个性质可以通过向量的长度公式得出。

复数的概念及运算-知识点+例题-全面分类

[例2] 设复数z 满足)1)(23(i i iz -+=-，则.______=z i 51+[巩固1] 复数i i a 212+-是纯虚数，则实数a 的值为________.4[巩固2] 如果)(112R m mi i ∈+=-，那么._____=m 1[例3] 已知i z 34+-=，则._______2=-z i 36+[巩固1] 已知复数i z 211+=，i z 322-=，则21z z +的共轭复数是___________.i +3[巩固2] 已知i 是虚数单位，R n m ∈，，且ni i m -=+22，则ni m ni m -+的共轭复数为_________.i[例4] 计算：（1）3)2)(1(ii i ++-（2）22)1(1)1(1i i i i -+++-[巩固] 计算：（1）)1()2()23(i i i +---++；（2）)2)(1(2013i i i -+⋅；（3）ii 4321-+1．复平面：我们把建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面.x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.2．复数的模：22b a bi a z +=+=3．bi a z +=1，di c z +=2，则2221)()(d b c a z z -+-=- 两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.[例1] 已知复数i i z -+=12，则._____=z 210[巩固1] 复数)0(21<+=a iai z ，其中i 为虚数单位， 5=z ，则a 的值为__________.-5[巩固2] 若2=z ，求i z 43-+取最大值时的.______=z i 5856-[例2] 复数)(23)1(2R a i a a i z ∈++--=（1）若z z =，求z ；（2）若在复平面内复数z 对应的点在第一象限，求a 的范围. 知识模块3复数的模精典例题透析[巩固] 已知z 为复数，i z 2+为实数，且z i )21(-为纯虚数，其中i 为虚数单位.（1）求复数z ；（2）若复数z 满足1=-z w ，求w 的最小值.题型一：复数的概念[例]（1）已知a ∈R ，复数z 1＝2＋a i ，z 2＝1－2i ，若z 1z 2为纯虚数，则复数z 1z 2的虚部为_______. （2）若z 1＝(m 2＋m ＋1)＋(m 2＋m －4)i(m ∈R )，z 2＝3－2i ，则“m ＝1”是“z 1＝z 2”的_________条件.（填充分不必要，必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 1 (2) 充分不必要条件解析 (1)由z 1z 2＝2＋a i 1－2i ＝(2＋a i )(1＋2i )5＝2－2a 5＋4＋a 5i 是纯虚数，得a ＝1，此时z 1z 2＝i ，其虚部为1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m ＋1＝3，m 2＋m －4＝－2，解得m ＝－2或m ＝1，所以“m ＝1”是“z 1＝z 2”的充分不必要条件．[巩固]（1）设i 是虚数单位．若复数a －103－i(a ∈R )是纯虚数，则a 的值为__________. （2）已知i 是虚数单位，a ，b ∈R ，则“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的____________条件. （填充分不必要，知识模块4经典题型必要不充分，充要或既不充分也不必要）答案 (1) 3 (2) 既不充分也不必要条件解析 (1)a －103－i＝a －(3＋i)＝(a －3)－i ，由a ∈R ，且a －103－i为纯虚数知a ＝3. (2)当a ＝b ＝1时，(a ＋b i)2＝(1＋i)2＝2i ；当(a ＋b i)2＝2i 时，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ＝1，解得a ＝b ＝1或a ＝b ＝－1，所以“a ＝b ＝1”是“(a ＋b i)2＝2i ”的充分不必要条件．题型二：复数的运算[例] 计算：（1）3(1＋i )2i －1＝________；（2）(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i＝________. 答案 (1)3－3i (2)－1＋i解析 (1)3(1＋i )2i －1＝3×2i i －1＝6i i －1＝－6i (i ＋1)2＝－3i(i ＋1)＝3－3i. (2)原式＝[(1＋i )22]6＋(2＋3i )(3＋2i )(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. [巩固]（1）已知复数z 满足(3＋4i)z ＝25，则z 等于_________.（2）复数⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝________. 答案 (1) 3－4i (2)－1解析 (1)方法一由(3＋4i)z ＝25，得z ＝253＋4i ＝25(3－4i )(3＋4i )(3－4i )＝3－4i. 方法二设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则(3＋4i)(a ＋b i)＝25，即3a －4b ＋(4a ＋3b )i ＝25，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝25，4a ＋3b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－4，故z ＝3－4i. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 2＝1＋i 2＋2i 1＋i 2－2i ＝i －i＝－1.题型三：复数的几何意义[例] 如图所示，平行四边形OABC ，顶点O ，A ，C 分别表示0，3＋2i ，－2＋4i ，试求：（1）AO →、BC →所表示的复数；（2）对角线CA →所表示的复数；（3）B 点对应的复数．解 (1)AO →＝－OA →，∴AO →所表示的复数为－3－2i.∵BC →＝AO →，∴BC →所表示的复数为－3－2i.(2)CA →＝OA →－OC →，∴CA →所表示的复数为(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)OB →＝OA →＋AB →＝OA →＋OC →，∴OB →所表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i ，即B 点对应的复数为1＋6i.[巩固]（1）在复平面内复数Z ＝i(1－2i)对应的点位于第_____象限.答案一解析 ∵复数Z ＝i(1－2i)＝2＋i ，∵复数Z 的实部2>0，虚部1>0，∴复数Z 在复平面内对应的点位于第一象限．（2）已知z 是复数，z ＋2i 、z 2－i均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面内对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解设z ＝x ＋y i(x 、y ∈R )，∴z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ，由题意得y ＝－2.∵z 2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ，由题意得x ＝4.∴z ＝4－2i.∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，8(a －2)>0，解得2<a <6，∴实数a 的取值范围是(2,6)．1．若复数z ＝(x 2－1)＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为___________.答案－1解析由复数z 为纯虚数，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1＝0，x －1≠0，解得x ＝－1，故选A. 2．在复平面内，向量AB →对应的复数是2＋i ，向量CB →对应的复数是－1－3i ，则向量CA →对应的复数是__________.答案－3－4i解析因为CA →＝CB →＋BA →＝－1－3i ＋(－2－i)＝－3－4i.3．若i 为虚数单位，图中复平面内点Z 表示复数z ，则表示复数z 1＋i的点是______点. 夯实基础训练。

复数的定义与基本运算

复数的定义与基本运算复数是数学中的一种特殊数形式，由实部和虚部组成。

在复数中，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。

复数一般形式为a+bi，其中a 和b都是实数，i表示虚数单位，满足i²=-1。

本文将介绍复数的定义以及基本运算。

一、复数的定义复数是包含实部和虚部的数。

其中，实部和虚部都是实数，可以用图象、代数或极坐标形式来表示。

复数的定义如下：z = a + bi其中，z表示一个复数，a是实部，b是虚部，i表示虚数单位。

二、基本运算1. 复数的加法复数的加法是将两个复数的实部和虚部分别相加。

例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的和可以表示为：z = (a+c) + (b+d)i2. 复数的减法复数的减法是将两个复数的实部和虚部分别相减。

例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的差可以表示为：z = (a-c) + (b-d)i3. 复数的乘法复数的乘法是根据乘法公式展开运算。

例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的乘积可以表示为：z = (a+bi) * (c+di)= ac + adi + bci + bdi²= (ac - bd) + (ad + bc)i4. 复数的除法复数的除法是根据除法公式展开运算。

例如，给定两个复数z1=a+bi和z2=c+di，他们的商可以表示为：z = (a+bi) / (c+di)= (a+bi) * (c-di) / (c²+d²)= (ac+bd) / (c²+d²) + (bc-ad)i / (c²+d²)三、复数的共轭和模1. 共轭复数一个复数的共轭是将其虚部取负。

例如，给定一个复数z=a+bi，它的共轭可以表示为：z* = a-bi2. 复数的模一个复数的模表示复平面上从原点到该复数所对应点的距离。

复数z=a+bi的模可以表示为：|z| = √(a²+b²)四、实部、虚部和纯虚数在复数中，实部表示实数部分，虚部表示虚数部分。

初中数学知识归纳复数的概念与复数的运算

初中数学知识归纳复数的概念与复数的运算复数是数学中一个重要的概念，在初中数学学习中也是一项必须掌握的内容。

本文将对复数的概念以及复数的运算进行详细的归纳。

一、复数的概念复数是由实数和虚数构成的数，通常记作a+bi，其中a和b都是实数，i是虚数单位，满足i²=-1。

在复数a+bi中，a称为实部，bi称为虚部。

在实数范围内，有些方程是无法求根的，例如x²+1=0。

为了解决这类方程无解的问题，人们引入了虚数单位i。

虚数单位i具有i²=-1的性质，所以x²+1=0可以写成x²=-1，根据i的性质，我们可以得到x=i和x=-i两个解，这就是复数的引入。

复数既包括实数，也包括虚数，可以表示在复平面上，实部表示复数在实轴上的投影，虚部表示复数在虚轴上的投影。

二、复数的运算1. 复数的加法和减法设有两个复数a+bi和c+di，其中a、b、c、d都是实数，则它们的和为(a+c)+(b+d)i，差为(a-c)+(b-d)i。

复数的加法和减法运算就是分别对实部和虚部进行相加或相减。

2. 复数的乘法设有两个复数a+bi和c+di，它们的乘积为(ac-bd)+(ad+bc)i。

使用分配律和虚数单位i的性质，将复数的乘法运算转化为实数之间的乘法运算，并根据i²=-1化简得到最终结果。

3. 复数的除法设有两个非零复数a+bi和c+di，它们的除法为：```(a+bi)(c-di)(a+bi) / (c+di) = ---------------(c+di)(c-di)```为了将除法转化为乘法，可以借助共轭复数的概念。

共轭复数是保持实部不变、虚部相反的复数，记作a-bi。

借助共轭复数的概念，我们可以将分子和分母都乘以共轭复数来进行除法运算。

三、复数的应用复数在数学中有广泛的应用，尤其是在电学和物理学中。

在电学中，电流和电压往往是复数形式的。

复数可以表示电流或电压的幅度和相位，方便进行电路分析和计算。

复数的基本概念与运算

复数的基本概念与运算复数是由实数与虚数构成的数。

它的基本形式为a+bi，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。

复数可以用于描述一些实际问题，比如电路分析、信号处理和数学问题等。

本文将介绍复数的基本概念与运算。

一、复数的基本概念复数的实部和虚部分别是实数，实部用a表示，虚部用b表示。

实数是复数的一种特殊情况，当b=0时，复数退化为实数。

对于任意一个复数z=a+bi，其中a和b都是实数，可以将其表示为有序对(z=a,b)。

复数可以用复平面上的点来表示，其中实轴是实数轴，虚轴是虚数轴。

实部对应着实轴上的点，虚部对应着虚轴上的点。

二、复数的运算1. 加法与减法复数的加法和减法与实数的加法和减法类似，只是需要对实部和虚部进行独立的运算。

对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的和z₃=z₁+z₂为(a₁+a₂)+(b₁+b₂)i，差为z₄=z₁-z₂为(a₁-a₂)+(b₁-b₂)i。

2. 乘法复数的乘法运算可以通过分配律展开，然后利用i²=-1化简。

对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的乘积z₃=z₁z₂可以计算为(a₁a₂-b₁b₂)+(a₁b₂+a₂b₁)i。

3. 除法复数的除法可以通过将除数和被除数都乘以共轭复数的形式进行。

对于两个复数z₁=a₁+b₁i和z₂=a₂+b₂i，它们的商z₃=z₁/z₂可以计算为[(a₁a₂+b₁b₂)/(a₂²+b₂²)]+[(a₂b₁-a₁b₂)/(a₂²+b₂²)]i。

三、复数的性质1. 共轭复数给定一个复数z=a+bi，它的共轭复数记为z*，即a-bi。

共轭复数的实部相同，虚部符号相反。

2. 模或绝对值对于一个复数z=a+bi，它的模记为|z|，可以计算为√(a²+b²)，表示复数到原点的距离。

3. 平方根复数的平方根是一个复数，它满足平方后等于给定的复数。

复数的概念和运算法则

复数的概念和运算法则复数是由实数和虚数组合而成的数，它由实部和虚部构成，通常表示为a + bi的形式，其中a和b都是实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。

复数在数学中起到重要作用，尤其在电工、物理学和工程领域中有广泛应用。

一、复数的定义和表示1. 定义：复数是由实数和虚数构成的数字，虚数单位i满足i^2 = -1。

2. 表示方法：复数一般表示为a + bi的形式，其中a为实部，bi为虚部。

实部和虚部都是实数。

二、复数的运算法则1. 加法和减法：（1）加法：两个复数相加，实部与实部相加，虚部与虚部相加，例如：(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i（2）减法：两个复数相减，实部与实部相减，虚部与虚部相减，例如：(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2. 乘法：两个复数相乘，应用分配律，同时注意i的平方为-1，例如：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i3. 除法：两个复数相除，需要进行分子分母的有理化，即以实数的形式写出结果，例如：(a + bi) / (c + di) = [(a + bi)(c - di)] / [(c + di)(c - di)]= [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c^2 + d^2)三、复数的共轭和模1. 共轭：复数的共轭是指保持实部不变，虚部取负的操作，例如：对于复数a + bi，它的共轭是a - bi，即实部不变，虚部取负。

2. 模：复数的模是指复数与自身共轭的乘积的平方根，例如：对于复数a + bi，它的模是|(a + bi)| = √(a^2 + b^2)四、复数的应用复数在电工、物理学和工程领域中有广泛的应用。

例如，在交流电路中，复数用于表示电压和电流的相位关系。

复数的概念及其运算

0 , 解 m 0 或 m -1 得
5
当m=0或m=-1 线x+y+3=0上

5
时，复数z对应的点在直
变式训练
已知复数z=m2(1+i)-m(3+i)-6i,则当m 为何实数时,复数z是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应点在第三象限？
参考答案
解：由题设可知 z=m(m-3)+(m+2)(m-3)i （1）m=-2或m=3 （2）m≠-2且m ≠ 3 （3）m=0 （4）0＜m ＜ 3
数学教师
张永龙
• 1.复数的概念（1）理解复数的基本概念；（2）理解复数相等的充要条件；（3）理解复数的代数表示方法及其几何意义 • 2.复数的四则运算（1）会进行复数代数形式的四则运算；（2）了解复数代数形式的加、减运算的几何意义
考纲解读
预习案
复数的有关概念
（1）复数的概念形如 a+bi(a,b∈R ) 的数叫做复数，其中a,b分别是它的实部和虚部，复数分类：若 b=0 时，a+bi为实数，若b≠0 时， a+bi为虚数，若 a=0,b≠0 时,a+bi为纯虚数
4
考点二参考答案
1.2-i 1 1 3.2 2 i 5.2 7.-1 9.-2i 2.-i 4.4+2i 6.2i 1 8. 6 10.1+2i
典型例题二
• 已知 z 1 i
• （1）如果
2

z
2
3 z 4, 求的值
• （2）如果
z az b z z1
2
1 i , 求实数a，b的值

初中数学教案复数的概念与运算

初中数学教案复数的概念与运算初中数学教案复数的概念与运算一、引言数学是一门理性而严谨的学科，而其中的概念与运算则是构建数学体系的基石。

对于初中数学来说，复数的概念与运算是其中重要而基础的一部分。

本教案旨在引导学生全面理解复数的概念，并掌握复数的基本运算规则。

二、复数的定义1. 实数的局限性在以实数为基础的数轴上，我们可以找到每一个实数对应的位置。

然而，有些方程在实数范围内却无法找到解。

例如，方程$x^2 + 1 = 0$在实数范围内无解。

这时，我们引入了虚数单位$i$，定义为$i^2 = -1$。

2. 复数的定义在实数的基础上，我们引入了虚数单位$i$，并定义复数为形如$a+bi$的数，其中$a$和$b$都是实数，且$a$为实部，$b$为虚部。

三、复数的表示与性质1. 复数的实部与虚部对于复数$a+bi$，其中$a$为实部，$b$为虚部。

2. 复数的共轭对于复数$a+bi$，其共轭复数为$a-bi$。

3. 复数的等于关系两个复数相等，当且仅当它们的实部相等且虚部相等。

四、复数的运算1. 复数的加法将两个复数的对应实部相加，对应虚部相加，即$(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i$。

2. 复数的减法将两个复数的对应实部相减，对应虚部相减，即$(a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i$。

3. 复数的乘法根据分配律和$i^2=-1$，将两个复数相乘可得到，$(a+bi) \cdot (c+di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac-bd) + (ad+bc)i$。

其中，$(ad+bc)i$部分由于$i^2=-1$，因此可以简化为$(ac-bd) + (ad+bc)i$。

4. 复数的除法为了将复数相除，我们可以通过乘以除数的共轭来实现，即$(a+bi) \div (c+di) = \frac{(a+bi) \cdot (c-di)}{(c+di) \cdot (c-di)}$。

复数的基本概念及其运算

复数的基本概念及其运算一、考点：(1) 复数的概念(2) 复数的几何意义。

(3)复数的运算法则，能正确地进行复数的运算二、主要内容1.引人:实数的局限性，比如说：在实数范围内-2没有平方根，那么-2真的没有平方根吗？ 2．复数的有关概念和性质：(1)i 称为虚数单位，规定21i =-，形如a+bi 的数称为复数，其中a ，b ∈R ． (2)复数的分类(下面的a ，b 均为实数)(3)复数的相等设复数1112221122,(,,,)z a bi z a b i a b a b R =+=+∈，那么12z z =的充要条件是：1122a b a b ==且．注：两个不全为实数的复数不能比较大小(如：2i>i,2i=i,2i<i 都是错误的)(4)复数的几何意义表示复数z=a+bi （a ，b ∈R ）可用平面直角坐标系内点Z(a ，b)来表示．这时称此平面为复平面，x 轴称为实轴，y 轴除去原点称为虚轴．这样，全体复数集C 与复平面上全体点集是一一对应的．复数z=a+bi (),a b R ∈．在复平面内还可以用以原点O 为起点，以点Z(a ，b)向量所成的集合也是一一对应的(例外的是复数0对应点O ，看成零向量)． (6)复数的模：对于复数z=a+bi （a ，b ∈R ），|z|表示复数z 的模，22||b a z +=(7)复数与实数不同处:①任意两个实数可以比较大小，而任意两个复数中至少有一个不是实数时就不能比较大小． ②实数对于四则运算是通行无阻的，但不是任何实数都可以开偶次方．而复数对四则运算和开方均通行无阻．3．复数的代数运算（1）i4n=1，i 41n +=i ，i 42n +=-1，i 43n +=-i ；（2）i n· i 1n +· i2n +·i3n +=-1， i n ＋i 1n +＋i2n +＋i3n +=0；；()()()()()()()()()()()()052222221222212121≠+-+++=-+-+=++=+==•∈+=++-=•±+±=±∈+=+=z i dc ad bc d c bd ac di c di c di c bi a di c bi a z z b a z z z R b a bi a z i ad bc bd ac z z i d b c a z z R d c b a di c z bi a z ；，则，；特别，若；，，，，，(6)复数的乘法满足交换律、分配率与结合律：)()(;3213211221z z z z z z z z z z ⨯⨯=⨯⨯⨯=⨯3121321)(z z z z z z z ⨯+⨯=+⨯三、典型例题分析①实数？②虚数？③纯虚数？ ④在复平面上对应的点第三象限?2、已知复数)()65(167222R a i a a a a a z ∈--+-+-=，实数a 取什么值时，z 分别为： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数.3、实数k 为何值时，复数)32(2)53()1(2i k i k i z +=+-+=分别是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)零.练习：若__________723=∈++∈x R iix R x ，则，例2 已知0)2(622=--+-+i y x y x ，求实数x,y 的值.例3 已知i ai a 4421+-=+-，求复数a.例4 .,)3(12y x i y y i x y x 与求）是纯虚数，且满足（是实数，已知--=+-练习：求适合等式：i y y i x )2()13(-+=+-的x,y 的值，其中R x ∈，y 是纯虚数.例5 (1)复数2i i z +=在复平面对应的点在第_______象限。

复数的概念和运算

复数的概念和运算复数是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域。

本文将介绍复数的概念和运算，以及复数在实际问题中的应用。

一、复数的概念复数是由实数和虚数组成的数，形式为a+bi，其中a为实部，b为虚部，i为虚数单位。

实部和虚部可以是任意实数。

例如，3+2i和-5-4i都是复数。

其中，3是实部，2i是虚部。

二、复数的表示形式复数有多种表示形式，常见的有代数形式、三角形式和指数形式。

代数形式即a+bi的形式，是复数最常见的表示方法。

三角形式则是使用模长和幅角来表示复数，形式为|z|∠θ。

指数形式则是使用指数函数e的幂次来表示复数，形式为re^(iθ)，其中r为模长，θ为幅角。

三、复数的运算复数的运算包括加法、减法、乘法和除法。

这些运算可以通过分别对实部和虚部进行运算来完成。

下面以代数形式为例进行说明。

1. 复数的加法要计算两个复数的加法，只需将它们的实部相加，虚部相加即可。

例如，(3+2i)+(5-4i)=8-2i。

2. 复数的减法复数的减法与加法类似，只需将减数取相反数后再进行加法运算即可。

例如，(3+2i)-(5-4i)=-2+6i。

3. 复数的乘法复数的乘法是通过将两个复数的实部、虚部按照指定规则相乘得到。

例如，(3+2i)*(5-4i)=23+2i。

4. 复数的除法复数的除法是将被除数与除数的共轭复数相乘，然后分别除以除数的模长的平方。

例如，(3+2i)/(5-4i)=-0.2+0.56i。

四、复数的应用复数广泛应用于工程、物理、电子等领域，在实际问题中具有重要作用。

1. 电路分析在电路分析中，复数可以用来表示电流和电压之间的相位关系。

复数的乘法和除法可以简化对电路的计算和分析。

2. 信号处理在信号处理中，复数常用于表示正弦信号或复杂信号的频谱。

通过对复数进行运算，可以提取信号的频率、相位等重要信息。

3. 振动分析在振动分析中，复数可以用来表示物体振动的幅值和相位。

通过对复数进行运算，可以得到振动的幅频特性和相频特性。

复数的基本概念和运算

• 向量表示
–模
| z | r x2 y2
– 幅角 q Argz arg z 2k
q0 arg z, q0
z=0时辐角不确定
y
q
O
• 三角表示： z r(cosq i sinq )
• 指数表示： z reiq eiq cosq i sinq
z x iy ( x,y )
复平面内，下列各式连续：
w zn
多项式：w= P(z) a0 a1z L an zn
有理式：w= P(z) 在Q(z) 0 Q(z)
9
3、导数导数定义形式与实变相同，求导法则与实变相同。
w
f (z)
定义在区域D内，z0
D，如果
lim
z 0
f (z0 z) z
f (z0 )
存在，称 f (z)在z0 可导
x
P
z=x+iy x
2
y
辐角主值公式： arc tg y
2
x2
2
1
q0
x
3
4
arc
tg
y x
当 x 0, y 0 (1，4象限） 0
arc
tg
y x
当 x 0, y （ 0 2象限）
q0
arg
z
arc tg
y x
当 x 0, y （ 0 3象限）
2
当 x 0, y 0（y轴上） 0
3.乘幂与幂函数：ab、zb
乘幂 ab ebLna.
由于 Lna ln a i(arg a 2k ) 是多值的, 因而ab 也是多值的.
(1) b 为整数:
a e e e e b bLna b[ln a i(arga2k )]

复数的基本概念与运算

复数的基本概念与运算复数（Complex Number）是数学中的一个重要概念，在实际问题的建模和求解中起到了重要的作用。

它由实数和虚数部分组成，是一类具有特定形式的数。

本文将介绍复数的基本概念以及复数的运算规则。

一、复数的基本概念复数是由实数和虚数组成的数。

在复数中，虚数部分由虚数单位i（i^2=-1）表示。

一个复数可以写成a+bi的形式，其中a是实部，b是虚部。

实部和虚部分别是复数的实数部分和虚数部分。

二、复数的运算规则1. 复数的加法运算：将两个复数的实部分相加，虚部分相加。

例如：(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i2. 复数的减法运算：将两个复数的实部分相减，虚部分相减。

例如：(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i3. 复数的乘法运算：根据分配律和虚数单位i的定义，进行计算。

例如：(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i4. 复数的除法运算：将被除数与除数同时乘以除数的共轭复数，然后按照乘法运算规则计算。

例如：(a+bi)/(c+di)=((ac+bd)+(bc-ad)i)/(c^2+d^2)三、复数的性质1. 复数的共轭：将复数的虚部加负号，即得到该复数的共轭复数。

例如：对于复数a+bi，它的共轭复数是a-bi。

2. 复数的模：复数的模表示复数到原点的距离，也就是复数的绝对值。

例如：对于复数a+bi，它的模是√(a^2+b^2)3. 复数的实部和虚部性质：（1）若复数的实部和虚部都为零，则该复数为零，记作0。

（2）若复数的实部为零，虚部不为零，则该复数为纯虚数。

（3）若复数的虚部为零，实部不为零，则该复数为实数。

四、复数的图示表示我们可以将复数在复平面上进行图示表示。

将复数a+bi表示为平面上的一个点P，P的横坐标是a，纵坐标是b。

通过这种方式，可以直观地理解复数的实部和虚部以及复数的运算规则。

五、应用复数在物理学、工程学、经济学等领域中具有广泛的应用。