线性代数 期末练习(四)答案

线性代数练习(四) 参考答案
一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”） (每小题3分，共12分)
1、齐次线性方程组总是有解的.（ √ ）
2、设A 与B 都是n 阶矩阵，则222()2A B A AB B -=-+.（ × )
3、设A 是n 阶矩阵，c 是常数，则cA c A =. （ × ）
4、若A 是n 阶矩阵，其n 个特征值均为非零的，则A 是非奇异的 （ √ ） 二、单项选择题(在每小题四个备选答案中选出一个正确答案, 填在题中括号内)
(每小题4分, 共20分)
1、行列式600
300301395200199204
100103=（ ）
()()()()500 ;
500 ; 2000 ;
2000 .A B C D --
103100204
1031204
3
1
4
35
4
35
199200395100199239510012510000551002000
13
3013006003013600130130
==--=-=⨯=答案： ()C 2、 若11221216,1345x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
= ⎪
⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
则( ).
()()()()111111115, 3 ; 5,8 ; 3, 1 ; 8, 1 .A x y B x y C x y D x y =-==-===-==-
答案：1
112212323216581311114531x y x y --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=⇒== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪---------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
选().B
3、设12,,...,m ααα均为n 维向量, 下列结论中, 正确的是（ ()B ）
()A 若1122...0m m k k k ααα+++=, 则12,,...,m ααα线性相关
()B 若对任意一组不全为零的数12,,...,m k k k , 都有1122...0m m k k k ααα+++≠,
则12,,...,m ααα线性无关
()C 若12,,...,m ααα线性相关, 则对任意一组不全为零的数12,,...,m k k k ,
都有1122...0m m k k k ααα+++=
()D 若1200...00m ααα+++=, 则12,,...,m ααα线性无关.
4、设11121321
2223
21
222311
121331
32
331131
1232
1333,a a a a a a A a a a B a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭
120101001
00,010001101P P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 则B =（ ()C ）成立.
()A AP 1P 2 ； ()B AP 2P 1; ()C P 1P 2 A ；
()D P 2P 1A ； 5、设,m s s n A B ⨯⨯，则以下正确的结论是( ()A )
()A ()(),()()AB A AB B ≤≤秩秩秩秩； ()B ()(),()()AB A AB B <<秩秩秩秩
()C ()()()AB A B <+秩秩秩； ()D ()()()AB A B ≤+秩秩秩
三、填空(将正确答案填在题中横线上, 每小题4分, 共22分) 1、设4A =已知，则AA '=16
解：2
2
,4,16AA A A AA A ''==⇒==
2、设12,,,r ηηη 是0AX =的基础解系，12,,n ααα 为A 的n 个列向量， 若
12n βααα=+++ ， 则方程组AX β=的通解为1122111r r X k k k ηηη⎛⎫ ⎪ ⎪=++++ ⎪ ⎪⎝⎭
. 3、常数12345,,,,,a a a a a 满足123450a a a a a ++++= 是方程组
121232343454
515
x x a x x a x x a x x a
x x a -=⎧⎪-=⎪⎪
-=⎨⎪-=⎪-=⎪⎩ 有解的 充分必要条件 4、设方阵0005001008002000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则80,A =- A 的逆矩阵是110
0021000801001
00
05
A -⎛
⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
5、设A 为4阶矩阵，2A =, 13A A -*-=则1
2。

四、设()1,1,1,11--=α，()1,1,1,12=α，()8,4,2,13=α，()27,9,3,14=α，试讨论向量组
αααα1234,,,的线性相关性。

(4分)
解：因为()()()()()()11111111
112131213132480124813927
--=+++---=≠
故αααα1234,,,线性无关 .
五、 设()4,3,2,11-=α, ()1,4,3,22-=α , ()3,8,5,23--=α, ()45,26,9,12α=-- ,
()2,1,4,35-=α , 求向量组ααααα12345,,,,的一个极大线性无关组，并将其余的向量表示成
它的线性组合. (10分) 解：令
A ='''''ααααα12345
， 对A 作初等行变换：
122531225312253235264019161001916103489105112400469246413122095814007615276A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--------
⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪------ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭
1225
3120911005101916100102101021001210012100121000000000000000-⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪------
⎪ ⎪ ⎪→→→ ⎪ ⎪ ⎪--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 故ααα123,,是它的一个极大线性无关组。

41234123522;=+-=-++αααααααα
六、求齐次线性方程组1234512345
12351234522023203503230
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=⎧⎪++-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++-+=⎩的基础解系. (8分)
答案：对系数矩阵作初等变换：
122111
0857231120
15343510100000113230
0000A ---⎛⎫⎛⎫
⎪
⎪
---
⎪
⎪
=→→ ⎪
⎪- ⎪
⎪
-⎝⎭⎝⎭
得同解方程组13452345857534x x x x x x x x =-+-⎧⎨=-+⎩, 取3451000,1,0001x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
得一个基础解系：123(8,5,1,0,0),
(5,3,0,1,0),(7,4,0,0,1)ααα'''=-=-=-
七、 设2
30A A +=, 求证：2A E +可逆，并求1
(2)A E -+. （6分）
证明：（凑项法） 2
2
30322A A A A E E +=⇒++= ，
1
()(2)2()(2)2
A E A E E A E A E E ⇒++=⇒
++= ∴ 2A E +可逆 ; 且 1
1(2)()2
A E A E -+=+.
八、设 210120003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
， 求正交矩阵T ，使 T
T AT 为对角阵，并写出对角阵.（11分）
解：A 的特征值为 λ11= , λλ233==
当λ11=时， 110110110001000000E A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=--→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
对应于λ11=的特征的向量 为1110k -⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
()10k ≠
当λλ233==时 , 1101103110000000000E A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
-=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,
对应于λ23=的特征向量为2110x ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，3001x ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
, 将x x x 123,,单位化，
1230,
,
0100ααα⎛ ⎛⎫
⎪
⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
令
0000
1T ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=
⎪ ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭
, 则T 是正交矩阵， 且 133T AT ⎛⎫ ⎪'= ⎪ ⎪⎝⎭
九、设A 是n 阶方阵，2
A E =，证明矩阵的秩的关系式：（7分）
()()r A E r A E n ++-=
证明： 2
2
10A E A A A =∴=⇒≠⇒ 可逆()r A n ⇒=
()()()()2,(2)()A E A E A r A E r A E r A r A n ++-=∴++-≥==
()()2()(),A E A E A E O r A E r A E n +-=-=∴++-≤
所以 ()()r A E r A E n ++-=。