求幂级数的和函数步骤
求幂级数的和函数步骤
通常求幂级数的收敛半径和收敛区间如果幂级数有n，（n+1）和其他系数，则必须先逐项积分级数，将这些系数约化，然后将它们转换为几何级数，然后计算和。
当然，对于积分，你必须记住在将来计算级数和的导数。
同理，如果幂级数有1/N，1/（N+1）等系数，则必须先逐项导出级数项，这还需要将这些系数减去并转换成几何级数，然后用计算。
只有在将来，我们将对级数的和进行积分。
简言之，如果有导数，它将对应于将来的积分，反之亦然。
因为我们可以用微分和积分作为逆运算，这是为了恢复级数。
幂级数及其函数的计算是幂级数运算的重点和难点，具有一定的技巧。
结合多年的教学实践，介绍了求幂级数和函数的最基本方法。
关键词：幂级数；和函数积分；逐项推导收敛面积。
中图分类号：o173文献号：文献号：1008-6714（2009）02-0005-02受理日期：2008年11月27日河南内黄，讲师，高等数学及其在各专业的应用。
幂级数与函数的基本思想是：通过加、减、乘、逐项求导或逐项积分运算，将幂级数转化为已知幂级数（如几何级数求原幂级数）和函数。
下面的例子说明了求幂级数和函数的最基本方法。
首先需要求和函数的域，即幂级数的收敛区域。
很容易得到幂级数的收敛面积[这是X的公比，散度的几何级数。
注：逐项扣除后，收敛区间终点的收敛性可能发生变化。
终点需要讨论。
注：逐项积分后，收敛区间结束时的收敛性可能会发生变化。
目前，它们是发散的，因此收敛区域与收敛区间相同。
导言：这个问题可以得到一个想法。
这是串联连接。
利用几何级数的求和公式，可以求出原始幂级数的和。
当输入1时，级数是发散的，因此幂级数的收敛区域是（-上一个幂级数。
如果你想使它成为一个与X有关的常数，你可以用项积分法。
设s11如果幂级数发散，则幂级数的收敛区域为（-2n）X2N-2nx2n-。
求幂级数的和函数
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。
求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。
以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x) 计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。
二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。
积分总是从收敛中心到x积分。
解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。
三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。
解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。
四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。
一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数（2）逐项求导、逐项积分法（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。
因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。
幂级数的求和方法
幂级数的求和方法作者：杜道渊来源：《价值工程》2010年第26期摘要: 本文应用高等数学的知识,介绍了幂级数的几种常见的求和方法及技巧。
Abstract: By means of the relevant knowledge from the advanced mathematics, some general summation method and techniques of power series are introduced in this paper.关键词: 幂级数;收敛区间;求和Key words: power series; convergence interval; summation中图分类号:G42 文献标识码:A文章编号:1006-4311(2010)26-0202-010引言幂级数ax的求和问题是无穷级数中的重点也是难点,同时具有较强的技巧性。
下面谈谈幂级数的几种常见的求和方法。
1计算部分和的极限根据无穷级数收敛的定义知:部分和的极限如果存在,则该极限就是无穷级数的和。
对于幂级数ax,设前项和为s(x),则s(x)=s(x)例1求幂级数nx(x解:记部分和s(x)=kx,则xs(x)=kx,s(x)-xs(x)=-nx,s(x)=-x,因为x2逐项微分幂级数在其收敛区间内其和函数是可导的,且有逐项求导公式s′(x)=ax′=ax′=nax通过对幂级数的逐项求导将其转化为能求出和函数的幂级数,再积分即可。
例2在区间(-1,1)内求幂级数x的和函数,并由此计算级数的和解:设和函数为s(x),则s(x)=x=x+xx=,设s(x)=x,逐项求导得s(x)=x=两边积分s(x)dx=dx=-ln(1-x)=s1(x)所以s(x)=-ln(1-x)令得x=得=s=-ln1-=1+ln23逐项积分幂级数在其收敛区间内其和函数是可积的,且有逐项积分公式s(x)dx=axdx=axdx=x通过对幂级数的逐项积分将其转化为能求出和函数的幂级数,再求导即可。
幂级数和函数的求法
幂级数和函数的求法
幂级数和函数是数学中常见的一类函数，其求法涉及到数学分析、微积分等多个领域。
一般来说，幂级数和函数的求法可以分为以下几个步骤：
1. 确定幂级数的收敛域：幂级数的收敛域是指该函数在哪些点
上收敛，在哪些点上发散。
一般可以使用收敛定理、比值测试、根值测试等方法来确定幂级数的收敛域。
2. 求幂级数的和函数：如果幂级数在某个点上收敛，那么可以
使用求和公式来求出该点处的和函数。
对于一些特殊的幂级数，可以使用换元、分部求和等方法来求解。
3. 讨论和函数的性质：求出幂级数的和函数之后，需要进一步
讨论其在收敛域内的性质，比如连续性、可导性、可积性等等。
总之，幂级数和函数的求法是一个比较复杂的过程，需要灵活运用数学知识和方法，才能得到准确的结果。
- 1 -。
求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧
求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求幂级数的和函数在数学分析中是一个常见的问题，而求解和函数的方法与技巧也是学习数学的关键之一。
在求幂级数的和函数时，我们需要考虑到级数的收敛性、展开式、导数运算等方面，下面将介绍一些常用的方法与技巧。
一、使用对数或幂级数的性质在求解幂级数的和函数时，可以利用对数或幂级数的性质进行简化。
对幂级数进行对数运算，可以将幂级数转化为常数级数，然后利用级数性质求解。
利用级数的加法性质和乘法性质，可以将不同的级数相加或相乘，进一步简化求解过程。
二、利用级数收敛性判断在求解幂级数的和函数时，首先需要判断级数是否收敛。
常用的收敛判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
根据级数的收敛性，可以确定求幂级数的和函数的适用范围，避免在不收敛的情况下进行求解。
三、展开式与递推关系在求解幂级数的和函数时，可以利用展开式与递推关系简化求解过程。
通过展开级数，可以将级数转化为有限项求和的形式，进而求解和函数。
利用递推关系可以根据前一项的求和结果来求解后一项，从而加快求解速度。
四、使用导数运算五、利用变元替换在求解幂级数的和函数时，可以通过变元替换简化求解过程。
通过对级数的变元进行替换，可以将原级数转化为新的级数形式，从而简化求解过程。
利用变元替换的方法可以将级数转化为更容易求解的形式，提高求解效率。
求幂级数的和函数通常需要结合数学分析的知识和技巧进行求解。
在实际求解过程中，可以根据具体情况选择合适的方法与技巧，避免繁琐的计算过程，提高求解效率。
希望以上介绍的方法与技巧对您有所帮助，帮助您更好地理解和应用求幂级数的和函数的知识。
第二篇示例：求幂级数的和是数学分析中一个重要的问题，具有广泛的应用和理论意义。
通常来说，求幂级数的和需要使用一些方法和技巧来进行求解。
下面我们将介绍一些常用的方法和技巧，帮助我们更好地理解和解决这个问题。
1. 泰勒级数展开法泰勒级数是一种将一个函数在某点附近用一个多项式来近似表示的方法。
求幂级数的和函数
求幂级数的和函数求幂级数的和函数幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xS(t)dt=0n=00antndt=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0（A）∞∑limx→R−S(x)=n=0anRn∞∑limx→R+S(x)=n=0求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；21132、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定5261出错。
扩展资料幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐4102项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收1653敛。
高等数学：第七讲 幂级数的和函数
s(x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x R, R
n1
n1
n1
幂级数的和函数的求法
总结：当 n 在分母时，利用性质2，先求
导，后积分.
当 n 在分子时，利用性质1，先积
分，后求导.
例题2：
求幂级数 n1
1 n
xn
的和函数
S
(
x)
.
解
an
1 n
,
所以，收敛半径 R 1
f
x
x
s(t)dt
x
[
nt n1]dt
x nt n1dt xn
0
0
0
n1
n1
n1
因为： xn
x
n1 1 x
所以
S x
f
x
1
1 x2
x (1,1)
谢谢
un (x2 ) S2
n1
幂级数的和函数的概念xDSຫໍສະໝຸດ un(x) S xn1
我们称 S x 为函数项级数 un(x)的和函数，
此函数的定义域就是级数
un
(
x)
n的1 收敛域.
n1
特别地，当级数是幂级数anxn 时，它对
n0
应的和函数S x 称为幂级数的和函数.该函数
的定义域就是幂级数 anxn的收敛域.
收敛区间 (1,1)
由性质2得
Sx (
1 xn )
( 1 xn )
x n 1
n1 n
n1 n
n1
由例1得： xn1
1
所以
n1
1 x
S
x
x 0
S
'(t)dt
求幂级数的和函数步骤
求幂级数的和函数步骤
求幂级数的和函数的方法，通常是：
1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；
2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。
幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收敛。
柯西准则
级数的收敛问题是级数理论的基本问题。
从级数的收敛概念可知，级数的敛散性是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。
因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数p，有|u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。
幂级数求和方法总结
幂级数求和方法总结关于幂级数求和的探讨例1 求幂级数∑∞[]n=0_n[]n+1的和函数。
解先求收敛域。
由limn→∞an+1[]an=limn→∞n+1[]n+2=1得收敛半径R=1。
在端点_=—1处，幂级数成为∑∞[]n=0（—1）n[]n+1，是收敛的交错级数；在端点_=1处，幂级数成为∑∞[]n=01[]n+1，是发散的。
因此收敛域为I=[—1，1]。
设和函数为s（_），即s（_）=∑∞[]n=0_n[]n+1，_∈[—1，1）。
（1）于是_s（_）=∑∞[]n=0_n+1[]n+1。
（2）利用性质3，逐项求导，并由1[]1—_=1+_+_2+…+_n+…，（—1 得[_s（_）]′=∑∞[]n=0_n+1[]n+1=∑∞[]n=0_n=1[]1—_，（|_|对上式从0到_积分，得_s（_）=∫_01[]1—_d_=—ln（1—_），（—1≤_≤1）。
（5）于是，当_≠0时，有s（_）=—1[]_ln（1—_），而s（0）可由s（0）=a0=1得出，故s（_）=—1[]_ln（1—_），_∈[—1，0）∪（0，1），1，_=0。
（6）一、错误及原因分析1.忽略幂级数的起始项例如在求解幂级数∑∞[]n=1_n的和函数时，有学生就很容易将其和函数写为s（_）=1[]1—_，而事实上其和应该为s（_）=_[]1—_。
该错误产生的原因在于学生忽略了幂级数的起始项，习惯性的把第一项默认为1。
2.忽略和函数的定义域产生该错误的原因，主要是学生对和函数的概念理解不透彻，无穷多项求和其和并不总是存在的，即不总是收敛的，所以在求和函数时，首先要判断在哪些点处和是存在的，这些点的集合就是和函数的定义域，即幂级数的收敛域。
3.错误地给出和函数的定义域，即幂级数的收敛域该错误的产生主要源于利用和函数的分析性质求解和函数时，忽略了收敛域的变化。
上述例子中的（5）式就出现了这方面的错误。
4.忽略了收敛域中的特殊点在上述例子式中，利用（5）求s（_）时，需要在等式两边同时除以_。
求幂级数的和函数
在高等数学中,求幂级数的和函数的一般步骤是什么?_ ：通常,首先求出幂级数的收敛半径,收敛区间如果幂级数有n、(n+1)等系数时,需要先将级数逐项积分,约掉这些系数,就可能化为几何级数了,然后求其和.当然,与积分对应的,一定记得将来对这个级数的和再求导数.同理,如果幂级数有1/n、1/(n+1)等系数时,需要先将级数逐项求导,也是为了约掉这些系数,化为几何级数,然后求其和.只是将来对这个级数的和再求积分.总之,有一次求导,将来就要对应一次积分,反之也一样.因为我们可以把求导和积分看成逆运算,这样做的目的是要将级数还原.【幂级数和函数求法的和函数怎么求?】：答案是1/[(1-x)^2] 采用先逐项求积分,再求导数即可解决. 具体过程见我刚做的图片:【什么叫函数展开成幂级数以及计算方法】：当x=0 时,S(0)=0.当x≠0 时,S(x) = ∑ n^2*x^n = x∑ [(n+1)n-n]*x^(n-1),S(x)/x = ∑ (n+1)n*x^(n-1) - ∑ n*x^(n-1)= [∑ x^(n+1)]'' - [∑ x^n]'= [x^2/(1-x)]'' - [x/(1-x)]' = 2/(1-x)^3- 1/(1-x^2) = (1+x)/(1-x)^3,得S(x) = x(1+x)/(1-x)^3,已包含了x=0 的情况.求幂级数和函数具体步骤!_ ：解:设S=∑[(-1)^n][x^(n+1)]/[(n+1)2^(n+1)],两边对x求导,有S'=∑[(-1)^n][x^n]/2^(n+1)=(1/2)∑[(-1)^n][(x/2)^n,而在丨x/2丨<1时,∑[(-1)^n][(x/2)^n=1/(1+x/2)=2/(x+2),即S'=1/(x+2),∴S=∫dx/(2+x)=ln(x+2)+C.又,x=0时,S=0,∴C=-ln2,∴S=ln(1+x/2).供参考.求幂级数的和函数,求详细步骤! ：写的表达式有误, n 应该从1 开始(x^n)/[n(n+1)] = (x^n)/n - (x^n)/(n + 1) = (x^n)/n - (1/x)[x^(n+1)]/(n + 1)前一项的无穷级数和为ln|1-x|后一项的无穷级数和为(1/x)ln|1-x| - x所以原式= ln|1-x| - (1/x)[ln|1-x| - x] = ( 1- 1/x)ln|1-x| + 1幂级数的和函数怎么求_ ：如果只是一般的1,x,x^2…baix^n当然直接使用公式得到[x^(n+1)-1]/(x-1)如果有系数du1,zhi2x,3x^2,…,dao(n+1)x^n就先专进行积分得到x,x^2…x^(n+1)相加之后再求导,得到和函数同理x,1/2 x^2,…,1/n x^n之类的就先进行求导,相加之后再积属分...。
求幂级数的和函数
幂级数的和函数幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
步骤：•求出收敛域.•在收敛区间上利用已知无穷级数的和函数或者逐项积分、逐项求导的方法求出和函数.•利用和函数的连续性, 考察上一步求出的和函数与原来函数在端点处是否相等.方法：求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定会出错。
一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导e69da5e887aa62616964757a686964616f31333433623736公式：∞∞∑∑S′(x)=(anxn)′=nanxn−1n=0n=0且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
01-13.9 幂级数求和及其一般步骤
(1,1).
设和函数为s( x), x (1,1),即
s( x) n 1 xn .
n1 n
对上式两边积分,得
x
x n1
xn
s( x)dx
=x .
0
n1 n
n1 n
对于
xn，
n1 n
令v( x) xn，x (1,1). n1 n
求导v(x) (
xn )
xn1
1
.
幂级数求和及其步 骤
ห้องสมุดไป่ตู้
求幂级数的和函数，一般来说，没什么规律可循，而且幂 级数的和函数不一定为初等函数. 但在一些简单情形下，可以用
若干已知初等函数的展开式进行简单运算求得. (1) 若干已知初等函数的展开式是指：ex ,sin x, cos x, 1 , 1 x
1 等的麦克劳林展开式； 1 x
(2) 简单运算是指： 变量代换---以-x代替x、以x2代替x等等，求导或积分运算
n1 n
n1
1 x
作逆运算--积分：
则v( x) v(0) x
v '( x)dx 1 dx,
x
x
0
1 dx,
01 x
即v( x) ln(1 x).
01 x
从而有
x
s( x)dx x ln(1 x).
0
求导得s( x) ln(1 x)+ x ，x (1,1). 1 x
方法2：
注意到 n 1 xn形式接近 x n1 .
n1 n
n1
由 xn1
1
,(| x | 1).
n1
1 x
两边积分：
xn
x
1
dx ln(1 x).
幂级数求和的八个公式
幂级数求和的八个公式
求幂级数求和公式是在数学中求解级数和的一种重要方法。
通过求幂级数求和公式，我们能够准确、快速地求解级数和。
由于幂级数种类繁多，我们将其分为8种类型的求和公式，即：
1.一般级数的求和公式：Sn=a1+a2+a3+…+an；
2.指数级数的求和公式：Sn=a1+a1.q+a1.q2+…+a1.qn-1；
3.等比数列求和公式：Sn=a1.（1-qn）/（1-q）；
4.等差数列求和公式：Sn=n（a1+an）/2；
5.平方数级数求和公式：Sn=（2a1+（n-1）d）（n/2）；
6.立方数级数求和公式：Sn=（2a1+（n-1）d）（n/2）；
7.求和前n项的二次方成比数列的和的公式：Sn=n（2a1+（n-1）d）/2；
8.求和前n项的立方方成比数列的和的公式：Sn=n2（2a1+（n-1）d）/6；
上述代表着不同的求幂级数求和公式，主要包括了一般级数求和公式、指数级数求和公式、等比数列求和公式、等比数列求和公式、等差数列求和公式，以及各种反比数列级数求和公式，这些公式都有自身的特定使用场合，当然，为了使自身学习成果前台更灵活，我们还需要本质上对各种求和公式有深入的了解。
幂级数的运算
x
=
2
1 −
x
∫0x[ xs(
x)]′dx
=
∫0x
2
1 −
dx x
2
xs( x) = [− ln(2 − x)]0x = ln 2 − ln(2 − x)
∞
∑
1
1 n2n
x n−1
=
1 2
+
2
x ⋅ 22
+
L
x = 0时，s( x) = 1 . 2
s(
x)
=
−1 x 1
ln(1
−
x ), 2
=
x
∞
∑
2
x n
n−1
−1
=
xg( x)
g′(
x)
=
∞
∑
x n−2
2
=
1
1 −
x
( x < 1)
g(
x)
−
g(0)
=
∫0x
1
1 −
dx x
=
−
ln(1
−
x)
g( x) = − ln(1 − x)
h( x)
=
∞
∑
2
xn n+1
=
1 x
∞
∑
2
x n
n+1
+1
g(
x)
=
∞
∑
2
x n−1 n−1
=
− ln(1
4 2x
∞
∑
2
(
n2
1 − 1)2n
=
s(1) 2
=
5 8
−
求幂级数的和函数步骤
通常，首先求出幂级数的收敛半径，收敛区间
如果幂级数有n、(n+1)等系数时，需要先将级数逐项积分，约掉这些系数，就可能化为几何级数了，然后求其和。
当然，与积分对应的，一定记得将来对这个级数的和再求导数。
同理，如果幂级数有1/n、1/(n+1)等系数时，需要先将级数逐项求导，也是为了约掉这些系数，化为几何级数，然后求其和。
只是将来对这个级数的和再求积分。
总之，有一次求导，将来就要对应一次积分，反之也一样。
因为我们可以把求导和积分看成逆运算，这样做的目的是要将级数还原。
1.第一步、对已知幂级数求导
2.第二步、积分求新级数的和函数
3.第三步、采用的和函数的求法
1.用定义或代换法
2.利用四则运算求和函数或利用（求导、积分法）求和函数
4.第四步、选择合适的方法，求和函数
5.第五步、讨论和函数在端点处的收敛性和值
6.第六步、总结
END
注意事项
•注意:观察端点对和函数是否有意义，如无意义需用定义求和函数
通常，首先求出幂级数的收敛半径，收敛区间
如果幂级数有n、(n+1)等系数时，需要先将级数逐项积分，约掉这些系数，就可能化为几何级数了，然后求其和。
当然，与积分对应的，一定记得将来对这个级数的和再求导数。
同理，如果幂级数有1/n、1/(n+1)等系数时，需要先将级数逐项求导，也是为了约掉这些系数，化为几何级数，然后求其和。
只是将来对这个级数的和再求积分。
总之，有一次求导，将来就要对应一次积分，反之也一样。
因为我们可以把求导和积分看成逆运算，这样做的目的是要将级数还原。
幂级数求和函数方法概括与总结
幂级数求和函数⽅法概括与总结常见幂级数求和函数⽅法综述引⾔级数是⾼等数学体系的重要组成部分，它是在⽣产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。
中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创⽴了“割圆术”，其要旨是⽤圆内接正多边形去逐步逼近圆，从⽽求得圆的⾯积。
这种“割圆术”就已经建⽴了级数的思想⽅法，即⽆限多个数的累加问题。
⽽将⼀个函数展开成⽆穷级数的概念最早来⾃于14世纪印度的马徳哈⽡，他⾸先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、⽆穷级数的有理数逼近等做了研究。
同时，他也开始讨论判断⽆穷级数的敛散性⽅法。
到了19世纪，⾼斯、欧拉、柯西等各⾃给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全⾯发展起来。
中国传统数学在幂级数理论研究上可谓⼀枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运⽤具有传统数学特⾊的⽅法对三⾓函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进⾏了深⼊的研究。
⽽今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在⼯程实践中有着⼴泛的应⽤，级数可以⽤来表⽰函数、研究函数的性质、也是进⾏数值计算的⼀种⼯具。
它在⾃然科学、⼯程技术和数学本⾝⽅⾯都有⼴泛的作⽤。
幂级数是⼀类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之⼀。
但很多⼈往往对这⼀内容感到困难。
产⽣这⼀问题的⼀个重要原因是教材对这⼀问题讨论较少，仅有的⼀两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到⽆从下⼿。
事实上，求幂级数和函数的⽅法与技巧是多种多样的，⼀般要综合运⽤求导、拼凑、分解等来求解，因此它是⼀个难度较⼤、技巧较⾼的有趣的数学问题。
⼀、幂级数的基本概念（⼀）、幂级数的定义 [1]1、设()(1,2,3)n u x n =L 是定义在数集E 上的⼀个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x E ++++∈L L为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。
2、具有下列形式的函数项级数200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑L L称为在点0x 处的幂级数。
求幂级数的和函数步骤
一、函数项级数的基本概念与收敛域的求解方法1、函数项级数相关的基本概念设函数u n(x)在集合D⊂R上有定义，称为D上的函数序列(或函数列). 称为定义在集合D上的函数项级数.如果对于任意一点x∈I⊂D，均存在u(x)，使得则称函数序列{ u n(x)}在点x处收敛，u(x)称为函数序列{ u n(x)}的极限函数，I称为函数序列{ u n(x)}收敛域.如果对于任一点x∈I⊂D，均存在S(x)，使得则称x为函数项级数的收敛点，I称为该函数项级数的收敛域，并且称函数S(x)为I上的函数项级数的和函数.若用S n(x)表示函数项级数前n项的和，即则称S n(x)为函数项级数前n项部分和函数. 并称为收敛域上的余项函数，并且有如果对于任一点x∈I⊂D，级数发散，则为函数项级数的发散点，I称为该函数项级数的发散域.2、函数项级数收敛域求解思路与步骤因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就发散区间+发散的端点=发散域 .二、幂级数的基本概念与收敛域的求解方法1、幂级数相关的基本概念幂级数是形式最简单，应用最广泛的一类函数项级数，是各项由幂函数组成的函数项级数. 幂级数的一般形式为特别令，则有其中a0,a1,…,a k,…都是实常数，称之为幂级数的系数．通过简单的变换x-x0=t，可以将幂级数的一般形式(1)转换为形式(2)．因此只需要讨论幂级数(2)的形式. 对于该级数也称为麦克劳林级数.2、求一般幂级数收敛域的基本步骤幂级数作为一类特殊的函数项级数，也适用于函数项级数收敛域的计算方法与步骤.一般的幂级数的收敛域的计算步骤为：第一步：借助于正项级数的比值审敛法或根值审敛法求收敛区间，即由令ρ(x)<1，解不等式求得幂级数的收敛区间。
第二步：借助于常值级数收敛性的判定方法判定幂级数在区间端点对应的常值级数的收敛性。
第三步：收敛区间加上收敛的端点构成幂级数的收敛域：收敛区间+收敛的端点=收敛域3、阿贝尔定理基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：定理1：(1) 若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；(2) 若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散．定理2：如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散．并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间．通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域.规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞．4、求标准幂级数收敛域的一般步骤标准幂级数是指幂级数项的指数是连续增长的正整数的级数，即展开后形式的级数，对于这样的级数由如下直接的收敛半径、收敛区间和收敛域计算方法与步骤：(1) 收敛半径：(2) 收敛区间即为(-R,R).(3) 判断端点x=±R的收敛性，收敛区间+收敛的端点=收敛域，发散区间+发散的端点=发散域 .【注】该步骤不适用于缺项的幂级数，如只有奇次幂或只有偶次幂的幂级数. 它们收敛域的计算适用于一般幂级数收敛域的计算方法与步骤，即函数项级数的判定方法.三、幂级数的运算性质1、幂级数的加减运算性质2、幂级数逐项可导，逐项可积性质（幂级数的和函数的连续性）幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续．反复应用上述结论可得：幂级数的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数．3、三个最基本函数的麦克劳林级数及其收敛域四、求幂级数和函数的基本步骤第一步：求收敛域.【注1】这一步也可以放在第二步后.第二步：通过换元，将幂级数转换为具有麦克劳林级数结构的级数表达式，即第三步：借助收敛域内幂级数的加减运算、逐项求导、逐项积分的解析性质，通过设幂级数和函数，对其两端分别进行求导、或积分运算将其转换为已知和函数的幂级数表达式。
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函数：
函数是指一段可以直接被另一段程序或代码引用的程序或代码。
也叫做子程序、（OOP中）方法。
一个较大的程序一般应分为若干个程序块，每一个模块用来实现一个特定的功能。
所有的高级语言中都有子程序这个概念，用子程序实现模块的功能。
在C语言中，子程序的作用是由一个主函数和若干个函数构成。
由主函数调用其他函数，其他函数也可以互相调用。
同一个函数可以被一个或多个函数调用任意多次。
在程序设计中，常将一些常用的功能模块编写成函数，放在函数库中供公共选用。
要善于利用函数，以减少重复编写程序段的工作量。
函数分为全局函数、全局静态函数；在类中还可以定义构造函数、析构函数、拷贝构造函数、成员函数、友元函数、运算符重载函数、内联函数等。
求幂级数的和函数步骤：
通常，首先求出幂级数的收敛半径，收敛区间
如果幂级数有n、(n+1)等系数时，需要先将级数逐项积分，约掉这些系数，就可能化为几何级数了，然后求其和。
当然，与积分对应的，一定记得将来对这个级数的和再求导数。
同理，如果幂级数有1/n、1/(n+1)等系数时，需要先将级数逐项求导，也是为了约掉这些系数，化为几何级数，然后求其和。
只是将来对这个级数的和再求积分。
总之，有一次求导，将来就要对应一次积分，反之也一样。
因为我们可以把求导和积分看成逆运算，这样做的目的是要将级数还原。