第十章 第3节 格林公式及应用(2)
高等数学 格林公式及其应用
D 单连通区域
D 复连通区域
2
10.3 格林公式及其应用
2. 格林公式
定理10.4(格林公式) 设闭区域D由分段光滑
的曲线L围成, 函数P(x, y)及Q(x, y)在D上具有一阶
连续偏导数, 则有
D
(Q x
P y
)dxdy
L
Pdx
Qdy
其中L是 D的取正向的边界曲线.
3
10.3 格林公式及其应用
分段光滑且不经过原点的连续闭曲线, L的方向为
逆时针方向.
解 记L所围成的闭区域为D,
令
P
y x2 y2
,
Q
x2
x
y2
则x当 2y20时 ,
有 Q x
y2 x2 ( x2 y2 )2
P y
22
10.3 格林公式及其应用
计算Lxdxy2yyd2x,
Q x
P y
D
(Q x
P y
)dxdy
L
•
A(a,0) x
Q ex cosy, P excosym
x
y
可知 Q P m 非常简单.
x y
18
10.3 格林公式及其应用
为L应不用闭格合林+公边式L＊再, 使补L充+一L＊段曲线, 使之构成
闭闭曲合线, .再因用在格补林充公的式曲.线上还要算曲线积分, 所以
补充的曲线要简单, 通常是补充与坐标轴平行的 直线段. 因而这里补加直线段 OA. y
L2
AFC , CE, L3 ,EC 及CGA构成.
B
由(2)知 D(Q xPy)dxdy
L3 E
C
L1 F A
格林公式及其应用
§10.3 格林公式及其应用一、格林公式一元微积分学中最基本的公式 — 牛顿、莱布尼兹公式'=-⎰F x dx F b F a ab ()()()表明：函数'F x ()在区间[,]a b 上的定积分可通过原函数F x ()在这个区间的两个端点处的值来表示。
无独有偶,在平面区域D 上的二重积分也可以通过沿区域D 的边界曲线L 上的曲线积分来表示,这便是我们要介绍的格林公式。
1、单连通区域的概念设D 为平面区域,如果D 内任一闭曲线所围的部分区域都属于D ,则称D 为平面单连通区域；否则称为复连通区域。
通俗地讲,单连通区域是不含“洞”(包括“点洞”)与“裂缝”的区域。
2、区域的边界曲线的正向规定设L 是平面区域D 的边界曲线,规定L 的正向为:当观察者沿L 的这个方向行走时,D 内位于他附近的那一部分总在他的左边。
简言之:区域的边界曲线之正向应适合条件,人沿曲线走,区域在左手。
3、格林公式【定理】设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成,函数P x y (,)及Q x y (,)在D 上具有一阶连续偏导数,则有()∂∂∂∂Q x Py dxdy Pdx Qdy DL -=+⎰⎰⎰ (1)其中L 是D 的取正向的边界曲线。
公式(1)叫做格林(green)公式。
【证明】先证 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L假定区域D 的形状如下(用平行于y 轴的直线穿过区域,与区域边界曲线的交点至多两点)易见,图二所表示的区域是图一所表示的区域的一种特殊情况,我们仅对图一所表示的区域D 给予证明即可。
D a x b x y x :,()()≤≤≤≤ϕϕ12[]-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰∂∂∂∂ϕϕϕϕP y dxdy dx P y dy P x y dx D a b x x abx x 1212()()()()(,)=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21另一方面,据对坐标的曲线积分性质与计算法有Pdx Pdx Pdx Pdx PdxLABBCCEEA⎰⎰⎰⎰⎰=+++弧弧=+++⎰⎰P x x dx P x x dx ab ba[,()][,()]ϕϕ1200=--⎰{[,()][,()]}P x x P x x dxabϕϕ21因此 -=⎰⎰⎰∂∂Py dxdy Pdx D L再假定穿过区域D 内部且平行于x 轴的直线与的D 的边界曲线的交点至多是两点,用类似的方法可证∂∂Qx dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=综合有当区域D 的边界曲线与穿过D 内部且平行于坐标轴( x 轴或y 轴 )的任何直线的交点至多是两点时,我们有-=⎰⎰⎰∂∂P y dxdy Pdx D L , ∂∂Q x dxdy Qdx D L ⎰⎰⎰=同时成立。
第十章 Green 公式(2)
AMB
( x y ) 2 dx ( x y ) 2 dy 和
x x2 八、试确定 ,使得 r dx 2 r dy 是某个函数 y y u( x , y ) 的全微分,其中r x 2 y 2 ,并求 u( x , y ) . k 九、设在半平面 x 0 内有力F 3 ( x i y j ) 构成力 r 2 2 k 为常数, r x y .证明在此力场中 场,其中 场力所作的功与所取的路径无关 .
xdy ydx x 2 y 2 2 其中正、负号取决于L 的方向 L
三、二元函数的全微分求积
G 设开区域 是一个单连通域, 函数 P ( x , y ), Q( x , y ) 在 内具有一阶连续偏导 G G 数, 则 P ( x , y )dx Q ( x , y )dy 在 内为某一 函数u( x , y ) 的全微分的充要条件是等式
( 3,4)
( 1, 2 )
(6 xy 2 y 3 )dx (6 x 2 y 3 xy 2 )dy 在整个 xoy 面
内与路径无关,并计算积分值 .
五、利用格林公式,计算下列曲线积分: 2 2 L 1、 L ( x y )dx ( x sin y )dy 其中 是在圆周
y 2 x x 2 上由点(0,0)到点(1,1)的一段弧；
练习题答案
一、1、 Pdx dyQ ；
L
p Q 2、 ； y x
3、10.
1 三、 . 30
3 2 四、 a . 8
五、236.
7 1 六、1、 sin 2 ； 2、-2. 6 4 七、1、当 L 所包围的区域 D 不包含原点时,0； 2、当 L 所包围的区域 D 包含原点,且 L 仅绕 原点 一圈时, 2 ； 3、当 L 所包围的区域 D 包含原点, 且 L 绕 原点 n 圈时, 2n .
第3节 格林公式及其应用
那末 Pdx Qdy Pdx Qdy
L1
L2
由于 Pdx Qdy Pdx Qdy
L2
L2
即 Pdx Qdy 0 .
L1
L
2
L1 L2 是 G内一条有向闭曲线 .
因此 , G内由曲线积分与路径无关
可推出,在 G 内沿闭曲线的积分为零 .
G
DC
x
于是我们得到与定积分中莱布尼兹公式类似的公式 ,
(x, y) Pdx Qdy U (x, y) ( x0 , y0 )
(x , y) ( x0 , y0 )
U (x, y) U (x0 , y0 )
,
其中 L 为一条无重点 ` 分段光滑
且不经过坐标原点的连续曲线 , L的方向为逆时针方向.
解 令 P y , Q x .当 x2 y2 0 时,有
x2 y2
x2 y2
? ? Q
x
y2 x2 x2 y2 2
, P y
y 2 x2 , Q P . x 2 y 2 2 x y
记 L 所围的区域为 D : (1) 当 (0, 0) D , 由格林公式
y
L D
L
xdy x2
ydx y2
D
Q x
P y
dxdy
0
D
dxdy
0
.
o
x
(2) 当 (0, 0) D ,取 r 适当小, 作小圆l
l : x2 y 2 r 2 , 记 L l 所围的区域为 D1 .
y
高等数学(同济大学)课件下第10_3格林公式
= −∫ 0⋅ dx + x∫0
1
x
y
dy x2 + y2
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或
y (1, y) (x, y)
dy =∫ 0 1+ y2
y
o
(1,0)
( x,0)
x
x = − arctan 2 y
π
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结束
例7. 设质点在力场
作用下沿曲线 L : 求力场所作的功W
π 移动到 由 A( 0, )
π
π
π
L
= k 2 思考: 思考 积分路径是否可以取 AOUOB ? 为什么？
无关 !
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π
o
Bx
注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径
内容小结
∂Q ∂P 1. 格林公式 ∫ Pd x + Qd y = ∫∫D ∂x − ∂y d xd y L 2. 等价条件 设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有
k =1 n
n
Dk
(
∂Q ∂P − ) dxdy ∂x ∂y
Dn
o
x
= ∑∫
k =1
∂Dk
Pdx + Qdy
(∂Dk 表 Dk的 向 界) 示 正 边
证毕
= ∫ Pdx + Qdy
L
定理1
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结束
∂Q ∂P − dxdy = ∫ Pdx + Qdy 格林公式 ∫∫ ∂x ∂y D L
d u(x, y) = P dx + Qdy ∂P ∂Q = . (4) 在 D 内每一点都有 ∂y ∂x
高等数学教学课件-2019 第三节 格林公式及其应 用
F 是
保 u (x 守 ,y)(场 x ,y) P (x ,y)d x Q (x ,y)d是 y x ,y 的
二 .
u(xx,y)u(x,y)(x 0,y0)
lim
x 0
x
l x 0 i 1 x m ( ( x x 0 ,y 0 x ) ,y ) P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d ( ( x y x 0 , , y y ) 0 ) P ( x ,y ) d Q x ( x ,y ) d y
LL
(xy)3
y3x 3yx
D
x((xy)3
) ( y (xy)3
)d
xdy
3 ( x y ) 3 ( y 3 x ) 3 ( x y ) 2 3 ( x y ) 3 ( 3 y x ) 3 ( x y ) 2
[
D
( x y ) 6
( x y ) 6
] d xd
L x2y2
c x2y2
2 0 co t((c so itt))2 n s (ssiti(tn )n 2 co t)d s t022co2ts22si2ntdt
2
0 dt2.
例 3、 计算 (ey1x 2)d y x(xyecoy)d s,其 y L 是 中 L 曲y线 11x2上A 从 (1,1)到 B (1,1)一.段
则
L
P(x,
y)dxQ(x,
y)dy
D(Qx
P)dxd.y y
证明 由 引 1 理 LP(x,y)dx D P ydxdy
由引 2 理 LQ (x,y)dy D Q xdxdy
LP(x,y)d xQ (x,y)d yD Q x P y dxdy
用第二型曲线积分表示区域的面积公式：
格林公式
为顶点的三角形闭区域．
解 令 P=0，Q=x e
y2
Q P y2 ，则 ， =e ． x y
y
y2
因此，由格林公式有
∫∫ e
D
y2
dxdy =
=
OA+ AB + BO
∫ xe
y2
dy
1 x2
B(0, 1)
dx
A(1, 1)
∫ xe
OA
dy = ∫ xe
0
1 = (1 e 1 ) ． 2
u u =P(x, y)， =Q(x, y)． x y 2 u P 2 u Q = = ， ． xy y yx x
2u 2u 由于 P、Q 具有一阶连续偏导数，所以 、 连续， xy yx P Q 2u 2u = 因此 ，即 ． = xy yx y x
充分性：
P Q = 已知 在 G 内恒成立，则积分 ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy L y x
y L1
恒成立，就说曲线积分 ∫ Pdx + Qdy
L
． B
在G内与路径无关，否则说与路径 有关． O A． L2 x
曲线积分与路径无关与闭曲线积分为零的等价性：
设曲线积分 ∫ Pdx + Qdy 在 G 内与路径无关，L 1 和 L 2 是 G
L
内任意两条从点A到点B的曲线，则有
∫
因为
L1
Pdx + Qdy = ∫ Pdx + Qdy ，
P Q y2 x2 2 2 = 则当 x +y ≠0 时，有 ． = 2 2 2 y x ( x + y )
记L 所围成的闭区域为D． 当(0, 0)D时，由格林公式得
高等数学10-3
格林公式及其应用
第三节 格林公式及其应用
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
一 格林公式 二 平面上曲线积分与路径无关的条件
-1-
第三节
格林公式及其应用
一 格林公式
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
为平面区域, 设D为平面区域 如果 内任一闭曲线所围成的部分 为平面区域 如果D内任一闭曲线所围成的部分 都属于D, 则称D为平面单连通区域, 否则称为复连通区 为平面单连通区域 都属于 则称 为平面单连通区域 否则称为复连通区 域.
不满足格林公式的条件， 但在 上， 2 + y 2 = a 2 所以 与 不满足格林公式的条件， 但在L上 x
( x + y )dx ( x y )dy 1 = 2 ∫ ( x + y )dx ( x y )dy 2 2 ∫L a L x +y
1 = 2 ∫∫ 2dxdy = 2π a D
-9-
例6 计算
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
其中L为一无重点且不过原点 其中 为一无重点且不过原点
的分段光滑正向闭曲线. 的分段光滑正向闭曲线 解: 令
则当x2 + y2 ≠ 0时 0时 ,
所围区域为D, ( 设 L 所围区域为 当 0,0) D时 由格林公式知 ,
y
L
o
- 12 -
x
L
D B
L2
x
L2 = BA, 则
x2
O
L A 1
∫L (2 xye
π
D
)dx + (e
0 1
x2
+ mx )dy = ∫
0
第三节格林公式及其应用2
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D (如图) , 因此在 D上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得
L
P
d
x
Q
d
y
D
(
Q x
Q x
)d
xd
y
0
证毕
说明: 根据定理2 , 若在某区域内 P Q , 则 y x
在 D 内有 d u P dx Q dy
思考与练习
1. 设
且都取正向, 问下列计算是否正确 ?
xd y 4ydx l x2 y2
y 2
l
DL o 1 2x
1 4
l
x
d
y
4y
d
x
1 4
D 5d
5
xd y ydx l x2 y2
提示: x2 y2 0时 (1) Q P
Q y
( x 0 ) o (1,0)
( x,0) x
由定理 2 可知存在原函数
x
0 dx
1
x
y dy 0 x2 y2
或
y dy 0 1 y2
arctan x
2
y
y (1, y) (x, y) o (1,0) ( x,0) x
重要结论:
设D 是单连通域 , 函数
y2 dx ax 2 y ln(x a2 x2 ) dy
C a2 x2
解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 .
原式 =
格林公式及其应用格林公式
格林公式及其应用格林公式格林公式是向量分析中的一个重要定理，也被称为格林-斯托克斯定理。
它是由爱尔兰数学家乔治·格林在19世纪提出的，用于计算一个曲线或曲面上的环流和散度之间的关系。
格林公式的应用非常广泛，可以用来求解流体力学、电磁学和热力学等领域的问题。
下面将介绍格林公式的表达形式，以及它在常见问题中的具体应用。
1.格林公式的表达形式格林公式有两种常见的表达形式，一种是针对平面区域的格林公式，另一种是针对空间曲线的格林公式。
下面将分别介绍这两种格林公式的表达形式。
1.1平面区域的格林公式若D是一个紧致的平面区域，边界为C（C是一个简单、逐段光滑的曲线），向量函数F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在区域D中具有二阶连续偏导数，则有如下格林公式：∬D（∂Q/∂x-∂P/∂y）dxdy=∮C(Pdx+Qdy)其中，∂P/∂y和∂Q/∂x分别表示P和Q对y和x的偏导数，dxdy表示在D中的面积元素，Pdx+Qdy表示沿着边界C的曲线元素。
1.2空间曲线的格林公式若S是一个有向光滑曲面，它的边界为C（C是一个简单、光滑的曲线），向量函数F(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))在曲面S内具有连续偏导数，则有如下格林公式：∯S（∂R/∂y-Q）dydz+（∂P/∂z-R）dzdx+（∂Q/∂x-P）dxdy=∮C(Pdx+Qdy+Rdz)其中，∂P/∂z、∂Q/∂x和∂R/∂y分别表示P、Q和R对z、x和y的偏导数，dydz、dzdx和dxdy表示在S内的面积元素，Pdx+Qdy+Rdz表示沿着边界C的曲线元素。
2.格林公式的应用格林公式具有广泛的应用，在流体力学、电磁学、热力学等领域都能够找到它的身影。
下面将以几个例子来说明格林公式的具体应用。
2.1流体力学中的应用格林公式在流体力学中常常用于计算流体的环流和散度。
例如，可以利用格林公式来推导速度势函数和流函数之间的关系，进而求解流场中的速度分布。
格林公式
2xydx x2dy 0. L
14
证明 2xydx x2dy 0. L
证: 因 P 2x y, Q x2, 则
利用格林公式
Q P
(
D
x
y
)dxdy
L Pdx
Qdy
得 L 2x y dx x2 d y 0dx d y 0 D 15
例3 计算
xdy ydx L x2 y2
Q dxdy
D x
d
dy
2 ( y) Qdx
证
Q dxdy
Q( x, y)dy
c
1 ( y) x
D x
L
d
c
Q(
2
(
y),
y)dy
d
c
Q(
1(
y),
y)dy
y
Q(x, y)dy Q(x, y)dy
CBE
CAE
d
E
x 1( y)
Q( x, y)dy Q( x, y)dy
y y
Q ( x2 y4 ) 2x x x
O
x
P Q 原积分与路径无关
y x
29
(x,y) P x, ydx Q x, ydy
( x0 , y0 ) x
x0 P( x, y0)dx
y
Q(x, y)dy
y0
( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy L
B(1,1)( x2 2xy)dx ( x2 y4 )dy
思考题解答 1. L由两部分组成
外边界：BCDAB
内边界：EGFE
y
D
C
G
E
F
oA
Bx
38
பைடு நூலகம்
高等数学第十章：曲线积分与曲面积分-3格林公式及其应用
G
一维单连通 二维单连通
G G
一维单连通 二维不连通
一维不连通 二维单连通
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围,
oL
解 引入辅助曲线 L, L OA AB BO
应用格林公式, P 0, Q x 有
Bx
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
dxdy L xdy
D
OA xdy AB xdy BO xdy,
多交于两点.
y
d x 1( y)
A c oa
E y 2(x)
D
B
x 2( y)
Cy 1(x) b
x
D {(x, y)1( x) y 2( x),a x b}
D {(x, y)1( y) x 2( y),c y d}
Tianjin Polytechnic University
CBE
EAC
LQ( x, y)dy
c o
C
x 2( y)
x
同理可证
D
P y
dxdy
L
P(
x,
y)dx
Tianjin Polytechnic University
Teaching Plan on Advanced Mathematics
两式相加得
D
(
Q x
P y
高等数学B：10_3格林公式及其应用
§10.3格林公式及其应用10.3.1格林公式1．单连通区域与复连通区域若平面区域D 内任一封闭曲线围成的部分都D 属于，则称为 D 单连通区域，否则称为复连通区域。
例如：圆形区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+1),(22y x y x 、上半平面{}0),(>y y x 是单连通区域；圆环区域⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<41),(22y x y x 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20),(22y x y x 是复连通区域。
通俗地说，单连通域就是不含有“洞”（包括点“洞” ）的区域。
2．区域D 的边界曲线C 的正向规定的 C 正向如下：当观察者沿的 C 此方向行走时，靠近 D 他的部分总在他的左侧。
例如是 D 由边界曲线1C 和2C 所围成的复连通区域，的 1C 正向是逆时针方向，的 2C 正向是顺时针方向。
3．定理1设是 D 以逐段光滑曲线为C 边界的平面闭区域，函数),(y x P 、),(y x Q 在上 D 具有一阶连续偏导数，则有dxdy yPx Q Qdy Pdx DC ⎰⎰⎰∂∂-∂∂=+)(—格林（Green ）公式 其中的取正向的边界曲线是D C 。
公式（1）称为格林（Green ）公式。
证明：先假设穿过区域内部 D 且平行坐标轴的直线与的 D 边界曲线的 C 交点恰好为两点。
即D 既是型的区域型的又是 Y X 。
设}),()(),{(21b x a x y y x y y x D ≤≤≤≤=，∵yP ∂∂连续， ∴=σ∂∂⎰⎰d y P D⎰⎰∂∂bax y x y dy yPdx )(2)(1dx x y x P x y x P b a)]}( ,[)]( ,[{ 12⎰-=另一方面，有⎰⎰⎰⋂⋂+=BNAAMB C dx y x P ),(dx x y x P dx x y x P abb a)]( ,[ )]( ,[ 2 1⎰⎰+=dx x y x P x y x P ba)]}( ,[)]( ,[{ 21⎰-=，∴σ∂∂-=⎰⎰⎰d yPdx y x P DC),(。
10.3 格林公式及其应用
I 2 a cos t b sin t ( a sin t ) 2 ( b cos t ) 2 dt
0 2 0
ab sin t cos t a 2 sin2 t b 2 cos 2 tdt
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( a b )sin t b d (( a b )sin t b ) 2 2 0 2(a b )
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
解
y 2 I y 1 ( ) dy 2 2
2
0.
y2 4 x
例3 求 I xyzds ，其中
: x a cos , y a sin , z k
的一段 (0 2 ) 解
I a cos sin k a k d
2 2 2 0
2
1 ka 2 a 2 k 2 . 2
杨建新
第一节
对弧长的曲线积分
例4 求
2
I x ds,
2
其中 为圆周
第 十 章 曲 线 积 分 与 曲 面 积 分
x y z a , x y z 0.
2 2 2
解 由对称性, 知
2 2 2 x ds y ds z ds.
x y 2 y
2 2
解1 L的极坐标方程为
2sin ， 0
x sin 2 从而L的参数方程为 2 y 2sin
于是 ds
x ' y ' d 2d
2 2
2 0 2 2
故
L
x y ds 2 sin 2 4sin d 8
高数第十章第3节
C
解: 添加辅助线如图 , 利用格林公式 . 原式 =
D C
C C C
a a
o x a
D
d xd y a2 x2
13
2y
(2 y ln a) d y
(2)简化二重积分
例 2 计算 e
D y2
D 是 dxdy ,其中
y
1 B D A
1
1 2 3
D
L
9
Q P Q P ( )dxdy ( )dxdy x y x y D1 D2 Q P ( )dxdy x y D3
A
L3 P
N
D3
B
D1
D2
L2
C
Pdx Qdy Pdx Qdy
L1 CBA
L1
取 P y , Q x , 得 2 dxdy L xdy ydx
D
得闭区域 D 的面积公式
1 A L xdy ydx 2
其中D由L围成.
16
例3 求椭圆x a cos , y b sin 所围成图形的面积A.
1 解 A xdy ydx 2 L
3
下面两图中D的边界曲线L的正向如图所示:
L1 L1
D
L2
D
L2
L由L1与L2连成
L由L1与L2组成
边界曲线L的正向: 当观察者沿边界行走时,区 域D靠近观察者那部分总在他的左边.
4
2. 格林公式
定理1 设闭区域D由分段光滑的曲线L围成, 函数 P ( x, y )及Q( x, y )在D上具有一阶连续偏导数, 则有
曲线 . 则L1 ( L2 )为一条有向闭曲线,于是
第3节格林公式
第3节格林公式
格林公式又叫做牛顿-格林公式，它是著名物理学家威廉·牛顿和美国数学家和天文学家兼历史学家乔治·格林发现的定律，它对太阳系中的行星运动以及影响行星运动的力有关。
牛顿在1687年发表《自然哲学的数学原理》一书中给出了牛顿定律，这是关于行星运动的公式；而格林在1748年发现了牛顿定律中的影响因子，也就是格林定律，是一个换算关系：
$$ \frac{d^2x}{dt^2} = − \frac{GM}{r^2}x $$
其中，x表示行星位置的矢量，r表示行星距离太阳的距离，G表示万有引力常数，M表示太阳的质量。
格林公式为牛顿定律的简化形式，表达的是牛顿三大定律中动力学原理：行星运行轨道的变化（受太阳的引力影响）与行星距离太阳的距离成反比。
也就是说，行星离太阳越远，受到引力的作用就越弱，运行轨道的变化就越小。
格林公式是用来描述星体运动的数学公式，在天文学研究和航天工程中都有广泛的应用。
格林公式可以用来研究各种行星运行轨道的变化，可以为航天器如卫星的轨道分析等提供技术支持。
格林公式也可以用来研究行星的控制台轨道，以及探测其他行星的引力影响，以改善天文学的研究内容等。
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1
(1,t ) ( 0, 0 )
2 xydx Q( x, y) dy [1 C ( y )]dy
0
t
t C ( y )dy
0
t
t C ( y )dy t C ( y )dy
2 0 0
1
t
两边对t求导得 2t 1 C (t ) 所以 C (t ) 2t 1
x y 解：因为 P ( x , y ) 2 2 x y x y Q( x , y ) 2 2 x y 2 2
从 A(1,0)到B(1,0)的弧
Q x y 2 xy P ( x, y ) (0,0) 2 2 2 x (x y ) y
即在不含原点的单连通域，积分与路径无关。 取新路径 L*为从A(1,0)到B(1,0)的上半单位圆弧
由定理 2 可知存在原函数
y
( 1, y )
( x, y)
。
u( x , y )
x 1
( x, y)
(1, 0 )
xdy ydx 2 2 x y
y 0
o
。
( 1, 0 ) ( x, 0)
x
0 d x x
y dy arctan x x2 y2
( x 0)
(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L , 曲线积分
Pd x Q
证明 (2) (3) 在D内取定点 A( x0 , y0 ) 和任一点B( x , y ) , 因曲线积分 与路径无关 , 设 ( x, y) B( x , y ) 。 。
u ( x, y)
证明 (3) (4) 设存在函数 u ( x , y ) 使得
则
u u du dx d y P d x Qd y x y u u P ( x, y) , Q( x , y ) x y 2 2 P u Q u , y x y x y x
二、曲线积分与路径无关的定义
如果对于区域G内的
任意两点A、B,以及起点 在A、终点在B的任意两条 曲线L1、L2，有
L1
y
B
L2
G
A
L Pdx Qdy L Pdx Qdy G 则称曲线积分 Pdx Qdy 在
1
2
o
x
L
内与路径无关,
1
否则与路径有关.
三. 平面曲线积分与路径无关等价条件
0
11
例4： 验证 (3 x 2 2 x y 3 )d x (3 x 2 y 2 2 y )d y 在整个 x0 y 平面内是全微分式，并求出它的一个原函数。 解： P 3x 2 2x y 3 Q 3x 2 y 2 2 y P Q 2 6 xy 在整个 x0 y 平面上都成立 y x 则所给出的微分式是全微分式。 利用公式： 取 M 0 x0 ,y0 O0,0为起点，动点为 M x, y
3 x 2d x (2 x y 3 d x 3 x 2 y 2 d y ) 2 ydy d ( x 3 ) d ( x 2 y 3 ) d ( y 2 ) d (x x y y )
3 2 3 2
u( x, y ) x x y y
3 2 3
2
14
方法四：
A( x0 , y 0 )
。
xu u 对D lim lim P ( x , x , y ) (2) x 中任一分段光滑曲线 L 曲线积分 P ( x , y ) x 0 x x 0 与路径无关, 只与起止点有关. u L Pd x Qd y ( x , y ) Q 同理可证 (3) P d x y y在D内是某一函数 u ( x, y ) 的全微分, 即 Qd 因此有 d u u (P,d ) P dd y Qd y d x yx Q x 4
2 3 2
u x, y x x y y C
3
15
例5. 验证 并求出它.
xdy ydx 在右半平面 ( x > 0 ) 内存在原函数, x2 y2
y x 证: 令 P 2 , Q 2 2 2 x y x y 2 2 则 P y x Q ( x 0 ) 2 2 2 x (x y ) y
18
例7 设函数 Q( x, y )在xoy 平面上具有一阶连续偏导数，
曲线积分
L
2 xydx Q( x, y )dy
(1,t ) ( 0, 0 )
与路径无关，并且对任意t恒有
( t ,1) ( 0, 0 )
2 xydx Q( x, y) dy
2 xydx Q( x, y) dy
u 2 3 u x, y 满足 P 3x 2x y x
2 3
u( x, y ) (3 x 2 xy )d x
x3 x2 y3 y
u 2 2 y Q 3 x 2 y 2 2 y 3x y y
2
y y C
x y 1
2 2
10
其参数方程为
x cos t ,
y sint , t从变到 0
（x y）dx ( x y )dy I＝ ＊ L x2 y2
＝ [(cost sint )( sint ) (cost sint ) cost ] dt
0
＝ dt
u ( x, y )
( x, y )
( x0 , y0 )
(3x 2 2 xy 3 )d x (3x 2 y 2 2 y )d y
方法一： u x, y
y M x, y
(3x 2 x0 )d x (3x y 2 y )d y
2 3 2 2
x
L2 L 2
P d x Qd y
L1 L 1 ( L 2 )
P d x Qd y
L2
B
L1
P d x Qd y
0
A
L (1) 沿 D1 中任意分段光滑闭曲线 L , 有
P d x Q d y L 2 P d x Q d y
L
Pd x Qd y 0
P k( x y ) Q 4 y r x
O
k 例6. 设质点在力场 F y , x 作用下沿曲线 L : 2 r
B
x
( x2 y2 0 )
曲线积分在除原点外的单连通开区域上与路径无关, 故积分路径可取圆弧
x cos , y sin ( : 0 ) AB : 2 2 2 0 k 2 2 W ( y d x xd y ) k (sin cos )d k AB r 2 2 2
5
证明 (4)
(1)
设L为D中任一分段光滑闭曲线, 所围区域为 D D , (如图 ), 因此在 D 上
P Q y x
D D L
利用格林公式 , 得
Q P L Pdx Qdy D ( x y )d xd y 0
P Q y x
I
L BA
( x y ) d x ( y x) d y ( x y ) d x ( y x) d y
a 2 x dx a
2
2
y
C
D
2
2
BA
D
B
o
L
0 d x d y
2 3 a 3
Ax
(利用格林公式)
9
( x y )dx ( x y )dy 例2 计 算I , 2 2 L x y 2 其中L是曲线 y 2 2 x 上
( x x , y )
( x 0 , y0 )
P dx Q d y
C ( x x , y )
则 x u u ( x x, y ) u ( x, y )
( x, y)
P dx Q d y
x x
x
P dx P ( x x , y )x
C ( y) 2 y 1
Q( x, y) x 2 y 1
2
20
2. 设 grad u( x, y) x 4 4 xy3 , 6 x 2 y 2 5 y 4 , 求 u ( x, y ).
y
x3 x 2 y 3 y 2
0
0
x
0
13 B(x,0)
方法二：
u x, y
y 0
y
x
M x, y
(3 02 y 2 2 y)d y (3x 2 2 x y 3 )d x
0
A(0, y )
x
0
x3 x 2 y 3 y 2
方法三： ( 3 x 2 2 x y 3 )d x ( 3 x 2 y 2 2 y )d y
求Q( x, y).
解：由积分与路径无关的条件知
Q ( 2 xy) 2 x x y
Q( x, y) x C ( y)
2
C ( y)待定
19
( t ,1) ( 0, 0 )
2 xydx Q( x, y ) dy [t 2 C ( y)]dy
0
1
t C ( y)dy
x0
x
x0
7
x
例1. 计算 解法1 令 P x 2 y, Q y 2 x, 则
其中L 是沿逆
时针方向以原点为中心, a 为半径的上半圆周.