随机变量及其分布(一))
第1课时 随机变量及其概率分布(1)
第1课时 随机变量及其概率分布（1）
一、知识要点：
1、一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做 通常用大写拉丁字母X,Y,Z （或小写希腊字母,,ξηζ）等表示，而用小写拉丁字母x,y,z （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值
2、假定随机变量X 有n 个不同的值，它们分别是12,...n x x x ,(),1,2...,i i P X x p i n ===① 则称①为随机变量X 的 ，简称为X 的分布列，也可以将其用表的形式来表示，我们称为随机变量X 的 ，它和①都叫做随机变量X 的
3、随机变量X 只取两个可能值0和1，我们把这一类概率分布列称为 或 二、例题分析： 例1、（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？
（2）一试验箱中装有标号1,2,3,3,4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随即变量Y 的可能取值有哪些？
例2从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即
10X ⎧=⎨
⎩，当取到白球时
，当取到红球时
，求随机变量X 的概率分布
例3、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大点数X 的概率分布，并求X 大于2小于5的概率P （25X <<）
三、练习：课本P48 1,2,3（做在课本上）
1、写出下列随即变量的可能取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果
（1）从甲地到乙地有汽车、火车和飞机三种直达交通工具，旅费分别是100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅费为X ；
1随机变量及其分布
二、随机变量的分布函数
定义2.4(分布函数) 设X是一随机变量, 则称函数 F(x)=P{X≤x}, x∈(−∞, +∞) 为随机变量X的分布函数, 记作X ~F(x). 分布函数的性质 随机变量的分布函数必然满足下列性质: (1) 0 ≤ F ( x) ≤ 1, 对∀x ∈ R (2)单调性 若x1 <x2, 则F(x1)≤F(x2);
P{X = 0}= P{X =1}= 1 . 2 于是, 当x<0 时, F(x)=P{X≤x}=0.
综上, X的分布函数为
0, 1 F ( x) = , 2, 1
x<0 0 ≤ x <1, x ≥1.
例：掷骰子将会出现的点数的分布函数及其图像
离散型随机变量的分布函数F(x)的共同特征是: F(x)是一 个阶梯形的函数, 它在X的可能取值点处发生跳跃,跳跃高度 等于相应点处的概率, 而在两个相邻跳跃点之间分布函数值 保持不变. 反过来, 如果一个随机变量X的分布函数F(x)是阶梯型函 数, 则 一定是一个离散型随机变量, 其概率分布可由分布函 则X一定是一个离散型随机变量, 数F(x)惟一确定; F(x)的跳跃点全体构成X的所有可能取值, 每 一跳跃点处的跳跃高度则是X在相应点处的概率.
例2.7 设随机变量X的分 解 由 于 F(x) 是 一 个 阶 梯 布函数为 形函数, 故知X是一个离散型随 机变量, F(x)的跳跃点分别为1, 0, x <1, 9 , 1≤ x < 2, 2, 3, 对应的跳跃高度分别为 F ( x) = 19 9, 6, 4, 15 , 2 ≤ x < 3, 19 19 19 19 x ≥ 3, 1, 故X的概率分布为 求X的概率分布. P{X =1}= 9 , 19 P{X = 2} = 6 , 19 P{x = 3} = 4 . 19
第二章随机变量及其分一、基本要求、重点与难点
第二章随机变量及其分
一、基本要求、重点与难点
（一）基本要求
1．理解随机变量的概念。
2．掌握离散型随机变量和连续型随机变理的描述方法。
3．理解分布列与概率密度的概念及其性质。
4．理解分布函数的概念及性质。
5．会应用概率分布计算有关事件的概率。
6．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布和指数分布。
7．会求简单随机变量函数的分布。
（二）重点
1．离散型随机变量的分布列和分布函数的概念及性质。
2．连续型随机变量的密度函数和分布函数的概念及性质。
3．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布和指数分布。
4．随机变量的一些简单函数的概率分布的求法。
（三）难点
1．离散型随机变量的分布列与分布函数的关系。
2．连续型随机变量的密度函数与分布函数的关系。
3．随机变量函数的分布的计算。
二、重点内容简介
§1 随机变量的概念及分类
定义定义在样本空间Ω上的一个实值函数X=X(ω)，使随机试验的每一个结果ω都
可用一个实数X(ω)来表示，且实数X满足
1）X是由ω唯一确定；
2）对于任意给定的实数x，事件{X≤x}都是有概率的，则称X为一随机变
量，一般用大写字母X,Y,Z等表示。
引入随机变量后，随机事件就可以通过随机变量来表示，这样，我们就把对事件的研究转化为对随机变量的研究。
随机变量一般可分为离散型和非离散型两大类。非离散型又可分为连续型和混合型。由于在实际工作中我们经常遇到的是离散型和连续型的随机变量，因此一般情况下我们仅讨论这两个类型的随机变量。
§2 随机变量的分布函数及其性质
定义 设X 为一随机变量，x 是任意实数,称函数 F(x)=P(X ≤x) (-∞<x<+∞) 为随机变量X 的分布函数。
随机变量及其分布
随机变量及其分布
随机变量是概率论和统计学中的重要概念，它是描述随机现象结果的数学量。随机变量可以是离散的，也可以是连续的。在统计学中，我们通常用随机变量来描述随机试验的结果。随机变量的分布则是描述随机变量可能取值的概率规律。本文将介绍随机变量及其分布的基本概念，以帮助读者更好地理解这一重要的统计学概念。
**随机变量的定义**
随机变量是一个函数，将样本空间中的每个事件映射到实数上。简而言之，随机变量就是能够描述随机现象结果的一个变量。例如，投掷一枚硬币，正面朝上可以用随机变量X=1表示，反面朝上可以用随机变量X=0表示。在这个例子中，随机变量X的取值只能是1或0，因此X是一个离散的随机变量。
**随机变量的分类**
根据随机变量的取值范围不同，可以将随机变量分为离散随机变量和连续随机变量两类。离散随机变量的取值是有限个或可列无穷个，例如上面提到的投硬币问题；而连续随机变量的取值是连续的，通常对应于实数轴上的某个区间，例如一个人的身高、体重等。在统计学中，我们常常使用概率密度函数（probability density function）来描述连续随机变量的分布。
**随机变量的分布**
随机变量的分布是描述随机变量取各种值的概率规律。对于离散随
机变量，我们可以通过概率质量函数（probability mass function）来描
述其分布。概率质量函数给出了随机变量取每个可能值的概率。例如，对于一个掷骰子的随机变量，其概率质量函数可以表示为P(X=x)，其
中X是随机变量，x是取值。而对于连续随机变量，我们则使用概率
工程数学概率 第二章(一)
f ( x)dx＝1
由于
F ()
f ( x)dx＝1
(3) f (x)在点x 处连续，则 f (x)的意义： 随机变量 X在点x 处的密集程度。
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结束
3、连续性随机变量的特点
(1)
(2)
(3) F(x)连续。
f (x)
1
0
a
b
x
例1、 设连续型随机变量 X的概率密度为
k=0,1,2,3,4,5
(3)
注：明确告知有放回抽样时，是n重贝努利试验；若没有 告知，当总数很大，且抽查元件的数量相对于总数很小，
可以当作放回抽样。
3、二项分布的图形特点: X ~ b (n, p) 对于固定n 及 p，当k 增加时, 概 率 P( X = k ) 先是随之增加直至达到 最大值 , 随后单调减少.
.. k
n=13, p = 0.5
例3. 某人购买彩票, 设每次买一张, 中奖的概率为0.01， 共买800次，求他至少中奖两次的概率。 解: 把每次购买彩票看成一次随机试验 设中奖的次数为 X ，则 X ~ b(800, 0.01) 即 P{ X k} C k 0.01k 0.99800 k (k 0,1,,800) 800
记作： X ～ U [a, b]
高考数学-随机变量及其分布-1-离散型随机变量及其分布
专项-离散型随机变量及其分布列
知识点
1．随机变量的有关概念
(1)随机变量：随着试验结果变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量分布列的概念及性质
(1)概念：若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，以表格的形式表示如下：
此表称为离散型随机变量P (
X ＝x i )＝p i ，i ＝1,2，…，n 表示X 的分布列．
(2)分布列的性质：① p i ≥0，i ＝1,2,3，…，n ；① 11
=∑=n
i i
p
3．常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布
若随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称X 服从两点分布，并称p ＝P (X ＝1)为成功概率． (2)超几何分布
在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －
k
N －M
C n N
，k ＝0,1,2，…，m ，
其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ①N *.
如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布．
题型一离散型随机变量的理解
【例1】下列随机变量中，不是离散型随机变量的是( ) A ．某个路口一天中经过的车辆数X
B ．把一杯开水置于空气中，让它自然冷却，每一时刻它的温度X
C ．某超市一天中来购物的顾客数X
随机变量及其分布(一)教案
第四节随机变量及其分布（一）
离散型随机变量的分布列导学案
基础部数学教研室李艳虹
一、教学目标
1、理解离散型随机变量的分布列的意义，会求某些简单的离散型随机变量的分布列；
2、掌握离散型随机变量的分布列的两个基本性质，并会用它来解决一些简单的问题．
3. 理解三个分布的意义.
重点：离散型随机变量的分布列的意义及基本性质.
难点：分布列的求法和性质的应用.
教学过程
一．复习引入：
1.随机变量
2.随机变量常见的类型
二、离散型随机变量及其分布：
1.如果离散型随机变量X的所有可能取得值为x1，x2，…，x n；X取每一个值
x i （i=1，2，…，n）的概率为p
1
，p
2
，…，p
n
，则称表
为离散型随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列
2. 离散型随机变量的分布列的两个性质：
⑴；
⑵．
例：某人射击4发子弹，击中目标则停止射击或直至射击完毕，该人每次击中目标的概率为0.8，求(1)该人射击子弹的分布列；(2)P{X<3},P{1<X<3}
例：一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其它信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示的时间相等. 以X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求X 的分布律.
三．几个常见的分布 1. (0-1)分布
例.在1000次线路检查中有80次发现故障，求对任何一次检查，不发生线路故障的分布律
2.二项分布
定义 若随机变量X 的可能取值为0,1,…,n,而X 的分布律为
其中0<p<1,p+q=1,则称X 服从参数为n,p 的二项分布，记为X~B(n,p)
随机变量及其分布第一讲随机变量、离散型随机变量及其分布律
第一讲随机变量、离散型随机变量及其分布律
Ⅰ 授课题目：
第一节 随机变量
第二节 离散型随机变量及其分布律 Ⅱ 教学目的与要求：
1.熟练掌握随机变量的概念和性质；
2.掌握离散型随机变量的概念和计算 Ⅲ 教学重点与难点：
重点：随机变量的概念和性质
难点：离散型随机变量的计算 Ⅳ 讲授内容：
一、随机变量概念的产生
在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的概念
1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的点数；七月份本市的最高温度；昆虫的产卵数
2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而叫号码一样，二者建立了一种对应关系，这种对应关系在数学上理解为定义了一种实值函数. e-- X(e)
思考：这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？ （1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围，而不能预先肯定它将取哪个值. （2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率. 称这种定义在样本空间上的实值函数为随机变量, 简记为 r.v.
随机变量通常用大写字母 X,Y,Z 或希腊字母ζ,η等表示;而表示随机变量所取的值 时,一般采用小写字母x,y,z 等.有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以通过随机变量的关系式表达出来.
如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X 表示，它是一个随机变量. 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的研究,
(完整版)概率论第二章随机变量及其分布答案
概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号
第二章 随机变量及其分布（一）
一．选择题：
1．设X 是离散型随机变量，以下可以作为X 的概率分布是 [ B ]
（A ）
1234111124816
X
x x x x p （B ） 123411112488
X x x x x p （C ）
123411112
3
4
12
X
x x x x p
（D ） 1234
11112
3
412
X x x x x p -
2．设随机变量ξ的分布列为 0123
0.10.30.40.2
X p )(x F 为其分布函数，则)2(F =
[ C ]
（A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.8 （D ）1 二、填空题：
1．设随机变量X 的概率分布为
012
0.20.5
X p a ，则a = 0.3
2．某产品15件，其中有次品2件。现从中任取3件，则抽得次品数X 的概率分布为 P{X=0}=22/35;
P{X=1}=12/35; P{X=2}=1/35
3．设射手每次击中目标的概率为0.7,连续射击10次，则击中目标次数X 的概率分布为 P{X=k}=k k
k
C -⨯10103.07.0,10,,0Λ=k 或X~B(10,0.7)
三、计算题：
1．同时掷两颗骰子，设随机变量X 为“两颗骰子点数之和”求： （1）X 的概率分布； （2）(3)P X ≤； （3）(12)P X >
(1) P{X=2}= P{X=12}=1/36; P{X=3}= P{X=11}=1/18;
P{X=4}= P{X=10}=1/12; P{X=5}= P{X=9}=1/9;
随机变量及其分布律
C
k 400
(0.02)k
(0.98)400
k
k=2
P(X 2)=1-P(X 0)-P(X 1)
1 0.98400 400* 0.02* 0.98399 0.997
启示：一次试验中概率很小，但在大量重复试验中几乎必然发生
例4(P35) 社会上定期发行某种奖券，每券1元，中奖率为p。 某人每次购买1张奖券，如果没有中奖下次再继续购买一张，
或P(2 X 4)=P({X=2}U{X=3})=0.5+0.25=0.75
P(X=1.5)=0, P(X=4)=0
0
例2
随机变量X分布函数F(x)
0.4 0.8
1
解: X的所有可能取值为-1, 1, 3.
x <-1
-1 x<1 ,
求X分布律.
1 x<3
x3
P(X 1)=F(-1)-F(-1-0)=0.4-0=0.4
0.25 0.75
0.25+0.5+0.25 x 3 1
x <-1 -1 x<2 2 x<3
x3
(2) P(X 0.5)=F(0.5)=0.25
P(1.5<X 2.5)=F(2.5)-F(1.5)=0.75-0.25=0.5
或者P(1.5<X 2.5)=P(X=2)=0.5
随机变量及其分布
分布函数具有如下基本性质:
1. 0 F x 1，x R 。 2. F x为单调不减的函数，即，若 x1 x2 ，则 F x1 F x2 。 事实上，由(2.1)式，对于任意实数 x1，x2 x1 x2 ，有
F x2 F x1 Px1 X x2 0
概率学与数理统计
随机变量及其分布
定义2.1
设随机试验的样本空间为 e，X X e 是定义在样本
空间 Ω 上的实值单值函数，称之为随机变量(Random variable)。
定义2.2
设 X 是随机变量，x 为任意实数，函数
F x PX x
称为 X 的分布函数(Distribution function)。
对于任意实数 x1，x2 x1 x2 ，有
Px1 X x2 PX x2 PX x1 F x2 F x1 (2.1)
因此，若已知 X 的分布函数，我们就能知道 X 落在任一区
间 x1，x2 上的概率。从这个意义上说，分布函数完整地描述
了随机变量的统计规律性。
如果将 X 看成是数轴上的随机点的坐标，那么，分布函数F x
概率学与数理统计
3.
F lim F x 0，F lim F x 1 。
x
x
4. F x为右连续，即
F
x0
0
随机变量及其分布知识点总结
随机变量及其分布知识点总结
随机变量是数学中的一个基本概念,描述了一个随机事件的可能结果。在概率论和统计学中,随机变量的分布是研究随机变量性质的重要工具。本文将总结随机变量及其分布的相关知识,包括随机变量的定义、表示、分布、期望、方差等。
一、随机变量的定义
随机变量是一种描述随机事件可能的变量,通常用符号 $X$ 表示。随机变量的取值可以是离散的或连续的。离散的随机变量只取有限或可数个取值,而连续的随机变量则取无限个取值。
二、随机变量的表示
随机变量的表示通常用概率密度函数 $f_X(x)$ 或概率质量函数
$g_X(x)$ 表示。概率密度函数是描述随机变量取值分布的函数,通常用
$f_X(x)$ 表示。概率质量函数是描述随机变量离散程度的函数,通常用
$g_X(x)$ 表示。
三、随机变量的分布
随机变量的分布描述了随机变量取值的概率分布。离散分布描述了随机变量只取有限或可数个取值的概率分布,连续分布描述了随机变量取无限个取值的概率分布。
1. 离散分布
离散分布通常用 $P(X=x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。离散分布的概率质量函数通常用 $g_X(x)$ 表示。例如,正态分布的概率质量函数为:
$$
g_X(x) = frac{sqrt{2pi}}{x!}e^{-frac{(x-1)^2}{2}}
$$
2. 连续分布
连续分布通常用 $P(X leq x)$ 表示,其中 $x$ 是随机变量的取值。连续分布的概率质量函数通常用 $f_X(x)$ 表示。例如,均匀分布的概率质量函数为: $$
f_X(x) = begin{cases}
▲随机变量及分布知识点
随机变量及分布知识点
(一)条件概率
1、条件概率：事件B 在事件A 已经发生的情况下，发生的概率称为B 在A 条件下的条件概率，记为|B A
2、条件概率的计算方法：
（1）按照条件概率的计算公式：()()()
|P AB P B A P A =
（2）考虑事件A 发生后，题目产生了如何的变化，并写出事件B 在这种情况下的概率
例如：5张奖券中有一张有奖，甲，乙，丙三人先后抽取，且抽完后不放回，已知甲没有中奖，则乙中奖的概率：
按照（1）的方法：设事件A 为“甲没中奖”，事件B 为“乙中奖”，则所求事件为|B A ，按照公式，分别计算()(),P AB P A ，利用古典概型可得：()25415P AB A =
=，()4
5P A =，所以()()()1|4
P AB P B A P A == 按照（2）的方法：考虑甲已经抽完了，且没有中奖，此时还有4张奖券，1张有奖。那么轮到乙抽时，乙抽中的概率即为
1
4
3、含条件概率的乘法公式：设事件,A B ，则,A B 同时发生的概率()()()|P AB P A P B A =⋅ ，此时()|P B A 通常用方案（2）进行计算
4、处理此类问题要注意以下几点：
（1）要分析好几个事件间的先后顺序，以及先发生的事件对后面事件的概率产生如何的影响（即后面的事件算的是条件概率）
（2）根据随机变量的不同取值，事件发生的过程会有所不同，要注意区别
（3）若随机变量取到某个值时，情况较为复杂，不利于正面分析，则可以考虑先求出其它取值时的概率，然后用间接法解决。 (二)事件的相互独立性
第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数讲解
3. 超几何分布
若离散型随机变量
k M
的分布律为
其中 N>M，n N-M， s=min{M，n}，则称 服从超几 何分布。 定理2.2
在超几何分布中，设n固定不变，M依赖于N的变化，且极 lim M / N 存在 ，则有 限 pN
N k nk n k k nk lim CM CN / C C p ( 1 p ) M N n
求：1) 系数A；2) P(0 1)； 3)
的分布函数F(x).
Copyright © 2006 NJUFE
二、几种常见的连续型随机变量及其分布 1. 均匀分布 定义2.8 (教材 54) 若连续型随机变量
的密度函数为
则称 在区间(a，b)上服从均匀分布。
1 /(b a)， a x b f ( x) ｛ 0， 其它
分布函数的基本性质： 1. F(x)是一个不减的函数； 2. 0 F ( x) 1， 且 F(-) lim F ( x) 0， F( ) lim F ( x) 1；
x x
3. F(x)是右连续的，即 F(x+0)=F(x)。
可以证明：若F(x)满足以上性质，则必是某随机变量的分布 函数。 Copyright © 2006 NJUFE
随机变量及其分布总结
随机变量及其分布总结
一、随机变量
随机变量（Random Variable）是概率论中的重要概念，它是表示一个随机实验的可能结果及这些结果发生的概率的指标，是随机现象中的重要解释指标。随机变量由它的取值所确定，特点是：
（1）它是一类不能确定的数，因此不能被直接测量，但是可以用概率来描述它；
（2）它表示了实验结果的取值；
（3）它可以表示有一定规律的实验结果，也可以表示没有规律的实验结果；
（4）它用其取值及概率分布表示一个随机实验的结果，即实验结果的不确定性；
（5）它可以用来描述随机实验中各可能结果对概率的影响，从而探究随机现象的规律性。
二、随机变量的分类
根据随机变量的取值类型，随机变量可分为定型随机变量和随机变量。
（1）定型随机变量
定型随机变量也称为离散型随机变量，它会取值完全可以确定的一组可数的取值。其具体分类包括：
（a）伽玛分布（Gamma Distribution）：它是一种对数正态分布，可用来模拟某些自然现象，如系统失效时间的分布。
（b）指数分布（Exponential Distribution）：这是一种特殊的定型随机变量，它可以用来模拟服从指数分布的概率分布函数或者指数函数，常用来描述生存分析中系统的衰减过程。
（c）伯努利分布（Bernoulli Distribution）：这是一种概率分布，它是一种若干独立实验中，某个事件出现的概率。
（d）泊松分布（Poisson Distribution）：它是描述某一时间段内发生的事件的概率分布，可用来模拟客流量等自然现象中的随机变量。
01随机变量及其分布列(一)
解:根据分布列的性质,针尖向下的概率是(1-p)，于是， 随机变量X的分布列是：
X
0
1
P
1—p
p
两点分布列:X~0-1分布.X~ 两点分布
一、两点分布列
如果随机变量ξ的分布列为：
ξ 10 P p 1-p
这样的分布列称为两点分布列,称随机变量ξ服从两点 分布,而称p=P(ξ=1)为成功概率.
这样的分布列称为 两点分布列.又称0-1分布 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点 分布，而称p=P(X=1)为成功概率。
解：不是随机试验，因为它不可重复进行。
引例1：某人在射击训练中，射击一次，命中的环数. 若用ξ表示命中的环数，ξ有哪些取值？ ξ可取0环、1环、2环、···、10环,共11种结果
引例2：某纺织公司的某次产品检验，在可能含有次品 的100件产品中任意抽取4件，其中含有的次品件数.
若用η表示所含次品数，η有哪些取值？ η可取 0件、1件、2件、3件、4件,共5种结果
这种试验就是一个随机试验。
练习：判断下面问题是否构成随机试验
(1)、京广T15特快列车到达广州站是否正点。
解：是随机试验。因为它满足随机试验的三个条件： 即在相同的情况下可重复进行（每天一次）；所有可 能的结果是明确的（正点或误点）；试验之前不能肯 定会出现哪种结果。
(2)、1976年唐山大地震。
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离散型随机变量： 所有取值可以一一列出的随机变量，就称为离散
型随机变量。
问题6: 某林场树木最高达30m,那么这个林场的树木高 度的情况有那些?是否为随机变量？
则此林场树木的高度是 一个随机变量。
(0，30]内的一切值
可以取某个区间内的一切值
如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这 样的随机变量叫做连续型随机变量.
一般地，对事件A与事件B，若 B A且A B ，
那么称事件A与事件B相等.
（3）并事件（和事件） AU B（或A B）
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称 此事件为事件A和事件B的并事件（或和事件）.
（4）交事件（积事件） A I B（或AB）
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称 此事件为事件A和事件B的交事件（或积事件）.
所以更便于研究，为了我们研究的可操作性，有些问题往往可 以考虑从不同的角度去构造随机变量。
思考6：
（2）如果规定寿命在1500小时以上的灯泡为一等品，寿命在 1000到1500小时之间的为二等品，寿命在1000小时以下的为不 合格品。如果我们关心灯泡是否为合格品，应如何定义随机变 量？如果我们关心灯泡是否为一等品或二等品，又如何定义随 机变量？
（5）互斥事件
若 A B 为不可能事件（ A I B ），那么称事
件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一 次试验中都不会同时发生。
（6）互为对立事件
若 A B 为不可能事件， A U B 为必然事件，那么
称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事 件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。
思考4： 电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？
X取(0,+∞)内的一切值,故X并非离散性随机变量.
思考5：
若我们仅关心该电灯泡的寿命是否超过1000小时，并如下定义一 个随机变量Y， Y是一个离散型随机变量吗？
0，寿命<1000小时 Y= 1，寿命≥1000小时
与电灯泡的寿命X相比，随机变量Y的构造显然比X要简单，它 只取0和1两个不同的值，是一个离散型随即机变量。
不可能事件： 在条件S下不可能发生的事件 叫不可能事件。
确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母 A,B,C…表示。
2.事件的关系和运算：
（1）包含关系 B A（或A B) 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则
事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A 包含于事件B）.
（2）相等关系 A=B
0，不合格品 (寿命<1000小时)
Y= 1，合格品 (寿命≥1000小时)
0，一等品 (寿命>1500小时)
Y= 1，二等品 (1000<寿命<1500小时)
例1、(1)某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为 ； (2)某 网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为 ；(3)一 天内的温度为 ；(4)射手对目标进行射击，击中目标得1分， 未击中目标得0分，用 表示该射手在一次射击中的得分。
公式：P( A)
A包含基本事件的个数 基本事件的总数
5.几何概型：
• 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概 率模型为几何概率模型.
几何概型的公式:
P(
A)
Biblioteka Baidu
构成事件A 的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
新课引入:
问题1：掷一颗骰子,结果有哪些?发生的概率各是多少? 若用X表示出现的点数，X有哪些取值？ X可取1、2、3、4、5、6，共6种结果
问题2：某纺织公司某次检验产品，在可能含有10次品的 100件产品中任意抽取4件，其中可能含有几件次品？ 若用Y表示所含次品数，Y有哪些取值？
Y可取 0、1、2、3、4,共5种结果
问题3：把一枚硬币向上抛，可能会出现哪几种结果？ 能否用数字来刻划这种随机试验的结果呢？
X=0，表示正面向上； X=1，表示反面向上
在这种对应关系下，数字是随着试验结果的变化而变化的。
象这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. 随机变量常用字母X,Y L L 表示.
思考1： 随机变量与函数有类似的地方吗？
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结 果映为实数，函数把实数映为实数。
在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域， 随机变量的取值范围相当于函数的值域。
例如，在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可 能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随 机变量。其取值范围是{0,1,2,3,4}.
利用随机变量可以表达一些事件.X = 0表示:抽出0件次品" X = 4表示“:抽出4件次品”
X < 3表示:抽出的次品小于3 件.
练习:写出下列各随机变量的取值范围:
3.概率的基本性质
1)0 P( A) 1
2)如果事件A与事件B互斥，则P( AUB) P( A) P(B) 3)如果事件A与事件B对立，则P( A) 1 P(B)
4、古典概型的两个特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
计算古典概型的公式：
在问题1、2、3中，我们注确:这定种了对一个应对事应实关上系是，一使得个每映一射个。试
验结果都用一个确定的数字来表示。
出现1点 出现2点
1
0件次品
2
1件次品
0
正面朝上
0
1
…… 出现6点
…… 6
…… 4件次品
…… 4
反面朝上
1
在以上的各例说明，在随机试验中，我们可以确定一个对 应关系，使得每一个试验的结果都用一个确定的数字来表示。
(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡
片的号数X．
{1、2、3、···、10}
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白
球数X．
{0、1、2、3}
(3)抛掷两个骰子，所得点数之和X．
{2、3、···、12}
(4)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η．{1、2、3……}
高二数学 选修2-3
2.1.1离散型随机变量
在必修3中,我们学习了概率有关知识.知道概率是 描述某个随机事件发生可能性大小的量.
同时我们还研究了一些的随机事件的概率,下面我 们作一个简单的回顾.
1.定义：
随机事件： 在条件S下可能发生也可能不发 生的事件叫随机事件。
必然事件： 在条件S下必然要发生的事件叫 必然事件。