随机变量及其分布(一))
第1课时 随机变量及其概率分布(1)
第1课时 随机变量及其概率分布（1）一、知识要点：1、一般地，如果随机试验的结果，可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做 通常用大写拉丁字母X,Y,Z （或小写希腊字母,,ξηζ）等表示，而用小写拉丁字母x,y,z （加上适当下标）等表示随机变量取的可能值2、假定随机变量X 有n 个不同的值，它们分别是12,...n x x x ,(),1,2...,i i P X x p i n ===① 则称①为随机变量X 的 ，简称为X 的分布列，也可以将其用表的形式来表示，我们称为随机变量X 的 ，它和①都叫做随机变量X 的3、随机变量X 只取两个可能值0和1，我们把这一类概率分布列称为 或 二、例题分析： 例1、（1）掷一枚质地均匀的硬币一次，用X 表示掷得正面的次数，则随机变量X 的可能取值有哪些？（2）一试验箱中装有标号1,2,3,3,4的五只白鼠，从中任取一只，记取到的白鼠的标号为Y ，则随即变量Y 的可能取值有哪些？例2从装有6只白球和4只红球的口袋中任取一只球，用X 表示“取到的白球个数”，即10X ⎧=⎨⎩，当取到白球时，当取到红球时，求随机变量X 的概率分布例3、同时掷两颗质地均匀的骰子，观察朝上一面出现的点数，求两颗骰子中出现的最大点数X 的概率分布，并求X 大于2小于5的概率P （25X <<）三、练习：课本P48 1,2,3（做在课本上）1、写出下列随即变量的可能取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果（1）从甲地到乙地有汽车、火车和飞机三种直达交通工具，旅费分别是100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅费为X ；（2）盒内装着标有1－4号的大小相同的4个小球，设随机抽取2个，所得的号码之和为Y（3）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数Z2、设随机变量X 只能取5,6,7,…,16这12个值，且取每个值的机会是均等的，试求： （1）P （X>8）； （2）P （6<X ≤8）； （3）(10)P X ≥3、随机变量X 的分布列为(),1,2,3,4,515kP X k k ===，试求： (1)(3)P X <； 15(2)()22P X <<； （3）(24)P X ≤≤第1课时 随机变量及概率分布（1）作业感受·理解1、设随机变量X 等可能的取值1，2，3，…，n ，如果3.0)4(=<X P ，那么n=2、在含有5件次品的100件产品中，任取3件，则取到的次品数X 的分布列为 _______ ___3、设随机变量X 的概率分布是kak X P 5)(==，a 为常数，3,2,1=k ，则a =_________ 抛掷一颗骰子两次,定义随机变量⎩⎨⎧=)(,1)(,0的点数数等于第二次向上一面当第一次向上一面的点面的点数数不等于第二次向上一当第一次向上一面的点ξ试写出随机变量ξ的分布列4、学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且107)0(P =>ξ，则文娱队的人数是5、设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次该项试验的成功次数，则)0(=ξP 等于思考·运用6、写出下列随即变量的可能取值，并说明随机变量所表示的随机试验的结果（1）从甲地到乙地有汽车、火车和飞机三种直达交通工具，旅费分别是100元、80元和400元，某人从甲地去乙地旅游，他的旅费为X ；（2）盒内装着标有1－4号的大小相同的4个小球，设随机抽取2个，所得的号码之和为Y ；（3）袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数Z 。
1随机变量及其分布
例 掷币问题 一枚硬币掷一次，可能的结果有两个：“出正面”， “出反面”与数值无关。 但如果令A：出正面，对应数值1 Α ：出反面，对应数值0 就可引入变量 Χ ：一次试验中出现的次数。 于是， 0 Α 出现 Χ= Α 出现 1
这样，就有如下的等价关系：
“Α出现” （Χ＝0 ⇔ ） “Α出现” （Χ＝1 ⇔ ）
于是X的概率分布为
则有
P{X=1}=P{出现正面}= 1 , 2 P{X=0}=P{出现反面}= 1 . 2
两点分布：只有两个可能取值的随机变量所服从的分布， 称为两点分布 0—1分布：只取0和1两个值的随机变量所服从的分布，称 为0—1分布. 其概率分布函数为：
P(ξ = k ) = p k (1 − p)1− k , k = 0,1
随机变量常用 Χ ， Υ ， Ζ 或 ξηζ 来表示。
2 分类
P39
1) 仅可取有限个或可列个数值的随机变量，称为 离散型r.v. 2) 可取得某一区间内的任何数值（此时不可列） 的 称为连续型 的r.v.称为连续型r.v. 例如 降雨量 测量的误差 3) 既非离散型又非连续型的r.v. 有的书称为奇异型r.v.
定义2.5(密度函数) 一个随机变量X称为连续型随机变量, 如果存在一个非负 可积函数f(x), 使得
F ( x) = P{X ≤ x}= ∫ f11)
并称f(x)为X的概率密度函数, 简称为密度函数.
密度函数的性质 密度函数具有下列性质: (1)f(x)≥0, x∈(−∞, +∞);
i ) 存在对应关系，即对 ∃ 唯一的数值 ii ) Χ 定义在样本空间 Χ 的取值也有随机性 ∀w ∈ Ω, Χ （ w ）与之对应。 Ω 上。
iii )由实验结果的随机性知
第二章 随机变量及其分布(一)作业的说明
第二章 随机变量及其分布（一）一、选择题1.设A,B 为随机事件,,0)(=AB P 则( ).BA..φ=ABB.AB 未必是不可能事件C.A 与B 对立D.P(A)=0或P(B)=02.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且},2{}1{===X P X P 则}2{>X P 的值为( ）.A.2-eB.251e-C.241e-D.221e-. 采用的教材中称“普哇松分布”概率函数在第四章给出3.设X 服从]5,1[上的均匀分布,则( ). A.4}{ab b X a P -=≤≤ B.43}63{=<<X P C.1}40{=<<X PD.21}31{=≤<-X P4.设),4,(~μN X 则( ). A.)1,0(~4N X μ- B.21}0{=≤X P C.)1(1}2{Φ-=>-μX PD.0≥μ正态分布也是第四章才学习的5.设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=其他,010,2)(x x x f ，以Y 表示对X 的三次独立重复观察中事件}21{≤X 出现的次数，则（ ）. A ．由于X 是连续型随机变量，则其函数Y 也必是连续型的B ．Y 是随机变量，但既不是连续型的，也不是离散型的C ．649}2{==y P D.)21,3(~B Y 二项分布正式出现，还有这个记法在第四章。
6.设=≥=≥}1{,95}1{),,3(~),,2(~Y P X P p B Y p B X 则若( ). A.2719 B.91C.31D.2787.设随机变量X 的概率密度函数为(),23X f x Y X =-+则的密度函数为( ).A.13()22X y f ---B.13()22X y f --C.13()22X y f +--D.13()22X y f +-8.连续型随机变量X 的密度函数)(x f 必满足条件( ). A.1)(0≤≤x fB.)(x f 为偶函数C.)(x f 单调不减D.()1f x dx +∞-∞=⎰9.若)1,1(~N X ,记其密度函数为)(x f ，分布函数为)(x F ,则( ). A.{0}{0}P X P X ≤=≥ B.)(1)(x F x F --= C.{1}{1}P X P X ≤=≥D.)()(x f x f -=10.设)5,(~),4,(~22μμN Y N X ,记},5{},4{21+≥=-≤=μμY P P X P P 则( ). A.21P P =B.21P P <C.21P P >D.1P ,2P 大小无法确定11.设),,(~2σμN X 则随着σ的增大,}|{|σμ<-X P 将( ). A.单调增大B.单调减少C.保持不变.D.增减不定9-11是正态分布的题，第四章内容12.设随机变量X 的概率密度函数为(),()(),()f x f x f x F x =-是X 的分布函数,则对任意实数a 有( ). A.⎰-=-adx x f a F 0)(1)( B.⎰-=-adx x f a F 0)(21)(C.)()(a F a F =-D.1)(2)(-=-a F a F13.设X的密度函数为01()0,x f x ≤≤=⎪⎩其他，则1{}4P X >为( ).A.78B.14⎰C.141-⎰D.3214.设~(1,4),(0.5)0.6915,(1.5)0.9332,{||2}X N P X Φ=Φ=>则为( ). A.0.2417 B.0.3753 C.0.3830 D.0.866415.设X 服从参数为91的指数分布,则=<<}93{X P ( ). A.)93()99(F F -B.)11(913ee - C.ee 113-D.⎰-939dx e x16.设X 服从参数λ的指数分布,则下列叙述中错误的是( ).A.⎩⎨⎧≤>-=-0,00,1)(x x e x F x λ.对任意的x e x X P x λ-=>>}{,0有C.对任意的}{}|{,0,0t X P s X t s X P t s >=>+>>>有D.λ为任意实数17.设),,(~2σμN X 则下列叙述中错误的是( ). A.)1,0(~2N X σμ-B.)()(σμ-Φ=x x FC.{(,)}()()a b P X a b μμσσ--∈=Φ-Φ D.)0(,1)(2}|{|>-Φ=≤-k k k X P σμ14-17第四章内容18.设随机变量X 服从(1,6)上的均匀分布,则方程012=++Xx x 有实根的概率是( ). A.0.7B.0.8C.0.6D.0.5注意一次项的系数是一个随机变量19.设=<=<<}0{,3.0}42{),,2(~2X P X P N X 则σ（ ）. A ．0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.820.设随机变量Ｘ服从正态分布2(,)N μσ，则随σ的增大，概率{||}P X μσ-<（ ）.Ａ．单调增大 Ｂ．单调减少 Ｃ．保持不变 Ｄ．增减不定上面两道也是正态分布的题目 二、填空题1．随机变量X 的分布函数)(x F 是事件 的概率.2．已知随机变量X 只能取-1，0，1，2四个数值，其相应的概率依次是cc c c 161,81,41,21，则=c3．当a 的值为 时， ,2,1,)32()(===k a k X p k 才能成为随机变量X的分布列.4．一实习生用一台机器接连独立地制造3个相同的零件，第i 个零件不合格的概率)3,2,1(11=+=i i p i ，以X 表示3个零件中合格品的个数，则________)2(==X p .5.已知X 的概率分布为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-4.06.011，则X 的分布函数=)(x F .6.随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的分布列为 .7．设随机变量X 的概率密度为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈∈=其它,0]6,3[,92]1,0[,31)(x x x f ，若k 使得{}32=≥k X p则k 的取值范围是 .因为密度函数是分段函数，因此必须根据k 所在的区间分类讨论 8．设离散型随机变量X 的分布函数为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥+<≤-<≤--<=2,21,3211,1,0)(x b a x a x a x x F且21)2(==X p ，则_______,________a b ==.9．设]5,1[~U X ，当5121<<<x x 时，)(21x X x p <<= . U 是英语均匀分布的第一个字母，采用的教材中没有 10．设随机变量),(~2σμN X ，则X的分布密度=)(x f .若σμ-=X Y ，则Y 的分布密度=)(y f .11．设)4,3(~N X ，则}{=<<-72X p .12．若随机变量),2(~2σN X ，且30.0)42(=≤<X p ，则_____)0(=≤X p .13．设)2,3(~2N X ，若)()(c X p c X p ≥=<，则=c .14.设某批电子元件的寿命),(~2σμN X ，若160=μ，欲使80.0)200120(=≤<X p ，允许最大的σ= .10-15正态分布 15.若随机变量X的分布列为⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5.05.011，则12+=X Y 的分布列为 .16.设随机变量Ｘ服从参数为（２，ｐ）的二项分布，随机变量Ｙ服从参数为（３，ｐ）的二项分布，若Ｐ｛Ｘ≥１｝＝５／９，则Ｐ｛Ｙ≥１｝＝ .17.设随机变量Ｘ服从（０，２）上的均匀分布，则随机变量Ｙ＝2X 在（０，４）内的概率密度为()f y＝ .Y18.设随机变量Ｘ服从正态分布2Nμσσ>，且二次方程(,)(0)240++=无实根的概率为１／２，则μ= .y y X。
随机变量及其分布例题和知识点总结
随机变量及其分布例题和知识点总结在概率论与数理统计中，随机变量及其分布是非常重要的概念。
理解和掌握它们对于解决各种概率问题至关重要。
接下来，我们将通过一些具体的例题来深入探讨随机变量及其分布的相关知识。
一、随机变量的概念随机变量是指定义在样本空间上的实值函数。
简单来说，就是对于随机试验的每一个可能结果，都对应着一个实数。
例如，抛一枚硬币，正面记为 1，反面记为 0，那么这个结果就可以用一个随机变量 X 来表示。
二、随机变量的分类随机变量主要分为离散型随机变量和连续型随机变量。
离散型随机变量的取值是有限个或者可列个。
比如，抛骰子出现的点数就是一个离散型随机变量。
连续型随机变量的取值是某一区间内的所有实数。
例如，某地区一天的气温可以看作是一个连续型随机变量。
三、离散型随机变量的分布1、概率分布列离散型随机变量 X 的概率分布列就是列出 X 所有可能取值以及对应的概率。
例如，随机变量 X 表示抛两次硬币正面出现的次数，X 可能取值为0、1、2，其概率分布列为：｜ X ｜ 0 ｜ 1 ｜ 2 ｜｜｜｜｜｜｜ P ｜ 1/4 ｜ 1/2 ｜ 1/4 ｜2、常见的离散型分布（1）二项分布在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p，那么在 n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率为：＼P(X=k) ＝ C_n^k p^k （1-p)＾｛nk}＼例如，一批产品的次品率为 01，从中抽取 10 个，其中次品的个数X 服从二项分布 B(10, 01)。
（2）泊松分布若随机变量 X 服从参数为λ的泊松分布，记为 X ～P(λ)，其概率分布为：＼P(X=k) ＝＼frac{e^｛＼lambda}＼lambda^k}｛k!｝＼泊松分布常用于描述在一定时间或空间内稀有事件发生的次数。
例题 1某工厂生产的产品废品率为 005，从产品中随机抽取 100 个，求废品个数不超过 5 个的概率。
解：设废品个数为 X，X 服从二项分布 B(100, 005)。
工程数学概率 第二章(一)
1
2
……
30
3 X ~ b(30, ) 4
设100件产品中有95件合格品，5件次品，先从中 例2、 随机抽取10件，每次取一件，X—10件产品中的次品数， (1)有放回的抽取，求 X的分布律； (2)无放回的抽取，求 X的分布律； (3)有放回的情况，求10件产品中至少有2件次品的概率。 解：(1) A — 取得次品， P(A)=0.05,
1/ 5e x / 5 f ( x) 0
x0 x 0,
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3、正态分布
定义1：若随机变量 X 的概率密度函数为
则称X 服从参数为 的正态分布或高斯分布， f (x)的图形：
特点：(52页）
(1) f (x)关于 (2) f (x)在 (3)
定义2、
解 由题意可知
，则
的分布律为
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将
带入可得 的分布律为
34页例2：几何分布
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二、常用的离散型随机变量及其分布
Ⅰ. (0—1)分布 定义1.如果随机变量
的分布律为
则称
服从参数为
的(0—1)分布。
（0 —1）分布的分布律也可写成 注：如果随机试验只有两个结果，总能定义一个服从 (0 —1)分布的随机变量。
1. 概率密度 定义1. 设 F(x) 是随机变量 X的分布函数，若存在非负 函数 f x x , ，使对任意实数 x 有
则称 X为连续型随机变量，称 f ( x)为 X 的概率密度函 数，简称概率密度或密度函数。
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概率论与数理统计教程习题(第二章随机变量及其分布)(1)答案
概率论与数理统计练习题系 专业 班 姓名 学号第六章 随机变量数字特征一．填空题1. 若随机变量X 的概率函数为1.03.03.01.02.043211pX-，则=≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P .2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413≈--e.3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=⋅==-k c k X P k则=c1516. 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（13） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（12） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __.（k 33(=,0,1,2k!P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为140000λ=的指数分布，则此种电器的平均使用寿命为____________小时.（40000）10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2+∞<<-∞+=x xa x f ，则=a π1；=>)0(X P ；==)0(X P 0 .12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1(1,1)()2x f x ⎧∈-⎪=⎨⎪⎩其它13.若随机变量)4(~e X ，则=≥)4(X P ；=<<)53(X P .14.．设随机变量X 的可能取值为0，1，2，相应的概率分布为 , ,，则()E X =15．设X 为正态分布的随机变量，概率密度为2(1)8()x f x +-=，则2(21)E X -= 916.已知X ～B （n,p ），且E （X ）=8，D （X ）=，则n= 。
《概率论与数理统计》课件-第2章随机变量及其分布 (1)
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
泊松分布的应用
“稠密性”问题(一段时间内,电话交换中心接到的呼叫次 数,公共汽车车站候车的乘客数,售票窗口买票的人数， 原子放射的粒子数，保险公司在一定时期内被索赔的次 数等)都服从泊松分布.
随机变量的分布函数
1.定义: 设X为一随机变量, x为任意实数, 称函数 F(x)=P{X≤x}为X的分布函数.
注: ① F(x)是一普通函数, 其定义域为 ,; ② F x的值为事件X x的概率; ③ F x可以完全地描述随机变量取值的规律性.
例如: Pa X b PX b PX a
连续型随机变量及概率密度函数
1.定义: 设X ~ F(x), 若存在一个非负可积的函数 f (x),
使 x R, 有
F ( x)
PX
x
x
f
(t)dt
,
则称X为连续型随机变量, f (x) 称为X的概率密度函数或
分布密度函数.
2.几何意义:
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概率论与数理统计
第二五章 基随本机极变限量定及理其分布
二、随机变量的概念
定义： 设试验E的样本空间为 , 若对于每个样本
点 , 均有一个实数 X ()与之对应, 这样就得
到一个定义在 上的单值函数 X X () , 称X为随
机变量.
X
样本空间
实数
注: ① 随机变量是一个定义在样本空间上的实函数, 它取值的随机性是由样本点的随机性引起的;
x 1
x0
0 x x
不是 (不满足规范性)
随机变量及其分布1随机变量一概念1为什么要引入随机
第二章 随机变量及其分布§1 随机变量 一 概念1、为什么要引入随机变量的概念？概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究，因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化．当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念．在实际问题中，有些随机试验的结果可以用数量来表示(如掷色子产生的点数),但是在有些试验中，试验结果看来与数值无关，如何将他们与数值联系起来呢？例如，某个事件发生，可以记为1，不发生可以记为0，这样事件就可以和数值联系起来了，由此就产生了随机变量的概念. 2、随机变量的定义,.E Ω设是随机试验它的样本空间是如果对于每一个,ω∈Ω()X ω有一个实数,与之对应(),X ωΩ这样就得到一个定义在上的单值实值函数X=()X ω称为随机变量。
注：(1)随机变量与普通的函数不同随机变量是一个函数 , 但它与普通的函数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).(2)随机变量的取值具有一定的概率规律随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律。
(3)随机变量与随机事件的关系随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说:随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象. 3、随机变量的分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩离散型:取值有限或无限可数个随机变量连续型：取值连续的充满某区间非离散型非连续型4、离散型随机变量定义：设k x (1,2,...)k =是离散型随机变量X 所取的一切可能值，称()k k P X x p ==为离散型随机变量X 的概率分布或分布律，有的书上也称概率函数。
注：(1)0,1,2,k p k ≥= 1(2)1kk p∞==∑离散型随机变量的分布律也可表示为：1212~n nxx x X p p p ⎛⎫ ⎪⎝⎭例如 观察掷一个骰子出现的点数，随机变量 X 的可能值是 :1, 2, 3, 4, 5, 6.并且1()6P X i == (1,2,...,6)i =即123456~111111666666X ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭例1、 ,设一汽车在开往目的地的道路上需经过四组信号灯每组信号灯12以的概率允许或禁止汽车通过，,X 以表示汽车首次停下时它已通过的信号灯的组 数(),设各组信号灯的工作是相互独立的.X 求的分布律解：,p 设为每组信号灯禁止汽车通过的概率令1q p =-， 则23401234Xp qp q p q p q ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，将12p =带入可得 012340.50.250.1250.06250.0625X⎧⎫⎨⎬⎩⎭二、常见离散型随机变量的概率分布 1、两点分布(0-1分布)设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为011X p p ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭，则称 X 服从(0—1)分布或两点分布。
概率论 随机变量的函数及其分布
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , 0 y , pY ( y ) 其他 . 0，
1 [ f 1 ( y )] , 0 f 1 ( y ) 1, 其他 . 0, 1 1 , 0 ln y 1, y 其他 . 0, 1 , 1 y e, y 0, 其他 .
证 F ( x )是分布函数
0 F ( x ) 1, 且F ( x )单调不减
依题意， 又知 F ( x )严格单调增加
故 y R,
FY ( y ) P{Y y } P { F ( X ) y }
FY ( y ) P{Y y } P{ F ( X ) y } y 0, P ( ), P{ F ( X ) y }, 0 y 1, P ( ), y 1. y 0, 0, P{ X F 1 ( y )}, 0 y 1, 1, y 1.
且恒有f ( x ) 0(或恒有f ( x ) 0), 则Y f ( X )是连
续型随机变量，其概率 密度为
p X [ f 1 ( y )] [ f 1 ( y )] , y , pY ( y ) 0, 其它. 其中 f 1 ( y ) 是 f ( x ) 的反函数, ( , )是f 1 ( y )的定义域，
y 0, 0, 0, 0 y 1, FY ( y ) ln y , 1 y e, y e. 1,
从而
d FY ( y ) pY ( y ) dy
1 , 1 y e, y 0, 其他 .
例6 设圆的直径服从区间(0,1)上的均匀分布
二、随机变量及其分布(答案)
概率论与数理统计练习题系第二章专业班姓名随机变量及其分布（一）学号一．选择题：1 ．设X是失散型随机变量，以下可以作为X的概率分布是[B]X x1x2x3x4X x1x2x3x4（ A）1111（B）1111 p p248162488X x1x2x3x4（D）X x1x2x3x4（ C）1111p1111 p23412234122 ．设随机变量ξ的分布列为X0123C ] p0.10.30.4F ( x) 为其分布函数，则 F ( 2) = [0.2（ A）（B）（ C）（D）1二、填空题：1 ．设随机变量X的概率分布为X012，则 a = p a0.20.52 ．某产品 15 件，其中有次品 2 件。
现从中任取3 件，则抽得次品数X 的概率分布为P(X 0)C13366， P( x1)C21 C13236， P( xC22 C1313 C153105C1531052)105C1533 ．设射手每次击中目标的概率为, 连续射击10 次，则击中目标次数X 的概率分布为P( X k ) C10k(0.7)k (0.3)10 k(k0,1, 2,L ,10)三、计算题：1 ．同时掷两颗骰子，设随机变量X为“两颗骰子点数之和”求：（ 1）X的概率分布；（2）P( X3) ；（3）P( X12)解：（1）P( X2)1P( X3)2P( X4)3P(X 5)4，，，，36363636P( X6)5，P( X7) 6 ， P( X5 436 8)， P(X 9)363636P( X10)3 ，P( X11)2 ，P( X 1363612)36所以 X 的概率分布列：X 2 34 5 6 7 89 10 11 12P12 34 5 6 5 4 3 2 1363636363636 3636363636（2） P(X3) 336（ 3） P(X>12)=02 ．产品有一、 二、三等品及废品四种， 其中一、 二、三等品及废品率分别为 60%，10%，20%及 10%，任取一个产品检查其质量，试用随机变量X 描述检查结果。
第二章 随机变量及其分布第一节 随机变量及其分布函数讲解
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正态分布的概率计算公式：设 ～N (， 2 )，
P( a) (
a
)； x2 ) ( x1 )；
P( x1 x2 ) (
c P( c) 1 ( )； c c P( c) 2 ( ) ( )； c c P( c) ( ) ( ) 1.
P ( a b) F (b) F ( a )
f ( x)dx；
a
b
若f(x)在x0处连续，则F ( x0 ) f ( x0 )。
连续型随机变量与离散型随机变量的区别： 1) 连续型随机变量没有分布律； 2) 连续型随机变量取个别值的概率为零，即
P( x0 ) 0，x0 (， )。
二、随机变量的分布函数及其基本性质
定义2.2 (教材 p 47)
设
是随机变量，x 是任意实数，称函数 F ( x) P( x)， x 为 的分布函数。
对于任意两实数
x1，x2， x1 x2，有
P( x1 x2 ) P( x2 ) P( x1 ) F ( x2 ) F ( x1 )
5. 几何分布 定义2.6( 若离散型随机变量
的分布律为
P( k ) p(1 p)k 1，k 1 ， 2， 0 p 1
则称 服从参数为p的几何分布。 第三节、连续型随机变量 一、连续型随机变量的概念 定义2.7(教材 51) 设F(x) 为随机变量 使对一切实数x，都有
pk P( xk )， k 1 ， 2，
为 的分布律(概率分布)。
MPA公共管理硕士综合知识数学概率论(随机变量及其分布)-试卷1
MPA公共管理硕士综合知识数学概率论（随机变量及其分布）-试卷1(总分：60.00，做题时间：90分钟)一、数学部分(总题数：33，分数：60.00)1.选择题__________________________________________________________________________________________2.设随机变量X服从正态分布N(μ，σ2 )，σ＞0，则当σ增大时，概率P{|X一μ|＜2σ)( )．A.单调增大B.单调减小C.保持不变√D.增减不定因为X～N(μ，σ2 )，所以σ无关．故本题应选(C)．3.设随机变量X的概率分布为k=1，2，3，…，则C等于( )．A.1B.eC.e -1D.(1一e -λ ) -1√由于等式两边各加Ce -λ，使右边变成C倍的泊松分布之和．松分布，认为C=1，忽略了志的取值范围的变化，泊松分布中k的取值是0，1，2，3，…，而该题中的k 取值是1，2，…，必须等式两边各加Ce -λ，使等式右端符合泊松分布才好求和．4.设随机变量X的密度函数为f(x)，且f(一x)=f(x)，F(x)为X的分布函数，则对任意实数a，有( )．A.F(-a)=1一∫0a f(x)dx∫0a f(x)dx √C.F(一a)=F(a)D.F(一a)=2F(a)一1由于 F(-a)=1—F(a)=1一∫-∞a f(x)dx =1一∫-∞0 f(x)dx一∫0a f(x)dx =1一一∫0a f(x)dx= 一∫0a f(x)dx 此题易犯的错误是把F(x)与f(x)混淆，认为f(-x)=f(x)，也就有F(一x)=F(x)．第二种错误是F(一a)=1一F(a)，把F(a)看成了∫0a (x)dx，因而选择了(A)项．5.设随机变量X～N(μ，σ2)，实数a＜b＜c，并且X的密度函数f(x)满足f(a)＜f(c)＜f(b)，则( )A. √B.C.D.由于 f(x)＜f(x)， |a一μ|＞|c一μ|，由于 f(c)＜f(b)， |b一μ|＜|c-μ|(A)成立，(D)不对．不能确定μ与b的大小关系，(B)，(C)都不成立．6.设随机变量X和Y均服从正态分布，X～N(μ，4 2 )，Y～N(μ,5 2 )．记 P 1 =P(x≤μ-4)，P 2 =P(Y ≥μ+5)．则有( )．A.对任何实数μ都有p 1 =p 2：√B.对任何实数μ都有p 1＞p 2C.对任何实数μ都有p 1＜p 2D.只有当μ=0时，才有p 1 =p 2计算一下p 1与p 2，再比大小．一φ(1)．故对任意μ的值，都有p 1 =p 2．7.设随机变量X～N(μ，σ2 )，则随σ的增大，概率P{|X一μ|＜σ)有( )．A.单调增大B.单调减小C.保持不变√D.先增后减P(|X—μ|＜σ}的值不变．8.设X服从参数为2的指数分布，a为任意实数，则P{X＞a 2 +2|X＞a 2 }等于( )．A.e -2C.e -4√由条件概率又P{X＞a 2}=1一P{X≤a 2}= P{X＞a 2+2}=1一P{X≤a 2+2}= 所以9.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间为X分钟，X10分钟，顾客就要离去，某顾客在一个月内要去银行5次，则他至少有一次离去的概率为( )．A.5(1一e -2 )C.(1-e -2 ) 5D.1-(1-e -2 ) 5√离去的概率Y，则 Y～B(5，e -2 )， P{Y≥1}=1一P{Y=0}=1一(1一e -2 ) 5．10.设随机变量X 3～N(1，7 2 )，则P{1＜X＜2)等于( )．A.B.C. √D.P{1＜X＜2}=P{1＜X 3＜8} =φ(1)一φ11.设随机变量X～f X (x)= 则随机变量Y=e X的概率密度f Y (y)为( )．A.B.C.D. √根据分布函数的定义，有 F Y (y)=P{Y≤y} =P{e X≤y}= 当0＜y＜1时，注意到lny＜0，有 P{X≤lny}=∫-∞lny f X (x)dx=0．当y≥1时，lny≥0，有 P{X≤lny}=∫-∞lny f X (x)dx=∫0lny e -x dx=因此有又由分布函数与概率密度的关系，得以上解法被称为求连续型随机变量函数分布的“直接交换法”，其一般步骤为： (1)将随机事件Y=f(X)在某范围内取值“转化为”随机变量X在相应范围内取值； (2)根据已知的X的分布计算出Y的分布函数F Y (y)； (3)利用概率密度与分布函数的关系，求出Y的概率密度f Y (y)．12.某箱配件共100个，若该类配件平均每个上有2个疵点，且每个配件上的疵点个数服从泊松分布，则该箱配件上的疵点数都不超过1的概率为( )．A.3e -2B.3 100 e -200√C.3 10 e -200D.3 100 e -2不妨将100个配件编号为1，2，…，100，设随机变量X表示第i个配件上的疵点数(i=1，2，…，100)，由题意X i服从泊松分布，且其参数λ=E(X i)=2．对于每个配件，其疵点数不超过1的概率P{X i≤1}=P{Xi =0}+P{X i =1} = 显然各X i相互独立，故100个零件疵点数都不超过1的概率为 P{X 1≤1，X 2≤1，…，X 100≤1} =P{X 1≤1).P{X 2≤1}.….P{X 100≤1} =(3e -2 ) 100 =3 100 e -200．13.设随机变量X具有对称的密度函数，即f(-x)=f(x)，则对任意a＞0，P{|X|＞a)等于( )．A.2[1一F(a)] √B.2F(a)一1C.2一f(a)D.1-2F(a)P{|X|＞a}=1一P{|X|≤a} =1一∫-a a f(x)dx =1—2∫0a f(x)dx =1-2[∫-∞a f(x)dx一∫-∞0 f(x)dx]=1—2[F(a)一] =2[1—F(a)]，这是由f(x)为偶函数和∫-∞0 f(x)dx= 所得．14.设某种晶体管使用寿命在1 000小时以上的概率为0．8，那么三个晶体管最多有一个使用寿命不足1 000小时的概率为( )．A.0.8B.0.886C.0.896 √D.0.64三个晶体管都使用到1 000小时以上的概率为(0．8) 3 =0．512，有且仅有一个晶体管有问题的概率为C 3 1×(0.8) 2×0．2=0．384，故三个晶体管最多有一个使用寿命不足1 000小时的概率为0．896．15.设随机变量X，Y相互独立且均服从正态分布N(μ，σ2 )，则概率P{X—Y＜1)( )．A.随μ的增加而增加B.随μ的增加而减少C.随σ的增加而增加D.随σ的增加而减少√由题设知X—Y～N(0，2σ2 )，于是概率σ的增加而减少．16.已知x～N(1，)，Y～N(0，且相互独立，Z=X—Y，则与Z同分布的是( )．A.2(X—Y)B.X+Y √Z=X—Y～N(1，1)，而X+Y～N(1，1)，故(X+Y)与Z同分布．17.填空题__________________________________________________________________________________________18. 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）设一次射击时命中目标的概率为P19.，2，…)：为离散型随机变量的概率分布，则常数b= 1填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1．）如果(k=1，2，…)为离散型随机变量的概率分布，则必有由此得到20.设连续型随机变量x～a的值为 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：e．）根据概率密度的性质有∫-∞+∞ f(x)dx=∫1a lnxdx=(xlnx—x)| 1a =alna一a+1=1，解得 a=e，即所求参数a=e．求概率密度中的某个参数值，通常利用∫-∞+∞ f(x)dx=1得出等式求解，而求分布函数中某个参数值，则是利用分布函数的连续性或limF(x)=1，limF(x)=0等得出等式求解．21.设连续型随机变量X A，B的值分别为 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：1，一1．）又根据F(x) B=一A=一1，即 A=1，B=一1．22.设随机变量X～B(2，p)，随机变量Y～B(3，p)．若P{X≥P{Y≥1}= 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）由题设，有 X～B(2，p)，P{X≥1}= 于是 P{X≥1}=1一P(X=0)=1一(1一p) 2 =23.若随机变量η服从[1，6]上的均匀分布，则方程x 2 +ηx+1=0有实根的概率为 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）由题知由于方程x 2+ηx+1=0有实根的充要条件是△=η2一4≥0，即η≥2或η≤一2．而P{η≥2或η≤一2}=P{η≥2)+P{η≤一2} 一P{η≤一2}+1一P{η≤2} =∫-∞-2 f(x)dx+1-∫-∞2 f(x)dx= 故方程x 2 +ηx+1=0有实根的概率为24.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布，现在对X进行3次独立观测，则至少有2次观测值大于3的概率为 1．填空项1:__________________ （正确答案：正确答案：[*]）由题设知X的概率密度为若设事件A={对X的观测值大于3}，即A={X＞3}，则用随机变量Y表示3次独立观察中A出现的次数，则Y～B，故所求概率为25.计算题__________________________________________________________________________________________ 26.根据以往经验，每封反映违法违纪问题的举报信，所举报的问题属实的概率为0．6，试问至少需要有几封对同一问题的独立的举报信，就可以有95％的把握相信举报的问题是属实的(lg2=0．301)．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：设至少需要n封举报信，则 1一(1一0．6) n≥0．95，即 0．4 n≤0．05，两边取对数，得 nlg4≤lg0．05，)27.设某人上班路上所需时间X～N(50，100)(单位：分)，已知上班时间为早上8时，他每天早晨7时出门，试求： (1)他某天迟到的概率(保留四位小数)； (2)他某周(以五天计)最多迟到一天的概率(保留两位小数)．计算时可参考：标准正态分布表：φ(1)=0．841 3，φ(2)=0．977 2，φ(3)=0．998 7．幂函数计算表见表2—4—1：__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：(1)由X～N(50，100)，可知该人每天迟到的概率P(X＞60)=1一P(X≤设随机变量Y为该人在一周(以五天计)中迟到的天数，则Y服从二项分布B(5，0．158 7)．所求概率为P(Y ≤1)=P(Y=0)+P(Y=1) =0．8413 5 +C 51×0．1587×0．8413 4 =0．4215+0．397 5≈0．82．)28.袋中装有15个球，其中有10个白球，5个红球．现从中无放回地摸球，每次摸一个，摸到白球为止．记X是所用次数，求X的分布律．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：X可能取1，2，3，4，5，6． p k =P{X=k} =P{前k一1次全取到红球，第k次取白球} 计算出各个p k值，分布律如下：)29.有奖明信片每年发行一次，中奖率为0．1．某同学某年起每年买一张，记X是他第一次中奖时已购明信片数，求X的分布律．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：X取一切正整数，分布律为 P{X=k}=0．9 k-1×0．1．)30.10件商品中有7件正品，3件次品．现从中每次随机取一件，若为次品则换进一个正品并再取，直到取到正品为止．设X是抽取次数．求X的分布律．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：X可能取1，2，3，4这431.设100件产品中有5件次品，从中随机取20件，求抽到次品数X的分布律．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：经验值为0，1，2，3，4，532.一名篮球运动员定点投篮命中率为0．8，现连续投30次，试求投进球数X的分布律．__________________________________________________________________________________________ 正确答案：(正确答案：X服从B(30，0．8)，分布律为P{X=k}=C 30k0．8 k0．2 30-k，k=0，1，…，30．)33.已知随机变量X只能取0，1，2，3C．__________________________________________________________________________________________正确答案：(正确答案：由p 0 +p 1 +p 2 +p 3 =1，。
随机变量及其分布练习试卷1(题后含答案及解析)
随机变量及其分布练习试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 单项选择题 2. 多项选择题 3. 综合分析题单项选择题每题1分。
每题的备选项中，只有1个符合题意。
1．一个样本由n个观测值组成，已知样本均值的样本标准差S皆为正数，如果每个观测值扩大到2倍，则下列说法正确的是()。
A．和S都扩大2倍B．和S都不变C．扩大2倍，S扩大4倍D．扩大4倍，S扩大2倍正确答案：C解析：由E(aX+b)＝aE(X)+b var(ax+b)＝a2var(X)可知。
知识模块：随机变量及其分布2．以下分别用来表示分布的中心位置和散布的大小的特征值是()。
A．均值、方差B．方差、均值C．标准差、均值D．方差、标准差正确答案：A解析：均值表示了分布的中心位置，方差和标准差表示分布的散布的大小。
知识模块：随机变量及其分布设随机变量Z的分布列为：X：0 1 2 3 4 P：0.50.20.10.15 0.05则3．E(X)为()。
A．0.105B．2.0C．1.6D．1.0正确答案：A解析：(1)E(X)=0×0.5+1×0.2+2×0.1+3×0.15+4×0.05＝0.105知识模块：随机变量及其分布4．P(0≤X＜3)为()。
A．0.9C．0.4D．0.7正确答案：B解析：(2)P(0≤X＜3)＝0.5+0.2+0.1＝0.8知识模块：随机变量及其分布5．设X为[a、b)上的连续型随机变量，已知a＜c＜d＜b，且c-a＝d-c＝b-d，则下列结论成立的是()。
A．P(a＜X≤d)＝2P(a＜X≤c)B．P(c＜X≤d)＝P(d＜X≤b)C．P(a≤X＜b)＝1/3D．P(X＝a)＝P(X＝b)正确答案：D解析：对于连续型随机变量，在给定区间上取值的概率P是以在取值区间上，概率密度分布曲线与X轴所夹的曲边梯形的面积。
对于连续随机变量X取一点的概率为0，所以选D。
知识模块：随机变量及其分布6．设X～N(1，4)，则P(0≤X＜2)可表示为()。
第二节 离散型随机变量及其分布1
广
东
工
业
广
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东 工 业
主讲教师：
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第二章 随机变量
§1 随机变量及其分布函数 §2 离散型随机变量及其分布 §3 连续型随机变量及其分布 §4 随机变量函数的分布
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§2 离散型随机变量及分布
一、离散型随机变量的定义
有些随机变量，它全部可能取的值只有有限 个，或者，虽然有无限多个可能的值，但这些值 可以无遗漏地一个接一个地排列出来（即可列 个），称这种随机变量为离散型随机变量。
二项分布描述的是n重贝努里试验中出现
“成功”（事件A发生）次数ξ的概率分
布.
在解应用题时需要注意判断问题是否
为贝努利概型，可否用二项分布求解. 广 东 工 业 大 学
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例 医生对5个人作某疫苗接种试验，设已知对试验反应呈阳性的
概率为p＝0.45，且各人的反应相互独立。若以 记反应为阳性的人数。 （1）写出 的分布律；（2）恰有3人反应为阳性的概率；（3）至少有2
0.453(1
0.45)2
0.276;
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(3)至 少 有2人 反 应 呈 阳 性 的 概 率 是
东 工
P( 2) 1 p( 0) p( 1)
业 大
1
(1
0.45)
5
C
1 5
0.45(1
0.45)4 0.744.
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若X : b(n,p)，则明显地成立以下公式：
1.在n重贝努利 试验中，事件A发生的次 数在k1与k2之间的概 率是
下面求P{ξ=k}
2.1随机变量及其分布(1,2)课件
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a )
x a
任一随机变量 的分布函数 都满足以上性质, 反之, 任一满足以上性质的函数, 都可作为某一 随机变量的分布函数.
X 服从离散均匀分布.
三、分布函数 离散型随机变量的特点是： 其取值范围是有限集
或可列集. 其概率分布可用列表法表示: X x1 , x2 , x3 , ..., xn , ... p p1 , p2 , p3 , ..., pn , ...
但有些随机变量是非离散的,它的取值可能是 某一
区间内的一切值.
x x
lim F x 1
(4) F ( x ) 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处,
是右连续的, 即对任何实数 a 有 lim F x F (a ) 证（1）0 F ( x ) P{ X x } 1 （2） a b 时, X a
1 P{ X 2 } P{ X 4 } P{ X 6 } ... P{ X 2n } ...
p 2 p 4 p 6 ... p 2 n ... 1 p2 1 2 2 2 1 p p 2p 1 p 2
p2
若离散型 r , v . X 的概率分布为
X p x1 p1
A x2 xk
p2
pk
则对于集合 xn n 1,2,3,... 的任一子集 A, 事件
“ X 在 A 中取值” 即“X A ” 的概率为
P{ X A } pk
xk A
只有两种对立结果： 对于贝努利试验， “A发生” 与“A不发生” 设事件A发生的概率为 p ( 0 p 1 ) 则事件 A 发生的概率为 q 1 p 令X表示 一次贝努利试验中， A发生的次数， 即
01随机变量及其分布列(一).
我们学习了概率有关知识.知道概率是描述在一次 随机试验中的某个随机事件发生可能性大小的度量.
一般地，一个试验如果满足下列条件： 1．试验可以在相同的情况下重复进行； 2．试验的所有可能结果是明确可知道的,并且不只一个； 3．每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在 一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．
这样的分布列称为 两点分布列.又称0-1分布 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点 分布，而称p=P(X=1)为成功概率。
练习: 设某项试验的成功率是失败率的2倍,用随机
变量去描述1次试验的成功次数,则P( 0) ___
思考:在含有5件次品的100件产品中,任取3件,求 取到的次品数X的分布列.
设摸出红球的个数为服从超几何分布其中3010于是由超几何分布模型得中奖的概率1020102010203030301015下列概率等于方便的村庄数个村庄中交通不表示这个村庄任意选现从中个村庄交通不方便个村庄中有试写出购买者获得奖金则不得奖金并且若则可得奖金之和为若两枚骰子向上面的点可掷两枚骰子一次产品一件者规定购买该品进行促销活动某公司为促销某种新产1011122000110040040011002000136118112195361653619112118136列出一个表格如下
这种试验就是一个随机试验。
练习：判断下面问题是否构成随机试验
(1)、京广T15特快列车到达广州站是否正点。
解：是随机试验。因为它满足随机试验的三个条件： 即在相同的情况下可重复进行（每天一次）；所有可 能的结果是明确的（正点或误点）；试验之前不能肯 定会出现哪种结果。
(2)、1976年唐山大地震。
离 (2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，
《随机变量及其分布列(1)》示范公开课教学课件【高中数学苏教版】
故随机变量X的概率分布如下表：
X
0
1
2
PLeabharlann 解：由古典概型的知识，得P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝.
故随机变量X的概率分布如下表所示：
X
0
1
P
随机变量X只取两个可能值0和1
0-1分布、两点分布
X～0-1分布、X～两点分布
X
0
1
P
C
B
解：设黄球的个数为n，则绿球的个数为2n，红球的个数为4n，盒中小球的总个数为7n.
由于随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性．
通常用大写英文字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示随机变量，而用小写英文字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．
通常用大写英文字母X,Y,Z(或小写希腊字母ξ，η，ζ)等表示随机变量，而用小写英文字母x,y,z(加上适当下标)等表示随机变量的取值．
随机变量的取值X(ω)随着试验结果(样本点)ω的变化而变化，其取值依赖于样本点，并且所有可能取值是明确的．随机变量是建立在Ω到R的对应，这里的样本点ω相当于函数定义中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域，不同的是Ω不一定是数集．
(1) 一个实验箱中装有标号为1,2,3,3,4的5只白鼠，从中任取1只，记取到的白鼠的标号为X；(2) 明天的降雨量L(单位：mm)；(3) 先后抛掷一枚质地均匀的硬币两次，正面向上的次数X.
认真读题、理解题意，正确写出随机变量可能的取值．
X＝6，表示“取出标有数字2, 4或1, 5的两张卡片”；X＝7，表示“取出标有数字3, 4或2, 5或1, 6的两张卡片”；X＝8，表示“取出标有数字2, 6或3, 5的两张卡片”；X＝9，表示“取出标有数字3, 6或4, 5的两张卡片”；X＝10，表示“取出标有数字4, 6的两张卡片”；X＝11, 表示“取出标有数字5, 6的两张卡片”．
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2.1.1离散型随机变量
在必修3中,我们学习了概率有关知识.知道概率是 描述某个随机事件发生可能性大小的量.
同时我们还研究了一些的随机事件的概率,下面我 们作一个简单的回顾.
1.定义：
随机事件： 在条件S下可能发生也可能不发 生的事件叫随机事件。
必然事件： 在条件S下必然要发生的事件叫 必然事件。
3.概率的基本性质
1)0 P( A) 1
2)如果事件A与事件B互斥，则P( AUB) P( A) P(B) 3)如果事件A与事件B对立，则P( A) 1 P(B)
4、古典概型的两个特点:
(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个. (2)每个基本事件出现的可能性相等.
计算古典概型的公式：
例如，在含有10件次品的100件产品中，任意抽取4件，可 能含有的次品件数X将随着抽取结果的变化而变化，是一个随 机变量。其取值范围是{0,1,2,3,4}.
利用随机变量可以表达一些事件.X = 0表示:抽出0件次品" X = 4表示“:抽出4件次品”
X < 3表示:抽出的次品小于3 件.
练习:写出下列各随机变量的取值范围:
在这种对应关系下，数字是随着试验结果的变化而变化的。
象这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. 随机变量常用字母X,Y L L 表示.
思考1： 随机变量与函数有类似的地方吗？
随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结 果映为实数，函数把实数映为实数。
在这两种映射之间，试验结果的范围相当于函数的定义域， 随机变量的取值范围相当于函数的值域。
问题2：某纺织公司某次检验产品，在可能含有10次品的 100件产品中任意抽取4件，其中可能含有几件次品？ 若用Y表示所含次品数，Y有哪些取值？
Y可取 0、1、2、3、4,共5种结果
问题3：把一枚硬币向上抛，可能会出现哪几种结果？ 能否用数字来刻划这种随机试验的结果呢？
X=0，表示正面向上； X=1，表示反面向上
在问题1、2、3中，我们注确:这定种了对一个应对事应实关上系是，一使得个每映一射个。试
验结果都用一个确定的数字来表示。
出现1点 出现2点
1
0件次品
2
1件次品
0
正面朝上
0
1
…… 出现6点
…… 6
…… 4件次品
…… 4
反面朝上
1
在以上的各例说明，在随机试验中，我们可以确定一个对 应关系，使得每一个试验的结果都用一个确定的数字来表示。
（5）互斥事件
若 A B 为不可能事件（ A I B ），那么称事
件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一 次试验中都不会同时发生。
（6）互为对立事件
若 A B 为不可能事件， A U B 为必然事件，那么
称事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事 件B在任何一次试验中有且仅有一个发生。
公式：P( A)
A包含基本事件的个数 基本事件的总数
5.几何概型：
• 定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件 区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概 率模型为几何概率模型.
几何概型的公式:
P(
A)
构成事件A 的区域长度（面积或体积） 全部结果所构成的区域长度（面积或体积）
新课引入:
问题1：掷一颗骰子,结果有哪些?发生的概率各是多少? 若用X表示出现的点数，X有哪些取值？ X可取1、2、3、4、5、6，共6种结果
(1)从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡
片的号数X．
{1、2、3、···、10}
(2)一个袋中装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白
球数X．
{0、1、2、3}
(3)抛掷两个骰子，所得点数之和X．
{2、3、···、12}
(4)某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η．{1、2、3……}
0，不合格品 (寿命<1000小时)
Y= 1，合格品 (寿命≥1000小时)
0，一等品 (寿命>1500小时)
Y= 1，二等品 ຫໍສະໝຸດ 1000<寿命<1500小时)
例1、(1)某座大桥一天经过的中华轿车的辆数为 ； (2)某 网站中歌曲《爱我中华》一天内被点击的次数为 ；(3)一 天内的温度为 ；(4)射手对目标进行射击，击中目标得1分， 未击中目标得0分，用 表示该射手在一次射击中的得分。
离散型随机变量： 所有取值可以一一列出的随机变量，就称为离散
型随机变量。
问题6: 某林场树木最高达30m,那么这个林场的树木高 度的情况有那些?是否为随机变量？
则此林场树木的高度是 一个随机变量。
(0，30]内的一切值
可以取某个区间内的一切值
如果随机变量可能取的值是某个区间的一切值，这 样的随机变量叫做连续型随机变量.
所以更便于研究，为了我们研究的可操作性，有些问题往往可 以考虑从不同的角度去构造随机变量。
思考6：
（2）如果规定寿命在1500小时以上的灯泡为一等品，寿命在 1000到1500小时之间的为二等品，寿命在1000小时以下的为不 合格品。如果我们关心灯泡是否为合格品，应如何定义随机变 量？如果我们关心灯泡是否为一等品或二等品，又如何定义随 机变量？
不可能事件： 在条件S下不可能发生的事件 叫不可能事件。
确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母 A,B,C…表示。
2.事件的关系和运算：
（1）包含关系 B A（或A B) 一般地，对于事件A与事件B，如果事件A发生，则
事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A 包含于事件B）.
（2）相等关系 A=B
思考4： 电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗？
X取(0,+∞)内的一切值,故X并非离散性随机变量.
思考5：
若我们仅关心该电灯泡的寿命是否超过1000小时，并如下定义一 个随机变量Y， Y是一个离散型随机变量吗？
0，寿命<1000小时 Y= 1，寿命≥1000小时
与电灯泡的寿命X相比，随机变量Y的构造显然比X要简单，它 只取0和1两个不同的值，是一个离散型随即机变量。
一般地，对事件A与事件B，若 B A且A B ，
那么称事件A与事件B相等.
（3）并事件（和事件） AU B（或A B）
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称 此事件为事件A和事件B的并事件（或和事件）.
（4）交事件（积事件） A I B（或AB）
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称 此事件为事件A和事件B的交事件（或积事件）.