量子力学课后答案第一二章
量子力学第一章习题答案
量⼦⼒学第⼀章习题答案第⼀章1.1 由⿊体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极⼤值所对应的波长λm 与温度T 成反⽐，即λm T = b （常量）；并近似计算b 的数值，准确到两位有效数字。
解：⿊体辐射的普朗克公式为：)1(833-=kT h e c h νννπρ∵ v=c/λ∴ dv/dλ= -c/λ2⼜∵ρv dv= -ρλdλ∴ρλ=-ρv dv/dλ=8πhc/[λ5(ehc/λkT-1)] 令x=hc/λkT ,则ρλ=8πhc(kT/hc)5x 5/(e x -1)求ρλ极⼤值，即令dρλ(x)/dx=0，得：5(e x -1)=xe x可得： x≈4.965∴ b=λm T=hc/kx≈6.626 *10-34*3*108/(4.965*1.381*10-23)≈2.9*10-3（m K ）1.2√. 在0 K 附近，钠的价电⼦能量约为3电⼦伏，求其德布罗意波长。
解： h = 6.626×10-34 J ·s , m e = 9.1×10-31 Kg,， 1 eV = 1.6×10-19 J故其德布罗意波长为：07.0727A λ=== 或λ= h/2mE = 6.626×10-34/(2×9.1×10-31×3×1.6×10-19)1/2 ≈ 7.08 ?1.3 √.氦原⼦的动能是E=32KT （K B 为波尔兹曼常数），求T=1 K 时，氦原⼦的德布罗意波长。
解：h = 6.626×10-34 J ·s , 氦原⼦的质量约为=-26-2711.993104=6.641012kg , 波尔兹曼常数K B =1.381×10-23 J/K故其德布罗意波长为：λ= 6.626×10-34/ (2×-276.6410?×1.5×1.381×10-23×1)1/2≈01.2706A或λ= ⽽KT E 23=601.270610A λ-==?1.4利⽤玻尔-索末菲量⼦化条件，求：a ）⼀维谐振⼦的能量：b ）在均匀磁场作圆周运动的电⼦轨道的可能半径。
一二三习题答案
B18.原子轨道指的是下列的哪一种说法？
（A）原子的运动轨迹（B）原子的单电子波函数（C）原子的振动态（D）原子状态
C19.钠原子光谱D线是双重线，其原因是下列的哪一个：
（A）电子的轨道角动量（B）外磁场;（C）自旋轨道耦合（D）3p能级高
C20.对于原子中电子的总能量，下列的哪一个说法是正确的？
D15.如果氢原子的电离能是13.6 eV，则Li2+的电离能是下列的哪一个？
（A）13.6eV，（B）27.2 eV；（C）54.4 eV；（D）122.4 eV
A16.在氢原子中，对于电子的能量，下列的哪一种说法正确？
（A）只与n有关；（B）只与l有关；（C）只与m有关；（D）与n和l有关
B17.测量3d态氢原子的轨道角动量的z轴分量，可得到几个数值？
（C）动量一定有确定值；（D）几个力学量可同时有确定值；
7.试将指数函数e±ix表示成三角函数的形式cosex±isinex
8.微观粒子的任何一个状态都可以用波函数来描述；ψψ*表示粒子出现的概率密度。
D9.Planck常数h的值为下列的哪一个？D
（A）1.38×10-30J/s（B）1.38×10-16J/s（C）6.02×10-27J·s（D）6.62×10-34J·s
(A)CA=0.90,CB=0.10；（B）CA=0.95,CB=0.32；
(C)CA=CB；（D）CA=0.10,CB=0.90；
B7.下列分子的基态中哪个是三重态？
（A）F2（B）O2（C）N2（D）H2+
B8.对分子的三重态，下列哪种说法正确？
（A）分子有一个未成对的电子（B）分子有两个自旋平行的电子
（A）Zeeman（B）Gouy（C）Stark（D）Stern-Gerlach
量子力学解答(1-2 章)
ψ (0) = 0, ψ ( a ) = 0,
B ≠ 0, ⇒ k =
⇒ A=0 ⇒ B sin ka = 0
归一化，
答
案
i ⎧ 2 nπ − h E n t sin xe , ⎪ 得： ψ n ( x, t ) = ⎨ a a ⎪ 0, ⎩
网
ww
∫
a
0
B 2 sin 2
nπx dx = 1, ⇒ B = a
&dx = ∫ mx & ∫ pdq = ∫ mx
后
3 h 2 k 2 n 2 1/ 3 ( ) , n = 1,2,3... 2 m v v kr ) 证明: 注意到 F = − = − kr , 径向牛顿力学方程为 r k k = ma n = mrω 2 , 即 rω 2 = m 0 0 v ˆ ⋅ dr = ∫ − kdr = kr 选取 r=0 为势能零点, 势能为 E p = ∫ − kr
ww
对全空间积分并注意可与对时间求导交换，得：
//
w.
∂ * h2 h2 * 2 2 * ih (ψ 1ψ 2 ) = − (ψ 1 ∇ ψ 2 − ψ 2 ∇ ψ 1 ) = − ∇ ⋅ (ψ 1*∇ψ 2 − ψ 2 ∇ψ 1* ) ∂t 2m 2m
粒子在一维势场 V(x) 中运动，V(x) 无奇点，设
v
∫ψψ
全 * 1
2
dτ
之值与时间无关. 证明: 由 Schrodinger 方程：
∂ψ 1 h2 2 ih = (− ∇ + V )ψ 1 ∂t 2m ih ∂ψ 2 h2 2 = (− ∇ + V )ψ 2 ∂t 2m ∂ψ 1* h2 2 = (− ∇ + V )ψ 1* ∂t 2m
量子力学答案：第一章
故 v
因为梯度场是旋度为 0，所以该速度场为无旋的 ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ 10、写出分离变量法 + 线性组合法解粒子初态演化问题的基本步骤。即已知 (0) ，如何求 (t ) ，使它满足薛定谔方程 i (t ) H (t ) 。 t （1）解能量本征方程 H n En n ，得到一系列的本征能量和能量本征
( x )e
ipx /
* ( x)eipx /
dx p ( p)dp dx p ( p)dp
*
1 (2 ) 1 (2 )1/2
1/2
* ( x) peipx / dx ( p )dp
( x ,y z , )dy dz dx （注意积分要加括号，以表明是对哪个变量积分）
2
6、在一维空间中，动量为 p0 的动量本征态用 Dirac 符号表示为___ p0 ___, 它 在 坐 标 表 象 下 的 形 式 为 x p0
1
1/ 2 ( 2 )
( x, t ) j ( x, t ) t x i 可得： j ( x, t ) ( * * ) 2m x x ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
对比 9、从薛定谔方程推导出速度场是无旋的，即 v 0 ，其中 v j ， 为概率 密度， j 为概率流密度。 证明：概率密度和概率流的表达式如下：
量子力学课后习题答案
第一章 绪论1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,⋅⨯==-λ。
证明：由普朗克黑体辐射公式：ννπνρννd e c h d kTh 11833-=， 及λνc=、λλνd cd 2-=得1185-=kThc ehc λλλπρ，令kT hcx λ=，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 15-=x xe xe用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kThcm λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03⋅⨯==-b b T m λ 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长.解：010A 7.09m 1009.72=⨯≈==-mEh p h λ #1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=⨯≈===-mkTh mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-⨯⨯=m ，123K J 1038.1--⋅⨯=k#1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求： （1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E μωμ+=可以化为()12222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+μωμE q Ep的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμEb E a ==，相空间面积为,2,1,0,2=====⎰n nh EEab pdq νωππ所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为()ϕω+=t A q sin速度为 ()ϕωω+='t A q cos ，动量为()ϕωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为()()nh TA dt t A dt t A pdq T T==++=+=⎰⎰⎰2)cos 1(2cos 220220222μωϕωμωϕωμω， ,2,1,0=nνμωnh Tnh A E ===222， ,2,1,0=n（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学课后习题答案
Wnl (r)dr Rnl2 (r)r 2dr
例如：对于基态 n 1, l 0
W10 (r) R102 (r)r 2
4 a03
r e2 2r / a0
求最可几半径
R e 2 r / a0
10
a03 / 2
dW10 (r) 4 (2r 2 r 2 )e2r / a0
x)
k
2
2
(
x)
0
其解为 2 (x) Asin kx B cos kx
根据波函数的标准条件确定系数A、B，由连续性条件，得
2 (0) 1(0) B 0
2 (a) 3 (a) Asin ka 0
A0
sin ka 0
ka n
(n 1, 2, 3,)
[1 r
eikr
r
(1 r
eikr )
1 r
eikr
r
(1 r
eikr )]er
i1 1 11 1 1
2
[ r
(
r2
ik
) r
r
(
r2
ik
r )]er
k
r2
er
J1与er 同向。 1 表示向外传播的球面波。
习题
(2)
J2
i
2
(
2
* 2
2*
解：U (x)与t 无关，是定态问题
薛定谔方程为
2
2
d2 dx2
(x) U (x) (x)
E (x)
在各区域的具体形式为：
x0
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
(10) (11) (12) (13)
ek1a B sin k 2aC cosk 2aD 0 0
k1ek1a B k 2 cosk 2aC k 2 sin k 2a D 0 0
0 sin k 2aC cosk 2aD ek1a F 0
(x) c (x)
⑤
④乘 ⑤，得 (x) (x) c2 (x) (x) ， 可见，c 2 1 ，所以 c 1
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有偶宇称，
当 c 1时， (x) (x) ， (x) 具有奇宇称，
18
当势场满足 U (x) U (x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
3
第一章 绪论
1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律： mT b, b 2.9 10 3 m0C 。
证明：由普朗克黑体辐射公式：
d
8h c33Βιβλιοθήκη 1hd ，
ekT 1
及 c 、 d c d 得
2
8hc 5
1，
hc
ekT 1
令 x hc ，再由 d 0 ，得 .所满足的超越方程为
kT
d
2
(x)
E
2
(x)
②
12
Ⅲ： x a
2 2m
d2 dx2
3
(x)
U
(x)
3
(x)
E
3
(x)
③
由于(1)、(3)方程中，由于U (x) ，要等式成立，必须
1(x) 0 2 (x) 0
即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为
d
2 2 ( dx2
量子力学答案
第一章 绪论1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 b T m =λ （常数），并近似计算b 的数值，准确到二位有效值。
[解]：由黑体辐射公式，频率在ν与ννd +之间的辐射能量密度为ννπνρννd ec hd kTh 11833-=由此可以求出波长在λ与λλd +之间的能量密度λλρd )( 由于 λν/c =,λλνd cd 2+=因而有： λλπλλρλd ehcd kT hc 118)(5-=令λkT hc x =所以有：11)(5-=xe Ax λρ （44558c h T k A π=常数） 由 0)(=λλρd d 有0)1(115)(254=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=λλλρd dxe e x e x A d d x x x于是，得： 1)51(=-x e x该方程的根为 965.4=x 因此，可以给出，k hcxk hc T m 2014.0==λ即 b T m =λ （常数）其中 k hcb 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--⨯⨯⨯⨯⨯=k m ⋅⨯=-310898.2[注]根据11833-=kTh ec h νννπρ 可求能量密度最大值的频率：令kT h x ν=113-=xe Ax νρ （23338h c T k A π=） 0]11[3=-=ννρνd dxe Ax dx d d d x因而可得 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x e x此方程的解 821.2=xh kTh kTx 821.2max ==νb T Tb '=⇒'=-1max max νν其中34231062559.610380546.1821.2821.2--⨯⨯=='h k b 1910878.5-⋅︒⨯=s k这里求得m ax ν与前面求得的m ax λ换算成的m ν的表示不一致。
量子力学答案完整版周世勋第三版
找了好久才找到的，希望能给大家带来帮助量子力学习题及解答第一章 量子理论基础1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即m λ T=b 〔常量〕；并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv e chv d kThv v v 11833-⋅=πρ， 〔1〕以及 c v =λ， 〔2〕λρρd dv v v -=， 〔3〕有,118)()(5-⋅=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=kThc v v ehc cd c d d dv λλλπλλρλλλρλρρ这里的λρ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
此题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。
但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下：01151186'=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλπρ ⇒ 0115=-⋅+--kT hce kThc λλ ⇒ kThce kT hc λλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ，则上述方程为x e x =--)1(5第一章绪论这是一个超越方程。
首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有xkhc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯=-3109.2λ这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体〔如遥远星体〕的发光颜色来判定温度的高低。
1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。
量子力学课后习题答案
量子力学课后习题详解 第二章波 函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m 2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m2i J e )r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Eti）（）（， 可见t J 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikr ikr e re r1)2( 1)1(21 从所得结果说明1 表示向外传播的球面波，2 表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中sin r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(r J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx e x )( ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？dx dx *∴波函数不能按1)(2dx x 方式归一化。
其相对位置几率分布函数为12表示粒子在空间各处出现的几率相同。
2.3 一粒子在一维势场a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动，求粒子的能级和对应的波函数。
解：t x U 与)(无关，是定态问题。
其定态S —方程)()()()(2222x E x x U x dx d m 在各区域的具体形式为Ⅰ： )()()()(2 0111222x E x x U x dx d m x ①Ⅱ： )()(2 0 22222x E x dx d m a x②Ⅲ： )()()()(2 333222x E x x U x dxd m a x ③由于(1)、(3)方程中，由于 )(x U ，要等式成立，必须0)(1 x 0)(2 x即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
《量子力学概论》第一、二章知识点总结和习题解答
§5. 函 数势
§6. 有限深方势阱
小结
1、定态薛定谔方程（能量本征值方程）： 2 d 2 V E .
2m dx2
定态波函数： 一般解可由定态解叠加而成：
系数由初始波函数确定：
2、一维典型例子 （a)一维无限深势阱
能量本征函数和能量本征值为
0
20
1 [xsin2x - 1
2
2
a
s
0
in2
xdx]0a
1 [xsin2x 2
1 2
c os 2x]0a
解：（a)
角频率是
振幅是
解：（a)
（b)
解：（a)
解：由 有
解：（a) （b)
（b)
（c)
（d)
解：
2
解：
解：（a)
（b) （c)
（d)
解：（a) （b)
x x (x,t) 2dx.
x *xdx,
动量 ( p mv)的平均值:
p
dx m
dt
i
*
x
dx.
任一力学量 Q(x, p) 的平均值:
p
*
i
x
dx.
Q(x, p)
*Q
x,
i
x
dx.
4、海森堡不确定原理
p h 2 .
x p 2 ,
粒子的位置和动量不能同时准确测定,或者说不存在粒子的位置和动量同时 取确定值的状态。粒子的位置越精确,它的动量就越不精确。
（c)
（2.100） （2.103）
（d)
解：（a) （b)
（c)
曾谨言量子力学课后答案
p = h/λ
1
（1） （2）
而能量
E = p 2 / 2m = h 2 / 2mλ2 = h2n2 = π 2h2n2 2m ⋅ 4a 2 2ma 2
(n = 1, 2,3,L)
（3）
1.2 设粒子限制在长、宽、高分别为 a, b, c 的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
2
得a2
=
nh mωπ
=
2hn mω
（3）
2
代入（2），解出
En = nhω,
n = 1, 2,3,L
（4）
∫ 积分公式：
a 2 − u 2 du = u a 2 − u 2 + a 2 arcsin u + c
2
2
a
1.4 设一个平面转子的转动惯量为 I，求能量的可能取值。
∫ 提示：利用
2π 0
h2 2m
∇
2ψ
(rv,
t
)
+
[V1
(rv
)
+
iV2
(rv
)]ψ
(rv,
t
)
V1 与V2 为实函数。
4
（1）
（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。
（b）证明粒子在空间体积τ 内的几率随时间的变化为
( ) d
dt
∫∫∫ τ
d
3 rψ
*ψ
=
−
h 2im
∫∫
S
ψ
*∇ψ
−ψ∇ψ *
v ⋅ dS +
2V2 h
（能量密度）
量子力学课后答案
•第一章 绪论 •第二章 波函数和薛定谔方程 •第三章 力学量的算符表示 •第四章 态和力学量的表象 •第五章 微扰理论 •第六章 弹性散射 • 第七章 自旋和全同粒子1.1．由黑体辐射公式导出维恩位移定律：C m b b T m 03109.2 ,⋅⨯==-λ。
证明：由普朗克黑体辐射公式： ννπνρννd e c h d kT h 11833-=， 及λνc =、λλνd c d 2-=得 1185-=kT hc e hc λλλπρ， 令kThc x λ=，再由0=λρλd d ，得λ.所满足的超越方程为 15-=x x e xe 用图解法求得97.4=x ，即得97.4=kT hc m λ，将数据代入求得C m 109.2 ,03⋅⨯==-b b T m λ 第一章绪论 1.2．在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV,求de Broglie 波长. 解：010A 7.09m 1009.72=⨯≈==-mE h p h λ # 1.3. 氦原子的动能为kT E 23=，求K T 1=时氦原子的de Broglie 波长。
解：010A 63.12m 1063.1232=⨯≈===-mkT h mE h p h λ 其中kg 1066.1003.427-⨯⨯=m ，123K J 1038.1--⋅⨯=k # 1.4利用玻尔—索末菲量子化条件，求：（1）一维谐振子的能量。
（2）在均匀磁场中作圆周运动的电子的轨道半径。
已知外磁场T 10=B ，玻尔磁子123T J 10923.0--⋅⨯=B μ，求动能的量子化间隔E ∆，并与K 4=T 及K 100=T 的热运动能量相比较。
解：（1）方法1：谐振子的能量222212q p E μωμ+=可以化为()12222222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+μωμE q E p 的平面运动，轨道为椭圆，两半轴分别为22,2μωμE b E a ==，相空间面积为 ,2,1,0,2=====⎰n nh E E ab pdq νωππ 所以，能量 ,2,1,0,==n nh E ν方法2：一维谐振子的运动方程为02=+''q q ω，其解为 ()ϕω+=t A q sin 速度为 ()ϕωω+='t A q cos ，动量为()ϕωμωμ+='=t A q p cos ，则相积分为 ()()nh T A dt t A dt t A pdq T T ==++=+=⎰⎰⎰2)cos 1(2cos 220220222μωϕωμωϕωμω， ,2,1,0=n νμωnh T nh A E ===222， ,2,1,0=n （2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。
量子力学教程(第二版)周世勋习题解答
方法 2：一维谐振子的运动方程为 q 2q 0 ，其解为
q Asint
速度为 q A c o st ，动量为 p q A cost ，则相积分为
pdq A22 T cos2t dt A22 T (1 cost )dt A22T nh ， n 0,1,2,
0
20
2
E A22 nh nh ， n 0,1,2, 2T
0 k 2 cosk 2aC k 2 sin k 2aD k1ek1a F 0
21
解此方程即可得出 B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组有非零解，必须
e k1a k1e k1a
当 c 1 时， (x) (x) ， (x) 具有奇宇称，
18
当势场满足 U (x) U (x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。
2.7 一粒子在一维势阱中
U (x)
U 0
0,
x a
0, x a
运动，求束缚态( 0 E U0 )的能级所满足的方程。
解：粒子所满足的 S-方程为
6
（2）设磁场垂直于电子运动方向，受洛仑兹力作用作匀速圆周运动。由evB v2 ，得 R v
R
eB
再由量子化条件 pdq nh,n 1,2,3,，以, p Rv R2 eBR 2分别表示广义坐标和相应的
广义动量，所以相积分为
pd
2 0
pd
2Rv 2eBR2
nh， n 1,2,，由此得半径为 R
(x x) 而得其对方，由①经 x x 反演，可得③，
(x) c (x)
④
由③再经 x x 反演，可得①，反演步骤与上完全相同，即是完全等价的。
(x) c (x)
⑤
量子力学-第一章-答案
0
2 r 2 g ( sin )d mr d
2 2 0
2 2 r 2 g ( mr 2
2
2 2 2 2 r g 2 2 V (r ) ( cos 1) r 2
2rg 2 V ( ) ( cos 1) 2
g g t 2l1l2 sin t l 2 , l2 l2 g g t 2 gl1 cos t l2 l2
l2 2l1 1 t2 ( tan ) , 此时z l 2 (l 2 2l1 ) l 2 g l2
（3）所以总时间为
2l1 l2 2l1 1 t t1 t 2 ( tan ) g g l2
A r1 sin x y y r cos C 1 A B r2 sin x y y r cos C 2 B
mA m B 2 2 C k L (mA m B ) xC y l k lmB0 k mA mB 1 1 2 2 2 2 A y A ) mB ( x B B T mA ( x y ) 2 2 1 1 mAmB 2 2 1 2 C T (mA mB ) y l mB 2 0 2 2 mA m B 2
1.1 质量为m的质点，约束在半径为r的光滑半球形碗的内壁运 动。试应用牛顿第二定律分别用直角坐标，柱坐标和球坐标写 出质点运动的微分方程。
解:
(1)直角坐标系
( x, y, z )
sin cos z r y x2 y2 x x2 y2 x2 y2 r
Fx FN sin cos Fy FN sin sin Fz mg FN cos
量子力学课后习题答案
量子力学课后习题详解 第二章波 函数和薛定谔方程2.1证明在定态中，几率流与时间无关。
证：对于定态，可令)]r ()r ()r ()r ([m 2i ]e )r (e )r (e )r (e )r ([m2i )(m2i J e )r ( )t (f )r ()t r (**Et iEt i **Et i Et i **Etiψψψψψψψψψψψψψψψ∇-∇=∇-∇=∇-∇===-----）（）（， 可见t J 与无关。
2.2 由下列定态波函数计算几率流密度：ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波，2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解：分量只有和r J J 21在球坐标中ϕθθϕθ∂∂+∂∂+∂∂=∇sin r 1e r 1e r r 0r mrk r mr k r r ik r r r ik r r m i r e rr e r e r r e r m i mi J ikr ikr ikr ikr30202201*1*111 )]11(1)11(1[2 )]1(1)1(1[2 )(2 )1(==+----=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψr J 1与同向。
表示向外传播的球面波。
rmrk r mr k r )]r 1ik r 1(r 1)r 1ik r 1(r 1[m 2i r )]e r1(r e r 1)e r 1(r e r 1[m 2i )(m2i J )2(3020220ik r ik r ik r ik r *2*222-=-=---+-=∂∂-∂∂=∇-∇=--ψψψψ可见，r J与2反向。
表示向内(即向原点) 传播的球面波。
补充：设ikx e x =)(ψ，粒子的位置几率分布如何？这个波函数能否归一化？∞==⎰⎰∞∞dx dx ψψ*∴波函数不能按1)(2=⎰∞dx x ψ方式归一化。
其相对位置几率分布函数为12==ψω表示粒子在空间各处出现的几率相同。
《量子力学导论》习题答案(曾谨言版-北京大学)1
第一章 量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在一维无限深势阱中运动， ⎩⎨⎧<<><∞=ax ax x x V 0,0,0,)(试用de Broglie 的驻波条件，求粒子能量的可能取值。
解：据驻波条件，有 ),3,2,1(2=⋅=n n a λn a /2=∴λ （1）又据de Broglie 关系 λ/h p = （2） 而能量(),3,2,12422/2/2222222222==⋅===n ma n a m n h m m p E πλ （3）1.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。
解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。
假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。
动量大小不改变，仅方向反向。
选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。
利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E z y x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。
提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：221()2x a E V x m a ω===。
周世勋量子力学习题答案(七章全)
第一章 绪论1.1 由黑体辐射公式导出维思位移定律，能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即b T m =λ （常数），并近似计算b 的数值，准确到二位有效值。
[解]：由黑体辐射公式，频率在ν与ννd +之间的辐射能量密度为ννπνρννd ec hd kTh 11833-=由此可以求出波长在λ与λλd +之间的能量密度λλρd )( 由于 λν/c =, λλνd cd 2+=因而有：λλπλλρλd ehcd kT hc 118)(5-=令λkT hc x =所以有： 11)(5-=xe Ax λρ （44558c h T k A π=常数） 由 0)(=λλρd d 有0)1(115)(254=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=λλλρd dxe e x e x A d d x x x于是，得： 1)51(=-x e x该方程的根为 965.4=x因此，可以给出，k hcxk hc T m 2014.0==λ即b T m =λ （常数）其中 k hcb 2014.0=2383410380546.110997925.21062559.62014.0--⨯⨯⨯⨯⨯=k m ⋅⨯=-310898.2[注]根据11833-=kTh ec h νννπρ 可求能量密度最大值的频率：令kT h x ν=113-=xe Ax νρ （23338h c T k A π=） 0]11[3=-=ννρνd dxe Ax dx d d d x因而可得 131=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x e x此方程的解 821.2=xh kTh kTx 821.2max ==νb T Tb '=⇒'=-1max max νν其中34231062559.610380546.1821.2821.2--⨯⨯=='h k b 1910878.5-⋅︒⨯=s k这里求得m ax ν与前面求得的m ax λ换算成的m ν的表示不一致。
高等教育出版社 量子力学教程第二版课后答案 周世勋 陈灏着
高等教育出版社量子力学教程第二版课后答案周世勋陈灏着----84740a00-7166-11ec-942f-7cb59b590d7d高等教育出版社量子力学教程第二版课后答案周世勋陈灏着课后练习详细讲解量子力学第一章量子理论基础1.1根据黑体辐射公式推导出维恩位移定律：与最大能量密度λM对应的波长与温度T成反比，即λmt=b（常量）；近似计算B的值，精确到两个有效数字。
解根据普朗克的黑体辐射公式dv，（1）−1.以及λv=c，（2）ρvdv=− ρvdλ（3）=−ρv(λ)ρv（λ）=⋅C这里的ρλ的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。
本主题关注λ取什么值时，ρλ达到最大值，因此，我们必须问ρλ是λ的一阶导数为零，从中相应的λ值被记录为λm，需要注意的是，还需要验证ρλyesλλλ的二阶导数是否在M处的值小于零。
如果小于零，则需要在λM之前获得的值，如下所示：hc1−5+⋅hc−λkt−11−eλkt=0⇒5(1−e，则上述方程为λkt5(1−e−x)=x这是一个超越方程。
首先，很容易知道方程有一个解：x=0，但经过验证，解一般；另一个解可以通过逐步逼近法或数值计算法得到：x=4.97。
经过验证，此解决方案正是所需的，因此把x以及三个物理常量代入到上式便知λmt=2.9×10−3米⋅K这便是维恩位移定律。
据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。
1.2接近0k时，钠的价电子能约为3eV。
找到它的德布罗意波长。
解根据德布罗意波粒二象性的关系，可知如果所考虑的粒子是非相对论性电子（E）如果我们考察的是相对性的光子，那么注意，本主题中考虑的钠价电子的动能仅为3eV，远小于电子质量与光速平方的乘积，即0.51×106ev，因此使用非相对论电子的能量-动量关系h2µeehc2µec2e1.24×10−62×0.5×1×10×3=0.71×10−9m=0.71nm在这里，利用了hc=1.24×10−6ev⋅Mµec2=0.51×106evhc2µece作一点讨论，从上式可以看出，当粒子的质量越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强；同样的，当粒子的动能越大时，这个粒子的波长就越短，因而这个粒子的波动性较弱，而粒子性较强，由于宏观世界的物体质量普遍很大，因而波动性极弱，显现出来的都是粒子性，这种波粒二象性，从某种子意义来说，只有在微观世界才能显现。
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量子力学课后习题详解第一章 量子理论基础1、1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律:能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比,即m λ T=b(常量);并近似计算b 的数值,准确到二位有效数字。
解 根据普朗克的黑体辐射公式dv echv d kThv v v 11833-⋅=πρ, (1) 以及 λνc =, (2)||λνρρλd d v =, (3)有(),118)(|)(||52-⋅=⋅===kThc v v ehc cd c d d dvλνλλπλλρλλλρλρρ 这里的λρ的物理意义就是黑体内波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。
本题关注的就是λ取何值时,λρ取得极大值,因此,就得要求λρ 对λ的一阶导数为零,由此可求得相应的λ的值,记作m λ。
但要注意的就是,还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值就是否小于零,如果小于零,那么前面求得的m λ就就是要求的,具体如下:01151186=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+--⋅=-kT hc kThce kT hc ehcd d λλλλλπλρ⇒ 0115=-⋅+--kThc ekThcλλ⇒ kThcekThcλλ=--)1(5 如果令x=kThcλ ,则上述方程为 x e x =--)1(5这就是一个超越方程。
首先,易知此方程有解:x=0,但经过验证,此解就是平庸的;另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得:x=4、97,经过验证,此解正就是所要求的,这样则有xkhc T m =λ把x 以及三个物理常量代入到上式便知K m T m ⋅⨯≈-3109.2λ这便就是维恩位移定律。
据此,我们知识物体温度升高的话,辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动,这样便会根据热物体(如遥远星体)的发光颜色来判定温度的高低。
1、2 在0K 附近,钠的价电子能量约为3eV ,求其德布罗意波长。
解:根据德布罗意波粒二象性的关系,可知λh P =。
所考虑的粒子就是非相对论性的电子(动能eV c m E e k 621051.0⨯=<<),满足ek m p E 22=, 因此利用非相对论性的电子的能量—动量关系式,有nmm mE c m hc E m h ph e e 71.01071.031051.021024.1229662=⨯=⨯⨯⨯⨯====--λ在这里,利用了m eV hc ⋅⨯=-61024.1, eV c m e 621051.0⨯=。
最后,对 Em h e 2=λ作一点讨论,从上式可以瞧出,当粒子的质量越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强;同样的,当粒子的动能越大时,这个粒子的波长就越短,因而这个粒子的波动性较弱,而粒子性较强,由于宏观世界的物体质量普遍很大,因而波动性极弱,显现出来的都就是粒子性,这种波粒二象性,从某种子意义来说,只有在微观世界才能显现。
自然单位制: 在粒子物理学中,利用三个普适常数(光速c,约化普朗克常数h ,玻耳兹曼常数 k)来减少独立的基本物理量的个数,从而把独立的量纲减少到只有一种(能量量纲,常用单位eV)。
例:1nm=5、07/keV ,1fm=5、07/GeV ,电子质量m=0、51MeV 、 核子(氢原子)质量M=938MeV ,温度518.610K eV -=⨯、1、3 氦原子的动能就是kT E 23=(k 为玻耳兹曼常数),求T=1K 时,氦原子的德布罗意波长。
解:根据 eV K k 5106.81-⨯=⋅, 知本题的氦原子的动能为,1029.123234eV K k kT E -⨯=⋅==显然远远小于2c 核μ这样,便有Ec m hc He 22=λnmmm3.1103.11029.1107.321024.19496=⨯=⨯⨯⨯⨯⨯=---这里,利用了eV eV c m He 962107.3109384⨯≈⨯⨯=。
最后,再对德布罗意波长与温度的关系作一点讨论,由某种粒子构成的温度为T 的体系,其中粒子的平均动能的数量级为kT,这样,其相应的德布罗意波长就为mkTh mEh 22==λ据此可知,当体系的温度越低,相应的德布罗意波长就越长,这时这种粒子的波动性就越明显,特别就是当波长长到比粒子间的平均距离还长时,粒子间的相干性就尤为明显,因此这时就不能用经典的描述粒子统计分布的玻耳兹曼分布,而必须用量子的描述粒子的统计分布——玻色分布或费米公布。
1、4 利用玻尔——索末菲的量子化条件,求:(1)一维谐振子的能量; 解:玻尔—索末菲的量子化条件为:⎰=nh pdq其中q 就是微观粒子的一个广义坐标,p 就是与之相对应的广义动量,回路积分就是沿运动轨道积一圈,n 就是正整数。
(1)设一维谐振子的劲度常数为k,谐振子质量为m,于就是有22212kx m p E +=这样,便有 )21(22kx E m p -±=这里的正负号分别表示谐振子沿着正方向运动与沿着负方向运动,一正一负正好表示一个来回,运动了一圈。
此外,根据谐振子在最大位移±x 处p=0,221±=kx E 可解出 kEx 2±=±。
这样,根据玻尔——索末菲的量子化条件,有⎰⎰-++-=--+-x x x x nh dx kx E m dx kx E m )21(2)()21(222⇒nh dx kx E m dx kx E m x x x x =-+-⎰⎰+--+)21(2)21(222⇒2)21(22nh dx kx E m x x =-⎰+-为了积分上述方程的左边,作以下变量代换:θsin 2kEx =这样,便有2sin 2cos 2222nh k E d mE =⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎰-θθππ⇒ 2cos 2222nh d k m E =⎰-θθππ ⇒2212cos 222nh d k m E =+⎰-θθππ⇒222nh k m E=π⇒ 2nh k m E =π⇒ m k n E η=。
能量间隔 mk E η=∆ 最后,对此解作一点讨论。
首先,注意到谐振子的能量被量子化了;其次,这量子化的能量就是等间隔分布的。
1、5 两个光子在一定条件下可以转化为正负电子对,如果两光子的能量相等,问要实现实种转化,光子的波长最大就是多少？解:关于两个光子转化为正负电子对的动力学过程,如两个光子以怎样的概率转化为正负电子对的问题,严格来说,需要用到相对性量子场论的知识去计算,修正当涉及到这个过程的运动学方面,如能量守恒,动量守恒等,我们不需要用那么高深的知识去计算,具体到本题,两个光子能量相等,因此当对心碰撞时,转化为正负电子对所需的能量最小,因而所对应的波长也就最长,而且,有2c m hv E e ==此外,还有 λhcpc E ==于就是,有 2cm hc e =λ612361.2410 2.410 2.4100.5110m m nm ---⨯==⨯=⨯⨯ 尽管这就是光子转化为电子的最大波长,但从数值上瞧,也就是相当小的,我们知道,电子就是自然界中最轻的有质量的粒子,如果就是光子转化为像正反质子对之类的更大质量的粒子,那么所对应的光子的最大波长将会更小,这从某种意义上告诉我们,当涉及到粒子的衰变,产生,转化等问题,一般所需的能量就是很大的。
能量越大,粒子间的转化等现象就越丰富,这样,也许就能发现新粒子,这便就是世界上在造越来越高能的加速器的原因:期待发现新现象,新粒子,新物理。
第二章波 函数与薛定谔方程2、1证明在定态中,几率流与时间无关。
证:对于定态,可令(,)()i Et r t r e ψ-ψ=hr r ,得******()2 [()()()()]2 [()()()()]2i i i i Et Et Et Et i J mi r e r e r e r e mi r r r r mψψψψψψψψ----=ψ∇ψ-ψ∇ψ=∇-∇=∇-∇h h h hr hh r r r r h r r r r （）（） 可见t J 与ρ无关。
2、2 由下列定态波函数计算几率流密度:ikr ikr e re r -==1)2( 1)1(21ψψ说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内(即向原点) 传播的球面波。
解:在球坐标中11sin r e e e r r r θφθθφ∂∂∂∇=++∂∂∂r r v 所以,12r J J e r r v和只有方向分量。
**111112223(1) ()21111 [()()]2111111 [()()]2 ikr ikr ikr ikr rrri J mi e e e e e m r r r r r ri ik ik e m r r r r r r k k e r mr mrψψψψ--=∇-∇∂∂=-∂∂=----+==r h h vh vh h rv r J 1ρρ与同向,表示向外传播的球面波。
**22222223(2) ()21111 [()()]2111111 [()()]2 ikr ikr ikr ikr rrr i J mi e e e e e m r r r r r r i ik ik e m r r r r r r k k e rmr mrψψψψ--=∇-∇∂∂=-∂∂=-+---=-=-r h h vh v h h rvr J ρρ与2反向,表示向内(即向原点) 传播的球面波。
2、3一粒子在一维势场⎪⎩⎪⎨⎧>∞≤≤<∞=a x a x x x U ，，，0 00)( 中运动,求粒子的能级与对应的波函数。
补充:设已知t=0时刻波函数为2,0(,0)0,0,x x x a x a ax x a ππ<<ψ=<>⎩,求 (,)x t ψ。
解:t x U 与)(无关,就是定态问题。
其定态S —方程)()()()(2222x E x x U x dxd m ψψψ=+-η 在各区域的具体形式为Ⅰ: )()()()(2 0111222x E x x U x dx d m x ψψψ=+-<η① Ⅱ: )()(2 0 22222x E x dx d m a x ψψ=-≤≤η② Ⅲ: )()()()(2 333222x E x x U x dx d m a x ψψψ=+->η③ 由于(1)、(3)方程中,由于∞=)(x U ,要等式成立,必须0)(1=x ψ 3()0x ψ= 即粒子不能运动到势阱以外的地方去。
方程(2)可变为 0)(2)(22222=+x mEdx x d ψψη 令222ηmEk =,得 0)()(22222=+x k dx x d ψψ 其解为 kx B kx A x cos sin )(2+=ψ ④ 根据波函数的标准条件确定系数A 、B,由连续性条件,得 )0()0(12ψψ= ⑤)()(32a a ψψ= ⑥⑤0=⇒B⑥0sin =⇒ka A),3 ,2 ,1( 0sin 0ΛΘ==⇒=∴≠n n ka ka A π∴x an A x πψsin )(2= 由归一化条件1)(2=⎰dx x ψ得 1sin 022=⎰axdx an Aπ由三角函数正交性sinsin 2amn m n ax xdx a a ππδ*=⎰x an a x aA πψsin 2)(22=∴=⇒222ηΘmEk = ),3,2,1( 22222Λη==⇒n n ma E n π可见E 就是量子化的。