配方法和公式法课件
《公式法》PPT课件(人教版)
例（ 2 4）x2 17 8x
解：原方程可化为x2 8x 17 0
a 1,b 8,c 17
这里的a、 b、c的值 分别是什
么？
△ b2 4ac (8)2 4117 4＜0
∴方程无实数根。
结论：当 △ b2 4ac＜0 时，一元二次方程没有 实数根.
用公式法解一元二次方程的一般步骤
由上可知当△＞0时，方程有两个不相等的实数根； 当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程 无实数根。
一般地,对于一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)
当 时，方程有 实数根吗
上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法
学习是件很愉快的事
公式法
a 5, b 4, c 1
这里的a、b、 c的值分别是
什么？
△ b2 4ac (4)2 4 5 (1) 36＞0
则：方程有两个不相等的实数根
b b2 4ac (4) 36 4 6
x
2a
25
10
即结：论x1：当4106△1b, x2 24a4c1＞060 时 ，15一元二次方程有两个不
4
3 3x2 6x 2 0; 4 4x2 6x 0; 5 x2 4x 8 4x 11 ; 6 x2x 4 5 8x.
解：（1）
2 x2 3x 1 0
4
解：
3 3x2 6x 2 0
解：
4 4x2 6x 0
解：
5 x2 4x 8 4x 11
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值。
2. 求出 ∆ 的值。 3. (a)当 ∆ >0 时，代入求根公式 : x b b2 4ac
2 配方法 公式法PPT课件(人教版)
相等的实数根； ②若方程中a, c异号或b≠0且c=0, 则该方程有
两个不相等的实数根.
21.2 解一元二次方程
题型三 利用方程根的情况确定系数中字母 的值或取值范围
例题3 若关于x的一元二次方程kx2-2x-1=0 有两个不相等的实数
即(x-5)2=1,
由此可得x-5=±1,
∴x1=6, x2=4.
21.2 解一元二次方程
(3)原方程可化为3x2-5x-2=0.
∵a=3, b=-5, c=-2,
∴b2-4ac=(-5)2-4×3×(-2)=25+24=49>0,
∴ =
−(−)±
×
∴x1=2, x2=-.
±
实数根两种情况, 此时 b2-4ac≥0,切勿丢掉等号.
根据题意, 得Δ=b2-4ac=22+4(m-3)=4+4m-12=4m-8≥0, 解得m≥2. 故选C.
21.2 解一元二次方程
锦囊妙计
利用根的判别式确定系数中 字母的值或取值范围
(1)若一元二次方程有两个不等的实数根, 则Δ＞0；若一元
二次方程有两个相等的实数根, 则Δ=0；若一元二次方程没有
∴方程总有两个实数根.
(2)∵
=
− ±
++−
∴x1=
−
=
+ ± ( − )
+−+
=1, x2=
= .
∵方程的两个实数根都是整数,
∴是整数, ∴m=±1或m=±2.
又∵m是正整数, ∴m=1或m=2.
配方法和公式法PPT精品课件
∴x＝－－2×5±3 49＝5±67. ∴x1＝2，x2＝－13.
(3)将方程化为一般形式 3x2－11x＋9＝0， a＝3，b＝－11，c＝9， b2－4ac＝(－11)2－4×3×9＝13>0，
∴x＝－－21×13±
13＝11±6
13 .
∴x1＝11＋6
13，x2＝11－6
13 .
(4)a＝4，b＝－ 2，c＝1，
表示是高温中心
思考 山上积雪，山下草木茂盛，白花盛开
你能说明是什么原因？
（3）等温线呈封闭形状，形成气温中心， 如果中心气温低，表示这是低温中心 （如图所示）如果中心气温高则为高温 中心。
注:两 条相邻的等温线气温相等
如果 将等温线图分层设色,图例如何表示?
答:根据等高线分层设色地形图的启示, 等温线分层设色就是在不同的等温线之 间图上不同的颜色
3．公式法 探究：已知 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且Δ＝b2－4ac≥0，试证 明它的两个根为
x1＝－b＋
2ba2－4ac，x2＝：移项，得 ( ax2＋bx＝－c )←常数项移到右边
↓
配方，得 x2＋bax＋2ba2＝－ac＋2ba2，即
( x＋2ba2＝b2－4a42ac )←把上式左边写成完全平方式 ↓
2．配方法 通过配成___完__全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫做 配方法．配方是为了___降__次___ ，把一个一元二次方程转化为 __两__个__一__元__一__次__方__程__来解． 注意：配方法的一般步骤： ①把常数项移到等号的右边； ②把二次项的系数化为 1； ③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
【跟踪训练】 1．一元二次方程 x2－3＝0 的根为( C ) A．x＝3 B．x＝3 C．x1＝ 3，x2＝－ 3 D．x1＝3，x2＝－3
一元二次方程的解法公式法PPT课件(华师大版)
知识点2 公式法的定义
用求根公式求一元二次方程 的根的方法叫做公式法。
例题 1 用公式法解下列方程：
(1)2x2 x 6 0
解 a=2, b=1, c=-6
正确确定a、b、c的值
b2 4ac 12 4 26
=49
准确代数，先计
算 b2 4ac 的值
x b b2 4ac 2a
记牢公式，准确代数
_2_4___.
x b
b2
4ac
4 24
_2__1 ___
__2___6___
2a
x1 2 6, x2 2 6
(3)4x2 4x 10 1 8x 【都为课本P29例题】
解 将方程化为一般情势，得
4x2 12x 9 0
b2 4ac __1_22___4__4__9
=0
1 49 1 7
22
4
x1
3 2
,
x2 2
(2)x2 4x 2 （师生互动）
解 将方程化为一般情势，得
x2 4x 2 0
a=_1__,b=_4___,c=__-_2__。
b2 4ac 4_2__4__1___2__
切记：方程不是一 般情势的，要先化 为一般情势，再确 定a、b、c的值
§22.2一元二次方程的解法（4）
——公式法
知识回顾
配方法的步骤：
1.化 1 2.移项 3.配方 4.求解
配方的关键是：
在方程两边同时添加的常数项等于一次项系 数一半的平方。
巩固练习： 1.用配方法解一元二次方程 2x2 4x 6 0
2.用配方法解关于x的方程 x2＋p x＋q＝0 (p2－4q≥0)．
④写出两个根。
3、你知道公式法合适解哪些一元二次方程吗？
《公式法解一元二次方程》课件
4
又因为二次项系数不为0，
1
所以m≠0，即m＞−
4
且m≠0．
4.（例2变式）若关于 x 的方程 kx2−4x+2=0有实数根，
则 k 的取值范围为 k≤2
．
解：分两种情况讨论：
（1）若方程为一元一次方程，则k=0，
1
方程化为−4x+2=0. 解得 x .
2
（2）若方程为一元二次方程，则k≠0且Δ≥0，
, x2
.
4
4
4
4
,
课堂导入
你能用配方法解方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 吗?
解：移项，得ax2+bx=-c．
2
二次项系数化为1，得 +
配方，得 2 +
即 +
2
2
=
+
2
2
2 −4
．
2
4
=
=− ．
2
− +
．
2
这里可以直接开平
方吗？为什么？
实数根
有两个相等实数根
利用判别式判断方程根的情况的一般步骤：
一化：化一般式，确保二次项系数为正；
二找：找a,b,c，确定其值，注意带前面的符号；
三算：算b2-4ac的值，判断符号；
四判：判断方程根的情况.
例2 若关于 x 的一元二次方程 kx2−4x+2=0有两个不相
k<2且k ≠0
等的实数根，则 k 的取值范围为
解：∵ Δ= (-5)2-4×1×7= -3<0，
一元二次方程配方法,公式法,因式分解法
锲而不舍，胆大心细让我们陪伴着你的成长！一元二次方程的根一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根因此，由实际问题列出方程并解得的根，并不一定是实际问题的根，还要考虑这些根是否确实是实际问题的解. 例1下面哪些数是方程 2χ210χ • 12 =O 的根？—4、一 3、一 2、一 1、0、1、2、3、4分析：要判定一个数是否是方程的根，只要把其代入等式，使等式两边相等即可.复习a b 2 =a 2 2ab b 22 2 2(a - b) = a - 2ab b像这种求出一元二次方程的根的方法叫做配方法。
2⑵ X 12X T5= 0根据公式完成下面的练习:解: 解：由已知，得： X 32=22方程两边同时除以3,得X直接开平方，得：X - 2即 X 3 = 2 , X 3 = - 2所以，方程的两根X 1 = -3 ∙・、2 , X 2 = -3 - I 2 2所以,2配方，得X49 36Q 2方程的两根×1=-- 6 6=2 , X 2(1) X 28X = 9让我们陪伴着你的成长!2(4) 3X 8x - 3 = 02(5)2X -9X 8=02⑹ X 2 -8X锲而不舍，胆大心细 让我们陪伴着你的成长！锲而不舍，胆大心细 练一练 一、选择题1•方程x x -1 =2的两根为（）.方程ax X -b ］亠∣b -X = 0的根是（若X 2 —4x + P =（x +q 2 ,那么p 、q 的值分别是（、填空题2 21 •如果X -81 =O ,那么X -81 =0的两个根分别是2. 已知方程5x +mx-6=0的一个根是X =3 ,贝U m 的值为 _______________________ .3. __________________________________________________ 方程（x+1 丫 + J2x （x+1）=θ ,那么方程的根 X i = ; X 2= ____________________________________________________ .24 •若8x -16 =0 ,则X 的值是 __________________ .5•如果方程2（x-3f =72,那么，这个一元二次方程的两根是 _________________________ .6.如果a 、b 为实数，满足∙√'3a+4+b 2 T2b+36 = 0 ,那么ab 的值是 ________________________ .三、综合提高题如果关于X 的一元二次方程 ax 2 bx ∙c = 0a=0中的二次项系数与常数项之和等于一次项系数，求证:-1必是该方程的一个根.A . X 1 = 0, X 2 = 1B . X 1 =0,X 2C . X 1 = 1, X 2 = 2D . X 1 = -1, X 2 = 2A . x^b, X ? =aB . X 1 =b, X 2C . X 1 =a,X 2D . x 1 = a 2,x 2 =b 2已知X- -1是方程2axf a Cb b b ^0=().A . p=4,q=2B . p= 4,q ι-2C . P = -4, q = 2D . P = -4, q = -2A . 3B .- -3C . ± 3D .无实数根 26.用配方法解方程X2 一―X +1 =0正确的解法是（ ).3f 1Y8 1 2^2A .X — — I = -,X = 二— +BI 3丿 93 3x-1t-8 ,原方程无解 .3 9C .x1√5+ 2 - 3 -x2√5 - 2D . Ffr ι,χ^f,χ2xI= ______ ,x2= ________25 .方程3x ∙ 9 =0的根为().让我们陪伴着你的成长!一元二次方程公式法一元二次方程ax2∙ bx ∙ c = O a = O 的根由方程的系数 a 、b 、C 而定，因此：★ (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax 2 ∙ bx ∙ c = O a = O ,当b 2 - 4ac _ O 时，？将■ 2一 b 十b — 4aca 、b 、C 代入式子X就得到方程的根。
一元二次方程的解法公式法ppt课件
动手试一试吧！
1、方程3 x2 +1=2 x中， b2-4ac= 0 .
2、若关于x的方程x2-2nx+3n+4=0 有两个相等的实数根，则n= -1或4 . 3、练习:用公式法解方程: x2 - 2 x+2= 0.
思考题
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0 有两个相等的实数解
用配方法解 ax2 bx c （0 a 0）.
对于方程
（1）将常数项移到方程的左边，得
.
（2）方程两边同除以a，得
.
（3）方程两边同时加上_______，得
左边写成完全平方式，右边通分，得 （4）开平方…
∵a≠0, 4a2>0, ∴当b2－4ac≥0时， ∴
∴
特别提醒 推导时必须
写
根的判别式
解：△=(2m+1)2-4m2
=4m+1
若方程有两个不等实根，则△ > 0
∴4m+1 > 0 ∴m >-1/4 ∴m >- 1/4 且m≠0
注对意吗二？次
项系数
的根由方程的系数a，b，c确定．
解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式
当 b2 4ac 0 时，将a，b，c代入式子
x b b2 4ac 2a
一元二次方程的 求根公式
利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，
由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．
求根公式 : X=
用公式法解一元二次方 程的一般步骤：
一元二次方程 ax2 bx c 0(a 0)
解的情况由 b2 4ac 决定:
(1) 当 b2 4ac 0 时，方程有两个
方程--配方法、公式法
一元二次方程解法---配方法和公式法【知识要点】1．一般的一元二次方程，可用配方法求解．其步骤是：①化二次项系数为1，并把常数项移项到方程的另一侧，即把方程化为q px x -=+2的形式；②方程两边都加上22⎪⎭⎫ ⎝⎛p ，把方程化为44222q p p x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+；③当042≥-q p 时，利用开平方法求解．2．一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的求根公式是：()042422≥--±-=ac b aac b b x ．3．解一元二次方程，直接开平方法是一种特殊方法，配方法与求根公式法是一般方法，对于任何一元二次方程都可使用。
解题的关键是要根据方程系数的特点及方程的不同形式，选择适当的方法，使解法简捷．【典型例题】例1． 用配方法解下列方程：（1）0542=--x x （2）01322=-+x x（3）07232=-+x x （4）01842=+--x x类题练习：用配方法解下列方程：（1）01722=++x x （2）04522=--x x例2．用公式法解下列方程：（1）01522=+-x x （2）1842-=--x x（3）02322=--x x （4）()()()0112=-++-y y y y【经典练习】1．把方程0562=+-x x 化成()k m x =+2的形式，则m =_______，k =_________。
2．将方程01232=-+x x 配方成()_______2=+x ，从而求得此方程的根是 。
3．把下列各式配成完全平方式（1）()22_________21-=+-x x x （2）()22___________32+=++x x x （3）()22__________-=+-x x a b x （4）()22____25____-=+-x x x 4．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对5．用配方法解方程01322=++x x ，正确的解法是（ ）． A ．3223198312±-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ， B ．98312-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，原方程无实数根．C ．35295322±-==⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x ， D ．95322-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+x ，原方程无实数根．6将二次三项式6422+-x x 进行配方，正确的结果是（ ）．A ．()4122--x B ．()4122+-x C ．()2222--x D ．()2222+-x7．通过配方，将下列各方程化成()2x m n +=的形式．（1）2261x x += （2）21815x x -= （3）26100x x -= （4）2322x x -=9．用配方法解下列方程：（1）012=--x x （2）02932=+-x x（3）02222=+-+a b ax x （4） x 2+4x -12=010．用公式法解下列方程：（1）1852-=-x x（3）3x 2+5(2x+1)=0 （4）x x x 22)1)(1(=-+（5）1432+=x x配方法和公式法作业1．用配方法解下列方程：（1）x x 542=-（3）()1126=+x x ． （4）030222=--x x（5）x 2+4x -12=0 （6）032=-+x x2．用公式法解下列方程.（1）12=+x x （2）y y 32132=+（3）081222=+-t t （4）1252+=y y（5）7922++x x =0。
第6讲 一元二次方程及其求解(配方法公式法因式分解法)
第6讲一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）目标导航课程标准1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 7．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；8．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；9．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．知识精讲知识点01 一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念通过化简后，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3．一元二次方程的解使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4．一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.知识点02 一元二次方程的解法（一）直接开方法解一元二次方程1．直接开方法解一元二次方程：利用直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2．直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.注意：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.（二）配方法解一元二次方程：1．配方法解一元二次方程将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 4．配方法的应用（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． （4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 注意：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． （三）公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当 时，2．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式： ． ①当时，原方程有两个不等的实数根 ； ②当时，原方程有两个相等的实数根 ； ③当时，原方程 实数根.3．用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.注意：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. （四）因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为 ；（2）将方程左边分解为两个一次式的 ；（3）令这两个一次式分别为 ，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2．常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次 因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考法01 关于一元二次方程的判定【典例1】下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练】若()2230aa x x --+= 是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（ ） A ．2-B ．2C ．1D ．2±考法02 一元二次方程的一般形式、各项系数的确定能力拓展【典例2】将方程2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（ ） A ．－5、1B ．5、1C ．5、－1D ．－5、－1【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3的方程是（ ） A ．2234x x +=B ．2234x x -=C ．2243x x +=D ．2243x x -=考法03 一元二次方程的解（根）【典例3】若2x =是关于x 的一元二次方程20ax x b --=的一个根，则282a b +-的值为（ ） A ．0B ．2C ．4D ．6【即学即练】若一元二次方程()221310k x x k -++-=有一个解为0x =，则k 为（ ）A ．±1B ．1C ．1-D ．0考法04 用直接开平方法解一元二次方程【典例4】方程()219x +=的解为（ ） A ．2x =，4x =-B ．2,4x x =-=C ．4,2x x ==D ．2,4x x =-=-【即学即练】一元二次方程()2116x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是14x +=，则另一个一元一次方程是（ ） A ．14x -=-B ．14x -=C ．14x +=D ．14x +=-考法05 用配方法解一元二次方程【典例5】用配方法解一元二次方程 x 2-10x ＋11＝0，此方程可化为（ ） A ．（x －5）2＝14B ．（x ＋5）2＝14C ．（x －5）2 ＝36D ．（x ＋5）2 ＝36【即学即练】慧慧将方程2x 2+4x ﹣7＝0通过配方转化为（x +n ）2＝p 的形式，则p 的值为（ ） A ．7B ．8C ．3.5D ．4.5考法06 配方法在代数中的应用【典例6】已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（ ） A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【即学即练】已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（ ） A ．6B ．9C ．2D ．2-考法07 公式法解一元二次方程【典例7】已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（ ）①若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；②若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立； ④若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2． A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【即学即练】x = ）A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=考法08 因式分解法解一元二次方程【典例8】一元二次方程2560x x -+=的根是（ ） A ．12x =，23x =B ．12x =-，23x =C ．12x =，23x =-D ．12x =-，23x =-【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程216550x x -+=的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（ ） A ．11B ．27C ．5或11D ．21或27题组A 基础过关练1．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（ ） A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=2．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ≠-D ．2m ≠±3．用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（ ） A ．()225x -= B ．()223x -= C ．()225x +=D ．()223x +=4．若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠05．方程22240x x --=的根是（ ） A ．16x =，24x = B ．16x =，24x =- C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-6．已知关于x 的一元二次方程(x +1)2+m ＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________． 7．若一元二次方程240x x k -+=无实数根，则k 的取值范围是_______．分层提分8．关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x 1＝x 2＝__________________．题组B 能力提升练1．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（ ）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-2．用配方法解方程2210x x --=时，配方结果正确的是（ ） A ．2(1)2x -=B ．2(1)0x -=C ．2(1)1x -=D ．2(1)2x +=3．有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（ ） A ．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C ．若两个方程都有实数根，则必有一根相等D ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成的大正方形ABCD 如图所示．连结CF ，并延长交AB 于点N ．若35AB =，3EF =，则FN 的长为（ ）A ．2B 5C ．22D ．35．已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．6．如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________． 7．已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ． (1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解． 8．先阅读，后解题．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=．∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0，∴()210m +=且()230n -=，∴1m =-，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ．题组C 培优拔尖练1．若方程22432mx x x +-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．0m >B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m ≠-2．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a bc d＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（ ） A ．3B ．3-C ．3D ．3±3．对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；②若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+其中正确的（ ） A ．只有①②④B ．只有①②③C ．①②③④D ．只有①②4．如图，在矩形ABCD 中，AB =14，BC =7，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，P 、Q 均为CD 边上的动点（点Q 在点P 左侧），点G 为MN 上一点，且PQ =NG =5，则当MP +GQ =13时，满足条件的点P 有（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）． 6．若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________． 7．已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0 (1)求证：无论k 取何值，方程都有实根； (2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．8．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x 2＋x ＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x 2﹣5x ﹣6＝0； ②x 25＋1＝0；(2)已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差1方程”，设t ＝10a ﹣b 2，求t 的最大值．。
用公式法求解一元二次方程课件 (共25张PPT)
复习引入
（4） 4 x2 3x 2 0.
3 1 解：两边同时除以4，得 x x 0 . 4 2 3 1 2 移项，得 x x= . 4 2 2 2 3 1 3 3 2 配方，得 x x = ， 4 8 2 8 2 3 23 即 x = . 8 64 ∴此方程无实数根.
2
2 b b 4ac 0. 即： x 2 2a 4a 2
b b2 4ac 移项，得 x = . 2 2a 4a
2
下面该怎么 运算？有条 件限制吗？
探索新知
ax2 bx c 0 a 0
2 b b 4ac 2 当 b 4ac ≥0时，开平方得 x = . 2 2a 4a
（1）x 5x 4 0；
2
∵ b 4ac ＞0，∴方程有两个不相等的实数根.
2
（2） 4x2 7 6 x；
2 b 4ac ＜0，∴方程没有实数根. ∵
（3） 2 x 2 6 x 3 0.
2
2 ∵ b 4ac ＝0 ，∴方程有两个相等的实数根.
1 解：两边都除以2，得：x 2 x 0 . 2
2
1 移项，得 x 2 x= . 2
2
2
1 配方，得 x 2 x 1= 1 . 2 3 2 即 x 1 = . 2
6 6 ∴ x1 1 ，x2 =1+ . 2 2
复习引入
（2）x2 1.5= 3x；
2
分析：（1）确定a,b,cLeabharlann 值；（2）判断方程是否有根；
（3）写出方程的根.
新知应用
（1）x 7 x 18 0； 例1 解方程：
第2讲 配方法与公式法
第2讲 配方法和公式法2.2配方法解一元二次方程问题1. (2017年深圳中考)一个矩形的周长为56厘米，当矩形面积为180平方厘米时，长宽分别是多少？完全平方公式：_____________________________________________________. 填空：（1）x 2+10x+______=（x+______）2；（2）x 2-12x+_____=（x-_____）2（3）x 2+5x+_____=（x+______）2．（4）x 2-32x+_____=（x-_____）2； （5）x ²+ax+_____=（x+______）2练习：若x ²+kx+9是完全平方式，则k=_____.例1.解下列关于x 的方程： （1）x 2-4x+4=9 ； （2）x 2-4x=4 ; (3)x 2+8x-9=9练习1：用配方法解下列方程（1）x ²+12x+25=0； （2）x ²+3x=1； （2）3x 2-6x+4=0；例2.用配方法解方程：0=3-8+32x x ； 练习2.解方程：2x ²+6=7x例3. 如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．求道路的宽度．【归纳】用配方法解一元二次方程的步骤：【课堂检测】1．将二次三项式x 2-4x+1配方后得（ ）A ．（x-2）2+3B ．（x-2）2-3C ．（x+2）2+3D ．（x+2）2-32．（1）x 2-8x+______=（x-______）2；（2）9x 2+12x+_____=（3x+_____）2（3）x 2-px+_____=（x-______）2．3、解下列方程（1）x 2+10x+16=0 ；（2）01322=+-x x ;4、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m),另三边用木栏围成，木栏长40m ．（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 吗？（2）鸡场的面积能达到210m 2吗？2.3用公式法解一元二次方程问题2：一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0），你能否用配方法求出它们的两根？解：移项，得： ，系数化为1，得配方，得： 即【总结】.对于一元二次方程)(0≠0=++2a c bx ax ，当0≥4-2ac b ，方程有实数根； .____________=x (求根公式)由上可知，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根由方程的系数a 、b 、c 而定，一般地，式子b 2-4ac 叫做方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式，通常用希腊字Δ表示它，即Δ= b 2-4ac.例4.用公式法解下列方程．（1）2x 2-4x-1=0 ； （2）5x+2=3x 2 ； （3）（x-2）（3x-5）=3.练习4、用公式法解下列方程．（1）4x 2-3x+1=0 ; （2）x(2x-4)=5-8x.【总结】对于一元二次方程)(0≠0=++2a c bx ax ，当0>4-2ac b 时，方程有_________实根；当0=4-2ac b 时，方程有_________实根； 当0<4-2ac b 时，方程______实根；例5、方程x 2-4x+5=0的根的情况是（ ）A.两个不相等的实数根B.两个相等的实数根C.一个实数根D.没有实数根练习5.不解方程，判断下列方程解的个数(1)2x ²+5=7x ； (2)(x-2)(3x-5)=1.例6.已知关于x 的方程0=3+2-2k x x 有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是____.练习6.关于x 的一元二次方程0=1-+4-22m x x 有两个相等的实数根，则m 的值是_____;【课堂检测】1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（ ）A ．x=32- B ．x=32± C ．x=32-± D ．x=32±2．若关于x 的一元二次方程（m-1）x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0，则m 的值是_____．3. 下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）．A ．x 2＋3＝0B ．x 2＋2x ＝0C ．(x ＋1) 2＝0D ．(x ＋3)(x －1)＝04.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m 的住房墙，另外三边用25m 长的建筑材料围成，为了方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m 宽的门.（1）当所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80m ²？（2）这个矩形猪舍的面积能够为100m ²，为什么？【课后作业】1．已知x 2-8x+15=0，左边化成含有x 的完全平方形式，其中正确的是（ ）． A ．x 2-8x+（-4）2=31 B ．x 2-8x+（-4）2=1 C ．x 2+8x+42=1 D ．x 2-4x+4=-1122的根是（ ）A.x 1x 2B.x 1=6，x 2C.x 1x 2D.x 1=x 23．（m 2-n 2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2的值是（ ）A ．4B ．-2C ．4或-2D ．-4或24．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，则三角形的周长为____．5．如果x 2-4x+y 2，则（xy ）z 的值为____．6.定义运算“★”：对于任意实数a 、b ，都有a ★b =a 2-3a +b ，如：3★5=32-3×3+5．若x ★2=6，则实数x 的值是_______．7.已知关于x 的一元二次方程0=+2+2m x x 没有实数根，则m 的取值范围是_________8．用适当的方法解下列方程（1）x 2-8x+7=0; （2）2x 2-4x-1=0; （3）01322=+-x x。
一元二次方程公式法、配方法
一元二次方程公式法、配方法【主体知识归纳】4．直接开平方法 形如x 2＝a (a ≥0)的方程，因为x 是a 的平方根，所以x ＝±a ，即x 1＝a ，x 2＝－a ．这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．5．配方法 将一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)化成(x ＋a b 2)2＝2244aac b -的形式后，当b 2－4ac ≥0时，用直接开平方法求出它的根，这种解一元二次方程的方法叫做配方法．用配方法解已化成一般形式的一元二次方程的一般步骤是：(1)将方程的两边都除以二次项的系数，把方程的二次项系数化成1； (2)将常数项移到方程右边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方；(4)当右边是非负数时，用直接开平方法求出方程的根．6．公式法 用一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的求根公式x ＝aac b b 242-±-(b 2－4ac ≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．【例题精讲】例1：用配方法解方程2x 2＋7x －4＝0．剖析：此题考查对配方法的掌握情况．配方法最关键的步骤是： (1)将二次项系数化为1；(2)将常数项与二次项、一次项分开在等式两边；(3)方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可化为(x ＋a )2＝k 的形式，然后用开平方法求解．解：把方程的各项都除以2，得x 2＋27x －2＝0．移项，得x 2＋27x ＝2．配方，得x 2＋27x ＋(47)2＝2＋(47)2＝1681，即(x ＋47)2＝1681． 解这个方程，得x ＋47＝±1681，x ＋47＝±49．即x 1＝21，x 2＝－4．说明：配方法是一种重要的数学方法，除了用来解一元二次方程外，还在判断数的正、负，代数式变形、恒等式的证明中有着广泛的应用，例如证明不论x 为何实数，代数式2x 2－4x ＋3的值恒大于零，可以做如下的变形：2x 2－4x ＋3＝2x 2－4x ＋2＋1＝2(x －1)2＋1．例6：用公式法解下列方程：(1)2x 2＋7x ＝4；解：(1)方程可变形为2x 2＋7x －4＝0．∵a ＝2，b ＝7，c ＝－4，b 2－4ac ＝72－4×2×(－4)＝81＞0，∴x ＝49722)4(24772±-=⨯-⨯⨯-±-．∴x 1＝21，x 2＝－4．【同步达纲练习】 1．选择题(1)下列方程中是一元二次方程的是( )A ．x x422-＝0B ．322xx -＝0 C ．x 2＋2xy ＋1＝0D ．5x ＝3x －1(2)下列方程不是一元二次方程的是( )A ．21x 2＝1 B ．0.01x 2＋0．2x －0.1＝0C ．2 x 2－3x ＝0 D ．21x 2－x ＝21(x 2＋1) (3)方程3x 2－4＝－2x 的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A ．3，－4，－2B ．3，2，－4C ．3，－2，－4D ．2，－2，0(4)一元二次方程2x 2－(a ＋1)x ＝x (x －1)－1的二次项系数为1，一次项系数为－1，则a 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2(5)若方程(m 2－1)x 2＋x ＋m ＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是( )A ．m ≠0B ．m ≠1C ．m ≠1且m ≠－1D ．m ≠1或m ≠－1 (6)方程x (x ＋1)＝0的根为( )A ．0B ．－1C ．0，－1D ．0，1(7)方程3x 2－75＝0的解是( )A ．x ＝5B ．x ＝－5C ．x ＝±5D ．无实数根(8)方程(x －5)2＝6的两个根是( ) A ．x 1＝x 2＝5＋6B ．x 1＝x 2＝－5＋6C ．x 1＝－5＋6，x 2＝－5－6D ．x 1＝5＋6，x 2＝5－6(9)若代数式x 2－6x ＋5的值等于12，那么x 的值为( )A ．1或5B ．7或－1C ．－1或－5D ．－7或1(10)关于x 的方程3x 2－2(3m －1)x ＋2m ＝15有一个根为－2，则m 的值等于( ) A ．2B ．－21 C ．－2 D ．21 2．把下列方程化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项：(1)4x ＋1＝9x 2； (2)(x ＋1)(x －3)＝2x －3； (3)(x ＋3)(x －3)＝2(x －3)2；(4)3y 2－2y ＝2y 2－3y ＋5．3．当m 满足什么条件时，方程(m ＋1)x 2－4mx ＋4m －2＝0是一元二次方程?当x ＝0时，求m 的值． 4．用直接开平方法解下列方程： (1)x 2＝49； (2)x 2＝1．96； (3)3x 2－48＝0； (4)4x 2－1＝0； (5)(x －1)2＝144；(6)(6x －7)2－9＝0．5．用配方法解下列方程：(1)x 2＋12x ＝0； (2)x 2＋12x ＋15＝0(3)x 2－7x ＋2＝0；(4)9x 2＋6x －1＝0；(5)5x 2－2＝－x ；(6)3x 2－4x ＝2．6．用公式法解下列方程： (1)x 2－2x ＋1＝0； (2)x (x ＋8)＝16； (3)x 2－35x ＝2； (4)0．8x 2＋x ＝0．3；(5)4x 2－1＝0；(6)x 2＝7x ；(7)3x 2＋1＝23x ；(8)12x 2＋7x ＋1＝0．7．(1)当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与4x ＋1的值相等?(2)当x 为何值时，代数式2x 2＋7x －1与x 2－19的值互为相反数?8．已知a ，b ，c 均为实数，且122+-a a ＋｜b ＋1｜＋(c ＋3)2＝0，解方程ax 2＋bx ＋c ＝0．9．已知a ＋b ＋c ＝0．求证：1是关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根．10．用配方法证明：(1)3y 2－6y ＋11的值恒大于零；(2)－10x 2－7x －4的值恒小于零．11．证明：关于x 的方程(a 2－8a ＋20)x 2＋2ax ＋1＝0，不论a 为何实数，该方程都是一元二次方程．参考答案【同步达纲练习】1．(1)B (2)D (3)B (4)B (5)C (6)C (7) C (8)D (9)B (10)D2．(1)9x 2－4x －1＝0，9，－4，－1； (2)x 2－4x ＝0，1，－4，0； (3)x 2－12x ＋27＝0，1，－12，27； (4)(3－2)y 2＋(3－2)y －5＝0，3－2， 3－2，－5．3．m ≠－1，m ＝214．(1)x 1＝23，x 2＝－23； (2)x 1＝－1．4，x 2＝1．4； (3)x 1＝－4，x 2＝4； (4)x 1＝－21，x 2＝21； (5)x 1＝13，x 2＝－11； (6)x 1＝32，x 2＝35． 5．(1)x 1＝0，x 2＝－12；(2)x 1＝－6－21，x 2＝－6＋21；(3)x 1＝2417-，x 2＝2417+； (4)x 1＝321+-，x 2＝321--；(5)x 1＝10411--，x 2＝10411+-；(6)x 1＝3102+，x 2＝3102-．6．(1)x 1＝x 2＝1；(2)x 1＝－4－42，x 2＝－4＋42；(3)x 1＝6975-，x 2＝6975+；(4)x 1＝41，x 2＝－23； (5)x 1＝21，x 2＝－21；(6)x 1＝0，x 2＝7；(7)x 1＝x 2＝33；(8)x 1＝－31，x 2＝－41．7．(1)x ＝－2或x ＝21；(2)x ＝－4或x ＝35．8．x 1＝2131+，x 2＝2131-． 9 把1代入ax 2＋bx ＋c 中，得ax 2＋bx ＋c ＝a ＋b ＋c ＝0∴1是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．10 (1)∵3y 2－6y ＋11＝3y 2－6y ＋3＋8＝3(y －1)2＋8又(y －1)2≥0，∴3(y －1)2＋8＞0． 即3y 2－6y ＋11的值恒大于零． (2)∵－10x 2－7x －4＝－10(x 2＋107x ＋104) ＝－10［(x ＋207)2＋400111］＝－10(x ＋207)2－40111．又－10(x ＋207)2≤0，∴－10(x ＋207)2－40111＜0．即－10x 2－7x －4的值恒小于零．11 ∵a 2－8a ＋20＝(a －4)2＋4＞0 ∴该方程是一元二次方程。
一元二次方程的解法ppt课件
谢谢！
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心. Love ,not time,heals all wounds. 治愈一切创伤的并非时间,而是爱. Life is tough,but I'm tougher. 生活是艰苦的,但我应更坚强.
励志名言
The best classroom in the world is at the feet of an elderly person.
世界上最好的课堂在老人的脚下. Having a child fall asleep in your arms is one of the most peaceful feeling in the world. 让一个孩子在你的臂弯入睡,你会体会到世间最安宁的感觉. Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要. You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
一元二次方程的解法 专题复习
授课教师：唐晓庆
(1)直接开平方法 (2)因式分解法 (3) 配方法 (4)公式法
直接开平方法
形如： ax2 c 0(a 0)
例如：9x2 27
(2x 1)2 5 0
因式分解法
提公因式法：
ax2 bx 0(a 0)
3x(x 2) 5(x 2) 0
因式分解法
提公因式法：
ax2 bx 0(a 0)
3x(x 2) 5(x 2) 0
人教版数学九上解一元二次方程——公式法课件
项有关吗？能否根据这个关系不解方程得出方程的解的情
况呢？
探究新知
【思考】不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0
⑵ x2 = 4x－4
⑶ x2－3x = －3
答案：（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根.
方法点拨
（1）当 △ b 4ac＞0时，一元二次方程有两个不
相等的实数根.
2
（2）当 △ b 4ac 0时，一元二次方程有两个相
2
等的实数根.
（3）当 △ b 2 4ac＜0 时，一元二次方程没有实
数根.
探究新知
用公式法解一元二次方程的一般步骤
1. 将方程化成一般情势，并写出a，b，c 的值.
46
2a
25
10
46
46
1
1, x2
10
10
5
探究新知
（4）x2+17=8x
解：原方程可化为x 2 8 x 17 0
a 1, b 8, c 17
△ b 2 4ac (8) 2 4 1 17 4＜0
方程无实数根.
探究新知
探究新知
（2）2x2-2 2 x+1=0；
【思考】这里的a、b、c的值分别是什么？
解： a 2, b 2 2, c 1
△ b 2 4ac ( 2 2 ) 2 4 2 1 0
则方程有两个相等的实数根：
x1 x2
b
2 2
2
配方法与公式法课件
(2)解方程：x2－2x＋2＝0(根用 i 表示)．
解：∵x2－2x＋1＝－1，(x－1)2＝－1＝i2， ∴x－1＝± i，x＝1± i，∴x1＝1＋i，x2＝1－i.
【点悟】 配方法的一般步骤： (1)把常数项移到等号的右边； (2)把二次项的系数化为 1； (3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为 1，一次 项的系数是 2 的倍数．
问题：(1)若 x2＋2y2－2xy＋4y＋4＝0，求 xy 的值． (2)已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，满足 a2＋b2＝10a＋8b－41，且 c 是 △ABC 中最长的边，求 c 的取值范围．
解：(1)x2＋2y2－2xy＋4y＋4 ＝x2－2xy＋y2＋y2＋4y＋4 ＝(x－y)2＋(y＋2)2 ＝0， ∴x－y＝0，y＋2＝0， 解得 x＝－2，y＝－2， 1 ∴x ＝(－2) ＝4.
类型之二 用配方法解方程的运用 小明是一位刻苦学习、勤于思考、勇于创新的同学，一天他在解方 程 x2＝－1 时，突发奇想：x2＝－1 在实数范围内无解，如果存在一个数 i，使 i2＝－1，那么 x2＝i2，则 x＝± i，从而 x＝± i 是方程 x2＝－1 的两个根． (1)据此可知：i3＝i2· i＝－i，i4＝ 1 ，i42＝ －1 ；
归类探究
类型之一 配方法的运用 先阅读下面的内容，再解决问题． 若 m2＋2mn＋2n2－6n2n2－6n＋9＝0， ∴m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0， ∴(m＋n)2＋(n－3)2＝0， ∴m＋n＝0，n－3＝0， ∴m＝－3，n＝3.
y
－2
(2)∵a2＋b2＝10a＋8b－41， ∴a2－10a＋25＋b2－8b＋16＝0， 即(a－5)2＋(b－4)2＝0， ∴a－5＝0，b－4＝0， 解得 a＝5，b＝4. ∵c 是△ABC 中最长的边， ∴5≤c＜9.
一元二次方程的解法--公式法课件
b b 2 4ac 即 x 2a
你能得出什么结论？
概括总结
一般地，对于一般形式的一元二次方程 2
ax bx c 0 (a 0)
b 4ac 0 时，它的根是
2
2
当
b b 4ac 2 x （b 2a
4ac 0 ）
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利 用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 这个公式说明方程的根是由方程的系数a、b、 c所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次 方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解。
解：关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0), 当b=0 时，方程的两根为互为相反数
C.x=
12 144 12 2
D.x=
12 144 48 6
=
典型例题
例 用公式法解下列方程： (1) x2＋3x＋2 = 0 (2) 2x2－7x = 4 (3) x2=3x-8
解（1）∵a=1，b=3，c=2
b2-4ac=32-4×1×2=1＞0
∴
3 1 x 2 1
∴x1=-1，x2=-2
一元二次方程的解法 公式法
复习引入
1、用配方法解一元二次方程的一般步骤是 什么？
二次项系数化1，移项，配方，变形，开平方，求解，定根
2、用配方法解下例方程 （1）2 x 2 7 x 2
（2）
0
2x 4x 5 0
2
用直接开平方法和配方法解一元二次方程， 计算比较麻烦，能否研究出一种更好的方法？
2
b 2 b 4ac ) 即 (x 2 2a 4a
2
想一想： ( x b )2 b 4ac 即 2
一元二次方程的解法-公式法1(教学课件201908)
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即(x－2)2＝7，x－2＝± 7.∴x1＝2＋ 7，x2＝2－ 7. (2)移项，得 4x2－7x＝2.二次项系数化为 1，得 x2－74x＝12. 配方，得 x2－74x＋782＝12＋782， 即x－782＝8614.∴x－78＝±98.∴x1＝－14，x2＝2.
3．公式法 探究：已知 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，且Δ＝b2－4ac≥0，试证 明它的两个根为
x1＝－b＋
2ba2－4ac，x2＝－b－
b2－4ac
2a
.
证明：移项，得 ( ax2＋bx＝－c )←常数项移到右边
↓
配方，得 x2＋bax＋2ba2＝－ac＋2ba2，即
( x＋2ba2＝b2－4a42ac )←把上式左边写成完全平0←判断等式右边的符号
↓
直接开平方，得
x＋2ba＝±
b2－4ac ， 2a
↓
x＝－b±
b2－4ac
2a
.
↓ 原命题得证．
归纳：由上可知，
(1)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根是由方程的 a，b，
(2)移项，得 2x2＋6x＝2. 二次项系数化为 1，得 x2＋3x＝1.
配方，得 x2＋3x＋322＝1＋322， 即x＋322＝143.
两边开平方，得 x＋32＝± 213，
即 x1＝－32－
213，x2＝－32＋
13 2.
(3)去括号整理，得 x2＋4x－1＝0. 移项，得 x2＋4x＝1，配方，得(x＋2)2＝5. 两边开平方，得 x＋2＝± 5， 即 x1＝－2－ 5，x2＝－2＋ 5.
21.2 解一元二次方程
第1课时 配方法、公式法
1．直接开平方降次法 根据平方根的定义，把一个一元二次方程__降__次__，转化为 ___两__个___一元一次方程，这种方法可解形如(x－a)2＝b(b≥0)的 方程，其解为___x_＝__a_±___b__． 注意：用直接开平方法求一元二次方程的解的类型有：
知识点 3 公式法(重点) 【例 3】 用公式法解下列方程． (1)2x2－4x－1＝0; (2)5x＋2＝3x2； (3)(x－2)(3x－5)＝1; (4)4x2－ 2 x＋1＝0. 思路点拨：运用公式法解一元二次方程时要注意： (1)方程要化为一般形式； (2)确定系数时要包含各项前面的符号； (3)先确定判别式的符号再将其代入求根公式．
【跟踪训练】
3．(2011 年甘肃兰州)用配方法解方程 x2－2x－5＝0 时，原
方程应变形为( C ) A．(x＋1)2＝6
B．(x＋2)2＝9
C．(x－1)2＝6
D．(x－2)2＝9
4．用配方法解方程：
(1)x2－4x－3＝0；
(2)4x2－7x－2＝0.
解：(1)移项，得 x2－4x＝3. 配方，得 x2－4x＋4＝3＋4，
x2＝a(a≥0)；ax2＝b(a，b 同号，且a≠0)；(x＋a)2＝b(b≥0)； a(x＋b)2＝c(a，c 同号，且 a≠0)．
2．配方法 通过配成___完__全__平__方__形__式___来解一元二次方程的方法叫做 配方法．配方是为了___降__次___ ，把一个一元二次方程转化为 __两__个__一__元__一__次__方__程__来解． 注意：配方法的一般步骤： ①把常数项移到等号的右边； ②把二次项的系数化为 1； ③等式两边同时加上一次项系数一半的平方．
则原方程的解为 x1＝－ 2，x2＝ 2. (2)4(x－1)2－9＝0 可化成(x－1)2＝94. 两边开平方，得 x－1＝±32. 则原方程的解为 x1＝－12，x2＝52. (3)4x2＋16x＋16＝9 可化成(2x＋4)2＝9. 两边开平方，得 2x＋4＝±3. 则原方程的解为 x1＝－72，x2＝－12.
∴x1＝2＋ 5，x2＝2－ 5.
知识点 2 配方法(重难点) 【例 2】 用配方法解下列方程： (1)x2＋6x＋5＝0； (2)2x2＋6x－2＝0； (3)(1＋x)2＋2(x＋1)－4＝0. 思路点拨：用配方法解一元二次方程的一般步骤： (1)化二次项系数为 1； (2)移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； (3)配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方；
【跟踪训练】 1．一元二次方程 x2－3＝0 的根为( C ) A．x＝3 B．x＝3 C．x1＝ 3，x2＝－ 3 D．x1＝3，x2＝－3
2．用直接开平方降次法解下列方程：
(1)x2－16＝0；
(2)(x－2)2＝5.
解：(1)x2－16＝0，即 x2＝16.
∴x1＝4，x2＝－4.
(2)(x－2)2＝5，即 x－2＝± 5.
(4)将方程变为(x＋m)2＝n 的形式； (5)用直接开平方降次法解变形后的方程(如果右边是非负 数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一 元二次方程无解)． 解：(1)移项，得 x2＋6x＝－5. 配方，得 x2＋6x＋32＝－5＋32，即(x＋3)2＝4. 两边开平方，得 x＋3＝±2，即 x1＝－1，x2＝－5.
c 而定；
(2)式子
x＝
－b±
b2－4ac 2a
叫做一元二次方程的求根公式；
(3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法； (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有两个实数根． 注意：采用公式法时首先要将方程化简为一般式．
4．一元二次方程根的判别式 由根的判别式____Δ_＝__b_2_－__4_a_c___的值可以直接去判断方程 根的个数情况，而不用求解方程： 当Δ＝b2－4ac＞0 时，方程___有__两__个__不__相__等__的__实__数__根_____； 当Δ＝b2－4ac＝0 时，方程___有__两__个__相__等__的__实__数__根_______； 当Δ＝b2－4ac＜0 时，方程___没__有__实__数__根_______________．
知识点 1 直接开平方降次法 【例 1】 用直接开平方降次法解下列方程： (1)3x2－1＝5； (2)4(x－1)2－9＝0； (3)4x2＋16x＋16＝9. 思路点拨：上面的方程都能化成 x2＝p 或(mx＋n)2＝p(p≥0) 的形式，那么可得 x＝± p或 mx＋n＝± p(p≥0)．
解：(1)3x2－1＝5 可化成 x2＝2，