正切和差角公式
三角函数差角公式推导过程
三角函数差角公式推导过程三角函数差角公式是指在三角函数中，由两个角的正弦、余弦、正切、余切值的差所构成的公式。
这个公式在数学中有很大的应用价值。
下面我们来详细了解一下三角函数差角公式的推导过程。
1. 推导正弦差角公式先利用正弦和余弦两个函数的和角公式，有：sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin bsin (a - b) = sin a cos (-b) + cos a sin (-b) 其中，cos (-b) = cos b, sin (-b) = -sin b将上述两式相减，得到正弦差角公式：sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b2. 推导余弦差角公式同样利用余弦和正弦两个函数的和角公式，有：cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin bcos (a - b) = cos a cos (-b) + sin a sin (-b) 其中，cos (-b) = cos b, sin (-b) = -sin b将上述两式相减，得到余弦差角公式：cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b3. 推导正切差角公式将正切函数表示成正弦和余弦的比值形式，即tan a = sin a / cos atan b = sin b / cos b将上述两式相减，并化简，得到正切差角公式：tan (a - b) = (tan a - tan b) / (1 + tan a tan b)4. 推导余切差角公式同样将余切函数表示成余弦和正弦的比值形式，即cot a = cos a / sin acot b = cos b / sin b将上述两式相减，并化简，得到余切差角公式：cot (a - b) = (cot a cot b - 1) / (cot b - cot a) 以上就是三角函数差角公式的推导过程，通过这些公式，我们可以更加方便地求出两个角度之间的正弦、余弦、正切、余切值的差。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式1.两角和的正弦公式：对于任意两个角A和Bsin(A+B) = sinAcosB + cosAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：sin(A+B) = sin[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]= sin[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] + cos[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) + 2cos(A/2)sin(B/2)= sinAcosB + cosAsinB这就是两角和的正弦公式。
2.两角差的正弦公式：对于任意两个角A和Bsin(A-B) = sinAcosB - cosAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：sin(A-B) = sin[(A/2-B/2) + (A/2+B/2)]= sin[(A/2-B/2)]cos[(A/2+B/2)] + cos[(A/2-B/2)]sin[(A/2+B/2)] = 2sin(A/2)cos(B/2) - 2cos(A/2)sin(B/2)= sinAcosB - cosAsinB这就是两角差的正弦公式。
3.两角和的余弦公式：对于任意两个角A和Bcos(A+B) = cosAcosB - sinAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：cos(A+B) = cos[(A/2+B/2) + (A/2-B/2)]= cos[(A/2+B/2)]cos[(A/2-B/2)] - sin[(A/2+B/2)]sin[(A/2-B/2)] = cosAcosB - sinAsinB这就是两角和的余弦公式。
4.两角差的余弦公式：对于任意两个角A和Bcos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB证明：利用三角和差化积的公式，我们有：cos(A-B) = cos[(A/2-B/2) + (A/2+B/2)]= cos[(A/2-B/2)]cos[(A/2+B/2)] + sin[(A/2-B/2)]sin[(A/2+B/2)] = cosAcosB + sinAsinB这就是两角差的余弦公式。
两角和与差的正弦余弦和正切公式
利用三角函数的倍角公式推导
总结词
通过三角函数的倍角公式，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的倍角公式指出，对于任意角度α， sin(2α)、cos(2α)和tan(2α)的值可以通过
sin(α)、cos(α)、tan(α)的函数关系来表达。 利用这个公式，我们可以推导出两角和与差
总结词
通过三角函数的减法定理，我们可以推导出 两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
详细描述
三角函数的减法定理指出，对于任意角度α、 β，sin(α-β)、cos(α-β)和tan(α-β)的值可 以通过sin(α)、cos(α)、sin(β)、cos(β)、 tan(α)和tan(β)的函数关系来表达。利用这 个定理，我们可以推导出两角和与差的正弦、 余弦和正切公式。
地理学问题
在地理学中，很多问题涉及到地 球的自转、公转等角度计算，如 时差、太阳高度角等，利用三角 函数公式可以方便地计算。
经济学问题
在经济学中，很多问题涉及到利 率、汇率等与角度相关的问题， 利用三角函数公式可以方便地描 述这些变化规律。
04
三角函数公式的扩展
利用三角函数的和差化积公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式扩展
总结词
利用三角函数的积化和差公式，可以将两角和与差的 正弦、余弦和正切公式进行扩展，得到更一般化的公 式形式。
详细描述
三角函数的积化和差公式可以将两个角度的正弦或余 弦的乘积转化为其他角度的正弦、余弦和正切的和或 差的形式，从而扩展了原有的公式。例如，利用积化 和差公式，可以将两角和的余弦表示为单个角度余弦 的函数，进一步推导得到更一般化的公式。
VS
详细描述
三角函数基本公式
三角函数基本公式三角函数是数学中常见的一类函数，是研究三角形的性质和关系的重要工具。
它们包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）、正切函数（tan）以及它们的倒数函数。
在三角函数的研究中，有一些重要的基本公式，本文将对这些基本公式进行详细介绍。
1. 正弦函数（sin）和余弦函数（cos）的基本公式：在单位圆上，以原点为中心、半径为1的圆周上的点P（x，y）与角度为θ的正x轴的正向的交点处，根据勾股定理有：x²+y²=1对于角度为θ的点来说，x 坐标即为cosθ，y 坐标即为sinθ，因此可以得到正弦函数和余弦函数的基本关系：sinθ = ycosθ = x由基本关系可以推导出一些重要的三角函数恒等式：（1）和差公式：sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβcos(α + β) = cosαcosβ - sinαsinβ（2）正弦函数、余弦函数的平方和恒等式：sin²θ + cos²θ = 1将角度θ用45度的倍数代入上式可得到其他角度的平方和公式：sin²θ = (1 - cos2θ) / 2cos²θ = (1 + cos2θ) / 2（3）余弦函数的倒数公式：secθ = 1 / cosθsec²θ = 1 + tan²θ其中，secθ为余弦函数的倒数，即1/cosθ。
2. 正切函数（tan）的基本公式：在单位圆上，tanθ的定义为sinθ/cosθ。
根据sinθ = y 和cosθ = x，可以得到tanθ的计算公式：tanθ = sinθ / cosθ = y / x由于sin²θ + cos²θ = 1，因此利用这个等式可以推导出tanθ的平方和公式：tan²θ = (1 - cos2θ) / (1 + cos2θ)此外，正切函数有一个重要的周期性质：tan(θ + π) = tanθ也就是说，tan函数的值在每个周期内相同。
两角差正切公式
两角差正切公式两角差正切公式是数学中的一种重要公式，它可以帮助我们求解两个角的正切值之差。
正切函数是三角函数中的一种，它表示的是一个角的正切值，而两角差正切公式则是利用正切函数的特性，将两个角的正切值相减，得到它们的差的正切值。
在数学中，角是指由两条射线所围成的部分。
角的大小可以用度数或弧度来表示。
而正切函数则是角度的正切值与弧度的正切值的比例。
它的定义是由角的正切值等于角的对边与邻边的比值所确定。
两角差正切公式的推导基于正切函数的特性。
假设有两个角A和B，它们的正切值分别为tan(A)和tan(B)。
根据正切函数的定义，tan(A)表示角A的对边与邻边的比值，tan(B)表示角B的对边与邻边的比值。
根据三角函数的加减角公式，我们可以得到以下关系式：tan(A+B) = (tan(A) + tan(B)) / (1 - tan(A) * tan(B))tan(A-B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A) * tan(B))利用上述两个关系式，我们可以推导出两角差正切公式：tan(A-B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A) * tan(B))这个公式的应用非常广泛。
在数学中，我们常常用它来求解复杂的三角函数表达式。
在物理学和工程学中，它也经常被用于计算角度的差异以及相关的问题。
举个例子来说明两角差正切公式的应用。
假设有一个直角三角形，角A的正切值为3，角B的正切值为4，我们可以利用两角差正切公式来求解角A和角B之差的正切值。
根据两角差正切公式：tan(A-B) = (tan(A) - tan(B)) / (1 + tan(A) * tan(B))代入已知条件：tan(A-B) = (3 - 4) / (1 + 3 * 4)= -1 / 13所以，角A和角B之差的正切值为-1/13。
通过这个例子，我们可以看到两角差正切公式的应用是非常灵活和方便的。
两角和与差的正切公式
两角和与差的正切公式首先，我们来探讨两个角之和的正切公式。
设有两个角A和B，我们想要计算它们的和的正切值，即tan(A + B)。
为了导出这个公式，我们考虑一个单位圆，其中心为O，半径为1、令A点和B点分别为角A和角B的终边与单位圆的交点。
现在，我们将点P位于点A和点B之间。
假设角A和角B的终边相交于点C。
我们可以观察到，三角形OAC和三角形OBC都是等腰三角形，因为在单位圆上，半径等于半径。
我们可以利用等腰三角形的性质得出以下结论：角OAC的度数为A/2，角OBC的度数为B/2由于OAC和OBC都是等腰三角形，所以角OCA和角OCB的度数也分别是A/2和B/2由于角OCA和角OCB的度数之和为(A/2+B/2)，也就是(A+B)/2，我们可以应用正切的定义来得到以下等式：tan[(A + B)/2] = tan(A/2 + B/2) = OC/OA + OC/OB = (tan(A/2)+ tan(B/2))/(1 - tan(A/2)tan(B/2))另一方面，我们可以观察到，连接O和P的线段与y轴形成的角的度数为A+B。
根据三角函数的定义，tan(A + B)等于线段OP的斜率。
因此，tan(A + B)等于OC/OB：tan(A + B) = OC/OB = (tan(A/2) + tan(B/2))/(1 -tan(A/2)tan(B/2))这就是我们要导出的两角和的正切公式。
接下来，我们来讨论两个角之差的正切公式。
设有两个角A和B，我们想要计算它们的差的正切值，即tan(A - B)。
为了推导这个公式，我们利用两角和的公式和正切函数的奇偶性质。
我们知道，tan(-x) = -tan(x)，这意味着正切函数是个奇函数。
因此，我们可以将tan(A - B)表示为：tan(A - B) = -tan(B - A)然后，我们将B-A表示为-(A-B)，并利用两角和的公式：tan(A - B) = -tan(-(A - B)) = -tan(-(A + (-B))) = -tan((-A)+ B)根据两角和的公式，我们有：tan((-A) + B) = (tan(-A) + tan(B))/(1 - tan(-A)tan(B))再次利用正切函数的奇偶性质，我们可以将公式简化为：tan(A - B) = -(tan(A) - tan(B))/(1 + tan(A)tan(B))这就是我们要导出的两角差的正切公式。
两角和与差的正弦余弦正切公式
两角和与差的正弦余弦正切公式在三角函数中，我们经常需要计算两个角的和或差的正弦、余弦或正切值。
这些公式被广泛应用于数学、物理、工程等领域的问题求解中。
本文将详细介绍两角和与差的正弦、余弦和正切公式。
一、两角和与差的正弦公式首先，我们来讨论两个角的和的正弦公式。
设有两个角A和B，那么它们的和角记为(A+B)。
根据三角函数的定义，我们知道正弦的定义为一个角的对边与斜边之比，可以表示为sin(x)=opposite/hypotenuse。
根据这个定义，我们可以得到如下的两角和的正弦公式：sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB这个公式很重要，可以帮助我们计算两个角的和的正弦值。
在实际应用中，我们经常需要计算两个角的和的正弦，而不是两个角分别的正弦。
所以这个公式非常有用。
接下来，我们来讨论两个角的差的正弦公式。
设有两个角A和B，那么它们的差角记为(A-B)。
根据三角函数的定义，我们可以得到如下的两角差的正弦公式：sin(A-B) = sinA*cosB - cosA*sinB这个公式与两角和的正弦公式类似，也非常有用。
二、两角和与差的余弦公式类似于正弦公式，我们也可以推导出两角和与差的余弦公式。
设有两个角A和B，那么它们的和角记为(A+B)。
根据三角函数的定义，我们知道余弦的定义为一个角的邻边与斜边之比，可以表示为cos(x)=adjacent/hypotenuse。
根据这个定义，我们可以得到如下的两角和的余弦公式：cos(A+B) = cosA*cosB - sinA*sinB同样地，我们也可以得到两角差的余弦公式：cos(A-B) = cosA*cosB + sinA*sinB这两个公式和两角和与差的正弦公式一样重要，经常被应用于实际问题中。
三、两角和与差的正切公式最后，我们来讨论两角和与差的正切公式。
设有两个角A和B，那么它们的和角记为(A+B)。
根据三角函数的定义，我们知道正切的定义为一个角的对边与邻边之比，可以表示为tan(x)=opposite/adjacent。
三角函数和差倍角公式
三角函数和差倍角公式三角函数是数学中非常重要的一类函数，它们在几何、物理、工程等领域中经常被使用。
三角函数包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，它们的定义基于一个单位圆，圆心为坐标原点，半径为1、本文将介绍三角函数的定义和性质，并详细讨论三角函数的和差倍角公式。
一、三角函数的定义1. 正弦函数（sin）：正弦函数是对应于单位圆上任意点(x,y)的y 坐标，即：sinθ = y。
2. 余弦函数（cos）：余弦函数是对应于单位圆上任意点(x,y)的x 坐标，即：cosθ = x。
3. 正切函数（tan）：正切函数是正弦函数和余弦函数的比值，即：tanθ = sinθ / cosθ。
二、三角函数的周期性和性质1. 周期性：正弦函数和余弦函数的周期均为2π，即sinθ =sin(θ + 2π)和cosθ = cos(θ + 2π)。
2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即sin(-θ) = -sinθ，余弦函数是偶函数，即cos(-θ) = cosθ。
3. 正弦函数和余弦函数的平方和：sin^2θ + cos^2θ = 1，这是三角恒等式中的一个重要结果。
4. 正切函数的性质：tanθ= sinθ / cosθ，其中cosθ不为零，所以tanθ在90°和270°处不存在。
1. 正弦函数的和差公式：sin(α + β) = sinαcosβ +cosαsinβ，sin(α - β) = sinαcosβ - cosαsinβ。
2. 余弦函数的和差公式：cos(α + β) = cosαcosβ -sinαsinβ，cos(α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ。
3. 正切函数的和差公式：tan(α + β) = (tanα + tanβ) / (1 - tanαtanβ)，tan(α - β) = (tanα - tanβ) / (1 + tanαtanβ)。
其中，α和β为任意角度。
两角和差的正切公式
两角和差的正切公式以《两角和差的正切公式》为标题，写一篇3000字的中文文章在数学中，两角和差的正切公式是一种重要的计算两个角度的和或差的方法。
因此，它具有重要的意义，广泛应用于几何学、微积分和物理中的计算。
本文介绍两角和差的正切公式的概念、特性和应用。
首先，两角和差的正切公式是用来计算两个角度和或差的公式。
即：tan(α +) = [tanα + tanβ] / [1 - tanα tanβ]tan(α -) = [tanα - tanβ] / [1 + tanα tanβ] 其中α和β分别为两个角度：α和β可以是任何角度，包括负角、正角或平角。
此外，两角和差的正切公式具有以下几种特性：1.可以用来比较两个角度的大小。
例如，当tanα > tanβ时，α > 。
2.可以用来计算一个角α的正弦、余弦和正切。
例如，当tanα= -2.45时，cosα = -0.65和sinα = -0.99。
3.可以用来计算一个角的三角函数的积分。
4.可以用来计算两个角度的和或差的三角函数的极限值。
最后，两角和差的正切公式在几何学、微积分和物理中有着广泛的应用：1.几何学中，它可以用来求解由于矩形边角度等不等于180度而存在的三角形和多边形的面积。
2.微积分中，它可以用来计算三角函数的积分，从而求解微分方程。
3.物理中，它可以用来解决向量运动中的各种问题，如物体运动的轨迹、向量运动的角度等。
总之，两角和差的正切公式是一个重要的数学公式，具有重要的意义，广泛应用于几何学、微积分和物理等多个领域。
因此，我们要深入地学习它，以便在解决实际问题时发挥它的重要作用。
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
2
(sin
2
A.a>b>c
C.c>a>b
(2)已知
56°-cos 56°),c=
1-ta n 2 39°
,则 a,b,c 的大小关系是(
1+ta n 2 39°
B.b>a>c
D.a>c>b
π
cos(α-6 )+sin
4 3
α= 5 ,则
π
si(nα+6 )=
.
)
答案 (1)D
4
(2)
5
解析 (1)a=cos 50°cos 127°+cos 40°cos 37°
1
D.
2
.
答案 (1)B (2)D (3) 3
解析 (1)根据两角和的正弦公式展开得 sin
3
θ= sin
2
3
θ+ cos
2
θ=1,即
π
3sin(θ+ )=1,解得
6
π
θ+sin(θ+ )=sin
3
1
θ+ sin
2
π
3
sin(θ+ )= .故选
6
3
B.
(2)∵t=2sin 18°,
2cos2 27°-1
.
1+cos
5.积化和差公式
sin αcos
1
β=
2
sin( + ) + sin(-) ,
cos αsin
1
β=2
sin( + )-sin(-) ,
cos αcos
1
β=2
两角和与差的正弦余弦和正切公式
两角和与差的正弦余弦和正切公式1.两角和的正弦公式：对于任意两个角A和B，其正弦的和可表示为：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB这个公式可以通过在单位圆上考虑角A和B的正弦值，利用三角函数的定义来推导得到。
2.两角差的正弦公式：对于任意两个角A和B，其正弦的差可表示为：sin(A - B) = sinAcosB - cosAsinB这个公式可以通过将角B改为-B，然后利用两角和的正弦公式得到。
3.两角和的余弦公式：对于任意两个角A和B，其余弦的和可表示为：cos(A + B) = cosAcosB - sinAsinB这个公式可以通过在单位圆上考虑角A和B的余弦值，利用三角函数的定义来推导得到。
4.两角差的余弦公式：对于任意两个角A和B，其余弦的差可表示为：cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB这个公式可以通过将角B改为-B，然后利用两角和的余弦公式得到。
5.两角和的正切公式：对于任意两个角A和B，其正切的和可表示为：tan(A + B) = (tanA + tanB) / (1 - tanAtanB)这个公式可以通过将正切用正弦和余弦表示，然后利用两角和的正弦和余弦公式进行推导。
根据两角和与差的正弦、余弦和正切公式，我们可以解决一些比较复杂的三角函数问题。
下面，我们通过一些例题来说明如何应用这些公式。
例题1：已知sinA = 1/2且cosB = 1/3，求sin(A + B)和cos(A - B)的值。
解：根据已知条件，我们可以得到sinA = 1/2和cosB = 1/3、根据两角和的正弦公式，我们可以求得sin(A + B)的值为：sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB= (1/2)(1/3) + cosA(1/3)= 1/6 + cosA/3进一步根据已知条件sinA = 1/2，可以得到cosA = √(1 - sin^2A) = √(1 - 1/4) = √3/2代入公式中，我们可以计算得到：sin(A + B) = 1/6 + (√3/2) / 3=1/6+√3/6=(√3+1)/6同样地，根据两角差的余弦公式，我们可以求得cos(A - B)的值为：cos(A - B) = cosAcosB + sinAsinB=(√3/2)(1/3)+(1/2)(√3/3)=√3/6+√3/6=√3/3所以，sin(A + B) = (√3 + 1) / 6，cos(A - B) = √3/3例题2：已知tanA = 3且tanB = 4，求tan(A + B)和tan(A - B)的值。
三角函数变换公式
三角函数变换公式三角函数变换公式是解决三角函数之间相互转化的重要工具，它们允许我们简化复杂的三角函数表达式，使其更易于计算和理解。
本文将介绍三角函数变换公式的基本原理和各种具体的公式，以及其在数学和物理等领域中的应用。
一、正弦函数变换公式正弦函数变换公式是表示两个不同角度的正弦值之间的关系，包括正弦的和角公式、差角公式和倍角公式。
1. 正弦的和差角公式：当角 A 和角 B 的角度和为角 C 时，我们有以下的和角公式：sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)当角 A 和角 B 的角度差为角 C 时，我们有以下的差角公式：sin(A - B) = sin(A)cos(B) - cos(A)sin(B)2. 正弦的倍角公式：当角 A 的角度为 2B 时，我们有以下的倍角公式：sin(2B) = 2sin(B)cos(B)二、余弦函数变换公式余弦函数变换公式描述了两个不同角度的余弦值之间的关系，包括余弦的和角公式、差角公式和倍角公式。
当角 A 和角 B 的角度和为角 C 时，我们有以下的和角公式：cos(A + B) = cos(A)cos(B) - sin(A)sin(B)当角 A 和角 B 的角度差为角 C 时，我们有以下的差角公式：cos(A - B) = cos(A)cos(B) + sin(A)sin(B)2. 余弦的倍角公式：当角 A 的角度为 2B 时，我们有以下的倍角公式：cos(2B) = cos^2(B) - sin^2(B)三、正切函数变换公式正切函数变换公式表示了正切函数的倍角公式和半角公式。
1. 正切的倍角公式：当角 A 的角度为 2B 时，我们有以下的倍角公式：tan(2B) = (2tan(B))/(1 - tan^2(B))2. 正切的半角公式：当角 A 的角度为 1/2B 时，我们有以下的半角公式：tan(B/2) = (1 - cos(B))/sin(B)四、其他除了上述的正弦、余弦和正切函数变换公式外，还有一些其他的三角函数变换公式。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1
1
A.3
B.2
C.
2 2
√D.
3 3
∵cos α＋cosα－π3＝1， ∴cos α＋12cos α＋ 23sin α＝32cos α＋ 23sin α
＝
3
3 2 cos
α＋21sin
α
＝ 3cosα－π6＝1，
∴cosα－π6＝ 33.
(2)化简：①sin x＋ 3cos x＝ 2sinx＋π3 .
∴β>α，而 α，β∈0，π2， ∴0<β－α<π2， ∴β－α＝π3， 即选项D正确，C错误.
(2)在△ABC 中，C＝120°，tan A＋tan B＝233，则 tan Atan B 的值为
1 A.4
√B.13
1
5
C.2
D.3
∵C＝120°，∴tan C＝－ 3. ∵A＋B＝π－C， ∴tan(A＋B)＝－tan C. ∴tan(A＋B)＝ 3， tan A＋tan B＝ 3(1－tan Atan B)， 又∵tan A＋tan B＝233， ∴tan Atan B＝13.
A.a>b>c
B.b>a>c
C.c>a>b
√D.a>c>b
(sin2256°
由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得
a＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°
＝cos 50°cos 127°＋sin 50°sin 127°
＝cos(50°－127°)＝cos(－77°)
＝cos 77°＝sin 13°，
第四章
考试要求
1.会推导两角差的余弦公式. 2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.
两角和与差的三角函数公式应用
两角和与差的三角函数公式应用首先，我们来介绍两角和的公式：1. 正弦两角和公式：sin(x + y) = sin(x) * cos(y) + cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的和。
例如，求解sin(π/6 + π/4)的值。
根据公式，sin(π/6 + π/4) = sin(π/6) * cos(π/4) +cos(π/6) * sin(π/4) = (1/2) * (√2/2) + (√3/2) * (√2/2) = (√2 + √6)/42. 余弦两角和公式：cos(x + y) = cos(x) * cos(y) - sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的和。
例如，求解cos(π/3 + π/6)的值。
根据公式，cos(π/3 + π/6) = cos(π/3) * cos(π/6) -sin(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = 3/43. 正切两角和公式：tan(x + y) = (tan(x) + tan(y)) / (1 - tan(x) * tan(y))这个公式可以用来求解两个角的正切的和。
例如，求解tan(π/4 + π/6)的值。
根据公式，tan(π/4 + π/6) = (tan(π/4) + tan(π/6)) / (1 - tan(π/4) * tan(π/6)) = (1 + (1/√3)) / (1 - 1/√3) = (√3 + 1) / (√3 - 1)接下来，我们来介绍两角差的公式：1. 正弦两角差公式：sin(x - y) = sin(x) * cos(y) - cos(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的正弦的差。
例如，求解sin(π/3 - π/6)的值。
根据公式，sin(π/3 - π/6) = sin(π/3) * cos(π/6) -cos(π/3) * sin(π/6) = (√3/2) * (√3/2) - (1/2) * (1/2) = (√3 - 1) / 22. 余弦两角差公式：cos(x - y) = cos(x) * cos(y) + sin(x) * sin(y)这个公式可以用来求解两个角的余弦的差。
第3讲 和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式
第3讲和、差、倍角的正弦、余弦和正切公式1.会推导两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式，并会简单应用.1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝□1sin αcos β±cos αsin β.cos(α∓β)＝□2cos αcos β±sin αsin β.tan(α±β)＝□3tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式sin 2α＝□42sin αcos α.cos 2α＝□5cos 2α－sin 2α＝□62cos 2α－1＝□71－2sin 2α.tan 2α＝□82tan α1－tan 2α.3.辅助角公式a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中tan φ＝ba辅助角公式实质是和(差)角公式的逆用，可化为a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2·cos(x －φ)，其中tan φ＝ab.常用结论1.降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2.2.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3.常用变形：1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin(α±π4)，tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β).1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)中φ的取值与a ，b 的值无关.()(2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.()(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tanαtan β)，且对任意角α，β都成立.()(4)锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2.回源教材(1)已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π4)＝.解析：因为α∈(π2，π)，所以cos α＝－45，tan α＝－34，故tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17.答案：17(2)sin 15°sin 45°－cos 15°cos 45°＝.解析：原式＝－(cos 15°cos 45°－sin 15°sin 45°)＝－cos 60°＝－12.答案：－12(3)sin π12－3cos π12＝.解析：原式＝2(12sin π12－32cos π12)＝2sin(π12－π3)＝2sin(－π4)＝－2.答案：－2公式的基本应用例1(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝13，cos αsin β＝16，则cos (2α＋2β)＝()A.79B.19C.－19 D.－79解析：B∵sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝13，cos αsin β＝16，∴sin αcos β＝13＋cos αsin β＝13＋16＝12.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝12＋16＝23，∴cos(2α＋2β)＝cos[2(α＋β)]＝1－2sin 2(α＋β)＝1－2×(23)2＝19，故选B.(2)(多选)(2024·海南期末)已知α∈(π2，π)，且cos 2α－cos 2α＝15，则()A.tan α＝－12B.sin 2α＝45C.cos 2α＝35D.tan 2α＝－34解析：ACcos 2α－cos 2α＝cos 2α－(cos 2α－sin 2α)＝sin 2α＝15，因为α∈(π2，π)，所以sin α＝55，cos α＝－1－sin 2α＝－255，所以tan α＝sin αcos α＝－12，sin 2α＝2sin αcos α＝－45，cos 2α＝1－2sin 2α＝35，tan2α＝sin2αcos2α＝－4 3 .故选AC.反思感悟利用三角函数公式时应注意的问题(1)首先要注意公式的结构特点和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”.(2)应注意与同角三角函数的基本关系、诱导公式的综合应用.(3)应注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用.训练1(1)(2024·宜宾一诊)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，已知角α的终边上一点P的坐标为(－1，2)，角β的终边与角α的终边关于x轴对称，则tan(β＋π4)＝()A.－13B.1 3C.－3D.3解析：C因为角α的终边上一点P的坐标为(－1，2)，角β的终边与角α的终边关于x轴对称，所以点(－1，－2)是角β的终边上的点，所以tanβ＝2，所以tan(β＋π4)＝tanβ＋tanπ41－tanβtanπ4＝2＋11－2＝－3.故选C.(2)(2024·葫芦岛期末)已知α∈(0，π2)，sin2α＝cos(π4－α)，则cos2α＝()A.0B.12C.3 2D.－32解析：A因为α∈(0，π2)，所以2α∈(0，π)，所以sin2α＞0.由sin2α＝cos(π4－α)化简得2sin2α＝sinα＋cosα，两边同时平方得2sin22α＝1＋sin2α，即2sin22α－sin2α－1＝0，解得sin2α＝1(负根舍去)，因为sin22α＋cos22α＝1，所以cos2α＝0.故选A.公式的逆用及变形例2(1)在△ABC中，C＝120°，tan A＋tan B＝233，则tan A tan B的值为()A.1 4B.1 3C.1 2D.5 3解析：B在△ABC中，∵C＝120°，∴tan C＝－ 3.∵A＋B＝π－C，∴tan(A＋B)＝－tan C＝ 3.∴tan A＋tan B＝3(1－tan A tan B)，又tan A＋tan B＝23 3，∴tan A tan B＝1 3 .(2)(2024·苏州外国语学校模拟)若sin10°＝(3tan10°－1)·sin(α－20°)，则sin(2α＋50°)＝()A.1 8B.－18C.－78D.7 8解析：D sin10°＝3sin10°－cos10°cos10°·sin(α－20°)＝2（32sin10°－12cos10°）cos10°·sin(α－20°)＝2sin（－20°）cos10°·sin(α－20°)＝－4sin10°cos10°cos10°·sin(α－20°)，所以sin(α－20°)＝－14，则sin(2α＋50°)＝sin(2α－40°＋90°)＝cos[2(α－20°)]＝1－2sin 2(α－20°)＝1－2×(－14)2＝78.故选D.反思感悟1.运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等.2.三角函数公式逆用和变形需注意：(1)公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系.(2)注意特殊角的应用，当式子中出现12，1，32，3等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值”变“角”.训练2(1)(多选)下列计算正确的是()A.12sin 15°－32cos 15°＝－22B.sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝12C.sinπ12－3cos π12＝－22D.sin 105°＝6＋24解析：ABD对于A ，12sin 15°－32cos 15°＝sin 15°cos 60°－sin 60°cos 15°＝sin(15°－60°)＝sin(－45°)＝－22，故A 正确；对于B ，sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝12，故B 正确；对于C ，sinπ12－3cos π12＝2(sin π12cos π3－sin π3cos π12)＝2sin(π12－π3)＝2sin(－π4)＝－2，故C 错误；对于D ，sin 105°＝sin(60°＋45°)＝sin 60°cos 45°＋cos 60°sin 45°＝32×22＋12×22＝6＋24，故D 正确.故选ABD.(2)1sin10°－3sin80°＝.解析：原式＝cos10°－3sin10°sin10°cos10°＝2（12cos10°－32sin10°）sin10°cos10°＝4（sin30°cos10°－cos30°sin10°）2sin10°cos10°＝4sin（30°－10°）sin20°＝4.答案：4角的变换问题例3(1)(经典高考题)已知sinθ＋sin(θ＋π3)＝1，则sin(θ＋π6)等于()A.1 2B.3 3C.2 3D.2 2解析：B因为sinθ＋sin(θ＋π3 )＝sin(θ＋π6－π6)＋sin(θ＋π6＋π6)＝sin(θ＋π6)cosπ6－cos(θ＋π6)sinπ6＋sin(θ＋π6)cosπ6＋cos(θ＋π6)sinπ6＝2sin(θ＋π6)cosπ6＝3sin(θ＋π6)＝1.所以sin(θ＋π6)＝33.(2)已知α，β为锐角，sinα＝31010，cos(α＋β)＝－55.则sin(2α＋β)的值为.解析：因为0＜α＜π2，sinα＝31010所以cosα＝1－sin2α＝1－910＝1010，因为0＜α＜π2，0＜β＜π2，所以0＜α＋β＜π，因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝1－15＝255，所以sin(2α＋β)＝sin(α＋α＋β)＝sin αcos(α＋β)＋cos αsin(α＋β)＝31010×(－55)＋1010×255＝－210.答案：－210反思感悟常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－(π4－α)等.训练3(1)已知α为锐角，且cos(α＋π6)＝513，则cos α的值为.解析：∵0＜α＜π2，∴π6＜α＋π6＜2π3，∴sin(α＋π6)＝1213，∴cos α＝cos[(α＋π6)－π6]＝cos(α＋π6)cos π6sin(α＋π6)sinπ6＝53＋1226.答案：53＋1226(2)已知0＜α＜π2＜β＜π，tanα＝43，cos(β－α)＝210，则sinα＝，cosβ＝.解析：因为0＜α＜π2，且tanα＝43，所以sinα＝45，cosα＝35，由0＜α＜π2＜β＜π，则0＜β－α＜π，又cos(β－α)＝2 10，则sin(β－α)＝72 10，所以cosβ＝cos[(β－α)＋α]＝cos(β－α)cosα－sin(β－α)sinα＝210×35－7210×45＝－22.答案：45－22限时规范训练(二十六)A级基础落实练1.(2024·北京模拟)tan105°等于()A.2－3B.－2－3C.3－2D.－3解析：B tan105°＝tan(60°＋45°)＝tan60°＋tan45°1－tan60°·tan45°＝3＋11－3＝（3＋1）2（1－3）（1＋3）＝4＋23－2＝－2－ 3.2.cos50°cos160°－cos40°sin160°＝()A.3 2B.1 2C.－12D.－32解析：D 原式＝cos 50°cos 160°－sin 50°sin 160°＝cos(50°＋160°)＝cos 210°＝－cos 30°＝－32.故选D.3.(2023·新课标Ⅱ卷)已知α为锐角，cos α＝1＋54，则sin α2＝()A.3－58B.－1＋58C.3－54D.－1＋54解析：D 因为cos α＝1－2sin 2α2，cos α＝1＋54，所以sin 2α2＝3－58.又α为锐角，所以α2为锐角，则sinα2＝3－58＝6－2516＝（5－14）2＝5－14.故选D.4.(2024·重庆第七次质量检测)已知角α，β满足tan α＝13，sin β＝2cos(α＋β)sinα，则tan β＝()A.14B.12C.1D.2解析：B 由sin β＝2cos(α＋β)sin α得sin β＝sin[(α＋β)＋α]－sin[(α＋β)－α]，进而sin β＝sin(2α＋β)－sin β，则2sin β＝sin(2α＋β)＝sin 2αcos β＋cos 2αsin β，所以sin β(2－cos 2α)＝sin 2αcos β，则tan β＝sin 2α2－cos 2α＝2sin αcos α3sin 2α＋cos 2α＝2tan α3tan 2α＋1＝12.故选B.5.已知cos(x －π6)＝14，则cos x ＋cos(x －π3)＝()A.34B.－34C.14D.±34解析：A因为cos(x－π6)＝14，所以cos x＋cos(x－π3 )＝cos x＋12cos x＋32sin x＝3(32cos x＋12sin x)＝3cos(x－π6)＝3×14＝34.6.(2023·南通模拟)4sin40°－tan40°的值为()A.3B.2C.2＋32D.22－1解析：A4sin40°－tan40°＝4sin40°－sin40°cos40°＝2sin80°－sin40°cos40°＝sin80°＋（sin80°－sin40°）cos40°＝sin80°＋[sin（60°＋20°）－sin（60°－20°）]cos40°＝sin80°＋2cos60°sin20°cos40°＝sin80°＋sin20°cos40°＝sin（50°＋30°）＋sin（50°－30°）cos40°＝3sin50°sin50°＝ 3.故选A.7.(2024·重庆模拟)2cos15°sin10°cos20°＋cos10°cos70°－2cos45°sin 15°sin10°sin70°的值为.解析：原式＝2cos20°sin10°(cos15°－sin15°)＋cos10°cos70°＝2cos20°sin10°×2cos(45°＋15°)＋cos10°cos70°＝cos20°sin10°＋cos 10°sin20°＝sin30°＝12.答案：1 28.(2024·烟台模拟)若sin α＝cos(α＋π6)，则tan 2α的值为.解析：由sin α＝cos(α＋π6)，可得sin α＝cos αcos π6－sin αsin π6＝32cos α－12sin α，则tan α＝33，tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×331－（33）2＝ 3.答案：39.已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则log 5(tan αtan β)2＝.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5，所以log 5(tan αtan β)2＝log 552＝4.答案：410.已知cos(α－β2)＝－19，sin(α2－β)＝23，且π2<α<π，0<β<π2，求cos(α＋β)的值.解：由已知，得π2<α－β2<π，0<α2－β<π2，∴sin(α－β2)＝459，cos(α2－β)＝53，∴cos α＋β2＝cos[(α－β2)－(α2－β)]＝cos(α－β2)cos(α2－β)＋sin(α－β2)sin(α2－β)＝－19×53＋459×23＝7527，则cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝－239729.11.已知α，β为锐角，tan α＝34，cos(α＋β)＝－1010.(1)求cos 2α的值；(2)求tan β的值.解：(1)因为α为锐角，所以cos α≠0，因为tan α＝34，所以cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－9161＋916＝725.(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)，因为cos(α＋β)＝－1010，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝1－10100＝31010，所以tan(α＋β)＝－3，所以tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）tan α＝－3－341＋（－3）×34＝3.B 级能力提升练12.(多选)已知α，β，γ∈(0，π2)，sin β＋sin γ＝sin α，cos α＋cos γ＝cos β，则下列说法正确的是()A.cos (β－α)＝32 B.cos(β－α)＝12C.β－α＝π6D.β－α＝－π3解析：BD 由已知可得γ＝sin α－sin β，γ＝cos β－cos α，所以1＝sin 2γ＋cos 2γ＝(sin α－sin β)2＋(cos β－cos α)2＝2－2(cos βcos α＋sin βsin α)＝2－2cos(β－α)，所以cos(β－α)＝12，因为α，β，γ∈(0，π2)，则－π2＜β－α＜π2，因为sin γ＝sin α－sin β＞0，函数y ＝sin x 在(0，π2)上单调递增，则α＞β，则－π2＜β－α＜0，故β－α＝－π3.13.(2024·沧州部分学校联考)1796年，年仅19岁的高斯发现了正十七边形的尺规作图法，要用尺规作出正十七边形就要将圆十七等分，高斯墓碑上刻着如图所示的图案.设将圆十七等分后每等份圆弧所对的圆心角为α，则cos(π－α)cos 2α·cos 4αcos 8α＝.解析：cos(π－α)cos 2αcos 4αcos 8α＝－sin 2α2sin α·sin 4α2sin 2α·sin 8α2sin 4α·sin 16α2sin 8α＝－sin 16α16sin α，因为α＝2π17，所以cos(π－α)cos2αcos4αcos8α＝－sin32π1716sin2π17＝－sin（2π－2π17）16sin2π17＝sin2π1716sin2π17＝116.答案：1 1614.已知α，β均为锐角，且sinα＝35，tan(α－β)＝－1 3 .(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值.解：(1)∵α，β∈(0，π2)，∴－π2α－β＜π2.又tan(α－β)＝－13＜0，∴－π2＜α－β＜0，∴sin(α－β)＝－10 10 .(2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sinα＝35，∴cosα＝45.∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.。