高三数学一轮复习正弦定理和余弦定理
合集下载
2023年高考数学一轮复习讲义——正弦定理、余弦定理
§4.7 正弦定理、余弦定理
考试要求 1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．
知识梳理
1．正弦定理与余弦定理
定理
正弦定理
余弦定理
内容
a sin A ＝
b sin B ＝c
sin C
＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；
b 2＝
c 2＋a 2－2ca cos B ； c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C
变形
(1)a ＝2R sin A ， b ＝2R sin B ， c ＝2R sin C ；
(2)a sin B ＝b sin A ， b sin C ＝c sin B ， a sin C ＝c sin A
cos A ＝b 2＋c 2－a 2
2bc ；
cos B ＝c 2＋a 2－b 2
2ac ；
cos C ＝a 2＋b 2－c 2
2ab
2.三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1
2ah a (h a 表示边a 上的高)；
(2)S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝1
2bc sin A ；
(3)S ＝1
2r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．
常用结论
在△ABC 中，常有以下结论： (1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.
(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .
(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C
高中数学一轮复习 4.7 正弦定理和余弦定理
第七节 正弦定理和余弦定理
1．正弦定理 2．余弦定理 3．三角形的面积公式
第一课时 正弦定理和余弦定理(一) 考点一 利用正、余弦定理解三角形
考法(一) 正弦定理解三角形
[典例] (1)在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，A ＝30°，则cos B ＝________.
(2)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，sin B ＝12，C ＝π
6，则b ＝________.
考法(二) 余弦定理解三角形
[典例] (1)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos A ＋a cos B ＝c 2，a ＝b ＝2，则△ABC 的周长为( ) A ．7.5 B ．7 C ．6 D ．5
(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且
c －b 2c －a ＝sin A
sin B ＋sin C
，则角B ＝________. [题组训练]
1.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若b 2＝ac ，c ＝2a ，则cos C ＝( ) A.
24 B ．－24 C.34 D ．－3
4
2.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12 B.π6 C.π4 D.π
3
3.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin 2B ＋sin 2C ＝sin 2A ＋sin B sin C . (1)求角A 的大小；(2)若cos B ＝1
高考数学一轮复习 正弦定理和余弦定理课件
在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C 的对边，如果(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sin(A＋B)，判断三 角形的形状.
利用正弦定理或余弦定理进行边角互化，转
化为边边关系或角角关系.
【解】
法一：已知等式可化为
a2[sin(A－B)－sin(A＋B)] ＝b2[－sin(A＋B)－sin(A－B)]， ∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.
（2）由
可得
b=a
=4
依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要 有如下两种方法： 1.利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式
分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
2.利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数 间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系， 从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝ π这个结论. 【注意】 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要 约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.
A为锐角 图 形 关系 a<bsinA a＝bsinA bsinA<a<b 式 解的 个数
无解 一解 两解
A为钝角或 直角
a≥ b
a>b
a≤ b
一解
一解
无解
1.已知锐角△ABC的面积为
，BC＝4，CA＝3，则角C的
正弦定理和余弦定理
(1)已知三边，求各角； (2)已知两边和它们的夹角， 求第三 边和其他两个角
下一页
高三一轮总复习
知识点 2 在△ABC 中，已知 a，b 和∠A 时解的情况 ∠A 为锐角 ∠A 为钝角 或直角
图形 关系式 解的个数 a＝bsin A bsin A<a<b a≥b 一解 a>b 一解
一解 _____
【答案】 4 3
上一页 返回首页 下一页
高三一轮总复习
攻考向·三级提能
考向 1 利用正、余弦定理解三角形 1.(2015· 福建高考)若△ABC 中， AC＝ 3， A＝45° ， C＝75° ， 则 BC＝________.
【解析】 BC AC ∠B＝180° －75° －45° ＝60° ，由正弦定理，得sin A＝sin B，
BC 3 即 ＝ ，解得 BC＝ 2. sin 45° sin 60°
上一页
返回首页
下一页
高三一轮总复习
A＋B C ④cos ＝sin 2 . 2
(3)正弦定理的公式变形 a＋b＋c a b c sin A＝sin B＝sin C＝sin A＋sin B＋sin C. 2．必知联系 在三角形中大角对大边，大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，余 弦值则相反，即在△ABC 中，A>B⇔sin A>sin B⇔cos A<cos B.
高三数学一轮复习3.7正弦定理和余弦定理课件
第七节
正弦定理和余弦定理
【知识梳理】 1.正弦定理与余弦定理 定理 正弦定理
b c = siLeabharlann BaiduB = sinC =2R(R是
余弦定理 在△ABC中,有 2+c2-2bccosA b 2 a =_____________; c2+a2-2cacosB b2=_____________; a2+b2-2abcosC c2=_____________
A.3 3 B.2 3 C.2 2 D. 3 1
)
【解析】选B.由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B=4+4-2×2×2×(1 )=12， 2
所以b=2 3 .
2.在△ABC中，C=60°，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则
a b = bc ca
a 2 b2 c2 整理得b2＝c2，则此三角形为等腰三角形． 2b ， 2ab
5.(2014·金华模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若sin A= 3sin C，B=30°，b=2，则边c= .
【解析】依题意得，sin A＝ 3 sin C，即a＝ 3 c，根据余弦 定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，即4＝3c2＋c2－2 3c2× 3 ，
2.判断解的个数的两种方法 (1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正 弦函数的值域等判断. (2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的 个数.
正弦定理和余弦定理
【知识梳理】 1.正弦定理与余弦定理 定理 正弦定理
b c = siLeabharlann BaiduB = sinC =2R(R是
余弦定理 在△ABC中,有 2+c2-2bccosA b 2 a =_____________; c2+a2-2cacosB b2=_____________; a2+b2-2abcosC c2=_____________
A.3 3 B.2 3 C.2 2 D. 3 1
)
【解析】选B.由余弦定理可得 b2=a2+c2-2accos B=4+4-2×2×2×(1 )=12， 2
所以b=2 3 .
2.在△ABC中，C=60°，a,b,c分别为角A,B,C的对边，则
a b = bc ca
a 2 b2 c2 整理得b2＝c2，则此三角形为等腰三角形． 2b ， 2ab
5.(2014·金华模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a，b，c，若sin A= 3sin C，B=30°，b=2，则边c= .
【解析】依题意得，sin A＝ 3 sin C，即a＝ 3 c，根据余弦 定理可得b2＝a2＋c2－2accos B，即4＝3c2＋c2－2 3c2× 3 ，
2.判断解的个数的两种方法 (1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正 弦函数的值域等判断. (2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的 个数.
高考数学一轮复习：正弦、余弦定理与解三角形
为
.
答案 钝角三角形
解析 根据正弦定理可得 a2+b2<c2,由余弦定理得 cos
2
所以 cos
2 +2 -2
A= 2
a=R.
因为 b2+c2-a2=8>0,
所以 cos
C,所以 =2a.
sin
所以
8√3
bc= ,
3
所以
1
S△ABC= bcsin
2
=
√3
,
2
2√3
A= .
3
考点2
判断三角形的形状
【例2】(2020山东济宁5月模拟,17)在①sin A,sin B,sin C成等差数列;
由正弦定理,
-
=
sin
sin(+)
=
sin-sin sin-sin
sincos2+cossin2 sin(2cos2 -1)+2sincos2 4cos2 -1
=
=
=
=2cos
sin2-sin
2sincos-sin
2cos-1
0 < = 2 < π,
所以AC=2CD,又BD=2 √7 ,
所以BD2=BC2+CD2-2BC·
CDcos∠BCD,
即(2 √7 )2=(2CD)2+CD2-4CD·
.
答案 钝角三角形
解析 根据正弦定理可得 a2+b2<c2,由余弦定理得 cos
2
所以 cos
2 +2 -2
A= 2
a=R.
因为 b2+c2-a2=8>0,
所以 cos
C,所以 =2a.
sin
所以
8√3
bc= ,
3
所以
1
S△ABC= bcsin
2
=
√3
,
2
2√3
A= .
3
考点2
判断三角形的形状
【例2】(2020山东济宁5月模拟,17)在①sin A,sin B,sin C成等差数列;
由正弦定理,
-
=
sin
sin(+)
=
sin-sin sin-sin
sincos2+cossin2 sin(2cos2 -1)+2sincos2 4cos2 -1
=
=
=
=2cos
sin2-sin
2sincos-sin
2cos-1
0 < = 2 < π,
所以AC=2CD,又BD=2 √7 ,
所以BD2=BC2+CD2-2BC·
CDcos∠BCD,
即(2 √7 )2=(2CD)2+CD2-4CD·
正弦定理与余弦定理(高三一轮复习)
150°不符合题意，舍去．可得B＝30°.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 12 —
5．(易错题)在△ABC中，若ab＝ccooss AB，则△ABC的形状为( D )
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰或直角三角形
解析 因为ab＝ccooss BA，所以由正弦定理可得ssiinn AB＝ccooss AB，即sin Acos A＝sin Bcos
B，所以sin
2A＝sin
2B，可得2A＝2B或2A＋2B＝π，所以A＝B或A＋B＝
π 2
，所以△
ABC的形状为等腰或直角三角形，故选D.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
关键能力 互动探究
— 13 —
命题点1 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，(b＋a)(sin A－sin B)＝(c －b)·sin C.
数学 N 必备知识 自主学习 关键能力 互动探究
— 28 —
命题点3 与三角形面积有关的问题
例3 (2022·新高考Ⅱ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别
以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝
3 2
，sin
第五章 第七节正弦定理和余弦定理课件-2025届高三数学一轮复习
正弦
文字 在一个三角形中,各边和它所对角的______的
语言 比相等
余弦定理
三角形中任何一边的平方,等于其他两
平方的和
边__________减去这两边与它们夹角
两倍
的余弦的积的______
a2 = b2 + c 2 − 2bccos A
_______________________,
公式
a
sin A
A+B
cos
2
=
A+B
2
C
2
= cos ；
C
sin .
2
π
3
2.等差关系:若三角形三内角A,B,C成等差数列,则B = ,A + C =
c成等差数列,则 2b = a + c ⇔ 2sin B = sin A + sin C .
3.在△ ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,
A > B ⇔ a > b ⇔ sin A > sin B ⇔ cos A < cos B .
由 = 及正弦定理,可得 = ,∴ = 或 + = ,∴△ 是
等腰三角形或直角三角形,∴ 错误；由 + = 及正弦定理,可知
+ = ,∴ = ,∴ = ,∴ 正确；由已知和正弦
文字 在一个三角形中,各边和它所对角的______的
语言 比相等
余弦定理
三角形中任何一边的平方,等于其他两
平方的和
边__________减去这两边与它们夹角
两倍
的余弦的积的______
a2 = b2 + c 2 − 2bccos A
_______________________,
公式
a
sin A
A+B
cos
2
=
A+B
2
C
2
= cos ；
C
sin .
2
π
3
2.等差关系:若三角形三内角A,B,C成等差数列,则B = ,A + C =
c成等差数列,则 2b = a + c ⇔ 2sin B = sin A + sin C .
3.在△ ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,
A > B ⇔ a > b ⇔ sin A > sin B ⇔ cos A < cos B .
由 = 及正弦定理,可得 = ,∴ = 或 + = ,∴△ 是
等腰三角形或直角三角形,∴ 错误；由 + = 及正弦定理,可知
+ = ,∴ = ,∴ = ,∴ 正确；由已知和正弦
高三理科数学第一轮复习§4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
解析
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
解析
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章：平面向量与解三角形 §4.4：正弦定理和余弦定理
第四章第22讲解三角形(正弦定理与余弦定理)课件高三数学一轮复习
b2＋c2－a2
a
b
c
cos A＝____2_b_c____；
变形 ②sin A＝___2_R__，sin B＝__2_R___，sin C＝__2_R___(其
a2＋c2－b2
形式 中R是△ABC外接圆的半径)； ③a∶b∶c＝__s_i_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_i_n_C___；
π ＝0，则 A＝__3____；若 a＝2，△ABC 的面积为 3，则 b＋c＝_4____．
【解析】由 a cos C＋ 3a sin C－b－c＝0 及正弦定理得 sin A cos C＋ 3sin A sin C－ sin B－sin C＝0.因为 sin B＝sin (π－A－C)＝sin (A＋C)＝sin A cos C＋cos A sin C，所 以 3sin A sin C－cos A sin C－sin C＝0.由于 sin C≠0，所以 3sin A－cos A－1＝0，所
A．若 a2＋b2－c2＞0，则△ABC 一定是锐角三角形 B．若coas A＝cobs B＝cocs C，则△ABC 一定是等边三角形 C．若 a cos A＝b cos B，则△ABC 一定是等腰三角形 D．若 a cos B＋b cos A＝a，则△ABC 一定是等腰三角形
【解析】对于 A，若 a2＋b2－c2＞0，则 cos C＝a2＋2ba2b－c2＞0，则 C 为锐角，但是 A，
【2022届高考数学一轮复习】《正弦定理余弦定理》-精品PPT课件
∵a>b，∴A＝60°或 A＝120°.
当 A＝60°时，
C＝180°－45°－60°＝75°，
c＝bssiinnBC＝
6＋ 2
2；
当 A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，
c＝bssiinnBC＝
6－ 2
2 .
∴A＝60°，C＝75°，c＝
6＋ 2
2，
或 A＝120°，C＝15°，c＝
-
1
-
第6讲 正弦定理、余弦定理
掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些三角形度量问题．
基础自查
正弦定理、余弦定理及相关知识
定 理
正弦定理
余弦定理
内 容
a sin
＝b A sin
＝c B sin
C＝2R
a2＝ b2＋c2－2bc·cos_A ， b2＝ c2＋a2－2ca·cos_B ，
c2＝ a2＋b2－2ab·cos_C ．
3．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得
sin2A＝sin2B＋sin2C－2sin B·sin C·cos A，可以进行化简或证明．
4．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：
(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.
1 -
单击此处进入 规范解答系列
高考数学一轮复习 正弦定理、余弦定理及其应用
所以a2＋2ca2c－b2＝sin3B，即
cosB＝sinB， 3
所以csoinsBB＝ 3，即 tanB＝ 3，所以 B＝π3，
则ac＝ssiinnCA＝sins2i3nπA－A＝ 23cosA－sinA－12sinA＝ 23·ta1nA＋12，
因为 C 为钝角，B＝π3，所以 0<A<π6，
cossAincBosB，化简得 2(sinAcosB＋sinBcosA)＝sinA＋sinB，即
以 AC 边上的高为3 2 3.
点 拨： 解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根 据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，
从而达到解决问题的目的．由正弦定理求角，注意利用条 件判断角的范围，即确定是一解还是两解．
(1)(2016·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B， C 的对边分别为 a，b，c，若 cosA＝45，cosC＝153，a＝1， 则 b＝________.
，
则
C＝
()
π
π
A.2
B.3
π
π
C.4
D.6
解：由题可知 S△ABC＝12absinC＝a2＋b42－c2，所以 a2＋b2－c2 ＝2absinC，由余弦定理 a2＋b2－c2＝2abcosC，所以 sinC＝cosC，
因为 C∈(0，π)，所以 C＝π4.故选 C.
高考数学第一轮基础复习 正弦定理和余弦定理课件
二、解题技巧 在△ABC 中，给定 A、B 的正弦或余弦值，则 C 的 正弦或余弦有解(即存在)的充要条件是 cosA＋cosB>0.简 证如下：C 有解⇔A＋B 有解⇔0<A＋B<π⇔0<A<π－B<π ⇔ cosA>cos(π － B) ⇔ cosA> － cosB ⇔ cosA ＋ cosB>0. 因 此 判断 C 是否有解，只须考虑 cosA＋cosB 的符号即可．了 解这一结论，对做选择题或填空题来说，将十分方便．
3 2.
答案：60°；
3 2
点评：解三角形时，找三边一角之间的关系，常用余 弦定理，两边两角之间的关系常用正弦定理．
(文)(2011·南昌调研)在△ABC 中，角 A、B、C 的对
边分别为 a、b、c，若 a2＋c2－b2＝ 3ac，则角 B 的值为
()
π
π
A.6
B.3
C.π6或56π
D.π3或23π
tanA＋2 B＝cotC2.
(5)△ABC 的面积公式有： ①S＝12a·h(h 表示 a 边上的高)； ②S＝12absinC＝12acsinB＝12bcsinA＝a4bRc； ③S＝12r(a＋b＋c)(r 为内切圆半径)． ④S＝ PP－aP－bP－c，其中 P＝12(a＋b＋c)． (6)在△ABC 中，A>B⇔a>b⇔sinA>sinB.
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
•a2[sin(A＋B)－sin(A－B)]
•＝b2[sin(A＋B)＋sin(A－B)]
•∴2a2cosAsinB＝2b2cosBsinA.
•由正弦定理可得：
•sin2AcosAsinB＝sin2BcosBsinA.
•即sinAsinB·(sinAcosA－sinBcosB)＝0.
•∵A、B∈(0，π)，
解析：根据正弦定理sianA＝sibnB得：sin2A＝sin630°⇒sinA
＝ 22，又a<b，∴A<B，A＝45°.
•答案：C
整理课件
8
2．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.若a、
b、c成等比数列，且c＝2a，则cosB等于( )
1
3
A.4
B.4
2 C. 4
2 D. 3
整理课件
定理
正弦定理
余弦定理
sianA＝sibnB＝sincC＝2R
a2＝ b2＋c2－2bccosA
.
内容
b2＝ a2＋c2－2accosB
.
c2＝ a2＋b2－2abcosC
.
整理课件
4
定理
正弦定理
余弦定理
①a＝ 2RsinA，b＝2RsinB ，
变形形式
c＝2RsinC .a
b
②sinA＝c 2R ，sinB＝2R ，
•∴sinA>0，sinB>0，
•∴sinAcosA＝sinBcosB.
整理课件
20
即 sin2A＝sin2B. 又 2A、2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B 或 2A＋2B＝π. 即 A＝B 或 A＋B＝π2. 因此△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
所以
siwk.baidu.com(2A－π4)＝sin2Acosπ4－cos2Asinπ4＝
2 10 .
•【方法探究】 (1)正弦、余弦定理是处理三 角形有关问题的有力工具，有时还要结合三角 形的其他性质来处理，如大角对大边，三角形 内角和定理等．
•(2)正弦定理中的比值2R在解题中常用．
整理课件
15
1．在△ABC 中，a、b、c 分别是∠A、∠B、∠C 的对 边长，已知 a、b、c 成等比数列，且 a2－c2＝ac－bc.
解析：由 S＝12bcsinA 可得 sinA＝ 23， ∴A＝60°或 120°.
•答案：D
整理课件
11
•4．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数 列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的 长为________．
解析：如图所示，B＝60°，AB＝1，BD＝2. 由余弦定理知 AD＝ AB2＋BD2－2AB·BD·cos60° ＝ 12＋22－2×1×2cos60°＝ 3.
9
解析：∵a，b，c 成等比数列，∴b2＝ac， ∴cosB＝a2＋2ca2c－b2＝a2＋2ca2c－ac ＝a2＋44aa22－2a2＝34.
• 答案：B
整理课件
10
3．已知△ABC 中，b＝2，c＝ 3，三角形面积 S＝32，
则角 A 等于( )
A．30°
B．60°
C．30°或 150°
D．60°或 120°
(1)求∠A 的大小； (2)求bsicnB的值．
整理课件
16
解析：(1)因为 a、b、c 成等比数列，所以 b2＝ac，
又因为 a2－c2＝ac－bc，
所以 b2＋c2－a2＝bc.
在△ABC 中，由余弦定理得 cosA＝b2＋2cb2c－a2＝12，
所以∠A＝60°. (2)法一：在△ABC 中，
答案： 3
整理课件
12
(2009·天津高考)在△ABC 中，BC＝ 5，AC＝3，sinC ＝2sinA.
(1)求 AB 的值； (2)求 sin(2A－π4)的值．
整理课件
13
•【思路导引】 (1)由正弦定理可求AB；(2)由 余弦定理求cosA，进而求结论．
【解析】 (1)在△ABC 中，根据正弦定理，
①已知两角和任一边，求另 ①已知三边，求各角；
一角和其他两条边．
②已知两边和它们的夹
②已知两边和其中一边的对 角，求第三边和其他两
角，求另一边和其整他理课两件角. 个角.
5
•在△ABC中，sinA>sinB与A>B间有何关系？
提示：在△ABC 中，sinA>sinB 是 A>B 的充要条件．因 为 sinA>sinB⇔2aR>2bR⇔a>b⇔A>B.
由正弦定理得 sinB＝bsianA，
因为 b2＝ac 且∠A＝60°，
所以bsicnB＝b2sianc60°＝s整in理6课0件°＝
3 2.
17
法二：在△ABC 中，由面积公式得
12bcsinA＝12acsinB， 因为 b2＝ac，∠A＝60°，
所以bsicnB＝sinA＝
3 2.
整理课件
18
sinC＝2R (其中R是△ABC
外接圆半径) ③a∶b∶c＝
cosA＝ cosB＝
b2＋c2－a2 2bc
a2＋c2－b2 2ac
； ；
sinA∶sinB∶sinC ④asinB ＝bsinA，bsinC＝csinB，
a2＋b2－c2 cosC＝ 2ab
；
asinC＝csinA
解决解斜
三角形的 问题
整理课件
6
•2．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况
A为锐角
A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA<a<b a≥b
解的 个数
一解
两解
一解
整理课件
a>b a≤b
一解
无解
7
1．已知△ABC中，a＝ 2 ，b＝ 3 ，B＝60°，那么角A
等于( )
A．135°
B．90°
C．45°
D．30°
•第六节 正弦定理和余弦定理
整理课件
1
•点 击 考 纲
•掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简 单的三角形度量问题.
整理课件
2
•关 注 热 点
•1.利用正、余弦定理求三角形中的边、角及其 面积是高考考查的热点．
•2.常与三角恒等变换相结合，综合考查边角互 化，三角形形状的判断等.
整理课件
3
•1．正弦定理和余弦定理
sAinBC＝sBinCA.
于是 AB＝ssiinnCABC＝2BC＝2 5.
(2)在△ABC 中，根据余弦定理，得
cosA＝AB2＋2AABC·A2－C BC2＝2
5
5 .
于是 sinA＝ 1－cos2A＝整理5课5件.
14
从而 sin2A＝2sinAcosA＝45， cos2A＝cos2A－sin2A＝35.
• 在△ABC中，已知(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2 －b2)sin(A＋B)，试判断该三角形的形状．
•【思路导引】 利用正弦定理或余弦定理进 行边角互化，转化为关于边或角的关系，然后 再解决问题．在转化中，常向角的方向转化， 因为有众多的三角公式可以使用．
整理课件
19
•【解析】 法一：条件可化为：