决策管理-贝叶斯统计与决策讲座 精品
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贝叶斯估计课件
如今在概率、数理统计学中以贝叶斯姓氏命名的有贝叶 斯公式、贝叶斯风险、贝叶斯决策函数、贝叶斯决策规则、贝 叶斯估计量、贝叶斯方法、贝叶斯统计等等.
贝叶斯方法(Bayesian approach )
• 贝叶斯方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系 统地阐述和解决统计问题的方法(Samuel Kotz和 吴喜之,2000)。
m(x) (x 1)(n x 1)
这个分布不是别的，就是参数为 x 1的 n x 1 的 贝 塔 分 布 ， 这 个 分 布 记 为 beta(x 1, n x 1) 。
信息验前分布
例 Laplace在1786年研究了巴黎的男婴出生的比 率,他希望检验男婴出生的概率 是否大于0.5.为 此,他收集到1745~1770年在巴黎出生的婴儿数据. 其中,男婴251527个,女婴241945个,他选用U(0,1)
信息处理
样本信息
先验信息
贝叶斯定理
后验信息
统计推断
从概率论的Bayes公式谈起
设自然状态有k种， 1，2，…， k， P（i）表示自然状态i发生的先验概率分布， P（x︱i）表示在状态i条件，事件为x的概 率。 P（i ︱x ）为i发生的后验概率。
全概率公式：P（x）为x在各种状态下可能出现
的概率综合值。
总体信息 样本信息
而贝叶斯学派认为是三种信息:
总体信息 样本信息 先验信息
贝叶斯方法(Bayesian approach )
• 贝叶斯方法是基于贝叶斯定理而发展起来用于系 统地阐述和解决统计问题的方法(Samuel Kotz和 吴喜之,2000)。
m(x) (x 1)(n x 1)
这个分布不是别的，就是参数为 x 1的 n x 1 的 贝 塔 分 布 ， 这 个 分 布 记 为 beta(x 1, n x 1) 。
信息验前分布
例 Laplace在1786年研究了巴黎的男婴出生的比 率,他希望检验男婴出生的概率 是否大于0.5.为 此,他收集到1745~1770年在巴黎出生的婴儿数据. 其中,男婴251527个,女婴241945个,他选用U(0,1)
信息处理
样本信息
先验信息
贝叶斯定理
后验信息
统计推断
从概率论的Bayes公式谈起
设自然状态有k种， 1，2，…， k， P（i）表示自然状态i发生的先验概率分布， P（x︱i）表示在状态i条件，事件为x的概 率。 P（i ︱x ）为i发生的后验概率。
全概率公式：P（x）为x在各种状态下可能出现
的概率综合值。
总体信息 样本信息
而贝叶斯学派认为是三种信息:
总体信息 样本信息 先验信息
Bayes(贝叶斯)估计
后验风险：
• Bayesian风险与后验风险
(L(,)p(x|) ()d)dx
• 后验分析最小＝>Bayesian风险最小
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两种常用损Βιβλιοθήκη Baidu函数：
• 平方损失：
L(,)()2
– 最小Bayesian风险估计：后验期望
• 点损失：
L(a,
)
0,|
a
|
1,|
a
|
– 最大后验密度估计
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例子： 正态分布
• X1…Xn服从正态分布N(，2) ， 2已知， • 的先验分布是N(，2 )
• 求的Bayes估计.
• 求得后验分布还是正态分布
• 求得
E(|X)X( 22n n) (22)
• 例：某圆形产品内径X（单位：mm）服从正态分布N( ， 0.4), 有先验分布N(2，0.22),现在测量X=1.8,n=5
贝叶斯估计
Bayes Estimation
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例子：
• 某人打靶，打了5枪，枪枪中靶， • 问：此人枪法如何？ • 某人打靶，打了500枪，枪枪中靶， • 问：此人枪法如何？
• 经典方法：极大似然估计：100% • 但是: ……
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几个学派（1）
• 经典学派：频率学派，抽样学派
第四章-贝叶斯决策分析课件
对这些自然状态的先验概率的估计或指定，是 根据某些客观的情报或证据得出的，故称其为客观 先验分布。
4.1.2 主观的先验分布
把决策者这种知识、经验以及建立在这些基 础上的判断，定量地概括在状态参数的概率分布 中，这样得到的概率称为主观概率。
由于主观概率不像客观概率那样受到许多限 制，使用起来灵活方便，故应用十分广泛。对于 确定先验概率分布是有帮助的。它的缺点是直接 依赖于决策者的知识和经验，缺乏客观性。同一 事件不同的决策者估计出来的概率一般说来是不 一样的，甚至差别可能很大。尽管如此，在没有 适当的客观概率可以应用的情况下，主观概率仍 不失为人们经常采用的一种估计方法。
1）公式计算法。它是指按逆概基本公式来计算后 验概率的方法。
2）概率树计算法。这种方法是在形如树状的图形 上标示各种概率，并按照一定的顺序进行计算。按这 种方法要求画两个概率树，一个是实际概率树，另一 个是信息概率树。
4.2.3 后验分析
决策者为了对决策问题的自然状态有更多的了解 而进行统计调查，我们称通过调查而获得的信息为补 充信息，利用贝叶斯定理将补充倍息和先验分布结合 起来，便产生了一种综合信息，即为后验分布。
4.3.1 预先后验分析
解：令 表示所取出的这个盒子中红球所占的比例。
显然， 只能取两个值：若这个盒子是甲类
的，10.8若这个盒子是乙类的，20.2。
用 a 1 、 a 2 分别表示猜这个盒子是甲类的和猜测它是
4.1.2 主观的先验分布
把决策者这种知识、经验以及建立在这些基 础上的判断，定量地概括在状态参数的概率分布 中，这样得到的概率称为主观概率。
由于主观概率不像客观概率那样受到许多限 制，使用起来灵活方便，故应用十分广泛。对于 确定先验概率分布是有帮助的。它的缺点是直接 依赖于决策者的知识和经验，缺乏客观性。同一 事件不同的决策者估计出来的概率一般说来是不 一样的，甚至差别可能很大。尽管如此，在没有 适当的客观概率可以应用的情况下，主观概率仍 不失为人们经常采用的一种估计方法。
1）公式计算法。它是指按逆概基本公式来计算后 验概率的方法。
2）概率树计算法。这种方法是在形如树状的图形 上标示各种概率，并按照一定的顺序进行计算。按这 种方法要求画两个概率树，一个是实际概率树，另一 个是信息概率树。
4.2.3 后验分析
决策者为了对决策问题的自然状态有更多的了解 而进行统计调查，我们称通过调查而获得的信息为补 充信息，利用贝叶斯定理将补充倍息和先验分布结合 起来，便产生了一种综合信息，即为后验分布。
4.3.1 预先后验分析
解：令 表示所取出的这个盒子中红球所占的比例。
显然， 只能取两个值：若这个盒子是甲类
的，10.8若这个盒子是乙类的，20.2。
用 a 1 、 a 2 分别表示猜这个盒子是甲类的和猜测它是
统计决策方法概论(共 56张PPT)
2019/2/3
12
• 如果有：
软件工程专业
• 则为好瓜，反之亦然 • 分母相同，实际只需要比较分子
• 这种根据后验概率进行决策的方法称为最小错误 率贝叶斯决策
2019/2/3
13
判别函数的几种等价形式
( 1 ) g ( x) P( ( ( 后验概率 ) 1 x) P 2 x),
沉闷
沉闷 沉闷 沉闷 清脆 清脆 清脆 浊响 浊响
是
否 否 否 是 是 否 是 否
2019/2/3
10
贝叶斯公式
软件工程专业
• 先验
• 似然
• 后验
当敲击声音为清脆时, 该西瓜是好瓜的概率
2019/2/3
11
挑选西瓜
只根据先验知识挑选西瓜 软件工程专业 • 这种决策信息没有意义 • 如何根据敲声挑选出好的西瓜？ • 根据贝叶斯公式
不满足最小错误率要求
2019/2/3
问题
• 类条件概率和后验概率区别？
– 后验概率: P(ω1|x)和P(ω２|x)
• 同一条件x下，比较ω1与ω2出现的概率 • 两类ω1和ω2，则有P(ω1|x)+P(ω2|x)=1 • 如P(ω1|x)> P(ω2|x)则可以下结论，在x条件下， 事件ω1出现的可能性大 软件工程专业
R 1
P ( e ) P ( | x ) p ( x ) dx P ( | x ) p ( x ) dx 2 1
第2章_贝叶斯决策
❖ 在先验概率和损失未知的情况下如何决策？
Neyman-Pearson准则
❖ 问题：先验概率和损失未知
通常情况下，无法确定损失。 先验概率未知，是一个确定的值 某一种错误较另一种错误更为重要。
❖ 基本思想：
要求一类错误率控制在很小，在满足此条件的前 提下再使另一类错误率尽可能小。
用lagrange乘子法求条件极值
❖ 决策准则 ？
Neyman-Pearson准则
❖ 最小错误率准则的等价形式
❖ Neyman-Pearson准则
两者都以似然比为基础，在未知先验概率时使用 Neyman-Pearson准则。
Bayes决策准则
❖ 最小错误率准则 ❖ 最小风险准则 ❖ Neyman-Pearson准则
❖ 最小最大决策准则
这时需要采用统计方法，对模式样本的统计特 性进行观测，分析属于哪一类的概率最大。此 时要按照某种判据分类，如，分类错误发生的 概率最小，或在最小风险下进行分类决策等。
贝叶斯决策理论
❖ 引言
❖ 贝叶斯决策常用的准则 ❖ 分类器，判别函数，决策面 ❖ 正态分布的判别函数
引言
❖ 机器自动识别分类，能不能避免错分类，做到百分 之百正确？怎样才能减少错误？
❖ 引言
❖ 贝叶斯决策常用的准则
❖ 分类器，判别函数，决策面 ❖ 正态分布的判别函数
Bayes决策准则
Neyman-Pearson准则
❖ 问题：先验概率和损失未知
通常情况下，无法确定损失。 先验概率未知，是一个确定的值 某一种错误较另一种错误更为重要。
❖ 基本思想：
要求一类错误率控制在很小，在满足此条件的前 提下再使另一类错误率尽可能小。
用lagrange乘子法求条件极值
❖ 决策准则 ？
Neyman-Pearson准则
❖ 最小错误率准则的等价形式
❖ Neyman-Pearson准则
两者都以似然比为基础，在未知先验概率时使用 Neyman-Pearson准则。
Bayes决策准则
❖ 最小错误率准则 ❖ 最小风险准则 ❖ Neyman-Pearson准则
❖ 最小最大决策准则
这时需要采用统计方法，对模式样本的统计特 性进行观测，分析属于哪一类的概率最大。此 时要按照某种判据分类，如，分类错误发生的 概率最小，或在最小风险下进行分类决策等。
贝叶斯决策理论
❖ 引言
❖ 贝叶斯决策常用的准则 ❖ 分类器，判别函数，决策面 ❖ 正态分布的判别函数
引言
❖ 机器自动识别分类，能不能避免错分类，做到百分 之百正确？怎样才能减少错误？
❖ 引言
❖ 贝叶斯决策常用的准则
❖ 分类器，判别函数，决策面 ❖ 正态分布的判别函数
Bayes决策准则
第二章 贝叶斯决策理论—第三次课
p(x | i )
ln
P(i ) , i P( j )
1, 2,L
, m, i
j
则x∈ωj。其中, L(x)称为似然比，lnL(x)称为对数似然比。
第2章 贝叶斯决策理论
2.3 最小风险贝叶斯判决准则
一、基本概念
(1) 决策αj: 将样本x的类别判为第j类。 (2) 损失函数λ(αj, ωi): 对真实类别为第i类的样 本采取决策αj所带来的损失。 (3) 条件风险。
m
R
jiP( j ,i )
j,i
jiP( j | i )P(i )
j,i
j 1
Rj R( j | x) p(x)dx
其中, p(x)为样本矢量在Rd空间中的概率密度函数。
可见, 期望风险反映对整个特征空间上所有x采取 相应决策所带来的平均风险。
第2章 贝叶斯决策理论
第2章 贝叶斯决策理论
R1
{x | L(x)
p(x | 1) p(x | 2 )
}
E2 R1 p(x | 2 )dx 0
E2是μ的单调减函数。 给定一个μ值, 可求出一个E2值, 在计 算的值足够多的情况下, 可构成一个二维表备查。 给定一个 ε0后, 可查表得到相应的μ值, 这种方法得到的是计算解, 其精 度取决于二维表的制作精度。
第二章 贝叶斯决策理论与统计判别方法汇总
第二章贝叶斯决策理论与统计判别方法
课前思考
1、机器自动识别分类，能不能避免错分类，如汉字识别能不能做到百分之百正确？怎样才能减少错误？
2、错分类往往难以避免，因此就要考虑减小因错分类造成的危害损失，譬如对病理切片进行分析，有可能将正确切片误判为癌症切片，反过来也可能将癌症病人误判为正常人，这两种错误造成的损失一样吗？看来后一种错误更可怕，那么有没有可能对后一种错误严格控制？
3、概率论中讲的先验概率，后验概率与概率密度函数等概念还记得吗？什么是贝叶斯公式？
4、什么叫正态分布？什么叫期望值？什么叫方差？为什么说正态分布是最重要的分布之一？
学习目标
这一章是模式识别的重要理论基础，它用概率论的概念分析造成错分类和识别错误的根源，并说明与哪些量有关系。在这个基础上指出了什么条件下能使错误率最小。有时不同的错误分类造成的损失会不相同，因此如果错分类不可避免，那么有没有可能对危害大的错分类实行控制。对于这两方面的概念要求理解透彻。
这一章会将分类与计算某种函数联系起来，并在此基础上定义了一些术语，如判别函数、决策面(分界面)，决策域等，要正确掌握其含义。
这一章会涉及设计一个分类器的最基本方法——设计准则函数，并使所设计的分类器达到准则函数的极值，即最优解，要理解这一最基本的做法。这一章会开始涉及一些具体的计算，公式推导、证明等，应通过学习提高这方面的理解能力，并通过习题、思考题提高自己这方面的能力。
本章要点
1、机器自动识别出现错分类的条件，错分类的可能性如何计算，如何实现使错分类出现可能性最小——基于最小错误率的Bayes决策理论
贝叶斯估计 PPT
证明从略定理36设的先验分布为和损失函数为dxhx估计为确定期间先设dm由绝对损失函数的定义可得mdmddmddmlmlddmrmxrdx同理可证当dm时rmxrdx因而dxmhx定理37设的先验分布为和损失函数为dxhxrdxeldxldxhxxkkdhxxkexdrdxkkxxkddhxxhxxkkkkdxhx例5p94例311设总体x服从两点分布b1p其中参数p未知而p在01上服从均匀分布样本12dxepxxphpxphpxmxqxpppababdxphpxrperdelpdpppexnpexnp又因为exnpexnprpnpnn例6p96例312设总体x服从正态分布n1其中参数未知而服从标准正态布在n01样本12dxexxhxqxqxmxqxexpexpnxhxdxrx例7p97例313设总体x服从均匀分布u0其中参数未知而服从pareto分布其分布函数与密度函数分别为qxqxmxqx根据定理36可知绝对值损失对应的贝叶斯估计为后验分布的中位数即根据定理34可知平方损失对应的贝叶斯估计为后验分布的均值即dxxx例8p97例314设总体x服从伽玛分布rxx试求参数的贝叶斯估计
义
R (d ) E (R (,d )) R (,d )π ()d
为决策函数d在给定先验分布 ( )下的贝叶斯风险，简 称为d的贝叶斯风险.
2、贝叶斯风险的计算 当X与 都是连续性随机变量时，贝叶斯风险为
R (d ) E (R (,d )) R (,d )π ()d
义
R (d ) E (R (,d )) R (,d )π ()d
为决策函数d在给定先验分布 ( )下的贝叶斯风险，简 称为d的贝叶斯风险.
2、贝叶斯风险的计算 当X与 都是连续性随机变量时，贝叶斯风险为
R (d ) E (R (,d )) R (,d )π ()d
2.贝叶斯决策理论(3学时)
基于最小错误率的贝 叶斯决策
【基于最小错误率的贝叶斯决策】
概念：在模式分类问题中，人们往往希望尽量减少分类错误，使错
误率最小的分类规则，称为基于最小错误率的贝叶斯决策。
最小错误率的贝叶斯准则：
（1）P(i
|
x)
max j 1,2
P( j
|
x)
x i
（2）p(x
|
i
)P(i
)
max j 1,2
【贝叶斯决策基础知识】
贝叶斯决策理论
• 先验概率：
Pi
• 后验概率：
P i x
• 类条件概率： • 贝叶斯公式：
P x i
P i
x
Px
i P i
Px
概率论基础知识 贝叶斯决策基础知识 基于最小错误率的贝叶斯决策 基于最小风险的贝叶斯决策 贝叶斯分类器设计 正态分布时的统计决策 小结
x
Px
i P i
Px
【贝叶斯分类器设计】
2. 决策面方程
g(x) 0
例如
g(x) p(x | 1)P(1) p(x | 2 )P(2 )
p(x | 1)P(1) p(x | 2 )P(2 ) 0
【贝叶斯分类器设计】
3. 分类器设计
x1
+1 w1
贝叶斯讲义贝叶斯决策
解:两个假设:
(2)求后验分布:
问题:接受H0还是H1?
P(
(1)把假设检验问题转化为贝叶
i
|
x)
p0 (x) 0
p0 (x) 0 p1(x)1 p1 ( x) 1
,i ,i
0 1
斯决策问题:
p0 (x) 0 p1(x)1
①参数空间Θ={0,1}
②行动空间A={0,1}
③先验分布:P(θ=0)=π0, P(θ=1)=π1
L( , m) L( , )
m , m,
m
m
因此 E|x[L( , m) L( , )]
(m )P( m | x)
m ,
m
2 (m ), m
m,
m
( m)P( m | x) (m ) / 2 ( m) / 2 0
(3)同理可证δ<m的情形。
5
第二节 后验风险决策
1.后验风险函数
我们把损失函数
对后验分布
的
期望称为后验风险,记
,即
后验风险就是用后验分布计算的平均损失.
11
6
2.决策函数
定义5.1 在给定的贝叶斯决策问题中,从样本空间
到行动集A上的一个映照
称为该决策问题的一个决策函数,
表示所
有从样本空间χ到A上的决策函数组成的类,称为决策
贝叶斯决策
超曲面。相邻的两个类别在决策面上的判别函数
值是相等的。如果ωi和ωj是相邻的，则分割它们 的决策面就应为
– di(x)=dj(x) 或 di(x)-dj(x)=0 – 对于两类问题，决策面方程：
– P(x|ω1)P(ω1)-P(x|ω2)P(ω2)=0
§2.2 基于贝叶斯公式的几种判别规则
一、基于最小风险的贝叶斯决策
2、决策规则：
3、决策面方程：g(x)=0
x为一维时，决策面为一点，x为二维时决策面为曲线，x为三维 时，决策面为曲面，x大于三维时决策面为超曲面。 ❖ 例：某地区细胞识别； P(ω1)=0.9， P(ω2)=0.1 未知细胞x，先从类 条件概率密度分布曲线上查到： P(x/ ω 1)=0.2， P(x/ ω 2)=0.4 ❖ 解：该细胞属于正常细胞还是异常细胞，先计算后验概率：
通过 对细胞的再观察，就可以 把先验概率转化为后验概率，利用 后验概率可对未知细胞x进行识别。
➢ 设N个样本分为两类ω1，ω2。每个样本抽出n个特征 ，
➢ x =（x1， x2， x3，…， xn）T
1、判别函数： 若已知先验概率P(ω1),P(ω2)，类条件概率密度P(x/ ω 1)， P(x/ ω 2)。 则可得贝叶斯判别函数四种形式 ：
4、分类器设计：
g(x)
阈值单元
➢ 二、多类情况：ωί=(ω1,ω2,…,ωm)，x=(x1,x2,…,xn) 1.判别函数：M类有M个判别函数g1(x), g2(x),…, gm(x).每个 判别函数有上面的四种形式。 2.决策规则： ➢另一种形式：
统计决策ppt课件
精品课件
8
第九章 统计决策
第二节 不确定型决策
• 例9.2.1 某公司拟对是否研究开发—种新产品进行决策。根据新产品价格可
能发生的波动情况把自然状态划分为四类：P1：低于现价，P2：与现价相同， P3：高于现价，P4：价格大涨。该公司可能采取的行动方案有三种：A1：以 抓新产品研究开发为主，并维持现有产品生产，A2：一方面抓新产品研究开发， 另一方面扩大现有产品产量和提高质量，保证占有市场一定份额，A3：不搞新
第九章 统计决策
容主 要 内
第一节 统计决策概述 第二节 不确定型决策 第三节 风险型决策 第四节 贝叶斯决策 第五节 效用决策
精品课件
1
第九章 统计决策
第一节 统计决策概述
• 一、统计决策的涵义
•
统计学家瓦尔德(A.Wald)把关于假设检验和参数估计的经典
统计理论加以概括，将不确定意义下的决策科学也包括在统计学
范围之内，于1939年创立了统计决策理论，该理论弥补了过去统
计理论的缺陷。
• 统计决策的显著特点是：
➢ 统计决策建立在统计分折和统计预测的基础上，是一种定量决策 。
➢ 统计决策是在不确定情况下，应用概率来进行决策的计算和分析， 是一种概率决策。
精品课件
2
第九章 统计决策
二、统计决策的基本要素
•完整的统计决策问题，通常包含三个基本要素：决策目 标、自然状态、备选方案。
《贝叶斯决策理论》PPT课件
现在经过化验要求x阳即经过化验后为阳性反应的人中患癌症的概率称为后验概率计算0323精选课件ppt16最小错误率的证明以一维情况为例证明贝叶斯决策确实对应最小错误率统计意义上的错误率即平均错误率用pe表示精选课件ppt17最小错误率的证明精选课件ppt18错误率图示以t为界确实使错误率最小因为pex始终取最小与图像分割中最优阈值对应的错误分割结果类似最优阈值同样是基于最小错误概率图像分割蕴含了与模式识别类似的思想即判定给定像素属于目标还是背景精选课件ppt19多类问题的贝叶斯决策精选课件ppt20222基于最小风险的贝叶斯决策风险与损失紧密相连如病情诊断商品销售等问题最小风险贝叶斯决策考虑各种错误造成损失不同而提出的一种决策规则宁可错杀一千也不放走一个精选课件ppt21以决策论的观点每个决策都将带来一定的损失可表示为决策和自然状态的函数精选课件ppt22一般决策表精选课件ppt23相关的数学表示精选课件ppt24条件期望损失引入损失的概念制定决策不能仅考虑最小错误率而是要考虑采取的决策相应的损失是否最小损失的数学表示跟决策相关条件期望损失条件风险对于特定的x采取决的期望损失精选课件ppt25期望风险精选课件ppt26最小风险贝叶斯决策精选课件ppt27最小风险贝叶斯决策步骤精选课件ppt28对两类问题精选课件ppt29对两类问题精选课件ppt30最小风险贝叶斯决策示例精选课件ppt31最小风险贝叶斯决策示例精选课件ppt32上一节的例子损失的评估是个关键问题宁可虚惊一百不可漏诊一人精选课件ppt33最小风险贝叶斯决策的讨论除了知道最小错误贝叶斯决策也需要的先验概率和类条件概率外损失函数的确定往往也是一个难题最小风险决策可看作加权形式的最小错误决策加权值即损失函数取特定形式时二者可能等价如损失函数取01形式精选课件ppt34定义损失函数精选课件ppt35223限定一类错误率使另一类错误率最小精选课件ppt36条件极值问题利用拉格朗日乘子法将条件极值转化为无条件极值精选课件ppt37条件极值问题精选课件ppt38精选课件ppt39似然比决策规则比较最小风险bayes决策的表示形式精选课件ppt40似然的含义表明在其他条件都相等的情况下使得较大的更有可能是真实的类别精选课件ppt41224最小最大决策精选课件ppt42以两类情况下的最小风险bayes决策为例进行讨论损失状态总风险公式总风险公式精选课件ppt43xx假定
贝叶斯决策理论(英文)--非常经典!
Unsupervised learning
• the labels of training data are unknown • given a set of observations, to discover the inherent properties, such as the existence of classes or clusters, in the data • usually: clustering, density estimation
• stratified cross-validation: the class distribution of the subsets is approximately the same as that in the initial data set • leave-one-out: k equals to the number of instances in the initial data set
class Ci (i = 1, …, m) attribute Ak (k = 1, …, n) feature vector X = (x1, x2, …, xn), where xk is the value of X on Ak
naive Bayesian classifier returns the maximum posteriori hypothesis Ci P(Ci|X) > P(Cj|X) for 1 ≤ j ≤ m, j ≠ i
第二章 贝叶斯决策理论
该公式称为Bayes公式。
功能在于将先验概率转化为后验概率
2.2最小错误率贝叶斯决策
希望在决策中尽量减少分类错误的概率，因此根 据Bayes公式建立的使错误率最小的分类规则， 称之为基于最小错误率的贝叶斯决策。
（1）癌细胞识别实例分析－实例
有要进行识别的细胞，已经经过了预处理，抽取 了d个表示细胞的特征，构成d维向量x，判断该 细胞为正常或异常细胞。
⎧ω1 ⎛ 1 − 2 x ⎞ > P(1) ，则x ∈ ⎨ 最小错误率贝叶斯决策为：若 exp⎜ 2 ⎟ < ⎝ 2σ ⎠ P(0 ) ⎩ω2
假设P(0)= P(1)，则决策变为：
⎧ω1 ⎧0 1− 2x > 1 < 0，即x > 时，x ∈ ⎨ ，即x = ⎨ 若 2 < 2σ 2 ⎩1 ⎩ω2
模式识别
第二章 贝叶斯决策理论
中国矿业大学信电学院 蔡利梅
第二章
贝叶斯决策wk.baidu.com论
2.1贝叶斯决策的基本概念 2.2基于最小错误率的贝叶斯判别法 2.3基于最小风险的贝叶斯决策 2.4Neyman-Pearson决策 2.5分类器的设计 2.6正态分布模式的统计决策
2.1贝叶斯决策的基本概念
用概率统计的方法研究随机模式的决策问题。 采用贝叶斯决策理论方法的前提条件 各类别总体的概率分布是已知的 要决策的类别数是一定的 先验概率：预先已知的或者可以估计的模式识别 系统位于某种类型的概率 类条件概率密度函数：系统位于某种类型条件下 模式样本X出现的概率密度分布函数 后验概率：系统在某个具体的模式样本X条件下位 于某种类型的概率
第二章贝叶斯决策理论
第⼆章贝叶斯决策理论
第⼆章贝叶斯决策理论
●引⾔
统计模式识别⽅法以样本特征值的统计概率为基础：
（1）先验概率()i P ω、类（条件）概率密度函数(/)i p ωx 和后验概率(/)i P ωx 。（2） Bayes 公式体现这三者关系的公式。
本章讨论的内容在理论上有指导意义，代表了基于统计参数这⼀类的分类器设计⽅法，
结合正态分布使分类器设计更加具体化。
模式识别算法的设计都是强调“最优”，即希望所设计的系统在性能上最优。是指对某
⼀种设计原则讲的，这种原则称为准则。使这些准则达到最优，如最⼩错误率准则，基于最⼩风险准则等,讨论⼏种常⽤的决策规则。设计准则,并使该准则达到最优的条件是设计模式识别系统最基本的⽅法。
●思考？
机器⾃动识别分类，能不能避免错分类，如汉字识别能不能做到百分之百正确？怎样才
能减少错误？
错分类往往难以避免，因此就要考虑减⼩因错分类造成的危害损失，有没有可能对⼀种
错分类严格控制？
●贝叶斯决策理论与⽅法基本概念
给定⼀个m 模式类(,,....,)m ωωω12的分类任务以及各类在这n 维特征空间的统计分布, 要区分出待识别样本x 属于这m 类样本中的哪⼀类问题。假设⼀个待识别的样本⽤n 个属性观察值描述，称之为n 个特征，从⽽组成⼀个n 维的特征向量，⽽这n 维征向量所有可能的取值范围则组成了⼀个n 维的特征空间。特征空间的统计分布 (1) i ω, i =1,2,…,m 的先验概率：()i P ω
(2)
类条件概率密度函数：(|)i p ωx （可解释为当类别i ω已知的情况下，样本x 的概率分布密度函数）
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讲座内容
1 贝叶斯统计概述 2 先验分布的确定 3 贝叶斯统计推断 4 贝叶斯决策
1 贝叶斯统计概述
1.1 全概率公式与贝叶斯公式
引例 有三个箱子，分别编号为1, 2, 3。1号箱装有1 个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装 有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸 出一球，（1）求取得红球的概率。（2）已知 取出的是红球，求此球来自1号箱的概率。
后来的学者依据贝叶斯公式的思想发展了 一整套统计推断方法，叫作“贝叶斯统计”。 可见贝叶斯公式的影响 。
例 1.1 用Bayes公式分析伊索寓言《孩子与狼》中 村民对小孩的信赖程度是如何下降的。
解: A ：小孩说谎； B ：小孩可信；
不妨设： P(B)= 0.8； P( A B ) 0.1; 百度文库( A B ) 0.5;
2) 对概率的概念的理解不同 • 频率学派坚持概率的频率解释，并在
这个基础上去理解一切统计推断的结论； 与此相反，贝叶斯学派赞成主观概率，概 率是认识主体对事件出现可能性大小的相 信程度，它不依赖事件能否重复；
3) 两个学派统计推断理念之间存在着根本差异
• 统计学奠基人费歇尔把统计学的任务概括为 三个问题：选定模型、确定统计量和决定统计量 的分布。根据费歇尔的观点，信息量包含在样本 中，但样本为数众多，因此须用少数几个统计量 把信息集中起来，而抽样分布则决定了统计量的 全部性质；目前，频率统计学派基本上是按照这 种思路来处理统计推断问题的。
3)两个学派的具体统计推断理念之间存在根 本差异。
1) 统计推断时的依据不同
• 频率统计学派在进行统计推断时，依据两类信息： 总体信息（或模型信息）和样本信息（数据信 息），而贝叶斯学派则除了以上两种信息外，还 利用另外一种信息即先验信息。
在概率论与数理统计中讨论的点估计只使用 前两种信息，没有使用先验信息。假如能把收集 到的先验信息也利用起来，那对我们进行统计推 断是有好处的。只用前两种信息的统计学称为经 典统计学，三种信息都用的统计学称为贝叶斯统 计学。
(1) 解：记 Bi ={ 球取自 i 号箱 }, i=1, 2, 3; A ={取得红球}
A B1 A B2 A B3 A B1A, B2A, B3A 两两互斥
P( A ) P( B1 A ) P( B2 A ) P( B3 A )
P( B1 )P( A B1 ) P( B2 )P( A B2 ) P( B3 )P( A B3 )
STATISTICS PROBABILITY
PROBABILITY & STATISTICS
PROBABILITY
吴志雄PROBABILITY & STATISTICS
STATISTICS
μ
引言
统计学中有二个主要学派：频率学派和 贝叶斯学派。贝叶斯学派的起点是贝叶斯的 两项工作：贝叶斯定理和贝叶斯假设，贝叶 斯定理（或贝叶斯公式）在通常的概率论教 科书中都有叙述，而贝叶斯假设几乎都不提 及。在统计推断的基本理论和方法方面，贝 叶斯学派与频率学派之间存在着重大差异。
P( Bi A )
P( Bi A )
P( A )
P( Bi )P( A Bi )
n
P( Bj )P( A Bj )
j1
称 P( Bi ) 为先验概率，它是由以往的经 验得到的，它是事件 A 的原因。
称 P( Bi A ) 为后验概率，它是得到了信 息 — A 发生，再对导致 A 发生的原因Bi发生 的可能性大小重新加以修正。
P( B )P( A B ) P( B )P( A B )
0.444 0.1
0.444 0.1 0.556 0.5
0.138
1.2 贝叶斯统计
贝叶斯统计学的基础是著名的贝叶斯公式，它 是英国学者贝叶斯（T.R.Bayes1702~1761）在他死后 二年发表的一篇论文《论有关机遇问题的求解》中 提出的。经过二百年的研究与应用，贝叶斯的统计 思想得到很大的发展，目前已形成一个统计学派— 贝叶斯学派。为了纪念他，英国历史最悠久的统计 杂志《Biometrika》在1958年又全文刊登贝叶斯的这 篇论文。
3
P( Bi )P( A Bi ) i1
11 12 13 8 3 5 3 5 3 3 15
依题意，
P(A|B1)=1/5, P(A|B2)=2/5, P(A|B3)=3/3
将此例中所用的方法推广到一般的情形，就得 到在概率计算中常用的全概率公式。
引例 有三个箱子，分别编号为1, 2, 3。1号箱装有1 个红球4个白球，2号箱装有2红3白球，3号箱装 有3红球. 某人从三箱中任取一箱，从中任意摸 出一球，（1）求取得红球的概率。（2）已知取 出的是红球，求此球来自1号箱的概率。
1.2.1 统计推断中可用的三种信息
1.总体信息：总体分布或所属分布族提供给我们的 信息
2.样本信息：从总体抽取的样本提供给我们的信息 3.先验信息：在抽样之前有关统计推断的一些信息
1.2.2 贝叶斯学派与频率学派之间存在重大差异
1)频率统计学派与贝叶斯学派在进行统计推 断时的依据不同；
2)对概率的概念的理解不同；
小孩第说一次谎后的可信度为：
P( B A ) P( AB ) P( A )
P( B )P( A B ) P( B )P( A B ) P( B )P( A B )
0.8 0.1
0.8 0.1 0.2 0.5
0.444
小孩第说二次谎后的可信度为：
P( B )P( A B ) P( B A)
PROBABILITY & STATISTICS
PROBABILITY
PROBABILITY & STATISTICS
贝叶斯统计与决策 STATISTICS
PROBABILITY
PROBABILITY & STATISTICS
-4
-2
0
2
4
PROBABILITY & STATISTICS
STATISTICS
( 2 ) 解：
P( B1
A)
P( B1 A ) P( A )
P( B1 )P( A B1 ) P( A)
P( B1 )P( A B1 )
3
P( Bi )P( A Bi )
1
3
1 5
8
15
1 8
i1
这类问题，是“已知结果求原因”是已知 某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。
Bayes公式
设B1,B2,…,Bn是两两互斥的事件，且P(Bi)>0， i=1,2,…,n, 另有一事件A，它总是与B1,B2,…,Bn 之 一同时发生，则