第2课时 实物型抛物线及运动中的抛物线问题1
抛物线形实物及运动轨迹问题课件
(1) 喷嘴能喷出水流的最大高度是多少？ (2) 喷嘴喷出水流的最远距离为多少？
解：y 1 x2 2x 1 (x 2)2 2.
2
2
(1) 当 x = 2 时，有 y最大 = 2，故水流的最大高度是 2 m.
(2) 令 y = 0，即
1 x2 2x 0. 解得 x1 = 0，x2 = 4. 2
你能想出办法来吗？
2m 4m
4.9m
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题 你能想出办法来吗？ 建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线应 当是某个二次函数的图象
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
y
（2，2）
我们来比较一 下
y o （0，0） x
o（0，0）
（4，0） x
y
（0，2） 谁最 合适
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如
果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
解：抛物线解析式为 y＝− 1 x2 + 2x + 4 6
1 (x﹣6)2 + 10，∴ 对称轴为 x＝6. 6
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点
坐标为 (2，0) 或 (10，0)，
当 x = 450－50 = 400 时，得
你是否体会到：从实际问题建立起函数模型， 对于解决问题是有效的？
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际 问题
建立二次 函数模型
利用二次函数的图象 和性质求解
实际问题的解
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
例1 如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形 OABC 的
抛物线形实物及运动轨迹问题 数学九年级上册同步教学课件(人教版)
6
8
解得 x1＝6 + 2 3，x2＝6﹣2 3.
则 x1﹣x2＝4 3.
所以两排灯的水平距离最小是 4 3 m.
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出的水流呈
抛物线状，喷出的水流高度 y (m)与喷出水流离喷嘴的水平距 离 x (m) 之间满足 y 1 x2 2x.
长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面直角坐标系，抛物
线可以用
y＝
−
1 6
x2
+
2x
+
c
表示．
(1)请写出该抛物线的函数解析式；
解：根据题意，得 C (0，4). 将其代入
抛物线 y＝− 1 x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
6
∴
抛物线解析式为
y＝−
1 6
x2
+
2x
+
4.
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
(2)把函数问题转化为实际问题时，注意实际问题的取值范围．
(2) 一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6 m，宽为 4 m，如
果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？
解：抛物线解析式为 y＝− 1 x2 + 2x + 4 6
1 (x﹣6)2 + 10，∴ 对称轴为 x＝6. 6
由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点
坐标为 (2，0) 或 (10，0)，
22.3.3 抛物线形实物及运动轨迹问题
解：（1）设抛物线的表达式为y=ax2 .
∵点B（6，-5.6）在抛物线的图象上，
∴-5.6=36a， a 7 .
22.3.3抛物线形实物及运动轨迹问题(课件)2024-2025学年九年级数学上册(人教版)
球类运动问题 拱桥问题
解（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为（0,0.5）对称轴为
y轴，设抛物线对应的函数表达式为y=ax2+0.5.
(0,0.5)
抛物线经过点(450,81.5),代入上式，得81.5 = a·4502+0.5
-450
O
-450
解方程，得
81
1
a 4502 2500
答：所求抛物线对应的函数表达式为
y
y
y
o
x
y
o
x
o
x
y
o
x
某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽AB=4m,
顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车欲通过大门,
货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽车明;若不能,请简要说明理由. 解：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线
二次函数的顶点式：y a(x h)2 k(a 0)
顶点在x轴上： y a(x h)2 (a 0)
顶点在y轴上： y ax2 k(a 0) 顶点为原点： y ax2 (a 0)
二次函数的交点式：
y a(x x1)( x x2 )(a 0)
根据图象所给信息假设出抛物线的解析式：
∴可设这条抛物线解析式为:y=ax2+2 当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
当水面上升1m时,水面的纵坐标为y=1,这时有:
方法三：以水平面为x轴，以抛物线和水面的 一个交点为原点，建立平面直角坐标系。
问题：此时图中的抛物线解析式是多少？
y
y
O
Ox
你认为以上几种方法中哪 种最简单，为什么？我们 在建立平面直角坐标系时
实物抛物线
实物抛物线在物理学和工程学中，抛物线是一个非常重要的概念。
它描述的是在二维空间中，一个物体在一定的力量作用下，如何沿着特定的路径移动。
这个力量通常是一个恒定的力，比如重力。
下面我们将更深入地探讨这个概念。
首先，我们定义一个抛物线。
在数学上，抛物线是一个二次曲线，其形状由以下二次方程式描述：y = ax^2 + bx + c。
对于一个抛物线，a、b和c是常数，a 不等于0。
这个方程式描述了一个函数，其变量是x，y是该函数的输出。
对于给定的x值，y有一个对应的值。
在物理学中，抛物线是在重力场中运动的物体的路径。
如果我们考虑一个物体在一个恒定的重力场中从静止开始下落，那么它的路径就是一个抛物线。
这是因为物体受到的重力可以视为一个恒定的加速度，而加速度是改变物体速度的原因。
因此，如果一个物体在没有阻力的情况下下落，它的速度会越来越快，直到达到最大速度，然后速度会开始减小，因为重力作用于物体的时间已经过去。
如果我们想要更准确地描述这个过程，我们需要使用物理学中的运动方程：v = gt、v = gt - g/2 * t^2和h = gt^2/2 - g/4 * t^3。
这些方程描述了物体的速度和位置随时间的变化。
在初始阶段，物体的速度增加线性地增加，然后当它达到最大速度时，速度就不再增加了。
此后，物体的速度开始减小，同时它的位置也在增加，直到它最终到达地面。
在实际应用中，抛物线有很多用途。
例如，在弹道学中，抛物线被用来描述和预测子弹的飞行路径。
由于重力的影响，子弹离开枪口后的路径是一个上升的抛物线，然后是下降的抛物线，最后子弹会到达目标。
这种类型的路径也用于设计投掷项目，如标枪、铁饼等。
在这些情况下，通过正确地调整投掷角度和力度，可以最大限度地提高这些项目的飞行距离。
此外，在工程学中，抛物线也被用于许多其他应用。
例如，在桥梁设计中，抛物线被用来模拟和预测桥梁在承受载荷时的变形。
在地震工程中，抛物线被用来模拟和预测结构在地震力作用下的反应。
第二章 二次函数习题PPT：第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题
（2）∵y＝－32（x－1）2＋38（0≤x≤3），
∴当x＝1时，y最大＝83. 答：水柱的最大高度为38 m.
类型3 物体运动类问题
7.（2019·广安）在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球 训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之 间的关系为y＝－112x2＋23x＋53，由此可知该生此次实心球训练的成绩为 10 米.
原点时的抛物线表达式是 y＝－19（x＋6）2＋4 Ｗ.
3.（2018·绵阳）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4 m，水面下降2 m，水面宽度增加 （4 2－4） m.
类型2 其他建筑物问题
4.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水
点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋
4x（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是（ A ）
A.4米
B.3米
C.2米
D.1米
5.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图.若菜农身高为 1.8 m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是 3 m.
6.随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家 附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2 m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1 m处达到 最高，水柱落地处离池中心3 m.
（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ （3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
解：（1）当y＝15时，15＝－5x2＋20x， 解得x1＝1，x2＝3. 答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是1 s或3 s.
（2）当y＝0时，0＝－5x2＋20x， 解得x1＝0，x2＝4， ∵4－0＝4， ∴在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4 s. （3）∵y＝－5x2＋20x＝－5（x－2）2＋20， ∴当x＝2时，y取得最大值，y最大＝20. 答：在飞行过程中，第2 s时小球飞行高度最大，最大高度是20 m.
沪科版九上数学第2课时 利用二次函数模型解决实物型抛物线问题
抛物线经过点(450,81.5),代入上式，得
81.5 = a·4502ꧬ
答：所求抛物线对应的函数表达式为
y 1 x2 0.5450 x 450
2500
（2）当 x 450 100 350(m) 时，得
y 1 3502 0.5 49.5(m). 2500
2
故此时水面的宽度为2 6 m .
水面宽度增加了(2 6-4)m.
(0,3)
(-2,1)
(2,1)
O
x水面
虽然建立的直角坐标系不一样，但是两种方法的结
果是相同的.
随堂练习
1.某大学的校门是一抛物线形水泥建筑物(如图所示)，
大门的地面宽度为8米，两侧距地面4米高处各有一个
挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，则校
（1）若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称 轴为y轴，建立平面直角坐标系，如图，求这条 抛物线对应的函数表达式； （2）计算距离桥两端主塔分别为100m，50m 处垂直钢索的长.
(0,0.5)
-450
O
-450
解（1）根据题意，得抛物线的顶点坐标为
（0,0.5）对称轴为y轴，设抛物线对应的函
数表达式为y=ax2+0.5.
y
设抛物线解析式为y=ax2+3.
将点(-2，1)代入解析式，
可得1=a ·(-2)2+3.
(0,3)
解得a
1 2
.
(-2,1) O
(2,1) 水面 x
所以抛物线解析式为y 1 x2 +3. 2
抛物线解析式为y 1 x2+3. 2
y
水面下降一米，即此时y=0.
则 1 x2 3 0, 解得x= 6.
九年级数学下册第二章 第2课时利用二次函数解决实物抛物线问题作业课件新版北师大版
【素养提升】 11．(18分)某跳水运动员进行10 m跳台跳水训练时，身体(看成一点)在 空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线(图中标出 的数据为已知条件)．在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空 中的最高处距水面10 m，入水处距池边的距离为4 m，运动员在距水面高 度为5 m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会 出现失误．
解：(1)水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式为 y＝－15 (x－3)2＋5(0 ＜x＜8) (2)当 x＝0 时，y＝－15 (x－3)2＋5＝156 ，设改造后水柱所在抛物线(第一象限 部分)的函数表达式为 y＝－15 x2＋bx＋156 ，∵该函数图象过点(16，0)，∴0 ＝－15 ×162＋16b＋156 ，解得 b＝3，∴改造后水柱所在抛物线(第一象限部分) 的函数表达式为 y＝－15 x2＋3x＋156 ＝－15 (x－125 )2＋22809 (0＜x＜16)，∴扩 建改造后喷水池水柱的最大高度为22809 m
用二次函数解决运动类问题 6．(4 分)烟花厂为国庆观礼特别设计制作了一种新型礼炮，这种新型礼炮的升 空高度 h(m)与飞行时间 t(s)之间的函数关系可表示为 h＝－52 (t－4)2＋20，则 这种礼炮从点火升空到到达最高点引爆需要的时间为( B ) A．3 s B．4 s C．5 s D．6 s
a2＝－32， h2＝－32
(不合题意，舍去)
，∴抛物线的表达式为 y＝－265
(x－25
)2＋23
＝－265 x2＋130 x
(2)会失误，理由如下：∵当 x＝3.6－(3－1)＝1.6 时，y＝－265 x2＋130 x＝(－
25 6
)×(58
)2＋130
沪科版初三数学上册《21.4 第2课时 实物抛物线型问题》课件
讲授新课
利用二次函数解决实物抛物线型问题
例1 悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地 看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接.已知 两端主塔之间的水平距离为900 m,两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m,主悬钢索最低点离桥面的高度为0.5 m. (1)若以桥面所在直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴，建立平 面直角坐标系，如图所示，求这条抛物线对应的函数表达式； y
半径至少要多少米，才能使喷出的水流落不到池外？
A
1.25米 O
解：如图建立坐标系，设抛物线顶点 y B 为B，水流落水与x轴交于C点.
由题意可知A（ 0，1.25）、
A 1.25 O C x B（ 1，2.25 ）、C（x0，0）. 设抛物线为y=a(x－1)2+2.25 (a≠0),
把点A坐标代入，得a= － 1； ∴抛物线为y=-(x-1)2+2.25. 当y= 0时， x１= － 0.5（舍去）， x２=2.5 ∴水池的半径至少要2.5米.
我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运
会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！
如图是一个二次函数的图象，现在请你根据给出的坐标系的 位置，说出这个二次函数的解析式类型. y y y
O
x
x
O
x
O
（1）y=ax2
（2）y=ax2+k
（3）y=a(x-h)2+k （4）y=ax2+bx+c
当x=450－50=400（m）时，得
y 1 400 2 0.5 64.5( m) 2500
y
-450
O
-450 x
例2 如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已
抛物线型问题
抛物线型问题一、背景抛物线型问题是在数学和物理学中常见的问题，它涉及到抛物线的几何特性和运动物体的轨迹。
在解决这类问题时，我们需要运用数学模型和物理原理，以理解抛物线的性质和运动规律。
二、抛物线的定义与性质抛物线是一种二次曲线，它的方程可以表示为y = ax^2 + bx + c。
对于给定的方程，当b=c=0时，曲线就是一条通过原点的直线，当a=0时，曲线就是一个点。
而当a、b、c不全为0时，我们得到一个抛物线。
抛物线具有以下性质：1. 抛物线是关于其对称轴对称的。
2. 抛物线的顶点是其对称轴与曲线的交点。
3. 抛物线的开口方向由系数a决定，当a>0时，开口朝上；当a<0时，开口朝下。
4. 抛物线的宽度（也称为焦距）由系数b和c决定。
三、解决抛物线型问题的策略解决抛物线型问题需要综合考虑数学和物理学的知识。
以下是一些常用的策略：1. 建立数学模型：首先需要将实际问题转化为数学问题，通过设立方程来描述抛物线的几何特性和运动规律。
2. 分析方程：对建立的方程进行分析，找出关键的参数和关系，如顶点、开口方向、焦距等。
3. 运用物理原理：根据问题的具体情况，运用物理原理来分析物体的运动轨迹和规律。
4. 求解方程：通过求解方程，找出未知数或未知量，从而找到物体的运动轨迹或抛物线的性质。
5. 检验与验证：最后需要对结果进行检验和验证，以确保答案的正确性和准确性。
四、应用实例1. 抛物线的标准方程：y = ax^2 + bx + c。
通过求解这个方程，我们可以找到抛物线的顶点、开口方向和焦距等性质。
2. 运动物体的轨迹：当一个物体在力的作用下沿着抛物线运动时，我们需要运用物理原理来分析它的运动轨迹和规律。
例如，一个物体在一个恒力的作用下沿着斜抛运动轨迹向上运动，这个轨迹就是一个抛物线。
我们可以通过建立物理模型和数学方程来求解这个问题的未知量，如物体的初速度和运动时间等。
3. 光的反射和折射：在光学中，抛物线型问题也经常出现。
第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人e the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/32021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月3日星期五2021/9/32021/9/32021/9/3 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/32021/9/3September 3, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/32021/9/32021/9/32021/9/3
九年级 下册 数学 PPT课件 第2课时 利用二次函数解决实物抛物线问题
解二
如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物 线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(0,2)
∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y ax2 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即:抛物线过点(2,0)
0 a22 2
a 0.5 ∴这条抛物线所表示的二次函数为:
【解析】（1）设每千克应涨价x元，列方程得：
(5+x)(200－10x)=1 500，
解得：x1=10， x2=5.因为要顾客得到实惠，5＜10 所以 x=5.
答：每千克应涨价5元.
（2）设商场每天获得的利润为y元，则根据题意，得
y=( x +5)(200－10x)= －10x2+150x+1 000，
x1 2 6 , x2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x2 x1 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度 增加了 (2 6 4)m
一般步骤:
(1)建立适当的直角系,并将已知条件转化为点的 坐标,
(2)合理地设出所求的函数的表达式,并代入已知条 件或点的坐标,求出关系式,
(3)利用关系式求解实际问题.
当x=
时,y有最大值.
因此，这种水果每千克涨价7.5元，能使商场获利最多.
探究3
图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离 水面2m，水面宽4m，水面下降1m时，水面宽度 增加了多少？
解一 以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为 y轴，建立平
面直角坐标系，如图所示. ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
9
所以可求出抛物线的解析式为
y 1 (x 4)2 4
x