朝阳区高三数学一模试卷(答案)
2020年北京朝阳高三一模数学试卷及答案
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程和圆 O 的方程；
（Ⅱ）过圆 O 上的动点 P 作两条互相垂直的直线 l1 ， l2 ，若直线 l1 的斜率为 k(k 0) 且 l1 与椭圆 C 相切，
试判断直线 l2 与椭圆 C 的位置关系，并说明理由.
高三数学试卷 第 5页（共 6页）
（20）（本小题 15 分）
已知函数 f x ex x 1 ．
…………14 分
（17）（本小题 14 分） 解：（Ⅰ） 因为四边形 ACC1A1 是正方形，所以 CC1 ^ AC ．
又因为平面 ABC ^ 平面 ACC1A1 ， 平面 ABC I 平面 ACC1A1 = AC ， 所以 CC1 ^ 平面 ABC ． 又因为 AB Ì 平面 ABC ， 所以 AB ^ CC1 ． （Ⅱ）由（Ⅰ）知， CC1 ^ AB ， AA1 //CC1 ，所以 AA1 ^ AB ． 又 AB = 4 ， AC = AA1 = 2 ， BC = 2 5 ， 所以 AB2 + AC 2 = BC 2 ．所以 AC ^ AB ． 如图，以 A为原点，建立空间直角坐标系 A- xyz ．
③ 存在一个以原点为中心、边长为 2 的正方形，
使得曲线 C 在此正方形区域内（含边界）．
其中，正确结论的序号是________．
（第 15 题图）
注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分，其他得 3 分。
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷 (含答案解析)
2020年北京市朝阳区高考数学一模试卷
一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）
1. 设集合A ={x ∈N ∗|x ≤2}，B ={2,6}，则A ∪B =( )
A. {2}
B. {2,6}
C. {1,2，6}
D. {0,1，2，6}
2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)上是减函数的是( )
A. y =x 1
2
B. y =
2x +2−x
2
C. y =log 12
|x| D. y =lg 2−x
2+x
3. 已知S n 为等比数列{a n }的前n 项和，a 1=1，a 2a 3=−8，则S 6=( )
A.
1283
B. −24
C. −21
D. 11
4. 在ΔOAB 中，点C 满足AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则1
x +1
y
=( ) A. 1
3
B. 2
3
C. 9
2
D. 2
9
5. A 是抛物线y 2=2px(p >0)上的一点，F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点，当|AF|=4时，
∠OFA =120°，则抛物线的准线方程是( )
A. x =−1
B. y =−1
C. x =−2
D. y =−2
6. 从甲、乙、丙、丁四人中，随机选取两名作为代表，则甲被选中的概率为( )
A. 1
2
B. 1
3
C. 1
4
D. 2
3
7. 已知双曲线C ：
x 2m
−y 2=1的一个焦点为(2,0)，则C 的离心率为( )
A. 2
3
B. 2
C. 4√3
3 D. 2√33
8. “φ=π
2”是“曲线y =sin(x +φ)关于y 轴对称”的( )
2021届北京市朝阳区高三一模数学试题(解析版)
依题意得221,11BC CE EB ===+=
由题意知，直线l 方程为()1,0F 所以，得
24416y =⨯=4y =
则、、、()0,0,0A ()10,0,1A ()1,0,0B 、，
()0,1,0D ()10,1,1D 设点，其中.
()1,,P t t 01t ≤≤①当时，点与点重合，0t =P B BD = 所以，，，则0BD AC ⋅=
10BD AA ⋅= ，平面1AC AA A ⋂=BD ∴⊥11AA C C 截面面积为；
2S AA AC =⋅=
【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，求二面角．求二面角的方法：
（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；
（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）
18．我国脱贫攻坚战取得全面胜利，现行标准下农村贫困人口全部脱贫，
2022年北京市朝阳区高考数学一模试卷及答案解析
2022年北京市朝阳区高考数学一模试卷
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（1+i ）2＝（ ） A ．﹣2 B ．2
C ．﹣2i
D ．2i
2．双曲线
x 216
−
y 29
=1的渐近线方程为（ ）
A ．y =±3
4x B ．y =±43
x
C ．y =±35
x
D ．y =±
916
x 3．在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（ ） A ．1
6
B ．
3
10
C ．1
2
D ．3
4
4．已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与焦点F 的距离为4，则点M 到x 轴的距离是（ ） A ．2√2
B ．2√3
C ．4
D ．12
5．设函数f(x)={
(1
2)x ，x ≤1
log 2x ，x ＞1
，若f （x ）≤2，则实数x 的取值范围是（ ）
A ．[﹣1，+∞）
B ．（0，4]
C ．[﹣1，4]
D ．（﹣∞，4]
6．在直角坐标平面xOy 内，O 为坐标原点，已知点A (−1
2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷【含答案】
2021年北京市朝阳区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}，则A∩B＝（）
A．{0，1，2，3}B．{1，2，3}C．{2，3}D．{3}
【分析】利用集合交集的定义求解即可．
【解答】解：因为集合A＝{﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x﹣1≥0}＝{x|x≥1}，
所以A∩B＝{1，2，3}．
故选：B．
【点评】本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集的求解，解题的关键是掌握交集的定义，属于基础题．
2．（4分）如果复数的实部与虚部相等，那么b＝（）
A．﹣2B．1C．2D．4
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部与虚部相等求得b值．
【解答】解：∵的实部与虚部相等，
∴b＝﹣2．
故选：A．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3．（4分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝1，S9＝18，则a1＝（）
A．0B．﹣1C．﹣2D．﹣3
【分析】先由题设求得a5，再利用等差数列的性质求得结果．
【解答】解：∵S9＝18＝＝9a5，
∴a5＝2，
又a3＝1，
∴由等差数列的性质可得：a1+a5＝a1+2＝2a3＝2，
∴a1＝0，
故选：A．
【点评】本题主要考查等差数列的性质及基本量的计算，属于基础题．
4．（4分）已知圆x2+y2＝4截直线y＝kx+2所得弦的长度为，则实数k＝（）
A．B．C．D．
2023年北京朝阳区高三一模数学试卷(解析版)
2023年北京朝阳区高三一模数学试卷(详解)
一、单选题
2.
A.
B.
C.
D.
【答案】【解析】
若，则（ ）
A 【分析】
根据不等式的性质判断A ，取特殊值判断BCD.【详解】
，
，即
，故A 正确；
取，则不成立，故B 错误；取，则不成立，故C 错误；
取，则
，故D 错误.
故选：A
1.
A.
B.
C.
D.
【答案】【解析】
已知集合，集合，则
（ ）
C 【分析】化简，再由集合并集的运算即可得解.
【详解】由题意，，
所以.
故选：C.
3.
A.5
B.6
C.7
D.8
【答案】【解析】
设，若
，则（ ）
A 【分析】先求出展开式第项，再由列出方程，即可求出的值.
【详解】
展开式第
项，
∵，∴
，∴.
故选：A.
4.
A. B.C.
D.
【答案】【解析】
已知点，．若直线上存在点P ，使得，则实数k 的取值范围是
（ ）D 【分析】将问题化为直线
与圆
有交点，注意直线所过定点
与圆的位置关
系，再应用点线距离公式列不等式求k 的范围.【详解】
由题设，问题等价于过定点
的直线
与圆
有交点，
又在圆外，所以只需，可得.
故选：D
5.
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】【解析】
已知函数
，则“”是“”的（ ）
C 【分析】由
的奇偶性、单调性结合充分条件、必要条件的概念即可得解.
【详解】因为定义域为，
，
所以为奇函数，且
为上的增函数.当时，，所以
，
即“”是“
”的充分条件，
当
时，
，由
的单调性知，
，即
，
所以“”是“”成立的必要条件.综上，“”是“”的充要条件.
故选：C
6.
A.
B.
C.2
D.
或2
过双曲线的右焦点F 作一条渐近线的垂线，垂足为A ．若
北京市朝阳区2023届高三一模数学试题
一、单选题
二、多选题
1. 已知
，其中
为虚数单位，则
A ．-1
B ．1
C ．2
D ．-3
2. 设直线l 与平面平行，直线m 在平面上，那么（ ）
A ．直线l 平行于直线m
B ．直线l 与直线m 异面
C ．直线l 与直线m 没有公共点
D ．直线l 与直线m 不垂直
3. 已知函数，
则的值为（ ）
A
．
B
．
C
．
D
．
4. 已知函数
．关于函数
的单调性，下列判断正确的是（ ）
A ．
在上单调递增B ．在上单调递减C ．
在上单调递增
D ．
在上单调递减
5. 已知椭圆
与双曲线有且仅有两个交点，若椭圆
的离心率为，则椭圆
的短轴长为（ ）
A ．2
B ．4
C
．D
．
6.
函数
的图像大致是（ ）
A
．B
．
C
．D
．
7. 已知全集
，函数的定义域为
，集合，则下列结论正确的是
A
．B
．C
．
D
．
8. 设集合
，集合
，则
（ ）
A
．
B
．C
．D
．
9. 已知函数
，若
，则下列结论正确的是（ ）
A
．B
．C
．
D ．当
时，
10.
设
是数列
的前项和．下面几个条件中，能推出
是等差数列的为（ ）
A ．当
时，B ．当
时，C ．当
时，
D ．当
时，
11. 声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.
纯音的数学模型是函数
，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合
北京市朝阳区2023届高三一模数学试题
北京市朝阳区2023届高三一模数学试题
三、填空题
四、解答题
音.若一个复合音的数学模型是函数
，则当
时，函数
一定有（ ）
A ．三个不同零点
B ．在
上单调递增
C
．有极大值，且极大值为
D
．一条切线为
12. 已知函数有3个不同的零点,且，则（ ）
A
．B ．
的解集为C ．
是曲线的切线
北京市朝阳区2020-2021学年高三数学一模试卷(含答案)
高三数学试卷 第1页（共14页）
北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一
数 学
2021．3
（考试时间120分钟 满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合{1,0,1,2,3}A =-，}0{|1x B x -=≥，则A B =
（A ）{0,1,2,3} （B ）{1,2,3}
（C ）{2,3}
（D ）{3}
（2）如果复数
2i
i
b +（b ∈R ）的实部与虚部相等，那么b = （A ）2-
（B ）1
（C ）2
（D ）4
（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31a =，918S =，则1a =
（A ）0
（B ）1-
（C ）2-
（D ）3-
（4）已知圆224x y +=截直线2y kx =+所得弦的长度为23，则实数k =
（A ）2
（B ）3-
（C ）
2
（D ）
3
（5）已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为
（A ）3y x =±
（B ）3
y x =±
（C ）1
2
y x =±
（D ）2y x =±
（6）在ABC △中，若2220a b c ac -++=，则B =
（A ）
π6
（B ）
π4
（C ）
π3
（D ）
2π3
（7）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边
2021年北京市朝阳区高三数学一模试卷与答案_20210409154054
2021北京朝阳高三一模
数
学
2021．3
（考试时间120分钟满分150分）
本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{1,0,1,2,3}A =-，}0{|1x B x -=≥，则A B =
（A ）{0,1,2,3}（B ）{1,2,3}
（C ）{2,3}
（D ）{3}
（2）如果复数
2i
i
b +（b ∈R ）的实部与虚部相等，那么b =（A ）2
-（B ）1
（C ）2
（D ）4
（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31a =，918S =，则1a =
（A ）0
（B ）1
-（C ）2
-（D ）3
-
（4）已知圆224x y +=截直线2y kx =+所得弦的长度为，则实数k =
（A （B ）（C ）（D ）（5）已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为
（A ）y =（B ）y =（C ）1
2
y x
=±（D ）2y x
=±（6）在ABC △中，若2220a b c ac -++=，则B =
（A ）
π6
（B ）
π4
（C ）
π3
（D ）
2π3
（7）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为
（A ）2
（B （C （D ）
（8）在ABC △中，“tan tan 1A B <”是“ABC △为钝角三角形”的
2021年北京市朝阳区高三一模数学试卷与答案
2021年北京市朝阳区高三一模数学试卷
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合{1,0,1,2,3}A =-，}0{|1x B x -=≥，则A
B =
（A ）{0,1,2,3} （B ）{1,2,3}
（C ）{2,3} （D ）{3}
（2）如果复数
2i
i
b +（b ∈R ）的实部与虚部相等，那么b = （A ）2-
（B ）1
（C ）2
（D ）4
（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，31a =，918S =，则1a =
（A ）0
（B ）1-
（C ）2-
（D ）3-
（4）已知圆224x y +=截直线2y kx =+所得弦的长度为k =
（A （B ）
（C ）
2
（D ）
3
（5）已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的离心率为2，则双曲线C 的渐近线方程为
（A ）y =
（B ）y x = （C ）1
2
y x =±
（D ）2y x =±
（6）在ABC △中，若2220a b c ac -++=，则B =
（A ）
π6
（B ）
π4
（C ）
π3
（D ）
2π3
（7）某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该三棱锥最长的棱长为
（A ）2
（B
（C
（D ）
（8）在ABC △中，“tan tan 1A B <”是“ABC △为钝角三角形”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（9）已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 是直线l 上的动点．若点A 在抛物线C 上，且5AF =，
2021-2022学年北京市朝阳区高三一模数学试卷参考答案
北京市朝阳区高三年级第二学期质量检测一
数学参考答案 2022．3
一、选择题：（本题满分40分）
二、填空题：（本题满分25分）
三、解答题：（本题满分85分） （16）（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为sin cos 0a C c A +=，
由正弦定理
sin sin a c
A C =
，
得sin sin sin cos 0A C C A +=，即sin (sin cos )0C A A +=． 因为(0,)C ∠∈π，所以sin 0C ≠． 所以sin cos 0A A +=． 所以2
A π
∠≠
.所以
cos 0A ≠． 所以sin tan 1
cos A
A A ==-．
所以4
A 3π
∠
=
． ·····
··············
······················································ 6分 （Ⅱ）选条件②③：
由正弦定理
sin sin a b
A B =
，及a =sin B ，
sin 4=
，所以b ． 因为3=4A π∠，所以(0,)
4
B π
∠∈，
所以cos B=．
所以sin sin()sin cos cos sin
C A B A B A B
=+=+
=(
+
．
所以
11
sin1
22
ABC
S ab C
===
△
． ······························· 13分选条件①③：
由余弦定理2222cos
a b c bc A
=+-
，及b=，
得222
102c c
=++
解得c=．
所以2
b=．
所以
11
sin21
22
ABC
S bc A
==⨯=
△
． ··································· 13分（17）（本小题13分）
北京朝阳区2022届高三数学一模试卷及答案
2022北京朝阳高三一模数学
一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知集合{}24A
x x =≤<，集合{}
2
320B x x x =
−+<，则A B ∪=( )
A ．∅
B ．
{}12x x <<
C ．
{}24x x ≤< D ．
{}14x x <<
2．直线1y x =+被圆221x y +=截得的弦长为( )
A
．1 B ．
C ．2
D ．
3．已知平面向量a ，b 满足2a = ，1b = ，且a 与b 的夹角为23
π
，则a b +=
( ) A
B ．
C
D ．3
4．设()0,1m ∈
，若lg a m =，2lg b m =，()2lg c m =，则(
)
A ．a b c >>
B ．b c a >>
C ．c a
b >>
D ．c b a >>
5．已知函数()23,0
2,0x x f x x x −≥= −<
，若()1f m =−，则实数m 的值为( )
A ．2−
B ．
1
2
C ．1
D ．2
6．已知()0,a ∈+∞，则“1a >”是“1
2a a
+>”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件
7．已知三棱锥A BCD −，现有质点Q 从A 点出发沿棱移动，规定质点Q 从一个顶点沿棱移动到另一个顶点为1次移动，则该质点经过3次移动后返回到A 点的不同路径的种数为( ) A ．3 B ．6
2022年北京市朝阳区高考数学一模试卷及答案解析
2022年北京市朝阳区高考数学一模试卷
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
3、非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（4分）（1+i ）2＝（ ） A ．﹣2 B ．2 C ．﹣2i D ．2i
2．（4分）双曲线x 216
−
y 29
=1的渐近线方程为（ ）
A ．y =±3
4
x
B ．y =±43
x C ．y =±35
x
D ．y =±
916
x 3．（4分）在5道试题中有2道代数题和3道几何题，每次从中抽出1道题，抽出的题不再放回，则在第1次抽到代数题的条件下，第2次抽到几何题的概率为（ ） A ．1
6
B ．
3
10
C ．1
2
D ．3
4
4．（4分）已知抛物线y 2＝4x 上一点M 与焦点F 的距离为4，则点M 到x 轴的距离是（ ） A ．2√2
B ．2√3
C ．4
D ．12
5．（4分）设函数f(x)={(1
2)x ，x ≤1log 2x ，x ＞1，若f （x ）≤2，则实数x 的取值范围是（ ）
A ．[﹣1，+∞）
B ．（0，4]
C ．[﹣1，4]
D ．（﹣∞，4]
6．（4分）在直角坐标平面xOy 内，O 为坐标原点，已知点A (−1
2024北京朝阳区高三一模数学试题及答案
2024北京朝阳高三一模
数 学
2024.4
（考试时间120分钟 满分150分） 本试卷分为选择题40分和非选择题110分
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知全集{1,2,3,4},{|2}U A x U x ==∈<，则
U
A =
（A ）{1} （B ）{1,2}
（C ）{3,4} （D ）{2,3,4}
（2）复数
i
3i
+在复平面内对应的点位于 （A ）第一象限
（B ）第二象限
（C ）第三象限
（D ）第四象限
（3）在ABC △
2sin b A =，则B ∠=
（A ）
6
π （B ）
6π
或
6
5π （C ）
3
π
（D ）
3π
或
3
2π （4）已知a ∈R ，则“01a <<”是“函数3()(1)f x a x =−在R 上单调递增”的
（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件
（D ）既不充分也不必要条件
（5
）已知直线60x −+=222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r =
（A ）2
（B
）
（C ）4
（D
）
（6）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且
1
2
3
41,
4aaaa =+
+=，则6S =
（A ）9
（B ）16
（C ）21
（D ）25
（7）已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
−=>>的右焦点为F ，过点F 作垂直于x 轴的直线l ，,M N 分别是l
与双曲线C 及其渐近线在第一象限内的交点．若M 是线段FN 的中点，则C 的渐近线方程为 （A ）y x =±
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北京市朝阳区高三年级第一次综合练习
数学试卷（理工类） 2012.3
三、解答题：（15）（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）因为π
()cos()410
f αα=-=
，
所以
(cos sin )210
αα+=， 所以 7
cos sin 5
αα+=
. 平方得，2
2
sin 2sin cos cos αααα++=4925
， 所以 24
sin 225
α=
. ……………6分 （II ）因为()π()2g x f x f x ⎛⎫=⋅+
⎪⎝
⎭=ππcos()cos()44
x x -⋅+
=(cos sin )(cos sin )22
x x x x +⋅- =
221
(cos sin )2x x - =1
cos 22
x . ……………10分
当ππ,63x ⎡⎤∈-
⎢⎥⎣⎦时，π2π2,33x ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
. 所以，当0x =时，()g x 的最大值为1
2
； 当π3x =
时，()g x 的最小值为1
4
-. ……………13分
（16）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分 （Ⅱ）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则
350300100
401000
x ++=
，解得：x =30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………7分
（Ⅲ）依题意，X 的取值为0，1，2，
2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，2302
4029
(2)52
C P X C ===， 所以X 的分布列为
350125213522EX =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为2
. ……………13分
（17）（本小题满分14分）
证明：（Ⅰ）取AD 的中点N ，连接MN,NF .
在△DAB 中，M 是BD 的中点，N 是
AD 的中点，所以1
=
2
MN//AB,MN AB ， 又因为1
=2
EF//AB,EF AB ，
所以MN//EF 且MN =EF .
所以四边形MNFE 为平行四边形， 所以
EM//FN .
又因为FN ⊂平面ADF ，⊄EM 平面ADF ，
故EM//平面ADF . …………… 4分 解法二：因为EB ⊥平面ABD ，AB BD ⊥，故以B 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系-B xyz . ……………1分 由已知可得 (0,0,0),(0,2,0),(3,0,0),B A D
3
(3,-2,0),(,0,0)
2C E F M （Ⅰ）3=((3,-2,0)2
EM ,AD=u u u r u u u r
， 设平面ADF 的一个法向量是()x,y,z n =.
由0,0,AD AF n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r
u u u r 得32x -y =0,
=0.⎧⎪⎨⎪⎩ 令y=3，则n =. 又因为3
(=3+0-3=02
EM n ⋅=⋅u u u r
，
所以EM n ⊥u u u r
，又EM ⊄平面ADF ，所以//EM 平面ADF . ……………4分
N
C
A F E
B
M
D
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面ADF
的一个法向量是n =. 因为EB ⊥平面ABD ，所以EB BD ⊥.
又因为AB BD ⊥，所以BD ⊥平面EBAF .
故(3,0,0)BD =u u u r
是平面EBAF 的一个法向量.
所以1
cos <=2
BD BD,BD n n n ⋅>=⋅u u u r
u u u r u u u r
，又二面角D-AF -B 为锐角， 故二面角D-AF -B 的大小为60︒. ……………10分 （Ⅲ）假设在线段EB 上存在一点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.
不妨设(0,0,t)P
（0t ≤≤
，则=(3,-2,-),=PC AF t u u u r u u u r
.
所以cos
u u u r u u u r
u u u r u u u r ，
2
=
，
化简得35-=，
解得0t =<.
所以在线段EB 上不存在点P ，使得CP 与AF 所成的角为30︒.…………14分 （18）（本小题满分13分）
解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)
()(1)ax ax x a f x x -+'=+.
（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1
x
f x x =+,222
e (21)()(1)x x x
f x x -+'=+, 所以(0)1,f = (0)1f '=.
所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分
（Ⅱ）因为22
2222
e (2)e ()(2)(1)(1)
ax ax ax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.
所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2
()2g x ax x a =-+，方程2
()20g x ax x a =-+=的判别式