立体几何中的向量法 课件

A1
B1
所以CE与AB1的距离
d = |n·CA| = 3 . |n| 3
C
A
B
xE
y
利用向量求距离 1.点到平面的距离：连接该点与平面上任意一点的 向量在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断 方向，可取其射影的绝对值）. 2.点到直线的距离：求出垂线段的向量的模. 3.直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离.
d=
A1B1 u
u
=
2 3.
2.已知直三棱柱ABC - A1B1C1的侧棱AA1 = 4, 底面ΔABC中,AC = BC = 2,∠BCA = 900,
E为AB的中点,求CE与AB1的距离.
解：如图建立坐标系Cxyz,则C(0,0,0), z C1
E(1,1,0),A(2,0,0),B1(0,2,4),
4.平行与平面间的距离：转化为直线到平面的距离、 点到平面的距离.
5.异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、 点到平面的距离.也可运用闭合曲线求公垂线向量 的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线 段向量的模.
60o，且 F1 F2 F3 200N .这块钢板在这些力的 作用下将会怎样运动？这三个力最小为多大时，
才能提起这块钢板？
分析:钢板所受重力的大小为
F1
500N，垂直向下作用在三角形
的中心O，
A
F3
F2 C
O
B
500N
如果能将各顶点处所受的力 F1、F2、用F3向量形式表示，求 出其合力，就能判断钢板的运动状态.
探究点1 空间两点之间的距离 根据两向量数量积的性质和坐标运算，
利用公式 a a2或 a x2 y2 z2 (其中 a (x, y, z))，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题.
探究点2 点到直线的距离
设直线 l 的方向向量为 a ,
点P与直线l的距离为d , 则
a
d = AP sin < AP,a >
探究点3 点到平面的距离
设E为平面α外一点,F为α内任意一
点,n为平面α的法向量,则点E到平面的
距离为:
d | n EF | |n|
探究点4 异面直线间的距离 a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b
上的点, n 是a,b公垂线的方向向量,
则a,b间距离为 d | n EF | |n|
探究点5 平面与平面的距离问题：
解：如图，以点 A 为原点,平面 ABC 为 xAy 坐标平面， AB 方向为 y 轴正方向, AB 为 y 轴的单位长度，建 立空间直角坐标系 Axyz ,则正三角形的顶点坐标分
别为 A(0,0 , 0) , B(0,1 , 0) , C( 3 , 1 , 0)
22
设 F1 方向上的单位向量坐标为 ( x , y , z) ，
2( AB AD AB AA1 AD AA1)
111 2(cos 60 cos 60 cos 60)
6.
所以 | AC1 | 6.
回到图形问题
这个晶体的对角线AC1的长是棱长的 6 倍.
例2 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形， 侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，作EF⊥PB交 PB于点F.
P
22
因为底面ABCD是正方形，
F
E
所以点G是此正方形的中心，
故点G的坐标为(1 ,1 ,0),
C
22
D
y
A
G
B
x
且PA (1, 0, 1), EG (1 , 0, 1). 22
所以PA 2EG，即PA / /EG.
而EG 平面EDB, 且PA 平面EDB,
所以，PA / /平面EDB.
空间向量与空间距离
复习回顾
如果表示向量 a 的有向线段所在直
线垂直于平面，则称这个向量垂直于平 面，记作a⊥.
如果a ⊥，那么向量a 叫做平面的
法向量.
l
a
已知向量 AB a和轴 l，e 是 l 上与 l 同
方向的单位向量. 作点 A 在 l 上的射影 A1，
作点 B 在 l 上的射影 B1，则 A1B1 叫做向量 AB
FD ( 1 , 1 , 2), 333
因为cos EFD FE FD FE FD
(
1,1, 36
1) ( 1 , 1 , 6 33
66
2) 3
1
6 1
1, 2
63
3
所以EFD 60 ,即二面角 C PB D的大小为 60 .
例3 如图,一块均匀的正三角形面的钢板所受重
力为500N，在它的顶点处分别受力 F1, F2, F3 ，每 个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是
12
2
3
所以 F1 200(
11 ,,
12 2
2 ).
3
同法可求得 F2 200(
1 ,1 , 12 2
2), 3
1
2
F3 200(
,0 , 3
). 3
合力 F1 F2 F3 200 (
11 ,,
12 2
2 ) (
3
11 , ,
12 2
2 )(
3
1 ,0,
3
2
3
)
200(0 ,0 , 6 ) ，
由于 F1 与 AB , AC 的夹角均为 60 ，
z F1
A x
F3
F2 C
O
B
y
500N
所以
cos
60
1 (x, y , z)( 2
3 , 1 , 0)① 22
cos 60
1 ( x , y , z) (0,1 , 0) 2
②
又∵ x2 y2 z2 1 ③
所以由①②③可解得 x 1 , y 1 , z 2 .
（2）证明：依题意得B(1,1, 0), PB (1,1, 1). 又DE (0, 1 , 1), 22 故PB • DE 0 1 1 0. 22
所以PB DE. 由已知EF PB, 且EF DE E,
所以PB 平面EFD.
(3) 已知PB ⊥EF,由（2） 可知PB ⊥DF,故∠EFD是 二面角C - PB - D的平面角. 设点F的坐标为(x, y, z), 则PF (x, y, z 1), 因为PF k PB, 所以( x, y, z 1) k(1,1, 1) (k, k, k),
(1)求证：PA//平面EDB.
P
(2)求证：PB⊥平面EFD. (3)求二面角C-PB-D的大小.
E F
D A
C B
解：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点， 设DC=1.
(1)证明：连接AC,AC交BD于点G,连接EG.
z
依题意得A(1, 0, 0), P(0, 0,1),
E(0, 1 , 1 ),
在轴上或在e 方向上的正射影，简称射影.
l B1
n A1
A
B b
AB n A1B1 n
已知向量 AB a 和
轴 l，e 是 l 上与 l 同方
向的单位向量. 作点 A 在 l 上的射影 A1，作点 B 在 l 上的射影 B1，则
A1B1 叫 做 向 量 AB 在 轴
上或在e 方向上的正射
影，简称射影.
A1
B1
所以CE =(1,1,0),AB1 =(-2,2,4),
设CE,AB1的公垂线的方向向量 为n =(x,y,z).则
C
A
B
xE
y
n • CE 0, n • AB1 0,
即x2xy20y, 4z 0,
取x=1,则y=-1,z=1,所以 n (1, 1,1).
z
C1
因为CA =(2,0,0).
即x k, y k, z 1 k,
因为PB DF 0,
所以(1,1, 1) (k, k,1 k)
k k 1 k 3k 1 0,
所以k 1 , 3
所以点F的坐标为(1，1，2), 333
又点E的坐标为(0, 1 , 1), 22
所以FE ( 1 , 1 , 1), 36 6
平行平面 , b 的法向量为 u ，则
A，P分别是平面与b上任意一点，
平面与b的距离为d , 则
m D
P
bu
b
l C A
a
d=| AP | |cos AP, u |= | AP u | .
|u|
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，
以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的
夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的
对角线的长与棱长有什么关系？
D1
解：如图1，设
A1
AB AA1 AD 1 ，BAD
D
BAA1 DAA1 60.
化为向量问题
A 图1
C1
B1 C
B
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1.
进行向量运算
2
AC1
( AB
AD
AA1)2
2
AC1
( AB
AD
AA1)2
2
2
2
AB AD AA1
这说明，作用在钢板上的合力方向向上, 大小为 200 6N ,作用点为 O . 由于 200 6 500 ,所以钢板仍静止不动.
要提起这块钢板,设 F1 F2 F3 = x ,
则需 6x 500 ,解得 x 500 ，
6
因此,要提起这块钢板,
F1
,
F2
,
F3
均要大于
500 6
N
．
1.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，E为D1C1
的中点，求B1到面A1BE的距离.
解:建立坐标系.
A1E
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=(-1,1 2
,0),
A1B =(0,1,-1),
z
D1
设u =(1,y,z)为面A1BE的法向量 A1
E
C1
B1
由
u
u
A1E A1B
= =
0, 0,
D
C
y
Ax
B
得 u =(1,2,2),
A1B1 = 0,1,0,
B1到面A1BE的距离为