三角函数及向量和数列综合体

S

C

A

D

B

1(三角函数).已知向量()x x m ωωsin ,cos =,()

x x n ωωcos 3,cos =,设函数n m x f ⋅=)(. （1）若)(x f 的最小正周期是π2，求)(x f 的单调递增区间; （2）若)(x f 的图象的一条对称轴是6

π

=x ，（20<<ω），求)(x f 的周期和值域.

2（三角函数）在ABC ∆中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，已知向量(,)p a b c =+

， (,),q b a c b =-- ||||,p q p q +=-

且（Ⅰ）求角A 的值；

（Ⅱ）若3a =，设角B 的大小 为,x ABC ∆的周长为y ，求()y f x =的最大值.

3（立体几何）如图，已知四棱锥S-ABCD 的底面ABCD 是边长为1的正方形，

SA ABCD ⊥平面，2SA =，E 是侧棱SC 上的一点．

（1）求证：EBD SAC ⊥平面平面； （2）求四棱锥S-ABCD 的体积．

4（立体几何）如图，在四棱锥S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，90ABC ∠=

，1, 2.SA AB AD BC ==== （Ⅰ）求异面直线BC 与SD 所成角的大小； （Ⅱ）求直线SC 与平面SAB 所成角的正切值； （Ⅲ）求三棱锥D SBC -的体积.

5（解析几何）已知直线1y kx =+ (k ∈R)与圆C:2

2

4x y +=相交于点A 、B, M 为弦AB 中点(Ⅰ) 当k=1时，求弦AB 的中点M 的坐标及AB 弦长； （Ⅱ）求证：直线与圆总有两个交点;

（Ⅲ）当k 变化时求弦AB 的中点M 的轨迹方程．

Ｓ B

C

D

A

Ｅ

6（解析几何）已知圆P 的圆心在第二象限，且经过点()1,0A -和()3,4B ，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且||410CD =. (1) 求圆P 的方程；

⑵设点Q 在圆P 上，试问使△QAB 的面积等于8的点Q 共有几个？证明你的结论.

7（函数）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)a g x x =-，其中(01)a a >≠且,设

()()()h x f x g x =-．

(1)求()h x 的定义域，并判断奇偶性，说明理由； (2)若(3)2f =，求使()0h x >成立的x 的集合．

8（函数）已知奇函数2()x b f x x a +=

+的定义域为R ，1

(1)2f =

．

（1）求实数,a b 的值；

（2）证明函数()f x 在区间(1,1)-上为增函数；

（3）若

()3()x

g x f x -=-，证明函数()g x 在(,)-∞+∞上有零点．

9（数列）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =2a n -2n +1，n ∈N *．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n = log 2S n n ，T n =1b n +1b n +1+1b n +2+…+1

b 2n -1，是否存在最大的正整数k ，使得对于任意的

正整数n ，有T n >k

12恒成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由．

10（数列）设数列{}()n a n N ∈满足122,6,a a ==且对一切n N ∈，有2122n n n a a a ++=-+．

（1）证明：数列{}+1-n n a a 是等差数列. （2）求数列{}n a 的通项公式. （3）设 1231111

345(2)n n

T a a a n a =

+++++ ，求n T 的取值范围．