高等数学2-1
高等数学一(1)完整答案
（6）令 ，则
原式=
（7）令 ，则
原式=
（8）令 ，则
原式=
（9）原式=
（10）原式=
（11）原式=
（12）原式=
（13）原式=
（14）令 ，则 ，
原式=
（15）令 ，则
原式=
（16）原式=
（17）原式=
（18）原式=
2、（1）原式=
（2）原式=0（因为 在 上为奇函数）
（3）原式=0（因为 在 上为奇函数）
原式= 发散
，而事实上 矛盾
方程 只有正根。
5.解： 为一元三次方程， 为一元二次方程，
故只有两个实根。
又
由罗尔定理知，两实根区间分别为 。
习题3-2
1.（1）原式
（2）原式
（3）原式
（4）原式
（5）原式
（6）原式
（7）原式
（8）原式
（9）原式
（10）原式
（11）原式
（12）原式
2.解：
3.解：
若用洛必达法则，则无限循环，即
（4）原式=
3、（1）证明：令 ，则
所以
（2）证明：令 ，则 ，
所以
（3）证明：令 ，则 ，
所以
6、（1）原式=
（4）原式=
（6）原式=
（8）令 ，则原式=
（9）原式=
（10）原式=
习题5—4
1、（1）
（3） ，发散
2、（1） 为函数 的无穷间断点，所以原式= 发散
（3） 为函数 的无穷间断点，所以
故 ，
，得唯一驻点： 。
当 ， 时，圆柱体积最大。
15.解：设生产 台，利润最大。
则目标函数为
高等数学(2-1)专科 复习题及答案32
《高等数学》复习题1一、判断题（每题3分，共15分） 1. f(x)=x 是偶函数 （ ）2． f(x)=2x+1在x=0处连续。
（ ）3. u(x) 、v(x)可导，则v u v u v u '+'='+)( （ ）4.⎰⎰+=vdu uv udv （ ）5. x=0是函数y=cosx 的驻点 （ ）。
二、选择题 (每题3分，共15分)1．=→xxx sin lim0（ ）①.1 ②.2 ③.21④. 0 2． f(x)=392+-x x 的间断点（ ）①.1 ②.2 ③.-3 ④. -43. 函数3x y =在x=0点的切线方程__________. ①.x=0 ②. y=0 ③. x=1 ④. y=1 4.⎰=dx x 2( )①.c x+22ln 1 ②.2x +c ③. x x ln 2+c ④. 2ln 2x 5. =+⎰-dx x xx 2224cos ( ) ①.0 ②.1 ③. 2 ④. 3三、填空题(每题3分，共15分)1. x y 2sin =是由函数2u y =与_____复合而成。
2. =+/)1(sin x __________ 3． d(tanx)=_____________. 4.⎰xdx =______________.5. 设f(x)连续,且F(x)是f(x)的一个原函数,则 (x)baf dx =⎰____________.四、（10分）叙述拉格朗日微分中值定理 五、综合计算（每题5分，共30分）1. 求极限（1）1231x 4lim 222-++→x x x （2）xx x3)11(lim +∞→2. 求下列函数的导数（1）y=x 2 -3x 4 +2 （2）y=sinx 23. 求积分（1）dx x x x)2sin 2(3⎰+-(2)⎰2cos πxdx x六、（15分）求函数y=19623-+-x x x 的单调区间、极值。
高等数学2
高等数学2
高等数学2是为大学生准备的一门学科，也是一门非常重要的基础课程。
它涉及到各种数学技术，如计算机科学、微积分、线性代数、概率论和统计方法。
高等数学2的课程内容不仅涉及到微积分的基础理论，还包括各种复杂的函数、积分计算、区域计算以及曲线分析等方面的内容。
学习高等数学2时，首先要明白各种数学技术的基本思想，建立起对各种术语的正确理解和数学概念之间的关系。
同时，还要学习数学公式和证明，以及数学计算的基本方法。
此外，还要掌握基本的计算机语言、软件技术和计算机编程，以及基本的数据分析技术，为今后的工作做好准备。
学完高等数学2学生还要掌握基本的统计理论和方法，以及概率论的基本思想和设计及数据处理的基本原理。
学生还要学习如何用计算机来解决数学问题，包括数学建模、分析和解决实际问题等。
最后，学习完高等数学2学生还要有一定的研究能力，掌握数学技术，熟悉数据分析和统计技术，进行数学模型分析，解决实际问题。
总之，高等数学2不仅涉及到微积分的基本理论，还与计算机科学、数据分析和统计技术有关。
学习高等数学2不仅要学习数学理论，还要有利用理论解决实际问题的能力。
通过艰苦的学习，学生们将能够掌握高等数学2中的基本知识，深入了解各种数学技术，为将来的学习和工作做好充分的准备。
- 1 -。
高等数学2-1
∆x
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即 类似有
(sin x )′ = cos x (cos x )′ = − sin x
正弦余弦 求导公式
例 7 求 f(x) = loga x （a > 0，a ≠1）的导数。 ， ）的导数。 解
log a ( x + ∆ x ) − log a x ∆y f ′( x ) = lim = lim ∆ x→0 ∆ x ∆ x→0 ∆x
单 侧 导 数
f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = lim 0 ∆x→ + ∆x
判断函数在某一点可导的充分必要条件： 判断函数在某一点可导的充分必要条件：
′ ′ 数 函 f (x)在x0 点 导 ⇔ f−(x0) = f+(x0)。 可
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处的可导性。 例 3 讨论函数 f (x) = | x | 在 x = 0 处的可导性。
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则比值
∆y y − y0 f (x) − f (x0) = = x − x0 ∆x x− x0 就是割线 MN 的斜率 tanϕ 。当∆x → 0(即 x → x0) 即
沿曲线C 趋于点M 时，N 沿曲线 趋于点 ，从而可以得到切线的 斜率为
f (x) − f (x0) ∆y k = tanα = lim = lim x→x 0 ∆x→ ∆x x − x0
由此可见，前面两个引例说明， 由此可见，前面两个引例说明，曲线 y = f(x) 在点 (x0 , f(x0)) 处切线的斜率就是函数 f(x) 在点 x0 处的导数，即 处的导数，
k = f ′( x 0 )
而直线运动 s = s(t) 在时刻 t0 的瞬时速度就是 的导数， 函数 s(t) 在点 t0 的导数，即
高等数学 第二章 极限和导数2-1导数的概念
2. 曲线的切线问题 曲线 点处的切线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 当 时) 割线 M N 的斜率 f ( x ) − f ( x0 ) ta n ϕ = x − x0 切线 MT 的斜率
= lim ta n ϕ = lim
ϕ→ α
x → x0
f ( x ) − f ( x0 ) x − x0
(1)
存在, 存在 则称函数 f ( x ) 在点 x0 处可导 并称此极限 可导, 处的导数 导数， 值为 y = f (x)在点 x0 处的导数，记作 在
f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆x
f ′ ( x 0 ) = lim
∆ x→ 0
也可记作: 也可记作
y′
x = x0
;
处的导数为无穷大 此时，导数不存在； 在点 x0 处的导数为无穷大 . 此时，导数不存在； 2°在 一 点 的 导 数 是 因 变 量在 点 x 处 的 变 化 率 , ° 0
它 反 映 了 因 变 量 随 自 变 量 的 变 化而 变 化 的 快 慢 程 度.
时刻的瞬时速度 运动质点的位置函数 运动质点的位置函数 s = f ( t ) 在 t 0 时刻的瞬时速度
LLL
二、导数的概念 内 1. 定义 定义2.1 设函数 y = f (x) 在 x0 的某邻域 U(x0)内
有定义. 有定义
若
x0 + ∆x ∈ U ( x0 )
∆ y = f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆y lim = lim f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x 0 ) ∆ x → 0 ∆ x ∆x→ 0 ∆x
dy d f (x) ; d x x = x0 d x x = x0
2_1_4 反函数和隐函数的导数 高等数学 微积分 考研数学
例2. 求由方程 y5 2 y x 3x7 0 确定的隐函数
y
y(x)
在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0
.
解: 方程两边对 x 求导
d dx
(
y
5
2
y
x
3x
7
)
0
得
5y4 d y 2 d y 1 21x6 0
dx dx
dy 1 21x6 dx 5y4 2
因x=0时y=0,
(a x ) a x ln a
(ex ) ex
(loga
x)
1 x ln a
(arcsin x) 1
1 x2
(ln x) 1
x
(arccos x) 1
1 x2
(arctan
x)
ห้องสมุดไป่ตู้1 1 x2
(arc cot
x)
1
1 x
2
Page
11
2. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v
(Cu) Cu ( C为常数 )
(arctan x)
1 1 x2
,
利用 arccos x
arcsin
x
2
(arccot
x)
1 1 x2
Page 3
2) 设 y a x (a 0 , a 1) , 则 x loga y , y ( 0 , )
(a x )
1 (loga
y)
1
1
y ln a a x ln a
y ln a
Page 16
4.
设
y (sin x)tan x y1
高等数学(同济大学)课件上第2_1导数的概念
说明：
对一般幂函数 y x ( 为常数)
(x ) x1
（以后将证明）
例如，(
1
x ) (x 2 )
1
x
1 2
2
1 2x
1 x
(x1)
x11
1 x2
(
1
3
) (x 4 )
3
x
7 4
xx
4
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例3. 求函数
的导数.
解:
则
lim f (x h) f (x) lim sin(x h) sin x
第二章
导数思想最早由法国
导数与微分 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
微积分学的创始人: 英国数学家 Newton 德国数学家 Leibniz
导数 微分学 微分
描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
第一节
第二章
导数的概念
一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数
曲线 C : y f (x) 在 M 点处的切线斜率
y y f (x) N
f (x0 )
CM
T
说明: 在经济学中, 边际成本率, o x0 x x
边际劳动生产率和边际税率等从数学角度看就是导数.
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y f (x) f (x0) x x x0
若上述极限不存在 , 就说函数 在点 x0不可导.
若 lim y , 也称 x0 x
在 的导数为无穷大 .
若函数在开区间 I 内每点都可导, 就称函数在 I 内可导.
2014年9月份考试高等数学(II-1)第二次作业
错
20. 设，则与相同.
(本题分数：2 分，本题得分：0 分。)
A、正确 B、错误
题目信息
难度： 2
正确答案： B
解题方案： 定义域不同
错
难度： 4
正确答案： B
解题方案： 分别求一阶导数和二阶导数，然后根据这些信息解题
选B
13. 函数在[-2,2]上的最大值为（ ）
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、 ０
B、 １
C、 ２
D、 -２
题目信息
难度： 4
正确答案： C
解题方案： 先求极值，再求端点的函数值，将极值和端点的函数值进行比较，大的为最大值，小的为最小值
选C
14. 满足的x的取值范围是（ ）
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、
B、
C、
D、
题目信息
难度： 4
正确答案： D
解题方案： 利用反三角函数定义解题
B、
C、
D、
题目信息
难度： 4
正确答案： C
解题方案： 无穷大的倒数是无穷小
选 C
12. 曲线( )
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、有四个极值
B、有两个极值
C、有三个拐点
D、对称原点
题目信息
难度： 5
正确答案： D
解题方案：
19. 函数的反函数是（ ）
(本题分数：3 分，本题得分：0 分。)
A、
B、
C、
D、
高等数学(2-1)模拟试题二
高等数学(2-1)模拟试题二《高等数学2-1》模拟试题二一．填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20）1 当x x →0时,)(x f 是比)(x g 高阶的无穷小,则当x x →0时, 无穷小 )()(x g x f +f(x)+g(x) 与无穷小)(x g 的关系是___________________.2. 若)(x f 为可导的奇函数,且()f x '05=,则()=-0'x f __________. 3. ().1,0._______________41lim 20≠>=-→a a x a x x4. ()⎰=-dx x x x tan sec sec ____________________.二.选择题（本题共4小题，每小题5分，满分20分。
每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）1. 极限.cos 22lim 0x x x -→的结果是(A)1, (B)2, (C)2, (D)极限不存在. 答: (）2. 已知a 是大于零的常数()f x a x()ln =+-12,,则f (')0的值应是: ()ln ()ln ()ln ()A a B a C a D -1212答: (）3. 设)(''u f 连续,已知n xf x dx tf t dt''()''()20102⎰⎰=则n 应是(A)2, (B)1, (C)4, (D)41 答: (）4. 曲线x y sin =在[,]-ππ上与x 轴所围成的图形的面积为(A)2, (B)0, (C)4, (D)6.三.计算题（本题共7小题，每小题7分，满分49分。
）1. 设(),2ln 1)(22x x x x x f -+-=求)(x f 的定义域2．设函数)(x f 具有二阶导数，且2)0( '' ,1)0(' ,0)0(===f f f 求.)(lim 20xx x f x -→3．求()⎰+dxx x 2cot 3tan 24.求 .arctan xdx5.求 .sin 1cos sin 204dx xxx ⎰+π6. 设()⎩⎨⎧==2)( t f y t f x 其中)(t f 三阶可导且,0)( ≠t f 求.22dx y d7.设)(x y y =由方程3=+x y y x 所确定求)1( 'y四、证明题：（本题11分）证明当0≥x时有不等式().-≤ln x1xe x+《高等数学2-1》模拟试题二答案一、1.等价无穷小． 2.f x '()-=05. 3.12ln .a 4. tanx-secx+c .二、1。
高等数学(II-1)
单项选择题1、函数的间断点是（）。
A、2、下列结论中不正确的是（）。
A、在处连续，则一定在处可微3、下列麦克劳林公式正确的是( )。
A、4、设，则（）。
D、5、若，则的取值范围是（）。
A、6、当时，下列变量中为无穷小量的是（）C、7、设, 当从变到时，函数的增量为( ) 。
B、8、骆驼被称为“沙漠之舟”，其体温随时间的变化而变化，则下列量可以视为常量的是（）。
D、骆驼的体重9、函数在点处取得极大值，则必有（）。
D、10、( ) 。
B、11、在定义区间的最小值是（）。
D、不存在12、( )。
C、413、若是上的连续偶函数，则( ) 。
C、14、定积分值的符号为（）。
C、等于零15、曲线所围平面图形的面积为( )。
B、16、= ( ) 。
A、17、设函数，则该函数( )。
B、在两端点处取值不相等，因此不满足罗尔定理的条件18、( )。
B、19、函数在区间上满足罗尔定理的( )。
C、20、 d( )= C、21、若，则下列式子一定成立的有（）。
C、22、设在上有定义，函数在点处左、右极限都存在且相等是函数在点处连续的( )。
C、必要条件23、( ) D、24、（）是函数的原函数。
D、25、积分的值为（）。
C、026、函数，则（）。
A、27、若，则（）。
C、128、函数在处的导数等于( )。
D、429、若对任意，有，则（）。
D、对任意，有(是任意常数)30、设,则=( ) B、31、（）。
D、32、若，下列各式正确的是( )。
C、33、是（）的一个原函数。
B、34、当时，下列函数是无穷小是( )。
C、35、设,则=( )。
B、36、下列说法正确的是（）。
B、若在不可导，则在不连续37、( ) C、138、( )。
B、139、若函数在点连续，则在点( )。
D、有定义40、当=（）时，函数，在处连续。
B、141、三次曲线在处取极大值，点是拐点，则（）。
B、42、函数导数不存在的点是( )。
C、43、幂函数的定义域是( )。
《高等数学》课件2-1微商的概念
03 可导函数的拐点满足一阶导数变号，二阶导数不 为零。
导数的计算方法
定义法
通过导数的定义公式计算导数。
链式法则
对于复合函数的导数，使用链式法则进行计算。
乘积法则
对于两个函数的乘积的导数，使用乘积法则进行计算。
幂函数求导法则
对于幂函数的导数，使用幂函数求导法则进行计算。
微积分基本定理的应用非常 广泛，它可以用来计算定积 分、解决一些微分方程以及 证明一些重要的数学定理。
微积分的应用实例
在物理学中，微积分被广泛应用于解决力学、热学、光学等问题，例如计算物体运动的速度和加速度 、求解热传导方程等。
在工程学中，微积分是解决各种实际问题的必备工具，例如在电路分析、流体动力学、控制理论等领域 中，都需要用到微积分的知识。
在具体运算中，微商的符号表 示可以与其他数学符号进行运
算，如乘法、加法等。
微商的符号表示形式简洁明了 ，能够直观地反映函数在某一
点处的变化趋势。
微商的几何意义
微商在几何上表示曲线在某一 点处的切线斜率。
若函数在某一点处可导，则该 点处存在切线，切线的斜率即
为函数在该点的微商。
对于不可导的函数，微商无法 给出切线斜率的具体值，但在 可导区间内，微商可以描述函 数在该点附近的局部变化趋势 。
04
微商与积分的关系
导数与积分的关系
01
导数是函数在某一点的变化率，而积分则是一种求和运算 ，两者在概念上存在明显差异。
02
导数和积分在微积分中具有密切的联系，通过微积分基本定理， 我们可以将一个函数的积分转化为其导数的积分之和，从而将求
积分的问题转化为求导数的问题。
国家开放大学《高等数学基础》形考任1—4答
（一）单项选择题1-1.（）1-2.（3xf=，x)(xln)(=）3g lnx2-1.（）。
2-2.（）。
3-1.（）。
3-2.（）。
4-1.（）。
5-1.（）.5-2.（）.6-1.（y轴）6-2.设函数)f(xx(x-的图形关于（坐标原点）对)f-f的定义域为)(,(+∞-∞，则函数)称．7-1.（）。
7-2.（）。
8-1.（）。
8-2.（）。
9-1.（）9-2.（1)ln(+x）10-1.（）第二套1-1.（）。
1-2.（）。
2-1.（）s。
2-2．（）s。
3-1.（e）。
3-2.（4）4-1.（0）。
4-2.（-99!）5-1.（）。
5-2.下列结论中正确的是（）6-1.（）（）6-2.（）7-1.下列结论中（）不正确．7-2. 下列结论中（）不正确．8-1.（）（）8-2.（）9-1.（）。
9-2.（）10-1.（）。
10-2.（）。
（第三套1-1. （）。
1-2.（）。
2-1.（）。
2-2.（）。
3-1.（）。
3-2.（）。
4-1.（）。
4-2.（）。
5-1.（）。
5-2.（）。
6-1.（）。
6-2.（）。
7-1.（）。
7-2.（）。
8-1.（）。
8-2.（）。
9-1.（1）。
9-2.（）。
10-1.（）。
10-2.（4）。
（二）判断题11-1.（×）11-2.（×）12-1.已知函数f（x+1）=x2+2x+9，则f（x）=-x2+8.（×）12-2.（√）13-1.（√）13-2.（√）14-1.（√）14-2.（×）15-1.（×）15-2.（√）16-1.（×）16-2.（×）17-1.（√）17-2.（×）18-1.（√）18-2.（√）19-1.（√）19-2.（×）20-1.（√）20-2.（√）（第二套）11-1.（×）11-2.（√）12-1.12-2.（×）13-1.（×）13-2.（√）14-1.（×）14-2.（×）15-1.（√）15-2.（√）16-1.（√）16-2.（×）17-1.（×）17-2.（√）18-1.（×）18-2.（√）19-1.（×）19-2.（√）20-1.（×）20-2.（×）（第三套11-1.（√）11-2.（×）12-1.（√）12-2.（√）13-1.（×）13-2.（√）14-1.（×）14-2.（√）15-1.（√）15-2.（×）16-1.（√）16-2.（×）17-1.（×）17-2.（√）18-1.（√）18-2.（×）19-1.（×）19-2.（√）20-1.（√）20-2.（×）三计算题1.解：limx→0tanx2x=limx→0sinx2xcosx=limx→012cosx=122.解：limx→3sin(x−3)x2−5x+6=limx→3sin(x−3)（x−2）(x−3)=limx→31（x−2）=13.解：y′=2x ln2−2xcosx2 4.解：y′=3cos3x+2lnxx 5.解：∫1xlnx dx=∫1lnxd(lnx)=ln(lnx)+c6.解：∫sin1xx2dx=−∫sin1xd1x=cos1x+c7.解：∫5xe x dx =5xe x ∣01−∫e x d5x =5e −(5e −5)=5110 8.解：∫xcosxdx=xsins ∣0π2−∫cosxdx =π2−sinx π20π0∣0π2=π2−1（四）应用题9. 某制罐厂要生产一种体积为V 的有盖圆柱形容器，问容器的底面半径与高各为多少时用料最省？解：设容器的底半径为r ，高为h ，则其表面积为S =2πr 2+2πrℎ=2πr 2+2V rS ′=4πr −2V r 2由S ′=0，得唯一驻点r =√V2π3,由实际问题可知，当r =√V2π3时可使用料最省，此时h =√4Vπ3,即当容器的底半径与高分别为√V2π3、√V2π3时，用料最省。
高等数学二 (1)
高等数学第一章：函数与极限1、函数的有界性：在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。
函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。
2、数列的极限定义：一般地，对于数列来说，若存在任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在正整数N，使得对于n＞N时的一切不等式都成立，那末就称常数a是数列的极限，或者称数列收敛于a .记作：或注：此定义中的正数ε只有任意给定，不等式才能表达出与a无限接近的意思。
且定义中的正整数N与任意给定的正数ε是有关的，它是随着ε的给定而选定的。
定理(极限的唯一性)：数列{x n}不能同时收敛于两个不同的极限。
定理(收敛数列的有界性)：如果数列{x n}收敛，那么数列{x n}一定有界。
如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。
定理(收敛数列与其子数列关系)：如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。
3、函数的极限：函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。
定义：设函数，若对于任意给定的正数ε(不论其多么小)，总存在着正数X，使得对于适合不等式的一切x ，所对应的函数值都满足不等式那么常数A就叫做函数当x→x0（∞）时的极限，记作：注：下面我们用表格把函数的极限与数列的极限对比一下：数列的极限的定义函数的极限的定义存在数列与常数A，任给一正数ε＞0，总可找到一正整数N，对于n＞N的所有都满足＜ε则称数列，当x→∞时收敛于A记：。
高等数学2-1
C −C f ( x + h) − f ( x ) = lim f ′( x ) = lim = 0. h→ 0 h→ 0 h h (C )′ = 0.
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第二章 导数与微分
第一节 导数概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高阶导数 第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数 的导数 相关变化率 第五节 函数的微分
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y
如果割线MN绕点 绕点M 如图 如果割线 绕点 旋转而趋向极限位置MT,直 旋转而趋向极限位置 , 就称为曲线C在点 线MT就称为曲线 在点 处 就称为曲线 在点M处 的切线. 的切线. 极限位置即
y = f (x)
N T
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dy dx
x = x0
df ( x ) 或 dx
x = x0
,
即 其它形式
y′ x=x0 = lim
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) ∆y = lim ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x
t0
2014-2015-1工科高数(2-1)期末考试A卷参考答案
2014—2015学年第一学期《高等数学（2-1）》期末考试A卷( 工科类 )参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限16 %；第二章一元函数的导数与微分16 %；第三章微分中值定理与导数的应用14 %；第四章不定积分15 %；第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13 % .一．（共3小题，每小题4分，共计12 分）判断下列命题是否正确在 题后的括号内打“√”或“⨯” ，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进行说明 .1．极限xx 1sinlim 0→不存在. （ √ ）--------------------------------------------------（2分）证 设x x f 1sin )(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sin lim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sin lim 0→不存在. ---------------------------------------------------------------（2分）2．若曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导. （ ⨯ ）--------------------------------------------------------（2分） 例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导.---------------------------------------------------------（2分）3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 内二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . （⨯ ）----------------------------------------------------------（2分）例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但 0)0(=''f .. ---------------------------------------------------------（2分）二．（共3小题，每小题6分，共计18分） 1. 求极限)!sin()11(lim n nnn ⋅-∞→ .解 ,0)11(lim =-∞→nn n,1)!s i n (≤n ------------------------------------------------------（3分）.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------（3分）2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解 44)1(l i mx dtet x xt x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------（2分）xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→---------------------------------------------------------------------（2分）.141lim 434=++=+∞→x x x x --------------------------------------------------------------------（2分）3．求极限)21(lim 222222nn nn n n n n ++++++∞→ . 解 )21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------（2分） ⎰+=1021x dx ---------------------------------------------------------------------（2分） 4arctan 10π==x. ----------------------------------------------------------------（2分）1．求函数()xx eex f 11211++=的间断点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的间断点，---------------------------------------------------------------------（3分）又 )(lim 0x f x +→21211lim 11=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e ， 0=∴x 是)(x f 的跳跃间断点. ---------------------------------------------------------------（3分）2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222x e e x x --=----------------- （3分 ） 当0=x 时，0)0()(lim )0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ （ 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==' , --------------------------------------------------------------------（3分）22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin dt t dx =()sin d dt t t dt dx =⋅sin cos ()t t t x t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------（3分）1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx e xxln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------------------------------（3分）)(2122⎰=x d e x -------------------------------------------------------------------------（2分） .212C e x += ----------------------------------------------------------------------（1分）2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1 -------------------------------------------------------（2分） ⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------（2分） ⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412 C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------（2分）3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------（2分）dx x 210120-+=⎰（上半单位圆的面积）-----------------------------------（3分）242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------（1分）解2dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-----------------------------（2分）+=0dx x 2111-+⎰-（上半单位圆的面积）-------------------------------（3分）2π=.-------------------------------------------------------------------------------------（1分）五．（本题8分）设由曲线 x y ln = 与直线 0=-ey x 及 x 轴 所围平面图形为 D (1) 求D 的面积S ；（4分）(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积 V .（4分）解 曲线x y ln =与直线 0=-ey x 的交点为)1,(e ----------------------（1分）.12-=e------------------------------------------（3分） （2） ⎰⎰---=-=1210221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------（2分）⎰⎰+---=1221022)2()1(dy e ee e dy y e y y ππ.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ----------------------（2分）xx ⎰-=1)()1(dyy e e S y 12]2[e ye y -=六．（共2小题，每小题6分，共计12分）1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水 (水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=. --------------------------------------------------（1分）.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------（2分）2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开始降落，若空气的阻力与速度成正比（比例系数为0>k ），求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有 kv mg dtdvm-=，其中g 为重力加速度，-------------------------------------------（2分） 分离变量，得m dtkv mg dv =- ， 两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- （其中1kC eC -=，0>-kv mg ）---------------------------------（2分）由已知0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故 .)(0tm ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------（2分）y,],0[R x ∈∀所做功的微元：取],[dx x x +（其中g x dx x R g dW ⋅-=)(22πρ分）（3)(32dx x x R g -=πρ23()RW g R x x dxρπ=-⎰故七．（本题6分）求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------（3分） 而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------（1分）B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ， 2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比较同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------（2分）八．（本题8分）设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距且L 经过点)0,21(. （1）试求曲线L 的方程；（2）求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解（1）过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------（2分）令u x y =，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dxudu )0(>xC x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L 的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------（2分）（2）曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------（2分）所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(内的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------（2分）。
高数A(一)第二章答案
《高等数学教程》第二章 习题答案习题2-1 (A)1.63. 4. (1) ;)(0x f ' (2) ;)(0x f '- (3) ;)0(f ' (4) .)(20x f '5. (1);54x (2);3231-x (3) ;3.231.x (4) 32--x ; (5) 2527x ; (6) 1013x 103--.6. (1) 19.6 米； 19.6 米/秒 .7. 切线方程 ,0632=--+πy x法线方程 .03232=-+-πy x 8.（2，4）.9. (1)在0=x 连续且可导； (2)在0=x 连续且可导. 10. ;0)0(='+f ;-1)0(='-f )(x f 在点0=x 处不可导.习题2-1 (B)4.e1. 7. 0)0(='f .习题2-2 (A)1.(1) 33464xx x --; (2) 21232121----x x ; (3) x x sin 5cos 3+;(4) x x x x x x tan sec cos sin 22++; (5) 1ln +x ; (6)x x x x x22csc sec tan 21-+; (7) 2ln log 22xx x +; (8) b a x --2; (9)2)cos 1(1sin cos x x x +++;(10)2sin cos x xx x -; (11)2ln 1xx- (12)3)2(xe x x-; (13) x x x x x x x x sin ln cos cos ln 22⋅⋅-+⋅⋅;(14) x x cos 2;2. (1) 218332ππ-; (2) )42(22π-; (3) 181-;(4) 1517)2(,253)0(='='f f . 3. 3t 2t ==或.4. 切线方程 x y 2=，法线方程 x y 21-=.5. (1) 410; (2) 0 ; (3) 410- .13.(1)4)32(10+x ; (2) )31(cos 3x --; (3)212x x+; (4) a a e xxln +; (5)22)110(ln10102e 2+⋅+-x x x x x ; (6) 4x12-x ; (7) 222sin x a x x ---; (8) )(sec 3322x x ;(9) x2x ee +1; (10) a x x x 2ln )1(12+++. 14.(1) 322)41(38-+x x ; (2) )2(cos 2ln 2x x ⋅(3) x e x e xx 3sec 33tan 21222--+-; (4) 122-x x x ;(5)x xarctan 122+; (6)xxx-33sin 3ln 3cos 3;(7)221xx -; (8)22xa +1;(9) sec x ; (10) csc x .15.(1) )(cos 22cos 22x x x-; (2) csc x ; (3)2ln 22)1(22arctanx xx x x e ++; (4))(ln ln ln 1x x x ;(5)22)arccos (12x x x-; (6) -2sec2x .16.(1) cosh(cosh x )sinh x (2))(ln cosh 12x x ; (3) (3sinh x +2)sinh x cosh x (4) ⎪⎭⎫ ⎝⎛+a x a 1x e x cosh 2sinh 22cosh ; (5) )1(cosh 222x x --; (6) 22224++x x x;(7)1242-x x e e ; (8) x 3tanh .17. (1))32(2x x +; (2) )3sin 93cos 7(x x e x --;(3) 2ln 2cos 2sin 2ln 2sin xxxx +; (4)222)arcsin (1arcsin 1x x x -x x --;(5)1ln 1+-n x x n ; (6) 3xx arctan 962+;(7) x cosh 12; (8) 222arctan2x)()4x 1()4x 1(2arctan2x )4x 1(4++-+.习题2-2 (B)1. (1)22)1(2x x-; (2) 23323)2()321()(-)2()211(x x-x-x x x x-x++;(3) )cos (cos )cos sin ()cos (sin )sin (sin αx x αx x x x x α++++-;(4) 23)cos 1(sin 2sin )cos 1(x xx x +++; (5) 22)tan (sec 2-tan 2x x x x x +;(6) )sec 2()ln 2(cos )tan (cos 1)tan ()ln 2(sinx 222x x x x x x x xx x x +-++-+--;(7) )49283(224+-x x x ; (8))ln (1x x 2-+.2.2)()(d xx g x g x dx y -'=. 3. 切线方程：022=--y x 和 022=+-y x .6. (1) 400英尺；(2) v(2) = 96英尺/秒 ； v(8) = - 96英尺/秒 ； (3) 10秒 7. (1) )()(e ()()(x x x f x f x e f x f e )e f e '+'; (2) )()]([x f x f f '';(3) x x f x x f )sin2(cos )sin2(sin 22'-'; (4) )(n n 1n b ax f x a -+'. 8. (1))()()()()()(d 22x x x x x x dx y ψϕψϕϕψ+'-'=. (2))()()()()()(d 22x x x x x x dx y ψϕψϕϕψ+'+'=. 9. x21)(='x f ; 21)21(='f .10. x xx f 121)(3---='. 12. (1) 211x +; (2)xx x xxx +++++2)21(1211; (3) 242x -;(4) xx x 2455ln 212⋅++; (5) a b a b x b b a a x a b xa b ln 11⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-;(6) ()2111ln ln a aa x axa xa a x a a x a a +-+-++; (7) 222-1)(1)-(12xx x +;(8) x e x x 1sin 222sin-; (9) 3/22)(1arcsin x x x -; (10) xx x x 21254e11ln55151++--. 13. )1(sin )1(sin 1cos 22x f x f x x'-. 14.)(22x xcos dx y d =; )()(22x cos x d y d =; )(32)(23x cos x x d y d =. 15. )2arcsin()]([x x f ='ϕ; 411)]([xx f -='ϕ; 412])]([[xx x f -='ϕ.16.1sin cos 222+πππe e e .17.)()1(2x 2x xe sin x xe dx yd +=. 18. 2e .习题2-3 (A)1. (1) 214x-; (2) x e 214-; (3) x x x sin cos 2-; (4) x exsin 22-; (5) 2/3222)(x a a --; (6) 232)1(/x x +-; (7) )23(222x xe x +; (8) 3)22(xx x e 2x +--; (9) x x tan sec 22; (10) 212tan 2xxx arc ++.习题2-3 (B)1. (1) n! (2) 1)1(!2)1(+--n nx n (3) )2(!)2()1(1≥---n xn n n ;(4) ]2)1(2[21π-+n x sin -n ; (5) )(n x e x +;(6) ])1(1)2(1[!)1(11++----n n n x x n ; (7) ])(1)()1([!)1(1nn n nbx a bx a b n -++---; (8) n m x n mm m m -++---1)1()11()21()11(1 ;(9) ]22[2π⋅+-n x cos n(10) 11)21(!2+--n n x n 2. (1) x cos e y x 4)4(-=; (2) x cosh xsinhx y 100)100(+=; (3) )2sin 212252cos 502sin (2250)0(x x x x x y 5++-=; 3. (1) )()(222x f 4x x f 2''+'; (2) 22x f x f x f x f )]([)]([)()('-''. 5. 21+=x y , 3x y )2(2+=''. 7. 0=+y dt yd 22.8. 0=+y dt yd 22.习题2-4 (A)1.(1) x y y -; (2) ax y x ay 22--; (3) yy xe e +-1; (4) y x y x e x y e ++-- (5) )(1)(11xy cos x yxy cos y x +-+ (6) )(1)(2222y x f 2y y x f 2x +'-+'. 3. 切线方程：022=-+a y x ； 法线方程：0=-y x .4. (1) ]1)1([)1(222x2xsinxx cos ln cosx x sinx +++⋅+; (2) ]2cot 2sec cos 22tan ln sin [)tan (2cos x x x x x x x ⋅⋅+⋅-;(3) ]163112[)1(3)1(232x xx x x x x 2++--++-+; (4)])(251121[2)1(3122x x x x x x x 35-+++-+; (5) ])1(21[121xx xe e cotx x e sinx x --+-; (6) )ln 1()ln 1lnln ()ln (21x x xx x x x -++-;(7) )1(1+++-lnx x ln x x x ππππ;(8) ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛x a b b a ln a x x b b a ba x .5. (1)t 2a 3b dx y d =; (2) t tdx y cos 2cos2d =; (3)ϕtan d -=dxy ; (4) θθθθθθcos -sin -1sin -cos d =dx y . 6. (1) 切线方程：042=-+y x ; 法线方程：032=-+y x . (2) 切线方程：01234=-+a y x ; 法线方程：0643=+-a y x .习题2-4 (B)1. (1) )(ln )()(ln )()(ln )()(2x x x ψx x x ψx ψϕϕϕϕ'-';(2) )()()(ln )()()()()(2)(x x x x x x x x x ψϕψψϕϕψψϕ'-'.2. ye e x y d dx yx y x --=++.3. (1) θθa sec dx y d 222=; (2) )(1t f dxy d 22''=;(3) )1(2222t t 6dyx d +=; (4) )1(832533t t dx y d +-=;(5) 343381tt dx y d -=; 4.4π. 5. 2e .6. 0 .8. (1) a (1)= - 6 (m/s 2) ; a (3)= 6 (m/s 2 ). (2) |v(2)| = 3 (m/s) ;9. 144π (m 2/s)10. 20402516.π≈(m/min). 11.640225144.π=(cm/min).12. 70 英里/小时. 习题2-5 (A)2. (a ) 0dy y 0dy 0y >->>∆∆,,;(b ) 0dy y 0dy 0y <->>∆∆,,; (c ) 0dy y 0dy 0y <-<<∆∆,,; (d ) 0dy y 0dy 0y >-<<∆∆,,.3. (1) dx x x)12(3+-; (2) dx x x x )2cos 22(sin +; (3) dx e x x 2x )1(2+; (4)dx xx412+-; (5) dx x x e x )]cos(3)[sin(3----; (6) dx x x x )21(sec )21(tan 8223++;(7)dx x xx 222)]1([ln 16---; (8)dx x x x xxx +++++2)211(211.4. (1)dx xy x +--182; (2) dx y x csc )(2+-; 5. (1) C x +2; (2) C x +223; (3) C t sin +; (4) C t cos 1+-ωω;(5) C x ++)(1ln ; (6) C e x +--221; (7) C x +2; (8) C x +3tan 31.习题2-5 (B)1. h R 0π2.2. 7683,4,0010,.V l .r l r V 2='===∆π, 0037680.dV V =≈∆; 用铜约为033550.(克).3. 0021021603.π-≈-. 4. 050.T =∆(秒)，设摆长约需加长 d l , d l 2292140050..≈⨯=π(厘米) .5. R 约增加了43.63 cm 2, 扇形面积约增加了 104.72 cm 2 .6. (1) 0. 87476 ; (2) - 0. 96509 .7. (1) 7430''o ; (2) 260'o .8. (3) 01309054tan .≈'; 0020)0021(ln ..≈.9. (1) 9.9867; (2) 2.0052 .总复习题二一、1. B 2. D 3. A 4. A 5. D 二、1. 充分； 必要； 充要.2. t 2e t t f =)(, t 2e 2t t f )1()(+='.3.1)1='-0(x f . 4. 1+=x y . 5. b. 6. [10, 20] .三、1. 212xx y +='.2. (1))]}([)]([)]([)({)]([)(2222222222x f sin x f x f cos x f x 4x f cos x f dx yd 2'-''+'=;(2) )(4)(2)()(2)]([2222222x f x x f x f x f x f dxyd ''+'+''+'=.3.xx ydx y d ln 2-=. 4. 32222)1ln ()1ln ()1ln (++-+=y xy x x y y dx y d . 5. 322)1(f f dx y d '-''=. 6. ⎪⎩⎪⎨⎧>-<≤<='1,110,20,3)(2x x x x x x f7. (1)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-''≠++-'='-0,21)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x;(2) )(x f ' 在 ),(∞+-∞上是连续函数。
高等数学 第2章 第一节 导数的概念
曲线y f ( x)在点x0 , f ( x0 )处的切线方程为：
y f ( x0 ) f '( x0 )( x x0 )
当f ' ( x0 ) 0时，在该点处的法线方 程为：
y
f (x0 )
f
'(
1 x0
)
(
x
x0
)
8
四.可导与连续的关系
f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。 f ( x)在x0点可导 f ( x)在x0点连续。
解 当 x 1 时， 1 n 1 x 3n n 2 , f ( x) lim n 1 x 3n 1, n
当 x 1 时， f ( x) limn 1 x 3n limn 2 1,
n
n
当 x 1 时， x 3 n x 3n n 1 x 3n n 2 x 3n n 2 x 3 ,
ex ex.
12
例5 求函数 y ln x 的导数
解： x (0,)
当x 0时, Ln(1+x)~x
(ln x)' lim ln(x x) ln x
x 0
x
ln(1 lim
x ) x
lim
x x
1
x0
x
x0 x x
即 : 对x 0, (ln x)' 1 x
例6 设 f x x sin x, 求 f 0.
f (x0 x)
y f ( x0 x) f ( x0 );
（2）比值
y f ( x0 x) f ( x0 )
x
x
f (x0)
P0
•
O
x0
•P
P1
•
P2•
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2.1 极限
定义 设函数
f (x)在点 x0 的右(左)侧某个区间内有定义. 如果存在常数A
，当 x 从 x0 的右(左)边趋近于 x0 时，即
x x0 ( x x0 )时，函数 f (x) 的值无限接近于一个确定的常数 A
，则称常数
A 为函数 f (x) 当 x x0 时的右(左)极限，记作
lim tan x x
2
lim arc cot x
x
lim ln x
x0
lim arc cot x
x
2.1 极限
1. 数列极限的概念 如果当项数 n 时，数列 an 的通项 an 无限接近于一个确定的常数 A
，则称常数 A 为数列 an 的极限，也称数列 an 收敛于 A
，否则，称数列an 发散。 记作
lim
n
an
A
an A(n )
或
2.1 极限
2. 函数极限 自变量 x 趋于无穷大时函数的极限
2.1 极限
自变量 x 趋于确定值 x0 时函数的极限
定义
设函数 f (x) 在点 x0 附近( x0 点可除外)有定义，当x x0 时,函数 f (x) 的值无限接近于一个确定的常数A ，则称常数 A 为函数 f (x)
当
x x0 时的极限，记作
lim f (x) A
xx0
或 f (x) A (x x0 )
定理
lim f (x) A
x x0
.
lim f (x) A
xx0
的充要条件是
lim f (x) lim f (x) A
x x0
x x0
2.1 极限
作业 判断下列函数极限是否存在，若极限存在，则求Hale Waihona Puke 其极限.lim (x2 1)
x
lim tan x
x 4
定义 设函数 f (x) 定义在 [a, ) 上，当 x 时，函数 f (x)
的值无限地接近于一个确定的常数 A ，则称常数
为A函数 f (x) 当 x 时的极限，记作
lim f (x) A 或
x
f (x) A (x )
类似的可以给出自变量 x 和 x 时函数极限的定义：