2.3.1平面向量基本定理教案(人教A必修4)
人教A版数学必修四名师课件：第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理(情境互动课型)
6.在△OAB 中，O→C＝14O→A，O→D＝12O→B，AD 与 BC 交 于点 M，设O→A＝a，O→B＝b，试以 a, b 为基底表示O→M.
【解题关键】先用平面向量基本定理设出 O→M＝ma＋nb，分别表示出A→M, A→D, C→M, C→B后，再利用共线向量的条件列出方程组， 从而确定 m，n 的值．
【变式练习】
已知 a, b不共线，且 c 1a 2 b(1,2 R) ，
若 c与b 共线，则 1 = 0 .
1．给出下面三种说法：
①一个平面内只有一对不共线的非零向量可作为
表示该平面所有向量的基底；
②一个平面内有无数多对不共线的非零向量可作
为表示该平面所有向量的基底；
③零向量不可为基底中的向量．
【解析】设O→M＝ma＋nb(m，n∈R)，则A→M＝O→M－O→A＝ (m－1)a＋nb，A→D＝O→D－O→A＝12b－a＝－a＋12b，
∵A, M, D 三点共线，∴A→M＝λA→D，
m－1＝－λ
∴n＝12λ
，消去 λ 得 m＋2n＝1. ①
而C→M＝O→M－O→C＝m－14a＋nb， C→B＝O→B－O→C＝b－14a＝－14a＋b，
已知两个非零向量 a和b .如图，
作OA a,OB b,则AOB (0 180 ) B
新人教A版必修4高中数学2.3.1 平面向量基本定理学案
高中数学 2.3.1 平面向量基本定理学案
新人教A版必修4
【学习目标】1知识与技能
(1)了解平面向量基本定理及其意义,会利用向量基本定理解
决简单问题；
(2)培养学生分析、抽象、概括的推理能力。
2过程与方法
(1)通过平面向量基本定理的得出过程,体会由特殊到一般的
思维方法；
(2)通过本节学习,体会用基底表示平面内任一向量的方法。3情感.态度与价值观
（1）通过本节学习,培养学生的理性思维，培养学生独立思考及勇于探求、敢于创新的精神、培养主动学习的意识；
（2）通过平面向量基本定理的探求过程,培养学生观察能力、抽象概括能力、独立思考的能力，激发学生学习数学的兴趣。
【重点难点】
重点：平面向量基本定理的应用
难点：对平面向量基本定理的发现和形成过程,数学思想的渗透。
【学习内容】
一【知识链接】
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算法则？
2．怎样理解向量的数乘运算λa
？ （1）模：|λ
a
|=|λ
||a
|；
（2）方向：λ>0时λa 与a
方向相同；λ<0时λa
与a
方向相反；λ=0时λa
=0
3. 向量共线定理 ：向量b 与非零向量a
共线则：有且只有一个非零实数λ，使b =λa
.
二【新课导入】
情景展示：在物理学中我们知道,力是一个向量,力的合成就是向量的加法运算.而且力是可以分解的,任何一个大小不为零的力,都可以分解成两个不同方向的分力之和.将这种力的分解拓展到向量中来,就会形成一个新的数学理论. 三、小组合作、自主探究 探究（一）：平面向量的基本定理
探究1：给定平面内任意两个不共线的非零向量1e 、2e ，请你作出向量b =31e +22e 、c =1e -22e .
人教A版高中数学必修四平面向量的基本定理及坐标表示新课程新课标课件
【变式 3】 (2012·大庆高一检测)在△ABC 中，A→D＝14A→B，DE
∥BC，且 DE 与 AC 相交于点 E，M 是 BC 的中点，AM 与 DE
相交于点 N，若A→N＝xA→B＋yA→C(x，y∈R)，则 x＋y＝( )．
A．1
1
1
B.2
C.4
1 D.8
解析 A→N＝12A→D＋A→E＝1214A→B＋14A→C＝18A→B＋18A→C，∴x＝y＝
(3)这个定理体现了转化与化归的数学思想，用向量解决几何问 题时，我们可以选择适当的基底，将问题中涉及的向量向基底 化归，使问题得以解决． 提醒 灵活应用三角形法则、平行四边形法则是学好用好平面 向量基本定理的关键．
2．对基底的理解 (1)基底的特征 基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的 选择是不唯一的．平面内两向量不共线是这两个向量可以作为 这个平面内所有向量的一组基底的条件．
(2)E→C∥D→C.又∵E→C＝O→C－O→E＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，D→C＝2a－53b， ∴2－2 λ＝15，
3
∴λ＝45.
误区警示 未弄清向量的夹角而出错 【示例】 已知O→A＝2a，O→B＝2b，O→C＝－a＋3b，求向量B→A与 B→C的夹角． [错解] 由已知得，B→A＝O→A－O→B＝2a－2b，B→C＝O→C－O→B＝(－ a＋3b)－2b＝－a＋b，显然B→A＝－2B→C，可见B→A与B→C共线，故 B→A与B→C的夹角为 0°.
高一数学人教A版必修4课件：2.3.1 平面向量基本定理
§2.3 平面向量的基本定理及坐标表示
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
明目标、知重点
1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的 含义. 2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其 他向量. 3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.
明目标、知重点
跟踪训练3 如图，已知△ABC是等边三角形. (1)求向量A→B与向量B→C的夹角；
解 (1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°.
如图，延长AB至点D，使AB＝BD， 则A→B＝B→D， ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角. ∵∠DBC＝120°， ∴向量A→B与B→C的夹角为 120°.
明目标、知重点
思考3 上述定理称为平面向量基本定理，不共线向量e1，e2叫 做表示这一平面内所有向量的一组基底. 那么同一平面内可以 作基底的向量有多少组？不同基底对应向量a的表示式是否相 同？平面向量的基底唯一吗？ 答 同一平面内可以作基底的向量有无数组，不同基底对应向 量a的表示式不相同. 平面向量的基底不唯一.只要两个向量不共线，都可以作为平面 的一组基底.
明目标、知重点
过点C分别作平行于OB，OA的直线，交直线OA于点M，交直线 OB于点N，
2.3.1平面向量基本定理课件(新人教A版必修4)
a
C
设 e1 , e2是同一平面内的两个不共线的向量，
a 是这一平面内的任一向量， 问：与 a e1 , e2 之间有怎样的关系？
M C
e1
a
e2
A
O
N
B
OM 1 e1 ON 2 e2
a OM ON 1 e1 2 e2
平面向量基本定理 • 如果e1、e2是同一平面内的两个不共线 向量，那么对于这一平面内的任意向 量a，有且只有一对实数1、2，使得 a=1e1+2e2.
=
二、向量的夹角:
两个非零向量 a 和 b ,作 OA a ，
, 则 ( 0 180 ) AOB OB b
B
b
O
a
A
叫做向量
a和 b
夹角的范围：00 ,180
a
O
的夹角． 注意:两向量必须 是同起点的 0
B
a
A B b
b
0
b B
180
⑴向量的加Biblioteka Baidu：
B
b
⑵向量的加法：
a
C
ab
O
a
A
平行四边形法则
b
B
b
O
A
a-b
第二章 平面向量基本定理
人教A版必修四·新课标·数学
版块导航
规 律 归 纳 本类型题是用基向量表示未知向量，一般有两种方法： (1)充分利用向量的线性运算，灵活应用向量加法的三角 形法则与平行四边形法则求解； → → → (2)采用方程思想， 即直接用AB， 表示 a， 然后把AB， BC b， → → → BC看做未知量，利用方程思想求解AB、BC.
人教A版必修四·新课标·数学
版块导航
→ → 解法二：(方程思想)：设AB＝x，BC＝y，则有 → → → → → → → → AB＋BC＝AC，AD－AB＝BD且AD＝BC＝y. x＋y＝a， 1 1 1 1 1 → 1 即 ∴x＝ a－ b，y＝ a＋ b，即AB＝ a－ 2 2 2 2 2 2 y－x＝b. → 1 1 b，BC＝ a＋ b. 2 2
人教A版必修四·新课标·数学
版块导航
→ → 由 C、E、M 三点共线，设存在实数 n 满足：AE＝nAM＋ 1 1 → 1 (1－n)AC ＝ na＋(1－n)b.所以 mb＋(1－m)a＝ na＋(1－ 2 3 2 1 3 1－m＝2n， m＝5， n)b， 由于 a， 为基底， b 所以 解之得 1m＝1－n， n＝4. 3 5 → 2 1 所以AE＝ a＋ b. 5 5
人教A版必修四·新课标·数学
版块导航
●想一想：设 e1，e2 是平面向量的一组基底，则 e1，e2 中有可能为零向量吗？平面向量的基底唯一吗？
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理教案 新人教A版必修4
2.3.1 平面向量基本定理
1.知识与技能
(1)了解平面向量基本定理.
(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实
际问题的重要思想方法.
(3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
2.过程与方法
通过对定理的探究,培养学生发现数学规律的思维方法和能力;通过对定理的证明和应用,培养学生分析问题、解决问题的能力,体会化归与转化和数形结合的思想方法.
3.情感、态度与价值观
通过对定理的学习和运用,体会数学的科学价值、应用价值.
重点:平面向量基本定理.
难点:平面向量基本定理的理解与应用.
1.在△ABC中,=a,=b,AD为BC边的中线,G为△ABC的重心,以a,b为一组基
底来表示向量=.
解析:∵D是BC的中点,G是重心,
∴)
=a+b,
即a+b.
答案:a+b
2.如图,在平行四边形ABCD中,=a,=b,H,M分别是AD,DC的中点,点F在BC上,且BF=BC,以a,b为基底分解向量.
解:由题意得
==b+a,
=
=
=a-b.
人教A版必修四 2.3.1平面向量基本定理 课件(43张)
因为|a|=|b|=2,所以△OAB是等边三角形. 所以四边形OACB是菱形. 所以 OC与的OA夹角为30°, 的BA夹与角OB为120°, 即a+b与a的夹角为30°,a-b与b的夹角为120°. 答案:30° 120°
【补偿训练】在等边三角形ABC中,O为△ABC所在平面
上一点,且 2AO AB AC,则 AO与BC的夹角为________.
AG＝2 AD＝2 1 AB AC 3 32 1 AB 1 AC 1 a 1 b.
3 3 33
类型一 平面向量基本定理的理解
【典例】1.(2018·衡水高一检测)设e1,e2是平面内所 有向量的一组基底,则下列四组向量中,不能作为基底
的是 ( )
A.e1+e2和e1-e2 C.e1+2e2和2e1+e2
【失误案例】由题意可画出图形, 因为∠ABC=30°,所以向量b与c的夹角为30°.
【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处. 提示:本题出错的原因是确定向量夹角时未考査向量的 方向,简单认为角B即为向量b与c的夹角.
【自我纠正】由题意画出图形, 因为a,b的夹角为120°,所以∠CAB=60°, 又|b|=2|a|,所以∠ACB=90°, 所以∠ABC=30°,则b与c的夹角为150°. 答案:150°
【解析】因为a,b是一组基底,所以a与b不共线,
高一数学必修4课件：2-3-1平面向量基本定理
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[例 3]
已知|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角为 60° ，则 a＋b
与 a 的夹角是________，a－b 与 a 的夹角是________． [分析] 题目中给出了两向量|a|＝|b|＝2，且 a 与 b 的夹角
为 60° ，要求 a＋b 与 a 的夹角，以及 a－b 与 a 的夹角，可先 → → 令OA＝a，OB＝b，以 OA，OB 为邻边作出▱OACB，表示出 a ＋b，a－b，利用向量夹角的定义求解．
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
命题方向
用基底表示向量
[例 2]
→ → 已知OA＝a，OB＝b，C 为线段 AO 上距 A 较近
的一个三等分点， 为线段 CB 上距 C 较近的一个三等分点， D → 则用 a、b 表示OD的表达式为( )
第二章
2.3 2.3.1
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
→ → 由于QN∥NQ，则不能作为基底，所以选项 D 不
→ → → 能作为基底； 当四边形 MNPQ 是平行四边形时， ∥QP， MN MQ → → → ∥PN，所以选项 B 和 C 都不能作为基底；很明显MN与MP不 共线，则可以作为基底，故选 A.
高中数学第二章平面向量2.3.1平面向量基本定理学案(含解析)新人教A版必修4
2.3.1 平面向量基本定理
考试标准
学法指导
1.平面向量基本定理既是本节的重点，也是本节的难点．
2．为了更好地理解平面向量基本定理，可以通过改变向量的方向及模的大小作图观察λ1，λ2取不同值时的图形特征，得到平面上任一向量都可以由这个平面内两个不共线的向量
e 1，e 2表示出来．
3．在△ABC 中，明确AC →与AB →的夹角与CA →与AB →
的夹角互补.
1.平面向量基本定理
(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．
状元随笔 平面向量基本定理的理解
(1)e →1，e →2是同一平面内的两个不共线的向量，e →1，e →
2的选取不唯一，即一个平面可以有多组的基底．
(2)平面内的任一向量a →
都可以沿基底进行分解． (3)基底e →1，e →
2确定后，实数λ1、λ2是唯一确定的． 2．关于两向量的夹角
(1)两向量夹角的概念：已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB ＝θ，叫作向量a 与b 的夹角．
①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．
(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b . 状元随笔 两向量夹角概念的正确理解
(1)由于零向量的方向是任意的，因此，零向量可以与任一向量平行，零向量也可以与任一向量垂直．
数学人教A版必修4 2-3-1 平面向量基本定理 课件(26张)
栏目 导引
第一章
三角函数
2.向量的夹角 条件 非零 向量a和b 两个________
产生 → → ∠AOB＝θ 叫做向量 a 与 b 过程 作向量OA ＝a， OB＝b， 则 ___________
的夹角
范围 θ＝0° 特殊 情况 θ＝90°
0°≤θ≤180° 同向 a与b________ 垂直 ，记作 a与b________ a⊥b ________ 反向 a与b________
第二章 第一章 平面向量 三角函数
2． 3
平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1 平面向量基本定理
栏目 导引
第二章 第一章 平面向量 三角函数
学习导航 1.通过研究一向量与两不共线向量之间的关系体 会平面向量基本定理的含义，了解基底的含义． 学习 2．理解并掌握平面向量基本定理．(重点、难点) 目标 3．掌握两个向量夹角的定义以及两向量垂直的 定义．(重点) 1.平面向量基本定理的实质：平面内的任一向量 都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量和的 学法 形式；而且基底一旦确定，这种分解是唯一的． 指导 2．求两个非零向量夹角，要注意两向量一定是 有公共起点；两向量夹角的范围是[0，π].
栏目 导引
第一章
三角函数
2．已知等边三角形 ABC. → → (1)求向量AB与向量BC的夹角； → → (2)若 E 为 BC 的中点，求向量AE与EC的夹角．
人教A版高中数学必修四 2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》教学设计
2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》教学设计
【教学目标】
1．了解平面向量基本定理；
2．理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
3．能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达. 【导入新课】 复习引入： 1． 实数与向量的积
实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa .（1）|λa |=|λ||a
|；（2）λ>0时，λa 与a 方向相同；λ<0时，λa 与a 方向相反；λ=0时，λa
=0. 2．运算定律
结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa
+λ
b
.
3. 向量共线定理
向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .
新授课阶段
一、平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11e +λ22e .
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； (2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解； (4)基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a
，1e ，2e 唯一确定的数量. 二、平面向量的坐标表示
如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为
基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得
人教A版高中数学必修4课件：2-3-1平面向量基本定理
①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向 量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对 (λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有 一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；
∵∠DEB＝60°，∴BD＝ 26， 又∠DBF＝180°－45°－90°＝45°， ∴DF＝BF＝ 26× 22＝ 23， 故A→D＝A→F＋F→D＝(1＋ 23)A→B＋ 23A→C，
∴x＝1＋
23，y＝
3 2.
【答案】
1＋
3 2
3 2
已知|
→ OA
|＝1，|
→ OB
wenku.baidu.com
|＝
3
，
→ OA
⊥
→ OB
＝34O→A＋14O→B. ∴m＝34，n＝14，∴mn ＝3.故选B.
答案：B
温馨 提 示
请 做：巩固篇04
（点击进入）
温馨 提 示
请 做：课 时 作 业 19
（点击进入）
∵a与b不共线，∴131211－ －mn＝＝mn， ，
∴n＝15.
∴O→P＝15a＋25b.
通法提炼 将两个不共线的向量作为基底表示其他向量，基本方法 有两种：一种是运用向量的线性运算法则对待求向量不断转 化，直至用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基 底表示向量的唯一性求解.
高中数学 2.3.1 平面向量基本定理教案 必修4
2．3.1 平面向量基本定理
(教师用书独具)
●三维目标
1．知识与技能
(1)掌握平面向量的基本定理，能用两个不共线向量表示一个向量或一个向量分解为两个向量．
(2)能用平面向量的基本定理解决一些简单的几何问题．
2．过程与方法
由概念的形成过程和在解题中的作用，进一步体验数形结合思想的指导作用．
3．情感、态度与价值观
(1)通过学习平面向量基本定理和向量的坐标表示，实现几何与代数的完美结合，使学生明白知识与知识、事物之间的相互联系和相互转化．
(2)通过例题及练习，体会向量语言及运算在解决数学问题和实际问题中的工具作用．
●重点难点
重点：平面向量基本定理及其意义．
难点：平面向量基本定理的应用.
(教师用书独具)
●教学建议
1．关于平面向量基本定理教学
教学时，建议教师从学生熟知的力学知识出发，结合教材实例中有关力及速度的合成与分解，先让学生从感性上认识向量可分解性，在此基础上结合向量的平行四边形法则由学生自主总结出平面向量基本定理的内容，教师就定理的有关注意事项做适当补充，不必要求学生会证明该定理．
2．关于应用平面向量基本定理的教学
教学时，建议教师结合实例，让学生明确平面向量基本定理在解决实际问题中的作用．通过实例进一步理解平面向量基本定理的实质，为下一节坐标系的建立奠定基础．
●教学流程
创设问题情境，引入平面向量基本定理，并引导学生初步理解定理及其作用.⇒引导学生结合向量共线等知识，理解基底概念及向量的正交分解的概念.⇒通过例1及其变式训练，使学生进一步正确理解平面向量基本定理.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用基底表示向量的方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握利用平面向量基本定理求参数的值及证明三点共线等问题的方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理学
2．3.1 平面向量基本定理
预习课本P93～94，思考并完成以下问题
(1)平面向量基本定理的内容是什么？
(2)如何定义平面向量基底？
(3)两向量夹角的定义是什么？如何定义向量的垂直？
[新知初探]
1．平面向量基本定理
条件e1，e2是同一平面内的两个不共线向量
结论这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2
基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
12
共线向量；②该平面内任意向量a都可以用e1，e2线性表示，且这种表示是唯一的；③基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可作为基底．
2．向量的夹角
条件两个非零向量a和b
产生过程
作向量uuu r
OA＝a，
uuu r
OB＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角
范围0°≤θ≤180°
特殊情况
θ＝0°a与b同向
θ＝90°a与b垂直，记作a⊥b θ＝180°a与b反向
[点睛] 当a与b共线同向时，夹角θ为0°，共线反向时，夹角θ为180°，所以两个向量的夹角的范围是0°≤θ≤180°.
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意两个向量都可以作为基底．( )
(2)一个平面内有无数对不共线的向量都可作为表示该平面内所有向量的基底．( ) (3)零向量不可以作为基底中的向量．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√
2．若向量a ，b 的夹角为30°，则向量－a ，－b 的夹角为( ) A ．60° B ．30° C ．120° D ．150°
答案：B
3．设e 1，e 2是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( ) A ．e 1，e 2 B ．e 1＋e 2,3e 1＋3e 2 C ．e 1,5e 2 D ．e 1，e 1＋e 2 答案：B
2020-2021学年数学人教A版必修4学案：2.3.1 平面向量基本定理
2．3平面向量的基本定理及坐标表示
2．3.1平面向量基本定理
[目标] 1.了解平面向量基本定理产生的过程和基底的含义，理解平面向量基本定理． 2.理解两个向量夹角的定义，两向量垂直的定义． 3.掌握平面向量基本定理并能熟练应用．
[重点] 平面向量基本定理与向量夹角．
[难点] 平面向量基本定理的应用．
知识点一平面向量基本定理
[填一填]
(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么
对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
(2)我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量
的一组基底．
[答一答]
1．基底有什么特点？平面内基底唯一吗？
提示：基底中的两向量e1，e2不共线，这是基底的最大特点．平面内的基底并不是唯一的，任意不共线的两个向量都可以作为基底．
2．若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．
提示：设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ(3a－2b)，即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0.由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，
这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．
知识点二向量的夹角
[填一填]
(1)已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝
θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角．
(2)向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°；当a与b同向时，夹角
θ＝0°；当a与b反向时，夹角θ＝180°.
(3)如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2.3平面向量的基本定理及坐标表示
第4课时
§2.3.1 平面向量基本定理
教学目的：
（1）了解平面向量基本定理；
（2）理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；
（3）能够在具体问题中适当地选取基底，使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点：平面向量基本定理.
教学难点：平面向量基本定理的理解与应用.
授课类型：新授课
教 具：多媒体、实物投影仪
教学过程：
一、 复习引入：
1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa
（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa =0
2．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ， λ(a +b )=λa +λb
3. 向量共线定理 向量b 与非零向量a 共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =
λa .
二、讲解新课： 平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ11e +λ22e .
探究：
(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；
(2) 基底不惟一，关键是不共线；
(3) 由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；
(4) 基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a ，1e ，2e 唯一确定的数量 三、讲解范例： 例1 已知向量1e ，2e 求作向量-2.51e +32e .
例 2 如图 ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a
，AD =b ，用a ，b 表示MA ，MB ，MC 和MD 例3已知 ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任
意一点，求证：OA +OB +OC +OD =4OE
例4（1）如图，OA ，OB 不共线，AP =t AB (t ∈R)用OA ，
OB 表示OP .
（2）设OA 、
OB 不共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点共线.
例5 已知 a =2e 1-3e 2，b = 2e 1+3e 2，其中e 1，e 2不共线，向量c =2e 1-9e 2，问是否存在这样的实
数,d a b λμλμ=+、使与c 共线.
四、课堂练习：
1.设e 1、e 2是同一平面内的两个向量，则有( )
A.e 1、e 2一定平行
B .e 1、e 2的模相等
C.同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+μe 2(λ、μ∈R )
D.若e 1、e 2不共线，则同一平面内的任一向量a 都有a =λe 1+u e 2(λ、u ∈R )
2.已知矢量a = e 1-2e 2，b =2e 1+e 2，其中e 1、e 2不共线，则a +b 与c =6e 1-2e 2的关系
A.不共线 B .共线 C.相等 D.无法确定
3.已知向量e 1、e 2不共线，实数x 、y 满足(3x -4y )e 1+(2x -3y )e 2=6e 1+3e 2，则x -y 的值等于( )
A.3 B .-3 C.0 D.2
4.已知a 、b 不共线，且c =λ1a +λ2b (λ1，λ2∈R )，若c 与b 共线，则λ1= .
5.已知λ1＞0，λ2＞0，e 1、e 2是一组基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1_____，a 与e 2_________(填
共线或不共线).
五、小结（略）
六、课后作业（略）：
七、板书设计（略）
八、课后记：