点到直线的距离公式教案
点到直线的距离教案
3.3.3点到直线的距离教学目标：(一)知识目标：点到直线的距离公式.(二)能力目标：理解点到直线距离公式的推导；点到直线距离公式的简单应用. (三)德育目标：认识事物之间在一定条件下的转化；用联系的观点看问题.教学重点：点到直线的距离公式.教学难点：理解点到直线距离公式的推导.教学方法：探究讨论式在引入本节的研究问题：点到直线的距离公式之后，引导学生探究讨论点到直线距离的求解思路，一起分析探讨解决问题的各种途径，培养学生的发散性思维，进而逐一推导，培养学生研究问题、分析问题、解决问题的能力.教学过程：(课前教师板书标题“点到直线的距离”)课题导入：前面两节课，我们一起研究学习了两直线平行和垂直的充要条件，两直线的夹角公式，两直线的交点问题，逐步熟悉了利用代数手段研究几何问题的思想方法.这一节课，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离问题.思考题：(引导学生探究、讨论；每一种方法都要总结方法)求点(2,1)P 到直线:210L x y +-=的距离().师：首先申明现成的公式暂时不能用，请大家想想看利用我们学过的知识可以怎样解决这个问题？ 做做看…(教师板书(2,1)P ，:210L x y +-=)…师：点到直线的距离是怎么定义的？做好的举手示意…(等到学生基本做好)师：答案是多少？…叫一个学生站起详细回答…师：还有没有其它方法？…好好想想，打开你的想象之门，看看还有没有其它的方法可以解决…同桌可以相互启发…师： 请大家总结一下⨯⨯⨯的解题方法，他是用什么方法解决这个问题的？是从哪个层面？师：好了！大家的方法层出不穷，这个题就先到这儿解法一：两点间距离法解：过点P 作直线:210L x y +-=的垂线1:20L x y -=，再求L 与1L 的交点21(,)55Q ，则点(2,1)P 到直线:210L x y +-=的距离即为：PQ =解法二：最小值法解：设(,)M x y 是直线:210L x y +-=上的任意一点，则12y x =-，得：PM===当25x =时，即21(,)55M 时，minPM=，这个值就是点P 到直线L 的距离. 解法三：三角形法 解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作PQ L ⊥于点Q ，过点P 作1//L y 轴交L 于点(2,3)A -，4AP =，在R t P Q A∆中，cos cos PQ AP APQ AP α=⋅∠=⋅=.解法四：三角形法 解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作PQ L ⊥于点Q ，过点P 作1//L x 轴交L 于点(0,1)B ，2BP =，在R t P Q B ∆中，cos sin PQ BP BPQ BP α=⋅∠=⋅==xx解法五：三角形法解：设直线L 倾斜角为α，过点P 作直线1//L L ，有1:250L x y +-=，L 与1L 距离即为所求.设1L 、L 与y 轴分别交于点21,P Q ，则21(0,5),(0,1)P Q ，214P Q =，过点1Q 作11//PQ PQ交L 于1P ，则1121211cos PQ PQ P Q P Q P ==⋅∠21cos P Q α=⋅==解法六：面积法解：过点P 作1//L x 轴交L 于点(0,1)B ，2BP =，过点P 作2//Ly 轴交L 于点(2,3)A -，4AP =，在Rt ABP ∆中，AB =，由三角形面积公式可知d AB BP AP ⋅=⋅d ⇒=. 解法七：向量法 解：由方向向量的知识得与直线L 垂直的向量(2,1)n =.在直线L 上任取一点(1,1)Q -，向量QP 在向量n上的投影的绝对值就是点P 到直线L 的距离，有c o sd Q P θ=⋅，cos n QP n QP θ⋅=⋅⋅，n QP d n ⋅∴====. 进入主题：师：对照思考题，我们一起来看一个更具一般性的问题.在平面直角坐标系中，如果已知某点P 的坐标为00(,)x y ,直线l 的方程是++=0A x B y C ，求点P 到直线l 的距离.师：点和直线都以字母形式给出，象刚才一样，有这么多方法，我们是能够解决，如果每一次都这样求，会不会太麻烦？其中是否有一般性的结论？可以直接当公式来用.我们一起来推推看.师：首先大家说说解决这个问题有哪些思路？学生：刚才用到的两点间距离法、最小值法、三角形法、面积法、向量法应该都可以解决这个问题.师：很好！能够看清问题的本质，那我们就挑一种书本上没有详细解释的方法来试试……还有其它方法请同学们课后再思考一下.解决方案：方案一：根据定义，点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长.解题思路：一求垂线PQ的方程，二求Q点坐标，三求PQ长度.详细过程：设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q.先考虑0A≠由PQ l⊥00:()PQBl y y x xA⇒-=-即00Bx Ay Bx Ay-=-，解方程组00Ax By CBx Ay Bx Ay++=⎧⎨-=-⎩20022B x ABy ACxA B--⇒=+即点Q 的横坐标，2220000022B x ABy AC A x B xx xA B----∴-=+0022()A Ax By CA B++=-+000022()()B Ax By CBy y x xA A B++-=-=-+d∴==；0A=要验证过才行.方案二：直接用两点间距离公式推导.解题思路：设出Q坐标，列出满足条件，由距离公式求出距离.详细过程：设点11(,)Q x y，则111010(0)Ax By Cy y BAx x A++=⎧⎪-⎨=≠⎪-⎩1010001010()()()()()0A x xB y y Ax By CB x x A y y-+-=-++⎧⇒⎨---=⎩(1)(2)(1)(2)平方相加2222222101000()()()()()A B x x B A y y Ax By C⇒+-++-=++22200101022()()()Ax By Cx x y yA B++⇒-+-=+d⇒=0A=也满足.方案三：过点P分别作x、y轴的平行线，交已知直线于R，S两点，从而构成一个直角三角形，用勾股定理求出RS，再利用三角形等积求d.解题思路：一求R 、S 坐标，二求PR 、PS ，三求RS 长度，四求距离d .详细过程：设0,0A B ≠≠，这时l 与x 轴、y 轴都相交.过P 作x 轴的平行线，交l 于点10(,)R x y ；作y 轴的平行线，交l 于点02(,)S x y .由100200Ax By C Ax By C ++=++=得0012,By C Ax Cx y A B----==0001Ax By C PR x x A ++⇒=-=；0002Ax By CPS y y B++=-=00RS By C ++，由三角形面积公式d RS PR PS ⋅=⋅得=d ；0,0A B ≠≠也满足.方案四：利用向量的有关知识推导.解题思路：一找直线l 的垂直向量n ，二在直线l 上任取点Q ，三求向量QP 在向量n上的投影的绝对值即为所求.详细过程：设0,0A B ≠≠，由方向向量的知识得与直线l 垂直的向量(,)n A B =.在直线l 上任取一点(,)Q x y ，向量QP 在向量n上的投影的绝对值就是点P 到直线l 的距离，有cos d QP θ=⋅ ，cos n QP n QP θ⋅=⋅⋅，n QP d n ⋅∴===； (因为++=0Ax By C ，所以--=Ax By C )0,0A B ≠≠也满足. 方案五：三角函数法.解题思路：构造一个易求斜边的直角三角形，利用斜边与直角边的关系求出直角边即点到直线的距离作y 轴的平行线PM 交直线l 于点01(,)M x y ，满足010Ax By C ++=01Ax Cy B+⇒=-0001Ax By CPM y y B++∴=-=，记MPQ β∠=，则始终有cos cos βα=，而222222211cos 1tan 1B A A B B αα===+++，cos α∴=，cos PQ PM β∴=⋅=；0,0A B ≠≠也满足.方案六：最小值法.解题思路：在直线上任取一点(,)Q x y ，则min d PQ =. 详细过程：设0,0A B ≠≠，在直线l 上任取一点(,)Q x y ，满足++=0Ax By C +⇒=-Ax Cy B，则PQ =当""2bx a=-时，mind PQ ==⇒=d 0,0A B ≠≠也满足.结论：点P 00(,)x y 到直线l ：++=0Ax By C的距离公式为=d .注意细节：假如P 在直线上呢？0d =照样适用；当A=0或B=0时，该公式也适用，当然此时可以不用该公式而直接求出距离.若知点P 00(,)x y 和直线l ：=1x x ，则点P 到直线l的距离10d x x =-；若知点P 00(,)x y 和直线l ：=1y y ，则点P 到直线l 的距离10d y y =-.师：有了这个公式，求点到直线的距离就十分方便了. 下面我们通过例题来熟悉一下这个公式.例题讲解：例1.求点(1,2)P -到下列直线的距离：(1)2100x y +-=；(2)32x =.解：d =25(1)33d =--=. 例 2.已知点(,6)A a 到直线342x y -=的距离d 取下列各值，求a 的值：(1)4d =；(2)4d >解：(1)4d =2a ⇒=或463a =；(2) 4d =>2a ⇒<或463a >. 巩固练习：(其中3，4，5为备用题)1.求原点到下列直线的距离：(1)32260x y +-=；(2)x y =.答案：(1)(2)0.2.求点(1,1)B -到直线y =. 答案：12. 3.求点(,)P m n m --到直线1x ym n+=的距离.4.点P 为直线32260x y +-=上的任意一点，O 为坐标原点，求OP 的最小值.答案：5.点(,)P x y 到直线512130x y -+=和直线3450x y -+=的距离相等，则点P 的坐标应满足什么关系式？答案：3256650740x y x y -+=+=或. 师：好了，今天的课就到这儿，我们小结一下.课堂小结：通过本节课的学习，要求大家理解点到直线距离公式的推导过程，并能简单应用公式解决问题；使用点到直线的距离公式时，应该注意以下几点：①若给出的直线方程不是一般式，则应先把方程化为一般式再用公式；②若点在直线上，有0d=，公式仍然适用；③点P到平行于坐标轴的特殊直线的距离要能直接写出来.课后作业：名师1个课时；公式的推导(一题多解)(做书上)；书本54页13，15，16(做作业本上).板书设计：。
点到直线的距离公式 高中数学教案 第二章3-3
第二章2.3直线的交点坐标与距离公式2.3.3点到直线的距离公式【素养导引】1.结合教材实例了解点到直线的距离公式的推导过程.(数学抽象)2.会求点到直线的距离.(数学运算)3.掌握两点间的距离公式及应用.(数学运算)【问题1】已知点P0,0和直线l:Ax+By+C=0,怎样求点P到直线l的距离?【问题2】点到直线的距离公式有哪些应用?点到直线的距离公式【思考与交流】能不能直接用直线的斜截式方程求点到直线的距离?提示:不能,必须先化成一般式,再代入公式求距离.【解透教材】两种方法推导点到直线的距离公式,第一种方法从定义出发,把问题转化为求两点间的距离,通过代数运算得到结果,思路自然;第二种方法利用向量投影,通过向量运算求出结果,简化了运算.【基础小测】1.点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离是()A.2B.22C.1D.12【解析】选A.由点到直线的距离公式可得:点(-1,0)到直线x+y-1=0的距离d =2.2.原点O到直线x+y-4=0上的点M的距离|OM|的最小值为()A.10B.22C.6D.2【解析】选B.原点O到直线x+y-4=0上的点M的距离|OM|的最小值为点O到直线的距离,故|OM|min=22.3.点(5,-3)到直线x+2=0的距离等于.【解析】直线x+2=0,即x=-2为平行于y轴的直线,所以点(5,-3)到x=-2的距离d=|5-(-2)|=7.答案:74.点(5,-3)到直线y+2=0的距离为.【解析】点(5,-3)到直线y+2=0的距离d=|-3+2|=1.答案:1学习任务一点到直线的距离公式(数学运算)1.点(3,1)到直线3x-4y+2=0的距离是()A.45B.75C.425D.254【解析】选B.根据题意,点(3,1)到直线3x-4y+2=0的距离d=75.2.已知M(3,23),N(-1,23),F(1,0),则点M到直线NF的距离为()A.5B.23C.22D.33【解析】选B.因为已知M(3,23),N(-1,23),F(1,0),易知NF的斜率k=-3,故NF的方程为y=-3(x-1)即3x+y-3=0.所以M到NF=23.3.点P(5,-1)到直线3+4=1的距离为,到直线x=2的距离为.【解析】把直线3+4=1化为一般式,得4x+3y-12=0,所以点P(5,-1)到直线3+4=1到直线x=2的距离为5-2=3.答案:13【思维提升】求点到直线距离的关注点(1)解题步骤:先把直线化成一般式方程,再利用点到直线的距离公式.(2)特殊情况:①点P(x0,y0)到x轴的距离d=|y0|;②点P(x0,y0)到y轴的距离d=|x0|;③点P(x0,y0)到直线y=b(b≠0)的距离d=|y0-b|;④点P(x0,y0)到直线x=a(a≠0)的距离d=|x0-a|.学习任务二点到直线的距离公式的应用【典例】(1)已知点M(1,3)到直线l:mx+y-1=0的距离等于1,则实数m等于()A.34B.43C.-43D.-34(2)已知点P2,到直线2x-y+3=0的距离不小于25,求实数m的取值范围.【解析】(1)选D.根据题意,点M(1,3)到直线l:mx+y-1=0的距离等于1,则有d解可得m=-34.(2)由题意可得≥25,化为7-≥10,解得m≤-3或m≥17.【思维提升】关于点到直线的距离公式的应用(1)一个点到过定点的直线的最大距离即这个点到定点的直线之间的距离;(2)利用点到直线的距离公式,可以求未知量的值、范围.【即学即练】1.点(4,a)到直线3y-4x=0的距离不大于3,则a的取值范围是()A.-3,B[3,4]CD[10,+∞)【解析】选C.点(4,a)到直线3y-4x=0的距离d变形为|3a-16|≤15即-15≤3a-16≤15,解得13≤a≤313,所以a2.设直线l1:3x-y-1=0与直线l2:x+2y-5=0的交点为A,求A到直线l:x+by+2+b=0的距离的最大值.【解析】联立直线l1:3x-y-1=0与直线l2:x+2y-5=0的方程,解得交点A(1,2),所以A到直线l:x+by+2+b=0的距离d32(b≠0),当且仅当b=1时取等号,当b=0时,d=3<32,故A到直线l:x+by+2+b=0的距离的最大值为32.。
点到直线的距离公式教案
点到直线的距离公式教案一、教学目标：1.知识目标：了解点到直线的距离的概念和计算公式。
2.能力目标：学会运用点到直线的距离公式解决实际问题。
3.情感目标：培养学生的数学思维能力和解决问题的能力，增强对数学的兴趣和自信心。
二、教学重难点：1.重点：理解点到直线的距离的概念和计算公式。
2.难点：如何将点到直线的距离公式运用到实际问题中。
三、教学过程：1.导入新知识：教师通过实例引导学生回顾如何计算点到直线的距离。
即，点离直线的距离等于点到直线上任意一点所在的垂直平面的距离。
2.点到直线的距离公式的推导：教师通过几何证明或向量证明的方式，推导出点到直线的距离公式。
3.生命周期函数的说明：教师解释什么是函数，如何用函数表示点到直线的距离。
4.点到直线距离公式的使用：教师给出一些实际题材的例子，如房屋平面图中特定点离直线的距离、飞机在空中的高度等，要求学生运用点到直线的距离公式解决问题。
5.练习与讨论：教师布置一些相关的练习题，让学生独自或小组合作解答，并讨论解题思路和方法。
6.示范与操练：教师随机抽一道题目，为学生演示解题过程，并请学生依次完成该题目的解答。
7.温故知新：教师总结重要知识点和思路，帮助学生复习和巩固所学的知识。
8.拓展应用：教师设计一些能够拓展学生思维的应用题，要求学生分析问题并运用点到直线的距离公式解决。
9.讲评与总结：教师和学生共同讨论和总结此次学习的内容，强化学生对点到直线的距离公式的理解和应用。
四、教学评价：1.学生的课堂表现，包括参与讨论、解答问题的积极性和准确性。
2.学生完成的练习题和应用题答案的准确性和深入性。
3.学生在讲评环节的思维能力和解决问题的方法。
五、教学反思：本节课通过引入实例、推导公式、训练练习和应用题拓展等方式，帮助学生掌握了点到直线的距离的计算公式。
同时，通过讨论和解析问题，提高学生的数学思维能力。
但是，需要对练习和应用题的设计进行修改，增加一些开放性和质量较高的题目，以提高学生的解决问题的能力。
点到直线的距离教案
点到直线的距离教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解点到直线的距离的定义；（2）学会使用点到直线的距离公式；（3）能够运用点到直线的距离解决实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例直观感受点到直线的距离；（2）引导学生发现点到直线的距离与垂线段的关系；（3）引导学生运用点到直线的距离解决几何问题。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生的空间想象力；（2）培养学生解决问题的能力；（3）激发学生对数学的兴趣。
二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）点到直线的距离的定义；（2）点到直线的距离公式的运用。
2. 教学难点：（1）点到直线的距离的直观理解；（2）在实际问题中运用点到直线的距离公式。
三、教学准备：1. 教师准备：（1）点到直线的距离的相关知识；（2）教学课件或黑板；（3）实例和练习题。
2. 学生准备：（1）掌握直线、点和垂线的基本概念；（2）了解垂线段的概念。
四、教学过程：1. 导入：（1）利用实例引入点到直线的距离的概念；（2）引导学生观察和思考点到直线的距离与垂线段的关系。
2. 新课讲解：（1）介绍点到直线的距离的定义；（2）讲解点到直线的距离公式；（3）通过图示和实例解释点到直线的距离的求法。
3. 课堂练习：（1）出示练习题，让学生独立完成；（2）讲解答案，分析解题思路。
4. 拓展与应用：（1）引导学生运用点到直线的距离解决实际问题；（2）出示几何问题，让学生运用点到直线的距离公式解决。
五、课后作业：1. 巩固知识点：（1）复习点到直线的距离的定义和公式；（2）回顾课堂练习的解题思路。
2. 提高练习：（1）解决一些有关点到直线的距离的应用问题；（2）进行一些有关点到直线的距离的证明题。
六、教学评价1. 课堂表现评价：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况以及与合作学习中的表现，评价学生的学习态度和合作精神。
2. 练习完成情况评价：检查学生课后作业的完成质量，评价学生对点到直线的距离知识的理解和运用能力。
点到直线的距离公式教案
点到直线的距离公式教案教案标题：点到直线的距离公式教案教学目标：1. 理解点到直线的距离公式的概念和应用。
2. 掌握使用点到直线的距离公式计算点到直线的距离。
3. 运用点到直线的距离公式解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备：投影仪、白板、黑板、白板笔、教学PPT、教学素材。
2. 学生准备：课本、笔记本、铅笔、计算器。
教学过程：引入活动：1. 使用一张图片或实物，向学生展示一个点和一条直线，并提问：如何计算点到直线的距离？2. 让学生思考并讨论这个问题，引导他们思考点到直线的距离公式的可能性。
知识讲解：1. 通过教学PPT或黑板，向学生介绍点到直线的距离公式的概念和推导过程。
2. 解释公式中的各个符号的含义，如点的坐标、直线的一般方程等。
3. 提供示例，演示如何使用点到直线的距离公式计算点到直线的距离。
示例练习：1. 提供一些简单的示例问题，让学生尝试使用点到直线的距离公式计算点到直线的距离。
2. 引导学生思考并解决问题中可能遇到的困难和问题。
3. 鼓励学生在小组内互相讨论和交流解题思路和答案。
拓展应用：1. 提供一些实际生活中的问题，让学生运用点到直线的距离公式解决问题。
2. 引导学生分析问题，确定如何应用点到直线的距离公式进行计算。
3. 鼓励学生在小组内分享和讨论解题思路和答案。
总结归纳：1. 总结点到直线的距离公式的应用和计算方法。
2. 强调学生掌握并理解该公式的重要性和实际应用价值。
3. 鼓励学生在课后继续练习和应用点到直线的距离公式。
评估活动：1. 提供一些评估题目，让学生独立完成并提交答案。
2. 评估学生对点到直线的距离公式的理解和应用能力。
教学延伸：1. 鼓励学生在课余时间进一步研究和应用点到直线的距离公式。
2. 推荐相关的教学资源和参考书籍，帮助学生深入学习和理解该知识点。
教学反思：1. 教师对本节课的教学进行总结和反思，分析学生的学习情况和问题。
2. 根据学生的反馈和表现，调整教学策略和方法，进一步优化教学效果。
点到直线的距离公式教案
点到直线的距离公式教案教学目标：1. 理解点到直线的距离定义；2. 知道点到直线的距离公式及其推导过程；3. 能够熟练运用点到直线的距离公式求解相关题目。
教学重点：1. 点到直线的距离定义；2. 点到直线的距离公式的推导过程。
教学难点：能够熟练运用点到直线的距离公式求解相关题目。
教学准备：1. 教师准备白板、黑板笔、教学PPT等教学工具；2. 学生准备纸、铅笔和计算器。
教学过程：一、导入（5分钟）教师可以通过以下问题导入：怎样计算一个点到一条直线的距离呢？请学生思考并提出自己的见解。
二、讲解点到直线的距离定义（5分钟）教师通过PPT展示点到直线的距离定义，并解释清楚每个术语的含义。
例如，点$P(x_0,y_0)$ 到直线$Ax+By+C=0$的距离定义为点P到直线上一点$Q(x,y)$的最短距离。
三、推导点到直线的距离公式（15分钟）教师通过几何解析法详细讲解点到直线的距离公式的推导过程。
具体步骤如下：1. 假设点P到直线的距离为d，直线上的一点为Q；2. 连接PQ，假设直线的斜率为k，直线上点Q的坐标为$(x,y)$；3. PQ的斜率为$\frac{y-y_0}{x-x_0}$，与直线的斜率k相乘得到-1，即$\frac{y-y_0}{x-x_0}\cdot k=-1$；4. 化简上式得到$y=kx+kx_0-y_0$；5. PQ的长度为$d=\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2}$；6. 代入$y=kx+kx_0-y_0$得到$d=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}$。
四、概念讲解（5分钟）教师讲解点到直线的距离公式中的一些常见概念和符号，例如，|x|表示x的绝对值，A、B、C分别表示直线的系数。
五、例题演练（20分钟）教师通过多个例题的演练来帮助学生掌握点到直线的距离公式的运用。
学生可以通过纸和铅笔分步解题，最后用计算器求得具体数值。
六、巩固练习（10分钟）教师布置一些类似的练习题，要求学生用点到直线的距离公式来解答。
《点到直线的距离》的说课稿[大全5篇]
![《点到直线的距离》的说课稿[大全5篇]](https://img.taocdn.com/s3/m/85309ad8f605cc1755270722192e453611665b59.png)
《点到直线的距离》的说课稿[大全5篇]第一篇：《点到直线的距离》的说课稿一、教学方法的选择（1）指导思想：在“以生为本”理念的指导下，充分体现“教师为主导，学生为主体”。
（2）教学方法：问题解决法、讨论法等。
本节课的任务主要是公式推导思路的获得和公式的推导及应用。
我选择的是问题解决法、讨论法等。
通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识的形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展；学生自主学习，分工合作，使学生真正成为教学的主体。
二、教学用具的选用在选用教学用具时，我考虑到，在本节课的公式推导和例题求解中思路较多，所以采用了计算机多媒体和实物投影仪作为辅助教具．它可以将数学问题形象、直观显示，便于学生思考，实物投影仪展示学生不同解题方案，提高课堂效率。
三、关于教学过程的设计“数学是思维的体操”，一题多解可以培养和提高学生思维的灵活性，及分析问题和解决问题的能力．课程标准指出，教学中应注意沟通各部分内容之间的联系，通过类比、联想、知识的迁移和应用等方式，使学生体会知识间的有机联系，感受数学的整体性。
课标又指出，鼓励学生积极参与教学活动．为此，在具体教学过程中，把本节课分为以下：“创设情境提出问题——自主探索推导公式——变式训练学会应用——学生小结教师点评——课外练习巩固提高”五个环节来完成．下面对每个环节进行具体说明。
（一）[创设情境提出问题]1、这一环节要解决的主要问题是：创设情境，引导学生分析实际问题，由实际问题转化为数学问题，揭示本课任务．同时激发学生学习兴趣，培养学生数学建模能力．2、具体教学安排：多媒体显示实例，电信局线路问题，实际怎样解决？能否转化为解析几何问题？学生很快想到建立坐标系．如何建立坐标系？建系不同，点和直线方程不同，用点的坐标和直线方程如何解决距离问题，由此引出本课课题“点到直线的距离”。
（二）[自主探索推导公式]1、这一环节要解决的主要问题是：充分发挥学生的主体作用，引导学生发现点到直线距离公式的推导方法，并推导出公式．在公式的推导过程中，围绕两条线索：明线为知识的学习，暗线为特殊与一般的逻辑方法以及转化、数形结合等数学思想的渗透。
点到直线的距离公式(教案)
一、点到直线的距离公式（两平行线之间的距离）
二、教学目标：探究并掌握点到直线的距离公式，两平行线之间的距离公式；体会由求平行线之间的距离到求点到直线的距离的转化过程。
三、教学重点：点到直线之间的距离公式的推导与应用
四、教学难点：公式的推导过程，以及转化思想。
五、教学支持手段：
六、教学过程：
1、回顾与引入：
问题1：①上节课我们学习了两点之间的距离公式，是什么？
②初中的时候我们学习过点到直线的定义是什么？
问题2：那么，在引入坐标后，如果已知一点坐标和一直线的方程，如何求该点到直线的距离呢？
2、探索新知：
问题3：已知点P0（x0，y0），直线l：Ax+By+C=0，如何求点P0到直线l的距离呢？
推导简图：
点到直线之间的距离公式：
问题4：你能通过点到直线之间的距离，得出求两平行线之间距离的方法吗？你能完成110页B组第三题的证明吗？
：
3、例题精讲：
问题5：例1：求点P0（-1,2）到直线l：3x=2的距离。
问题6：例2：已知点A（1,3），B（3,1），C（-1,0），求三角形ABC的面积
变式训练：106页
4、目标检测：
：
5、课堂小结：
问题7：本节课你学到哪些知识？
6、作业：110页
必做题目：
①
②
选做题：③。
点到直线的距离公式(教学设计)(人教A版2019选择性必修第一册)
2.3.3点到直线的距离公式（教学设计）一、课时教学内容本节对“点到直线的距离”的认识，是从初中平面几何的定性作图，过渡到了解析几何的定量计算，对点到直线距离的研究，有着承上启下的作用，承上是指本内容是对直线方程、两直线的位置关系以及两点间距离公式的应用，启下是指本内容为以后直线与圆的位置关系和圆锥曲线的学习奠定基础。
二、课时教学目标1.理解点到直线距离公式的推导过程，掌握点到直线的距离公式及简单应用；2.经历点到直线距离公式的探索过程；体会推导过程中蕴含的数形结合、分类讨论、化归转化等数学思想，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养；3.通过探索公式的推导过程，培养学生的意志品质；感受数学公式的简洁美。
三、教学重点、难点1.教学重点：点到直线的距离公式；2.教学难点：点到直线的距离公式的推导．四、教学过程设计环节一创设情境，引入课题如图,在铁路的附近,有一大型仓库.现要修建一条公路与之连接起来.那么怎样设计能使公路最短？最短路程又是多少？铁路仓库设计意图：通过生活中点到直线距离的问题情境，引出在坐标系下探究点到直线距离公式的问题，帮助学生学会联系旧知，制定解决问题的策略，最终探索出点到直线的距离公式，让学生感悟运用坐标法研究几何问题的方法。
那么“应该如何求点到直线的距离呢？”距离问题是几何学的基本问题之一.上节课我们学习了两点间的距离公式，知道两点间的距离可以由两点坐标表示.在平面直角坐标系中，我们用坐标描述点，用方程刻画直线，当点与直线的位置确定后，点到直线的距离就可以由点的坐标与直线的方程确定.如何确定呢?我们知道，在解析几何中，点在直线上，则满足直线方程. 如果点不在直线上，还可以研究点到直线的距离.在就是我们今天要学习的内容——点到直线的距离公式. 问题1：如图2.3-5，已知点00(,)P x y ，直线:0l Ax By C ++=，如何求点P 到直线l 的距离?P 追问1：如何求出||PQ 的距离？点P 到直线l 的距离，就是从点P 到直线l 的垂线段PQ 的长度，其中Q 是垂足(图2.3-5)． 因此，求出垂足Q 的坐标， 追问2：如何求出点Q 的坐标？利用两点间的距离公式求出PQ ，就可以得到点P 到直线l 的距离．追问3：如何求垂线PQ 的方程？ 设0A ≠，0B ≠由PQ l ⊥，追问4：如何求垂线PQ 的斜率？以及直线l 的斜率为A B -，可得l 的垂线PQ 的斜率为BA，因此，垂线PQ 的方程为00()By y x x A-=-，即00Bx Ay Bx Ay -=-．解方程组00Ax By C Bx Ay Bx Ay ++=⎧⎨-=-⎩ ①得直线l 与PQ 的交点坐标，即垂足Q 的坐标为 2200002222,B x ABy AC ABx A y BC A B A B ⎛⎫---+- ⎪++⎝⎭． 设计意图：这个推导过程是坐标法的直接体现，思路自然，但运算化简过程稍显繁杂.师生一起做一方面可以给学生起到示范作用，另一方面也让学生掌握这种运算.运算需要训练和积累.于是22220000002222B x ABy AC ABx A y BC PQ x y A B A B ⎛⎫⎛⎫---+-=-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭200002222()Ax By C Ax By C A B A B++++==++．环节三 抽象概括，形成概念因此，点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离OPQxyl图2.3-50022Ax By C d A B ++=+．可以验证，当0A =，或0B =时，上述公式仍然成立． 问题5：公式有什么结构特征？公式的分子：保留直线方程一般式的结构，只是把的坐标代入到了直线方程中，体现了公式与直线方程关系.特别地，如果P 在直线上，点到直线的距离为0，此时，式子中的分子为0，整个式子也等于0.运算结果与实际相符.这么一来，这个公式可以表示平面内任一点到任一直线的距离.注意，因为所求的是距离，所以要加绝对值保证结果为正. 分母则是未知数系数的平方和再开根.22A B +是与已知直线垂直的方向向量的模. 问题6：上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大．反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗?由此能否给出简化运算的方法?师生活动：学生能想到引起复杂运算的原因，一是求点Q 的坐标复杂，二是代入两点间距离公式造成了运算的复杂.在上述方法中，若设垂足Q 的坐标为(,)x y ，则2200()()PQ x x y y =-+-． ②对于②式，你能给出它的几何意义吗?结合方程组①，能否直接求出2200()()x x y y -+-，进而求出PQ 呢?请你试一试！上述运算思路师生共同探讨分析提出，运算过程由学生自己完成.设计意图：在直接推导完成后引导学生反思引起复杂运算的原因，一方面培养他们反思习惯与反思能力，善于发现问题并研究缘由；另一方面也为寻找简化方法作铺垫.对推导过程的反思与观察需要教师作恰当的引导，针对原有问题需要回避什么，如何回避.这种设计意在培养学生思考分析问题的基本路径，提升运算能力，体会整体代换思想.追问5：针对上述原因，观察反思求解过程，能否找到回避计算点Q 的坐标从而简化运算的方法？问题7：向量是解决空间距离、角度问题的有力工具，能否用向量方法求点到直线的距离呢?追问6：点P 与直线l 上任一点所成向量与向量PQ 有何关系呢？ 追问7：PM 的模投影向量PQ 的模？如图2.3-6，点P 到直线l 的距离，就是向量PQ 的模．追问8：如何利用直线方程得到与直线l 的方向向量垂直的单位向量n 呢?设(,)M x y 是直线l 上的任意一点，n 是与直线l 的方向向量垂直的单位向量， 则PQ 是PM 在n 上的投影向量，PQ PM n =⋅．P 1P 2l 00(,)P x y (,)M x y QOxy图2.3-6环节四 辨析理解 深化概念 思考如何利用直线l 的方程得到与l 的方向向量垂直的单位向量n ? 设111(,)P x y ，222(,)P x y 是直线:0l Ax By C ++=上的任意两点，则122121(,)PP x x y y =--是直线l 的方向向量．把110Ax By C ++=，220Ax By C ++=两式相减，得2121()()0A x x B y y -+-=．由平面向量的数量积运算可知，向量(,)A B 与向量2121(,)x x y y --垂直．22,)A B A B+就是与直线l 的方向向量垂直的一个单位向量．我们取22,)n A B A B=+，从而]00002222(,),)()()PM n x x y y A B A x x B y y A B A B⋅=--=-+-++ 0022)Ax By Ax By A B=+--+．因为点(,)M x y 在直线l 上，所以0Ax By C ++=．所以Ax By C +=-．代人上式，得0022)PM n Ax By C A B⋅=---+． 因此0022Ax By CPQ PQ PM n A B++==⋅=+．追问9：请你比较一下上述推导点到直线距离公式的坐标法和向量法，它们各有什么特点？除了思考比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然；第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算．除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗?观，构造性强，但可以简化运算.其他推导方法让学生课后查阅资料独立完成.设计意图：利用向量投影，通过向量运算求得点到直线的距离公式，简化了运算过程.学生通过对比公式推导的不同方法可以体会向量法的优点，提高运用向量研究解决几何中距离问题的意识与能力.环节五 概念应用，巩固内化例5求点(1,2)P -到直线:32l x =的距离．分析：将直线l 的方程写成320x -=，再用点到直线的距离公式求解．解：点(1,2)P -到直线:320l x -=的距离223(1)25330d ⨯--==+．直线l 有什么特性?由此你能给出简便解法吗?1,0)，求ABC △的面积．分析：由三角形面积公式可知，只要利用距离公式求出边AB 的长和边AB 上的高即可．解：如图2.3-7， 设边AB 上的高为h ，则12ABC S AB h =△．22(31)(13)22AB =-+-=边AB 上的高h 就是点C 到直线AB 的距离．边AB 所在直线l 的方程为311331y x --=--，即40x y +-=． 点(1,0)C -到直线:40l x y +-=的距离22104211h -+-==+ 因此，122522=⨯=ABC S △ 你还有其他解法吗?1. 本节课学习的公式有哪些？(1) 点),(00y x P 到直线0:=++C By Ax l 的距离为：2200BA CBy Ax d +++= (2) 两条平行直线10Ax By C ++=与20Ax By C ++=间的距离为1222C C d A B-=+2.回顾本节课所学知识与学习过程，你能对本节课的研究内容与结论，不同的研究思路与研究方法作个梳理吗？(1) 本节课，我们学习了点到直线的距离公式，它是解析几何中非常重要的一个公式.推导公式中完整介绍了两种方法：第一种方法是坐标法，将点到直线距离转化为两点间的距离，由两点间的距离公式得到结论，这种方法思路自然但运算复杂；第二种方法是向量法，运用向量的投影和数量积运算进行推导，虽然运算量不大，但是需要一定的整体观和构造技巧. (2) 能利用点到直线的距离公式，解决数学问题，注意运用公式前，将直线方程化为一般式.师生活动：先由或生对研究对象与结论，以及研究思路作梳理，并由部分学生进行汇报，其他同学对不同的究方法的特点进行补充.设计意图：帮助学生理解推导点到直线的距离公式时不同思路、不同方法的差异，体会不同推导方法蕴含的思想. 环节七 目标检测，作业布置完成教科书 习题2.3第6,11,12,13,14题.练习（第77页）Oxy1231-2-1-123ABCh图2.3-71．求原点到下列直线的距离：（1）:32260l x y +-=； （2）:l x y =．1．解析：（1）221332d ==+ （2）因为原点在直线:l x y =上，所以原点到直线:l x y =的距离为0． 2．求下列点到直线的距离：（1）(2,3)A -，:3430l x y ++=； （2）(1,0)B ，330l x y +=； （3）(1,2)C -，:430l x y +=． 2．解析：（1）229534d ==+；（2）2231030(3)1d ⨯+-==+；（3）22413(2)2543d ⨯+⨯-==+． 3．已知点(1,2)P -到直线:430l x y C -+=的距离为1，求C 的值．3224(1)3214(3)C⨯--⨯+=+-，解得15C =或5C =．。
点到直线的距离公式说课稿+正式
x
l : Ax By C 0
2
探索发现 --师生互动 合作探究
四、教学过程
B x x1 A y y1 0 Ax By C 0
定义法：运算量大
问题1：能否把x1 x0和y1 y0分别看
求l 与 m的交点P0 成一个整体 ,构建二元一次方程组求解？
根据新课改的理念，本节课通过学 生自主、合作、探讨，培养学生独立思 考，团结协作，坚忍不拔和勇于探索的 精神。
1．提供观察、思考的机会：用亲切的语言鼓励学生 观察并用学生自己的语言进行归纳．
四、教学过程
1
情境引入
2
探索发现 例题探究
3
归纳总结
4
布置作业
5
课堂检测
6
四、教学过程
1
情境引入
.P
四、教学过程
四、教学过程
2
探索发现
思路二：面积法
--师生互动 合作探究
求R的坐标
求出 |PR|
求S的坐标
求出|PS|
y
R
·
利用勾股定理求出|RS| 面积法求出|PP0|
P 0
O
· ·
S
d
·
P x1 , y1
x
l : Ax By C 0
d RS PR PS
四、教学过程
2
探索发现
Ax1 By1 C A B
2 2
2
所以点P到直线l的距离公式为： d Ax1 By1 C A B
2 2
四、教学过程
2
探索发现
--师生互动 合作探究
思路二：面积法
用几何画板演示预习学案的练习题，逐步提出问题引导学生思考： 问题一：当 A=0 或 B=0 时如何求点到直线的距离。 问题二：当 AB 0 时如何求点到直线的距离 （构造三角形，利用面积求高线） 问题三：如何构造三角形 （做轴的平行线）
四年级上册数学教案 点到直线的距离示范教学方案 人教版
四年级上册数学教案：点到直线的距离示范教学方案一、教学目标1. 知识与技能：使学生掌握点到直线距离的含义，能够运用点到直线距离公式进行计算。
2. 过程与方法：通过观察、实践、讨论等教学活动，培养学生动手操作、观察、分析问题和解决问题的能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作交流、积极参与的学习态度。
二、教学重点与难点1. 教学重点：点到直线距离的含义，点到直线距离公式的应用。
2. 教学难点：点到直线距离公式的推导，以及在实际问题中的应用。
三、教学准备1. 教学工具：直尺、圆规、量角器等。
2. 教学素材：课件、练习题等。
四、教学过程1. 导入新课通过复习点到直线垂线段的性质，引导学生思考：点到直线的距离在实际生活中的应用，如测量、设计等。
从而引出本节课的主题——点到直线的距离。
2. 探究新知（1）点到直线距离的含义通过观察、实践，让学生了解点到直线距离的含义，即从直线外一点到这条直线的垂线段的长度。
（2）点到直线距离公式的推导利用直尺、圆规、量角器等工具，引导学生进行实践操作，发现并证明点到直线距离公式：设直线方程为 Ax By C = 0，点 P(x0, y0) 到直线的距离公式为：d = |Ax0 By0 C| / √(A^2 B^2)（3）点到直线距离公式的应用通过实例演示，让学生学会运用点到直线距离公式解决实际问题，如求点到直线的距离、判断点是否在直线上等。
3. 巩固练习设计不同难度的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
同时，教师巡回指导，解答学生疑问。
4. 课堂小结通过提问、讨论等方式，让学生回顾本节课所学内容，总结点到直线距离的含义、公式及应用。
5. 课后作业布置适量课后作业，让学生进一步巩固所学知识，提高解决问题的能力。
五、教学反思本节课结束后，教师应认真反思教学过程中的优点和不足，针对学生的掌握情况，调整教学策略，以提高教学质量。
同时，关注学生的学习兴趣和需求，不断丰富教学手段，激发学生的学习积极性。
四年级上册数学教案-5.3 点到直线的距离-人教版
四年级上册数学教案-5.3 点到直线的距离-人教版一、教学目标1. 让学生理解点到直线的距离的概念。
2. 培养学生运用点到直线的距离解决实际问题的能力。
3. 培养学生的空间想象能力和抽象思维能力。
二、教学内容1. 点到直线的距离的概念。
2. 点到直线的距离的计算方法。
3. 点到直线的距离在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：点到直线的距离的概念及其计算方法。
2. 教学难点：点到直线的距离在实际问题中的应用。
四、教学过程1. 导入通过复习直线、射线和线段的概念，引导学生关注点到直线的距离。
2. 新课讲解（1）点到直线的距离的概念引导学生观察点到直线的不同位置，从而得出点到直线的距离的定义。
（2）点到直线的距离的计算方法通过实例演示，让学生了解点到直线的距离的计算方法。
3. 练习与讨论让学生分组讨论，如何计算点到直线的距离，并在黑板上展示计算过程。
4. 课堂小结对本节课所学内容进行总结，强调点到直线的距离的概念和计算方法。
5. 作业布置布置相关的练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学反思1. 教师在教学过程中要注意引导学生关注空间几何的基本概念，培养学生的空间观念。
2. 在讲解点到直线的距离的计算方法时，要通过实例演示，让学生更好地理解。
3. 在练习与讨论环节，要关注学生的参与度，鼓励学生积极发言，培养学生的合作意识。
4. 在课后作业的布置上，要注重练习题的针对性和层次性，以提高学生的学习效果。
总之，本节课的教学内容是点到直线的距离，通过讲解概念、计算方法和实际应用，让学生掌握点到直线的距离的知识。
在教学过程中，要注意培养学生的空间观念和抽象思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
重点关注的细节是“点到直线的距离的计算方法”。
详细补充和说明：在数学中，点到直线的距离是指从直线外一点到这条直线的最短距离。
这个概念在几何学中非常重要，因为它不仅涉及到基本的几何知识，还在实际生活中有着广泛的应用，如建筑设计、道路规划等领域。
点到直线的距离教学设计
点到直线的距离教学设计点到直线的距离公式教学设计一、教材分析点到直线的距离是直线方程的一个应用，也是坐标法的继续。
从知识体系上看，是在研究平面上两点之间距离的基础上来进一步研究点线距离，是对距离度量的完善；从知识结构上看，点到直线的距离是前面讨论两点间距离的深入、后续研究直线和圆的位置关系的准备。
继前面研究了两直线平行与垂直后，教材安排讲述了平面上两点间距离，学生已经基本掌握如何判断四边形形状（包括三角形），以及求四边形边长等方法；为求四边形面积，我们还需探讨点到直线的距离（因为要求四边形中顶点到对边的距离，也包括三角形）。
为此，本课主要研究以下两点：①平面上点到直线的距离公式及其应用；②两条平行线间的距离。
二、教学目标1、知识与技能①掌握点到直线的距离公式，能应用公式解决一些简单问题；②通过公式的推导向学生渗透数形结合和化归等数学思想；2、过程与方法①问题导入的方式；②分组合作、研究与交流；③通过对数学公式的推导过程，体会数学中常用的数形结合和化归思想；3、情感态度与价值观①渗透数形结合和化归等思想，举行对峙统一概念的教育，培养学生勇于探究、勇于立异的精神；②通过数学活动感受数学与显示世界的联系，进一步认识辨证唯物主义的普遍联系观点。
三、教学重难点分析1、教学重点点到直线的距离公式及其应用2、教学难点点到直线距离公式的推导四、教法构想在编写过程中，教材将本课设计为一节活动课，通过上一节课的情景，提出问题，进而给出两种解决问题的方法，最后留下思考。
因此，教学中可以首先明确条件，提出问题，然后让学生充分讨论，研究如何解决这个问题；将学生分成小组，采用讨论、交流和学生汇报等形式进行研究性研究。
五、教学过程设计教学过程创设问题（引例）：如何计较下面四边形的面积？XXX教学内容教师活动打开多媒体课件，展示问题，提问：在前面的研究中，我们已经能够从计算斜率的角度判定四边形ABCD的形状，你能判断这个四边形形状吗？请你试试。
《点到直线的距离公式》(教学设计与反思)
（1）求出过P 与垂直的直线的方程
求出两直线的交点H的坐标
再求PH的长
计算步骤如下：
（2）构造三角形的解法
（3）构造函数求最小值（构造P与直线上任意点的距离）等
2 解决问题
体验成功
用以上算法解决课前提出的问题：设P（-3
5）
直线l方程为3x-4y-5=0,求P到直线的距离
虽然学生具备一定的基础知识
但大容量的自主探究也会对课堂教学的控制带来一定的难度
所以本节课的难点定为标准方程的推导. 环 节 内 容 理论依据或意图 学
情
分
析 一方面本班学生知识水平、基础和发展不平衡
尖子生数量不大
相当一部分学生基础差、底子薄
数学探究能力及运算能力比较弱
论
证
二．探究总结
形成概念
将上述问题抽象成我们的数学问题
即：求点到直线的距离问题
那么
探究问题1 在平面直角坐标系中
如何求点P到直线的距离？
1 自主探究
合作交流
合作交流后
学生回答交流结果
教师引导归纳解法步骤
同时培养学生合作学习的团队精神
让学生体会算法思想
把握运算过程
体会函数思想
让课堂延伸
体会探究成功的喜悦
回应课前提出的问题
引导学生发现并提出数学问题
在实际操作的基础上
获得距离公式
■ 通过练习、例题的训练与变式
巩固知识结论
培养学生应用能力
3、情感、态度与价值观
■ 通过学生主动探究知识、合作交流等方式
培养学生探索、研究的精神和合作互助的团队精神；
点到直线的距离公式教案
教案《点到直线的距离公式》一、教学目标1．知识教学点点到直线距离公式的推导思想方法及公式的简单应用．2．能力训练点培养学生数形结合能力，综合应用知识解决问题的能力、类比思维能力，训练学生由特殊到一般的思想方法．3．知识渗透点由特殊到一般、由感性认识上升到理性认识是人们认识世界的基本规律．二、教材分析1．重点：展示点到直线的距离公式的探求思维过程．2．难点：推导点到直线距离公式的方法很多，怎样引导学生数形结合，利用平面几何知识得到课本上给出的证法是本课的难点，可构造典型的、具有启发性的图形启发学生逐层深入地思考问题．3．疑点：点到直线的距离公式是在A ≠0、B ≠0的条件下推得的．事实上，这个公式在A=0或B=0时，也是成立的．三、活动设计启发、思考，由特殊特殊推导一般，逐步推进，讲练结合．四、教学过程(一)提出问题已知点P(x 0，y 0)和直线L ：Ax+By+C=0，点的坐标和直线的方程确定后，它们的位置也就确定了，点到直线的距离也是确定的，怎样求点P 到直L 的距离呢？(二)构造特殊的点到直线的距离学生解决：思考题1：求点P(2，1)到直线L ：x-y+1=0的距离．学生可能寻求到这几种解法：方法1：由定义求出垂足，转化为两点间距离求解。
方法2：利用最值结论，求两点距离最小值。
设M(x ，y)是l ：x-y+1=0上任意一点，则d 2=22)1(2442)2()1()2(222222≥+-=+-=+-=-+-x x x x x y x当x=1时|PM|有最小值，这个值就是点P 到直线l 的距离．方法3：利用倾斜角解三角形。
直线x-y+1=0的倾角为45°。
在Rt △OPQ 中，|PQ|=|OP|也可过P 作y 轴的平行线交l 于S ，在Rt △PAS 中，|PO|=|PS|方法4：在上面图形基础上，也可利用三角形面积公式：过P 作x 轴的垂线交L 于S ，∵|OP|·|PS|=|OS|·|PQ|，(三)思考：若对一般情形，P(x 0，y 0)和直线L ：Ax+By+C=0，你能否推导点到直线的距离公式？有以上的基本思路为基础，我们很快得到设A ≠0，B ≠0，直线L 的倾斜角为α，过点P 作PR ∥Ox ， PR 与L 交于R(x 1，y 1)∵PR∥Ox ，∴y 1=y ．代入直线L 的方程可得：当α＜90°时(如图1-37甲)，α1=α．当α＞90°时(如图1-37乙)，α1=π-α．∵α＜90°，221||sin BA A +=α∴|PQ|=|PR|si n α1这样，我们就得到平面内一点P(x0，y0)到一条直线Ax+By+C=0的距离公式：如果A=0或B=0，上面的距离公式仍然成立，但这时不需要利用公式就可以求出距离．(四)例题例1 求点P 0(-1，2)到直线：(1)2x+y-10=0，(2)3x=2的距离．解：(1)根据点到直线的距离公式，得(2)因为直线3x=2平行于y 轴，所以例2．己知点A （1，3），B （3，1），C （-1，0）求△ABC 的面积。
点到直线的距离教案
点到直线的距离教案一、教学目标1.知识目标：学生理解直线和点之间的距离的概念，掌握点到直线的距离公式以及相关的解题技巧。
2.能力目标：培养学生应用几何知识解决实际问题的能力，提高学生的逻辑思维和推理能力。
3.情感目标：培养学生对数学学习的兴趣，增强学生的自信心和解决问题的能力。
二、教学重难点1.教学重点：点到直线的距离的概念，点到直线距离公式的推导和应用。
2.教学难点：点到直线距离公式的推导和应用。
三、教学过程1.导入（5分钟）通过几何题目引入直线和点之间的距离的概念。
例如：现有一直线和一点，如何确定这个点到直线的最短距离？引导学生思考，并写下自己的解题思路。
2.学习点到直线的距离公式（10分钟）引导学生通过观察和分析，找出点到直线的距离公式，即点P到直线AB的距离公式为d=，AX*(By-Ay)-AY*(Bx-Ax)，/√((Bx-Ax)²+(By-Ay)²)。
讲解公式的推导过程，并进行实例演示。
3.练习点到直线的距离公式（15分钟）让学生通过练习题目熟练掌握点到直线的距离公式的应用。
例如：已知直线L上有两点A(-2,3)和B(4,-1)，求点P(1,2)到直线L的距离。
提供若干类似的题目，让学生进行独立思考和解答，并在黑板上讨论和解决问题。
4.拓展应用（15分钟）让学生应用点到直线的距离公式来解决实际问题。
例如：一位农民要修理农田中的直线水渠，现在他想要确定离自己最近的一段水渠，该怎么做？让学生分组讨论和解答，并展示自己的解题过程。
5.归纳总结（10分钟）由学生来总结点到直线的距离的概念和公式的应用，并进行讲解和讨论。
6.反思与展望（5分钟）让学生对本节课进行反思总结，并展望下节课的学习内容。
四、板书设计五、教学反思本节课通过启发式教学的方式引导学生发现并掌握点到直线的距离公式，培养了学生的自主学习能力和问题解决能力。
同时，通过实例和拓展应用，激发了学生对数学的兴趣和学习的积极性。
点到直线的距离公式的教学设计
点到直线的距离公式教学设计李亚敏2.2.4点到直线的距离公式教学设计一、教材分析本节是在研究了两条直线的位置关系的判定方法基础上，研究两条直线平行线间距离的一个重要公式。
推导此公式，把对点与直线从定性的认识上升到了定量的认识，不仅完善了两条直线位置关系这一知识体系，而且也为将来用代数方法研究曲线的性质奠定了基础。
更为重要的是本节课能使学生在探索过程中深刻领悟到蕴涵于公式推导中的重要数学思想和方法，学会用化归思想，由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的分析问题、解决问题的能力，同时培养学生浓厚的数学兴趣和良好的学习品质。
二、学情分析学生在此之前已学习了点点距离、线线位置关系，初步掌握了“用代数的方法研究曲线的性质”这一研究平面解析几何问题的重要方法，并且高二的学生已经基本能够从特殊的情况中发现规律，从而推广为一般情况，所以本节课只要做好这种引导工作，学生是比较容易理解的。
这也是本节课要突出的“从特殊到一般”的课堂设计的原因，能使学生充分地参与进来，体会到成功的喜悦。
三、教学目标1、认知目标：①探索并掌握点到直线的距离公式；②会求两条平行直线间的距离；③体会“数形结合”研究解析几何的思想.2、能力目标：通过让学生在实践中的探索、观察、反思、总结，发现问题、解决问题，进而培养学生的观察、归纳能力，思维、应用和创新能力。
3、情感目标：培养学生勇于探索、善于研究的精神，培养其良好的数学学习品质。
四、教学重点和教学难点：教学重点：空间两点距离公式；教学难点：空间两点距离公式的推导.五、教学方式1教法在“以生为本”的理念指导下，充分体现“学生为主体，教师为主导”。
本节课的主要任务是公式推导思路的获得和公式的推导和应用。
我选择的是问题解决法，启发引导法等，通过一系列问题，创造思维情境，通过师生互动，让学生体验、探究、发现知识形成和应用过程，以及思考问题的方法，促进思维发展，学生自主学习，使学生真正成为教学的主体。
数学高中点到线的距离教案
数学高中点到线的距离教案
教学重点：点到线的距离的计算方法。
教学难点：理解点到线的距离的概念。
教学准备：
1. 教师准备好教案、教材、黑板、彩色粉笔等教学工具。
2. 学生准备好尺子或者直尺等测量工具。
教学步骤：
一、导入新知识（5分钟）
1. 引导学生思考：如何理解点到线的距离？
2. 导入本节课的新知识点：点到线的距离。
二、讲解点到线的距离的定义和计算方法（10分钟）
1. 讲解点到线的距离的概念。
2. 讲解点到线的距离的计算方法，包括垂直距离的计算和点到线段的距离的计算。
三、练习点到线的距离计算（15分钟）
1. 带领学生做几个简单的点到线的距离计算题。
2. 让学生自己尝试做一些练习题，巩固所学知识。
四、总结和提高（5分钟）
1. 总结本节课的重点和难点。
2. 对学生的表现进行评价，鼓励学生继续努力。
五、作业布置（5分钟）
1. 布置相关的点到线的距离计算题目作业。
2. 鼓励学生复习本节课所学内容，准备下节课的学习。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
点到直线的距离公式教案
江苏省无锡市惠山区长安中学徐忠
一、教案背景
1.教材。
本课时选自江苏教育出版社的中等职业学校国家审定教材《数学》第7章解析几何第2节两直线的位置关系中的一节，是直线形解析几何内容的最后一个知识点。
点到直线的距离公式是解析几何中计算距离的两个重要的基础公式之一。
相对于另一个距离公式也就是两点间的距离公式，它需要有更强的综合知识的能力和计算能力，它既是学习曲线形解析几何内容的必备条件，也是直线形解析几何内容的难点。
同时，本公式也体现了解析几何中的数学美，以及解析几何在解决数学问题中所展现的逻辑美。
2.学生。
本课时的教学对象是职业高中学生。
作为中考成绩最差的一部分，这些学生学习能力弱，对基础知识的掌握和数学能力的运用方面都有很大的缺陷。
他们的学习意志也不坚定，遇到困难很容易放弃。
但他们对于能够理解和掌握的知识会表现出很大的兴趣。
二、课时分析
针对以上分析，对本课时作如下定位。
1.教学目标：
（1）掌握点到直线的距离公式，初步使用公式解相关习题。
（2）锻炼学生的计算能力，培养良好的学习习惯。
（3）体会公式中的数学美；培养学生“数形结合”的数学思想。
2.重点：点到直线的距离公式。
3.难点：点到直线的距离公式的初步应用。
三、教学方法
1.教法。
本课教法以讲授为主。
采用“提出问题——解决问题”的过程来设计教学。
通过
从简单到复杂，从特殊到一般，循序渐进，逐步深入地使学生理解本课主题。
对基础比较薄弱的学生来说，这也是最容易接受的教学方式。
2.学法。
本课学法以练习为主。
在学生取得初步印象后，随时通过学生练习来加深理解，
巩固知识。
学生练习是职高学生理解、掌握知识的重要途径，也是锻炼能力、培养良好学习习惯的有效方法。
四、教学过程
（一）知识准备
1.两点间的距离公式。
2.直线方程的一般形式。
3.两直线平行，则____；两直线垂直，则____。
4.点与直线的位置关系；两相交直线的交点坐标。
设计目标：复习已有知识，为新课作准备。
（二）问题提出
什么是点到直线的距离？
设计目标：理解点到直线的距离的几何意义，使学生重温“垂线段”这个名词。
（三）问题解决
1.当直线平行于坐标轴时的情况。
例：求点A(2,-3)到下列直线的距离d：
(1) y=7；(2) x +1=0．
=7
解：通过图象可得：
（1） d =7−(-3)=10
（2） 直线方程可化为x =−1.
d =2−(-1)=3
结论：点到平行于坐标轴的直线的距离等于对应的坐标值的差的绝对值。
学生练习：求点A (-1,2)到下列直线的距离：
（1）x =5; (2)y −4=0；（3）2x −1=0; (4)3y +1=0
设计目标：通过图象，使学生理解“点到直线的距离”问题在解析几何下的形式，掌握问题在特殊情况下的解法，树立解决问题的信心。
2. 一般情况下的问题。
例：求点A (-2,3)到直线l :x +2y −10=0的距离。
思考：如图，所求距离即线段AD 的长度。
求法：1.先求直线AD 的方程。
2.求直线AD 与l 的交点D 的坐标。
3.求线段AD 的长度。
说明：解法与公式推理。
除这种解法外，还有三角函数法
（课本解法）和面积法等，但这个方法涉及知识点最少、最近，学生易于理解、接受。
为了节省时间，只说明解题方法，不演示解题过程，对学生要求只了解即可。
3. 问题解决。
过程比较复杂，有一个简便的方法：使用公式。
点P （x 0，y 0)到直线l ：A x +B y +C=0的距离为： d =2200B
A C By Ax +++||
公式分析：略。
体验公式中点的坐标与直线的方程间的关系。
解：应用点到直线的距离公式得：
d
=32． 又如：求点A （2，-3）到直线y =5x −2的距离。
解：先化方程为一般形式：5x −y −2=0.
代入公式：d
==
学生练习：课内练习4，1，2
设计目标：使学生认识公式，掌握公式，体验公式在解决问题时的作用。
（四）综结与作业。
五、教学反思
1.本课把课本例10拆分为二分别引导，效果良好。
2.代公式求距离的学生练习效果没有达到预期，说明部分学生对公式理解还不到位，还需
加强代公式的练习，同时还需注意学生练习的时间。
六、教案设计思路说明
职业高中的教学改革，无论是国外发展较早的行为导向教学（/question/183876878.html），还是最近发展较大的任务驱动教学（/view/1170229.htm）等等，都非常强调学生的主体性，强调学生在动手操作的过程中形成知识技能。
最近，国家教育部印发的中等职业学校七门公共基础课程教学大纲（/newsInfo.aspx?pkId=46109）中，也突出了对学生基本技能方面的要求。
把提高学生的动手操作能力放在职高教改的首要地位，这不仅是职业高中的教学目标的要求，也切合职高学生的实际情况：他们在基本技能方面的提升空间要比思维能力方面的提升空间要大得多。
作为职业高中的文化课程，也应该在提升学生的基本技能方面下功夫。
在这个前提下，本课时降低了学生思维方面的目标要求，不采用启发式的教学方法和探究式的学习方法，对作为课本重要内容的公式推理过程，只作略讲。
这样安排，原因是学生较低的思维水平和综合运用知识的能力，目的是增加学生动手练习的时间。
让学生做他们能做的事，是调动学生学习积极性的基本要求，反复的练习也是学生尤其是职高学生掌握知识的重要途径。
所以，本课时力求使学生练习贯穿始终，充分发挥学生的主体作用，避免学生听而不闻、过堂即忘的不良情况的发生。
较低的起点和要求，频繁的学生练习，是这堂课在设计时的理念，也是我在职高数学教学中的尝试。
一家之言，望大家指正。