2.3.1条件概率

0.7
A
3.甲 3.甲，乙，丙3人参加面试抽签，每人的试题通过不放 人参加面试抽签， 回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4 回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题签中有4个是 10个试题签中有 难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1 难题签，按甲先，乙次，丙最后的次序抽签。试求1） 甲抽到难题签， 甲抽到难题签，2）甲和乙都抽到难题签，3）甲没抽到 甲和乙都抽到难题签， 难题签而乙抽到难题签， 难题签而乙抽到难题签，4）甲，乙，丙都抽到难题签 的概率。 的概率。 分别表示“ 丙抽到难签” 解 设A，B，C分别表示“甲、乙、丙抽到难签” ， ， 分别表示
P68 A 组第 2 题
选做作业: 选做作业: 根据以往的临床记录 , 某种诊断癌症的试 1．
验具有如下的效果 : 若以 A 表示事件" 试验反应 为阳性" , 以 C 表示事件" 被诊断者患有癌症 " , 则 有 P ( A C ) = 0.95, P ( A C ) = 0.95.现在对自然人群 进行普查 , 设被试验的人患有癌症 的概率为0.005, 即 P (C ) = 0.005, 试求 P (C A).
3 P( BA) 1 1 于是得 P ( B) = = P( BA) = P( A) = ∴P( A| B) = 4 P(B) 3 4
P ( B1 ) = 1 2
P ( B1 A ) = P ( A ) = 1 4
B 1 =“第一个是男孩” 第一个是男孩” 第一个是男孩
B 1 ={(男, 男) , (男 , 女) } 男 男
P( A | B) = 45%
于是 所以
P (B ) = 4%
P ( B ) = 1 − P ( B ) = 96 %
P ( A) = P ( AB ) = P ( B ) P ( A | B )
= 96% × 45% = 43.2%
练习4:抛掷一颗骰子, 练习4:抛掷一颗骰子,观察出现的点数 4:抛掷一颗骰子 B={出现的点数是奇数 ＝｛１ 出现的点数是奇数} B={出现的点数是奇数}＝｛１，３，５｝ A={出现的点数不超过3}＝｛ 出现的点数不超过3}＝｛１ A={出现的点数不超过3}＝｛１，２，３｝ 若已知出现的点数不超过3 若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率 发生的条件下， 解：∵事件 A 发生的条件下，事件 B 的概 率即Ｐ（ Ｐ（B 率即Ｐ（B｜A） 都发生， A B 都发生，但样本空 间缩小到只包含A 间缩小到只包含A的样本点 n( AB) 2 P( B | A) = = n( A) 3
条件概率
条件概率 条件概率
我们知道求事件的概率有加法公式： 我们知道求事件的概率有加法公式： 事件的概率有加法公式 互斥， 若事件 A 与 B 互斥，则 P ( A U B ) = P ( A) + P ( B ) . 那么怎么求 A 与 B 的积事件 AB 呢?
注: 1.事件 1.事件 A 与 B 至少有一个发生的事件叫做 A 与 B 和事件, 的和事件,记为 A U B ( 或 A + B ); 2.事件 A 与 B 都发生的事件叫做 A 与 B 的积事件, 2.事件 积事件, 记为 A I B (或 AB ); 3.若 为不可能事件,则说事件 互斥. 3.若 AB 为不可能事件,则 女) , (女 , 男) , (女 , 女) } 男 男 女 女
男 男 女 有男孩” 设 Ｂ= “有男孩” ， 则 Ｂ={(男, 男) , (男 , 女) , (女 , 男) } 有男孩 有两个男孩” Ａ= “有两个男孩” ， 有两个男孩 Ａ={(男, 男) }， 男 ，
首先看一个抓阄的问题: 首先看一个抓阄的问题: 三个阄, 其中一个阄内写着“ 三个阄, 其中一个阄内写着“奖” 字, 两个阄 三人依次抓取,问各人抓到“ 内不写字 , 三人依次抓取,问各人抓到“奖”字阄的 概率是否相同? 概率是否相同? 表示: 第一人抓到有奖字” 的事件， 解:记 Ai 表示:“第一人抓到有奖字 ” 的事件 ，i = 1, 2, 3 1 2 ×1 1 2×1×1 1 则有 P( A1 ) = ， P( A2 ) = = ， P( A3 ) = = 3 3× 2 3 3× 2×1 3 三人抓到“ 字阄的概率是相同的. 三人抓到“奖” 字阄的概率是相同的. 思考： 接上题)如果已经知道第一个人没有抓到“ 思考：(接上题 )如果已经知道第一个人没有抓到“奖” 那么最后一名同学抓到“ 字的概率又是多少？ 字，那么最后一名同学抓到“奖”字的概率又是多少？ 由古典概型的知识, 不妨记所求概率为 P ( B | A) .由古典概型的知识, P ( AB ) 1 不难求得概率为 P ( B | A) = = P ( A) 2
P( B A) 1 1 ∴P( A| B ) = = 1 P(B ) 2 1
学习小结: 学习小结:
1.条件概率 P ( B A) = P ( AB ) 条件概率 P ( A)
2.概率 P(B|A)与P(AB)的区别与联系 概率 与 的区别与联系
P ( AB ) 表示在样本空间 Ω 中, 计算 AB 发生 的概率 , 而 P ( B A ) 表示在缩小的样本空间 Ω A 中, 计算 B 发生的概率 .用古典概率公式 , 则 AB 中样本点数 P(B A ) = , Ω A 中样本点数 作业: 作业: AB 中样本点数 P ( AB ) = 课本 Ω 中样本点数 一般来说 , P ( B A ) 比 P ( AB ) 大 .
Ω
5
B
1 3
A
2 4,6
练习5.考虑恰有两个小孩的家庭 若已知某一家有男孩 练习 考虑恰有两个小孩的家庭.若已知某一家有男孩， 考虑恰有两个小孩的家庭 若已知某一家有男孩， 求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩， 求这家有两个男孩的概率；若已知某家第一个是男孩， 求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率. 求这家有两个男孩（相当于第二个也是男孩）的概率 假定生男生女为等可能） （假定生男生女为等可能）
注:⑴ 0 ≤ P ( B | A) ≤1 ; A AB B 几何解释: ⑵几何解释 : 可加性： ⑶可加性： 互斥， 如果 B和C 互斥， 那么 P [ ( B U C ) | A] = P ( B | A) + P (C | A)
Ω
思考一 思考一: 个白球， 一个袋中装有 2 个黑球和 3 个白球，如果不放 回地抽取两个球 记事件“第一次抽到黑球” 回地抽取两个球，记事件“第一次抽到黑球”为 A； 事件“第二次抽到黑球” 事件“第二次抽到黑球”为 B. 分别求事件 发生的概率； ⑴分别求事件 A、B、AB 发生的概率； ⑵求 P ( B | A ) 练习1. 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6 练习1. 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,问“掷 出点数之和不小于10 的概率是多少? 10”的概率是多少 出点数之和不小于10 的概率是多少?
解
表示第二次取得白球, 设Ａ表示第一次取得白球, Ｂ表示第二次取得白球 则 表示第一次取得白球 6 （1） P ( A ) = = 0 .6 10
6 5 （2）P ( AB ) = P ( A ) P ( B A ) = × ≈ 0.33 10 9 4 6 （3）P ( A B ) = P ( A ) P ( B A ) = × ≈ 0 .2 7 10 9
2.某种动物出生之后活到 岁的概率为 ，活到 岁的 某种动物出生之后活到20岁的概率为 某种动物出生之后活到 岁的概率为0.7，活到25岁的 概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到 岁的概率 ，求现年为 岁的这种动物活到 岁的概率. 岁的这种动物活到25岁的概率 概率为
作业: 作业:课本 P A 组第 2 题
解 Q P ( A C ) = 0.95, P ( A C ) = 1 − P ( A C ) = 0.05,
∴ P (C ) = 0.005, P (C ) = 0.995,
P ( C A) = P (C ) P ( A C ) P (C ) P ( A C ) + P ( C ) P ( A C ) = 0.087.
表示“ 解 设A表示“活到 岁”(即≥20)，B表示 表示 活到20岁 即 ， 表示 活到25岁 “活到 岁” (即≥25) 即 则 P ( A) = 0.7, P ( B ) = 0.56 所求概率为
P( AB) P( B ) P ( B A) = = = 0.8 P( A) P( A)
Ω
5
B
0.56
思考二. 的次品， 思考二.一批产品中有 4% 的次品，而合格品中一等品 .从这批产品中任取一件 从这批产品中任取一件， 占 45% .从这批产品中任取一件，求该产品是一等品的 概率． 概率． 表示取到的产品是一等品，Ｂ ，Ｂ表示取出 解:设Ａ表示取到的产品是一等品，Ｂ表示取出 的产品是合格品， 的产品是合格品， 则
即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症 即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症. 1000个具有阳性反应的人中大约只有87人患有癌症.
2.某种动物出生之后活到 岁的概率为 ，活到 岁的 某种动物出生之后活到20岁的概率为 某种动物出生之后活到 岁的概率为0.7，活到25岁的 概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到 岁的概率 ，求现年为 岁的这种动物活到 岁的概率. 岁的这种动物活到25岁的概率 概率为
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1． 根据以往的临床记录 , 某种诊断癌症的试
验具有如下的效果 : 若以 A 表示事件" 试验反应 为阳性" , 以 C 表示事件" 被诊断者患有癌症 " , 则 有 P ( A C ) = 0.95, P ( A C ) = 0.95.现在对自然人群 进行普查 , 设被试验的人患有癌症 的概率为0.005, 即 P (C ) = 0.005, 试求 P (C A).