详解及答案-2019年上海市初中数学竞赛模拟卷一
2019年上海市金山区中考数学一模试卷-解析版
2019年上海市金山区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.下列函数是二次函数的是()A. y=xB. y=1x C. y=x−2+x2 D. y=1x22.在Rt△ABC中，∠C=90°，那么sin∠B等于()A. ACAB B. BCABC. ACBCD. BCAC3.如图，已知BD与CE相交于点A，ED//BC，AB=8，AC=12，AD=6，那么AE的长等于()A. 4B. 9C. 12D. 164.已知e⃗是一个单位向量，a⃗、b⃗ 是非零向量，那么下列等式正确的是()A. |a⃗|e⃗=a⃗B. |e⃗|b⃗ =b⃗C. 1|a⃗ |a⃗=e⃗ D. 1|a⃗ |a⃗=1|b⃗|b⃗5.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示，那么a、b、c的取值范围是()A. a<0、b>0、c>0B. a<、b<0、c>0C. a<0、b>0、c<0D. a<0、b<0、c<06.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，⊙A的半径为3，那么下列说法正确的是()A. 点B、点C都在⊙A内B. 点C在⊙A内，点B在⊙A外C. 点B在⊙A内，点C在⊙A外D. 点B、点C都在⊙A外二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.已知二次函数f(x)=x2−3x+1，那么f(2)=______．8.已知抛物线y=12x2−1，那么抛物线在y轴右侧部分是______(填“上升的”或“下降的”)．9.已知xy =52，那么x+yy=______．10.已知α是锐角，sinα=12，那么cosα=______．11.一个正n边形的中心角等于18°，那么n=______．12.已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP>BP，AB=4，那么AP=______．13.如图，为了测量铁塔AB的高度，在离铁塔底部(点B)60米的C处，测得塔顶A的仰角为30°，那么铁塔的高度AB=______米．14.已知⊙O1、⊙O2的半径分别为2和5，圆心距为d，若⊙O1与⊙O2相交，那么d的取值范围是______．15.如图，已知O为△ABC内一点，点D、E分别在边AB、AC上，且ADAB =25，DE//BC，设OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b⃗ 、OC⃗⃗⃗⃗⃗ =c⃗，那么DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =______(用b⃗ 、c⃗表示)．16.如图，已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，延长连心线O1O2交⊙O2于点P，联结PA、PB，若∠APB=60°，AP=6，那么⊙O2的半径等于______．17.如图，在△ABC中，AD、BE分别是边BC、AC上的中线，AB=AC=5，cos∠C=45，那么GE=______．18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6.在边AB上取一点O，使BO=BC，以点O为旋转中心，把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′(点A、B、C的对应点分别是点A′、B′、C′)，那么△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积是______三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：cos245°−cot30°2sin60∘+tan260°−cot45°⋅sin30°．20.已知二次函数y=x2−4x−5，与y轴的交点为P，与x轴交于A、B两点．(点B在点A的右侧)(1)当y=0时，求x的值．(2)点M(6,m)在二次函数y=x2−4x−5的图象上，设直线MP与x轴交于点C，求cot∠MCB的值．21.如图，已知某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝顶宽AD是6米，坝高24米，背水坡AB的坡度为1：3，迎水坡CD的坡度为1：2．求(1)背水坡AB的长度．(2)坝底BC的长度．22.如图，已知AB是⊙O的直径，C为圆上一点，D是BC⏜的中点，CH⊥AB于H，垂足为H，联OD交弦BC于E，交CH于F，联结EH．(1)求证：△BHE∽△BCO．(2)若OC=4，BH=1，求EH的长．23.如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．(1)求证：AM2=MF⋅MH．(2)若BC2=BD⋅DM，求证：∠AMB=∠ADC．24.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,6)，点B(1,3)，直线l1：y=kx(k≠0)，直线l2：y=−x−2，直线l1经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P，且l1与l2相交于点C，直线l2与x轴、y轴分别交于点D、E.若把抛物线上下平移，使抛物线的顶点在直线l2上(此时抛物线的顶点记为M)，再把抛物线左右平移，使抛物线的顶点在直线l1上(此时抛物线的顶点记为N)．(1)求抛物线y=x2+bx+c的解析式．(2)判断以点N为圆心，半径长为4的圆与直线l2的位置关系，并说明理由．(3)设点F、H在直线l1上(点H在点F的下方)，当△MHF与△OAB相似时，求点F、H的坐标(直接写出结果)．25.已知多边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，联结AC、FD，点H是射线AF上的一个动点，联结CH，直线CH交射线DF于点G，作MH⊥CH交CD的延长线于点M，设⊙O的半径为r(r>0)．(1)求证：四边形ACDF是矩形．(2)当CH经过点E时，⊙M与⊙O外切，求⊙M的半径(用r的代数式表示)．(3)设∠HCD=α(0<α<90°)，求点C、M、H、F构成的四边形的面积(用r及含α的三角比的式子表示)．答案和解析1.【答案】C【解析】解：A、y=x属于一次函数，故本选项错误；B、y=1x的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；C、y=x−2+x2=x2+x−2，符合二次函数的定义，故本选项正确；D、y=1x2的右边不是整式，不是二次函数，故本选项错误；故选：C．根据二次函数的定义判定即可．本题考查二次函数的定义．判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件．2.【答案】A【解析】解：∵∠C=90°，∴sin∠B=ACAB，故选A．我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义是解此题的关键．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的运用，注意：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．【解答】解：∵ED//BC，∴ABAD =ACAE，即86=12AE，∴AE=9，故选B．4.【答案】B【解析】解：A.由于单位向量只限制长度，不确定方向，故本选项错误；B.符合向量的长度及方向，故本选项正确；C.得出的是a的方向不是单位向量，故本选项错误；D.左边得出的是a的方向，右边得出的是b的方向，两者方向不一定相同，故本选项错误．故选B．长度不为0的向量叫做非零向量，向量包括长度及方向，而长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，注意单位向量只规定大小没规定方向，则可分析求解．本题考查了向量的性质，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由图象开口可知：a<0，由图象与y轴交点可知：c<0，<0，由对称轴可知：−b2a∴b<0，即a<0，b<0，c<0，故选D．根据二次函数的图象与性质即可求出答案．本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．6.【答案】D【解析】【分析】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内．也考查了含30°角的直角三角形的性质．先解直角△ABC，求出AB、AC的长，再根据点到圆心距离与半径的关系可以确定点B、点C与⊙A的位置关系．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，∠B=60°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=4，AC=√3BC=2√3，∵⊙A的半径为3，4>3，2√3>3，∴点B、点C都在⊙A外．故选：D．7.【答案】−1【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．计算自变量为2对应的函数值即可．【解答】解：把x=2代入f(x)=x2−3x+1得f(2)=22−3×2+1=−1．故答案为−1．8.【答案】上升的【解析】【分析】本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．【解答】x2−1，解：∵y=12∴其对称轴为y轴，且开口向上，∴在y轴右侧，y随x增大而增大，∴其图象在y 轴右侧部分是上升的， 故答案为：上升的．9.【答案】72【解析】 【分析】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x ，y 的值是解题关键．直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案． 【解答】 解：∵xy =52，∴设x =5a ，则y =2a ， 那么x+y y =2a+5a 2a =72． 故答案为：72．10.【答案】√32【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，解决问题的关键是熟记一些特殊角的三角函数值．先确定α的度数，即可得出cosα的值． 【解答】解：∵α是锐角，sinα=12， ∴α=30°， ∴cosα=√32． 故答案为：√32．11.【答案】20【解析】 【分析】本题考查的是正多边形和圆，熟知正多边形的中心角和为360°是解答此题的关键．根据正多边形的中心角和为360°计算即可． 【解答】 解：n =360°18∘=20，故答案为：20． 12.【答案】2√5−2【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的3−√52，较长的线段=原线段的√5−12.根据黄金分割点的定义，知AP 是较长线段；则AP =√5−12AB ，代入数据即可得出AP 的长． 【解答】解：由于P 为线段AB =4的黄金分割点， 且AP 是较长线段；则AP =√5−12AB =√5−12×4=2√5−2． 故答案为2√5−2． 13.【答案】20√3【解析】 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，正确掌握锐角三角函数关系是解题关键．直接利用锐角三角函数关系得出AB 的值进而得出答案． 【解答】解：由题意可得：tan30°=AB CB=AB 60=√33， 解得：AB =20√3，答：铁塔的高度AB 为20√3m. 故答案为：20√3． 14.【答案】3<d <7【解析】 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d 、两圆的半径分别为r 、R ：①两圆外离⇔d >R +r ；②两圆外切⇔d =R +r ；③两圆相交⇔R −r <d <R +r(R ≥r)；④两圆内切⇔d =R −r(R >r)；⑤两圆内含⇔d <R −r(R >r).利用两圆相交⇔R −r <d <R +r(R ≥r)求解． 【解答】解：∵⊙O 1与⊙O 2相交， ∴3<d <7．故答案为3<d <7． 15.【答案】−25b ⃗+25c ⃗【解析】 【分析】此题考查了平面向量的知识．此题难度不大，注意掌握三角形法则的应用，注意掌握数形结合思想的应用．根据三角形法则和平行线分线段成比例来求DE⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 【解答】解：∵ADAB =25，DE//BC ， ∴DEBC =ADAB =25， ∴DE =25BC ． ∵OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗=c ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ −b ⃗ ， ∴DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =−25b ⃗ +25c ⃗ ．故答案是：−25b ⃗+25c ⃗ ． 16.【答案】2√3【解析】 【分析】本题考查了相交两圆的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线是解题的关键．连接AB 交O 1P 于C ，根据相交两圆的性质得到AB ⊥O 1P ，AC =BC ，得到∠APC =12∠APB =30°，根据直角三角形的性质得到AC =12AP =3，连接AO 2，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：连接AB 交O 1P 于C ， 则AB ⊥O 1P ，AC =BC ， ∴AP =PB ，∴∠APC =12∠APB =30°，∴AC =12AP =3， 连接AO 2， ∵AO 2=PO 2， ∴∠AO 2C =60°， ∴AO 2=ACsin60∘=√32=2√3，∴⊙O 2的半径等于2√3．17.【答案】√172【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质以及锐角三角函数定义，解答本题的关键是正确作出辅助线构造相似三角形，作EF ⊥BC 于点F ，根据余弦定义求出CD 长，根据等腰三角形性质求出BC 长，根据平行关系易证△BDG∽△BFE ，再根据相似三角形的对应边成比例结合线段的和差关系求出GE 即可． 【解答】解：作EF ⊥BC 于点F ，∵AD 、BE 分别是边BC 、AC 上的中线，AB =AC =5，cos∠C =45， ∴AD ⊥BC ，AD =3，CD =4， ∴AD//EF ，BC =8，∴EF =1.5，DF =2，△BDG∽△BFE ，∴DGFE =BDBF=BGBE，BF=6，∴DG=1，∴BG=√17，∴46=√17BE，得BE=3√172，∴GE=BE−BG=3√172−√17=√172，故答案为√172．18.【答案】5.76【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的画出图形是解题的关键．根据勾股定理得到AB=10，根据旋转的性质得到OA′=OA=4，∠A′=∠A，根据相似三角形的性质得到OM=3，求得AM=1，根据相似三角形的性质得到S△AON=6，同理，S△AMP= 0.24，于是得到结论．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，∴AB=10，∴BO=BC=6，∵把△ABC逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，∴OA′=OA=4，∠A′=∠A，∵∠A′OM=∠C=90°，∴△A′OM∽△ACB，∴OMBC =OA′AC，∴OM=3，∴AM=1，∵∠A′MO=∠AMP，∴∠APM=∠A′ON=90°，∴△AON∽△ACB，∴S△AONS△ACB =(AOAC)2=14，∵S△ABC=12×8×6=24，∴S△AON=6，同理，S△AMP=0.24，∴△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积是6−0.24=5.76．故答案为：5.76．19.【答案】解：原式=(√22)2−√32×√32+(√3)2−1×12=12−1+3−12 =2．【解析】直接利用特殊角的三角函数值代入进而得出答案．此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20.【答案】解：(1)把y =0代入y =x 2−4x −5，得x 2−4x −5=0，解得，x 1=5，x 2=−1，即当y =0时，x 的值是−1或5；(2)∵点M(6,m)在二次函数y =x 2−4x −5的图象上，∴m =62−4×6−5=7，∴点M(6,7)，∵二次函数y =x 2−4x −5，与y 轴的交点为P ，∴点P 的坐标为(0,−5)，设直线MP 的函数解析式为y =kx +b ，{6k +b =7b =−5，得{k =2b =−5， 即直线MP 的解析式为y =2x −5，当y =0时，x =52，即点C 的坐标为(52,0)，由(1)知，当y =0时，x 的值是−1或5，∵二次函数y =x 2−4x −5与x 轴交于A 、B 两点(点B 在点A 的右侧)，∴点B 的坐标为(5,0)，∴cot∠MCB =6−527=12．【解析】(1)根据题目中的函数解析式，可以求得当y −0时对应的x 值；(2)根据题意可以求得点M 的坐标，点C 的坐标和点B 的坐标，从而可以求得cot∠MCB 的值．本题考查抛物线与x 轴的交点、一次函数与二次函数图象上点的坐标特征，解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 21.【答案】解：(1)分别过点A 、D 作AM ⊥BC ，DN ⊥BC ，垂足分别为点M 、N ，根据题意，可知AM =DN =24(米)，MN =AD =6(米)，在Rt △ABM 中，∵AM BM =13，∴BM =72(米)，∵AB 2=AM 2+BM 2，∴AB =√242+722=24√10(米)，答：背水坡AB 的长度为24√10米；(2)在Rt△DNC中，DNCN =12，∴CN=48(米)，∴BC=72+6+48=126(米)，答：坝底BC的长度为126米．【解析】(1)直接分别过点A、D作AM⊥BC，DN⊥BC垂足分别为点M、N，得出AM= DN=24(米)，MN=AD=6(米)，进而利用坡度以及勾股定理进而得出答案；(2)利用(1)中所求，进而得出BC的长．此题考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题．此题难度适中，注意构造直角三角形，并借助于解直角三角形的知识求解是关键．22.【答案】(1)证明：∵OD为圆的半径，D是BC⏜的中点，∴OD⊥BC，BE=CE=12BC，∵CH⊥AB，∴∠CHB=90°，∴HE=12BC=BE，∴∠B=∠EHB，∵OB=OC，∴∠B=∠OCB，∴∠EHB=∠OCB，又∵∠B=∠B∴△BHE∽△BCO．(2)解：∵△BHE∽△BCO，∴BHBC =BEOB，∵OC=4，BH=1，∴OB=4，得12BE =BE4，解得BE=√2，∴EH=BE=√2．【解析】(1)根据两角对应相等的两个三角形相似即可证明；(2)由△BHE∽△BCO，可得BHBC =BEOB，由此即可解决问题；本题考查垂径定理，相似三角形的判定和性质，圆心角、弧、弦之间的关系等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23.【答案】(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，AB//CD，∴AMMF =DMMB，DMMB=MHAM，∴AMMF =MHAM，即AM2=MF⋅MH．(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，又∵BC2=BD⋅DM，∴AD 2=BD ⋅DM 即AD DB =DM AD ，又∵∠ADM =∠BDA ，∴△ADM∽△BDA ，∴∠AMD =∠BAD ，∵AB//CD ，∴∠BAD +∠ADC =180°，∵∠AMB +∠AMD =180°，∴∠AMB =∠ADC ．【解析】(1)根据平行线分线段成比例定理即可解决问题；(2)由△ADM∽△BDA ，推出∠AMD =∠BAD ，由AB//CD ，推出∠BAD +∠ADC =180°，由∠AMB +∠AMD =180°，可得∠AMB =∠ADC ；本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.【答案】解：(1)把点A 、B 坐标代入y =x 2+bx +c 得：{c =63=1+b +c ，解得：{b =−4c =6， 则抛物线的表达式为：y =x 2−4x +6；(2)y =x 2−4x +6=(x −2)2+2，故顶点坐标为(2,2)，把点P 坐标代入直线l 1表达式得：2=2k ，即k =1，∴直线l 1表达式为：y =x ，设：点M(2,m)代入直线l 2的表达式得：m =−4，即点M 的坐标为(2,−4)，设：点N(n,−4)代入直线l 1表达式得：n =−4，则点N 坐标为(−4,−4)，同理得：点D 、E 的坐标分别为(−2,0)、(0,−2)、联立l 1、l 2得{y =x y =−x −2，解得：{x =−1y =−1，即：点C 的坐标为(−1,−1)， ∴OC =√(−1−0)2+(−1−0)2=√2，CE =√2=OC ，∵点C 在直线y =x 上，∴∠COE =∠OEC =45°，∴∠OCE =90°，即：NC ⊥l 2，NC =√(−1+4)2+(−1+4)2=3√2>4，∴以点N 为圆心，半径长为4的圆与直线l 2相离；(3)①当点F 在直线l 2下方时，设：∠OBK =α，点A 、B 的坐标分别为(0,6)，(1,3)，则AO =6，AB =BO =√10， 过点B 作BL ⊥y 轴交于点L ，则tan∠OAB =13，sin∠OAB =√10，OK =AOsin∠OAB =√10×6√10，sinα=OK OB =35， ∵等腰△MHF 和等腰△OAB 相似，∴∠HFM =∠ABO ，则∠KBO =∠OFM =α，点C 、M 的坐标分别为(−1,−1)、(2,−4)， 则CM =3√2，FM =CM sinα=5√2，CF =4√2，OF =OC +FC =5√2，则点F 的坐标为(−5,−5)，∵FH =FM =5√2，OH =OF +FH =10√2，则点H 的坐标为(−10,−10)；②当点F 在直线l 2上方时，同理可得点F 的坐标为(8,8)，点H 的坐标为(3,3)或(−10,10)；故：点F 、H 的坐标分别为(−5,−5)、(−10,−10)或(8,8)、(3,3)或(8,8)、(−10,−10)．【解析】(1)把点A 、B 坐标代入y =x 2+bx +c ，即可求解；(2)求而出点N 、点C 的坐标，计算NC 得长度即可求解；(3)分点F 在直线l 2下方、点F 在直线l 2上方两种情况，求解即可．本题考查的是二次函数综合运用，难点在(3)，利用等腰三角形相似得出∠KBO =∠OFM =α，再利用解直角三角形的方法求线段的长度，从而求解．25.【答案】解：(1)证明：∵多边形ABCDEF 是⊙O 的内接正六边形，∴AB =AC ，∠ABC =∠BAF =180×(6−2)6=120°，∴∠BAC =∠BCA ，∵∠BAC +∠BCA +∠ABC =180°，∴∠BAC =30°，得∠CAF =90°，同理∠ACD =90°，∠AFD =90°，∴四边形ACDF 是矩形；(2)如图1，连接OC 、OD ，由题意得：OC =OD ，∠COD =360°6=60°，∴△OCD 为等边三角形，∴CD =OC =r ，∠OCD =60°，作ON ⊥CD ，垂足为N ，即ON 为CD 弦的弦心距，∴CN =12CD =12r ，由sin∠OCD =ON OC =√32得ON =√32r ， 作OP ⊥AC 垂足为P ，即OP 为AC 弦的弦心距，∴CP=12AC，∵∠OCP=90°−60°=30°，∴CP=OC⋅cos30°=√32r，得AC=√3r，当CH经过点E时，可知∠ECD=30°，∵四边形ACDF是矩形，∴AF//CD，∴∠AHC=∠ECD=30°，∴在Rt△ACH中，CH=2AC=2√3r，∵MH⊥CH，∴cos∠HCM=CHCM =√32，得CM=4r，∴MN=72r，∴在Rt△MON中，OM=√ON2+MN2=√13r，∵⊙M与⊙O外切，∴r Q+r M=OM，即⊙M的半径为(√13−1)r．(3)如图2，作HQ⊥CM垂足为Q，由∠HCD=α，MH⊥CH可得∠QHM=α，∵AF//CD，AC⊥CD，∴HQ=AC=√3r，∴CQ=HQ·1tan∠HCQ =√3r⋅1tanα，MQ=HQ⋅tan∠QHM=√3r⋅tanα，即CM=√3r(tanα+1tanα)，①当0°<α<60°时，点H在边AF的延长线上，此时点C、M、H、F构成的四边形为梯形，∵FH=DQ=CQ−CD=√3r⋅1tanα−r，∴S=(FH+CM)⋅HQ2=(6×1tana)2．②当α=60°时，点H与点F重合，此时点C、M、H、F构成三角形，非四边形，所以舍去．③当60°<α<90°时，点H在边AF上，此时点C、M、H、F构成的四边形为梯形，∵FH=DQ=CD−CQ=r−√3r⋅1tanα，∴S=(FH+CM)⋅HQ2=(√3+3tanα)⋅r22．综上所述，当∠HCD=α(0°<α<90°)时，点C、M、H、F构成的四边形的面积为(6tan+3tana−√3)·r22或(√3+3tanα)⋅r22．【解析】(1)根据正多边形的性质和矩形的判定解答即可；(2)连接OC、OD，证△OCD为等边三角形得CD=OC=r，∠OCD=60°，作ON⊥CD求得ON=√32r，再作OP⊥AC，求得AC=√3r，由四边形ACDF是矩形知∠AHC=∠ECD=30°，据此得CH=2AC=2√3r，由cos∠HCM=CHCM =√32，得CM=4r，MN=72r，利用勾股定理求得OM=√ON2+MN2=√13r，依据⊙M与⊙O外切可得答案；(3)作HQ⊥CM垂足为Q，由∠HCD=α，MH⊥CH可得∠QHM=α，再由AF//CD，AC⊥CD知HQ=AC=√3r，继而求得CQ=√3r⋅1tanα，MQ=√3r⋅tanα，则CM=√3r(tanα+1tanα)，再分0°<α<60°、α=60°和60°<α<90°三种情况分别求解可得．本题是圆的综合问题，解题的关键是掌握矩形的判定与性质、垂径定理、平行线的性质、圆与圆的位置关系、三角函数的应用及分类讨论思想的运用等知识点．。
2019年上海市松江区中考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市松江区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（）A．B．C．D．2．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）23．下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个直角三角形B．两个等边三角形C．两个菱形D．两个矩形4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE ∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝5．已知为单位向量，＝﹣3，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．||＝3C．与方向相同D．与方向相反6．如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知，那么＝．8．在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是千米．9．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB值是．10．已知线段AB＝2cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，则AC的长cm．11．已知某二次函数图象的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：．12．如果点A（﹣4，y1）、B（﹣3，y2）是二次函数y＝2x2+k（k是常数）图象上的两点，那么y1 y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）13．小明沿坡比为1：的山坡向上走了100米．那么他升高了米．14．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果AC＝3，CE＝5，DF＝4，那么BD＝．15．如图，已知△ABC，D、E分别是边AB、AC上的点，且＝＝．设＝，＝，那么＝．（用向量、表示）16．如图，已知△ABC，D、E分别是边BA、CA延长线上的点，且DE∥BC．如果＝，CE＝4，那么AE的长为．17．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为．18．如图，在直角坐标平面xOy中，点A坐标为（3，2），∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，AB与x 轴交于点C，那么AC：BC的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）将二次函数y＝2x2+4x﹣1的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．20．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cos A＝．求底边BC的长．21．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求的值．22．（10分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B 处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）23．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E是对角线AC上一点，且AC•CE＝AD•BC．（1）求证：∠DCA＝∠EBC；（2）延长BE交AD于F，求证：AB2＝AF•AD．24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（0，4）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO＝∠BAO，求点P的坐标；（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO＝2OF，求m的值．25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP 与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．2019年上海市松江区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AC＝4，BC＝3，那么∠A的正切值为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：∵AC＝4，BC＝3，∴tan A＝＝，故选：A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，熟记三角函数的定义是解题的关键．2．如果将抛物线y＝x2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是（）A．y＝x2+1B．y＝x2﹣1C．y＝（x+1）2D．y＝（x﹣1）2【分析】先得到抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），再得到点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：抛物线y＝x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向右平移1个单位得到点的坐标为（1，0），所以所得的抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．3．下列各组图形中一定是相似形的是（）A．两个直角三角形B．两个等边三角形C．两个菱形D．两个矩形【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形．【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等，∴两个等边三角形一定是相似形，又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例，∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形，故选：B．【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等．4．在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，如果AD＝2，BD＝3，那么由下列条件能够判定DE ∥BC的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理，当＝或＝时，DE∥BD，然后可对各选项进行判断．【解答】解：当＝或＝时，DE∥BD，即＝或＝．故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．也考查了平行线分线段成比例定理的逆定理．5．已知为单位向量，＝﹣3，那么下列结论中错误的是（）A．∥B．||＝3C．与方向相同D．与方向相反【分析】根据向量的定义，即可求得答案．【解答】解：A、由为单位向量，＝﹣3知：两向量方向相反，相互平行，即∥，故本选项错误．B、由＝﹣3得到||＝3，故本选项错误．C、由为单位向量，＝﹣3知：两向量方向相反，故本选项正确．D、由为单位向量，＝﹣3知：两向量方向相反，故本选项错误．故选：C．【点评】此题考查了平面向量的知识．此题比较简单，注意掌握单位向量的知识．6．如图，在△ABC中，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，EF∥CD交AB于F，那么下列比例式中正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据相似三角形的性质可求解．【解答】解：∵DE∥BC，EF∥CD∴△ADE∽△ABC，△AFE∽△ADC，∴，∴故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．已知，那么＝．【分析】因为，所以a＝b，代入求解即可．【解答】解：∵，∴a＝b，∴原式＝＝．故答案为．【点评】本题主要考查比例的基本性质，解题关键是熟练应用比例的基本性质，本题注意掌握比例的合比性质即可得出结果．8．在比例尺为1：50000的地图上，量得甲、乙两地的距离为12厘米，则甲、乙两地的实际距离是6千米．【分析】根据＝比例尺列方程即可得到结论．【解答】解：设甲、乙两地的实际距离为xcm，根据题意得，＝，解得：x＝600000cm＝6km，故答案为：6．【点评】本题考查了比例线段，熟练掌握＝比例尺是解题的关键．9．在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，BC＝4，则AB值是10．【分析】根据正弦函数的定义得出sin A＝，即＝，即可得出AB的值．【解答】解：∵sin A＝，即＝，∴AB＝10，故答案为：10．【点评】本题主要考查解直角三角形，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键．10．已知线段AB＝2cm，点C在线段AB上，且AC2＝BC•AB，则AC的长﹣1cm．【分析】根据黄金分割的定义得到点C是线段AB的黄金分割点，根据黄金比值计算得到答案．【解答】解：∵AC2＝BC•AB，∴点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC＝AB＝×2＝﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查的是黄金分割的概念和性质，掌握黄金比值为是解题的关键．11．已知某二次函数图象的最高点是坐标原点，请写出一个符合要求的函数解析式：y＝﹣x2．【分析】根据二次函数的顶点是坐标原点，设函数的解析式为：y＝ax2，根据顶点是二次函数图象的最高点，结合二次函数的性质，得到a＜0，任取负数a代入原解析式，即可得到答案．【解答】解：∵二次函数的顶点是：（0，0），∴设函数的解析式为：y＝ax2，又∵点（0，0）是二次函数图象的最高点，∴抛物线开口方向向下，∴a＜0，令a＝﹣1，则函数解析式为：y＝﹣x2．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，正确掌握二次函数的性质是解题的关键．12．如果点A（﹣4，y1）、B（﹣3，y2）是二次函数y＝2x2+k（k是常数）图象上的两点，那么y1＞y2．（填“＞”、“＜”或“＝”）【分析】先根据二次函数的性质得到当x＜0时，y随y的增大而减小，然后比较自变量的大小得到函数值的大小关系．【解答】解：抛物线的对称轴为y轴，所以当x＜0时，y随y的增大而减小，所以y1＞y2．故答案为＞．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．13．小明沿坡比为1：的山坡向上走了100米．那么他升高了50米．【分析】设BC＝x米，根据坡度的概念得到AC＝x米，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵坡比为1：，∴设BC＝x米，则AC＝x米，由勾股定理得，BC2+AC2＝AB2，即x2+（x）2＝1002，解得，x1＝50，x2＝﹣50（舍去），∴BC＝50米，故答案为：50．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度坡角的概念是解题的关键．14．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与a、b、c分别交于点A、C、E和B、D、F，如果AC＝3，CE＝5，DF＝4，那么BD＝．【分析】利用平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．【解答】解：∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得，BD＝，故答案为：．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15．如图，已知△ABC，D、E分别是边AB、AC上的点，且＝＝．设＝，＝，那么＝+3．（用向量、表示）【分析】由题意可得△ADE∽△ABC，可得BC＝3DE，根据向量的加法可求解．【解答】解：∵＝＝，∠BAC＝∠DAE∴△ADE∽△ABC∴∴BC＝3DE∵设＝，＝，∴＝＝故答案为：+3【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，向量的性质，熟练运用相似三角形的判定是本题的关键．16．如图，已知△ABC，D、E分别是边BA、CA延长线上的点，且DE∥BC．如果＝，CE＝4，那么AE的长为．【分析】根据相似三角形的性质可得，即可求AE的长．【解答】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴∴设AE＝3k，AC＝5k（k≠0）），∴CE＝3k+5k＝4∴k＝∴AE＝3k＝故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练运用相似三角形的性质是本题的关键．17．如图，已知△ABC，AB＝6，AC＝5，D是边AB的中点，E是边AC上一点，∠ADE＝∠C，∠BAC的平分线分别交DE、BC于点F、G，那么的值为．【分析】根据线段中点的定义得到AD＝3，根据角平分线的定义得到∠BAG＝∠EAF，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】证明：∵AB＝6，D是边AB的中点，∴AD＝3，∵AG是∠BAC的平分线，∴∠BAG＝∠EAF，∵∠ADE＝∠C，∴△ADF∽△ACG；∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．18．如图，在直角坐标平面xOy中，点A坐标为（3，2），∠AOB＝90°，∠OAB＝30°，AB与x 轴交于点C，那么AC：BC的值为．【分析】作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E，先求得OA的长，然后证明△OEB∽△ODA，依据相似三角形的性质可得到＝＝，最后依据AC：BC＝S△AOC ：S△OBC＝AD：OE求解即可．【解答】解：如图所示：作AD⊥x轴，垂足为D，作BE⊥y轴，垂足为E．∵A（3，2），∴OA＝＝，∵∠OAB＝30°，∠AOB＝90°，∴＝，∵∠AOB＝90°，∠EOC＝90°，∴∠EOB＝∠AOD，又∵∠BEO＝∠ADO，∴△OEB∽△ODA，∴＝＝，即＝，解得：OE＝，∵AC：BC＝S△AOC ：S△OBC＝AD：OE＝2：＝，故答案为：．【点评】本题主要考查的是含30°的直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，证得△OEB∽△ODA是解答本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）将二次函数y＝2x2+4x﹣1的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．【分析】利用配方法把将二次函数y＝2x2+4x﹣1的解析式化为y＝a（x+m）2+k的形式，利用二次函数的性质指出函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴，即可得到答案．【解答】解：y＝2（x2+2x）﹣1，y＝2（x2+2x+1）﹣2﹣1，y＝2（x+1）2﹣3，开口方向：向上，顶点坐标：（﹣1，﹣3），对称轴：直线x＝﹣1．【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数的三种形式，正确掌握配方法和二次函数的性质是解题的关键．20．（10分）如图，已知△ABC中，AB＝AC＝5，cos A＝．求底边BC的长．【分析】过点B作BD⊥AC，垂足为点D，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过点B作BD⊥AC，垂足为点D，在Rt△ABD中，cos A＝，∵cos A＝，AB＝5，∴AD＝AB•cos A＝5×＝3，∴BD＝＝4，∵AC＝AB＝5，∴DC＝2，∴BC＝＝2．【点评】本题考查了解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．21．（10分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，DE∥BC，点F在线段DE上，过点F作FG∥AB、FH∥AC分别交BC于点G、H，如果BG：GH：HC＝2：4：3．求的值．【分析】设BG＝2k，GH＝4k，HC＝3k，根据平行四边形的性质可得DF＝BG＝2k，EF＝HC＝3k，可得DE＝5k，根据△ADE∽△FGH可得＝（）2＝．【解答】解：∵BG：GH：HC＝2：4：3，∴设BG＝2k，GH＝4k，HC＝3k，（k≠0）∵DE∥BC，FG∥AB，∴四边形BDFG是平行四边形，∴DF＝BG＝2k，∵DE∥BC，FH∥AC∴四边形EFHC是平行四边形，∴EF＝HC＝3k，∴DE＝5k∵DE∥BC∴∠ADE＝∠B，∵FG∥AB∴∠FGH＝∠B，∴∠ADE＝∠FGH，同理可得：∠AED＝∠FHG∴△ADE∽△FGH∴＝（）2＝，【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形判定和性质，熟练掌握相似三角形的性质是本题的关键．22．（10分）某数学社团成员想利用所学的知识测量某广告牌的宽度（图中线段MN的长），直线MN垂直于地面，垂足为点P．在地面A处测得点M的仰角为58°、点N的仰角为45°，在B 处测得点M的仰角为31°，AB＝5米，且A、B、P三点在一直线上．请根据以上数据求广告牌的宽MN的长．（参考数据：sin58°＝0.85，cos58°＝0.53，tan58°＝1.60，sin31°＝0.52，cos31°＝0.86，tan31°＝0.60．）【分析】在Rt△APN中根据已知条件得到PA＝PN，设PA＝PN＝x，得到MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：在Rt△APN中，∠NAP＝45°，∴PA＝PN，在Rt△APM中，tan∠MAP＝，设PA＝PN＝x，∵∠MAP＝58°，∴MP＝AP•tan∠MAP＝1.6x，在Rt△BPM中，tan∠MBP＝，∵∠MBP＝31°，AB＝5，∴0.6＝，∴x＝3，∴MN＝MP﹣NP＝0.6x＝1.8（米），答：广告牌的宽MN的长为1.8米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据已知直角三角形得出AP的长是解题关键．23．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，E是对角线AC上一点，且AC•CE＝AD•BC．（1）求证：∠DCA＝∠EBC；（2）延长BE交AD于F，求证：AB2＝AF•AD．【分析】（1）通过题意可证△ACD∽△CBE，可得∠DCA＝∠EBC；（2）通过证明△ABF∽△DAC，可得，可得AB2＝AF•AD．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠BCA∵AC•CE＝AD•BC，∴∴△ACD∽△CBE∴∠DCA＝∠EBC（2）∵AD∥BC，∴∠AFB＝∠EBC，且∠DCA＝∠EBC，∴∠AFB＝∠DCA∵AD∥BC，AB＝DC∴∠BAD＝∠ADC∴△ABF∽△DAC∴且AB＝DC，∴AB2＝AF•AD【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰梯形的性质，根据题意找到正确的两个三角形相似是本题的关键．24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣2，0），点B（0，4）．（1）求这条抛物线的表达式；（2）P是抛物线对称轴上的点，联结AB、PB，如果∠PBO＝∠BAO，求点P的坐标；（3）将抛物线沿y轴向下平移m个单位，所得新抛物线与y轴交于点D，过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E，射线EO交新抛物线于点F，如果EO＝2OF，求m的值．【分析】（1）把点A（﹣2，0），点B（0，4）代入解析式求解即可；（2）先确定抛物线的对称轴，再过点P作PG⊥y轴，垂足为G，根据三角函数建立等量关系，求解即可；（3）设新抛物线的表达式为﹣m，则D（0，4﹣m），E（2，4﹣m），DE＝2，过点F作FH⊥y轴，垂足为H，运用平行建立线段的比例关系求解即可．【解答】解：（1）∵抛物线经过点A（﹣2，0），点B（0，4）∴，解得∴抛物线解析式为，（2）＝，∴对称轴为直线x＝1，如图1，过点P作PG⊥y轴，垂足为G，∵∠PBO＝∠BAO，∴tan∠PBO＝tan∠BAO，∴∴，∴BG＝∴OG＝，∴P（1，），（3）如图2设新抛物线的表达式为﹣m则D（0，4﹣m），E（2，4﹣m），DE＝2过点F作FH⊥y轴，垂足为H，∵DE∥FH，EO＝2OF∴，∴FH＝1，①点D在y轴的正半轴上，则F（﹣1，），∴OH＝m﹣∴，∴m＝3，②点D在y轴的负半轴上，则F（1，），∴OH＝m﹣，∴，∴m＝5∴综上所述m的值为3或5．【点评】此题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会求抛物线的对称轴，会待定点的坐标根据题意建立方程求解是解题的关键25．（14分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP 与CD相交于点E．（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；（2）联结PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝3，求cos A的值；（3）联结PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝2，ED＝3，求线段PD的长．【分析】（1）根据已知条件得到CP＝4，求得BP＝2，根据三角形重心的性质即可得到结论；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，根据平行线分线段成比例定理得到，求得＝，设CP＝k，则PA＝3k，得到PA＝PB＝3k根据三角函数的定义即可得到结论；（3）根据直角三角形的性质得到CD＝BD＝AB，推出△PBD∽△ABP，根据相似三角形的性质得到∠BPD＝∠A，推出△DPE∽△DCP，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，∴CP＝4，∵∠ACB＝90°，BC＝6，∴BP＝2，∵D是边AB的中点，P为AC的中点，∴点E是△ABC的重心，∴BE＝BP＝；（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，∴，∴FD＝DC，BF＝AC，∵CE＝2，ED＝3，则CD＝5，∴EF＝8，∴＝，∴＝，∴＝，设CP＝k，则PA＝3k，∵PD⊥AB，D是边AB的中点，∴PA＝PB＝3k∴BC＝2k，∴AB＝2k，∵AC＝4k，∴cos A＝；（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，∴CD＝BD＝AB，∵PB2＝2CD2，∴BP2＝2CD•CD＝BD•AB，∵∠PBD＝∠ABP，∴△PBD∽△ABP，∴∠BPD＝∠A，∵∠A＝∠DCA，∴∠DPE＝∠DCP，∵∠PDE＝∠CDP，∴△DPE∽△DCP，∴PD2＝DE•DC，∵DE＝3，DC＝5，【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．。
详解及答案-2019年上海市崇明区中考数学一模试卷
2019年上海市崇明区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6小题，共24.0分）1.若2x=3y，则的值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据比例的基本性质改写即可.【详解】∵2x=3y，∴x∴y=3:2.故选B.【点睛】本题考查了比例的基本性质，如果a∶b=c∶d或，那么ad=bc，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果ad=bc，那么a∶b=c∶d或（bd≠0）.2.在Rt△ABC中，如果，那么表示的()A. 正弦B. 正切C. 余弦D. 余切【答案】D【解析】【分析】根据余切的定义求解可得．【详解】在Rt△ABC中，∵∠C=90°，∴cotA=，故选：D．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦、余弦、正切、余切的定义．3.已知二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，那么a、b的符号为（）A. a＞0，b＞0B. a＜0，b＞0C. a＞0，b＜0D. a＜0，b＜0【答案】A【解析】【分析】根据函数图象的特点：开口方向、对称轴等即可判断出a、b的符号．【详解】如图所示，抛物线开口向上，则a＞0，又因为对称轴在y轴左侧，故＜0，因为a＞0，所以b ＞0．故选A．【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴确定．4.如图，如果∠BAD＝∠CAE，那么添加下列一个条件后，仍不能确定△ABC∽△ADE 的是（）A. ∠B＝∠DB. ∠C＝∠AEDC. =D. =【答案】C【解析】【分析】根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．【详解】∠BAD =∠CAE∴A∴B∴D都可判定∴选项C中不是夹这两个角的边，所以不相似.故选：C.【点睛】考查相似三角形的判断方法，掌握相似三角形常用的判定方法是解题的关键.5.已知向量和都是单位向量，则下列等式成立的是（∴A. ∴B. ∴C. ∴D. ∴【答案】D【解析】【分析】模长为1的向量称为单位向量，它的方向是不确定的，所以只有D选项符合题意.【详解】∵向量和都是单位向量，但它们的方向不确定，∴A、B、C不正确，D正确.故选D.【点睛】本题考查了单位向量的意义，同时也考查了向量的相等与和差计算，掌握单位向量的意义是解答本题的关键.6.如果两圆的圆心距为2，其中一个圆的半径为3，另一个圆的半径，那么这两个圆的位置关系不可能是（）A. 内含B. 内切C. 外离D. 相交【答案】C【解析】【分析】利用两圆之和一定大于两圆的圆心距可判断这两个圆不可能外离．【详解】解：∵r＞1，∴2＜3＋r，∴这两个圆的位置关系不可能外离．故选：C．【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系：两圆的圆心距为d、两圆的半径分别为r、R：①两圆外离⇔d＞R ＋r；②两圆外切⇔d＝R＋r；③两圆相交⇔R−r＜d＜R＋r（R≥r）；④两圆内切⇔d＝R−r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R−r（R＞r）．二、填空题（本大题共12小题，共48.0分）7.化简：____.【答案】【解析】【分析】依据向量的加法计算即可.【详解】==【点睛】此题考查向量的加减，掌握向量加减的法则是解答此题的关键.8.已知线段b是线段a、c的比例中项，且a=1∴c=4，那么b∴∴ ∴【答案】2.【解析】∵b是a、c的比例中项，∴b²=ac，即b²=4，∴b=±2(负数舍去).故答案是：2.本题主要考查了线段的比例中项的定义，如果a、b、c三个量成连比例即a:b=b:c，b叫做a和c的比例中项注意线段不能为负.属于基础题.应熟练掌握.9.在以为坐标原点的直角坐标平面内有一点，如果与轴正半轴的夹角为，那么____.【答案】【解析】【分析】根据勾股定理以及锐角三角函数的定义即可求出答案．【详解】如图：过点A作AB⊥y轴于点B，∵A（4，3），∴OB=3，AB=4，∴由勾股定理可知：OA=5，∴cosα=，故答案为：【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是根据勾股定理求出OA的长度，本题属于基础题型．10.如果一个正六边形的半径为，那么这个正六边形的周长为______.【答案】12.【解析】【分析】根据正六边形的半径等于边长进行解答即可．【详解】∵l正六边形的半径等于边长，∴正六边形的边长a=2，正六边形的周长=6a=12，故答案为：12．【点睛】本题考查的是正六边形的性质，解答此题的关键是熟知正六边形的边长等于半径．11.如果两个相似三角形的周长比为，那么面积比是．【答案】16：81【解析】试题分析：相似三角形面积比等于相似比的平方周长比==面积比的平方=．考点：相似三角形的性质．12.已知线段的长为厘米，点是线段的黄金分割点，且，那么线段的长为____厘米.【答案】【分析】根据黄金比值是，列式计算即可．【详解】∵点C是线段AB的黄金分割点，AC＞BC，∴AC=AB=（5-5）cm，故答案为：5-5．【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，它们的比值叫做黄金比．13.已知抛物线，那么这条抛物线的顶点坐标为_____.【答案】【解析】【分析】利用二次函数的顶点式是：y=a（x-h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），顶点坐标是（h，k）进行解答．【详解】∵y=（x-1）2-4∴抛物线的顶点坐标是（1，-4）故答案为：（1，-4）．【点睛】本题主要是对抛物线中顶点式的对称轴，顶点坐标的考查．14.已知二次函数，那么它的图像在对称轴的_____部分是下降的（填“左侧”或“右侧”）.【答案】右侧【解析】【分析】根据解析式判断开口方向，结合对称轴回答问题．【详解】∵二次函数y=-x2-2中，a=-1＜0，抛物线开口向下，∴抛物线图象在对称轴右侧，y随x的增大而减小（下降）．故答案为：右侧．【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向和对称轴，可判断抛物线的增减性．15.已知△ABC中，，，，为△ABC的重心，那么___.【答案】【分析】根据勾股定理求出AB，根据直角三角形的性质求出CD，根据三角形的重心的性质计算即可．【详解】如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB==10，∵G为△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，∴CD=AB=5，∵G为△ABC的重心，∴CG=CD=，故答案为：．【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，勾股定理，三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍．16.如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点、分别在边、上，已知，△ABC 的高，则正方形的DEFG边长为____.【答案】2.【解析】【分析】高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE=MH=x，所以AM=3-x，再证明△ADG∽△ABC，则利用相似比得到，然后根据比例的性质求出x即可．【详解】高AH交DG于M，如图，设正方形DEFG的边长为x，则DE=MH=x，∴AM=AH-MH=3-x，∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC，∴，即，∴x=2，∴正方形DEFG的边长为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；也考查了正方形的性质．17.已知Rt△ABC中，，，，如果以点为圆心的圆与斜边有唯一的公共点，那么的半径的取值范围为____.【答案】或【解析】【分析】因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上．若d ＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离．【详解】根据勾股定理求得BC==6，当圆和斜边相切时，则半径即是斜边上的高，等于；当圆和斜边相交，且只有一个交点在斜边上时，可以让圆的半径大于短直角边而小于长直角边，则6＜r≤8，故半径r的取值范围是r=4.8或6＜r≤8，故答案为：r=4.8或6＜r≤8．【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，此题注意考虑两种情况，只需保证圆和斜边只有一个公共点即可．18.如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角点.例如，如图的四边形ABCD中，点在边CD上，连结、，，则点为直角点.若点、分别为矩形ABCD边、CD上的直角点，且，，则线段的长为____.【答案】或【解析】【分析】作FH⊥AB于点H，利用已知得出△ADF∽△FCB，进而得出，求得构造的直角三角形的两条直角边即可得出答案．【详解】作FH⊥AB于点H，连接EF．∵∠AFB=90°，∴∠AFD+∠BFC=90°，∵∠AFD+∠DAF=90°，∴∠DAF=∠BFC，又∵∠D=∠C，∴△ADF∽△FCB，∴，即，∴FC=2或3，∵点F，E分别为矩形ABCD边CD，AB上的直角点，∴AE=FC，∴当FC=2时，AE=2，EH=1，∴EF2=FH2+EH2=（）2+12=7，∴EF=，当FC=3时，此时点E与点H重合，即EF=BC=，综上，EF=或．故答案为：或．【点睛】此题考查了相似三角形的判定定理及性质和勾股定理，得出△ADF∽△FCB是解题关键．三、解答题（本大题共7小题，共78.0分）19.计算：．【答案】【解析】【分析】分别把cos45°=，tan30°=，cos30°=，cot30°=，sin60°=，代入原式计算即可．【详解】原式=()2-+=-+=【点睛】本题比较简单，解答此题的关键是熟记特殊角的三角函数值．20.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，如果DE∥BC，且DE=BC．（1）如果AC=6，求CE的长；（2）设，，求向量(用向量、表示）．【答案】（1）2（2）【解析】试题分析：（1）根据相似三角形的判定与性质，可得AE的长，根据线段的和差，可得答案；（2）根据相似三角形的判定与性质，可得AE，AD的长，根据向量的减法运算，可得答案．试题解析：（1）由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，．又DE=BC且AC=6，得AE=AC=4，CE=AC﹣AE=6﹣4=2；（2）如图，由DE∥BC，得△ADE∽△ABC，．又AC=6且DE=BC，得AE=AC，AD=AB．，．=．考点：平面向量21.已知：如图，AO是的半径，AC为的弦，点F为的中点，OF交AC于点E，AC=8，EF=2．（1）求AO的长；（2）过点C作CD⊥AO，交AO延长线于点D，求sin∠ACD的值．【答案】（1）5；（2）【解析】【分析】（1）由垂径定理得出AE=4，设圆的半径为r，知OE=OF-EF=r-2，根据OA2=AE2+OE2求解可得；（2）由∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°知∠AOE=∠ACD，从而根据sin∠ACD=sin∠AOE=可得答案．【详解】（1）∵O是圆心，且点F为的中点，∴OF⊥AC，∵AC=8，∴AE=4，设圆的半径为r，即OA=OF=r，则OE=OF-EF=r-2，由OA2=AE2+OE2得r2=42+（r-2）2，解得：r=5，即AO=5；（2）如图：∵∠OAE=∠CAD，∠AEO=∠ADC=90°，∴∠AOE=∠ACD，则sin∠ACD=sin∠AOE==．【点睛】本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理及其推论和勾股定理等知识点．22.安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示已知集热管AE与支架BF所在直线相交于水箱横截面的圆心O，的半径为米，AO与屋面AB的夹角为，与铅垂线OD的夹角为，，垂足为B，，垂足为D，米．求支架BF的长；求屋面AB的坡度（参考数据：，，）【答案】（1）；（2）的坡度为，【解析】【分析】（1）在Rt△ABO中，根据tan∠OAB==tan32°，求出OB的长度，继而可求得BF；（2）根据∠AOD=40°，OD⊥AD，可得∠OAD=50°，继而可求得∠CAD的度数，以及AB的坡度．【详解】解：，，，，，，的半径为，；，，，，的坡度为，【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是求出角的度数，利用三角函数的知识即可求解，难度一般．23.如图，△ABC中，D是BC上一点，E是AC上一点，点G在BE上，联结DG并延长交AE于点F，∠BGD=∠BAD=∠C．（1）求证：；（2）如果∠BAC=90°，求证：AG⊥BE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由△BDG∽△BEC，可得，即可推出结论；（2）由△BAD∽△BCA，推出∠BDA=∠BAC=90°，由∠BAD=∠BGD，推出A，B，D，G四点共圆，推出∠AGB=∠ADB=90°.【详解】（1）证明：∵∠DBG=∠CBE，∠BGD=∠C，∴△BDG∽△BEC，∴，∴BD•BC=BG•BE；（2）∵∠ABD=∠CBA，∠BAD=∠C，∴△BAD∽△BCA，∴∠BDA=∠BAC=90°，∵∠BAD=∠BGD，∴A，B，D，G四点共圆，∴∠AGB=∠ADB=90°，∴AG⊥BE．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24.如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数（a、b都是常数，且a<0）的图像与x轴交于点、，顶点为点C.（1）求这个二次函数的解析式及点C的坐标；（2）过点B的直线交抛物线的对称轴于点D，联结BC，求∠CBD的余切值；（3）点P为抛物线上一个动点，当∠PBA=∠CBD时，求点P的坐标.【答案】（1），；（2）；（3）或【解析】【分析】（1）由点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式，再利用配发法即可求出顶点C的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点D的坐标，过点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，由点B，C，D，F的坐标可得出CD，DF，BF的长，利用勾股定理可得出BC 的长，利用角的正切值不变可求出DE的长，进而可求出BE的长，再利用余切的定义即可求出∠CBD的余切值；（3）设直线PB与y轴交于点M，由∠PBA=∠CBD及∠CBD的余切值可求出OM的长，进而可得出点M 的坐标，由点B，M的坐标，利用待定系数法即可求出直线BP的解析式，联立直线BP及二次函数解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标．【详解】（1）将A（-2，0），B（6，0）代入y=ax2+bx+6，得：，解得：，∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+6，∵y=-x2+2x+6=-（x-2）2+8，∴点C的坐标为（2，8）；、（2）当x=2时，y=-x+3=2，∴点D的坐标为（2，2），过点D作DE⊥BC，垂足为点E，设抛物线对称轴与x轴的交点为点F，如图1所示．∵抛物线的顶点坐标为（2，8），∴点F的坐标为（2，0），∵点B的坐标为（6，0），∴CF=8，CD=6，DF=2，BF=4，BC==4，BD==2，∴sin∠BCF==，即=，∴DE=，∴BE==，∴cot∠CBD===；（3）设直线PB与y轴交于点M，如图2所示．∵∠PBA=∠CBD，∴cot∠PBA=，即，∴OM=，∴点M的坐标为（0，）或（0，-），设直线BP的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（6，0），M（0，）代入y=mx+n，得：，解得：，∴直线BP的解析式为y=-x+，同理，当点M的坐标为（0，-）时，直线BP的解析式为y=-x+，联立直线BP与抛物线的解析式成方程组，得：或，解得：，或，，∴点P的坐标为（-，）或（-，-）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、解直角三角形、余切的定义、待定系数法求一次函数解析式以及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定系数法求出二次函数解析式；（2）构造直角三角形，利用余切的定义求出∠CBD的余切值；（3）联立直线BP和抛物线的解析式成方程组，通过解方程组求出点P的坐标．25.如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，垂足为D，点P是边AB上的一个动点，过点P作PF∥AC 交线段BD于点F，作PG⊥AB交AD于点E，交线段CD于点G，设BP=x.（1）用含x的代数式表示线段DG的长；（2）设△DEF的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）△PEF能否为直角三角形？如果能，求出BP的长；如果不能，请说明理由.【答案】（1）；（2）（）；（3）能，或【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得BD=3，通过证明△ABD∽△GBP，可得BG=BP=x，即可得DG的长度；（2）根据相似三角形的性质可得FD=BD-BF=3-x，DE=x-，根据三角形面积公式可求y与x之间的函数关系式；（3）分EF⊥PG，EF⊥PF两种情况讨论，根据相似三角形的性质可求BP的长．【详解】（1）∵AB=AC=5，BC=6，AD⊥BC，∴BD=CD=3，在Rt△ABD中，AD==4，∵∠B=∠B，∠ADB=∠BPG=90°，∴△ABD∽△GBP，∴，∴BG=BP=x，∴DG=BG-BD=x-3；（2）∵PF∥AC，∴△BFP∽△BCA，∴，即，∴BF=x，∴FD=BD-BF=3-x，∵∠DGE+∠DEG=∠DGE+∠ABD，∴∠ABD=∠DEG，∠ADG=∠ADB=90°，∴△DEG∽△DBA，∴，∴，∴DE=x-，∴S△DEF=y=×DF×DE=×（3-x）×（x-）=-x2+x-（＜x＜）；（3）若EF⊥PG时，∵EF⊥PG，ED⊥FG，∴∠FED+∠DEG=90°，∠FED+∠EFD=90°，∴∠EFD=∠DEG，且∠EDF=∠EDG，∴△EFD∽△GDE，∴，∴ED2=FD×DG，∴（x-）2=（3-x）（x-3），∴5×57x2-1138x+225×5=0，∴x=（不合题意舍去），x=；若EF⊥PF，∴∠PFB+∠EFD=90°，且∠PFB=∠ACB，∠ACB+∠DAC=90°，∴∠EFD=∠DAC，且∠EDF=∠ADC=90°，∴△EDF∽△CDA，∴，∴，∴x=，综上所述：当BP为或时，△PEF为直角三角形．【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，相似三角形判定和性质，以及分类讨论思想，熟练运用相似三角形的判定和性质是本题的关键．。
上海市徐汇区2019年中考一模(即期末)数学试题及答案(word版)
2019学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三年级数学学科 2019.1(满分150分，考试时间100分钟)考生注意：1. 本试卷含3个大题，共25题；2. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤。
一、 选择题：(本大题共6题，每题4分，满分24分)【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1. 在比例尺为1:2000的地图上测得A 、B 两地间的图上距离为5cm ，则A 、B 两地间的实际距离为( ) (A) 10m ；(B) 25m ；(C) 100m ；(D) 10000m.2. 在△ABC 中，∠C =90°，AB =13，BC =5，则sin A 的值是( )(A)513 (B) 1213 (C) 512(D)1353. 抛物线()21232y x =--的顶点坐标是( )(A) ()2,3 (B) ()2,3-(C) ()2,3-(D) ()2,3--4. 已知抛物线()232y ax x a =++-，a 是常数且a <0，下列选项中可能是它大致图像的是( )5. 下列命题中是假命题的是( )(A) 若,a b b c ==，则a c =.(B) ()222a b a b -=-第9题EDABC第10题FDCABEP CD BA DCBA (C) 若12a b =-，则a b ∥.(D) 若a b =，则a b =6. 已知△ABC 和△DEF 相似，且△ABC 的三边长为3、4、5，如果△DEF 的周长为6，那么下列不可能是△DEF 一边长的是( ) (A) 1.5；(B) 2；(C) 2.5；(D) 3.二、 填空题：(本大题共12题，每题4分，满分48分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知34a b =，则2aa b+的值为__________. 8. 计算：()()23m n m n ++-=___________.9. 如图，△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，CD 平分∠ACB ，DE ∥BC ，若AC =10，AE =4，则BC =________.10. 如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，联结AE 、BD ，且AE 、BD 交于点F ，若:2:3DE EC =，则:DEFABFSS=_________.11. 如图，已知抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，点A ，B 均在抛物线上，且AB 与x 轴平行，若点A 的坐标为30,2⎛⎫⎪⎝⎭，则点B 的坐标为___________.12. 如果抛物线()231y x =++经过点()11,A y 和点()23,B y ，那么1y 与2y 的大小关系是1y ___2y (填写“>”或“<”或“=”).13. 如图，已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，且AD ⊥BD ，若CD =1，BC =3，那么∠A 的正切值为________.14. 在高位100米的楼顶得得地面上某十字路口的俯角为，那么娄底到这个十字路口的水平距离是____________米(用含的代数式表示).F CBA DE15. △ABC 中，AD 是中线，G 是重心，,AB a AD b ==，那么BG =_______(用a b 、表示). 16. △ABC 中，AB=AC =5，BC =8，那么sin B =__________.17. 将二次函数23y x =的图像向左平移2个单位再向下平移4个单位，所得函数表达式是()2324y x =+-，我们来解释一下其中的原因：不妨设平移前图像上任意一点P 经过平移后得到点P ’，且点P ’的坐标为(),x y ，那么P ’点反之向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点()2,4P x y ++，由于点P 是二次函数23y x =的图像上的点，于是把点P (x +2,y +4)的坐标代入23y x =再进行整理就得到()2324y x =+-.类似的，我们对函数()11y x x =+的图像进行平移：先向右平移1个单位，再向上平移3个单位，所得图像的函数表达式为_____.18. 如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =9，点P 在BC 边上，CP =3，点Q 为线段AP 上的动点，射线BQ 与矩形ABCD 的一边交于点R ，且AP =BR ，则QRBQ=____________. 三、 解答题：(本大题共7分，满分78分) 19. (本题满分10分)计算：2222sin 30+tan60tan30+sin 60cos 45+cot60cos30︒︒⋅︒︒︒︒⋅︒20. (本题满分10分，其中第(1)小题6分，第(2)小题4分)如图，点D 、E 分别在△ABC 的边BA 、CA 的延长线上，且DE ∥BC ，12AE AC =，F 为AC 的中点.(1) 设BF a =，AC b =，试用xa yb +的形式表示AB 、ED ；(x 、y 为实数)(2) 作出BF 在BA 、BC 上的分向量.第13题第18题FEACDB (保留作图痕迹，不写作法，写出结论)21. (本题满分10分)某商场为了方便顾客使用购物车，将滚动电梯由坡角30°的坡面改为坡度为1:2.4的坡面。
2019年上海初三数学一模大题
(宝山区）23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，过点C 作CF ∥AB 交△ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G ．（1）求证：GAE AC EGC ＝； （2）若AH 平分∠BAC ，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项．24．（本题共12分，每小题各4分）设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”．如函数y ＝－x ＋4，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝3时，y ＝1，即当1≤x ≤3时，恒有1≤y ≤3，所以说函数y ＝－x ＋4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y ＝x 也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．（1）反比例函数2018y x是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）如果已知二次函数y ＝x 2－4x ＋k 是闭区间[2，t ]上的“闭函数”，求k 和t 的值； （3）如果（2）所述的二次函数的图像交y 轴于C 点，A 为此二次函数图像的顶点，B 为直线x ＝1上的一点，当△ABC 为直角三角形时，写出点B 的坐标．25．（本题共14分，其中（1）（2）小题各3分，第（3）小题8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD＝7，AB＝CD＝15，BC＝25，E为腰AB上一点且AE：BE＝1：2，F为BC一动点，∠FEG＝∠B，EG交射线BC于G，直线EG交射线CA于H．（1）求sin∠ABC；（2）求∠BAC的度数；（3）设BF＝x，CH＝y，求y与x的函数关系式及其定义域．（青浦区）23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图8，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD CA CE CB⋅=⋅．（1）求证：∠CAE＝∠CBD；（2）若BE ABEC AC=，求证：AB AD AF AE⋅=⋅．AB CDEF图824．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y axbx c a =++>与x 轴相交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．（1）求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）联结AC 、BC ，若△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图10，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点（点P 不与点A 、点 D 重合），点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ． （1）当QD ＝QC 时，求∠ABP 的正切值； （2）设AP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．图10QP D C BA备用图A BCD图9 C B A O yx（长宁区）23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE ， DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2． （1）求证：BFD ∆∽CAD ∆； （2）求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．24．（本题满分12分，每小题4分）在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；（3）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 若∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．F EDABC第23题图备用图第24题图25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）已知在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4. P 是对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B 、D 重合），过点P 作PF ⊥BD ，交射线BC 于点F . 联结AP ，画∠FPE =∠BAP ，PE 交BF 于点E .设PD=x ，EF =y ．（1）当点A 、P 、F 在一条直线上时，求∆ABF 的面积；（2）如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）联结PC ，若∠FPC =∠BPE ，请直接写出PD 的长．（松江区）23．（本题满分12分，每小题6分）已知四边形ABCD 中，∠BAD =∠BDC =90°，2BD AD BC =⋅． （1）求证：AD ∥BC ；（2）过点A 作AE ∥CD 交BC 于点E ．请完善图形并求证：2CD BE BC =⋅．备用图 备用图图1 DCBA DCB A F E P DC B A 第25题图24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ． （1）求点A 的坐标和抛物线的表达式； （2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求t 的值．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，BC =2，CD 平分∠ACB 交边AB 与点D ,P 是射线CD 上一点，联结AP ． （1）求线段CD 的长；（2）当点P 在CD 的延长线上，且∠P AB =45°时，求CP 的长；（3）记点M 为边AB 的中点，联结CM 、PM ，若△CMP 是等腰三角形，求CP 的长．（徐汇区）23.（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分） 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，且∠ADE =∠B ，∠ADF =∠C ，线段EF 交线段AD 于点G ． （1）求证：AE =AF ；（2）若DF CFDE AE=，求证：四边形EBDF 是平行四边形．24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分4分，第（3）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =（0k ≠）沿着y 轴向上平移3个单位长度后，与x 轴交于点B (3，0)，与y 轴交于点C ．抛物线2y x bx c =++过点B 、C 且与x 轴的另一个交点为A ． （1）求直线BC 及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求DBC ∆的面积；（3）如果点F 在y 轴上，且∠CDF =45°，求点F 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分4分）已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AD =2，AB =4，BC =5，在射线BC 任取一点M ，联结DM ，作∠MDN =∠BDC ，∠MDN 的另一边DN 交直线BC 于点N （点N 在点M 的左侧）．（1）当BM 的长为10时，求证：BD ⊥DM ； （2）如图（1），当点N 在线段BC 上时，设BN x =，BM y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当DMN ∆是等腰三角形时，求BN 的长．G F EB AC D第23题 yxB O 第24题 （备用图）ADBC图（1）ABCMN第25题11（普陀区）23．（本题满分12分）已知：如图9，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE·DB.求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB·BC=BD·BE．24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋2ax＋c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是(－3, 0)，与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP＝∠CAO，试直接写出点P的坐标．25．如图11，∠BAC的余切值为2，AB＝D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F 在点E的右侧．联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，______是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．。
初中数学竞赛卷一含答案
初中数学奥林匹克竞赛试卷一一、选择题1、 0-(0-1999)=( )．（A ）19.99 （B ）-1999 （C ）1999 （D ）02、 下面四个命题中正确的是（ ）．(A)1是最小的正有理数． (B)-1是最大的负有理数．(C)0是最小的正整数． (D)0是最大的非正整数．3、 设a <0.则下述命题中正确的是( ).(A )a 的偶次方的偶次方是负数 (B )a 的奇次方的偶次方是负数(C )a 的奇次方的奇次方是负数 (D )a 的偶次方的奇次方是负数4、 设a 是最小的自然数，b 是最大的负整数，c 是绝对值最小的有理数，则a -b+c =( ).(A )-1 (B )0 (C )1 (D )25、 -9998,19991998,9897,19981997---这四个数由小到大的排列顺序是( ). 999819991998989719981997)(-<-<-<-A 989799981998199719991998)(-<-<-<-B .199919981998199799989897)(-<-<-<-C 199819979897199919989998)(-<-<-<-D 6、 a ，b ，c 三个整数满足a<b<c ,则( ). (A )a+c <b+c (B )|a|+|c|<|b|+|c| (C )ab<ac (D )|a||b|<|a||c |7、 若|a+b+1|与(a -b +1)2互为相反数，则a 与b 的大小关系是( ).(A) a >b (B) a=b (C) a <b (D) a ≥b8、 19991的相反数是( )． (A) 1999 (B) -1999 (C)19991- (D)|19991-| 9、 已知a ，b ，c 都是负数，并且|x -a|+|y -b|+|z -c |=0，则xyz 是( )．(A)负数 (B)非负数 (C)正数 (D)非正数10、 若|a |2=1，则||a a 的值 ( )． (A)是1 (B)是 -1 (C)是1或 -1 (D)可能是011、 以下四个讨论中不正确的结论是( )．(A)负整数的相反数是正整数 (B)负整数的平方是正有理数(C)负有理数的相反数是正整数 (D)负有理数的绝对值是正有理数12、 下列判断中正确的是( )． (A)19991的相反数是1999 (B)19991的相反数是-1999 (C)19991的相反数是-19991 (D)19991的相反数是|-19991| 13、 数轴上的点A 、B 、C 、D 分别表示数a 、b 、c 、d ，已知A 在B 的右侧，C 在B 的左侧，D 在C 、B 之间，则( )．(A )a <b <c <d (B)b <c<d <a (C)c <d <a <b (D )c <d <b <a14、 一个有理数的平方比原数大，那么这个数是（ ）．(A)正数 (B)负数 (C)负数或大于1的正数 (D)不等于1的数15、 2000)1(-的值是（ ）．（A ）2000 （B ）1 （C ）1- （D ）2000-16、 a 是有理数，则200011+a 的值不能是（ ）． （A ）１ （B ）1- （C ）０ （D ）2000-17、 已知199819981998199919991999+⨯-⨯-=a ，199919991999200020002000+⨯-⨯-=b ，200020002000200120012001+⨯-⨯-=c ，则=abc （ ）．（A ）1- （B ）3 （C ）3- （D ）118、 a --是（ ）．（A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）019、 在下面的数轴上（图），表示数)5()2(---的点是（ ）．（A ）M （B ）N （C ）P （D ）Q 20、 49914991+-----的值的负倒数是（ ）．（A ）314 （B ）133- （C ）1 （D ）-121、 =-++++++++++)10198()9187()8176()7165()6154()5143(（ ）．（A ）5.5 （B ）5.65 （C ）6.05 （D ）5.8522、 =⨯--⨯-22)34(34（ ）．（A ）0 （B ）72 （C ）-180 （D ）18023、 =⨯-÷-⨯7)71()7(71（ ）．（A ）1 （B ）49 （C ）-7 （D ）724、 在数85268,1416.3,113355,722中，最小的一个数是（ ）．（A ）722（B ）113355（C ）85268（D ）3.141625、 a ，b ，c 在数轴上的位置如图．则在a 1-，a -，b c -，a c +中最大的一个是（ ）（A ）a - （B ）b c - （C ）a c + （D ）a 1-26、 a ，b 在数轴上的位置如图．则在a b b a a b b a ---+,,2,中负数的个数是（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）427、 如果等式1992+1994+1996+1998=5000-□成立，则□中应当填的数是（）． （A ）5 （B ）-980 （C ）-1990 （D ）-298028、 =⨯-÷⨯-3)31(31)3(（ ）．（A ）1 （B ）9 （C ）-3 （D ）329、 下列各数中，负倒数最大的是（ ）．（A ）31 （B ）52- （C ）-5 （D ）1994 30、 如果114131=++n，则n =（ ）． （A ）5 （B ）1211 （C ）512 （D ）125 31、 若1994+□=19941，则□中应填入（ ）． （A ）199419931993（B ）199419931993-（C ）199419931994 （D ）199419931994- 32、 表达式=-2)313(（ ）． （A ）919 （B ）326 （C ）9111 （D ）3100 33、 =⨯+⨯-⨯+-695.3645.118)1876597(（ ）． （A ）21 （B ）-21 （C ）12 （D ）-1234、 数-1.1，-.01，- 1.001，-1.0101，- 1.00101中的最大的一个是（ ）．（A ）-1.00101 （B ）-1.01 （C ）-1.001 （D ）-1.010135、 如果1,3-==y x ，则表达式333)(yx y x --的值是（ ）． （A ）1 （B ）1332 （C ）134 （D ）716 36、 1997||8a --是（ ）． （A ）正数 （B ）负数 （C ）非正数 （D ）零37、 在数轴上标出了a ,b ,c 的位置则（ ）．(A)a -c<b -a<b -c (B)a -b<b -c<a -c (C)b -c<a -c<a -b (D)a -c<b -c<b -a38、 若a=1998199819971997,1997199719961996,1996199619951995==c b ,则（ ）． （A ）a<b<c (B)b<c<a (C)c<b<a (D)a<c<b39、 有理数a,b 满足a =1997b ，则（ ）．（A ）b a ≥ (B)|a|≤b (C)a ≤|b| (D)|a|||b ≥40、 有理数a ,b 满足b a b a -<+，则（ ）．（A ）a+b ≥0 (B)a+b <0 (C)ab <0 (D)ab ≥041、 有理数b 满足|b |<3，并且有理数a 使得a <b 恒成立，则a 的取值范围是（ ）．(A )小于或等于3的有理数． (B )小于3的有理数．(C )小于或等于-3的有理数． (D )小于-3的有理数．cd42、 如图：数轴中标出a,b,c,d 四个有理数，则ca db ⨯⨯=（ ）．（A ）54- （B ）45- （C ）7 （D ）171 43、 两个有理数的“和的绝对值”与它们的“绝对值的和”相等，那么（ ）．(A)这两个有理数都是正数． (B)这两个有理数都是负数．(C)这两个有理数同号． (D)这两个有理数不一定同号．44、 将两个不等的正数都加上同一个正数后，它们的比值（ ）．（A ）增大 （B ）减小 （C ）不变 （D ）一定改变45、 对于有理数a,b,下列四个命题中正确的是（ ）．（A ）如果a >b ，那么a 2>b 2 (B)如果|a|>b ，那么a 2>b 2(C)如果a >|b|，那么a 2>b 2 (D)如果a ≠|b|，那么a 2≠b 246、 下列各数中，负倒数最大的是（ ）．（A ）0.5 （B ）-0.6 （C ）-1 （D ）199747、 一个有理数平方后比原数小，那么这个数（ ）．（A ）是正数 （B ）是负数 （C ）大于-2 （D ）小于1并且大于048、 a,b,c 均为正有理数，那么（ ）．（A ）b c a c b a c +>+ （B ）bc a c b a c +<+ （C ）b c a c b a c +=+ （D ）b a c +与b c a c +的大小关系不定 49、 若a,b 均为有理数且ab <0,那么下列选项可能正确的是（ ）．（A ）a>0并且b>0 (B)a<0并且b>0 (C)a+b<0 (D)0>b a 50、 20011-的负倒数是（ ）． （A ）20011- (B ) 2001 (C ) -2001 (D ) 20011 51、 下列运算中,正确的一个是（ ）．（A ）6)2(3-=- （B ）2)3(-=9（C ）923232=⨯ （D ）4)2(23=-÷- 52、 若|m |>m ,则m 的取值范围是（ ）．（A ）0≥m （B ）0≤m （C ） m >0 （D ）m <053、 满足(a -b )2+(b -a )|a -b |=ab ,(ab ≠0)的有理数a 和b ,一定不满足的关系是（ ）．（A ）ab <0 (B ) ab >0 (C ) a+b >0 (D ) a+b <054、 -2001的相反数是（ ） ．(A )2001１ (B ) -2001 (C ) 2001 (D ) -2001１ 55、 -132的负数是( )． （A ）53 (B ) -53 (C ) 35 (D ) -35 56、 太阳的半径约696000千米,用科学记数法表示为（ ）千米．（A ）4106.69⨯ (B ) 310696⨯ (C ) 51096.6⨯ (D ) 610696.0⨯57、 珠穆拉玛峰的海拔高度为8848米,吐鲁番盆地的海拔高度为-155米,那么珠穆拉玛峰峰顶比吐鲁番盆地的底部高（ ）米.（A ）9003 （B ）8693 （C ）-8696 （D ）-900358、 a 是非零有理数,则( )．（A ）a a ≥ (B ) a a ≥2 (C ) a a≥1 (D ) a a -≥2 59、 有理数a 的正整数次幂都等于a 的相反数,则（ ）.（A ）a=-1 (B ) a=1 (C ) a =0 (D ) 不存在这样的有理数.60、 数1998)1(-是（ ）．（A ）最大的负数 （B ）最小的非负数（C ）最小的正整数 （D ）绝对值最小的整数61、 )41()51()61(---+-=a ,则a 的相反数是（ ）．（A ）6017- （B ）607- （C ）6017 （D ）607 62、 “a 与b 的和的立方”的代数式表示是（ ）．（A ）33b a + （B ）3b a + （C ）b a +3 （D ）3)(b a +63、 有下面4个命题:①两个数的差一定是正数;②两个整式的和一定是整式;③两个同类项的数字系数相同;④若两个角的和等于 180,则这两个角互为邻补角.其中真命题的个数是（ ）.（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）464、 若636,321≤≤≤≤b a ,则ab 的最大值（ ）. （A ）21 （B ）2 （C ）12 （D ）12665、 20001-的相反数是（ ）. （A ）2000 （B ）20001 （C ）2000- （D ）1 66、 7-的绝对值是（ ）. （A ）7- （B ）7 （C ）71- （D ）71 67、 )]}19991998(1999[1998{1999----的值等于（ ）.（A ）2001- （B ）1997 （C ）2001 （D ）199968、 2413,158,116,21四个分数中,与137的差的绝对值最小的数是（ ）. （A ）21 （B ）116 （C ）158 （D ）2413 69、 )1()1()1()1()1(-÷-⨯---+-的结果是（ ）.（A ）1- （B ）1 （C ）0 （D ）270、 已知0<a ,化简aa a -,得（ ）. （A ）2 （B ）1 （C ）0 （D ）2- 71、 下列式子中,正确的是（ ）.（A ）632a a a =⋅ （B ）633)(x x =（C ）933= （D ）bc c b 933=⋅72、 5个有理数中,若其中任意4个数的和都大于另一个数,那么这5个有理数中（ ）．（A ）最多有4个是0 （B ）最多有2个是0（C ）最多有3个是0 （D ）最多有1个是073、 已知有理数a 在数轴上原点的右方,有理数b 在原点的左方,那么（ ）．（A ）b ab > （B ）b ab > （C ）0>+b a （D ）0>-b a74、 一条直线上距离相等的立有10根标杆,一名学生匀速地从第1杆向第10杆行走,当他走到第6杆时用了6.6秒,则当他走到第10杆所用时间是（ ）．（A ）11秒 （B ）13.2秒 （C ）11.88秒 （D ）9.9秒75、 )41()31()21(-+---的绝对值是（ ）． （A ）125-（B ）12111 （C ）125 （D ）121 76、 =------)4)(4)(4)(4)(4)(4(( )． （A ）64 （B ）6)4(- （C ）64- （D ）64--77、 如果a ,b 都代表有理数,并且a+b =0,那么（ ）．（A ）a ,b 都是0 （B ）a ,b 之一是0（C ）a ,b 互为相反数 （D ）a ,b 互为倒数78、 a 代表有理数,那么a 和-a 的关系是（ ）.（A ）前者大于后者（B ）后者大于前者（C ）前者大于后者或后者大于前者（D ）前者不一定大于后者79、 有四个数:a =75.285.3-,b =10231534-,325487-=c ,d =176267-,它们的大小关系是（ ）． （A ）d <c <b <a (B )d <b <c <a (C )b <c <a <d (D )d <a <c <b80、 将1990名学生排成一列,按1,2,3,4,5,4,3,2,1,2,3,4,5,4,3,2,1循环,那么,第1990名学生所报的（ ）．(A ) 1 （B ）2 （C ）3 （D ）481、 两个有理数的积如果不大于被乘数,那么（ ）．(A )乘数是小数 (B )乘数是循环小数(C )乘数不大于1 (D )乘数可能大于182、 已知a+b =0,并且a ≠0,则当n 是自然数时,（ ）．（A ）022=+n n b a (B )0=+--n n b a (C )01212=+++n n b a (D )0=+b b b a83、 数1是（ ）．(A )最小正整数 （B ）最小正数(C )最小自然数 （D ）最小有理数84、 若a >b ,则（ ）．（A ）ba 11< （B ）-a <-b ( C )|a|<|b| (D )a 2>b 285、 a 为有理数,则一定成立的关系式是（ ）．（A ）7a>a (B ) 7+a >a (C ) 7+a>7 (D ) |a |≥786、 以下的运算结果中,最大的一个数（ ）．（A ）（-13579）+0.2468 （B ）（-13579）+24681（C ）24681)13579(⨯- （D ）（-13579）÷24681 87、 3.1416⨯7.5944+3.1416⨯(-5.5944)的值是（ ）．（A ）0.1632 （B ）6.2832 （C ）6.5132 （D ）5.369288、 如果四个数之和的1/4是8,其中三个数分别是-6,11,12.则第四个数（ ）．（A ）16 （B ）15 （C ）14 （D ）1389、 下列分数中大于4131--且小于的是（ ）． （A ）1211- （B ）124- （C ）163- （D ）175- 90、 已知c <a <0,b >1,则a 1,b 1,c1的大小关系是（ ）． （A ）c b a 111>> (B ) a c b 111>> (C ) c a b 111>> (D ) b a c 111>> 91、 在-4,-1,-2.5,-0.01与-15这五个中最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是（ ）．（A ）225 （B ）0.15 （C ）0.00014 （D ）192、 a 为有理数,下列说法正确的是（ ）．（A ）（a +1）2的值是正数 （B ）a 2+1的值是正数（C ）- (a +1)2的值是负数 （D ）- a 2+1的值是负数93、 若c <a <0<b ,则下列的式子中不成立的是（ ）．（A ）b 2>ab (B ) ab <0 (C ) ac <bc (D ) 1/a <1/b94、 如果m ,n 是有理数,那么下列判断中正确的是（ ）．（A ）若|m |=n ,则一定有m =n （B ）若|m |>n ,则一定有m >n（C ）若|m |<|n |,则一定有m <n （D ）若m =n ,则一定有m 2=(-n )295、 绝对值大于13.1而小于15.9的所有负整数是（ ）．（A ）-13,-14,-15 （B ）-14,-15 （C ）14,15 （D ）-1596、 有理数-a1的值一定不是（ ）． （A ）正整数 （B ）负整数 （C ）负分数 （D ）097、 若a+1<0,则在下列每组四个数中,按从小到大的顺序排列的一组是（ ）．(A )a , -1,1, -a (B ) -a , -1,1,a (C ) -1, -a,a ,1 (D ) -1,a ,1, -a98、 a = -123.4- (-123.5),b =123.4-123.5,c =123.4- (-123.5),则（ ）．（A ）c >b >a (B ) c >a >b (C ) a >b >c (D ) b >c >a99、 a ,b ,c ,m 都是有理数,并且a +2b +3c=m ,a +b +2c=m ,那么b 与c （ ）．（A ）互为相反数 （B ）互为倒数 （C ）互为负倒数 （D ）相等100、 张梅写出了五个有理数,前三个有理数的平均值是15,后两个有理数的平均值是10,那么张梅写出的五个有理数的平均值是（ ）．（A ）5 （B ）821 （C ）1221 （D ）13 101、 某同学求出的1991个有理数的平均数后,粗心地把这个平均数和原来的1991个有理数混合在一起,成为第1992个有理数,而忘掉哪个是平均数了,如果这1992个有理数的平均数恰为1992,则原来的1991个有理数的平均数是（ ）．（A ）1991.5 （B ）1991 （C ）1992 （D ）1992.5102、 四个互不相等的正数a ,b ,c ,d 中,a 最大,d 最小,且b a =dc ,则a +d 与b +c 的大小关系是（ ）． （A ）a +d <b +c (B ) a +d >b +c (C ) a +d =b +c (D ) 不确定103、 数-1是（ ）．（A ）最大的负数 （B ）最小的非负数（C ）绝对值最小的数 （D ）最大的负整数104、 a 是有理数,下列各式中一定成立的是（ ）．（A ） |a|>a (B ) a 2>a (C ) |a|-1<a (D ) a 2+1>a105、 若a 是有理数，则m =aa a a a 54321+-+-一定不是（ ）． （A ）正整数 （B ）负整数 （C ）负分数 （D ）零106、 1993-{1993- [1993- (1992-1993)]}的值是（ ）．（A ）-1995 （B ）1991（C ）1995 （D ）1993107、 若a<b ,则等于（||)(b a b a -- ）．（A ）（a -b ）2 (B )b 2-a 2 (C )a 2-b 2 (D ) - (a -b )2108、 若n 是自然数，并且有理数a ,b 满足a +01=b,则必有（ ）． （A ）0)1(2=+n n b a （B ）0)1(122=++n n ba （C ）0)1(12=++n nb a （D ）0)1(1212=+++n n ba 109、 甲的六张卡片上分别写有-4，-1，-2.5，-0.01，-3.75，-15，乙的六张卡片上分别写有-5，-1，0.1，0.01，-8，-12.5．则乙的卡片中的最小数a 与甲的卡片中最大数b 的比b a 的值等于（ ）． （A ）1250 （B ）0 （C ）0.1 （D ）800110、 a 是有理数，则在下列说法中正确的是（ ）．（A ）-a 是负数 （B ）a 2是正数（C ）-|a 2|是负数 （D ）（ a -1993）2+0.001是正数111、 在下列条件下，能使ab <b 成立的是（ ） ．（A ）b >0,a >0 (B )b <0, a <0 (C )b >0,a <0 (D )b <0,a =0112、 有理数 a ,b 小于0，并且使（a -b ）3<0,则（ ）．（A ）ba 11< （B ）-a <-b (C )|a |>|b| (D )a 2>b 4 113、 001.01001.0101.011.01---的值是（ ）． (A )-11110 (B ) -11101(C ) –11090 (D ) -11909114、 下面列举的各数中比113355-小的是（ ）． （A ）0 （B ）-3.1415 （C ）-3.1416 （D ）-3.1 115、 )413121()4()3()2(++⨯-⨯-⨯-=（ ）． （A ）-1 （B ）-9 （C ）-24 （D ）-26116、 |a |=1993，则一定成立的关系式是（ ）（A ）|a |- (a +0.1)>0 (B )a -|a |>0 (C )|a |+a >0 (D )|a |+a1>0 117、 对321)3()3()3(-+-+-的正确运算是（ ）．（A ）（-3）1+2+3 （B ）{[（-3）1]2}3（C ）（-3）[1+（-3）+（-3）2] （D ）)3(3)3(2)3(1-⨯+-⨯+-⨯118、 下面各数中最小的一个是（ ）．（A ）1993+（-0.999） （B ）1993+（-0.9999）（C ）1993+（-0.9） （D ）1993+（-0.99009）119、 下列有五种说法：(1)正有理数的平方一定大于它自身． (2)负的有理数的倒数一定小于它自身．(3)负的倒数与这一负数之和不一定大于-2． (4)负数的绝对值减去这个负数一定得０．(5)正数的绝对值减去这个正数一定得０．其中不正确的说法有（ ）个．（A ）2 (B )3 (C )4 (D )5120 1993199372+的个位数是（ ）．(A )3 (B ) 5 (C ) 7 (D ) 9121、 有理数x 1，x 2，x 3，x 4，其中任一个都恰等于其余三个数的代数和，则（）． （A ）x 1＋x 2＋x 3＋x 4=0，但至少x 4不等于0．（B ）x 1＝x 2＝x 3＝x 4＝０(C ) x 1，x 2，x 3，x 4中两个为０，两个不为0．（D ）不存在这样的有理数．122、 下列各命题中正确的一个是（ ）．(A )如果a <b ,那么a -b >0 (B )如果a <-b ,那么b +a >0(C )如果a <b <0,那么a 2-ab >0 (D )如果a <b <0,那么5a -b >0.123、 有理数-（1995-a ）的值一定不是（ ）．（A ）19 (B )-19 （C ）0 （D ）1124、 若a <0，则下列结论中不成立的是（ ）．（A ）a 2=(-a )2 （B ）a 3=(-a )3(C ) a 2=2a (D ) a 3= -3a125、 下面的数轴上（图），表示（-5）÷2-的值的点是（ ）．(A) M (B) P (C) Q (D) N126、 如果由四舍五入得到的近似数是35，那么在下列各数中不可能是真值的数是（）．（A ）34.49 （B ）34.51 (C ) 34.99 (D )35.01127、 如果a ,b 均为有理数，且b <0,则a ，a -b ，a +b 的大小关系是（ ）．（A ）a <a +b <a -b (B )a <a -b <a +b(C ) a +b <a <a -b (D )a -b <a +b <a128、 计算9.08.07.06.05.04.03.02.01.010*********++++++++-+-+-+-+-，得到（ ）． （A ）91 （B ）191 （C ）-91 （D ）-191 129、 a ，b ，c 的大小关系如图所示则b a b a ---c b c b --+a c a c --+acab ac ab --的值是（ ）． （A ）-1 （B ）1 （C ）2 （D ）3130、 设P =12346123451⨯-，Q = -12346123441⨯，R = -12345123441⨯，则P ，Q ，R 的大小顺序是（ ）．（A ）P >Q >R (B )Q >P >R (C )P >R >Q (D )R >Q >P131、 (-1) - (-9) - (-9) - (-6)的值是( )．(A )-25 (B )7 (C )5 (D )23．132、 如果a ＜０，则a 与它的相反数的差的绝对值是（ ）．(A )０ (B )a (C ) -2a (D )2a ．133、 a 、b 为有理数，在数轴上如图所示，则（ ）．(A) b a 111<< (B)111<<ba (C)111<<ab (D)ab 111<< 134、 从12110181614121+++++中删去两个加数后使余下的四个加数之和恰等于1，那么删去的两个加数是（ ）．(A )41与61 (B )41与121 (C )61与101 (D )81与101 135、 65432)1()1()1()1()1(-+-+-+-+-的值是（ ）．(A )-5 (B ) –1 (C )+1 (D )5136、 如果三个连续奇数的和是381，则其中一个奇数是（ ）．(A )119 (B )121 (C )123 (D )125137、 某一仪器的读数是指所测的6个位置的刻度平均值，如果这6次位置在刻度24的两边变动的数据是+0.3，-0.7，+0.2，-0.5，+0.2，-0.4，那么这个仪器的读数是（ ）．(A )23.1 (B )23.85 (C )24.15 (D )24.9138、 如果三个连续整数的和是45，那么紧接它们后面的三个连续整数的和是（ ）．(A)48 (B)51 (C)54 (D)46139、 下列结果中是正数的一个是（ ）．(A ))8()5()3(-++++ (B ))2()2()3(-----(C ))5()3()2(-⋅-⋅- (D ))1()4()1996(-÷-÷-140、 若｜x ｜＝a ，则｜x -a ｜＝（ ）．(A )x -a 或a -x (B )2x 或2a (C )a -x (D )a -x 或0．141、 设199619961995,199519951996,199619951996,199519961995====d c b a ，则下列不等关系中成立的是（ ）．（A ）d c b a >>> （B ）b d a c >>>（C ）b c d a >>> （D ）b d c a >>>中数学奥林匹克竞赛试卷参考答案一、选择题1、 C解： 因为0-(0-1999)=0-0+1999=1999，所以选（C ）．2、 D解： 可用特殊值法．21是正有理数，而21<1，否定(A)．-21是负有理数，而-1<-21，否定(B)．0既不是正数，也不是负数，否定(C)．非正整数集是{…，-n ，…，-3，-2，-1，0}，其中最大元素是0，所以选(D )．3、 C解：有理数的偶次方得非负数．即可排除(A)(B)．a <0而a 的偶次方是正数，正数的奇次方是正数，所以排除(D)，因此应选(D)．事实上a <0，a 的奇次方是负数，负数的奇次方仍是负数，所以选(C)．4、 C解： 最小的自然数是0，所以a =0．-1是最大的负整数，故b =-1．0是绝对值最小的有理数，c =0．因此，a -b+c =0- (-1)+0=1．选 (C)．5、 B解：将每个数都加1，大小次序不变．98119897,19981119981997=+-=+-． 99119998,19991119991998=+-=+-． ∵9819911999119991<<<． ∴989799981998199719991998-<-<-<-．6、 A解： 用特殊值法．取a =0．易知C 、D 均不成立．而当a = -1，b =0，c =1时，(B)不成立，因此选(A)．事实上，a <b ，对任意整数c ，都有a+c <b+c ．7、 C解： 因为|a+b+1|≥0，（a-b+1）2≥0 且|a+b +1|与（a -b +1）2互为相反数，所以只能是|a+b+1|=（a -b+1）2=0∴ ⎩⎨⎧=+-=++0101b a b a 即⎩⎨⎧=-=01b a 所以选(C)．8、 C解： 根据相反数的定义，19991的相反数是19991-．选(C)．9、 A解： 由绝对值定义|x -a|≥0，|y -b|≥0，|z -c |≥0．而已知|x -a|+|y -b|+|z -c|=0，则当且仅当|x -a|=0，|y -b|=０，|z -c|=0，时成立，所以x=a 且y=b 且z=c ，已知a ，b ，c 均为负数，则x ，y ，z 均为负数，因此xyz 是负数．选（A ）．10、 C解： ∵|a |2=1，∴a =±1，于是当a =1时，1=a a ．当a =-1时，||a a =±1．选(C)．11、 C解： 易知(A)、(B)、(D)均正确．而21-是负有理数，其相反数是21，并不是正整数． 所以(C)不正确．12、 C 解：19991的相反数是-19991．选(C)．13、 D解：由题意将A ，B ，C ，D 标在数轴上，易知c <d <b <a ．选(D)．→14、C解： 若有理数q >1，则q 2>q ，若有理数0<q <1，则q 2<q ．若有理数为0，则02=0，若有理数为1，则12=1．若有理数q <0，而q 2>0，则q 2>q ．所以，一个有理数的平方比原数大，那么这个有理数是负数或大于1的正数．选(C)．15、 B解：2000)1(-=1．选（B ）．16、 C 解：因为200011+a 的分子不等于0，所以其值不可能为0．选（C ）．17、 A 解：11999199819981999)11998(1998)11999(1999199819981998199919991999-=⨯⨯-=+--=+⨯-⨯-=a ， 同理可求得 1-==c b ．∴ 1)1)(1)(1(-=---=abc ，选（A ）．18、 C解：若a =0，则a --=0，排除（A ），（B ）． 若0≠a ，a --0≠，排除（D ）．事实上对任意a ，0≥-a ，∴a --0≤，即a --为非正数，选（C ）．解：352)5()2(=+-=---，在数轴上对应的是点P ．选（C ）．20、 A 解：49914991+-----1331358-=--=，其负倒数为314313=．选(A)．21、 B解：原式=101)9891()8781()7671()6561()5451(43-++++++++++ 65.51.075.05=-+= 故选（B ）．22、 C解：原式=14436)12()12(36)34()34(94--=-⨯---=⨯-⨯⨯--⨯-180-=所以答案是(C)23、 B解：原式=7)7()7(71⨯-⨯-⨯=49 选(B)24、 B 解：722=3.142857, 113355=3.14159292, 85268=3.1529, 及3.1416中，最小的一个是113355，选（B ）． 25、 D解：由图可见，10,01<<<<<-c b a ，∴11<+<-a c ，又101=-<-b c ，∵1001<-<⇒<<-a a ，∴11>-a ， 因此，a 1-，a -，bc -，a c +中最大的一个是a1-． 选（D ）．26、 B 解：由图可见，b a b a >><,0,00,0,02,0<->->-<+∴a b b a a b b a ，选（B ）．27、 D解：设□的数是x ，则x -=+++50001998199619941992．即：x -=50007980．∴298079805000-=-=x ．选（D ）．28、 B解：原式=93)3(31)3(=⨯-⨯⨯-．(B)解：1994,5,52,31--的负倒数分别是19941,51,25,3--．最大为25，所以52-的负倒数最大． 选(B)30、 C 解：125123412413111=--=--=n ，所以512=n ．(C)31、 B解：□=199419931993]199419931993[]199411994[199419941-=+-=--=-，选（B ）32、 C 解：91119100)310()313(22==-=-33、 A 解：原式=)95.345.1(61818718651897-⨯-⨯+⨯-⨯ 211571514)5.2(671514=++-=-⨯-+-=34、 C解：从绝对值看：001.100101.101.10101.11.1>>>>．所以最大的数是-1.00135、 D解：原式=7162864134)1(3)]1(3[33333==+=----选(D)36、 C解：当a >0，或a <0时,所给式小于0，当a=0时所给式为0,故该数是非正数所以选（C ）．37、 D解：由题意可知，不等式的两边都乘以所以又知,,;b a b c a c c b c a ->->-<--1，得a b c b -<-，综上所述，选（D ）．38、 A解：设A =19951995，B =19961996，C =19971997，D =19981998，则有B =A +10001，C =B +10001，D =C +10001，2210001)10001)(10001(-=-+B B B ，即：C ⨯A =B 2-100012<B 2．由于B 、C 均为正数，不等式两边同除以B C ⨯，得到DC C B C B B A <<同理，,． 因此，选（A ）．39、 D解：∵1997>0，可以确定在有理数中,答案是：（D ）解：绝对值的两边平方后，得，a 2+2ab +b 2<a 2-2ab +b 2，化简后得ab <0，选（C ）．41、 C解：|b |<3，就是-3<b <3，只有当a ≤-3时，a <b 恒成立，选（C ）．42、 A解：由图可知a = -8，b = -4，c =5，d=8，代入上式可得（A ）正确．43、 D解：注意到|3+5|＝|3|＋|5|，|-3＋(-5)|＝|-3|＋|－5|，又|0＋3|＝|0|＋|3|，所以选（D ）．44、 D解：比如两个正数分别是5、3，另一个正数是1，由131535++>，不能选（A ），由151353++<，不能选（B ）,由此也的排除（C ），所以选（D ）．45、 C解：当a =0，b=-1时，满足a >b ，但a 2<b 2，排除（A ）．当a =0，b = -1时，满足|a |>b ，但a 2<b 2，排除（B ）．当a = -2，b = -2时，满足a ，但a 2=b 2，排除（D ），所以选（C ）．46、 B 解：由于，，其中最大值为，，，的负倒数分别是351997113521997,1,53,21----所以选（B ）．47、 D解：在数轴上分为三段，在小于或等于0的一段上的有理数都不满足题设条件，大于或等于1的有理数也都不满足题设条件，只有大于0小于1的有理数才满足平方后的值比原数小，选（D ）．48、 B 解：正分数b a c +与a c 相比，a c b a c <+，而0>bc ，则b c a c b a c +<+，故选（B ）49、 B解：当a=-1，b=2时，ab<0排除（A ）、（C ）．当a =3，b = -2时，ab<0，排除(D)，应选（B ）．50、 B 解：20011-的负倒数是2001，选（B ）．51、 D解：8)2(3=-，（-3）2=9， 923232≠⨯，所以选（D ）．解：由|m |>m 知m 为非正数，所以选（D ）．53、 A解：设a 和b ，满足题目条件，首先一定有a <b ，如若不然，当b a ≥时， +-=≠2)(0b a ab0)()())((22=---=--b a b a b a a b ，矛盾．∴一定有a <b ，此时ab b a a b a b b a =-=--+-22)(2||)()(，2)(b a -≥0，且0≠ab ，则ab 肯定不小于0即(A )一定不成立，所以选(A )．54、 C解：-2001的相反数是2001，则（C ）．55、 C解：-132的负数是53，选（C ）．56、 C解：696000的科学记数法是51096.6⨯，选（C ）．57、A解：珠穆拉玛峰峰顶比吐鲁番盆地底部高8848-(-155)＝9003米．58、 A解：（Ａ）．当21=a 时，21212<）（，排除(B)．当2=a 时， 221<，所以排除(C )，当21-=a 时，排除(D )．所以选(A)．59、 C解：根据题意，对任意的正整数n ， a a n -=，如果0<a ，则0>-a ，所以a 不能是负数;如果0>a ，则0<-a ，所以a 不能是正数，只能0=a ．当0=a 时，0的相反数是0，成立00=n ，选(C )．60、 C解：1998)1(-= +1，排除（A ），由于最小的非负数是0，排除（B ），绝对值最小的整数也是0，排除（D ）．显然应选（C ）．事实上+1是最小的正整数．解：6076015121060)15()12()10()41()51()61(-=+--=---+-=---+-=a ，所以a 的相反数607，选（D ）．62、 D解：33b a +的意义是a 立方与b 立方之和．3b a +的意义是a 与b 立方之和．b a +3的意义是a 立方与b 之和．3)(b a +的意义是a 与b 的和的立方．选（D ）．63、 A解： 由3-4=-1，知命题①不真;23ab 与25ab 是同类项，但数字系数不同，③不真;由于两条平行线被第三条直线所截，同旁内角之和为 180，但它们并不互为邻补角，命题④不真，易知，两个整式的和仍是整式是真命题，所以只有1个真命题，选（A ）．64、 D 解：当63,21==b a 时，126=ab ，这个值大于21，大于2，也大于12，所以选（D ）．65、 B 解：20001-的相反数是20001．选（B ）．66、 B解：7-的绝对值是它的相反数7．选（B ）．67、 C解：)]}19991998(1999[1998{1999----)]1(1999[19981999--+-=20001+=2001=． 选（C ）．68、 D 解：241313241137⨯=-， 137********⨯=-，137********⨯-=-，137132121⨯=-，其实， 要比 较13241⨯，13151⨯，13111⨯，1321⨯的大小，易知，13241⨯最小，与137的差的绝对值最小的数是2413．选（D ）．69、 A解：1)1()2()1()1()1()1()1(-=---=-÷-⨯---+-．选（A ）．解：当0<a 时． ∴a a a -22-=-=--=aa a a a ．选（D ）．71、 D 解：由于532a a a =⋅，所以（A ）不正确． 又933)(x x =，所以（B ）不正确．2733333=⨯⨯=，所以（C ）不正确．bc c b 933=⨯，D 是正确的．选（D ）．72、 B解：若5个数中有4个为0， 设它们是a ，0，0，0，0，其中a ≠0，则当a <0时，a +0+0+0<0， 不合题意．当a >0时，0+0+0+0<a ， 也不合题意．∴不可能有4个数为0．若5个数中有3个数0， 设它们分别是a ，b ，0，0，0，其中a ≠0，b ≠0，则当a >b 时， b +0+0+0<a ， 不合题意．当a =b 时， b +0+0+0=a ， 不合题意．当a <b 时， a +0+0+0<b ， 不合题意．∴不可能有3个数为0．若5个数中有2个数为0，设这5个数为3，4，5，0，0，则符合要求． 故选（B ）．73、 D解：a 在数轴上原点右方，0>a ;b 在原点左方，0<b ．当1=a 时，b ab =显然应排除（A ）、（B ）．当2,1-==b a 时，01<-=+b a ，排除（C ）．所以应选（D ）．事实上，当0,0<>b a 时，0>-b a 总成立．74、 C解：从第1根标杆到第6根标杆有5个间隔．因而，每个间隔行进32.156.6=÷（秒）．而从地1根标杆到第10根标杆共有9个间隔．所以行进9个间隔共用88.11932.1=⨯（秒）．选择（C ）．75、 C 解：125123464131)21()41()31()21(-=-+-=-+-=-+---，其绝对值为125．选(C) 76、 B解：=------)4)(4)(4)(4)(4)(4(6)4(-．77、 C解：令a =2，b = -2，满足2+(-2)=0，由此可以排除（A ）、（B ）、（D ）．选（C ）．78、 D解：令a =0，马上可以排除（A ）、（B ）、（C ）， 选（D ）．79、B 解：4.175.285.3-=-=a ， 4995.110231534-=-=b ， 49846.1325487-=-=c 51704.1176267-=-=d ∴d ˆ＜b ＜c ＜a 选（Ｂ）．80、Ｄ解：∵1，２，３，４，５，４，３，２，８个数字为一个循环．∴1990÷８＝248余6，则一个循环中第六个数为4．选D ．81、C解：假如2×(-3)=-6,则排除A ，B 若2×3=6，则排除D ．∴选Ｃ82、A解：a+b =0，a =-b ．n n n n n b b b a 22222)1()(=⋅-=-= 选A ．83、A解：因为0也是自然数．选A ．84、B解：若31=a ，21-=b 则2a ＜2b ，排除Ｄ．a 1＞b 1排除Ａ．a ＞b 排除Ｃ．选Ｂ 85、Ｂ解：若2-=a ，则a 7＜a 排除Ａ，a +7＜７排除Ｃ，a ＜７排除Ｄ．选Ｂ．86、Ｃ解：-13578+0.2468=-13578.7532，-13579+24681=-13578.99． -13579×24681=-5.502，-13579÷24681=-33512972 ∴选C ． 87、B解：原式=3.1416×(7.5944-5.5944)=3.1416×2=6.2832选B ．88、B解：由四个数之和的1/4是8知四个数之和为32，第四个数=32-（-6+11+12）=15，选（B ）89、D解：12431-=-，12341-=-排除A ，B ．163-＞164-＝41-排除Ｃ．故选Ｄ． 90、B 解：由题意知，01,11>>b C A a c 但））、（排除（所以必有(B ) b 1>c 1>a1，选（B ）． 91、 B解：在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个中最大的数是-0.01，对值最大的是-15，）选（B ,15.0)15()01.0(=-⨯-92、B解：若1-=a 则0)1(2=+a 排除A ，0)1(2=+-a 排除Ｃ，012=+-a 排除Ｄ，选Ｂ．93、 C解：显然b >0，a <0，c <0，所以必有b 2>ab ，ab <0，b a 11<成立，由于ac >0，bc <0，所以ac <bc 恒不成立，选（C ）．94、 D解：m =2，n = -2，|2|>-3，但|2|<|-3|，排除（B ）．|2|<|-3|但2>-3， 排除(C )．|-2|=2，但-2≠2，排除（A ）．所以选（D ）．95、 B解：13.1<14<15.9，13.1<15<15.9，答案为-14,-15选（B ）．96、D解：∵a 1-的分子为1,∴a1-不可能为0.97、 A解：由a+1<0，知a<-1，所以-a >1，于是由小到大的顺序应是a<-1<1<-a ，选（A ）．98、 B解：由题意a=0.1，b =-0.1，c=1.234- (-123.5)>123.4>a ，所以b <a <c ， 选(B )．99、 A解：因为a +2b +3c =m =a +b +2c ，所以b +c =0，即b ，c 互为相反数， 选（A ）．100、D解：前三个数总和为3×15=45，后两个数和为2×10=20,∴五个有理数平均值为(45+20) ÷5=13． 101、 C解：原来1991个数的平均数为m ，则这1991个数总和为1991⨯m ，当m 混入以后，那1992个数之和为m m +⨯1991，其平均数是1992，即：199219921991=+⨯m m ，1992=∴m ，选(C )． 102、B 解：令1===k d c b a ，则bc ad =，dk c =于是 ()()222222c b d a c b d a --+=+-+＝k d b d k b 22222--+＝)1()1(2222k d k b -+- ＝（12-k ）（22d b -）＞０（因为k >1,b >d >0）∴2)(d a +>()c b +2即有d a +>c b +.103、 D解：数-1是最大的负整数，选（D ）．104、 D解：（A ）明显不对，a =0.1时，a 2<a 排除（B ），a 取-1时|a|-1-a>0，排除（C ），选（D ）．105、 D解：），排除（），排除（B m a A m a ,3,1,3,1-=-===)(53,5C m a 排除-=-=．所以选(D )106、 C解：经计算得答案为1995，选（C ）．107、 D解：,0,<-∴<b a b a 则a b b a -=-||所以答案是(D )108、 D解：a=-b 1，代入上面的四个答案得（D ）正确．109、 A解：观察知，乙卡片中最小的数a = -1221 甲卡片中最大的数b =-0.01，所以ba =1250， 选（A ）．110、 D解：当a =0时，显然（A ）（B ）（C ）都不正确，所以选（D ）．111、 C解：b =1>0，a =2>0，ab =2>1=b ，排除（A ），a <0，b <0，ab >0>b ，排除（B ），a =0，b <0，ab =0>0，排除（D ），选（C ）．112、 C解：由题意，||||,0,,b a b a b a >∴<< 选（C ）．113、 C解：原式=10-100-1000-10000= -11090，所以选（C ）．114、 C 解：⋅⋅⋅-=-141592.3113355，由此可见只有-3.1416 比它小，选（C ）．115、 D解：原式=)1213()432(⨯⨯⨯-= -26，选（D ）．116、 D解：由|a |=1993，得a = -1993或a =1993，a = -1993时，|a |+a =0，排除（C ），当a =1993时， |a |- (a +0.1)<0，a -|a |=0，得（A ）、（B ）不对，所以选（D ）．117、 D解：根据乘法分配律和所提供的运算法则，应选（D ）．118、 B解：提示，在负数的比较中，其绝对值越大，其值越小．所以选（B ）．119、 B解：只有（3）、（5）正确，所以不正确的有3个，所以选（B ）．120、 D解：21993=24⨯498+1，71993=74⨯498+1，所以21993的末位数字是2，71993的末位数字是7，所以两者相加后的末位数字是9，所以选（D ）．121、 B解：由题意，得：4321x x x x ++=，4312x x x x ++=，4213x x x x ++=，3214x x x x ++=则4321x x x x ++=＝３)(4321x x x x ++=，则，4321x x x x ++=＝０，然后分别减去上式，得，04321====x x x x 选（B ）．122、 C解：显然，（A ）明显错误，对（B ），由a <-b ，将-b 移至左边得，a +b <0，所以（B ）不对，对（C ）a 2-ab =a (a -b )，因为a <0，a -b <0，所以其乘积大于0，所以选C ．123、 C解：1．当a =14时，-1995-a =19 排除（A ） 2．当a =24时，-1995-a = -19 排除（B ） 3．当a = -76时，-1995-a =1 排除（D ） 因此，选（C ），事实上，对任意a ≠19，-1995-a 一定不是0．124、 B解：以特殊值a = -2代入检验，易知（-2）2=（-（-2））2、（-2）3≠（-（-2））3、（-2）2=22）（-、（-2）3= -3)2(-，所以选（B ）125、 D解：（-5）÷2-=（-5）÷2= -25= -2.5，对应的是数轴上的N 点，选（D ）．126、 A解：由于34.51，34.99，35.01四舍五入的近似值都可能是35，而只有34.49不可能是真值，选（A ）127、 C解：因为b <0，所以a +b <a <a -b ，选（C ）128、 D解：原式=5.45-=-910=-191，选（D ）．129、 C解：从图中可见，a <b <c 且a <0，b <0，c <0所以a -b <0，b -c <0，c -a >0，ab >0，ac <0所以ab -ac >0， b a b a ---c b c b --+a c a c --+acab ac ab --=（-1）-（-1）+1+1=2． 选（C ）．130、 A解：因为 12344<12345<12346所以12344⨯12345<12344⨯12346<12345⨯12346 ∴12345123441⨯>12346123441⨯>12346123451⨯ 更有12345123441⨯-<12346123441⨯-<12346123451⨯- 即 R <Q <P 选（A ）．131、 D解：提示：(-1) - (-9) - (-9) - (-6)=23．选（D ）132、 C解：a 的相反数为-a ，所以a 与它的相反数得差的绝对值是｜a -（-a ）｜＝｜-2a ｜＝-2a （其中a ＜０，选（Ｃ）．133、 B解： 由图可知，a ＜０，b ＞１，所以01<a． 110<<b ，因此111<<ba ，选(B )． 134、 D 解：易知,211261216141==++所以,1121614121=+++因此删去的两个加数为 81和101，选（D ）．135、 C解：65432)1()1()1()1()1(-+-+-+-+-=1-1+1-1+1=1，选择（C ）136、 D解：三个奇数之和是381，则中间那个奇数是127，这三个连续奇数是125，127，129，选（D ）137、 B解：读数应为 24+[])4.0(2.0)5.0(2.0)7.0(3.061-++-++-+ 15.024)9.0(6124-=-+= =23.85选(B )138、 C解：已知三个连续整数之和是45，则这三个连续整数是14，15，16，紧接其后的三个连续整数是17，18，19，它们之和是54，选（C ）139、 B解：因为(+3)+(+5)+(-8)=0，不是正数；(-3) - (-2) - (-2)=1，是正数；(-2) ×( -3) ×( -5)=-30，是负数；(-1996)÷(-4) ÷(-1)=-499，是负数；选（B ）．140、 D解：因为|x |＝a ，所以0≥a ，于是当0<x 时，0<-a x ，x a a x a x -=--=-∴)(当0≥x 时， a x = 0=-=-x a a x ，选（D ）141、 D 解：199611001,199511001,199610001001,199511001-=+=-=+=d c b a ∴b d c a >>>，选（D ）．。
★试卷3套精选★上海市闸北区2019年中考数学一模数学试题及答案
中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．为迎接中考体育加试，小刚和小亮分别统计了自己最近10次跳绳比赛，下列统计量中能用来比较两人成绩稳定程度的是 （ ）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差【答案】D【解析】根据方差反映数据的波动情况即可解答.【详解】由于方差反映数据的波动情况，所以比较两人成绩稳定程度的数据是方差．故选D ．【点睛】本题主要考查了统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数、方差等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 2．若0＜m ＜2，则关于x 的一元二次方程﹣（x+m ）（x+3m ）＝3mx+37根的情况是（ ） A ．无实数根B ．有两个正根C ．有两个根，且都大于﹣3mD ．有两个根，其中一根大于﹣m【答案】A【解析】先整理为一般形式，用含m 的式子表示出根的判别式△，再结合已知条件判断△的取值范围即可.【详解】方程整理为22x 7mx 3m 370+++=，△()()22249m 43m 3737m 4=-+=-，∵0m 2<<，∴2m 40-<，∴△0<，∴方程没有实数根，故选A ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．3．下列四个几何体中，主视图与左视图相同的几何体有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】解：①正方体的主视图与左视图都是正方形；②球的主视图与左视图都是圆；③圆锥主视图与左视图都是三角形；④圆柱的主视图和左视图都是长方形；故选D．4．如图，正六边形ABCDEF内接于O，M为EF的中点，连接DM，若O的半径为2，则MD的长度为()A7B5C．2 D．1【答案】A【解析】连接OM、OD、OF，由正六边形的性质和已知条件得出OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，由三角函数求出OM，再由勾股定理求出MD即可．【详解】连接OM、OD、OF，∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，M为EF的中点，∴OM⊥OD，OM⊥EF，∠MFO=60°，∴∠MOD=∠OMF=90°，∴OM=OF•sin∠MFO=2×33，2∴()2222+=+=327OM OD故选A．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM 是解决问题的关键．5．如果关于x 的一元二次方程k 2x 2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k>－14 B ．k>－14且0k ≠ C ．k<－14 D ．k ≥－14且0k ≠ 【答案】B【解析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有两个实数根下必须满足△=b 2-4ac≥1．【详解】由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，所以△＞1，△=b 2-4ac=（2k+1）2-4k 2=4k+1＞1． 因此可求得k ＞14-且k≠1． 故选B ．【点睛】本题考查根据根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键.6．不透明的袋子中装有形状、大小、质地完全相同的6个球，其中4个黑球、2个白球，从袋子中一次摸出3个球，下列事件是不可能事件的是（ ）A ．摸出的是3个白球B ．摸出的是3个黑球C ．摸出的是2个白球、1个黑球D ．摸出的是2个黑球、1个白球 【答案】A【解析】由题意可知，不透明的袋子中总共有2个白球，从袋子中一次摸出3个球都是白球是不可能事件，故选B.7．如图，数轴上的,,A B C 三点所表示的数分别为a b c 、、，其中AB BC =，如果||||||a c b >>那么该数轴的原点O 的位置应该在（ ）A ．点A 的左边B ．点A 与点B 之间C ．点B 与点C 之间D ．点C 的右边 【答案】C【解析】根据绝对值是数轴上表示数的点到原点的距离，分别判断出点A 、B 、C 到原点的距离的大小，从而得到原点的位置，即可得解．【详解】∵|a|＞|c|＞|b|，∴点A 到原点的距离最大，点C 其次，点B 最小，又∵AB=BC ，∴原点O 的位置是在点B 、C 之间且靠近点B 的地方．故选：C ．【点睛】此题考查了实数与数轴，理解绝对值的定义是解题的关键．8．关于x 的不等式x-b>0恰有两个负整数解，则b 的取值范围是A ．32b -≤<-B ．32b -<≤-C ．32b -≤≤-D ．-3<b<-2【答案】A【解析】根据题意可得不等式恰好有两个负整数解，即-1和-2，再结合不等式计算即可.【详解】根据x 的不等式x-b>0恰有两个负整数解，可得x 的负整数解为-1和-2 0x b ->x b ∴>综合上述可得32b -≤<-故选A.【点睛】本题主要考查不等式的非整数解，关键在于非整数解的确定.9．如图，在△ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝3cm ，BC ＝6cm ，动点P 从点A 开始沿AB 向点B 以1cm/s 的速度移动，动点Q 从点B 开始沿BC 向点C 以2cm/s 的速度移动，若P ，Q 两点分别从A ，B 两点同时出发，P 点到达B 点运动停止，则△PBQ 的面积S 随出发时间t 的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据题意表示出△PBQ 的面积S 与t 的关系式，进而得出答案．【详解】由题意可得：PB ＝3﹣t ，BQ ＝2t ，则△PBQ的面积S＝12PB•BQ＝12（3﹣t）×2t＝﹣t2+3t，故△PBQ的面积S随出发时间t的函数关系图象大致是二次函数图象，开口向下．故选C．【点睛】此题主要考查了动点问题的函数图象，正确得出函数关系式是解题关键．10．某公司第4月份投入1000万元科研经费,计划6月份投入科研经费比4月多500万元.设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x,则所列方程正确的为( )A．1000(1+x)2=1000+500B．1000(1+x)2=500C．500(1+x)2=1000D．1000(1+2x)=1000+500【答案】A【解析】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x，5月份投放科研经费为1000（1+x），6月份投放科研经费为1000（1+x）（1+x），即可得答案.【详解】设该公司第5、6个月投放科研经费的月平均增长率为x，则6月份投放科研经费1000（1+x）2=1000+500，故选A.【点睛】考查一元二次方程的应用，求平均变化率的方法为：若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．二、填空题（本题包括8个小题）11．在一次摸球实验中，摸球箱内放有白色、黄色乒乓球共50个，这两种乒乓球的大小、材质都相同．小明发现，摸到白色乒乓球的频率稳定在60%左右，则箱内黄色乒乓球的个数很可能是________．【答案】20【解析】先设出白球的个数，根据白球的频率求出白球的个数，再用总的个数减去白球的个数即可．【详解】设黄球的个数为x个，∵共有黄色、白色的乒乓球50个，黄球的频率稳定在60%，∴x50＝60%，解得x＝30，∴布袋中白色球的个数很可能是50－30＝20(个).故答案为：20.【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握该知识点是本题解题的关键.12．一个正多边形的每个内角等于150，则它的边数是____．【答案】十二【解析】首先根据内角度数计算出外角度数，再用外角和360°除以外角度数即可．【详解】∵一个正多边形的每个内角为150°，∴它的外角为30°，360°÷30°＝12，故答案为十二．【点睛】此题主要考查了多边形的内角与外角，关键是掌握内角与外角互为邻补角．13．将三角形纸片（ABC ∆）按如图所示的方式折叠，使点B 落在边AC 上，记为点'B ，折痕为EF ，已知3AB AC ==，4BC =，若以点'B ，F ，C 为顶点的三角形与ABC ∆相似，则BF 的长度是______.【答案】127或2 【解析】由折叠性质可知B’F=BF ，△B’FC 与△ABC 相似，有两种情况，分别对两种情况进行讨论，设出B’F=BF=x ，列出比例式方程解方程即可得到结果.【详解】由折叠性质可知B’F=BF ，设B’F=BF=x ，故CF=4-x当△B’FC ∽△ABC ，有'B F CF AB BC =，得到方程434x x -=，解得x=127，故BF=127； 当△FB’C ∽△ABC ，有'B F FC AB AC =，得到方程433x x -=，解得x=2，故BF=2； 综上BF 的长度可以为127或2. 【点睛】本题主要考查相似三角形性质，解题关键在于能够对两个相似三角形进行分类讨论.14．如图，正方形ABCD 和正方形OEFG 中, 点A 和点F 的坐标分别为 （3,2)，（－1,－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是_________．【答案】（1，0）；（﹣5，﹣2）.【解析】本题主要考查位似变换中对应点的坐标的变化规律．因而本题应分两种情况讨论，一种是当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点；另一种是A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点．【详解】∵正方形ABCD 和正方形OEFG 中A 和点F 的坐标分别为（3，2），（-1，-1），∴E （-1，0）、G （0，-1）、D （5，2）、B （3，0）、C （5，0），（1）当E 和C 是对应顶点，G 和A 是对应顶点时，位似中心就是EC 与AG 的交点，设AG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），∴231k b b =+⎧⎨-=⎩，解得11b k =-⎧⎨=⎩． ∴此函数的解析式为y=x-1，与EC 的交点坐标是（1，0）；（2）当A 和E 是对应顶点，C 和G 是对应顶点时，位似中心就是AE 与CG 的交点，设AE 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），320k b k b +=⎧⎨-+=⎩，解得1212k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 故此一次函数的解析式为1122y x =+…①， 同理，设CG 所在直线的解析式为y=kx+b （k≠0），501k b b +=⎧⎨=-⎩，解得151k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， 故此直线的解析式为115y x =-…② 联立①②得1122115y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得52x y =-⎧⎨=-⎩，故AE 与CG 的交点坐标是（-5，-2）．故答案为：（1，0）、（-5，-2）．15．观察下列图形：它们是按一定的规律排列的，依照此规律，第n 个图形共有___个★.【答案】13n +【解析】分别求出第1个、第2个、第3个、第4个图形中★的个数，得到第5个图形中★的个数，进而找到规律，得出第n 个图形中★的个数，即可求解．【详解】第1个图形中有1+3×1=4个★，第2个图形中有1+3×2=7个★，第3个图形中有1+3×3=10个★，第4个图形中有1+3×4=13个★，第5个图形中有1+3×5=16个★，…第n 个图形中有1+3×n=（3n+1）个★．故答案是：1+3n.【点睛】考查了规律型：图形的变化类；根据图形中变化的量和n 的关系与不变的量得到图形中★的个数与n 的关系是解决本题的关键．16．如图，正△ABC 的边长为 2，顶点 B 、C 在半径为2 的圆上，顶点 A 在圆内，将正△ABC 绕点 B 逆时针旋转，当点 A 第一次落在圆上时，则点 C 运动的路线长为 （结果保留π）；若 A 点落在圆上记做第 1 次旋转，将△ABC 绕点 A 逆时针旋转，当点 C 第一次落在圆上记做第 2 次旋转，再绕 C 将△ABC 逆时针旋转，当点 B 第一次落在圆上，记做第 3 次旋转……，若此旋转下去，当△ABC 完成第 2017 次旋转时，BC 边共回到原来位置 次．【答案】3π，1. 【解析】首先连接OA′、OB 、OC ，再求出∠C′BC 的大小，进而利用弧长公式问题即可解决．因为△ABC 是三边在正方形CBA′C″上，BC 边每12次回到原来位置，2017÷12=1.08，推出当△ABC 完成第2017次旋转时，BC 边共回到原来位置1次.【详解】如图，连接OA′、OB 、OC ．∵OB=OC=2，BC=2，∴△OBC 是等腰直角三角形，∴∠OBC=45°；同理可证：∠OBA′=45°，∴∠A′BC=90°；∵∠ABC=60°，∴∠A′BA=90°-60°=30°，∴∠C′BC=∠A′BA=30°，∴当点A 第一次落在圆上时，则点C 运动的路线长为：30?21803ππ=． ∵△ABC 是三边在正方形CBA′C″上，BC 边每12次回到原来位置，2017÷12=1.08，∴当△ABC 完成第2017次旋转时，BC 边共回到原来位置1次，故答案为：3π，1． 【点睛】本题考查轨迹、等边三角形的性质、旋转变换、规律问题等知识，解题的关键是循环利用数形结合的思想解决问题，循环从特殊到一般的探究方法，所以中考填空题中的压轴题．17．如图，在▱ABCD 中，AD=2，AB=4，∠A=30°，以点A 为圆心，AD 的长为半径画弧交AB 于点E ，连接CE ，则阴影部分的面积是 ▲ （结果保留π）．【答案】133π-【解析】过D 点作DF ⊥AB 于点F ．∵AD=1，AB=4，∠A=30°，∴DF=AD•sin30°=1，EB=AB ﹣AE=1．∴阴影部分的面积=平行四边形ABCD 的面积－扇形ADE 面积－三角形CBE 的面积 =2302114121336023ππ⨯⨯⨯--⨯⨯=-. 故答案为：133π-.18．已知圆锥的底面半径为40cm ， 母线长为90cm ， 则它的侧面展开图的圆心角为_______．【答案】160︒．【解析】圆锥的底面半径为40cm ，则底面圆的周长是80πcm ，圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长，即侧面展开图的扇形弧长是80πcm ，母线长为90cm 即侧面展开图的扇形的半径长是90cm ．根据弧长公式即可计算．【详解】根据弧长的公式l=180n r π得到： 80π=•90180n π， 解得n=160度．侧面展开图的圆心角为160度． 故答案为160°．三、解答题（本题包括8个小题）19．某超市对今年“元旦”期间销售A 、B 、C 三种品牌的绿色鸡蛋情况进行了统计，并绘制如图所示的扇形统计图和条形统计图．根据图中信息解答下列问题：该超市“元旦”期间共销售 个绿色鸡蛋，A品牌绿色鸡蛋在扇形统计图中所对应的扇形圆心角是 度；补全条形统计图；如果该超市的另一分店在“元旦”期间共销售这三种品牌的绿色鸡蛋1500个，请你估计这个分店销售的B 种品牌的绿色鸡蛋的个数？【答案】（1）2400，60；（2）见解析；（3）500【解析】整体分析：（1）由C 品牌1200个占总数的50%可得鸡蛋的数量，用A 品牌占总数的百分比乘以360°即可；（2）计算出B 品牌的数量；（3）用B 品牌与总数的比乘以1500.解：（1）共销售绿色鸡蛋：1200÷50%=2400个，A 品牌所占的圆心角：4002400×360°=60°；故答案为2400，60；（2）B品牌鸡蛋的数量为：2400﹣400﹣1200=800个，补全统计图如图：（3）分店销售的B种品牌的绿色鸡蛋为：8002400×1500=500个．20．计算：（﹣1）2018+（﹣12）﹣2﹣|2﹣12|+4sin60°；【答案】1.【解析】分析：本题涉及乘方、负指数幂、二次根式化简、绝对值和特殊角的三角函数5个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．详解：原式=1+4-（23-2）+4×32，=1+4-23+2+23，=1．点睛：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．21．如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°画出旋转之后的△AB′C′；求线段AC旋转过程中扫过的扇形的面积．【答案】.（1）见解析（2）【解析】（1）根据网格结构找出点B、C旋转后的对应点B′、C′的位置，然后顺次连接即可.（2）先求出AC的长，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解.【详解】解：（1）△AB′C′如图所示：（2）由图可知，AC=2，∴线段AC 旋转过程中扫过的扇形的面积2902360ππ⋅⋅==. 22．先化简2211a a a a⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭，然后从22a -≤<中选出一个合适的整数作为a 的值代入求值． 【答案】-1【解析】先化简，再选出一个合适的整数代入即可，要注意a 的取值范围.【详解】解：2211a a a a⎛⎫-÷ ⎪--⎝⎭ (1)(1)12a a a a a ---=•- 1(1)12a a a a a -+-=•- 2a =， 当2a =-时，原式212-==-． 【点睛】 本题考查的是代数式的求值，熟练掌握代数式的化简是解题的关键.23．据某省商务厅最新消息，2018年第一季度该省企业对“一带一路”沿线国家的投资额为10亿美元，第三季度的投资额增加到了14.4亿美元．求该省第二、三季度投资额的平均增长率．【答案】第二、三季度的平均增长率为20%．【解析】设增长率为x ，则第二季度的投资额为10（1+x ）万元，第三季度的投资额为10（1+x ）2万元，由第三季度投资额为10（1+x ）2＝14.4万元建立方程求出其解即可．【详解】设该省第二、三季度投资额的平均增长率为x ，由题意，得：10（1+x ）2＝14.4，解得：x 1＝0.2＝20%，x 2＝﹣2.2（舍去）．答：第二、三季度的平均增长率为20%．【点睛】本题考查了增长率问题的数量关系的运用，一元二次方程的解法的运用，解答时根据第三季度投资额为10（1+x ）2＝14.4建立方程是关键．24．如图所示，△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB ＝∠ECD ＝90°，D 为AB 边上一点．求证：△ACE ≌△BCD ；若AD ＝5，BD ＝12，求DE 的长．【答案】（1）证明见解析（2）13【解析】（1）先根据同角的余角相等得到∠ACE=∠BCD，再结合等腰直角三角形的性质即可证得结论；（2）根据全等三角形的性质可得AE=BD，∠EAC=∠B=45°，即可证得△AED是直角三角形，再利用勾股定理即可求出DE的长．【详解】（1）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴AC=BC，EC=DC，∠ACB=∠ECD=90°∵∠ACE=∠DCE-∠DCA，∠BCD=∠ACB-∠DCA∴∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD（SAS）；（2）∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形∴∠BAC=∠B=45°∵△ACE≌△BCD∴AE=BD=12，∠EAC=∠B=45°∴∠EAD=∠EAC+∠BAC=90°，∴△EAD是直角三角形222212513DE AE AD∴=+=+=【点睛】解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等.25．已知关于的方程mx2+（2m-1）x+m-1=0（m≠0）. 求证：方程总有两个不相等的实数根；若方程的两个实数根都是整数，求整数的值.【答案】（1）证明见解析（2）m=1或m=-1【解析】试题分析：（1）由于m≠0，则计算判别式的值得到1=，从而可判断方程总有两个不相等的实数根；（2）先利用求根公式得到1211,1x xm=-=-，然后利用有理数的整除性确定整数m的值．试题解析：(1)证明：∵m≠0，∴方程为一元二次方程，2(21)4(1)10m m m=---=>，∴此方程总有两个不相等的实数根；(2)∵(21)12mxm--±=，1211,1x xm∴=-=-，∵方程的两个实数根都是整数，且m是整数，∴m=1或m=−1.26．已知：如图，一次函数y kx b =+与反比例函数3y x=的图象有两个交点(1,)A m 和B ，过点A 作AD x ⊥轴，垂足为点D ；过点B 作BC y ⊥轴，垂足为点C ，且2BC =，连接CD .求m ，k ，b 的值；求四边形ABCD 的面积.【答案】（1）3m =，32k ，32b =.（2）6 【解析】（1）用代入法可求解，用待定系数法求解；（2）延长AD ，BC 交于点E ，则90E ∠=︒.根据ABE CDE ABCD S S S ∆∆=-四边形求解.【详解】解：（1）∵点(1,)A m 在3y x=上， ∴3m =，∵点B 在3y x =上，且2BC =， ∴3(2,)2B --.∵y kx b =+过A ，B 两点， ∴3322k b k b +=⎧⎪⎨-+=-⎪⎩， 解得3232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴3m =，32k ，32b =. （2）如图，延长AD ，BC 交于点E ，则90E ∠=︒.∵BC y ⊥轴，AD x ⊥轴，∴(1,0)D ，3(0,)2C -，∴92AE =，3BE =， ∴ABE CDE ABCD S S S ∆∆=-四边形1122AE BE CE DE =⋅⋅-⋅⋅191331=⨯⨯-⨯⨯2222=.6∴四边形ABCD的面积为6.【点睛】考核知识点：反比例函数和一次函数的综合运用.数形结合分析问题是关键.中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．在刚刚结束的中考英语听力、口语测试中，某班口语成绩情况如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．中位数是9B ．众数为16C ．平均分为7.78D ．方差为2【答案】A 【解析】根据中位数，众数，平均数，方差等知识即可判断；【详解】观察图象可知，共有50个学生，从低到高排列后，中位数是25位与26位的平均数，即为1． 故选A ．【点睛】本题考查中位数，众数，平均数，方差的定义，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．已知，两数在数轴上对应的点如图所示，下列结论正确的是（ ）A ．a b 0+>B ．ab<0C ．a>bD ．b a 0->【答案】C【解析】根据各点在数轴上位置即可得出结论．【详解】由图可知，b<a<0，A. ∵b<a<0，∴a+b<0，故本选项错误；B. ∵b<a<0，∴ab>0，故本选项错误；C. ∵b<a<0，∴a>b ，故本选项正确；D. ∵b<a<0，∴b−a<0，故本选项错误.故选C.3．从边长为a 的大正方形纸板中挖去一个边长为b 的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙）。
2019年上海市初中数学毕业统一学业考试模拟试题(含答案解析)
2019年上海市初中数学毕业统一学业考试模拟试题 考生注意：1.本试卷共25题.2.试卷满分150分，考试时间100分钟.3.答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效.4.除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）1. 下列数中是无理数的是……………………………………………………………………（▲）A. 3.1415B. 81C. cos 30°D. 827 2. 如果将一个二次函数图像沿着坐标轴向左平移3个单位，向下平移4个单位后得到的是 y = 2（x - 6）2 + 4，则原函数解析式是……………………………………………………（▲）A. y =（x - 9）2 + 8B. y = 2（x - 6）2C. y = 2（x - 3）2 + 8D. y = 2（x - 9）2 + 83. 某商店9月份的销售额为a 万元，在10月份与11月份这两个月份中，此商店的销售额平均每月增长x %，那么下列11月份此商店的销售额正确的是…………………………（▲）A. a （1 + x %）B. （1 + x %）2C. a （x %）2D. a （1 + x %）24. 在一组数据中的每项数据后加10，则该组数据的哪个数值不会发生变化………… （▲）A . 标准差 B. 平均数 C. 中位数 D. 众数5. 如图，已知Rt △ABC ，AC =8，AB =4，以点B 为圆心作圆，当⊙B 与线段AC 只有一个交点时，则⊙B 的半径的取值范围是…………………………………………………………（▲）A. r B =32B. 4 < r B ≤34C. r B =32 或4 < r B ≤34D. r B 为任意实数 第5题图6. 如果二元一次方程x 2 - mx + 2 = 0的解为两个不相等的负实数根，则m 的取值范围是（▲）A. m > 22B. m < 22-C. m > 22或 m < 22-D. 无解二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7. 计算：38--= ▲ .8. 分解因式：a 2 - 2a - 3 = ▲ .9. 方程组⎩⎨⎧=+-=+096322y xy x y x 的解是 ▲ . 10. 已知一次函数y = kx + b 图像不经过第二象限，那么b 的取值范围是 ▲ .11. 与b a +互为有理化因式的是 ▲ .12. 将两枚骰子同时抛出，得到的两个点中，一个能被另一个整除的概率为 ▲ .13. 如图，已知⊙A 、⊙B 、⊙C 两两相切，连接圆心构成△ABC ，如果AC =3，BC =5，AB =6，那么⊙C 的半径长为 ▲ .14. 近期，某区与某技术支持单位合作，组织策划了该区“低碳先锋行动”，开展低碳测量和排行活动．根据调查数据制作了频数分布直方图和扇形统计图，图（1）中从左到右各矩形的高度之比为2 : 8 : 9 : 7 : 3 : 1，那么在下图（2）中碳排放值5≤x ＜7（千克/平方米·月）部分的圆心角为 ▲ 度.第13题图 第14题图15. 如图，在△ABC 中，点D 在边AB 上，且BD = 2AD ，点E 是边AC 的中点，设=，=，那么= ▲ .（用与来表示）16. 在△ABC 中，AB = AC = 5，tanB =34. 若⊙O 的半径为10，且⊙O 经过点B 与C ，那么线段OA 的长等于 ▲ .17. 对于平面直角坐标系xOy 中的点P 和图形G ，给出如下定义：在图形G 上若存在两点M ，N ，使△PMN 为正三角形，则称图形G 为点P 的T 型线，点P 为图形G 的T 型点，△PMN 为图形G 关于点P 的T 型三角形．如图，已知点A （0，-3），B （3,0），以原点O 为圆心的⊙O 的半径为1. 在A ，B 两点中，⊙O 的T 型点是 ▲ .18. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =2．作△ABC 的高CD ，作△CDB 的高DC 1，作△DC 1B 的高C 1D 1，……，如此下去，那么得到的所有阴影三角形的面积之和为 ▲ .第15题图 第17题图 第18题图三、解答题（共7题，满分78分）19. 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+->-225312x x x 的正整数解.20. 先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷-+-x x x x x 21121222，其中x =22-.21. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 在边AB 上，以点A 为圆心，线段AD 的长为半径的⊙A 与边AC 相交于点E ，AF ⊥DE ，垂足为点F ，AF 的延长线与边BC 相交于点G ，联结GE ．已知DE =10，cos ∠BAG ＝1312，21=DB AD ． 求 ：（1）⊙A 的半径AD 的长；（2）∠EGC 的余切值．22. 周末，小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地，游玩一段时间后按原速前往乙地，小明离家1小时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地，如图是他们离家的路程y (km )与小明离家时间x (h )的函数图象，已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．(1)求小明骑车的速度为 ▲ km /h .在甲地游玩的时间为▲ h .；(2)小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？(3)若妈妈比小明早10分钟到达乙地，求从家到乙地的路程．第22题图第21题图23.如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．求证：（1）四边形ABDF是菱形；（2）AC=2DG．第23题图24. 如果两个二次函数的图象关于y 轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y 轴对称二次函数”，如图所示二次函数y 1 = x 2 + 2x + 2与y 2 = x 2 - 2x + 2是“关于y 轴对称二次函数”．（1）二次函数y = 2（x + 2）2 + 1的“关于y 轴对称二次函数”解析式为 ▲ ；二次函数y = a （x - h ）2 + k 的“关于y 轴对称二次函数”解析式为 ▲ ；（2）如备用图，平面直角坐标系中，记“关于y 轴对称二次函数”的图象与y 轴的交点为A ，它们的两个顶点分别为B ，C ，且BC =6，顺次连接点A ，B ，O ，C 得到一个面积为24的菱形，求“关于y 轴对称二次函数”的函数表达式．（3）在第（2）题的情况下，如果M 是两个抛物线上的一点，以点A ，O ，C ，M 为顶点能否构成梯形. 若能，求出此时M 坐标；若不能，说明理由.第24题图 备用图25. 在Rt △ABC 中，∠BAC =90°，BC =10，tan ∠ABC =43，点O 是AB 边上动点，以O 为圆心，OB 为半径的⊙O 与边BC 的另一交点为D ，过点D 作AB 的垂线，交⊙O 于点E ，联结BE 、AE（1）如图（1），当AE ∥BC 时，求⊙O 的半径长；（2）设BO =x ，AE =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域；（3）若以A 为圆心的⊙A 与⊙O 有公共点D 、E ，当⊙A 恰好也过点C 时，求DE 的长．图（1）备用图备用图第25题图2019年上海市初中数学毕业统一学业考试模拟试题参考答案一、选择题：（每题4分）1. C解析：cos 30°=23，是无理数 2. C解析：二次函数平移左加右减，上加下减，即把y = 2（x - 6）2 + 4向右平移3个单位，向上平移个单位3. D解析：考察平均增长率公式4. A解析：在一组数据中的每项数据后加或减去一个常数，方差和标准差不会改变5. C解析：⊙B 与线段AC 只有一个交点，即⊙B 与AC 相切或AB ＜r B ＜BC6. B解析：若方程有两个不相等实数解，则m 2 - 8 ＞ 0，通过数形结合可知m > 22或 m <22- 。
2019年上海市普陀区中考数学一模考试卷含逐题详解
2019年上海市普陀区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜12．（4分）下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2B．y＝3x2+1C．y＝3（x+1）2D．y＝3x2﹣x3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝4．（4分）已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．＝0D．与方向相反5．（4分）已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．86．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①＝；②＝；③＝；④＝，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果＝，那么的值是．8．（4分）化简：3（）﹣2（）＝．9．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于．10．（4分）将抛物线y＝（x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是．11．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于．12．（4分）已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于．13．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．14．（4分）正八边形的中心角为度．15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝，BC＝5，那么DC的长等于．16．（4分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于．17．（4分）已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1y2（填“＜”、“＝”或“＞”）18．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cos B＝，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．（1）求EC：BC的值；（2）设＝，＝，那么＝，＝（用向量、表示）21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．2019年上海市普陀区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上]1．（4分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+3的图象有最高点，那么a的取值范围是（）A．a＞0B．a＜0C．a＞1D．a＜1【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：a﹣1＜0，∴a＜1，故选：D．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．2．（4分）下列二次函数中，如果图象能与y轴交于点A（0，1），那么这个函数是（）A．y＝3x2B．y＝3x2+1C．y＝3（x+1）2D．y＝3x2﹣x【分析】根据y轴上点的坐标特征，分别计算出x＝0时四个函数对应的函数值，然后根据函数值是否为1来判断图象能否与y轴交于点A（0，1）．【解答】解：当x＝0时，y＝3x2＝0；当x＝0时，y＝3x2+1＝1；当x＝0时，y＝3（x+1）2＝9；当x＝0时，y ＝3x2﹣x＝0，所以抛物线y＝3x2+1与y轴交于点（0，1）．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．3．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，如果添加下列其中之一的条件，不一定能使△ADE与△ABC相似，那么这个条件是（）A．∠AED＝∠B B．∠ADE＝∠C C．＝D．＝【分析】由已知及三角形相似的判定方法，对每个选项分别分析、判断解答出即可．【解答】解：由题意得，∠A＝∠A，A、当∠ADE＝∠B时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；B、当∠ADE＝∠C时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；C、当＝时，△ADE∽△ABC；故本选项不符合题意；D、当＝时，不能推断△ADE与△ABC相似；故选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了直角三角形相似的判定：①有两个对应角相等的三角形相；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．4．（4分）已知、、都是非零向量，如果＝2，＝﹣2，那么下列说法中，错误的是（）A．∥B．||＝||C．＝0D．与方向相反【分析】根据平面相等向量的定义、共线向量的定义以及向量的模的计算方法解答．【解答】解：A、因为＝2，＝﹣2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；B、因为＝2，＝﹣2，所以||＝||＝|2|，故选项说法正确；C、因为＝2，＝﹣2，所以∥，则•＝0，故本选项说法错误；D、因为＝2，＝﹣2，所以∥，且与方向相反，故本选项说法正确；故选：C．【点评】考查了向量，向量是既有方向又有大小的．5．（4分）已知⊙O1和⊙O2，其中⊙O1为大圆，半径为3．如果两圆内切时圆心距等于2，那么两圆外切时圆心距等于（）A．1B．4C．5D．8【分析】根据两圆位置关系是内切，则圆心距＝两圆半径之差，以及外切时，r+R＝d，分别求出即可．【解答】解：∵两圆相内切，设小圆半径为x，圆心距为2，∴3﹣x＝2，∴x＝1，∴小圆半径为1，这两圆外切时，圆心距为：1+3＝4．故选：B．【点评】此题主要考查了两圆的位置关系，用到的知识点为：两圆内切，圆心距＝两圆半径之差，外切时，r+R ＝d．6．（4分）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，且DE经过重心G，在下列四个说法中①＝；②＝；③＝；④＝，正确的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】连接AG并延长，交BC于F，依据DE∥BC，且DE经过重心G，即可得到△ADE∽△ABC，且相似比为2：3，依据相似三角形的性质，即可得到正确结论．【解答】解：如图所示，连接AG并延长，交BC于F，∵DE∥BC，且DE经过重心G，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，故①正确；∴＝，故③正确；∵DG∥BF，∴＝＝，故②错误；∵△ADE∽△ABC，＝，∴＝，∴＝，故④正确；故选：C．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质以及三角形重心的性质的运用，解决问题的关键是知道相似三角形的对应边对应成比例．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．（4分）如果＝，那么的值是．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵＝，∴设x＝7a，则y＝2a，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8．（4分）化简：3（）﹣2（）＝．【分析】平面向量的运算法则也符合实数的运算法则．【解答】解：3（）﹣2（）＝3+﹣2+2＝（3﹣2）+（+2）＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量，解题的关键是掌握平面向量的计算法则．9．（4分）如果抛物线y＝2x2+x+m﹣1经过原点，那么m的值等于1．【分析】把原点坐标代入抛物线解析式即可得到对应m的值．【解答】解：把（0，0）代入y＝2x2+x+m﹣1得m﹣1＝0，解得m＝1，故答案为1．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．10．（4分）将抛物线y＝（x+3）2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，那么平移后所得新抛物线的表达式是（x+1）2﹣1．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝（x+3）2﹣4向右平移2个单位所得直线解析式为：y＝（x+3﹣2）2﹣4＝（x+1）2﹣4；再向上平移3个单位为：y＝（x+1）2﹣4+3，即y＝（x+1）2﹣1．故答案是：y＝（x+1）2﹣1．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．11．（4分）已知抛物线y＝2x2+bx﹣1的对称轴是直线x＝1，那么b的值等于﹣4．【分析】由对称轴公式可得到关于b的方程，可求得答案．【解答】解：∵y＝2x2+bx﹣1，∴抛物线对称轴为x＝﹣＝﹣，∴﹣＝1，解得b＝﹣4，故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式是解题的关键，即y＝ax2+bx+c的对称轴为x＝﹣．12．（4分）已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于24．【分析】由于△A′B′C′∽△ABC，因此它们各对应边的比都相等，可据此求出△A′B′C′的最大边的长．【解答】解：设△A′B′C′的最大边长是x，根据相似三角形的对应边的比相等，可得：＝，解得：x＝24，∴△A′B′C′最大边的长等于24．故答案为：24．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例．13．（4分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，那么∠A的正弦值是．【分析】我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．代入数据直接计算得出答案．【解答】解：∵∠ACB＝90°，AB＝3，BC＝1，∴∠A的正弦值sin A＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．14．（4分）正八边形的中心角为45度．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．【解答】解：正八边形的中心角等于360°÷8＝45°；故答案为45．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．15．（4分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，tan∠ABD＝，BC＝5，那么DC的长等于2．【分析】根据垂直的定义得到∠ABD＝∠C，根据正切的定义得到BD＝CD，根据勾股定理计算即可．【解答】解：∵AB⊥BC，∴∠ABD+∠DBC＝90°，∵BD⊥DC，∴∠C+∠DBC＝90°，∴∠ABD＝∠C，∴tan C＝＝，∴BD＝CD，由勾股定理得，BD2+CD2＝BC2，即（CD）2+CD2＝52，解得，CD＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是梯形的性质，正切的定义，勾股定理，掌握梯形的性质，正切的定义是解题的关键．16．（4分）如图，AB∥CD，AD、BC相交于点E，过E作EF∥CD交BD于点F，如果AB：CD＝2：3，EF＝6，那么CD的长等于15．【分析】由△ABE∽△DCE，推出＝＝，可得＝，再证明△BEF∽△BCD，可得＝＝，由此即可解决问题．【解答】解：∵AB∥CD，∴△ABE∽△DCE，∴＝＝，∴＝，∵EF∥CD，∴△BEF∽△BCD，∴＝＝，∵EF＝6，∴CD＝15，故答案为15．【点评】本题考查平行线的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．17．（4分）已知二次函数y＝ax2+c（a＞0）的图象上有纵坐标分别为y1、y2的两点A、B，如果点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，那么y1＜y2（填“＜”、“＝”或“＞”）【分析】由于二次函数y＝2（x﹣1）2+k的图象的开口向上，然后根据点A和点B离对称轴的远近可判断y1与y2的大小关系．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+c（a＞0），∴抛物线开口向上，∵点A、B到对称轴的距离分别等于2、3，∴y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足解析式y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）．18．（4分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，cos B＝，点D在边BC上，将△ABD沿直线AD翻折得到△AED，点B的对应点为点E，AE与边BC相交于点F，如果BD＝2，那么EF＝．【分析】过A作AH⊥BC于H，依据等腰三角形的性质即可得到BH＝6＝CH，由折叠可得，BD＝DE＝2，∠E ＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，依据△AFC∽△DFE，即可得到＝＝＝，设EF＝x，则CF＝4x，AF ＝8﹣x，DF＝AF＝2﹣x，依据BD+DF+CF＝BC，可得x的值，进而得出EF的长．【解答】解：如图所示，过A作AH⊥BC于H，∵AB＝AC＝8，cos B＝，∴BH＝6＝CH，BC＝12，由折叠可得，BD＝DE＝2，∠E＝∠ABC＝∠C，AB＝AE＝6，又∵∠AFC＝∠DFE，∴△AFC∽△DFE，∴＝＝＝，设EF＝x，则CF＝4x，AF＝8﹣x，∴DF＝AF＝2﹣x，∵BD+DF+CF＝BC，∴2+2﹣x+4x＝12，解得x＝，∴EF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质的运用，解决问题的关键是利用相似三角形的对应边成比例，列方程求解．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：4sin45°+cos230°﹣．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：原式＝4×+（）2﹣＝2+﹣2（+）＝．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在边BC上，AE与BD相交于点G，AG：GE＝3：1．（1）求EC：BC的值；（2）设＝，＝，那么＝+，＝﹣﹣（用向量、表示）【分析】（1）根据平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理即可解决问题；（2）利用三角形法则计算即可；【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴＝＝3，∴＝3，∴EC：BC＝2：3．（2）∵＝，AC＝2AO，∴＝2，∵＝+＝+2，EC＝BC，∴＝+，∵AD∥BE，∴＝＝，∴BG＝BD，∵＝+＝+＝++2＝2+2，∴＝（2+2）＝+，∴＝﹣﹣故答案为+，﹣﹣．【点评】本题考查平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，O2A的延长线交⊙O1于点D，点E为AD的中点，AE＝AC，联结OE．（1）求证：O1E＝O1C；（2）如果O1O2＝10，O1E＝6，求⊙O2的半径长．【分析】（1）连接O1A，根据垂径定理得到O1E⊥AD，根据相交两圆的性质得到O1C⊥AB，证明Rt△O1EA≌Rt△O1CA，根据全等三角形的性质证明结论；（2）设⊙O2的半径长为r，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．【解答】（1）证明：连接O1A，∵点E为AD的中点，∴O1E⊥AD，∵⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，O1O2与AB交于点C，∴O1C⊥AB，在Rt△O1EA和Rt△O1CA中，，∴Rt△O1EA≌Rt△O1CA（HL）∴O1E＝O1C；（2）解：设⊙O2的半径长为r，∵O1E＝O1C＝6，∴O2C＝10﹣6＝4，在Rt△O1EO2中，O2E＝＝8，则AC＝AE＝8﹣r，在Rt△ACO2中，O2A2＝AC2+O2C2，即r2＝（8﹣r）2+42，解得，r＝5，即⊙O2的半径长为5．【点评】本题考查的是相交两圆的性质，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理的应用，掌握相交两圆的连心线，垂直平分两圆的公共弦是解题的关键．22．（10分）如图，小山的一个横断面是梯形BCDE，EB∥DC，其中斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，小山上有一座铁塔AB，在山坡的坡顶E处测得铁塔顶端A的仰角为45°，在与山坡的坡底D相距5米的F处测得铁塔顶端A的仰角为31°（点F、D、C在一直线上），求铁塔AB的高度．（参考数值：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.6）【分析】延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，根据勾股定理得到EH＝5，DH ＝12根据三角函数的定义列方程即可得到结论．【解答】解：延长AB交DC于G，过E作EH⊥CD于H，则四边形EHGB是矩形，∵斜坡DE的坡长为13米，坡度i＝1：2.4，∴设EH＝5x，DH＝12x，∵EH2+DH2＝DE2，∴（5x）2+（12x）2＝132，∴x＝1，∴EH＝5，DH＝12，∵EB∥DC，∴∠ABE＝∠AGH＝90°，∵∠AEB＝45°，∴AB＝BE，∴HG＝AB，∴FG＝5+12+AB，AG＝AB+5，∵∠F＝31°，∴tan F＝tan31°＝＝＝0.6，∴AB＝13米，答：铁塔AB的高度是13米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，矩形的性质，掌握的作出辅助线是解题的关键．23．（12分）已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．【分析】（1）由AE2＝AF•AB，推出△AEF∽△ABE，推出∠AEF＝∠B，再证明∠DAE＝∠BAC，即可解决问题；（2）由△ADE∽△ACB，推出＝，∠D＝∠C，再证明△ADF∽△ACE，可得＝，由此即可解决问题；【解答】证明：（1）∵AE2＝AF•AB，∴＝，∵∠EAF＝∠BAE，∴△AEF∽△ABE，∴∠AEF＝∠B，∵∠DAF＝∠EAC，∴∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ACB．（2）∵△ADE∽△ACB，∴＝，∠D＝∠C，∵∠DAF＝∠EAC，∴△ADF∽△ACE，∴＝，∴＝，∴＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx﹣3（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，且OB＝3OA，与y轴交于点C，此抛物线顶点为点D．（1）求抛物线的表达式及点D的坐标；（2）如果点E是y轴上的一点（点E与点C不重合），当BE⊥DE时，求点E的坐标；（3）如果点F是抛物线上的一点．且∠FBD＝135°，求点F的坐标．【分析】（1）把点A、B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；（2）设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，利用∠LED＝∠OBE，即可求解；（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F．确定直线BH′的表达式，即可求解．【解答】解：（1）OB＝3OA＝3，则点B的坐标为（3，0），点A（﹣1，0），则函数的表达式为：y＝a（x+3）（x﹣1）＝a（x2+2x﹣3），则﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①函数对称轴为x＝﹣＝1，则点D的坐标为（1，﹣4）；（2）如图，过点D作DL⊥y轴，交于点L，设：OE＝m，则EL＝4﹣m，OB＝3，DL＝1，∵∠LED+∠OEB＝90°，∠OEB+∠OBE＝90°，∴∠LED＝∠OBE，∴tan∠LED＝tan∠OBE，即：＝，＝，解得：m＝1或3（舍去x＝3），则点E的坐标为（0，﹣1）；（3）延长BD交y轴于点H，将△BCH围绕点B，顺时针旋转135°至△BC′H′的位置，延长BH′交抛物线于点F，∵OB＝OC＝3，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，则∠FBD＝135°，BC′⊥x轴，则点C′（3，3），∠H′C′B＝∠HCB＝180°﹣45°＝135°，tan∠ABD＝＝＝2，OH＝OB•tan∠ABD＝2×3＝6，则：HC＝6﹣3＝3＝H′C′，过点C′作C′G⊥GH′交于点G，在△BGH′中，GC′＝H′C′cos45°＝＝GH′，则点H′的坐标为（3﹣，），将点H′、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：，解得：，则直线BH′的表达式为：y＝﹣3x+9…②，联立①②并解得：x＝3或﹣4（x＝3舍去），故点F的坐标为（﹣4，21）．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、图形旋转等知识，其中（3）用图形旋转的方法，确定旋转后图形的位置时本题的难点．25．（14分）如图，点O在线段AB上，AO＝2OB＝2a，∠BOP＝60°，点C是射线OP上的一个动点．（1）如图①，当∠ACB＝90°，OC＝2，求a的值；（2）如图②，当AC＝AB时，求OC的长（用含a的代数式表示）；（3）在第（2）题的条件下，过点A作AQ∥BC，并使∠QOC＝∠B，求AQ：OQ的值．【分析】（1）如图①中，作CH⊥AB于H．证明△ACH∽△CBH，可得＝，由此构建方程即可解决问题．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝，CH＝x．在Rt△ACH中，根据AC2＝AH2+CH2，构建方程即可解决问题．（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．利用相似三角形的性质证明＝，即可解决问题．【解答】解：（1）如图①中，作CH⊥AB于H．∵CH⊥AB，∴∠AHC＝∠BHC＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠BCH＝90°，∵∠ACH+∠A＝90°，∴∠BCH＝∠A，∴△ACH∽△CBH，∴＝，∵OC＝2，∠COH＝60°，∴∠OCH＝30°，∴OH＝OC＝1，CH＝，∴＝，整理得：2a2﹣a﹣4＝0，解得a＝或（舍弃）．经检验a＝是分式方程的解．∴a＝．（2）如图②中，设OC＝x．作CH⊥AB于H，则OH＝，CH＝x．在Rt△ACH中，∵AC2＝AH2+CH2，∴（3a）2＝（x）2+（2a+x）2，整理得：x2+ax﹣5a2＝0，解得x＝（﹣1）a或（﹣﹣1）a（舍弃），∴OC＝（﹣1）a，（3）如图②﹣1中，延长QC交CB的延长线于K．∵∠AOC＝∠∠AOQ+∠QOC＝∠ABC+∠OCB，∠QOC＝∠ABC，∴∠AOQ＝∠KCO，∵AQ∥BK，∴∠Q＝∠K，∴△QOA∽△KCO，∴＝，∴＝，∵∠K＝∠K，∠KOB＝∠AOQ＝∠KCO，∴△KOB∽△KCO，∴＝，∴＝＝＝【点评】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。
2019年上海新知杯初中数学竞赛试题解析 共27页
一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）
考点：三角形边角关系；根与系数的关系． 分析：将原方程整理为一元二次方程的一般形式，设方程两根为x1，x2，再根据两根 平方和为10，列出等式并变形，将两根关系整体代入即可．
④， 把④代入③，得
⑤ 把⑤代入③，得
⑥
把⑤、⑥代入①，得
+
=b
∴
，
∴（a3+c2）（y12+ay22）=b（y12+ay22）2
∴y12+ay22=
．
故答案为： 本题是一道代数式的转化问题，考查了对称式和轮换对称式在代数式求值过程中的运用．
一、填空题（第1--5小题，每题8分，第6--10小题，每题10分，共90分）
解：如图，连接 PQ， ∵P 为 BC 中点， ∴S△ ABP=S△ APC= ×S△ ABC= ×1= ， ∴同理由题可知△ BQC 面积为 ，△ ABQ 面积 ， ∴S△ BPQ= S△ BQC= ， ∵△ABQ 与△ BPQ 为共底三角形， ∵面积比等于高的比=4：1， 又∵△ABR 和△ BRP 分别与△ ABQ 和△ BPQ 同高，且共用底边 BR， ∴△ABR 和△ BRP 的面积比为 4：1 ∵S△ ABR+S△ BRP=S△ ABP， ∴S△ ABR= × = ， 故答案为： ．
解：原方程整理为（c﹣a）x2﹣ bx+（c+a）=0， 设 x1，x2 是方程的两个根，则 x12+x22=10，即（x1+x2）2﹣2x1x2=10， 把方程根公式代入，得
2019年上海市闵行区中考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市闵行区中考数学一模试卷一、选择题（每题4分，满分24分）1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin A＝D．cot A＝2．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．北偏东30°B．北偏西30°C．北偏东60°D．北偏西60°3．将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2x2﹣34．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么根据图象，下列判断中不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．c＞0D．abc＞05．已知：点C在线段AB上，且AC＝2BC，那么下列等式正确的是（）A．＝B．﹣2＝C．||＝||D．||＝||6．已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知：x：y＝2：5，那么（x+y）：y＝．8．化简：（）＝．9．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是．10．已知二次函数y＝﹣3，如果x＞0，那么函数值y随着自变量x的增大而（填“增大”或“减小”）．11．已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段AP＝厘米．（结果保留根号）12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC．如果＝，DE＝6，那么BC＝．13．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tan A＝，那么BC＝．15．某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为米．16．在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是（只需填写一个正确的答案）．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D、E分别在边AB上，且AD＝2，∠DCE＝45°，那么DE＝．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点．将△BCD 沿直线CD翻折，点B落在点E处，连接AE．如果AE∥CD，那么BE＝．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图象的顶点坐标和对称轴．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为边AB上一点，且BE＝2AE．设＝，＝．（1）填空：向量＝；（2）如果点F是线段OC的中点，那么向量＝，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本题结果用向量，的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交边AC于E．过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）如果＝，求线段EF的长；（2）求∠CFE的正弦值．22．（10分）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，≈1.4142．23．（12分）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠P AO＝∠BAO，求点P的坐标．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，cos∠ABC＝．E 为射线CD上任意一点，过点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE＝x，＝y．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果＝，求线段CE的长．参考答案一、选择1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，下列等式中不成立的是（）A．tan B＝B．cos B＝C．sin A＝D．cot A＝【分析】根据三角函数的定义进行判断，就可以解决问题．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，∴tan B＝，故A选项成立；cos B＝，故B选项成立；sin A＝，故C选项成立；cot A＝，故D选项不成立；故选：D．【点评】本题主要考查了锐角三角函数的定义，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．锐角A的邻边b与斜边c的比叫做∠A的余弦，记作cos A．锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．2．如果从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，那么从乙船看甲船，甲船在乙船的（）A．北偏东30°B．北偏西30°C．北偏东60°D．北偏西60°【分析】根据题意画出图形，进而分析得出从乙船看甲船的方向．【解答】解：∵从甲船看乙船，乙船在甲船的南偏东30°方向，∴从乙船看甲船，甲船在乙船的北偏西30°方向．故选：B．【点评】此题主要考查了方向角，根据题意画出图形是解题关键．描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．3．将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得图象的函数解析式为（）A．y＝2（x﹣2）2﹣4B．y＝2（x﹣1）2+3C．y＝2（x﹣1）2﹣3D．y＝2x2﹣3【分析】根据二次函数图象的平移规律“上加下减，左加右减”．【解答】解：由“上加下减，左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位后，得以新的抛物线的表达式是，y＝2（x﹣2+1）2﹣3，即y＝2（x﹣1）2﹣3，故选：C．【点评】本题主要考查的是函数图象的平移，由y＝ax2平移得到y＝a（x﹣h）2+k，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式即可．4．已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，那么根据图象，下列判断中不正确的是（）A．a＜0B．b＞0C．c＞0D．abc＞0【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：（A）由图象的开口方向可知：a＜0，故A正确；（B）由对称轴可知：x＝＜0，∴b＜0，故B错误；（C）由图象可知：c＞0，故C正确；（D）∵a＜0，b＜0，c＞0，∴abc＞0，故D正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．5．已知：点C在线段AB上，且AC＝2BC，那么下列等式正确的是（）A．＝B．﹣2＝C．||＝||D．||＝||【分析】由已知点C在线段AB上，AC＝2BC，故可以知道C点是线段AB的一个三等分点，且靠近B点，所以有BC＝AB．【解答】解：∵AC＝2BC，∴BC＝AB，AC＝AB，∴AC+2BC＝AB，AC﹣2BC＝0，AC+BC＝AB，AC﹣BC＝BC，∴＝，﹣2＝4，||＝||，||＝3||．故选项ABD等式不成立，选项C等式正确．故选：C．【点评】考查了平面向量，掌握平面向量的定义和线段间的数量关系是解题的关键，难度不大．6．已知在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、AC和BC上，且DE∥BC，DF∥AC，那么下列比例式中，正确的是（）A．＝B．＝C．＝D．＝【分析】根据平行线分线段成比例定理，可得A正确．【解答】解：∵DE∥BC，DF∥AC，∴＝，＝，∴＝．故选：A．【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理．解题的关键是注意根据题意作图，利用数形结合思想求解．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知：x：y＝2：5，那么（x+y）：y＝7：5．【分析】直接根据已知用同一未知数表示出各数，进而得出答案．【解答】解：∵x：y＝2：5，∴设x＝2a，则y＝5a，那么（x+y）：y＝7：5．故答案为：7：5．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出x，y的值是解题关键．8．化简：（）＝．【分析】实数的运算法则同样适用于本题．【解答】解：（）＝﹣＝（﹣+）+（1﹣）＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量的知识，实数的加减运算法则同样适用于平面向量的加减计算．9．抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．【分析】若求抛物线与y轴的交点坐标，只需令x＝0求得y值即可．【解答】解：令x＝0，y＝2，则抛物线y＝x2+3x+2与y轴的交点坐标是（0，2）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，若求与坐标轴的交点，只需令x＝0或y＝0即可．10．已知二次函数y＝﹣3，如果x＞0，那么函数值y随着自变量x的增大而减小（填“增大”或“减小”）．【分析】根据题意和二次函数的性质，可以解答本题．【解答】解：∵二次函数y＝﹣3，∴该函数的开口向下，顶点坐标为（0，﹣3），∴当x＞0时，y随x的增大而减小，故答案为：减小．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．11．已知线段AB＝4厘米，点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），那么线段AP＝2﹣2厘米．（结果保留根号）【分析】根据黄金比值为计算即可．【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB＝2﹣2，故答案为：2﹣2．【点评】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是是解题的关键．12．在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且DE∥BC．如果＝，DE＝6，那么BC＝10．【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出＝，进而分析得出答案．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，∵＝，∴＝，解得：BC＝10．故答案为10．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．13．如果两个相似三角形的相似比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为4：9．【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方可直接得出结果．【解答】解：∵两个相似三角形的相似比为2：3，∴这两个相似三角形的面积比为4：9．【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的面积的比等于相似比的平方．14．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，tan A＝，那么BC＝2．【分析】依据Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，可设BC＝a，AC＝3a，再根据勾股定理列方程求解，即可得到BC的长．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，tan A＝，∴可设BC＝a，AC＝3a，∵BC2+AC2＝AB2，∴a2+（3a）2＝（2）2，解得a＝2，∴BC＝2，故答案为：2．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用，在直角三角形中，锐角A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tan A．15．某超市自动扶梯的坡比为1：2.4．一位顾客从地面沿扶梯上行了5.2米，那么这位顾客此时离地面的高度为2米．【分析】已知斜坡的坡比就是告诉了两直角边的关系，设最高点离地面的高度为x，由勾股定理建立方程，解方程即可．【解答】解：由已知得斜坡垂直高度与水平宽度之比为1：2.4．设斜坡上最高点离地面的高度（即垂直高度）为x米，则水平宽度为2.4x米，由勾股定理得x2+（2.4x）2＝5.22，解之得x＝2（负值舍去）．故答案为：2．【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣坡角坡度问题，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键．16．在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，还需要添加一个条件，那么这个条件可以是∠B＝∠E（答案不唯一）（只需填写一个正确的答案）．【分析】根据相似三角形的判定定理即可得到结论．【解答】解：在△ABC和△DEF中，＝．要使△ABC∽△DEF，需要添加的条件是∠B＝∠E（答案不唯一），故答案为：∠B＝∠E．【点评】本题考查了相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，点D、E分别在边AB上，且AD＝2，∠DCE＝45°，那么DE＝．【分析】将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接DF，由旋转的性质可得AF ＝BE，CF＝BC，∠F AC＝∠ABC＝45°＝∠CAB，∠ACF＝∠BCE，即可证△FCD≌△ECD，可得DE＝DF，根据勾股定理可求DE的长度．【解答】解：如图，将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF，连接DF，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，∴AB＝8，∠CAB＝∠ABC，∵AD＝2，∴BD＝6＝DE+BE，∵将△BCE绕点C逆时针旋转90°得到△ACF∴△AFC≌△BEC∴AF＝BE，CF＝BC，∠F AC＝∠A BC＝45°＝∠CAB，∠ACF＝∠BCE，∴∠F AD＝90°∵∠DCE＝45°，∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝45°，∴∠ACD+∠FCA＝45°＝∠DCE，且CF＝BC，CD＝CD，∴△FCD≌△ECD（SAS）∴DE＝DF，在Rt△ADF中，DF2＝AD2+AF2，∴DE2＝4+（6﹣DE）2，∴DE＝故答案为【点评】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D为边AB上一点．将△BCD 沿直线CD翻折，点B落在点E处，连接AE．如果AE∥CD，那么BE＝．【分析】过D作DG⊥BC于G，依据折叠的性质即可得到CD垂直平分BE，再根据AE ∥CD，得出CD＝BD＝2.5，进而得到BG＝1.5，再根据BC×DG＝CD×BF，即可得到BF的长，即可得出BE的长．【解答】解：如图所示，过D作DG⊥BC于G，由折叠可得，CD垂直平分BE，∴当CD∥AE时，∠AEB＝∠DFB＝90°，∴∠DEB+∠DEA＝90°，∠DBE+∠DAE＝90°，∵DB＝DE，∴∠DEB＝∠DBE，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE，∴AD＝BD，∴D是AB的中点，∴Rt△ABC中，CD＝BD＝2.5，∵DG⊥BC，∴BG＝1.5，∴Rt△BDG中，DG＝2，∵BC×DG＝CD×BF，∴BF＝＝，∴BE＝2BF＝，故答案为：．【点评】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图象的顶点坐标和对称轴．【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，然后把一般式化为顶点式，从而得到抛物线的顶点坐标和对称轴【解答】解：由这个函数的图象经过点A（1，0）、B（0，﹣5）、C（2，3），∴，解得，∴所求函数的解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；∵y＝﹣x2+6x﹣5＝﹣（x﹣3）2+4，∴这个函数图象的顶点坐标为（3，4），对称轴为直线x＝3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解．也考查了二次函数的性质．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E为边AB上一点，且BE＝2AE．设＝，＝．（1）填空：向量＝﹣+；（2）如果点F是线段OC的中点，那么向量＝+，并在图中画出向量在向量和方向上的分向量．（注：本题结果用向量，的式子表示．画图不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）．【分析】（1）根据三角形法则计算即可．（2）根据三角形法则以及平行四边形法则解决问题即可．【解答】解：（1）∵＝，BE＝2AE，∴＝，∵＝+＝﹣+．故答案为﹣+．（2）∵＝+＝+，AF＝AC，∴＝+，∵＝+＝﹣++＝+．向量在向量和方向上的分向量分别为：，（如图所示）故答案为＝+．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量的三角形法则，平行四边形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8．点D是AB边上一点，过点D作DE∥BC，交边AC于E．过点C作CF∥AB，交DE的延长线于点F．（1）如果＝，求线段EF的长；（2）求∠CFE的正弦值．【分析】（1）根据相似三角形的性质得到＝＝，求得DE＝2，推出四边形BCFD 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DF＝BC＝6，于是得到结论；（2）根据平行四边形的性质得到∠B＝∠F，根据勾股定理得到AB＝＝＝10，根据三角函数的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，又∵BC＝6，∴DE＝2，∵DF∥BC，CF∥AB，∴四边形BCFD是平行四边形，∴DF＝BC＝6，∴EF＝DF﹣DE＝4；（2）∵四边形BCFD是平行四边形，∴∠B＝∠F，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，利用勾股定理，得AB＝＝＝10，∴sin B＝＝＝，∴sin∠CFE＝．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．22．（10分）如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，≈1.4142．【分析】过点D作DH⊥AB，垂足为点H，设AB＝x，则AH＝x﹣3，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H，由题意，得HB＝CD＝3，EC＝15，HD＝BC，∠ABC＝∠AHD＝90°，∠ADH＝32°，设AB＝x，则AH＝x﹣3，在Rt△ABE中，由∠AEB＝45°，得tan∠AEB＝tan45°＝．∴EB＝AB＝x．∴HD＝BC＝BE+EC＝x+15，在Rt△AHD中，由∠AHD＝90°，得tan∠ADH＝，即得tan32°＝，解得：x＝≈32.99∴塔高AB约为32.99米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，点D为边BC上一点，且AD＝AB，AE⊥BC，垂足为点E．过点D作DF∥AB，交边AC于点F，连接EF，EF2＝BD•EC．（1）求证：△EDF∽△EFC；（2）如果＝，求证：AB＝BD．【分析】（1）利用两边成比例夹角相等两个三角形相似即可证明；（2）由△EDF∽△ADC，推出＝（）2＝，推出＝，即ED＝AD，由此即可解决问题；【解答】证明：（1）∵AB＝AD，AE⊥BC，∴BE＝ED＝DB，∵EF2＝•BD•EC，∴EF2＝ED•EC，即得＝，又∵∠FED＝∠CEF，∴△EDF∽△EFC．（2）∵AB＝AD，∴∠B＝∠ADB，又∵DF∥AB，∴∠FDC＝∠B，∴∠ADB＝∠FDC，∴∠ADB+∠ADF＝∠FDC+∠ADF，即得∠EDF＝∠ADC，∵△EDF∽△EFC，∴∠EFD＝∠C，∴△EDF∽△ADC，∴＝（）2＝，∴＝，即ED＝AD，又∵ED＝BE＝BD，∴BD＝AD，∴AB＝BD．【点评】本题考查等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（12分）已知：在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx经过点A（5，0）、B（﹣3，4），抛物线的对称轴与x轴相交于点D．（1）求抛物线的表达式；（2）联结OB、BD．求∠BDO的余切值；（3）如果点P在线段BO的延长线上，且∠P AO＝∠BAO，求点P的坐标．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的表达式；（2）利用二次函数的性质可得出抛物线的对称轴，进而可得出点D的坐标，过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，由点B，D的坐标可得出CD，BC的长度，结合余切的定义可求出∠BDO的余切值；（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m，在Rt△ABC中，可求出cot∠∠BAC＝2，结合∠P AO＝∠BAO可得出m ﹣2n＝5①，由BC⊥x轴，PQ⊥x轴可得出BC∥PQ，进而可得出4m＝﹣3n②，联立①②可得出点P的坐标．【解答】解：（1）将A（5，0），B（﹣3，4）代入y＝ax2+bx，得：，解得：，∴所求抛物线的表达式为y＝x2﹣x．（2）∵抛物线的表达式为y＝x2﹣x，∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴点D的坐标为（，0）．过点B作BC⊥x轴，垂足为点C，如图1所示．∵点B的坐标为（﹣3，4），点D的坐标为（，0），∴BC＝4，OC＝3，CD＝3+＝，∴cot∠BDO＝＝．（3）设点P的坐标为（m，n），过点P作PQ⊥x轴，垂足为点Q，如图2所示．则PQ＝﹣n，OQ＝m，AQ＝5﹣m．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴cot∠∠BAC＝＝＝2．∵∠P AO＝∠BAO，∴cot∠P AO＝＝＝2，即m﹣2n＝5①．∵BC⊥x轴，PQ⊥x轴，∴∠BCO＝∠PQA＝90°，∴BC∥PQ，∴＝，∴＝，即4m＝﹣3n②．由①、②得：，解得：，∴点P的坐标为（，﹣）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、余切的定义、相似三角形的性质以及解方程组，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）通过构造直角三角形，求出∠BDO的余切值；（3）利用角的余切值及相似三角形的性质，找出关于m，n的二元一次方程组．25．（14分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝CD，AD＝5，BC＝15，cos∠ABC＝．E 为射线CD上任意一点，过点A作AF∥BE，与射线CD相交于点F．连接BF，与直线AD相交于点G．设CE＝x，＝y．（1）求AB的长；（2）当点G在线段AD上时，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；（3）如果＝，求线段CE的长．【分析】（1）分别过点A、D作AM⊥BC、DN⊥BC，垂足为点M、N，根据三角函数解答即可；（2）根据相似三角形的判定和性质解答，进而利用函数解析式解答即可；（3）根据两种情况，利用勾股定理解答即可．【解答】解：（1）分别过点A 、D 作AM ⊥BC 、DN ⊥BC ，垂足为点M 、N ． ∵AD ∥BC ，AB ＝CD ，AD ＝5，BC ＝15，∴BM ＝，在Rt △ABM 中，∠AMB ＝90°，∴． ∴AB ＝13．（2）∵， ∴．即得 ， ∵∠AFD ＝∠BEC ，∠ADF ＝∠C ．∴△ADF ∽△BCE ．∴，又∵CE ＝x ，FD ＝x ，AB ＝CD ＝13．即得 FC ＝． ∵AD ∥BC ，∴．∴．∴．∴所求函数的解析式为，函数定义域为．（3）在Rt △ABM 中，利用勾股定理，得．∴． ∵，∴S 四边形ABEF ＝80．设S △ADF ＝S ．由△ADF ∽△BCE ，，得 S △AEC ＝9S ．过点E 作EH ⊥BC ，垂足为点H ．由题意，本题有两种情况：（ⅰ）如果点G 在边AD 上，则 S 四边形ABCD ﹣S 四边形ABEF ＝8S ＝40．∴S ＝5．∴S △AEC ＝9S ＝45．∴．∴EH ＝6．由 DN ⊥BC ，EH ⊥BC ，易得 EH ∥DN ． ∴．又 CD ＝AB ＝13，∴，（ⅱ）如果点G 在边DA 的延长线上，则 S 四边形ABCD +S 四边形ABEF +S △AEF ＝9S ． ∴8S ＝200．解得 S ＝25．∴S △BEC ＝9S ＝225．∴．解得 EH ＝30．∴． ∴， ∴． 【点评】此题考查四边形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及梯形的性质进行解答即可．。
2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷(解析版)
2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000B．1：200C．200：1D．2000：12．将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣23．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ADC＝∠ACB B．C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB5．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．＝4D．＝6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A．①④B．②④C．③④D．②③二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．已知，则的值是．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝．9．计算：（﹣2）﹣4＝．10．已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y1y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝．13．如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则ABC的高AH为厘米．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC 长为．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为米（结果保留根号）．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cos B＝，则＝．18．在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tan A＝．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．22．（10分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）23．（12分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；；（2）联结AM，求S△AOM（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．25．（14分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．2019年上海市徐汇区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分）1．某零件长40厘米，若该零件在设计图上的长是2毫米，则这幅设计图的比例尺是（）A．1：2000B．1：200C．200：1D．2000：1【分析】图上距离和实际距离已知，依据“比例尺＝”即可求得这幅设计图的比例尺．【解答】解：因为2毫米＝0.2厘米，则0.2厘米：40厘米＝1：200；所以这幅设计图的比例尺是1：200．故选：B．【点评】此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．2．将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度所得的抛物线解析式为（）A．y＝（x﹣1）2+2B．y＝（x+1）2+2C．y＝（x﹣1）2﹣2D．y＝（x+1）2﹣2【分析】根据“左加右减，上加下减”的法则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝x2向右平移1个单位长度，再向上平移+2个单位长度所得的抛物线解析式为y＝（x﹣1）2+2．故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知二次函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．若斜坡的坡比为1：，则斜坡的坡角等于（）A．30°B．45°C．50°D．60°【分析】直接利用坡角的定义以及坡比的定义即可得出答案．【解答】解：∵斜坡的坡比为1：，设坡角为α，∴tanα＝＝，∴α＝60°．故选：D．【点评】此题考查了坡度坡角问题，借助解直角三角形的知识求解是关键．4．如图，下列条件中不能判定△ACD∽△ABC的是（）A．∠ADC＝∠ACB B．C．∠ACD＝∠B D．AC2＝AD•AB【分析】根据相似三角形的判定逐一判断可得．【解答】解：A、由∠ADC＝∠ACB，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；B、由不能判定△ACD∽△ABC，此选项符合题意；C、由∠ACD＝∠B，∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；D、由AC2＝AD•AB，即＝，且∠A＝∠A可得△ACD∽△ABC，此选项不符合题意；故选：B．【点评】本题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．5．若＝2，向量和向量方向相反，且||＝2||，则下列结论中不正确的是（）A．||＝2B．||＝4C．＝4D．＝【分析】根据已知条件可以得到：＝﹣4，由此对选项进行判断．【解答】解：A、由＝2推知||＝2，故本选项不符合题意．B、由＝﹣4推知||＝4，故本选项不符合题意．C、依题意得：＝﹣4，故本选项符合题意．D、依题意得：＝，故本选项不符合题意．故选：C．【点评】考查了平面向量，注意：平面向量既有大小，又有方向．6．已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…﹣10123…y…30﹣1m3…①抛物线开口向下②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1③m的值为0④图象不经过第三象限上述结论中正确的是（）A．①④B．②④C．③④D．②③【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．【解答】解：由表格可知，抛物线的对称轴是直线x＝＝1，故②错误，抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①错误，当y＝0时，x＝0或x＝2，故m的值为0，故③正确，当y≤0时，x的取值范围是0≤x≤2，故④正确，故选：C．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．二、填空题（本大题共12题，每题4分）7．已知，则的值是．【分析】已知，可设a＝2k，则b＝3k，代入所求的式子即可求解．【解答】解：∵∴设a＝2k，则b＝3k．∴＝＝．【点评】在解决本题时，根据已知中的比值，把几个未知数用一个未知数表示出来，是解决本题的关键．8．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，AB＝4，那么AP＝2﹣2．【分析】根据黄金分割点的定义，知AP是较长线段；则AP＝AB，代入数据即可得出AP的长．【解答】解：由于P为线段AB＝4的黄金分割点，且AP是较长线段；则AP＝AB＝×4＝2﹣2．故答案为2﹣2．【点评】本题考查了黄金分割的概念．应该识记黄金分割的公式：较短的线段＝原线段的，较长的线段＝原线段的．9．计算：（﹣2）﹣4＝﹣7．【分析】实数的运算法则同样适用于平面向量的计算．【解答】解：：（﹣2）﹣4＝﹣×2﹣4＝﹣7．故答案是：﹣7．【点评】本题考查了平面向量的有关概念，是基础题．10．已知A（﹣2，y1）、B（﹣3，y2）是抛物线y＝（x﹣1）2+c上两点，则y1＜y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）【分析】根据二次函数的性质得到x＜1时，y随y的增大而减小，然后根据自变量的大小得到对应函数值的大小．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x＝1，而x＜1时，y随y的增大而减小，所以y1＜y2．故答案为＜．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．11．如图，在▱ABCD中，AB＝3，AD＝5，AF分别交BC于点E、交DC的延长线于点F，且CF＝1，则CE的长为．【分析】根据平行四边形的性质和相似三角形的性质可得＝＝3，可得BE＝3CE，即可求CE的长．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AD＝BC＝5，∴△ABE∽△FCE∴＝＝3∴BE＝3CE∵BC＝BE+CE＝5∴CE＝故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练运用相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则sin A＝．【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A，可代入数计算出答案．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴sin A＝＝，故答案为：．【点评】此题主要考查了锐角三角函数定义，关键是掌握正弦定义．13．如图，正方形DEFG的边EF在ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上．已知BC 长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，则ABC的高AH为厘米．【分析】由DG∥BC得△ADG∽△ABC，利用相似三角形对应边上高的比等于相似比，列方程求解．【解答】解：设三角形ABC的高AH为x厘米．由正方形DEFG得，DG∥EF，即DG∥BC，∵AH⊥BC，∴AP⊥DG．由DG∥BC得△ADG∽△ABC∴＝．∵PH⊥BC，DE⊥BC，∴PH＝ED，AP＝AH﹣PH，∵BC长为40厘米，若正方形DEFG的边长为25厘米，∴＝，解得x＝．即AH为厘米．故答案为．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是由平行线得到相似三角形，利用相似三角形的性质列方程．14．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形ABCD的中位线，AH∥CD分别交EF、BC于点G、H，若＝，＝，则用、表示＝．【分析】由梯形中位线定理得到EF＝，结合梯形的性质，平行四边形的判定与性质求得GF 的长度，利用平面向量表示即可．【解答】解：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，则AD∥HC，AH∥CD，∴四边形AHCD是平行四边形．∴AD＝HC．又EF是梯形ABCD的中位线，∴EF＝，且GF＝AD．∴EG＝EF﹣GF＝﹣AD＝．∵＝，＝，∴＝．故答案是：．【点评】考查了平面向量和梯形中位线定理，注意：向量既有大小又有方向．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点G是△ABC的重心，CG＝2，sin∠ACG＝，则BC 长为4．【分析】延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，由点G是△ABC的重心，得到CG＝2，求得CD ＝3，点D为AB的中点，根据等腰三角形的性质得到DC＝DB，又DE⊥BC，求得CE＝BE＝BC，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：延长CG交AB于D，作DE⊥BC于E，∵点G是△ABC的重心，∵CG＝2，∴CD＝3，点D为AB的中点，∴DC＝DB，又DE⊥BC，∴CE＝BE＝BC，∵∠ACG+∠DCE＝∠DCE+∠CDE＝90°，∴∠ACG＝∠CDE，∵sin∠ACG＝sin∠CDE＝，∴CE＝2，∴BC＝4故答案为：4．【点评】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的2倍是解题的关键．16．如图，某兴趣小组用无人机进行航拍测高，无人机从1号楼和2号楼的地面正中间B点垂直起飞到高度为50米的A处，测得1号楼顶部E的俯角为60°，测得2号楼顶部F的俯角为45°．已知1号楼的高度为20米，则2号楼的高度为（50﹣10）米（结果保留根号）．【分析】过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，可得四边形ECBG，HBDF是矩形，在Rt△AEG中，根据三角函数求得EG，在Rt△AHP中，根据三角函数求得AH，再根据线段的和差关系即可求解．【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，过点F作FH⊥AB于H，则四边形ECBG，HBDF是矩形，∴EC＝GB＝20，HB＝FD，∵B为CD的中点，∴EG＝CB＝BD＝HF，由已知得：∠EAG＝90°﹣60°＝30°，∠AFH＝45°．在Rt△AEG中，AG＝AB﹣GB＝50﹣20＝30米，∴EG＝AG•tan30°＝30×＝10米，在Rt△AHP中，AH＝HF•tan45°＝10米，∴FD＝HB＝AB﹣AH＝50﹣10（米）．答：2号楼的高度为（50﹣10）米．故答案为：（50﹣10）．【点评】此题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题的知识．此题难度适中，注意能借助仰角或俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cos B＝，则＝．【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，设BD＝5x，AB＝13x，根据勾股定理得到AD＝＝12x，求得BC＝2BD＝10x，根据相似三角形的性质得到BE＝x，CE＝x，于是得到结论．【解答】解：∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵cos B＝＝，设BD＝5x，AB＝13x，∴AD＝＝12x，∴BC＝2BD＝10x，∵CE⊥AB，∴∠BEC＝90°，∵∠B＝∠B，∴△ABD∽△CBE，∴，∴＝，∴BE＝x，CE＝x，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．18．在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，BC＝6，CD＝2，tan A＝．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为．【分析】根据平行线的性质得到∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，根据轴对称的性质得到∠GFE＝∠BFE，求得∠A＝∠AMF，得到AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，求得∠AQD＝∠DQB＝90°．根据矩形的性质得到CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，求得AQ＝10﹣2＝8，根据勾股定理得到AD＝＝10，设EB＝3x，求得FB＝4x，CE＝6﹣3x，求得AF＝MF＝10﹣4x，GM＝8x﹣10，根据相似三角形的性质得到GD＝6x﹣，求得DE＝﹣3x，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：如图，∵EF∥AD，∴∠A＝∠EFB，∠GFE＝∠AMF，∵△GFE与△BFE关于EF对称，∴△GFE≌△BFE，∴∠GFE＝∠BFE，∴∠A＝∠AMF，∴△AMF是等腰三角形，∴AF＝FM，作DQ⊥AB于点Q，∴∠AQD＝∠DQB＝90°．∵AB∥DC，∴∠CDQ＝90°．∵∠B＝90°，∴四边形CDQB是矩形，∴CD＝QB＝2，QD＝CB＝6，∴AQ＝10﹣2＝8，在Rt△ADQ中，由勾股定理得AD＝＝10，∵tan A＝，∴tan∠EFB＝＝，设EB＝3x，∴FB＝4x，CE＝6﹣3x，∴AF＝MF＝10﹣4x，∴GM＝8x﹣10，∵∠G＝∠B＝∠DQA＝90°，∠GMD＝∠A，∴△DGM∽△DQA，∴＝，∴GD＝6x﹣，∴DE＝﹣3x，在Rt△CED中，由勾股定理得（﹣3x）2﹣（6﹣3x）2＝4，解得：3x＝，∴当EG过点D时BE＝．故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定及性质的运用，矩形的性质的运用，勾股定理的性质的运用，轴对称的性质的运用，正确的作出辅助线是解题的关键．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】直接利用特殊角的三角函数值分别代入求出答案．【解答】解：原式＝＝＝＝2+．【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．20．（10分）如图，已知△ABC，点D在边AC上，且AD＝2CD，AB∥EC，设＝，＝．（1）试用、表示；（2）在图中作出在、上的分向量，并直接用、表示．【分析】（1）利用三角形法则求出，再根据CD＝CA求出即可解决问题．（2）利用平行四边形法则，画出分向量，根据＝+计算即可．【解答】解：（1）∵＝，＝，∴＝+＝﹣+，∵AD＝2CD，∴CD＝CA，∵与同向，∴＝＝（﹣+）＝﹣；（2）如图在、上的分向量分别为，．∵＝+＝+﹣＝+．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的表达式，并用配方法求出顶点D的坐标；（2）若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，求tan∠CEB的值．【分析】（1）根据抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），可以得到抛物线的解析式，然后将解析式化为顶点式，即可得到顶点D的坐标；（2）根据题意，可以求得点E的坐标，从而可以求得直线EB的函数解析式，进而求得与y轴的交点，从而可以求得tan∠CEB的值．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，与y轴交于点C（0，2），∴，得，∴y＝﹣x2﹣+2＝，∴抛物线顶点D的坐标为（﹣1，），即该抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣+2，顶点D的坐标为（﹣1，）；（2）∵y＝，∴该抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∵点E是点C关于抛物线对称轴的对称点，点C（0，2），∴点E的坐标为（﹣2，2），当y＝0时，0＝，得x1＝﹣3，x2＝1，∴点B的坐标为（1，0），设直线BE的函数解析式为y＝kx+n，，得，∴直线BE的函数解析式为y＝﹣，当x＝0时，y＝，设直线BE与y轴交于点F，则点F的坐标为（0，），∴OF＝，∵点C（0，2），点E（﹣2，2），∴OC＝2，CE＝2，∴CF＝2﹣＝，∴tan∠CEF＝，即tan∠CEB的值是．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式和一次函数解析式、锐角三角函数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．（10分）如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．A为后胎中心，经测量车轮半径AD为30cm，中轴轴心C到地面的距离CF为30cm，座位高度最低刻度为155cm，此时车架中立管BC长为54cm，且∠BCA＝71°．（参考数据：sin71°≈0.95，cos71°≈0.33，tan71°≈2.88）（1）求车座B到地面的高度（结果精确到1cm）；（2）根据经验，当车座B'到地面的距离B'E'为90cm时，身高175cm的人骑车比较舒适，此时车架中立管BC拉长的长度BB'应是多少？（结果精确到1cm）【分析】（1）根据上题证得的结论分别求得BH的长，利用正弦函数的定义即可得到结论；（2）设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，得到△B'H'C∽△BHC，利用相似三角形的性质求得BB'的长即可．【解答】解：（1）设AC于BE交于H，∵AD⊥l，CF⊥l，HE⊥l，∴AD∥CF∥HE，∵AD＝30cm，CF＝30cm，∴AD＝CF，∴四边形ADFC是平行四边形，∵∠ADF＝90°，∴四边形ADFC是矩形，∴HE＝AD＝30cm，∵BC长为54cm，且∠BCA＝71°，∴BH＝BC•sin71°＝51.3cm，∴BE＝BH+EH＝BH+AD＝51.3+30≈81cm；答：车座B到地面的高度是81cm；（2）如图所示，B'E'＝96.8cm，设B'E'与AC交于点H'，则有B'H'∥BH，∴△B'H'C∽△BHC，得＝．即＝，∴B'C＝cm．故BB'＝B'C﹣BC＝60﹣54＝6（cm）．∴车架中立管BC拉长的长度BB'应是6cm．【点评】本题考查了相似三角形的应用、切线的性质解解直角三角形的应用，解题的难点在于从实际问题中抽象出数学问题，难度较大．23．（12分）如图，已知菱形ABCD，点E是AB的中点，AF⊥BC于点F，联结EF、ED、DF，DE交AF于点G，且AE2＝EG•ED．（1）求证：DE⊥EF；（2）求证：BC2＝2DF•BF．【分析】（1）根据直角三角形的性质得到AE＝FE，根据相似三角形的性质得到∠EAG＝∠ADG，求得∠DAG＝∠FEG，根据菱形的性质得到AD∥BC，求得∠DAG＝∠AFB＝90°，于是得到结论；（2）由AE＝EF，AE2＝EG•ED，得到FE2＝EG•ED，推出△FEG∽△DEF，根据相似三角形的性质得到∠EFG＝∠EDF，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】（1）证明：∵AF⊥BC于点F，∴∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴AE＝FE，∴∠EAF＝∠AFE，∵AE2＝EG•ED，∴＝，∵∠AEG＝∠DEA，∴△AEG∽△DEA，∴∠EAG＝∠ADG，∵∠AGD＝∠FGE，∴∠DAG＝∠FEG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠DAG＝∠AFB＝90°，∴∠FEG＝90°，∴DE⊥EF；（2）解：∵AE＝EF，AE2＝EG•ED，∴FE2＝EG•ED，∴＝，∵∠FEG＝∠DEF，∴△FEG∽△DEF，∴∠EFG＝∠EDF，∴∠BAF＝∠EDF，∵∠DEF＝∠AFB＝90°，∴△ABF∽△DFE，∴＝，∵四边形ACBD是菱形，∴AB＝BC，∵∠AFB＝90°，∵点E是AB的中点，∴FE＝AB＝BC，∴＝，∴BC2＝2DF•BF．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．24．（12分）如图，在平面直角坐标系中，顶点为M的抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB＝120°．（1）求该抛物线的表达式；；（2）联结AM，求S△AOM（3）将抛物线C1向上平移得到抛物线C2，抛物线C2与x轴分别交于点E、F（点E在点F的左侧），如果△MBF与△AOM相似，求所有符合条件的抛物线C2的表达式．【分析】（1）根据题意，可以写出点B和点A的坐标，从而可以得到该抛物线的表达式；（2）根据（1）中的函数解析式，可以求得点M的坐标，从而可以求得直线AM的函数解析式，从；而可以求得S△AOM（3）根据题意，利用分类讨论的方法和三角形相似的知识可以求得点F的坐标，从而可以求得抛物线C2的表达式．【解答】解：（1）∵抛物线C1：y＝ax2+bx（a＜0）经过点A和x轴上的点B，AO＝OB＝2，∠AOB ＝120°，∴点B（2，0），点A（﹣1，﹣），∴，得，∴该抛物线的解析式为y＝；（2）连接MO，AM，AM与y轴交于点D，∵y＝＝，∴点M的坐标为（1，），设过点A（﹣1，﹣），M（1，）的直线解析式为y＝mx+n，，得，∴直线AM的函数解析式为y＝x﹣，当x＝0时，y＝﹣，∴点D的坐标为（0，﹣），∴OD ＝，∴S △AOM ＝S △AOD +S △MOD ＝＝；（3）当△AOM ∽△FBM 时，，∵OA ＝2，点O （0，0），点M （1，），点B （2，0），∴OM ＝，BM ＝，∴，解得，BF ＝2，∴点F 的坐标为（4，0）， 设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+c ，∵点F （4，0）在抛物线C 2上， ∴0＝+c ，得c ＝，∴抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+3； 当△AOM ∽△MBF 时，，∵OA ＝2，点O （0，0），点M （1，），点B （2，0），∴OM ＝，BM ＝，∴，解得，BF ＝，∴点F 的坐标为（，0）， 设抛物线C 2的函数解析式为：y ＝+d ，∵点F（，0）在抛物线C2上，∴0＝，得d＝，∴抛物线C2的函数解析式为：y＝+．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论和数形结合的思想解答．25．（14分）已知在梯形ABCD中，AD∥BC，AC＝BC＝10，cos∠ACB＝，点E在对角线AC上（不与点A、C重合），∠EDC＝∠ACB，DE的延长线与射线CB交于点F，设AD的长为x．（1）如图1，当DF⊥BC时，求AD的长；（2）设EC＝y，求y关于x的函数解析式，并直接写出定义域；（3）当△DFC是等腰三角形时，求AD的长．【分析】（1）证明△ADC∽△DCE，利用AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，即可求解；（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD2＝CH2+DH2＝（AC sinα）2+（AC cosα﹣x）2，即可求解；（3）分DF＝DC、FC＝DC、FC＝FD三种情况，求解即可．【解答】解：（1）设：∠ACB＝∠EDC＝∠α＝∠CAD，∵cosα＝，∴sinα＝，过点A作AH⊥BC交于点H，AH＝AC•sinα＝6＝DF，BH＝2，如图1，设：FC＝4a，∴cos∠ACB＝，则EF＝3a，EC＝5a，∵∠EDC＝∠α＝∠CAD，∠ACD＝∠ACD，∴△ADC∽△DCE，∴AC•CE＝CD2＝DF2+FC2＝36+16a2＝10•5a，解得：a＝2或（舍去a＝2），AD＝HF＝10﹣2﹣4a＝；（2）过点C作CH⊥AD交AD的延长线于点H，CD2＝CH2+DH2＝（AC sinα）2+（AC cosα﹣x）2，即：CD2＝36+（8﹣x）2，由（1）得：AC•CE＝CD2，即：y＝x2﹣x+10（0＜x≤10）…①，（3）①当DF＝DC时，∵∠ECF＝∠FDC＝α，∠DFC＝∠DFC，∴△DFC∽△CFE，∵DF＝DC，∴FC＝EC＝y，∴x+y＝10，即：10＝x2﹣x+10+x，解得：x＝6；②当FC＝DC，则∠DFC＝∠FDC＝α，则：EF＝EC＝y，DE＝AE＝10﹣y，在等腰△ADE中，cos∠DAE＝cosα＝＝＝，即：5x+8y＝80，将上式代入①式并解得：x＝；③当FC＝FD，则∠FCD＝∠FDC＝α，而∠ECF＝α≠∠FCD，不成立，故：该情况不存在；故：AD的长为6和．【点评】本题为四边形的综合题，涉及到解直角三角形、一元二次方程，三角形相似等诸多知识点，其中三角形相似是本题的突破点，难度较大．。
2019中考数学一模试题及答案(上海杨浦、静安、闵行、松江、崇明)
上海市部分学校九年级数学抽样测试试卷2019.1.5（测试时间：100分钟，满分：150分）考生注意：1．本试卷含三个大题，共25题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤．3．本次测试可使用科学计算器．一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．下列函数中，属于二次函数的是 （A ）32-=x y ； （B ）22)1(x x y -+=； （C ）x x y 722-=；（D ）22xy -=． 2．抛物线422-+-=x x y 一定经过点 （A ）（2,-4）； （B ）（1,2）；（C ）（-4,0）； （D ）（3,2）．3．已知在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A =α，AC =3，那么AB 的长为 （A ）αsin 3； （B ）αcos 3； （C ）αsin 3； （D ）αcos 3． 4．在平面直角坐标系xOy 中有一点P （8,15），那么OP 与x 轴正半轴所夹的角的正弦值等于 （A ）178； （B ）1715； （C ）158； （D ）815． 5．如果△ABC ∽△DEF ，且△ABC 的三边长分别为3、5、6，△DEF 的最短边长为9，那么△DEF 的周长等于（A ）14；（B ）5126； （C ）21； （D ）42．6．下列五幅图均是由边长为1的16个小正方形组成的正方形网格，网格中的三角形的顶点都在小正方形的顶点上，那么在下列右边四幅图中的三角形，与左图中的△ABC 相似的个数有（A ）1个； （B ）2个； （C ）3个； （D ）4个．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．如果35=y x ，那么y x yx -+3= ▲ ．8．已知在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE //BC ，53=AB AD ，那么CEAE的值等于 ▲ ． 9．已知P 是线段AB 的一个黄金分割点，且AB =20cm ，AP >BP ，那么AP = ▲ cm ． 10．如果抛物线k x k y ++=2)4(的开口向下，那么k 的取值范围是 ▲ ． 11．二次函数m x x y ++=62图像上的最低点的横坐标为 ▲ ．12．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x 厘米，面积随之增加y 平方厘米，那么y 关于x 的函数解析式是 ▲ ．13．如图，已知在△ABC 中，AB =3，AC =2，D 是边AB 上的一点，∠ACD =∠B ，∠BAC 的平分线AQ 与CD 、BC 分别相交于点P 和点Q ，那么AQAP的值等于 ▲ ．14．已知在△ABC 中，AB =AC =5cm ，BC =35，那么∠A = ▲ 度．15．已知在△ABC 中，∠C =90°，BC =8，AB =10，点G 为重心，那么GCB ∠tan 的值为 ▲ ． 16．向量a 与单位向量e 的方向相反，且长度为5，那么用向量e 表示向量a 为 ▲ ． 17．如果从灯塔A 处观察到船B 在它的北偏东35°方向上，那么从船B 观察灯塔A 的方向是 ▲ ．18．将等腰△ABC 绕着底边BC 的中点M 旋转30°后，如果点B 恰好落在原△ABC 的边AB 上，那么∠A 的余切值等于 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，其中第（1）小题4分，第（2）小题6分）（第13题图）已知抛物线32++=mx x y 的对称轴为x =-2． （1）求m 的值；（2）如果将此抛物线向右平移5个单位后，求所得抛物线与y 轴的交点坐标．20．（本题满分10分，其中第（1）小题6分，第（2）小题4分）如图，已知在△ABC 中，点D 在边AC 上，CD ∶AD =1∶2，=，=． （1）试用向量,表示向量；（2）求作：-21．（不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）21．（本题满分10分，其中每小题各5分）已知：如图，在△ABC 中，AB =6，BC =8，∠B =60°． 求：（1）△ABC 的面积； （2）∠C 的余弦值．22．（本题满分10分）已知：如图，矩形DEFG 的一边DE 在△ABC 的边BC 上，顶点G 、F 分别在边AB 、AC 上，AH 是边BC 上的高，AH 与GF 相交于点K ，已知BC =12，AH =6，EF ∶GF =1∶2，求矩形DEFG 的周长．C（第22题图）ABC（第21题图）（第20题图）23．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，斜坡AP 的坡度为1∶2.4，坡长AP 为26米，在坡顶A 处的同一水平面上有一座古塔BC ，在斜坡底P 处测得该塔的塔顶B 的仰角为45°，在坡顶A 处测得该塔的塔顶B 的仰角为76°．求：（1）坡顶A 到地面PQ 的距离；（2）古塔BC 的高度（结果精确到1米）．（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01）24．（本题满分12分，其中第（1）小题5分，第（2）小题7分）已知：如图，在△ABC 中，AD 是边BC 上的中线，点E 在线段BD 上，且BE =ED ，过点B 作BF ∥AC ，交线段AE 的延长线于点F ．（1）求证：AC =3BF ；（2）如果ED AE 3=，求证：BE AC AE AD ⋅=⋅．25．（本题满分14分，其中第（1）、（2）小题各4分，第（3）小题6分）已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，二次函数c bx x y ++-=231的图像经过点A （-1,1）和点B （2,2），该函数图像的对称轴与直线OA 、OB 分别交于点C 和点D ．（第24题图）C（第23题图）（1）求这个二次函数的解析式和它的对称轴；（2）求证：∠ABO=∠CBO；（3）如果点P在直线AB上，且△POB与△BCD相（第25题图）上海市部分学校九年级数学抽样测试参考答案及评分说明一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1．C ； 2．A ； 3．D ； 4．B ； 5．D ； 6．B ． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．9； 8．23； 9．10510-； 10．k <-4； 11．-3； 12．xx y 42+=；13．32； 14．120； 15．43； 16．5-； 17．南偏西35°；18．3．三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．解：（1）由题意，得22-=-m．……………………………………………………（2分）∴m =4．…………………………………………………………………………（2分） （2）此抛物线的表达式为1)2(3422-+=++=x x x y ．……………………（2分） ∵向右平移5个单位后，所得抛物线的表达式为1)3(2--=x y ，即862+-=x x y ．………………………………………………………………（2分） ∴它与y 轴的交点坐标为（0,8）．……………………………………………（2分）20．解：（1）∵CD ∶AD =1∶2，∴CA CD 31=，得CA CD 31=．…………（2分）M∵-=-=． ………………（2分）∴3131)(31-=-=………………（1分） ∴b a b a b CD BC BD 3231)(31+=-+=+=．…………………………（1分）（2）a b AM -=21．……………………………………（画图正确3分，结论1分）21．解：（1）作AH ⊥BC ，垂足为点H ．在Rt △ABH 中，∵∠AHB =90°，∠B =60°，AB =6，∴BH =3，33=AH ．………（2分，2分） ∴S △ABC =31233821=⨯⨯．…………………………………………………（1分）（2）∵BC =8，BH =3，∴CH =5． ………………………………………………（1分） 在Rt △ACH 中，∵33=AH ，CH =5，∴132=AC ．………………………………………（2分） ∴261351325cos ===AC CH C ．………………………………………………（2分） 22．解：设EF =x ，则GF =2x ．∵GF ∥BC ，AH ⊥BC ，∴AK ⊥GF ．∵GF ∥BC ，∴△AGF ∽△ABC ．………………………………………………（2分）∴BCGFAH AK =．…………………………………………………………………（2分） ∵AH =6，BC =12，∴12266xx =-．……………………………………………（2分） 解得x =3．………………………………………………………………………（2分） ∴矩形DEFG 的周长为18．……………………………………………………（2分）23．解：（1）过点A 作AH ⊥PQ ，垂足为点H ．∵斜坡AP 的坡度为1∶2.4，∴125=PH AH ．…………………………………（2分）设AH =5k ，则PH =12k ，由勾股定理，得AP =13k ． ∴13k =26． 解得k =2．∴AH =10．………………………………………………………………………（2分）答：坡顶A 到地面PQ 的距离为10米．………………………………………（1分） （2）延长BC 交PQ 于点D ．∵BC ⊥AC ，AC ∥PQ ，∴BD ⊥PQ ．…………………………………………（1分） ∴四边形AHDC 是矩形，CD =AH =10，AC =DH ．……………………………（1分） ∵∠BPD =45°，∴PD =BD ． …………………………………………………（1分） 设BC =x ，则x +10=24+DH ． ∴AC =DH =x -14． 在Rt △ABC 中，AC BC =︒76tan ，即0.414≈-x x．…………………………（2分） 解得356=x ，即19≈x ．………………………………………………………（1分） 答：古塔BC 的高度约为19米．………………………………………………（1分）24．证明：（1）∵BF ∥AC ，∴BECEBF AC =．………………………………………………（2分） ∵BD =CD ，BE =DE ，∴CE =3BE ．……………………………………………（2分） ∴AC =3BF ．………………………………………………………………………（1分） （2）∵ED AE 3=，∴223ED AE =．…………………………………………（1分） 又∵CE =3ED ，∴CE ED AE ⋅=2．……………………………………………（1分） ∴CEAEAE ED =．……………………………………………………………………（1分） ∵∠AED =∠CEA ，∴△AED ∽△CEA ．………………………………………（1分）∴AEEDAC AD =．…………………………………………………………………（1分） ∵ED =BE ，∴AEBEAC AD =．……………………………………………………（1分） ∴BE AC AE AD ⋅=⋅．…………………………………………………………（1分）25．解：（1）由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧++-=+--=.2342,311c b c b ………………………………………………（1分）解得⎪⎩⎪⎨⎧==.2,32c b ……………………………………………………………………（1分）∴所求二次函数的解析式为232312++-=x x y ．……………………………（1分）对称轴为直线x =1．……………………………………………………………（1分）证明：（2）由直线OA 的表达式y =-x ，得点C 的坐标为（1,-1）．…………………（1分）∵10=AB ，10=BC ，∴AB =BC ．………………………………………（1分） 又∵2=OA ，2=OC ，∴OA =OC ．………………………………………（1分） ∴∠ABO =∠CBO ．………………………………………………………………（1分） 解：（3）由直线OB 的表达式y =x ，得点D 的坐标为（1,1）．………………………（1分）由直线AB 的表达式3431+=x y ， 得直线与x 轴的交点E 的坐标为（-4,0）．……………………………………（1分） ∵△POB 与△BCD 相似，∠ABO =∠CBO ，∴∠BOP =∠BDC 或∠BOP =∠BCD ． （i ）当∠BOP =∠BDC 时，由∠BDC ==135°，得∠BOP =135°．∴点P 不但在直线AB 上，而且也在x 轴上，即点P 与点E 重合．∴点P 的坐标为（-4,0）．………………………………………………………（2分） （ii ）当∠BOP =∠BCD 时， 由△POB ∽△BCD ，得BCBDBO BP =． 而22=BO ，2=BD ，10=BC ，∴1052=BP ． 又∵102=BE ，∴1058=PE ． 作PH ⊥x 轴，垂足为点H ，BF ⊥x 轴，垂足为点F ．∵PH ∥BF ，∴EFEHBE PE BF PH ==． 而BF =2，EF =6，∴58=PH ，524=EH ．∴54=OH ．∴点P 的坐标为（54,58）．……………………………………………………（2分）综上所述，点P 的坐标为（-4,0）或（54,58）．。
2019年上海初三数学一模大题
(宝山区）23．（本题满分12分，每小题各6分）如图，△ABC 中，AB ＝AC ，过点C 作CF ∥AB 交△ABC 的中位线DE 的延长线于F ，联结BF ，交AC 于点G ．（1）求证：GAE AC EGC ＝； （2）若AH 平分∠BAC ，交BF 于H ，求证：BH 是HG 和HF 的比例中项．24．（本题共12分，每小题各4分）设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”．如函数y ＝－x ＋4，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝3时，y ＝1，即当1≤x ≤3时，恒有1≤y ≤3，所以说函数y ＝－x ＋4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y ＝x 也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．（1）反比例函数2018y x是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）如果已知二次函数y ＝x 2－4x ＋k 是闭区间[2，t ]上的“闭函数”，求k 和t 的值； （3）如果（2）所述的二次函数的图像交y 轴于C 点，A 为此二次函数图像的顶点，B 为直线x ＝1上的一点，当△ABC 为直角三角形时，写出点B 的坐标．25．（本题共14分，其中（1）（2）小题各3分，第（3）小题8分）如图，等腰梯形ABCD中，AD//BC，AD＝7，AB＝CD＝15，BC＝25，E为腰AB上一点且AE：BE＝1：2，F为BC一动点，∠FEG＝∠B，EG交射线BC于G，直线EG交射线CA于H．（1）求sin∠ABC；（2）求∠BAC的度数；（3）设BF＝x，CH＝y，求y与x的函数关系式及其定义域．（青浦区）23．（本题满分12分，第（1）小题4分，第（2）小题8分）如图8，已知点D、E分别在△ABC的边AC、BC上，线段BD与AE交于点F，且CD CA CE CB⋅=⋅．（1）求证：∠CAE＝∠CBD；（2）若BE ABEC AC=，求证：AB AD AF AE⋅=⋅．AB CDEF图824．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y axbx c a =++>与x 轴相交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．（1）求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）联结AC 、BC ，若△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题5分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）如图10，在边长为2的正方形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点（点P 不与点A 、点 D 重合），点Q 是边CD 上一点，联结PB 、PQ ，且∠PBC ＝∠BPQ ． （1）当QD ＝QC 时，求∠ABP 的正切值； （2）设AP =x ，CQ =y ，求y 关于x 的函数解析式；（3）联结BQ ，在△PBQ 中是否存在度数不变的角，若存在，指出这个角，并求出它的度数；若不存在，请说明理由．图10QP D C BA备用图A BCD图9 C B A O yx（长宁区）23．（本题满分12分，第（1）小题6分，第（2）小题6分）如图，在∆ABC 中，点D 在边BC 上，联结AD ，∠ADB=∠CDE ， DE 交边AC 于点E ，DE 交BA 延长线于点F ，且DF DE AD ⋅=2． （1）求证：BFD ∆∽CAD ∆； （2）求证：AD AB DE BF ⋅=⋅．24．（本题满分12分，每小题4分）在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；（3）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 若∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．F EDABC第23题图备用图第24题图25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题6分，第（3）小题5分）已知在矩形ABCD 中，AB =2，AD =4. P 是对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B 、D 重合），过点P 作PF ⊥BD ，交射线BC 于点F . 联结AP ，画∠FPE =∠BAP ，PE 交BF 于点E .设PD=x ，EF =y ．（1）当点A 、P 、F 在一条直线上时，求∆ABF 的面积；（2）如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域； （3）联结PC ，若∠FPC =∠BPE ，请直接写出PD 的长．（松江区）23．（本题满分12分，每小题6分）已知四边形ABCD 中，∠BAD =∠BDC =90°，2BD AD BC =⋅． （1）求证：AD ∥BC ；（2）过点A 作AE ∥CD 交BC 于点E ．请完善图形并求证：2CD BE BC =⋅．备用图 备用图图1 DCBA DCB A F E P DC B A 第25题图24．（本题满分12分，每小题4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4，又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E ，设点P 的横坐标为t ． （1）求点A 的坐标和抛物线的表达式； （2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标；（3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求t 的值．25．（本题满分14分，第（1）小题4分，第（2）小题5分，第（3）小题5分） 如图，已知△ABC 中，∠ACB =90°，AC =1，BC =2，CD 平分∠ACB 交边AB 与点D ,P 是射线CD 上一点，联结AP ． （1）求线段CD 的长；（2）当点P 在CD 的延长线上，且∠P AB =45°时，求CP 的长；（3）记点M 为边AB 的中点，联结CM 、PM ，若△CMP 是等腰三角形，求CP 的长．（徐汇区）23.（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分） 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 、F 分别在边BC 、AB 、AC 上，且∠ADE =∠B ，∠ADF =∠C ，线段EF 交线段AD 于点G ． （1）求证：AE =AF ；（2）若DF CFDE AE=，求证：四边形EBDF 是平行四边形．24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（1）小题满分4分，第（3）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =（0k ≠）沿着y 轴向上平移3个单位长度后，与x 轴交于点B (3，0)，与y 轴交于点C ．抛物线2y x bx c =++过点B 、C 且与x 轴的另一个交点为A ． （1）求直线BC 及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求DBC ∆的面积；（3）如果点F 在y 轴上，且∠CDF =45°，求点F 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分7分，第（3）小题满分4分）已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AD =2，AB =4，BC =5，在射线BC 任取一点M ，联结DM ，作∠MDN =∠BDC ，∠MDN 的另一边DN 交直线BC 于点N （点N 在点M 的左侧）．（1）当BM 的长为10时，求证：BD ⊥DM ； （2）如图（1），当点N 在线段BC 上时，设BN x =，BM y =，求y 关于x 的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当DMN ∆是等腰三角形时，求BN 的长．G F EB AC D第23题 yxB O 第24题 （备用图）ADBC图（1）ABCMN第25题11（普陀区）23．（本题满分12分）已知：如图9，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点E，AD=DC，DC2=DE·DB.求证：（1）△BCE∽△ADE；（2）AB·BC=BD·BE．24．（本题满分12分，每小题满分各4分）如图10，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2＋2ax＋c（其中a、c为常数，且a＜0）与x轴交于点A，它的坐标是(－3, 0)，与y轴交于点B，此抛物线顶点C到x轴的距离为4．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠CAB的正切值；（3）如果点P是抛物线上的一点，且∠ABP＝∠CAO，试直接写出点P的坐标．25．如图11，∠BAC的余切值为2，AB＝D是线段AB上的一动点（点D不与点A、B重合），以点D为顶点的正方形DEFG的另两个顶点E、F都在射线AC上，且点F 在点E的右侧．联结BG，并延长BG，交射线EC于点P．（1）点D在运动时，下列的线段和角中，______是始终保持不变的量（填序号）；①AF；②FP；③BP；④∠BDG；⑤∠GAC；⑥∠BPA；（2）设正方形的边长为x，线段AP的长为y，求y与x之间的函数关系式，并写出定义域；（3）如果△PFG与△AFG相似，但面积不相等，求此时正方形的边长．。
详解及答案-2019年上海七宝中学中考数学模拟试卷解析
÷
x2 x2
− 2x − 3 + 2x +1
+
1
，
x −1
x
=
2 +1．
【答案】 2
【解析】
x −3 ÷ x2 − 2x −3 + 1 x2 −1 x2 + 2x +1 x −1 = x − 3 ⋅ x2 + 2x +1 + 1
x2 −1 x2 − 2x −3 x −1 = 1 ⋅ x +1+ 1
x −1 x +1 x −1 =2
4 （3）设 P 是抛物线对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上，以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能， 求出点 P 的坐标；若不能，请说明理由．
7
【答案】（1）
y
=
ax
+
a
（2）
a
=
−
2 5
（3）
P11,−
26 7
7
，
P2
(1,
−
4)
【解析】
（1）令 y = 0 ，则 ax2 − 2ax − 3a = 0 ，解得 x1 = −1, x2 = 3
）
2
x
【A】2 个
【B】3 个
【C】4 个
【D】5 个
【答案】C
【解析】采用单项式的定义，能够快速的确定出单项式的个数
3. 下列方程中，有实数根的方程是（ ）
【A】 x4 + 3 =0
【B】 x + 1 =−x 【C】 x = 1
x2 −1 x2 −1 【D】 x − 2 =−1
【答案】B 【解析】计算出结果，并对最后的结果进行验根 4．如图是某班全体学生外出时乘车、步行、骑车的人数分布直方图和扇形分布图（两图都不完整），则下列结论 中错误的是（ ） 【A】该班总人数为 50 人 【B】骑车人数占总人数的 20% 【C】步行人数为 30 人 【D】乘车人数是骑车人数的 2.5 倍
2019年上海市初中数学竞赛模拟卷一(含答案)
上海市初中数学竞赛模拟卷一一.填空题（第1-5题每题8分，第6-10题每题10分）1.已知函数)0(1222<+++=b x c bx x y 的值域为]3,1[，则=+c b 0, 将)0(1222<+++=b x c bx x y 代入31≤≤y 得不等式⎪⎩⎪⎨⎧≥-+-≥-++030122c bx x c bx x ∴⎪⎩⎪⎨⎧≤--=∆≤--=∆0)3(40)1(42121c b c b 又函数的值域为]3,1[，函数值能取到1和3，即 112,3122222=+++=+++x c bx x x c bx x 有解，故⎪⎩⎪⎨⎧≥--=∆≥--=∆0)3(40)1(42121c b c b 得c ＝2，b ＝2 2.已知,R a ∈并且a x x a +>-222)0(>a ，则a 的取值范围是⎩⎨⎧<+≥-002)1(22a x x a ⎪⎩⎪⎨⎧+>-≥+≥-22222)(2002)2(a x x a a x x a ]22,22[,0,0),0,32(,0a a a a a a -<Φ=->解集为，解集为解集为 3.设在x O y 平面上，20x y ≤<，10≤≤x 所围成图形的面积为31，则集合},1),{(≤-=x y y x M }1),{(2+≥=x y y x N 的交集N M 所表示的图形面积为 N M 在xOy 平面上的图形关于x 轴与y 轴均对称，由此N M 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以4即得。
为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。
由题意可得，N M 的图形在第一象限的面积为A ＝613121=-。
因此N M 的图形面积为32 4.3322)(22+-+-=x x x x x f 的最小值为定义域为),2[]0,(+∞-∞ ,332,222+--x x x x 在]0,(-∞上是减函数，在),2[,+∞上是增函数，故3)}2(),0(min{)(==f f x f nin5. 设p 是给定的奇质数，正整数k也是一个正整数，则k=____________*22,,0,n n N k pk n k =∈--==则224p n +是平方数，设为2*2,,(2)(2)m m N m n m n p ∈-+=则 22212123,,214p m m n p p m n p p n ⎧+=⎪-=⎧⎪≥∴⎨⎨+=-⎩⎪=⎪⎩是质数，且解得 222(1)(1),244p m p p p k k ±±++∴===故。
2019年上海市嘉定区中考数学一模考试卷含逐题详解
2019年上海市嘉定区中考数学一模试卷一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝（x﹣1）2﹣x2C．y＝1﹣x2D．y＝2．已知抛物线y＝x2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2+53．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，那么AB的长为（）A．5sin A B．5cos A C．D．4．如图，在△ABC中，点D是在边BC上，且BD＝2CD，＝，＝，那么等于（）A．＝B．＝+C．＝﹣D．＝+5．如果点D、E分别在△ABC中的边AB和AC上，那么不能判定DE∥BC的比例式是（）A．AD：DB＝AE：EC B．DE：BC＝AD：ABC．BD：AB＝CE：AC D．AB：AC＝AD：AE6．已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是．8．抛物线y＝x2+2x与y轴的交点坐标是．9．二次函数y＝x2+4x+a图象上的最低点的横坐标为．10．如果3a＝4b（a、b都不等于零），那么＝．11．已知P是线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝cm．12．如果向量、、满足关系式2﹣（﹣3）＝4，那么＝（用向量、表示）．13．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4、5、6，△DEF的最短边长为12，那么△DEF的周长等于．14．在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，那么cos B的值＝．15．小杰在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是42度，那么点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于度．16．如图，在圆O中，AB是弦，点C是劣弧AB的中点，连接OC，AB平分OC，连接OA、OB，那么∠AOB＝度．17．已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于厘米．18．在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在边BC、AC上，AC＝3AE，∠CDE＝45°（如图），△DCE沿直线DE翻折，翻折后的点C落在△ABC内部的点F，直线AF与边BC相交于点G，如果BG＝AE，那么tan B ＝．三、解答题：（本大题共7题，满分76分）19．（10分）计算：2|1﹣sin60°|+．20．（10分）已知抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（1，0），顶点为点M．（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）求∠OAM的正弦值．21．（10分）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．（1）求这个车库的高度AB；（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）22．（10分）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD ⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．23．（12分）如图6，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．（1）求证：∠BAC＝∠AED；（2）在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证：＝．24．（12分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），与y轴的交点为C．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标．25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．2019年上海市嘉定区中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．】1．下列函数中，是二次函数的是（）A．y＝2x+1B．y＝（x﹣1）2﹣x2C．y＝1﹣x2D．y＝【分析】直接利用一次函数以及二次函数的定义分别分析得出答案．【解答】解：A、y＝2x+1，是一次函数，故此选项错误；B、y＝（x﹣1）2﹣x2，是一次函数，故此选项错误；C、y＝1﹣x2，是二次函数，符合题意；D、y＝，是反比例函数，不合题意．故选：C．【点评】此题主要考查了一次函数以及二次函数的定义，正确把握相关定义是解题关键．2．已知抛物线y＝x2+3向左平移2个单位，那么平移后的抛物线表达式是（）A．y＝（x+2）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝x2+1D．y＝x2+5【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向左平移2个单位所得直线的解析式为：y＝（x+2）2+3；故选：A．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，那么AB的长为（）A．5sin A B．5cos A C．D．【分析】依据Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，可得sin A＝，即可得到AB的长的表达式．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，∴sin A＝＝，∴AB＝，【点评】本题考查了锐角三角函数的定义的应用，我们把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦，记作sin A．4．如图，在△ABC中，点D是在边BC上，且BD＝2CD，＝，＝，那么等于（）A．＝B．＝+C．＝﹣D．＝+【分析】由BD＝2CD，求得的值，然后结合平面向量的三角形法则求得的值．【解答】解：∵BD＝2CD，∴BD＝BC．∵＝，∴＝．又＝，∴＝+＝+．故选：D．【点评】此题考查了平面向量的知识，解此题的关键是注意平面向量的三角形法则与数形结合思想的应用．5．如果点D、E分别在△ABC中的边AB和AC上，那么不能判定DE∥BC的比例式是（）A．AD：DB＝AE：EC B．DE：BC＝AD：ABC．BD：AB＝CE：AC D．AB：AC＝AD：AE【分析】根据平行线分线段成比例定理的逆定理对各选项进行判断．【解答】解：当AD：DB＝AE：EC时，DE∥BC；当BD：AB＝CE：AC时，DE∥BC；当AB：AC＝AD：AE时，则AD：AB＝AE：AC，所以DE∥BC．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．6．已知点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，过点B、C的圆记作为圆O2，过点C、A的圆记作为圆O3，则下列说法中正确的是（）A．圆O1可以经过点C B．点C可以在圆O1的内部C．点A可以在圆O2的内部D．点B可以在圆O3的内部【分析】根据已知条件对个选项进行判断即可．【解答】解：∵点C在线段AB上（点C与点A、B不重合），过点A、B的圆记作为圆O1，∴点C可以在圆O1的内部，故A错误，B正确；∵过点B、C的圆记作为圆O2，∴点A可以在圆O2的外部，故C错误；∵过点C、A的圆记作为圆O3，∴点B可以在圆O3的外部，故D错误．故选：B．【点评】本题考查了圆的认识，根据已知条件正确的作出判断是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请直接将结果填入答题纸的相应位置】7．如果抛物线y＝（k﹣2）x2+k的开口向上，那么k的取值范围是k＞2．【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．【解答】解：由题意可知：k﹣2＞0，∴k＞2，故答案为：k＞2．【点评】本题考查二次函数，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．8．抛物线y＝x2+2x与y轴的交点坐标是（0，0）．【分析】计算自变量为0所对应的函数值可得到抛物线与y轴的交点坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝x2+2x＝0，所以抛物线y＝x2+2x与y轴的交点坐标为（0，0）．故答案为（0，0）．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．9．二次函数y＝x2+4x+a图象上的最低点的横坐标为﹣2．【分析】直接利用二次函数最值求法得出函数顶点式，进而得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝x2+4x+a＝（x+2）2﹣4+a，∴二次函数图象上的最低点的横坐标为：﹣2．故答案为：﹣2．【点评】此题主要考查了二次函数的最值，正确得出二次函数顶点式是解题关键．10．如果3a＝4b（a、b都不等于零），那么＝．【分析】直接利用已知把a，b用同一未知数表示，进而计算得出答案．【解答】解：∵3a＝4b（a、b都不等于零），∴设a＝4x，则b＝3x，那么＝＝．故答案为：．【点评】此题主要考查了比例的性质，正确表示出a，b的值是解题关键．11．已知P是线段AB的黄金分割点，AB＝6cm，AP＞BP，那么AP＝3（﹣1）cm．【分析】根据黄金分割的概念得到AP＝AB，把AB＝6cm代入计算即可．【解答】解：∵P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，∴AP＝AB，而AB＝6cm，∴AP＝6×＝3（﹣1）cm．故答案为3（﹣1）．【点评】本题考查了黄金分割的概念：如果一个点把一条线段分成两条线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点；较长线段是整个线段的倍．12．如果向量、、满足关系式2﹣（﹣3）＝4，那么＝2﹣（用向量、表示）．【分析】根据平面向量的加减法计算法则和方程解题．【解答】解：2﹣（﹣3）＝42﹣+3﹣4＝02﹣﹣＝0＝2﹣故答案是：2﹣．【点评】考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量的值的，难度不大．13．如果△ABC∽△DEF，且△ABC的三边长分别为4、5、6，△DEF的最短边长为12，那么△DEF的周长等于45．【分析】根据题意求出△ABC的周长，根据相似三角形的性质列式计算即可．【解答】解：设△DEF的周长别为x，△ABC的三边长分别为4、5、6，∴△ABC的周长＝4+5+6＝15，∵△ABC∽△DEF，∴＝，解得，x＝45，故答案为：45．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键．14．在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝6，那么cos B的值＝．【分析】作AD⊥BC于D点，根据等腰三角形的性质得到BD＝BC＝3，然后根据余弦的定义求解．【解答】解：如图，作AD⊥BC于D点，∵AB＝AC＝4，BC＝6，∴BD＝BC＝3，在Rt△ABD中，cos B＝＝．故答案为．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：在直角三角形中，一锐角的余弦值等于这个角的邻边与斜边的比．也考查了等腰三角形的性质．15．小杰在楼下点A处看到楼上点B处的小明的仰角是42度，那么点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度．【分析】根据题意画出图形，然后根据平行线的性质可以求得点B处的小明看点A处的小杰的俯角的度数，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，∠BAO＝42°，∵BC∥AD，∴∠BAO＝∠ABC，∴∠ABC＝42°，即点B处的小明看点A处的小杰的俯角等于42度，故答案为：42．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．16．如图，在圆O中，AB是弦，点C是劣弧AB的中点，连接OC，AB平分OC，连接OA、OB，那么∠AOB＝120度．【分析】连接AC．证明△AOC是等边三角形即可解决问题．【解答】解：连接AC．∵＝，∴OC⊥AB，∠AOC＝∠BOC，∵AB平分OC，∴AB是线段OC的垂直平分线，∴AO＝AC，∵OA＝OC，∴OA＝OC＝AC，∴∠AOC＝60°，∴∠AOB＝120°．故答案为120．【点评】本题考查垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．已知两圆内切，半径分别为2厘米和5厘米，那么这两圆的圆心距等于3厘米．【分析】由两圆的半径分别为2和5，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系和两圆位置关系求得圆心距即可．【解答】解：∵两圆的半径分别为2和5，两圆内切，∴d＝R﹣r＝5﹣2＝3cm，故答案为：3．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系．解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系．18．在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在边BC、AC上，AC＝3AE，∠CDE＝45°（如图），△DCE沿直线DE翻折，翻折后的点C落在△ABC内部的点F，直线AF与边BC相交于点G，如果BG＝AE，那么tan B＝．【分析】设AE＝k＝BG，AC＝3k，（k≠0），可得EC＝2k，由折叠的性质可得EF＝EC＝2k，∠FED＝∠DEC＝45°，根据相似三角形的性质可得，即GC＝3EF＝6k，则可求tan B的值．【解答】解：如图，∵∠ACB＝90°，∠CDE＝45°，∴∠DEC＝45°∵AC＝3AE∴设AE＝k＝BG，AC＝3k，（k≠0）∴EC＝2k，∵折叠∴EF＝EC＝2k，∠FED＝∠DEC＝45°∴∠FEC＝90°，且∠ACB＝90°∴EF∥BC∴△AEF∽△ACG∴∴GC＝3EF＝6k，∴BC＝BG+GC＝7k，∴tan B＝＝故答案为：【点评】本题考查了翻折变换，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，熟练运用折叠的性质是本题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分76分）19．（10分）计算：2|1﹣sin60°|+．【分析】先代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案．【解答】解：2|1﹣sin60°|+＝2（1﹣）+＝2﹣+＝2﹣++＝2+．【点评】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键．20．（10分）已知抛物线y＝x2+bx﹣3经过点A（1，0），顶点为点M．（1）求抛物线的表达式及顶点M的坐标；（2）求∠OAM的正弦值．【分析】（1）把A坐标代入抛物线解析式求出b的值，确定出抛物线表达式，并求出顶点坐标即可；（2）根据（1）确定出抛物线对称轴，求出抛物线与x轴的交点B坐标，根据题意得到三角形AMB为直角三角形，由MB与AB的长，利用勾股定理求出AM的长，再利用锐角三角函数定义求出所求即可．【解答】解：（1）由题意，得1+b﹣3＝0，解这个方程，得，b＝2，所以，这个抛物线的表达式是y＝x2+2x﹣3，所以y＝（x+1）2﹣4，则顶点M的坐标为（﹣1，﹣4）；（2）由（1）得：这个抛物线的对称轴是直线x＝﹣1，设直线x＝1与x轴的交点为点B，则点B的坐标为（﹣1，0），且∠MBA＝90°，在Rt△ABM中，MB＝4，AB＝2，由勾股定理得：AM2＝MB2+AB2＝16+4＝20，即AM＝2，所以sin∠OAM＝＝．【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及解直角三角形，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（10分）某小区开展了“行车安全，方便居民”的活动，对地下车库作了改进．如图，这小区原地下车库的入口处有斜坡AC长为13米，它的坡度为i＝1：2.4，AB⊥BC，为了居民行车安全，现将斜坡的坡角改为13°，即∠ADC＝13°（此时点B、C、D在同一直线上）．（1）求这个车库的高度AB；（2）求斜坡改进后的起点D与原起点C的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：sin13°≈0.225，cos13°≈0.974，tan13°≈0.231，cot13°≈4.331）【分析】（1）根据坡度的概念，设AB＝5x，则BC＝12x，根据勾股定理列出方程，解方程即可；（2）根据余切的定义列出算式，求出DC．【解答】解：（1）由题意，得：∠ABC＝90°，i＝1：2.4，在Rt△ABC中，i＝＝，设AB＝5x，则BC＝12x，∴AB2+BC2＝AC2，∴AC＝13x，∵AC＝13，∴x＝1，∴AB＝5，答：这个车库的高度AB为5米；（2）由（1）得：BC＝12，在Rt△ABD中，cot∠ADC＝，∵∠ADC＝13°，AB＝5，∴DB＝5cot13°≈21.655（m），∴DC＝DB﹣BC＝21.655﹣12＝9.655≈9.7（米），答：斜坡改进后的起点D与原起点C的距离为9.7米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，掌握坡度的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．22．（10分）如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD ⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．【分析】（1）由OD⊥AC知AD＝DC，同理得出CE＝EB，从而知DE＝AB，据此可得答案；（2）作OH⊥AB于点H，连接OA，根据题意得出OH＝3，AH＝4，利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD＝DC，同理：CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∵AB＝8，∴DE＝4．（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，∵OH经过圆心O，∴AH＝BH＝AB，∵AB＝8，∴AH＝4，在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，∴AO＝5，即圆O的半径为5．【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了中位线定理与勾股定理．23．（12分）如图6，已知点D在△ABC的外部，AD∥BC，点E在边AB上，AB•AD＝BC•AE．（1）求证：∠BAC＝∠AED；（2）在边AC取一点F，如果∠AFE＝∠D，求证：＝．【分析】（1）欲证明∠BAC＝∠AED，只要证明△CBA∽△DAE即可；（2）由△DAE∽△CBA，可得＝，再证明四边形ADEF是平行四边形，推出DE＝AF，即可解决问题；【解答】证明（1）∵AD∥BC，∴∠B＝∠DAE，∵AB﹣AD＝BC﹣AE，∴＝，∴△CBA∽△DAE，∴∠BAC＝∠AED．（2）由（1）得△DAE∽△CBA∴∠D＝∠C，＝，∵∠AFE＝∠D，∴∠AFE＝∠C，∴EF∥BC，∵AD∥BC，∴EF∥AD，∵∠BAC＝∠AED，∴DE∥AC，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE＝AF，∴＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．24．（12分）在平面直角坐标系xOy（如图）中，抛物线y＝ax2+bx+2经过点A（4，0）、B（2，2），与y轴的交点为C．（1）试求这个抛物线的表达式；（2）如果这个抛物线的顶点为M，求△AMC的面积；（3）如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D，点E在线段AB上，且∠DOE＝45°，求点E的坐标．【分析】（1）根据点A，B的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）利用配方法可求出点M的坐标，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标，过点M作MH⊥y 轴，垂足为点H，利用分割图形求面积法可得出△AMC的面积；（3）连接OB，过点B作BG⊥x轴，垂足为点G，则△BGA，△OCB是等腰直角三角形，进而可得出∠BAO＝∠DBO，由∠DOB+∠BOE＝45°，∠BOE+∠EOA＝45°可得出∠EOA＝∠DOB，进而可证出△AOE∽△BOD，利用相似三角形的性质结合抛物线的对称轴为直线x＝1可求出AE的长，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，则△AEF为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出AF、EF的长，进而可得出点E的坐标．【解答】解：（1）将A（4，0），B（2，2）代入y＝ax2+bx+2，得：，解得：，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+2．（2）∵y＝﹣x2+x+2＝﹣（x﹣1）2+，∴顶点M的坐标为（1，）．当x＝0时，y＝﹣x2+x+2＝2，∴点C的坐标为（0，2）．过点M作MH⊥y轴，垂足为点H，如图1所示．＝S梯形AOHM﹣S△AOC﹣S△CHM，∴S△AMC＝（HM+AO）•OH﹣AO•OC﹣CH•MH，＝×（1+4）×﹣×4×2﹣×（﹣2）×1，＝．（3）连接OB，过点B作BG⊥x轴，垂足为点G，如图2所示．∵点B的坐标为（2，2），点A的坐标为（4，0），∴BG＝2，GA＝2，∴△BGA是等腰直角三角形，∴∠BAO＝45°．同理，可得：∠BOA＝45°．∵点C的坐标为（2，0），∴BC＝2，OC＝2，∴△OCB是等腰直角三角形，∴∠DBO＝45°，BO＝2，∴∠BAO＝∠DBO．∵∠DOE＝45°，∴∠DOB+∠BOE＝45°．∵∠BOE+∠EOA＝45°，∴∠EOA＝∠DOB，∴△AOE∽△BOD，∴＝．∵抛物线y＝﹣x2+x+2的对称轴是直线x＝1，∴点D的坐标为（1，2），∴BD＝1，∴＝，∴AE＝，过点E作EF⊥x轴，垂足为点F，则△AEF为等腰直角三角形，∴EF＝AF＝1，∴点E的坐标为（3，1）．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形（梯形）的面积、相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）利用分割图形求面积法结合三角形、梯形的面积公式，求出△AMC的面积；（3）通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质求出AE的长度．25．（12分）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．【分析】（1）由比例中项知＝，据此可证△AME∽△AEN得∠AEM＝∠ANE，再证∠AEM＝∠DCE可得答案；（2）先证∠ANE＝∠EAC，结合∠ANE＝∠DCE得∠DCE＝∠EAC，从而知＝，据此求得AE＝8﹣＝，由（1）得∠AEM＝∠DCE，据此知＝，求得AM＝，由＝求得MN＝；（3）分∠ENM＝∠EAC和∠ENM＝∠ECA两种情况分别求解可得．【解答】解：（1）∵AE是AM和AN的比例中项∴＝，∵∠A＝∠A，∴△AME∽△AEN，∴∠AEM＝∠ANE，∵∠D＝90°，∴∠DCE+∠DEC＝90°，∵EM⊥BC，∴∠AEM+∠DEC＝90°，∴∠AEM＝∠DCE，∴∠ANE＝∠DCE；（2）∵AC与NE互相垂直，∴∠EAC+∠AEN＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ANE+∠AEN＝90°，∴∠ANE＝∠EAC，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠DCE＝∠EAC，∴tan∠DCE＝tan∠DAC，∴＝，∵DC＝AB＝6，AD＝8，∴DE＝，∴AE＝8﹣＝，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴tan∠AEM＝tan∠DCE，∴＝，∴AM＝，∵＝，∴AN＝，∴MN＝；（3）∵∠NME＝∠MAE+∠AEM，∠AEC＝∠D+∠DCE，又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，∴∠AEC＝∠NME，当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时①∠ENM＝∠EAC，如图2，∴∠ANE＝∠EAC，由（2）得：DE＝；②∠ENM＝∠ECA，如图3，过点E作EH⊥AC，垂足为点H，由（1）得∠ANE＝∠DCE，∴∠ECA＝∠DCE，∴HE＝DE，又tan∠HAE＝＝＝，设DE＝3x，则HE＝3x，AH＝4x，AE＝5x，又AE+DE＝AD，∴5x+3x＝8，解得x＝1，∴DE＝3x＝3，综上所述，DE的长分别为或3．【点评】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质、三角函数的应用等知识点．。
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1 − 1 = 1 。因此 M I
2 N 的图形面积为
23 6
3
4. f (x) = x 2 − 2x + 2x 2 − 3x + 3 的最小值为
定 义 域 为 (−∞,0] U[2,+∞) , x 2 − 2x, 2x 2 − 3x + 3 在 (−∞,0] 上 是 减 函 数 ， 在 ,[2,+∞) 上 是 增 函 数 ， 故
解：对于剖分图中的任一三角形 ABC，P 的边界被 A，B，C 分为 3 段，A-B 段所含 P 的边数记作 m(AB)．由于 m(AB)+ m(BC)+ m(CA)=2006，故等腰三角形若有两条好边，它们必是两腰．称这样的等腰三角形为好三角形． 考虑任一好三角形 ABC(AB=AC)．A-B 段上若有别的好三角形，其两腰所截下的 P 的边数为偶数．由于剖分图 中的三角形互不交叉，而 A-B 段上 P 的边数为奇数，故 A-B 段上必有 P 的一边α不属于更小的腰段，同理 A-C 段上也有 P 的一边β不属于更小的腰段，令△ABC 对应于{α，β}．由上述取法，两个不同的好三角形对
_________________个交点. 圆周上任意四点构成一个四边形，四边形的两条对角线的交点必在圆内，所以四边形的个数与每两条弦的交点数
相等= ，故有 C140
1= 0× 9×8× 7 1× 2×3× 4
210 个交点.
7. 已 知 f (x) =x2 + 6ax − a, y =f (x) 的 图 像 与 x 轴 有 两 个 不 同 的 交 点 (x1, 0), (x2 , 0) 且
1
m2 , m ∈ N *, 则 (m − 2n)(m + 2n) = p2
m − 2n = 1
Q
p是质数，且p
≥
3, ∴ m
+
2n
, = p2
解得
m = n =
p2 +1 2
p2 −1 4
∴=k
p ±= m
2 p ± ( p2 +1) , 故=k
( p +1)2
。（负值舍去）
2
4
4
6. 圆周上给定 10 个点，每两点连一条弦，如果没有三条弦交于圆内一点，那么，这些弦在圆内一共有
得
c＝2，b＝2
2.已知 a ∈ R, 并且 a 2 − 2x 2 > x + a (a > 0) ，则 a 的取值范围是
a 2 − 2x2 ≥ 0 (1)
x + a < 0
a 2 − 2x2 ≥ 0 (2)x + a ≥ 0
a 2 − 2x 2 > (x + a)2
a > 0,解集为(− 2 a,0), a = 0,解集为Φ，a < 0,解集为[ 2 a,− 2 a]
由于12 + 22 + 32 + L + n2 = n(n + 1)(2n + 1) 6
∴ (a12 + a22 + a32 + L + a1200 ) + (b12 + b22 + L + b929 )
=12 + 22 + 32 + L
+ 1992
199(199
=
+ 1)(2 ×199
+ 1)
=2646700，……①
(1 −
6a
−
x1 )(1 −
6a
−
x2 )
=f
(1 −
6a)
=1 −
7a
，所以， a − 3= 1− 7a
8a − 3
1
解得 a=0.5 或者 a=0(舍)。故 a=
2
8. 对 给 定 的 整 数 m ， 符 号 ϕ(m) 表 示 {1, 2,3} 中 使 m + ϕ(m) 能 被 3 整 除 的 唯 一 值 ， 那 么
2
2
2
∥BO，于是本题得证。
三（15 分）设 I = {1,2,3,L ,199} ， A = {a1, a2 , a3 ,L , a100} ⊂ I ，且 A 中元素满足：对任何1 ≤ i < j ≤ 100 ，恒
3
有 ai + a j ≠ 200 ．
（1）试说明：集合 A 的所有元素之和必为偶数；
4
2006
应的二元集无公共元，因此好三角形不多于
=1003 个．
2
设 P=A1A2…A2006，用对角线 A1A2k+1(1≤k≤1002)及 A2k+1A2k+3(1≤k≤1001)所作的剖分图恰有 1003 个好三角 形．因此，好三角形个数的最大值是 1003． 五.(15 分) 求最小实数 M，使得对一切实数 a，b，c 都成立不等式
二.(15 分) 在△ABC 中，AB＞BC，K、M 分别是边 AB 和 AC 的中点，O 是△ABC 的内心。设 P 点是直线 KM 和 CO 的 交点，而 Q 点使得 QP⊥KM 且 QM∥BO，证明：QO⊥AC。 证：作 OR⊥AC 于 R，过 P 作 MK 的垂线，交直线 OR 于 Q 点（如图）。这样只需证 Q’M∥O，因为这时 Q 和 Q’重 合。
由于[x]∈ Z ，验证可知[x] = 1 ，此时， x = 3 7 ，[x] = 2 此时 x = 3 10
当[x] = 0 时，无解
当[x] < 0 时，[x]= x −{x}，由于 0 ≤ {x} < 1 ，故 0 ≤ x −[x] < 1
又 x3 = 3[x] + 4 ≥ 3(x −{x}) + 4 = 3x − 3{x} + 4
3
22
3. 设 在 xOy 平 面 上 ， 0 < y ≤ x2 ， 0 ≤ x ≤ 1 所 围 成 图 形 的 面 积 为 1 ， 则 集 合 M = {(x, y) y − x ≤ 1}, 3
N = {(x, y) y ≥ x2 + 1}的交集 M I N 所表示的图形面积为
M I N 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称，由此 M I N 的图形面积只要算出在第一象限的图形面积乘以 4 即得。为此，只要考虑在第一象限的面积就可以了。由题意可得， M I N 的图形在第一象限的面积为 A＝
fnin (x) = min{ f (0), f (2)} = 3 5. 设 p 是给定的奇质数，正整数 k 使得 k 2 − pk 也是一个正整数，则 k=____________
设 k 2 − pk = n, n ∈ N *,则 k 2 − pk − n2 = 0, k = p ± p2 + 4n2 ，从而 p2 + 4n2 是平方数，设为 2
∵以上 100 个集合中，奇数同时出现，且含奇数的集合共 50 个，
∴集合 A 的所有元素之和必为偶数．
（2）不妨设 a1, a2 ,L , a99 为依次从以上前 99 个集合中选取的元素， a100 = 100 ，
且记各集合的落选元素分别为 b1, b2 ,L , b99 ，则 ai + bi = 200 ， (i = 1,2,L ,99) ，
a
−
3
= 8a − 3 ，则 a 的值为 .
(1+ x1)(1+ x2 ) (1− 6a − x1)(1− 6a − x2 )
首 先 ， 由=∆
36a2 + 4a > 0 ， 得 a>0 或
a<
−
1 9
，由题意，可设
f (x) =
x2 + 6ax − a = (x − x1)(x − x2 )
则
(1+ x1)(1+ x2 ) = f (−1) =1− 7a ，
2
10. 将 方 程 x3 − 3[x] − 4 =0 （ [x] 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 ） 的 实 数 解 从 小 到 大 排 列 成 x1, x2 ,L , xk ， 则 x13 + x23 +L + xk3 = 16 = x3 3[x] + 4 ,当[x] > 0 时， x3= 3[x] + 4 ≥ [x]3 ≥ [x]2 ， ∴[x]3 − 3[x] − 4 ≤ 0 ， −1 ≤ [x] ≤ 4 ，∵[x] > 0 ，∴ 0 < [x] ≤ 4
2
在四形边 MPQ’R 中，∠MPQ’＝∠MRQ’＝90°，所以 MPQ’R 内接于圆，于是∠Q’MR＝∠Q’PR＝∠Q’PO＋∠OPR＝
1
1
1
（90°－∠OPM）＋ ∠BAC＝（90°－ ∠ACB）＋ ∠BAC。
2
2
2
1
1
1
设 BO 交 AC 于 D，在△BDC 中，∠BDC＝180°－∠ACB－ ∠ABC＝90°＋ ∠BAC－ ∠ACB＝∠Q’MR，因此 MQ’
∴ −3 < x3 − 3x − 4 ≤ 0
由 x3 − 3x − 4 ≤ 0 得 x < −1− 17 , −1 ≤ x ≤ −1+ 17
2
2
当 x < −1时， −3 < x3 − 3x − 4 不成立；又[x] < 0
易得 −1 ≤ x ≤ 0 ， x ∈ Z ,∴ x = −1 ，0
x13 + x23 +L + xk3 =16
故ϕ(22010 −1) + ϕ(22010 − 2) + ϕ(22010 − 3) =6 .
9.
已知 a, b, c 为非负数，则
f (a,b, c)