人教版高中数学选修4-6 第二讲 同余与同余方程 五 拉格朗日插值和孙子定理 名师课件【集体备课】

证明：
因为 yn+1 - xn+1 = f(yn ) - f(xn )
yn - xn
yn - xn
由拉格朗日中值定理知: 总存在 (xn使, y得n )
由于 又 yn+1 - xn+1 = f'(ξ)
yn - xn
当
(
xn
,
yn
)
[0,
1] 2
f '(x故) 得3x2证 2x 1
2
1
1
x [0, ],[ f 2
6、每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5 人一排多3人，问至少有多少人 ？ 解：由于9,7,5互素,故同样可用孙子定理. 解1 7×5c1 =35c1≡1(mod9) 得 c1 ≡ 8(mod9), 解2 9×5c2 =45c2≡1(mod7) 得 c2 ≡ 5(mod7), 解3 9×7c3 =63c3≡1(mod5) 得 c3 ≡ 2(mod5), 于是,选取c1=2， c2=3， c3=11 得 x≡6×7×5×8+2×9×5×5+3×9×7×2 ≡303(mod305) 是同余方程的解.所以至少303人.
于是,选取c1=2， c2=3， c3=11 得
x≡2×7×11×2+1×3×11×3+2×3×7×10=727
≡24(mod231) 是同余方程的解.
再见
故
5︱p，7︱p，于是p=5×7×c，c为整数再由
p≡1（mod3）即5×7×c ≡1（mod3） 若c=2，
则p=70.同理求得q=21，r=15.
所以
k=233，x ≡233≡23（mod105）.
此求同余方程组的方法即孙子定理.
孙子定理 设a，b，c为两两互素的正整数， e，f，g为任意整数，则同余方程组
t
2
-
(2t
-
= > 2t - 1 > 1
1即) 实ξ数取值范围（-∞,2]
a 1即a 2
2
2、已知函数 f(x) = x2 + 2 + alnx (x > 0) ， f（x）的导数是f’
x
（x），任意两个不等正数x1，x2证：若a≤4，︳ f’
（x1）- f’（x2） ︳> ︱x1- x2 ︳ ，
证明：要证︱f’（x1）- f’（x2） ︳> ︱x1- x2
︳ 只要证f'(x2) - f'(x1) > 1 由拉格朗日定理，总存在 x2 - x1 x1 x2 使 f ''( ) 1 故只要证明 f ''( ) 1
只要证
f''ξ =
2
+
4 ξ3
-
a ξ2
>
2
+
4 ξ3
-
4 ξ2
>1
令
g( )
2
3
2
4
2
，则
g
'(
)
8
3
6
4
2(4 3) 4
令
g
'( )
0
3ห้องสมุดไป่ตู้4
gmin
g(3) 4
1
故当a≤4时︱f’（x1）- f’（x2） ︳> ︱x1- x2
︳ 3、已知函数
f (x) x3 x2且 12存x 在14 x0∈(0, ) ,使
f(x0)=x0. 证明：
yn1 xn1 1 yn xn 2
孙子定理的推导过程.
3.
用孙子定理解一次同余方程.
难点
建立拉格朗日插值公式和推导孙子定理.
孙子算经翻译：一个数除以3余2，除以5余3， 除以7余2，问这个数是几?
m=3x+2 x≡2（mod3） 相当于解方程组 m=5y+3 即 x≡3（mod5）
m=7z+2 x≡2（mod3）
同余方程组
为了能更方便的求解方程组我们将学 习拉格朗日插值法.
证明:当t≥1时，f(2t－1)≥2f(t)－3 恒成立.
即
（2t-1）2+2（2t-1）+aln（2t-1）≥2t2+4t+2alnt-3当
t≥1恒成立.
即a[lnt2-ln（2t-1）] ≤2（t-1）2
当t=1时，不等式恒成立,此时a∈R.
当t>1时，由于t2-（2t-1）=（t-1）2>0，
所以
lnt2>ln（2t-1）
故a 2
t2 lnt 2
- (2t - 1) - ln(2t - 1)
当t≥1时恒成立.
ξ (2t - 1, t2 )
h成(x立)=llnntt22x--,(l由n2t(2-故拉t1-)1格) =朗h'(日ξ) =定1ξ理知,
使得
lnt2 - ln(2t - 1) 1
所以
求整数q,使q≡0（mod3）, q ≡1（mod5）, q≡0（mod7）.
求整数r,使r≡0（mod3）, r ≡0（mod5）, r≡1（mod7）.
2）作整数k=2×p+3×q+2×r，这个k使同余式
都成了.此时x≡k（mod3×5×7）现在的焦点
就是如何求p、q、r.
由于
p≡0（mod5），p ≡1（mod7）
你知道有多少只鸡吗？
你能够解决以上的问题，求出数 值吗？要解决以上的问题穷举法显 然是不可能的，这就涉及到我们今 天要学习的知识，拉格朗日插值法、 孙子定理.
教学目标
知识与能力
1.理解一次同余式组的概念. 2.理解拉格朗日插值公式的建立过程及推导孙 子定理的过程. 3.掌握用孙子定理法求一次同余式组的解.
x≡e（moda） x≡f（modb），仅有一解： x≡g（modc） x≡ebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中c1， c2，c3分别满足同余式：bcc1≡1（moda） acc2 ≡1（modb）,abc3 ≡1（moda）的整数.
针对性练习
1、已知函数f（x）=x2+2x+alnx当t≥1时, 不等式 f(2t－1) ≥2f(t)－3恒成立, 求实数a的取值范围.
显然p(x2)=0,p(x3)=0 再代入p（x1）=1,可
求得c为 (x1 - x2)（ x1 – x3）的倒数. 求得
p(x)
x x1
x2 x2
x x3 x1 x3
同理得
q(x)
x x1 x x3 x2 x1 x2 x3
r(x)
x
x3
x1 x1
x x2 x3 x2
'( x)]max
f
'(0)
2
yn+1 - xn+1 < 1 yn - xn 2
课堂练习
1、求整数n，它被3，5，7除的余数分别
是1，2，3,则该整数最小为（ 52）.
2、解同余方程组
x 8(mod15)
x 5(mod 8)
x 13(mod则25x) 为
(
).21531056
3、有一个数，除以3余2，除以4余1，问这 个数除以12余（ A ）.
7、3除余2，被7除余1，被11除余2，求同余方程
的解.
解：由于3,7,11互素,故同样可用孙子定理.
解1 7×11c1 =77c1≡1(mod3) 得 c1 ≡ 2(mod2),
解2 3×11c2 =33c2≡1(mod7) 得 c2 ≡ 3(mod7),
解3
3×7c3 =21c3≡1(mod11) 得 c3 ≡ 10(mod11),
知识回顾
学过的函数： 一次函数 f（x）=ax+b+c 二次函数 f（x）=ax2+bx+c f（1）= a+b+c
方程组：
f（-1）= a-b+c
f（2）= 4a+2b+c
导入新课
今有物不知数，三 三数之剩二，五五数之 剩三，七七数之剩二， 问物几何？
你能算出来吗？
今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有 九十四足，问鸡兔各几何？ 这四句话的意思是：有若干 只鸡兔同在一个笼子里，从 上面数，有35个头；从下面 数，有94只脚.求笼中各有几只鸡和兔 .
x≡e（moda）， x≡f（modb），仅有一解： x≡g（modc） x≡ebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中c1， c2，c3分别满足同余式：bcc1≡1（moda） acc2 ≡1（modb）,abc3 ≡1（moda）的整数.
课堂小结
一、一次同余式组： x≡e（moda）
过程与方法
1.先阅读案例，探究解决问题的算法. 2.研读算法，体会算法思想，能解决具体问题.
情感态度与价值观
1.通过算法案例的学习，了解中国古代数学家对世界 数学发展的伟大贡献，增强民自豪感和自信心. 2.在学习的同时，学会做有爱国心，品格高尚的人， 树立远大理想和目标.
教学重难点
重点
1.理解拉格朗日插值公式的建立过程. 2.
x≡f（modb） x≡g（modc）
二、拉格朗日插值公式：
f(x)=e·p(x)+f ·q(x)+ g ·r(x)
xbxc xaxc xaxb p(x) a ba c ,q(x) b ab c ,r(x) c ac b
三、孙子定理：
设a，b，c为两两互素的正整数，e，f，g为任 意整数，则同余方程组
我们知道，在二次函数f（x）=ax2+bx+c中只要
我们知道其上的三个值如（x1，f（x1））， （x2，f
（x2））， （x2，f（x2）），就能得到要求的多项事.