《数学模型》

《数学模型》考试大纲适应专业：数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业一、课程性质与目的要求数学模型课亦称为数学建模课，它是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业必修课或限选课，教育部1998年颁布的高等学校本科专业目录中，把“数学模型”课作为数学类专业的必开课。

数学模型是架于实际问题与数学理论之间的桥梁。

数学模型就是应用数学语言和方法，对于现实世界中的实际问题进行抽象、简化和假设所得到的数学结构。

本课程是研究数学建模的理论、思想和方法，研究建立数学模型、简单的优化模型、数学规划模型、微分方程模型、代数方程与差分方程模型、稳定性模型、离散模型、概率模型等。

数学模型课需要用到数学分析、高等代数、微分方程、图论、概率统计、运筹学等数学知识，它是学生所学数学知识的综合应用，是培养学生综合素质以及应用数学知识解决实际问题的能力的良好课程。

该课程的考试评价依据是按照课程目标、教学内容和要求，把握合适的难易程度出试卷，用笔试的方法对学生学习情况和学习成绩做出评价。

二、课程内容和考核要求第一章建立数学模型１、考核知识点：数学建模的背景及重要意义、数学模型与数学建模、数学模型的分类与特点、数学建模的基本方法和步骤、数学建模举例等。

２、考核要求：（1）理解数学建模的背景及意义、原型、模型、数学模型、数学建模等概念。

（2）理解数学模型的各种分类、数学模型的特点。

（3）理解数学建模的基本方法和步骤、通过实例初步了解数学建模的思想和方法。

第二章简单的优化模型１、考核知识点：存储模型、生猪的出售时机、森林救火、冰山运输等。

２、考核要求：（1）掌握应用微积分理论建立存储问题模型。

（2）理解应用微积分理论建立生猪的出售时机模型和森林灭火模型。

（3）理解应用微积分理论建立冰山运输问题模型。

第三章数学规划模型１、考核知识点：数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤、生产安排问题、奶制品的生产与销售等。

２、考核要求：（1）掌握数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤。

（2）掌握生产安排问题的模型及图解法。

（3）理解奶制品的生产与销售的模型及求解。

第四章微分方程模型１、考核知识点：传染病模型、正规战与游击战、药物在体内的分布与排除、香烟过滤嘴的作用等。

２、考核要求：（1）理解传染病问题的建模及讨论。

（2）理解战争问题、房室问题的建模及讨论。

（3）了解香烟过滤嘴作用问题的建模及讨论。

第五章代数方程与差分方程模型１、考核知识点：量纲、量纲齐次原理、量纲分析法、差分方程的基本概念、市场经济中蛛网模型、节食与运动问题等。

２、考核要求：（1）掌握量纲、量纲齐次原理、量纲分析法建模及解法步骤。

（2）掌握市场经济中蛛网模型及解法步骤。

（3）理解理解差分方程的基本概念、减肥问题的建模思想。

第六章稳定性模型１、考核知识点：捕鱼业的持续收获、军备竞赛２、考核要求：（1）掌握捕鱼业的持续收获问题的建模、解法步骤及相关讨论。

（2）理解军备竞赛问题的建模及分析讨论。

第七章离散模型１、考核知识点：层次分析法的概念、思想和方法，循环比赛的名次问题，公平席位分配问题２、考核要求：（1）理解层次分析法的概念、思想、方法和建模思想。

（2）理解循环比赛及竞赛图的思想和方法。

（3）知道应用初等数学理论来构造公平席位分配的数学模型。

第八章概率模型１、考核知识点：传送系统的效率、报童的诀窍、蛋糕问题、随机存贮策略。

２、考核要求：（1）理解传送系统效率问题的建模与讨论。

（2）掌握报童等相关问题建模与讨论。

（3）了解随机存贮策略问题的建模思想。

三、考试形式、试卷结构及样题1、考试形式为闭卷、笔试。

2、试卷满分为100分，考试时间为120分钟。

成绩采用百分制. 总成绩=平时30%+期末笔试70%。

3、试题类型与比例：填空题约占16%；简答题约占24%；应用计算题约占60%。

4、样题与目标定位示例：1）填空题：着重考察学生对概念知识的了解、理解程度。

例：1．数学建模方法大体上可分为 和 两种.2．按照对模型结构的了解程度来分类的模型名称有： 、 、 .3．n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件为 ．4．一般的n 个顶点的竞赛图具有以下性质（1） ；（2） ．5.从层次分析法的原理、步骤、应用等方面的讨论看出它有以下优点： ； ； ．6．甲乙双方在t 时刻的军备分别记作()x t 和()y t ，其变化过程可用方程组 ()()x t x ky g yt lx y αβ=-++⎧⎨=-⎩ 表示，则平衡点00(,)x y 为0x = ，0y = . 7．考虑传送系统效率：n 个工人的生产是相互独立的，一周期内带走的产品数s 与生产的全部产品数之比D ，若能对一周期内的m 只钩子求出每只钩子非空(即挂上产品)的概率p ，则=s ．8. 每对顶点之间都有一条边相连的 称为竞赛图； 称为双向连通图．2）简答题：着重考察学生对知识的理解、掌握程度。

例：1．一饲养场每天投入5元资金用于饲料、设备、人力，估计可使一头70公斤重的生猪每天增加r 公斤．目前生猪出售的市场价格为每公斤10元，但是预测每天会降低g 元，试写出生猪最佳出售时机的纯利润函数（目标函数）．2. 基于思想性、艺术性、娱乐性、票房等四项因素，拟用层次分析法在电影A 、电影B 、电影C 这三个方案中选一个，画出目标为“评选影片”的层次结构图.3. 考虑正规战争问题. 假设甲乙交战双方时刻t 的兵力分别为()t x 和()t y ，其战斗减员率都与对方兵力成正比，比例系数分别为a 、b ；甲乙双方的增援率函数分别为()t u 和()t v ；而非战争减员率与本方的兵力成正比，比例系数分别为α、β. 试写出正规战争数学模型.4．简述层次分析法的基本步骤，并写出一致性指标的定义.3）应用计算题：着重考察学生对知识的掌握与应用程度。

例：1．已知深水中波的传播速度v 与波长λ、水深d 、水的密度ρ和重力加速度g 有关，试用量纲分析方法给出波的速度v 的表达式．2. 已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和114-++⎛⎫= ⎪⎝⎭k k k y y x g ．试建立关于商品价格k y 的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件．3. 设某渔场鱼量)(t x (时刻t 渔场中鱼的数量)的自然增长规为：()[1dx t rx dt = 其中r 为固有增长率，N 为环境容许的最大鱼量，而单位捕捞量为h Ex =．(1)．求渔场鱼量的非负平衡点，并讨论其稳定性；(2)．试确定捕捞强度m E ，使渔场单位时间内具有最大持续产量m h ．4．某生产作坊每天要生产A 、B 两种肉制品，已知生产单位产品A 所需1台机器设备和4kg 的猪肉，生产单位产品B 所需1台机器设备和4kg 的牛肉，该生产作坊可供生产的机器设备一共是8台，并且每天的猪肉库存为16kg ，牛肉库存为12kg.每单位产品A 可获利2元，每单位产品B 可获利3元.如何安排生产，使得该作坊的获利最大？四、学习用书与参考书目1、姜启源、谢金星、叶俊编《数学模型》（第四版）[M]..北京：高等教育出版社.2011.1.2、韩中庚编著. 数学建模方法及其应用（第二版）[M]. 北京：高等教育出版社.2009.6.五、其它模拟练习题1． 写出5个按照建立模型的目的分类的数学模型名称；写出5个按照建立数学模型的数学方法分类的模型名称．叙述数学模型的概念，并给出建立数学模型的基本步骤？数学建模的全过程分为哪几个阶段？2． 4个顶点的竞赛图共有几种形式？ 循环比赛（竞赛图的定义、由得分向量写出竞赛图或邻接矩阵、双向连通图、排名次等）．3. 层次分析法的基本步骤, 层次分析模型（写出层次结构图、一致性矩阵定义等）．4．求正互反矩阵的最大特征根和特征向量的实用算法？n 阶正互反阵A 是一致阵的充要条件?5．有4支球队A 、B 、C 、D 进行单循环赛，比赛结果是这样的：A 胜B 和C ，B 胜C 和D ，C 胜D ，D 胜A.试给出这4支球队比赛对应的竞赛图或其邻接矩阵，得分向量.它是否为双向连通图？并给出这4支球队的名次.6．已知5个顶点A 、B 、C 、D 、E 的竞赛图P 的得分向量为)0,1,2,3,4(=s .试作出满足条件的竞赛图，并写出此图对应的邻接矩阵.7. 基于经济效益、社会效益、学术创新、环境效益、技术创新五项因素来评价科技成果，拟用层次分析法在项目A 、项目B 、项目C 这三个科技成果中选一个，画出目标为“科技成果评价”的层次结构图.8．已知水泵的输出功率N 与单位体积水的重量=g γρ、单位体积流量Q 、扬程高度H 有关，用量纲分析方法求水泵输出功率的表达式.9．某工厂生产甲、乙两种化工产品,生产每吨产品需要电消耗、煤消耗、劳动力人.试安排每天的生产任务,使产值最大,并求出最大产值.10. 与Logistic 模型不同的另一种描述种群增长规律的是Gompertz 模型：x N rx dt t dx ln )(.= 其中r 和N 的意义与Logistic 模型相同 设渔场鱼量的自然增长服从这个模型,又单位捕捞量为Ex h =.讨论渔场鱼量的平衡点及其稳定性,求最大持续产量m h 及获得最大产量的捕捞强度m E 和渔场鱼量水平*0x .11.已知某商品在k 时段的数量和价格分别为k x 和k y ，其中1个时段相当于商品的一个生产周期.设该商品的需求函数和供应函数分别为)(k k x f y =和1111()22k k k x g y y +-=+.试建立关于商品价格k y 的差分方程模型，并讨论稳定平衡条件.。