高等光学课件 第三讲
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《光学》全套课件 PPT
增反膜----利用薄膜上、下表面反射光的光程差满足相长
干涉,因此反射光因干涉而加强。
例 已知用波长 550nm ,照相机镜头n3=1.5,其
上涂一层 n2=1.38的氟化镁增透膜,光线垂直入射。
问:若反射光相消干涉的条件中
取 k=1,膜的厚度为多少?此增
n1 1
透膜在可见光范围内有没有增反?
I
=
1 2
E02
二、光是电磁波
光是电磁波,把电磁波按波长或频率的次序排列成谱,称为 电磁波谱。可见光是一种波长很短的电磁波,其波长范围为
400nm~760nm频率范围为7.51014Hz~3.9 1014Hz,它是能引起视
觉的电磁波。在真空中,光的不同波长范围与人眼不同颜色感觉 之间的对应关系如下
n2 1.38 d
墨翟(公元前468~376年)
• 从内容上看,墨经中有八条关于光学方面的(钱临照, 物理通极,一卷三期,1951)第一条,叙述了影的定 义与生成;第二条说明光与影的关系;第三条,畅言 光的直线传播,并用针孔成像来说明;第四条,说明 光有反射性能;第五条,论光和光源的关系而定影的 大小;第六、七、八条,分别叙述了平面镜、凹球面 镜和凸球面镜中物和像的关系。欧几里德在《光学》 中,研究了平面镜成像问题,指出反射角等于入射角 的反射定律,但也同时反映了对光的错误认识——从 人眼向被看见的物体伸展着某种触须似的东西。
干涉,因此反射光因干涉而加强。
例 已知用波长 550nm ,照相机镜头n3=1.5,其
上涂一层 n2=1.38的氟化镁增透膜,光线垂直入射。
问:若反射光相消干涉的条件中
取 k=1,膜的厚度为多少?此增
n1 1
透膜在可见光范围内有没有增反?
I
=
1 2
E02
二、光是电磁波
光是电磁波,把电磁波按波长或频率的次序排列成谱,称为 电磁波谱。可见光是一种波长很短的电磁波,其波长范围为
400nm~760nm频率范围为7.51014Hz~3.9 1014Hz,它是能引起视
觉的电磁波。在真空中,光的不同波长范围与人眼不同颜色感觉 之间的对应关系如下
n2 1.38 d
墨翟(公元前468~376年)
• 从内容上看,墨经中有八条关于光学方面的(钱临照, 物理通极,一卷三期,1951)第一条,叙述了影的定 义与生成;第二条说明光与影的关系;第三条,畅言 光的直线传播,并用针孔成像来说明;第四条,说明 光有反射性能;第五条,论光和光源的关系而定影的 大小;第六、七、八条,分别叙述了平面镜、凹球面 镜和凸球面镜中物和像的关系。欧几里德在《光学》 中,研究了平面镜成像问题,指出反射角等于入射角 的反射定律,但也同时反映了对光的错误认识——从 人眼向被看见的物体伸展着某种触须似的东西。
应用光学 赵存华著 I 1-21章精选ppt课件
n’sinI’,该公式中出现了正弦函数,所以Snell定律不是线性关系。 正弦函数由泰勒展开为 siIn I1I31I51I7
3! 5! 7!
如果上式仅取第一项 sinI I ,则Snell定律可写为 nIn'I'
上式称为近轴近似。在近轴近似时,我们在下一章将会看到,线 性的Snell定律会成理想像。
1.2.2 光速
由(1.2)式、(1.3)式和(1.4)式可得
1 1 1 c
00
rr
rr
第二章 几何光学基本定律
第二章 几何光学基本定律
2.1 光的直线传播定律 2.1.1 光的直线传播 2.1.2 直线传播的破坏 2.2 光的独立传播定律 2.3 光的反射定律 2.4 光的折射定律 2.5 光路可逆 2.6 Snell定律 2.6.1折射率 2.6.2 Snell定律 2.6.3 Snell定律的讨论 2.7 全反射 2.7.1 全反射 2.7.2 全反射的应用
3.1 成像的概念
无数像点的集合就形成了物的“像”。物与像称为物像关系, 也称之为共轭。
3.1 成像的概念
像的虚实
3.2 理想像
理想像,应该满足:
1. 成像清晰; 2. 没有形变。
除了平面反射镜之外,镜头都不可 能达到完美的满足以上两个条件。
3.2.2 理想像的违背
3! 5! 7!
如果上式仅取第一项 sinI I ,则Snell定律可写为 nIn'I'
上式称为近轴近似。在近轴近似时,我们在下一章将会看到,线 性的Snell定律会成理想像。
1.2.2 光速
由(1.2)式、(1.3)式和(1.4)式可得
1 1 1 c
00
rr
rr
第二章 几何光学基本定律
第二章 几何光学基本定律
2.1 光的直线传播定律 2.1.1 光的直线传播 2.1.2 直线传播的破坏 2.2 光的独立传播定律 2.3 光的反射定律 2.4 光的折射定律 2.5 光路可逆 2.6 Snell定律 2.6.1折射率 2.6.2 Snell定律 2.6.3 Snell定律的讨论 2.7 全反射 2.7.1 全反射 2.7.2 全反射的应用
3.1 成像的概念
无数像点的集合就形成了物的“像”。物与像称为物像关系, 也称之为共轭。
3.1 成像的概念
像的虚实
3.2 理想像
理想像,应该满足:
1. 成像清晰; 2. 没有形变。
除了平面反射镜之外,镜头都不可 能达到完美的满足以上两个条件。
3.2.2 理想像的违背
《光学》全套课件
素有关。
应用领域
自聚焦现象在激光加工、光学通 信等领域具有广泛的应用价值。
非线性光学材料研究进展
非线性光学材料种类
包括无机晶体、有机高分子材料、半导体材料等。
研究进展
近年来,随着纳米技术、微纳加工技术的发展,非线性光学材料的研究取得了重要进展, 如纳米线、纳米管等新型非线性光学材料的出现。
应用前景
实验注意事项
需要避免激光对眼睛和皮肤的伤害 ,同时确保实验环境的安全。
自聚焦现象产生原因分析
产生原因
当强激光束通过非线性介质时, 由于介质的折射率与光强有关, 因此光束中心部分的折射率比边 缘部分高,导致光束在传播过程
中发生自聚焦现象。
影响因素
自聚焦现象的产生与激光功率、 介质非线性系数、光束直径等因
干涉现象及其条件分析
干涉现象定义
干涉是指两列或几列光波在空间某些区域 叠加时,相互加强或减弱的现象。
干涉条件
两列光波的频率相同、振动方向相同、相 位差恒定。
常见干涉类型
杨氏双缝干涉、薄膜干涉等。
干涉现象应用
测量光波波长、检测光学元件表面质量等 。
衍射现象及其分类讨论
衍射现象定义
衍射是指光波在传播过程中,遇
Fra Baidu bibliotek
光学仪器基本原理介绍
望远镜
利用透镜或透镜组来放大远处物体的视角 ,使远处物体看起来更近、更大。
应用领域
自聚焦现象在激光加工、光学通 信等领域具有广泛的应用价值。
非线性光学材料研究进展
非线性光学材料种类
包括无机晶体、有机高分子材料、半导体材料等。
研究进展
近年来,随着纳米技术、微纳加工技术的发展,非线性光学材料的研究取得了重要进展, 如纳米线、纳米管等新型非线性光学材料的出现。
应用前景
实验注意事项
需要避免激光对眼睛和皮肤的伤害 ,同时确保实验环境的安全。
自聚焦现象产生原因分析
产生原因
当强激光束通过非线性介质时, 由于介质的折射率与光强有关, 因此光束中心部分的折射率比边 缘部分高,导致光束在传播过程
中发生自聚焦现象。
影响因素
自聚焦现象的产生与激光功率、 介质非线性系数、光束直径等因
干涉现象及其条件分析
干涉现象定义
干涉是指两列或几列光波在空间某些区域 叠加时,相互加强或减弱的现象。
干涉条件
两列光波的频率相同、振动方向相同、相 位差恒定。
常见干涉类型
杨氏双缝干涉、薄膜干涉等。
干涉现象应用
测量光波波长、检测光学元件表面质量等 。
衍射现象及其分类讨论
衍射现象定义
衍射是指光波在传播过程中,遇
Fra Baidu bibliotek
光学仪器基本原理介绍
望远镜
利用透镜或透镜组来放大远处物体的视角 ,使远处物体看起来更近、更大。
基础光学(赵凯华版)课件Chap3_Interference
Magnitude (modulus, absolute value): ~z x 2 y 2 r ~z ~z Complex conjugate: ~z x iy x iy rei rei Math: ~z1 ~z2 x1 x2 i y1 y2
Wave 2: k2 r k2 sin y k2 cos z
1 A1e
direction i k1 z t
2 A2 ei k
2
y sin z cos t
1 A1 coskz t
2 A2 cosk y sin z cos t
2 A2 sin kx t 2 A2 sin kx t
A1 A2 sin kx t
Amplitude of the resulting wave increases: constructive interference (相干相长)
~z rcos i sin
Euler formula: ei cos i sin Any complex number: ~z rei
Argand diagram
3D plane wave: r , t A sin k r t ' A cos k r t
工程光学(光阑)(高等课件)
定义:光学系统中限制成像范围的光阑称为视场光阑。
作用:限制物平面或物空间的成像范围。
(二)视场光阑、入射窗和出射窗的判断
具体方法是:由入瞳中心向系统物空间所有光阑像(被其前面光组所成 的像)的边缘引伸光线,其中对入瞳中心张角最小者被称为系统的入射窗, 简称入窗。入窗所对应的光阑就是视场光阑。视场光阑被其后面光组在系统 像空间所成的像称为系统的出射窗,简称出窗。
定义:用来限制进入光学系统的成像光束的光阑,被称为孔径光阑。
作用:
1、孔径光阑可以限制轴上点的成像光束,同时也具有限制轴外点的成像光
束。
2、孔径光阑的位置对于轴外点的成高像级课有件着非常大的影响。
3
孔径光阑对轴上点光束的限制:由图可以看出,放在什么位置,效果一样。
-u
u’
-u
u’
-u
u’
孔径光阑对轴外点光束的限制:孔径光阑位置不同,轴外点参与成像的光 束的位置也不同,光束通过透镜的部位也不同。孔径光阑的位置影响透镜 口径的大小。当光阑位于透镜上时,透镜口径最小。
0.021
tguP
DP' / 2 100 40
2/2 60
0.0167
比 较 三 个 孔 径 角uP u2 u1 , 所 有 光 孔P为 孔 径 光 阑 。
D
为
p
系
作用:限制物平面或物空间的成像范围。
(二)视场光阑、入射窗和出射窗的判断
具体方法是:由入瞳中心向系统物空间所有光阑像(被其前面光组所成 的像)的边缘引伸光线,其中对入瞳中心张角最小者被称为系统的入射窗, 简称入窗。入窗所对应的光阑就是视场光阑。视场光阑被其后面光组在系统 像空间所成的像称为系统的出射窗,简称出窗。
定义:用来限制进入光学系统的成像光束的光阑,被称为孔径光阑。
作用:
1、孔径光阑可以限制轴上点的成像光束,同时也具有限制轴外点的成像光
束。
2、孔径光阑的位置对于轴外点的成高像级课有件着非常大的影响。
3
孔径光阑对轴上点光束的限制:由图可以看出,放在什么位置,效果一样。
-u
u’
-u
u’
-u
u’
孔径光阑对轴外点光束的限制:孔径光阑位置不同,轴外点参与成像的光 束的位置也不同,光束通过透镜的部位也不同。孔径光阑的位置影响透镜 口径的大小。当光阑位于透镜上时,透镜口径最小。
0.021
tguP
DP' / 2 100 40
2/2 60
0.0167
比 较 三 个 孔 径 角uP u2 u1 , 所 有 光 孔P为 孔 径 光 阑 。
D
为
p
系
光学基本知识讲座PPT课件
由于同一介质对不同颜色的光有不同的折
射率,所以在成像时,不同颜色的光成像在不
同的位置,且具有不同的放大倍率。
色差分类:
1.位置色差
2.倍率色差
.
32
位置色差
表述轴上点用不同色光成像时,其像点的位置差异。
由于色差的存在,光轴上一点即使以细光束成
像也得不到清晰的像。它的值用下式描述:
δlch’=lF’-lC’
光学基本知识
第一部分 几何光学
.
1
几何光学基本知识
一.基本概念 发光点 光线 光束
.
2
二.光线传播的基本定律
1.光的直线传播定律 2.光的独立传播定律 3.光的折射定律 4.光的反射定律
.
3
1.光的直线传播定律
在各向同性的均匀介 质中,光在两点之间 沿直线传播
.
4
2.光的独立传播定律
24
像差知识介绍
像差:由光线传播定律决定,从光路实 际计算表明,
任意组合的光学系统只能对近轴物点以细光束
成像。随着视场和孔径的增大,成像光束的同
心性将遭到破坏,产生各种成像缺陷。这种成
像缺陷就是像差。
像差分类:
对单色光:球差、彗差、象散、场曲、畸变
对多色光:位置色差、倍率色差
.
25
1.球差
由轴上一点发出的光线
《大学物理光学》PPT课件
激光的特点
激光具有方向性好、亮度高、单色性好和相干性强等特点。这些特点使得激光在科学研究、工业生产、医 疗等领域具有广泛的应用价值。
05
现代光学技术应用
Chapter
光纤通信技术发展现状及趋势
光纤通信技术的优势
高速率、大容量、长距离传
光纤通信系统的基本组成
光源、光纤、光检测器
光纤通信技术的发展历程及现状
从单模光纤到多模光纤,从低速到高速
光纤通信技术的未来趋势
全光网络、光计算、光量子通信等
光学存储技术原理及应用
光学存储技术的分类
只读型、一次写入型和可重写型
光学存储技术的原理
利用激光束在存储介质上形成微小坑点来记录信息
光学存储技术的应用
数字音频、视频、图像和计算机数据的存储
光学存储技术的优缺点及发展前景
04
量子光学基础
Chapter
黑体辐射定律和普朗克假设
黑体辐射定律
描述黑体在不同温度下辐射出的 电磁波的强度和频率分布。
普朗克假设
为了解释黑体辐射定律,普朗克提 出能量量子化的概念,即能量只能 以某个最小单位(量子)的整数倍 进行交换。
普朗克常数的引入
普朗克常数h是量子力学中的基本常 数,它描述了能量量子的大小。
波粒二象性的统一
光既具有波动性又具有粒 子性,二者是统一的。在 不同条件下,光表现出不 同的性质。
激光具有方向性好、亮度高、单色性好和相干性强等特点。这些特点使得激光在科学研究、工业生产、医 疗等领域具有广泛的应用价值。
05
现代光学技术应用
Chapter
光纤通信技术发展现状及趋势
光纤通信技术的优势
高速率、大容量、长距离传
光纤通信系统的基本组成
光源、光纤、光检测器
光纤通信技术的发展历程及现状
从单模光纤到多模光纤,从低速到高速
光纤通信技术的未来趋势
全光网络、光计算、光量子通信等
光学存储技术原理及应用
光学存储技术的分类
只读型、一次写入型和可重写型
光学存储技术的原理
利用激光束在存储介质上形成微小坑点来记录信息
光学存储技术的应用
数字音频、视频、图像和计算机数据的存储
光学存储技术的优缺点及发展前景
04
量子光学基础
Chapter
黑体辐射定律和普朗克假设
黑体辐射定律
描述黑体在不同温度下辐射出的 电磁波的强度和频率分布。
普朗克假设
为了解释黑体辐射定律,普朗克提 出能量量子化的概念,即能量只能 以某个最小单位(量子)的整数倍 进行交换。
普朗克常数的引入
普朗克常数h是量子力学中的基本常 数,它描述了能量量子的大小。
波粒二象性的统一
光既具有波动性又具有粒 子性,二者是统一的。在 不同条件下,光表现出不 同的性质。
《物理光学》课件
E
E
2
E
由于 E 0,所以 E 2 E
由此可得:
2E
2E
0
t 2
由相似的数学运算2 B可得到关2 B于 B0的方程
t 2
令 v 1
两方程变为
2E
1
2E
3
E 和B同相
E
1
v
两波振幅之比是一个正实数,
B
E、B两矢量位相相同。
综合以上所述三点,得到如图1-8的电磁波传播示意图。
§4 球面波和柱面波
一 球面波
如果在真空中或各向同性的均匀介质中的O点放一个点光源,容
易想象,从O点发出的光波将以相同的速度向各个方向传播,经
f1、f 2是z和t的两个任意函数,代表沿Z轴正、负方向传播的两个平面波。
上式还可进一步简化。
设沿Z轴正向传播的平面波v 0,沿Z轴负向传播的平面波v 0,
则可将f1、f 2两函数合二为一。
故电波的波函数最终为
E
f z vt
对方程2进行类似求解,得磁波的波函数为
B
f z
§1 麦克斯韦方程组
浙大物理考研资料-浙大光学课件-第三章 干涉
测油膜厚度平晶间空气隙干涉条纹
等倾条纹牛顿环(等厚条纹)
(3)同一原子不同时刻所发出的波列,振
动方向和相位各不相同
z两个独立的光源发出的光或同一光源的两部分发出的光都不是相干光
z同一原子同一次发出的光在空间相遇时是相干光
杨(T.Young)在1801年首先发现光的干涉现象,并首次测量了
光波的波长。
红光入射的杨氏双缝干涉照片
白光入射的杨氏双缝干涉照片您能判断0级条纹在哪吗?
δ
?
光疏媒质—>光密媒质,反射时,有半波损失
光密媒质—>光疏媒质,反射时,无半波损失
折射时,无半波损失---相位突变---相位不变---相位不变
光的偏振和晶体光学基础3PPT课件
全反射和半波损失的应用
总结词
全反射和半波损失在光学、物理、工程等领域有着广泛的应用,如光学仪器、光纤通信、 光学传感器等。
详细描述
全反射和半波损失的应用非常广泛。在光学领域,全反射现象被广泛应用于光学仪器和 光纤通信中,如光纤连接器、光纤耦合器等。而半波损失现象则被应用于光学传感器的 设计和制造中,如薄膜干涉滤镜、光栅等。此外,全反射和半波损失在其他领域也有着
光的偏振和晶体光学基础 PPT课件
• 光的偏振 • 晶体光学基础 • 光的干涉和衍射 • 光的全反射和半波损失 • 光的吸收、散射和色散
01
光的偏振
光的偏振现象
光的偏振是指光波在振动时,其电矢量或磁矢量只在某一特定方向上保持不变,而 在其他方向上发生变化的物理现象。
自然光中,光波的电矢量和磁矢量在垂直于波传播方向上的所有方向上都有振动, 而偏振光中,电矢量或磁矢量只在一个特定的方向上振动。
光的散射现象
wk.baidu.com
总结词
光的散射是指光在传播过程中,由于遇到不均匀介质或微小颗粒而发生散射的现 象。
详细描述
光的散射现象可以分为瑞利散射和米氏散射。瑞利散射是由于介质中微小颗粒对 光的散射作用,其散射光的波长与入射光的波长相同。米氏散射则是由大气中悬 浮颗粒对光的散射作用,其散射光的波长通常比入射光的波长要长。
偏振光的应用
大学光学课件ppt
光的偏振
光波的振动方向在垂直于传播方 向的平面上是唯一的。
光的干涉
干涉现象
两束或多束相干光波在空间相遇时,会因为相位 差而产生加强或减弱的现象。
干涉条件
相干光波、有恒定的相位差、有相同的频率。
干涉图样
明暗相间的条纹,与光波的振幅、相位、频率有 关。
光的衍射
衍射现象
光波在传播过程中遇到障碍物时,会绕过障碍物继续传播的现象 。
光通信技术的应用范围非常广泛 ,包括通信网、数据中心、物联 网等领域,是现代信息传输的重
要手段之一。
THANKS。
几何光学
光线和光路
光线的基本性质
光线在均匀介质中沿直线传播, 当遇到不同介质时,光线会发生
折射或反射。
光路的可逆性
光路是可逆的,即光线从一点出发 经过任意路径到达另一点,若将路 径倒置,光线仍能回到原点。
光的独立传播
多条光线在同一种均匀介质中传播 时,各自独立,不受其他光线影响 。
透镜和成像
透镜的分类
光的传播
光的直线传播
在均匀介质中,光沿直线 传播。
光的折射
光在两种不同介质的交界 处会发生方向改变。
光的反射
光在遇到光滑表面时会发 生反射。
光的干涉与衍射
光的干涉
两束或多束相干光波相遇时,会 因相位差异产生加强或减弱的现 象。
高等光学课件chap3.2
z x
复数折射率的含义
由方程平面波解:
2
E E 0e E 0e E 0e
i (t k r ) i 2
~
E 0e e
i t
i (t
0
nz )
0
( n in ) z
2
0
n z
e
i ( t k z z )
衰减
传播
I ( E0e
2 tg
1
x z
电场和磁场的关系
E i H E iK E
良导体的情况下
2
H
1
KE
1
( i )n E
为指向导体内部的法线 n
) i( 4 H e (n E )
|H| 1 |E|
1、金属作为良导体的条件
+ + + + + + + +
D
麦克斯韦第三个方程
E /
J E
外场作用下传导电流
J
J
t
0
t
电流连续性方程
t
(t ) 0e
(t ) 0e
等幅面
z
穿透深度(垂直入射)
E E0e
r
高考物理光学ppt课件
折射现象
折射率与光速的关系
不同介质中光速不同,折射率与光速 成反比。
光从一种介质斜射入另一种介质时, 传播方向发生改变的现象,如棱镜分 光、透镜成像等。
2024/1/25
9
全反射与临界角
全反射现象
当光从光密介质射入光疏介质时,如果入射角大于或等于某一特定 角度(临界角),则光线完全反射回原介质,不再进入光疏介质。
柱面透镜
一面或两面为柱面,用于改变光线 的方向。
12
透镜成像规律
01
物距大于两倍焦距时, 成倒立缩小的实像。
2024/1/25
02
物距等于两倍焦距时, 成倒立等大的实像。
03
04
物距小于两倍焦距大于 一倍焦距时,成倒立放 大的实像。
13
物距小于一倍焦距时, 成正立放大的虚像。
透镜在生活中的应用
2024/1/25
高考物理光学ppt课件
2024/1/25
1
目 录
2024/1/25
• 光学基础知识 • 光的反射与折射 • 透镜成像原理及应用 • 波动光学基础知识 • 高考物理光学考点解析 • 高考物理光学备考策略
2
01 光学基础知识
20ຫໍສະໝຸດ Baidu4/1/25
3
光的本质与特性
01
02
03
光是一种电磁波
大学物理第十七章波动光学(三)光程与光程差
相位差和光程差的关系:
2
光程差
例1 如图,在S2P 间插入折射率为n、厚度为d 的媒质。 求:光由S1、S2 到 P 的相位差 。
解:
2
L2
L1
S1
n
r1 r2
S2
d
·p
2
r2
d
nd
r1
2
r2
r1
n
1d
3. 等光程性
A
a
a
B
B
F
Cc
·
·S
b
c
S
·
a F
·
A
·
B
F
C
4. 反射光的相位突变和附加光程差
反射光有 相位突变,称半波损失,
它相当于一个附加光程差:
2
发生附加光程差的条件: n1 <n2> n3 或 n1 >n2< n3
1 2
n1
n2 n3
4. 反射光的相位突变和附加光程差
反射光有 相位突变,称半波损失,
高等教育大学教学课件 大学物理-波动光学
§17-3 光程与光程差
1. 光 程
相位差在分析光的干涉时十分重要, 为便于计算光通过不同媒质时的相 位差,引入“光程”的概念。
相关主题
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同时我们还应注意到
(n − p − q )
2 2 2 12
n ɺ n2 x2 ɺ n2 y2 12 = − ] = [n − ɺ ɺ (1 + x 2 + y 2 )1 2 ɺ ɺ ɺ2 + y2 1 + x2 + y 2 ɺ 1+ x
2
于是
H = −[n 2 ( x, y, z ) − p 2 − q 2 ]1 2
从方程式(1.3从方程式(1.3-2)
ɺ ɺ ds = [( dx) 2 + (dy ) 2 + (dz ) 2 ]1 2 = dz[1 + x 2 + y 2 ]1 2
有
(
dz 2 dx dy ) = 1 − ( )2 − ( )2 ds ds ds
(1.3-12)
上式两边ds对求导,且同乘以n 上式两边ds对求导,且同乘以n,得
如果我们将方程式(1.4-2)和(1.3-4)中的 q和 如果我们将方程式(1.4-2)和(1.3-4)中的 p, q和L表示式代入 方程式(1.4-3)中 方程式(1.4-3)中,便可得到哈密顿量
ɺ ny n ɺ nx ɺ y − n(1 + x 2 + y 2 )1 2 = − ɺ ɺ ɺ H= x + (1 + x 2 + y 2 ) 1 2 ɺ ɺ ɺ ɺ (1 + x 2 + y 2 )1 2 ɺ 2 + y 2 )1 2 ɺ (1 + x
ɺ ɺ ɺ ɺ H = px + qy − L ( x , y , x , y , z )
(1.4-3)
于是有
∂L ∂L ∂L ∂L ∂L ɺ ɺ ɺ ɺ dH = ( p − )dx + (q − )dy + xdp + ydq − dx − dy − dz ɺ ɺ ∂x ∂y ∂x ∂y ∂z
上式看上去有7个变量(多了两个),但注意到广义动量和 上式看上去有7个变量(多了两个),但注意到广义动量和 ), 拉格朗日方程的定义
[
]
§1.4 哈 密 顿 表 述
为了计算光学成像,可与经典力学的情况相类似,在光学 为了计算光学成像,可与经典力学的情况相类似, 里也可以导出哈密顿表述。 里也可以导出哈密顿表述。 拉格朗日表述应用在许多情况下是很不方便的, 拉格朗日表述应用在许多情况下是很不方便的,解拉格朗 日方程式一个二阶微分方程问题。 日方程式一个二阶微分方程问题。
光学工程硕士研究生课程
高等光学
第三讲
2011.10.21
习题1.5. 试证明方程式(1.3-9)的 分量可以从x 习题1.5. 试证明方程式(1.3-9)的 z分量可以从x和y分量得到。(受光线曲 线方程的约束,光线方程中只有两个独立变量) 解:考虑光电方程的 z分量可写成
dn dz 2 d 2 z dz ∂n dz dz ( ) +n 2 = ,有 两边同乘以 ds ds ds ds ∂z ds ds
dz d 2 z dx d 2 x dy d 2 y n =− n 2 − n 2 2 ds ds ds ds dx ds
另外,n 另外,n对s求导,可有如下关系
(1.3-13)
dn ∂n dx ∂n dy ∂n dz = + + ds ∂x ds ∂y ds ∂z ds
2
(1.3-14)
2
dz d z dz 利用方程式(1.3-12)中 (1.3-13)中 利用方程式(1.3-12)中 ds 、(1.3-13)中n ds ds 2 用x和y分量表达关系, ∂n dz 代入方程式(1.3-11’)左边,将方程式(1.3-14)中 代入方程式(1.3-11’)左边,将方程式(1.3-14)中 ∂z ds 用x和y分量
(1.4-4)
由方程式(1.4-4)能清楚地看出, 由方程式(1.4-4)能清楚地看出,实际上是用两个新的变量代替 能清楚地看出 了两个旧变量, 五个变量的函数。 了两个旧变量,H是x, y, p, q. z五个变量的函数。与拉格朗日函数 相比变两个变量,但消除了两个二次导数的变量, 相比变两个变量,但消除了两个二次导数的变量,增加了两个 一阶独立变量。 1.4式可立即列出下列哈密顿方程式。 一阶独立变量。由(1.4-4)式可立即列出下列哈密顿方程式。
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=
n0 c
1 1 1 ɺ ɺ ɺ [1 + ( x 2 − α 2 x 2 ) − α 2 x 2 x 2 − ( x 2 − α 2 x 2 ) 2 + …]dz ∫0 2 2 8
L
n = 0 c
1 1 ɺ ɺ [1 + ( x 2 − α 2 x 2 ) − ( x 2 + α 2 x 2 ) 2 + …]dz ∫0 2 8
1 4 n0 L (1.3-25) [1 − γ 0 + … ] 8 c 对傍轴光线,γ0 ≈ 0,因而所需时间与γ0无关,这就是在自聚焦光纤 0,因而所需时间与 中脉冲色散非常小的原因 。 T (γ 0 ) =
解:时间= 解:时间=光程 / 真空中光速, T (γ 0 ) = s / c =
1 L ∫0 n ( x, y , z ) ds c
p = ɺ nx ɺ ɺ (1 + x 2 + y 2 ) 1
2
= n
dx ds
(1.4-2)
ɺ ny dy q = = n ɺ ɺ ds (1 + x 2 + y 2 ) 1 2
由于 dx/ds和dy/ds表示在点(x,y,z)上光线沿着x和y方向的方向 dx/ds和dy/ds表示在点 x,y,z)上光线沿着 表示在点( 上光线沿着x 余弦, ndx/ds和 ndy/ds就称为光线的光学方向余弦。 就称为光线的光学方向余弦 余弦, p = ndx/ds和q = ndy/ds就称为光线的光学方向余弦。 现在我们用下列关系式由 L定义光学哈密顿量 H,
(1.4-8)
由于哈密顿方程组中对哈密顿量的作用仅折射率变量是外 界条件参量,因此只要知道折射率变量, 界条件参量,因此只要知道折射率变量,就可以求解光学哈 密顿方程组的解, 密顿方程组的解,得到表现光线性质的参量 x, y, z, p, q,即 获得光线传播的关系。 获得光线传播的关系。
§1.5 应用哈密顿表述研究傍轴透镜光学
ɺ p = ∂L / ∂x
ɺ q = ∂L / ∂y
(1.4-1)
如以前一样,圆点表示对于 z的微商,而 L是拉格朗日量. 的微商, 是拉格朗日量. 如以前一样, 利用了方程式(1.3-2)。把方程式(1.3-4)的 代入后, 利用了方程式(1.3-2)。把方程式(1.3-4)的 L代入后,则得到
利用哈密顿方程式, 利用哈密顿方程式,我们可以探索在旋转对称光学系统 中的光线。所谓旋转对称, 中的光线。所谓旋转对称,就意味着系统的性质在圆心位 于轴上的任何圆的周线上都是相同的,这个轴就是系统的 于轴上的任何圆的周线上都是相同的, 对称轴。 对称轴。 即使对于旋转对称系统,由于哈密顿量 H是x, y, p ,q 和 即使对于旋转对称系统, z的无理函数,因此解哈密顿方程式仍是困难的,因而只能 的无理函数,因此解哈密顿方程式仍是困难的, 寻找近似解。最低阶的近似导致傍轴光学或高斯光学, 寻找近似解。最低阶的近似导致傍轴光学或高斯光学,它主 要与靠近系统轴并与轴成较小夹角行进的光线有关。 要与靠近系统轴并与轴成较小夹角行进的光线有关。在这样 近似下将证明它能够形成完善的象。与此相偏离, 近似下将证明它能够形成完善的象。与此相偏离,便发生系 统的象差。 统的象差。
d ∂L ∂L = ɺ dz ∂x ∂x
d dz ∂L ∂L ∂y = ∂y ɺ
而在哈密顿表述中是将拉格朗日表述中的二阶微分方程问 题转换为一阶微分方程问题,从而简化解决问题的过程。 题转换为一阶微分方程问题,从而简化解决问题的过程。在 光学哈密顿表述里,将另外引入两个独立变量( 光学哈密顿表述里,将另外引入两个独立变量(将微分方程 变为一阶微分方程,相应增加方程数量, 变为一阶微分方程,相应增加方程数量,这个方法将在第二 章里用来计算各种象差系数的显式)。 章里用来计算各种象差系数的显式)。 用下列关系式定义广义动量p 用下列关系式定义广义动量p和q :
dn dz d 2 z ∂n +n 2 = ds ds ds ∂z
(1.3-11) (1.3-11’)
同样可有
dn dx 2 d 2 x dx ∂n dx ds ( ds ) + n ds 2 ds = ∂x ds dn dy 2 d 2 y dy ∂n dy ( ) +n = 2 ds ds ds ds ∂y ds
cosγ 0= 1
子午光线与y 子午光线与y无关,题中出现γ04 ,只能将 n = n 0 1 − α 2 x 2 ds = n 1 + x 2 dz ɺ 展开,并保留到γ04项( γ0 与
ɺ x, x 是线性关系)。
1 L n ɺ T (γ 0 ) = ∫ n0 1 − α 2 x 2 1 + x 2 dz = 0 c 0 c
表达关系,代入方程式(1.3-11’)右边, 方程式(1.3-11’)可写成 表达关系,代入方程式(1.3-11’)右边, 方程式(1.3-11’)可写成
dx d 2 x dy d 2 y dn ∂n dx ∂n dy dn dx 2 dy 2 [1 − ( ) − ( ) ] − n −n = − − 2 2 ds ds ds ds ds ds ds ds ∂x ds ∂y ds
= n0 c
L
∫
L
0
ɺ ɺ [1 + x 2 − α 2 x 2 − α 2 x 2 x 2 ]1 2 dz
1 1 ɺ ɺ ɺ ɺ [1 + ( x 2 − α 2 x 2 − α 2 x 2 x 2 ) − ( x 2 − α 2 x 2 − α 2 x 2 x 2 ) 2 + …]dz ∫0 2 8
ɺ ɺ p = ∂L / ∂x q = ∂L / ∂y
ɺ p= d ∂L ∂L = ɺ dz ∂x ∂x
ɺ q d ∂L ∂L = dz ∂y ∂y ɺ
ɺ ɺ ɺ ɺ 可以得到 dH = xdp + ydq − pdx − qdy −
∂L dz ∂z
ɺ x = ∂H / ∂p
ɺ y = ∂H / ∂q
(1.4-5) (1.4-6) (1.4-7)
ɺ p = −∂H / ∂x
ɺ q = −∂H / ∂y
∂H / ∂z = −∂L / ∂z
哈密顿表述的基本方程式。 这些方程式构成了哈密顿表述的基本方程式 这些方程式构成了哈密顿表述的基本方程式。只要给出哈密顿 我们便可运用上述方程式计算光路。 量 H,我们便可运用上述方程式计算光路。
即得到光线方程式的 z分量用x,y分量的表达式。 分量用x
进一步整理可变成
dn dx 2 dx d 2 x dn dy 2 dy d 2 y ∂n dx ∂n dy [ ( ) +n ]+[ ( ) + n ]= + 2 2 ds ds ds ds ds ds ds ds ∂x ds ∂y ds
dn dx d 2 x dx dn dy d 2 y dy ∂n dx ∂n dy 或 [ ( ) + n 2 ]( ) + [ ( ) + n 2 ]( ) = + ds ds ds ds ds ds ds ds ∂x ds ∂y ds
n = n0 1 − α 2 ( x 2 + y 2 )
∵
ɺ ɺ ds = n 1 + x 2 + y 2 dz
x( z ) =
sin γ 0
α
sin(
αz ) cos γ 0
ɺ x( z ) =
sin γ 0 cos γ 0
cos
(
α cos γ 0
z
)
在自聚焦光纤中,可依傍轴条件下 sinγ 0= γ 0 , γ ɺ x = γ 0 cos(αz ) ∴ x( z ) = 0 sin(αz ) α
L
∵ ∴
x=
γ0 sin(αz ) α
ɺ x = γ 0 cos(αz )
T (γ 0 ) =
n0 L 1 4 n L1 2 [1 − γ 0 + …]dz + 0 ∫0 γ 0 cos 2 (αz ) − γ 02 sin 2 (αz ) dz c 2 c ∫0 8 2 nL 1 4 n γ = 0 [1 − γ 0 + …] + 0 0 sin 2αL (第二部分与L相比仅为振荡小量) 第二部分与L c 8 c 4α
或
d dx dx d dy dy ∂n dx ∂n dy [ (n )]( ) + [ (n )]( ) = + ds ds ds ds ds ds ∂x ds ∂y ds
结论:光线方程只有两个独立分量。
习题1.10. 证明子午光线(1.3-24)行进距离L 习题1.10. 证明子午光线(1.3-24)行进距离L所需的时间由下式决定