高中数学复习专题讲座(第14讲)构建数学模型解数列综合题和应用性问题
数列与函数不等式综合应用及数列模型应用PPT课件
〔备选题〕例4已知正项数列{an}的首项 a1＝12， 函数 f(x)＝1＋x x. (1)若正项数列{an}满足 an＋1＝f(an)(n∈N*)，证明{a1n} 是等差数列，并求数列{an}的通项公式； (2)若正项数列{an}满足 an＋1≤f(an)(n∈N*)，数列{bn} 满足 bn＝n＋an 1，证明：b1＋b2＋…＋bn<1.
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1．建立数学模型的三关 (1)整理关：通过阅读、理解，明白问题讲什么，熟悉实际背景，为解题打 开突破口； (2)文理关：将实际问题的文字语言转化为数学符号语言，用数学式子表达 数量关系； (3)数理关：在构建数学模型过程中，对已有的数学知识进行检索，从而认 定或构建相应的数学模型．
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∴
2an
＝
[f(0)
＋
f(1)]
＋
[f(
1 n
)
＋
f(
n－1 n
)]
＋
…
＋
[f(1)＋f(0)]＝n＋2 1
∴an＝n＋4 1，n∈N*
又 an＋1－an＝n＋41＋1－n＋4 1＝14
故数列{an}是等差数列．
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(3)∵bn＝4an4－1＝n4 ∴Tn＝b12＋b22＋…＋bn2＝16(1＋212＋312＋…＋n12) ≤16[1＋1×1 2＋2×1 3＋…＋n（n1－1）] ＝16(1＋1－12＋12－13＋…＋n－1 1－n1) ＝16(2－n1)＝32－1n6＝Sn ∴Tn≤Sn.
第26讲 建构数列模型的应用性问题
数学高考综合能力题选讲26
建构数列模型的应用性问题
100080 北京中国人民大学附中 梁丽平
题型预测
数列作为特殊的函数，在高中数学中占有相当重要的位置，涉及实际应用的问题广泛而多样，如：增长率、银行信贷等．解答这一类问题，要充分应用观察、归纳、猜想的手段，注意其间的递推关系，建立出等差、等比、或递推数列的模型．
建立数列的递推关系来解题将有可能成为高考命题革新的一个方向．
范例选讲
例1．某县位于沙漠边缘，当地居民与风沙进行着艰苦的斗争，到2000年底全县的绿地已占全县总面积的30%．从2001年起，市政府决定加大植树造林、开辟绿地的力度，则每年有16%的原沙漠地带变成了绿地，但同时，原有绿地的4%又被侵蚀，变成了沙漠．
（Ⅰ）在这种政策之下，是否有可能在将来的某一年，全县绿地面积超过80%？ （Ⅱ）至少在多少年底，该县的绿地面积才能超过全县总面积的60%？
讲解：本题为实际问题，首先应该读懂题意，搞清研究对象，然后把它转化为数学问题．不难看出，这是一道数列型应用问题．因此，我们可以设：
全县面积为1，记2000年底的全县绿地面积占总面积的百分比为0a ，经过n 年后全县绿地面积占总面积的百分比为n a ，则我们所要回答的问题就是：
（Ⅰ）是否存在自然数n ，使得n a >80% ？ （Ⅱ）求使得n a >60%成立的最小的自然数n .
为了解决这些问题，我们可以根据题意，列出数列{}n a 的相邻项之间的函数关系，然后由此递推公式出发，设法求出这个数列的通项公式．
由题可知：03
30%10
a ==，
专题5.4 数列求和及数列的综合应用-2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍(原卷版)
第五篇 数列及其应用
专题5.04 数列求和及数列的综合应用
【考试要求】
1.熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式；
2.掌握非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法；
3.了解数列是一种特殊的函数；
4.能在具体问题情境中，发现等差、等比关系，并解决相应的问题.
【知识梳理】
1.特殊数列的求和公式
(1)等差数列的前n 项和公式：
S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2
d . (2)等比数列的前n 项和公式：
S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1
，q ＝1，a 1－a n q 1－q
＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1. 2.数列求和的几种常用方法
(1)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.
(2)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和.
(3)错位相减法
如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解.
(4)倒序相加法
如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解.
3.数列应用题常见模型
(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.
(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.
(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n 与a n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者S n 与S n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.
2016高考总复习(人教A版)高中数学_第二章_基本初等函数、导数及其应用_第14讲_导数的综合应用
第14讲 导数的综合应用
考点一__利用导数研究恒成立问题____________
(2015·保定市高三调研)已知函数f (x )＝ln x ＋ax －a 2x 2(a ≥0)．
(1)若x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，求a 的值；
(2)若f (x )<0在定义域内恒成立，求实数a 的取值范围． [解] (1)函数的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝－2a 2x 2＋ax ＋1
x
.
因为x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点， 所以f ′(1)＝1＋a －2a 2＝0，
解得a ＝－12或a ＝1.又a ≥0，所以a ＝－1
2
(舍去)．
经检验当a ＝1时，x ＝1是函数y ＝f (x )的极值点，
所以a ＝1.
(2)当a ＝0时，f (x )＝ln x ，显然在定义域内不满足f (x )<0恒成立；当a >0时，令f ′(x )＝（2ax ＋1）（－ax ＋1）x ＝0，得x 1＝－12a (舍去)，x 2＝1
a
，
所以f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝ln 1
a
<0，∴a >1. 综上可得实数a 的取值范围是(1，＋∞)．
[规律方法] 利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：
(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解；
(2)如果无法分离参数可以考虑对参数a 或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．
高考数学一轮复习 第六章 第5讲 数列的综合应用配套课件 理 新人教A版
n2＋1
>1－n2＋n1＋＋1 n＝0，∴an＋1>an，∴{an}是递增数列．
方法二
∵aan＋n 1＝n＋1n－－
n＋12＋1 n2＋1
＝n＋1n＋＋ nn2＋＋112＋1<1，
又∵an<0，∴an＋1>an，∴{an}是递增数列． [方法总结] 本题融数列、方程、函数单调性等知识为一 体，结构巧妙、形式新颖，着重考查逻辑分析能力．
解 (1)由已知得 log22an－log122an＝2n，
∴an－a1n＝2n，即 a2n－2nan－1＝0. ∴an＝n± n2＋1.∵0<x<1，
∴0<2an<1，∴an<0.∴an＝n－ n2＋1.
(2)方法一 ∵an＋1－an＝(n＋1)－ n＋12＋1－(n－ n2＋1)
＝1－
2n＋1 n＋12＋1＋
a1q2＝8， a1q＋a1q3＝20，
解之得aq1＝＝22，
或q＝12， a1＝32.
又∵数列{an}单调递增，所以 q＝2，a1＝2， ∴数列{an}的通项公式为 an＝2n.
(2)因为 bn＝2nlog122n＝－n·2n，
所以Sn＝－(1×2＋2×22＋…＋n·2n)， 2Sn＝－[1×22＋2×23＋…＋(n－1)·2n＋n·2n＋1]， 两式相减，
解析 由 lg an＋1＝1＋lg an(n∈N*)，可得 lg an＋1－lg an＝ lgaan＋n 1＝1(n∈N*)，即aan＋n 1＝10，an>0，an＋1>0，所以数列 {an}是以 q＝aan＋n 1＝10(n∈N*)为公比的正项等比数列．
高考数学压轴专题专题备战高考《数列》全集汇编含答案解析
【高中数学】数学高考《数列》试题含答案
一、选择题
1．在正整数数列中，由1开始依次按如下规则，将某些数取出．先取1；再取1后面两个偶数2,4；再取4后面最邻近的3个连续奇数5,7,9；再取9后面的最邻近的4个连续偶数10,12,14,16；再取此后最邻近的5个连续奇数17,19,21,23,25.按此规则一直取下去，得到一个新数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17，…，则在这个新数列中，由1开始的第2 019个数是( ) A ．3 971 B ．3 972
C ．3 973
D ．3 974
【答案】D 【解析】 【分析】
先对数据进行处理能力再归纳推理出第n 组有n 个数且最后一个数为n 2，则前n 组共1+2+3+…+n ()12
n n +=个数，运算即可得解．
【详解】
解：将新数列1，2，4，5，7，9，10，12，14，16，17，…，分组为（1），（2，4），（5，7，9，），（10，12，14，16），（17，19，21，23，25）… 则第n 组有n 个数且最后一个数为n 2， 则前n 组共1+2+3+…+n ()
12
n n +=
个数，
设第2019个数在第n 组中，
则()
()120192
120192
n n n n ⎧+≥⎪⎪⎨-⎪⎪⎩＜，
解得n ＝64，
即第2019个数在第64组中，
则第63组最后一个数为632＝3969，前63组共1+2+3+…+63＝2016个数，接着往后找第三个偶数则由1开始的第2019个数是3974， 故选：D ． 【点睛】
本题考查了对数据的处理能力及归纳推理能力，考查等差数列前n 项和公式，属中档题．
数学应用问题的模型求解
则1n k =+时,1k a b +=,
∴21
1
1k k a b b +=+=,由假设可知,可得到
一个含有1k +项的有穷数列232,,,k a a a +",其中20k a +=.
∴当1n k =+时,可得到一个含有2k +项的有穷数列1232,,,,k a a a a +",其中20k a +=.
由①②知,对一切*n N ∈,命题均成立.
(Ⅲ)解:要使322n a <<,即1
31
12
2n a <+<∴112n a <<∴要使3
22
n a <<,当且仅当它的前一项
1n a 满足112
n a <<∵()3(,2)1,22,∴只须当43
(,2)2a ∈时,
都有3
(,2),(5)
2
n a n ∈≥由43221a a a +=+得332
2
221
a a +<<+解不等式组
33212212321
20212a a a a a a a +<>++<><+或故0a >.
以上通过几道例题的不同解题方法与技巧,对高考中数列综合题的解答浅谈了几点想法.当然数列与三角、解析几何等知识也可交汇出现,构造综合性较强的压轴题.在解题中,如果能运用转化、化归等数学思想与方法,掌握一定的解题方法与技巧,问题也能迎刃而解.
参考文献
[1]彭林.2005年高考热点归类解析.北京朝华出版社,2004.
[2]2005年普通高等学校招生统一考试福建省数学卷参考答案.福建省招生办公室.
[3]任志鸿.十年高考分类解析与应试策略(1995-2004)南方出版社,2004.
数学应用问题的模型求解
福建莆田文献中学
林伟政
应用题通常是指有实际背景的或具有实际意义的数学问题.而数学建模是应用数学知识去解决实际应用问题的重要途径,是连接数学和现实世界的桥梁;数学建模也是一种极其重要的数学思想,它强调学生积极主动参与,可以把生活中极为复杂的实际问题抽象、简化.数学建模就是在阅读材料、理解题意的基础上,把实际问题抽象从而转化为数学问题,然后再用相应的数学知识去解决.基本程序如下:笔者认为,在学完有关数学知识单元后,应安排该单元知识的应用专题,重点是渗透数学建模思想,提高学生创新意识和化归等能力.复习时,可编拟一些当前我国亟待解决的问题和乡土气息浓厚的题目,扩大学生的阅读面,提高学生的阅读能力.纵观近年来全国各地高中考试题中考查学生解决实际问题能力的试题,需经抽象、转化建模的可谓五彩缤纷,争奇斗艳.根据大纲要求和现行教材内容,主要有:不等式的应用,函数的应用,三角函数的应用,向量的应用,线性规划的应用,圆锥曲线的应用,数列的应用,较复杂的计数问题等.此外,结合时代发展的特点,涉及现代生活的经济统计图表(识别、分析、绘制),数据拟合(最小二乘法),动态规划(货郎担问题,生产计划问题等),网络规划(绘制、计算、优化),矩阵对策,股票、彩票发行模型,风险
高中数学第2章数列教材分析素材苏教版必修5
第2章 数列
数列是一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型，也是研究离散现象常见的数学模型．在我们的日常生活和科学研究中，会遇到如存款利息、购房贷款、资产折旧、人口增长、放射性物质的衰变等问题，它们都可以运用数列模型抽象为数学问题并予以解决．在数学及其发展过程中，数列占有重要的地位．学习数列知识对进一步理解函数的概念和体会数学的应用价值具有重要的意义．
一、本章设计意图
本章以现实问题为背景，体现了“现实问题情境——建立数学模型——解决实际问题”的教学过程．通过列举生活中的大量实例，给出数列的实际背景，使学生了解数列的概念，理解数列是一种特殊的函数（实际上，数列可以看作由列表法给出的函数）． 等差数列和等比数列是数列的两个基本模型． 从等差数列与等比数列的定义入手，通过探索它们的性质和有关的一些基本数量关系（如等差数列中，n a n d a ,,,1与n S 之间的数量关系；等比数列中，n a n q a ,,,1与n S 之间的数量关系）以及这两种数列模型的应用，让学生进一步体会数列的特征和研究数列的基本方法．因此等差数列和等比数列是本章的重点教学内容．
本章教材突出了数列和函数的内在联系．数列是定义域为正整数集N *
(或它的有限子集)的函数（“离散型”函数），数列的通项公式则是相应函数的解析式．实际上，等差数列是一次型函数，等比数列是指数型函数．数列具有函数的一般性质，也可以研究它的单调性、最值等，但它没有奇偶性．由于数列（作为函数）的定义域的特殊性，使得数列可以通过“递推”的方式确定，这是数列不同于一般函数的基本特点．教材中虽然没有给出“递推”的概念，但在等差数列和等比数列的定义及求通项公式的过程中渗透了“递推”的思想．在本章的教学中，不宜将数列有关递推的内容进行拓展．
2023年新高考数学一轮复习7-5 数列的综合应用(知识点讲解)含详解
专题7.5 数列的综合应用（知识点讲解）
【知识框架】
【核心素养】
1.数列与传统数学文化、实际问题相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养． 2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．
3．数列与函数、不等式、解析几何等相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
【知识点展示】
（一）数列与函数
数列与函数的综合问题主要有以下两类：
（1）已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般是利用函数的性质、图象研究数列问题；
（2）已知数列条件，解决函数问题，解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形．
（二）数列与不等式
1.数列型不等式的证明常用到“放缩法”，一是在求和中将通项“放缩”为“可求和数列”；二是求和后再“放缩”．
放缩法常见的放缩技巧有： (1)1k 2＜1k 2－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k ＋1.
(2)1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k . (3)2(n ＋1－n )＜
1
n
＜2(n －n －1)．
2.数列中不等式恒成立的问题
数列中有关项或前n 项和的恒成立问题，往往转化为数列的最值问题；求项或前n 项和的不等关系可以利用不等式的性质或基本不等式求解．
（三）解答数列实际应用问题的步骤
(1)确定模型类型：理解题意，看是哪类数列模型，一般有等差数列模型、等比数列模型、简单递推数列模型．基本特征如下：
等差数列模型：均匀增加或者减少
等比数列模型：指数增长或减少，常见的是增产率问题、存款复利问题
应用性问题
题目高中数学复习专题讲座应用性问题
高考要求
数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题
高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求
重难点归纳
1 解应用题的一般思路可表示如下： 数学解答
数学问题结论
问题解决数学问题实际问题
2 解应用题的一般程序
（1）读 阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础
（2）建 将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关
（3）解 求解数学模型，得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程
（4）答 将数学结论还原给实际问题的结果 3 中学数学中常见应用问题与数学模型
（1）优化问题 实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决
（2）预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决
（3）最（极）值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值
（4）等量关系问题 建立“方程模型”解决
（5）测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决
典型题例示范讲解
例1为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2米的无盖长方体沉淀箱（如图），污水从A 孔流入，经
沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a 米，高度为b 米，
已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反
比，现有制箱材料60平方米，问当a 、b 各为多少米时，
高中数学专题讲座 PPT课件 图文
选修1，选修2系列是选修课中的基础性内 容。
选修3和选修4系列课程是为对数学有兴趣和希望进一 步提高数学素养的学生而设置的，所涉及的内容都是 数学的基础性内容，反映了某些重要的数学思想，有 助于学生进一步打好数学基础，提高应用意识，有利 于学生终身的发展，有利于扩展学生的数学视野，有 利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价 值的认识。其中的专题将随着课程的发展逐步予以扩 充，学生可根据自己的兴趣、志向进行选择。根据选 修3系列课程内容的特点，对学习这部分内容的评价 适宜采用定量与定性相结合的方式，由学校进行评价， 不作为高校选拔考试的内容，但作为高校录取的重要 参考
高中数学组新课程理论学习
专题讲座
1.高中数学课程框架
选修1-2 选修1-1
选修2-3 选修2-2 选修2-1
选修3-6
选修3-2 选修3-1
…… ……
选修4-10
选修4-2 选修4-1
数学1 数学2 数学3 数学4 数学5
代表模块，每模块2学分
数学科共有36学分
代表专题，每专题1学分
必修系列
数学1：集合、函数概念与基本初等函数1 (指数
课程的组合具有一定的灵活性，不同的 组合可以相互转换.学生做出选择之后，可 以根据自己的意愿和条件向学校申请调整， 经过测试获得相应的学分即可转换.
云南省2020届高三二轮复习数学专题教案(十四) 新人教版
云南省2020届高三二轮复习专题（十四）
题目 高中数学复习专题讲座构建数学模型解数列综合题和应用性问题 高考要求
纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题 这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度 重难点归纳
1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题
2 纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关
(1)事理关 需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力
(2)文理关 需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系 (3)事理关 在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化 构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力 典型题例示范讲解
例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产
业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
5
1
，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上
高中数学应用性问题教学策略
高中数学应用性问题教学策略探讨[摘要]随着国内对学生综合能力的要求不断提高,在高等数学中加强应用性教学的要求也日趋高涨,数学应用性问题越来越被重视,笔者结合教学实践对如何加强高中数学应用性问题教学进行了初步探讨。
[关键词]应用题高中数学教学探究
一、引言
随着素质教育的进一步推进,要求学生应用所学知识解决实际问题的趋势日益明显,数学应用问题的能力是指能阅读、理解对问题进行陈述的材料;能综合应用所学数学知识解决问题,并能用数学语言加以表述。如何开展数学应用性问题的教学,培养学生用数学知识解决实际问题,是素质教育和新课标的要求,也是每位数学教师要思考的课题。笔者结合教学实践,提出以下几点粗略看法,旨在为开展高中数学应用性教学提供一些有益的帮助和指导。
二、提高学生解决应用性问题的策略
2.1引导学生将应用性问题进行归类
数学应用性问题几乎覆盖了整个高中数学的各分支,说明了数学应用的广泛性。在数学应用性问题的教学中,要结合所学章节,引导学生将应用性问题进行归类。高中数学应用性问题的数学模型一般有:函数、不等式、方程、数列、解析几何、立体几何、三角函数、排列、组合、概率等。进行数学应用性问题教学时,引导学生对归类的模型对比,找出熟悉的实际原型,发挥“定势思维”的积极
作用。
2.2重视解题的回顾
对于一个数学问题,每回顾一遍都会有不同层次的体会。所以在教学中要十分重视回顾的作用。与学生一起对问题本身和解题步骤进行细致的分析,可以帮助学生总结出数学的基本思想和方法,掌握并将它们用到新的问题中去,成为以后分析和解决问题的有力武器。
数列综合问题
②假设n=k时, ak
当n=k+1时,
a2 k 1
即n=k+1时, ak1
2k 1成立.
ak2
1 ak2
2(k 1)
2 2k
1成立.
3
1 ak2
2(k 1) 1.
综上, 可知an 2n 1 对一切正整数n成立.
法二: (数学归纳法) ①当n=1时,不等式成立.
规划, 本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少 ,
旅本年度当地旅游业收入估计为400万元, 由于该项建设1 对
游业的促进作用, 预计今后的旅游业每年会比上年增加5
(1)设年n内(本年度为第一年)总投入为 万元,旅游总收
入为(2)至万少元经, 过写几出年, 旅的游通业项的公总式收;入才能超过总投入?
.
an2 a12 2(n
又n=1时,
1) 1 1 22
显然a12成立.a所n21 以an
2(n
1) 2n
2n 2 2n 1 (n 2) 1 对一切正整数n成立.
2)解法一: bn1 an1 n (1 1 ) n (1 1 ) n 2(n 1) n bn an n 1 an2 n 1 2n 1 n 1 (2n 1) n 1
2005年 等比数列的公比与前n项和
数学建模培训精品课件ppt
离散数学建模实例
总结词
离散数学建模实例是数学建模培训中 的重要内容，通过实际案例展示离散 数学在解决实际问题中的应用。
详细描述
离散数学建模实例包括图论、集合论 、逻辑推理等，通过实际案例展示离 散数学在计算机科学、交通运输、管 理等领域的应用，如最短路径问题、 网络流量优化等。
PART 03
数学建模软件介绍
数学建模的常用方法
总结词
了解并掌握数学建模的常用方法
详细描述
常见的数学建模方法包括代数法、几何法、图论法、概率法、微分方程法、优化法等。这些方法在解决实际问题 时各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法。
PART 02
数学建模应用实例
微积分建模实例
总结词
微积分建模实例是数学建模培训中的重要内容，通过实际案 例展示微积分在解决实际问题中的应用。
深度学习与数学建模
介绍深度学习在数学建模中的应用， 如卷积神经网络、循环神经网络等在 图像识别、自然语言处理等领域的应 用。
数据科学中的数学建模
数据预处理与特征工程
介绍如何进行数据清洗、特征选择和特征转换，以提高数学建模的效果。
大数据处理技术
探讨大数据环境下数学建模的挑战和解决方案，如分布式计算、流数据处理等技术的应 用。
Python在数学建模中的应用
开源、跨平台
VS
Python是一种开源的、跨平台的编 程语言，被广泛应用于数学建模领域 。Python具有简洁的语法和丰富的 库，可以方便地进行数值计算和数据 可视化。
高三数学数列的综合应用知识精讲
高三数学数列的综合应用
【本讲主要内容】
数列的综合应用
等差数列与等比数列的综合问题，数列与其他数学知识的综合问题，数列在实际问题中的应用。
【知识掌握】 【知识点精析】
1. 等差数列与等比数列的综合问题，主要是运用它们的性质、通项公式、前n 项和公式将已知条件转化为数学式子（方程或不等式等）。
2. 在解决数列与其他数学知识的综合问题中，应该注意思维的角度和解题途径的选择，从“数列是特殊的函数”的角度出发，运用运动变化的观点，将问题变形转换，要分清所给问题中的数列是哪种类型，与其他数学知识的关系如何，以达到解决问题的目的。
3. 用数列解决实际应用性问题，主要有增长率问题，存贷款的利息问题，几何模型中的问题等等。要把实际应用题转化为某种数列的模型，要分清是等差数列还是等比数列，还是有递推关系的数列，分清所涉及的量是数列中的项n a ，还是各项和n S ，有时还要注意数清项数，以使问题准确解决。
【解题方法指导】
例1. （2005年全国卷三）在等差数列}{n a 中，公差d ≠0，2a 是1a 与4a 的等比中项，已知数列 ，，，，，，n k k k a a a a a 2131成等比数列，求数列}{n k 的通项n k 。
解题思路分析：这是一道等差数列与等比数列的综合问题，只需依题设条件，按已知的公式列式即可。
解：依题意得412
21)1(a a a d n a a n ⋅=-+=，
)3()(1121d a a d a +=+∴，整理得d a d 12= 10a d d =∴≠， ，得nd a n =
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题目高中数学复习专题讲座构建数学模型解数列综合题和应用性问题 高考要求
纵观近几年的高考，在解答题中，有关数列的试题出现的频率较高，不仅可与函数、方程、不等式、复数相联系，而且还与三角、立体几何密切相关；数列作为特殊的函数，在实际问题中有着广泛的应用，如增长率，减薄率，银行信贷，浓度匹配，养老保险，圆钢堆垒等问题 这就要求同学们除熟练运用有关概念式外，还要善于观察题设的特征，联想有关数学知识和方法，迅速确定解题的方向，以提高解数列题的速度
重难点归纳
1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力；解答应用性问题，应充分运用观察、归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再综合其他相关知识来解决问题
2 纵观近几年高考应用题看，解决一个应用题，重点过三关
(1)事理关 需要读懂题意，明确问题的实际背景，即需要一定的阅读能力
(2)文理关 需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言，用数学式子表达数学关系
(3)事理关 在构建数学模型的过程中；要求考生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成用实际问题向数学问题的转化 构建出数学模型后，要正确得到问题的解，还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力
典型题例示范讲解
例1从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少
5
1，本年度当地旅游业收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业41 (1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ,b n 的表达式；
(2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？
命题意图 本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识；考查综合运用数学知识解决实际问题的能力，本题有很强的区分度，属于应用题型，正是近几年高考的热点和重点题型
知识依托 本题以函数思想为指导，以数列知识为工具，涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点
错解分析 (1)问a n 、b n 实际上是两个数列的前n 项和，易与“通项”
混淆；(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式，易出现偏差 技巧与方法 正确审题、深刻挖掘数量关系，建立数量模型是本题的灵魂，(2)问中指数不等式采用了换元法，是解不等式常用的技巧 解 (1)第1年投入为800万元，
第2年投入为800×(1－
5
1)万元，… 第n 年投入为800×(1－51)n －1万元， 所以，n 年内的总投入为
a n =800+800×(1－
51)+…+800×(1－51)n －1 =∑=n k 1800×(1－51)k －1=4000×［1－(5
4)n ］ 第1年旅游业收入为400万元， 第2年旅游业收入为400×(1+
41)，…， 第n 年旅游业收入400×(1+4
1)n －1万元 所以，n 年内的旅游业总收入为
b n =400+400×(1+
41)+…+400×(1+41)k －1 =∑=n k 1400×(45)k －1=1600×［(4
5)n －1］ (2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，由此b n －a n ＞0，即1600×［(
45)n －1］－4000×［1－(54)n ］＞0， 令x =(5
4)n ，代入上式得 5x 2－7x +2＞0 解此不等式，得x ＜5
2，或x ＞1(舍去) 即(54)n ＜5
2，由此得n ≥5 ∴至少经过5年，旅游业的总收入才能超过总投入
例2已知S n =1+3121++…+n
1,(n ∈N *)，设f (n )=S 2n +1－S n +1,试确定实数m 的取值范围，使得对于一切大于1的自然数n ，不等式
f (n )＞［lo
g m (m －1)］2－20
11［log (m －1)m ］2恒成立 命题意图 本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题，需较强的综合分析问题、解决问题的能力 知识依托 本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起，构思巧妙 错解分析 本题学生很容易求f (n )的和，但由于无法求和，故对不等式难以处理 技巧与方法 解决本题的关键是把f (n )(n ∈N *)看作是n 的函数，此时不等式的恒成立就转化为
函数f (n )的最小值大于［log m (m －1)］2－
2011［log (m －1)m ］2 解 ∵S n =1+3121++…n
1 (n ∈N *) 0)421321()421221(4
2232122121321221)()1(1
213121)(112>+-+++-+=+-+++=+-+++=-+++++++=-=∴++n n n n n n n n n n n f n f n n n S S n f n n 又 ∴f (n +1)＞f (n )
∴f (n )是关于n 的增函数
∴f (n ) min =f (2)=20
9321221=+++ ∴要使一切大于1的自然数n ，不等式
f (n )＞［lo
g m (m －1)］2－
20
11［log (m －1)m ］2恒成立 只要209＞［log m (m －1)］2－2011［log (m －1)m ］2成立即可 由⎩
⎨⎧≠->-≠>11,011,0m m m m 得m ＞1且m ≠2 此时设［log m (m －1)］2=t 则t ＞0
于是⎪⎩⎪⎨⎧>->0
2011209t t 解得0＜t ＜1
由此得0＜［log m (m －1)］2＜1