辽宁省高一数学下学期期末试题 文(含解析)

2016-2017学年辽宁省高一（下）期末数学试卷（文科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（）A．B．C．D．2．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣43．给出下面四个命题：① +=；② +=；③﹣=；其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．0个4．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）A．B． C． D．45．在△ABC中，A=60°，b=1，面积为，则的值为（）A．1 B．2 C．D．6．已知α，β为锐角，且cosα=，cosβ=，则α+β的值是（）A．B．C．D．7．在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定 D．等腰三角形8．tan 36°+tan 84°﹣tan 36°tan 84°=（）A．﹣B．C．D．9．若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（）A． * B．C．D．10．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值为（）A．B．C．D．11．函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．12．已知平面上有四点O，A，B，C，满足++=，•=•=•=﹣1，则△ABC的周长是（）A．3 B．6 C．3 D．9二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．半径为2的圆中，120°圆心角所对的弧的长度．14．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= ．15．已知，则= ．16．已知向量=，向量=（cosx，﹣m+cosx），函数f（x）=•，下列关于函数f（x）的结论中正确的是．①最小正周期为π；②关于直线对称；③关于点中心对称；④值域为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）. 17．（1）已知α为钝角，且，求cosα和tanα；（2）已知，求的值．18．如图所示，以向量=， =为边作▱AOBD，又=， =，用，表示、、．19．在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根，求△ABC周长的最小值．20．已知函数的图象过点，且图象上与P点最近的一个最高点坐标为．（1）求函数的解析式；（2）指出函数的增区间；（3）若将此函数的图象向左平行移动个单位长度后，再向下平行移动2个单位长度得到g（x）的图象，求g（x）在上的值域．21．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA．（1）求角C的值；（2）若c=，且S△ABC=，求a+b的值．22．已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求实数m的取值范围．2016-2017学年辽宁省实验中学分校高一（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共12小题，每小题5分，共60分）.1．计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（）A．B．C．D．【考点】GQ：两角和与差的正弦函数．【分析】观察所求的式子发现满足两角和与差的正弦函数公式sinαcosβ﹣cosαsinβ=sin（α﹣β），故利用此公式及特殊角的三角函数值化简即可求出原式的值．【解答】解：sin43°cos13°﹣cos43°sin13°=sin（43°﹣13°）=sin30°=．故选A2．已知平面向量=（1，2），=（﹣2，m），且∥，则m的值为（）A．1 B．﹣1 C．4 D．﹣4【考点】96：平行向量与共线向量．【分析】由∥，根据1×m=2×（﹣2）可得答案．【解答】解：∵∥∴1×m=2×（﹣2）∴m=﹣4故选D．3．给出下面四个命题：① +=；② +=；③﹣=；其中正确的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．0个【考点】99：向量的减法及其几何意义；98：向量的加法及其几何意义．【分析】由向量加法的三角形法则和向量加减的几何意义即可判断【解答】解：：① +=正确，②+=；正确，③﹣=，故③不正确；故选：B4．已知、均为单位向量，它们的夹角为60°，那么||=（）A．B． C． D．4【考点】9S：数量积表示两个向量的夹角；93：向量的模．【分析】求向量模的运算，一般要对模的表达式平方整理，平方后变为向量的模和两个向量的数量积，根据所给的单位向量和它们的夹角代入数据求出结果．【解答】解：∵均为单位向量，它们的夹角为60°∴||=1，||=1，=cos60°∴||===故选C．5．在△ABC中，A=60°，b=1，面积为，则的值为（）A．1 B．2 C．D．【考点】HP：正弦定理．【分析】由条件可得=bc•sinA，由此求得c的值，再由余弦定理求得a=．再由正弦定理可求得=2R=的值．【解答】解：在△ABC中，A=60°，b=1，面积为，则有=bc•sinA=×1×c×，∴c=2．再由余弦定理可得 a2=b2+c2﹣2bc•cosA=1+4﹣4×=3，∴a=．再由正弦定理可得=2R===2，故选B．6．已知α，β为锐角，且cosα=，cosβ=，则α+β的值是（）A．B．C．D．【考点】G9：任意角的三角函数的定义；GP：两角和与差的余弦函数．【分析】由题意求出，，然后求出0＜α+β＜π，求cos（α+β）的值，确定α+β的值．【解答】解：由α，β为锐角，且cosα=，cosβ=，可得，，且0＜α+β＜π，，故故选B．7．在△ABC中，若lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．等边三角形C．不能确定 D．等腰三角形【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用对数的运算法则可求得=2，利用正弦定理求得cosB，同时根据余弦定理求得cosB的表达式进而建立等式，整理求得b=c，判断出三角形为等腰三角形．【解答】解：∵lgsinA﹣lgcosB﹣lgsinC=lg2，∴=2，由正弦定理可知=∴=∴cosB=，∴cosB==，整理得c=b，∴△ABC的形状是等腰三角形．故选D8．tan 36°+tan 84°﹣tan 36°tan 84°=（）A．﹣B．C．D．【考点】GR：两角和与差的正切函数．【分析】根据tan120°=tan（36°+84°）=﹣，利用两角和的正切公式即可求出结果．【解答】解：∵tan120°=tan（36°+84°）==﹣，∴tan36°+tan84°=﹣+tan36°tan84°，∴tan 36°+tan 84°﹣tan 36°tan 84°=﹣+tan36°tan84°﹣tan36°tan84°=﹣．故选：A．9．若点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，则在[0，2π）内α的取值范围是（）A． * B．C．D．【考点】H5：正弦函数的单调性；G3：象限角、轴线角；HF：正切函数的单调性．【分析】先根据点P（sinα﹣cosα，tanα）在第一象限，得到sinα﹣cosα＞0，tanα＞0，进而可解出α的范围，确定答案．【解答】解：∵故选B．10．2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由4个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值为（）A．B．C．D．【考点】HU：解三角形的实际应用．【分析】由图形可知三角形的直角边长度差为1，面积为6，列方程组求出直角边得出sinθ，代入二倍角公式即可得出答案．【解答】解：由题意可知小正方形的边长为1，大正方形边长为5，直角三角形的面积为6，设直角三角形的直角边分别为a，b且a＜b，则b=a+1，∴直角三角形的面积为S=ab=6，联立方程组可得a=3，b=4，∴sinθ=，cos2θ=1﹣2sin2θ=．故选：B．11．函数y=的部分图象大致为（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】判断函数的奇偶性排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：函数y=，可知函数是奇函数，排除选项B，当x=时，f（）==，排除A，x=π时，f（π）=0，排除D．故选：C．12．已知平面上有四点O，A，B，C，满足++=，•=•=•=﹣1，则△ABC的周长是（）A．3 B．6 C．3 D．9【考点】9R：平面向量数量积的运算．【分析】先判断三角形为正三角形，再根据正弦定理，问题得以解决．【解答】解：平面上有四点O，A，B，C，满足++=，∴O是△ABC的重心，∵•=•，∴•（﹣）=•=0，即：⊥，同理可得：⊥，⊥，即O是垂心，故△ABC是正三角形，∵•=•=•=﹣1，令外接圆半径R，则：R2cos（∠AOB）=R2cos（）=﹣1即：R=即： ==2R=2，即：a=，故周长：3a=3，故选：C二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.13．半径为2的圆中，120°圆心角所对的弧的长度．【考点】G7：弧长公式．【分析】利用弧长公式l=计算．【解答】解：由弧长公式可得：l===．故答案为：14．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m= 7 ．【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利用向量垂直的条件能求出m的值．【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），∴=（﹣1+m，3），∵向量+与垂直，∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，解得m=7．故答案为：7．15．已知，则= ．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】根据诱导公式可知=sin（﹣α﹣），进而整理后，把sin （α+）的值代入即可求得答案．【解答】解： =sin（﹣α﹣）=﹣sin（α+）=﹣故答案为：﹣16．已知向量=，向量=（cosx，﹣m+cosx），函数f（x）=•，下列关于函数f（x）的结论中正确的是①②．①最小正周期为π；②关于直线对称；③关于点中心对称；④值域为．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；9R：平面向量数量积的运算．【分析】根据向量的运算求出f（x）的解析式，结合三角函数的性质判断即可．【解答】解：向量=，向量=（cosx，﹣m+cosx），函数f（x）=•=sinxcosx+cos2x﹣m2=sin2x+cos2x+=sin（2x+），①最小正周期T=．②当x=时，sin（2x+）=1，∴f（x）关于直线对称；③当x=时，sin（2x+）=，∴f（x）关于点中心对称．④∵sin（2x+）值域为[﹣1，1]，即﹣1≤sin（2x+）≤1，f（x）=sin（2x+），可得﹣1≤sin（2x+），即f（x）∈[，]．∴f（x）的值域为[，]．故答案为：①②．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共70分）. 17．（1）已知α为钝角，且，求cosα和tanα；（2）已知，求的值．【考点】GI：三角函数的化简求值；GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式求解即可．（2）利用诱导公式化简求解即可．【解答】解：（1）α为钝角，且，可得sinα=，∴cos=﹣，，…（2），可得tan， ===…18．如图所示，以向量=， =为边作▱AOBD，又=， =，用，表示、、．【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．【分析】利用平面向量的三角形法则解答即可．【解答】解：如图所示，以向量=， =为边作平行四边形AOBD，又=， =，所以==；、．，所以=；19．在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根，求△ABC周长的最小值．【考点】HR：余弦定理．【分析】先由条件求得 cosC=﹣，再由余弦定理可得 c2=（a﹣5）2+75，利用二次函数的性质求得c的最小值，即可求得△ABC周长a+b+c 的最小值．【解答】解：解方程2x2﹣3x﹣2=0可得x=2，或 x=﹣．∵在△ABC中，a+b=10，cosC是方程2x2﹣3x﹣2=0的一个根，∴cosC=﹣．由余弦定理可得 c2=a2+b2﹣2ab•cosC=（a+b）2﹣ab，∴c2=（a﹣5）2+75．故当a=5时，c最小为=5，故△ABC周长a+b+c 的最小值为 10+5．20．已知函数的图象过点，且图象上与P点最近的一个最高点坐标为．（1）求函数的解析式；（2）指出函数的增区间；（3）若将此函数的图象向左平行移动个单位长度后，再向下平行移动2个单位长度得到g（x）的图象，求g（x）在上的值域．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】（1）由已知可得A=5，T==π，ω=2；由5sin（2×+φ）=0⇒+φ=0，于是可求得函数的解析式；（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+（k∈Z）即可求得函数的增区间；（3）由函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换知g（x）=5sin[2（x+）﹣]﹣2=5sin（2x+）﹣2，﹣≤x≤⇒﹣≤2x+≤，利用正弦函数的单调性与最值即可求得g（x）的值域．【解答】解：（1）由已知可得A=5， =﹣=，∴T==π，∴ω=2；∴y=5sin（2x+φ），由5sin（2×+φ）=0得， +φ=0，∴φ=﹣，∴y=5sin（2x﹣）；（2）由2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ+，得kπ﹣≤x≤kπ+（k∈Z），∴该函数的增区间是[kπ﹣，kπ+]（k∈Z）；（3）g（x）=5sin[2（x+）﹣]﹣2=5sin（2x+）﹣2，∵﹣≤x≤，∴﹣≤2x+≤，﹣≤sin（2x+）≤1，∴﹣≤g（x）≤3，∴g（x）的值域为[﹣，3]．21．在锐角△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2csinA．（1）求角C的值；（2）若c=，且S△ABC=，求a+b的值．【考点】HT：三角形中的几何计算．【分析】（1）根据正弦定理和特殊角的三角函数值即可求出；（2）由三角形得面积公式和余弦定理即可求出．【解答】解：（1）由a=2csinA及正弦定理，得==．∵sinA≠0，∴sinC=．又∵△ABC是锐角三角形，∴C=．（2）c=，C=，由面积公式，得absin=，即ab=6．①由余弦定理，得a2+b2﹣2abcos=7，即a2+b2﹣ab=7．②由②变形得（a+b）2=3ab+7．③将①代入③得（a+b）2=25，故a+b=5．22．已知函数f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x（Ⅰ）求f（x）的周期和单调递增区间（Ⅱ）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[，]上有解，求实数m的取值范围．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．【分析】（I）先根据诱导公式以及二倍角公式，辅助角公式对函数化简，再结合正弦函数的周期以及单调性的求法即可得到结论；（II）先根据正弦函数的单调性求出f（x）的值域，再把方程有解转化为f（x）与m+2的取值范围相同即可求实数m的取值范围．【解答】解：（I）∵f（x）=2sin2（+x）﹣cos2x=1﹣cos（+2x）﹣cos2x=1+sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣）+1．∴周期T=π；令2kπ﹣≤2x﹣≤2kπ，解得kπ﹣≤x≤kπ，∴单调递增区间为[kπ﹣，kπ]，（k∈Z）．（II）∵x∈[，]，所以2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]，所以f（x）的值域为[2，3]，而f（x）=m+2，所以m+2∈[2，3]，即m∈[0，1]。