总体均值μ的置信区间为

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概率论置信区间

置信区间是指由样本统计量所构造的总体参数的估计区间。在统计学中，一个概率样本的置信区间是对这个样本的某个总体参数的区间估计。置信区间展现的是这个参数的真实值有一定概率落在测量结果的周围的程度，其给出的是被测量参数的测量值的可信程度。

置信区间的常用计算方法：Pr（c1<=μ<=c2）=1-α。其中，c1、c2为置信下限、置信上限，α为显著性水平，μ为总体均值。

7.4 正态总体的置信区间

)
条件 σ2已知
统计量
X
小结
置信区间
/ n
~ N (0, 1)
μ
σ2未知
X U n 2
X t (n 1) S n 2
X s/ n
1
n
~ t ຫໍສະໝຸດ Baidun 1)
μ已知

2
(x
i 1
i
) ~ ( n)
解：已知 0 7, n 9, 0.05. 由样本值算得： 1 x (115 120 110) 115. 9
查正态分布表得临界值 u 2 1.96，
由此得置信区间：
(115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9 ) (110.43 , 119.57 )
2
1
2
假定出生婴儿(男孩)的体重服从正态分布，随机地抽取12名新生婴儿，测其体重为
思考
3100 2520 3000 3000 3600 3160
3560 3320 2880 2600 3400 2540
(1)以0.95的置信度估计新生男婴儿的平均体重。
(2)以0.95的置信度对新生男婴儿体重的方差进行区间估计。
X , S 2 分别是样本均值和样本方差 2为未知
n 1 2 ( X X ) 用样本方差 S 2 来代替2 i n 1 i 1

总体均值μ的置信区间为

2 (Y1 Y2 ) . S
4
证明统计量Z服从自由度为 2的t分布。
第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识
分析：t分布为标准正态分布与单位自由度的卡方分布的开方之比，因此，需要在分子分母凑出相应的分布
6 1 证：令DX ,由总体与样本同分布，得 : EY1 E ( X i ) 6 i 1 2
2
(X
n
2 2 ) ~ ( n) i
1
2 ( X X ) i 2
n
(n 1) S 2
~ 2 (n 1)
P2
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
例题13-1-2 设总体 X ~ N ,2 2 ,
16 2 （1）已知 0，求P X 128 i ; i 1 16 2 （2）未知，求P X X 100 i .
i 1
16
抽取容量为16的样本

解
(1)
1 2 2
2 1
2 2 X ~ (16) i i 1
16 2 P X 128 i i 1
2 1
1 P 22
X
i 1
16
2 i
128 2 2
f 2 x
2 0.05 2 0.01

置信区间(详细定义及计算)

一旦有了样本，就把估计在区间这里有两个要求:
可见，对参数作区间估计，就是要设法找出两个只依赖于样本的界限(构造统计量) (ˆ1 ˆ2 )
[ˆ1 ,ˆ2 ] 内.
1. 要求很大的可能被包含在区间 [ˆ1 , ˆ2 ] 内，
就是说，概率 P {ˆ1 ˆ2 } 要尽可能大. 即要求估计尽量可靠.
1 ( x1 , x2 , xn ), 2 ( x1 , x2 , xn ) 都是常数。 [1 , 2 ] 为常数区间。
3
设
是总体X的一个未知参数，
若存在随机区间 [1 , 2 ], 对于给定的 0 1, 若满足
P{1 2 } 1

2 [X z 2 , X z 2 ] n n 115 1.96 7 / 9 , 115 1.96 7 / 9 110.43 , 119.57
查正态分布表得临界值 Z 1.96，由此得置信区间：

18
当总体X的方差未知时，容易想到用样本方差Ѕ 2代替σ2。 X T ~ t ( n 1) 已知 2 S n X t (n 1)} 1 则对给定的α，令 P{ S 2 2 n 查t 分布表，可得 t (n 1) 的值。 2 S S P{ X t 2 ( n 1) X t 2 ( n 1)} 1 n n

总体均值μ的置信度为095的置信区间

育
课
程
3-2
例1. 设总体X ~ N(, 2 ), 2已知, 未知, 设X1 , X 2 ,, Xn是来自X的样本,求的置信度为1 的置信区间。
解因X是的无偏估计，及X ~ N(0,1)， n
且不依赖于任何其它参数，按标准正态分布的上
3.1 置信区间与置信限
设总体X的分布函数F(x;)的形
式已知，但其中含有未知参数，若对于给定值
(0 1)，统计量 ˆ 1 ˆ 1 (X1 , X2 ,, Xn ) 和
ˆ 2 ˆ 2 (X1 , X 2 ,, Xn ) 满足:
P{a Z(X1 , X2 ,, Xn ;) b} 1
西
南科技
3. 由不等式a Z(X1 , X2 ,, Xn ;) b解得
大学网
ˆ 1 (X1 , X2 ,, Xn ;a, b) ˆ 2 (X1 , X2 ,, Xn ;a, b)
为1 。如取 0.05，则置信度为0.95，说明( ˆ 1 , ˆ 2 )
以0.95的概率包含的真值。粗略地说，在随ห้องสมุดไป่ตู้机区间
西
南科技

公式汇总

二）组距分组次数分布表（重点。简单应用）若观测变量的取值变动均匀，则应采用等距分组。分组的组数不宜太少，也不宜过多。

1.确定组数:记变量值的个数为N，组数为m，则斯特吉斯公式为：

m＝1＋3.322lgN

lg20=lg2+1=1.3010

lg60=lg2+lg3+1=0.3010+0.4771+1=1.7781

lg50=1.6989

lg2=0.3010

lg3=0.4771

lg5=0.6990

lg7=0.8451 这几个是应该记住的。非常实用

等距分组的组距为w，则由下式可计算出w的最低值为：W＝【max（xi）－min（xi）】/m

（一）算术平均数

算术平均数又称均值，它是一组变量值的总和与其变量值的个数总和的比值，是测度变量分布中心最常用的指标。

1.简单算术平均数＝（x1＋x2＋…＋x n）/n

2.加权算术平均数＝Σx i f i/Σf i＝Σx i*（f i/Σf i）式中f i/Σf i为各组的频率。

（2）组距数列算术平均数的计算方法。组中值＝（上限＋下限）/2缺下限组的组中值＝上限－邻组组距/2 缺上限组的组中值＝下限＋邻组组距/2

3.应用算术平均数应注意的几个问题（1）算术平均数容易受极端变量值的影响。2）权数对算术平均数大小起着权衡轻重的作用，但不取决于它的绝对值的大小，而是取决于它的比重。（3）根据组距数列求加权算术平均时，需用组中值作为各组变量值的代表。

5.算术平均数的变形——调和平均数令xf＝m

（3）数学期望的性质：

1）设c为常数，则E（c）＝c。

2）设X为随机变量，a为常数，则E（aX）＝aE（X）。

统计学试题(0001)

统计学试题

一、单项选择

1. 假设检验中，如果原假设为真，而根据样本

所得到的检验结论是拒绝原假设，则（）

A 犯了第一类错误

B 犯了第二类错误

C 检验结论是正确的

D 备则假设是正确的

2.下列几个检验导的P 值中，拒绝原假设的理由

最充分的是（）

A 99%

B 50%

C 10%

D 5%

3.设总体服从正态分布，样本容量为15，对总体

方差进行假设检验，原假设2

:20H σ≥，则检验统计

量应为（） A

0/14S B 020/15 C 020/14 D 15

21()

20i

i x x =-∑

5、如果你的业务是销售运动衫，哪一种运动衫

号码的度量对你更为有用（）

A 均值

B 中位数 C

众数 D 四分位数

6、设总体分布形式和总体方差都未知，对总体

均值进行假设检验时，若抽取一个容量为

100的样本，则可采用（）

A Z 检验法

B t 检验法

C 2χ检验法

D F 检验法

7、假设检验中，第二类错误的概率β表示

（）

A 0H 为真时拒绝0H 的概率

B 0H

为真时接受0H 的概率

C 0H 不真时拒绝0H 的概率

D 0

不真时接受0H 的概率

8．2004年某地区甲、乙两类职工的月平均收入分别为1060和3350元，标准差分别为230和680元，则职工平均收入的代表性（）。

A 甲类较大

B 乙类较大

C 两类相同

D 在两类之间缺乏可比性

9.总体服从正态分布，总体标准差为9，要检验假设H 0：0X X =、H 1：0

X X <，若样本容量为n ，则给定显著性水平α 时，原假设的拒绝域为（）。

A （Z α ,+∞）

B （-∞,-Z α）

5.2参数的区间估计

n2
(2)假定
2 1
2 2
2未知,求1
2的置信区间.
引进
T
(X
Y Sw
)
(1
11 n1 n2
2
)
~
t(n1
n2
2)
从而得1- 2 的一个置信水平为1-α的置信区间
11
( X Y t (n1 n2 2)Sw 2
, n1 n2
其中
11
X Y t (n1 n2 2)Sw 2
) n1 n2
506 508 499 503 504 510 497 512
514 505 493 496 506 502 509 496
这里设每袋袋装糖果的重量近似服从正态分布，试求总体均值μ的置信区间（α=0.01）.
解: 未知时,的置信度为1的置信区间为
X
S n
t
/
2
(n
1),
X
S n
t
/
2
(n
1
)
。
经计算得 x 503.75, S 6.2022
解已知时,的置信度为1的置信区间为
(X
n
z /2 ,
X
n
z /2
)。
这里 x 14.95, n 6 2.45, 0.06 0.245,
0.05, z z0.025 1.96,于是

总体平均值μ的置信区间

概率P为：
p (u ) du

1 u 2 / 2 e du 2
大多数测量值集中在算术平均值的附近；
小误差出现的几率大,大误差出现的几率小，特大误差出现的几率极小；绝对值相等的正、负误差出现的几率趋于相等。
表3-2 正态分布概率积分表
|μ | 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 面积 0.0000 0.0398 0.0793 0.1179 0.1554 0.1915 0.2258 0.2580 0.2881 0.3519 图 7-5 |μ | 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 正态分布概率积分图面积 | 0.3413 0.3643 0.3849 0.4032 0.4192 0.4332 0.4452 0.4554 0.4641 0.4713 μ | 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 面积 0.4773 0.4821 0.4861 0.4893 0.4918 0.4938 0.4953 0.4965 0.4974 0.4987
S (单位为S)
s sx x n n
表明：平均值的标准偏差随着n的增大而减小；即平均值的精密度会提高。当 n>5时变化很慢。

正态总体参数的区间估计

实例二：总体方差的区间估计
总结词
在正态分布下，总体方差的区间估计可以通过样本方差和样本大小来计算。
详细描述
当总体服从正态分布时，根据中心极限定理，样本方差近似服从卡方分布。因此，总体方差σ²的置信区间可以通过以下公式计算：$[s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2}), s^2 cdot frac{n - 1}{n} cdot F^{-1}(1 - frac{alpha}{2})]$，其中$s^2$是样本方差，$n$是样本容量，$F^{-1}$是自由度为1的卡方分布的逆函数，$alpha$是显著性水平。
置信区间是一种区间估计方法，用于估计正态总体的某个参数值落在某个区间的概率。
它表示我们对参数值的一个估计范围，并给出这个估计范围的可信程度。
置信区间的计算方法
计算置信区间的步骤包括
确定样本大小、选择合适的置信水平和样本统计量、计算置信区间的上下界。
常用的计算方法有
t分布法、正态分布法、卡方分布法等。
正态总体参数的区间估计
• 正态分布概述 • 正态总体参数的点估计 • 正态总体参数的区间估计 • 正态总体参数区间估计的性质 • 正态总体参数区间估计的实例分析
01
正态分布概述
正态分布的定义
01
正态分布是一种连续概率分布，其概率密度函数呈钟形，对称轴为均值μ，标准差为σ。

统计学B卷-含答案

广东工业大学试卷用纸，共6页，第1页

广东工业大学试卷用纸，共6页，第3页

广东工业大学试卷用纸，共6页，第4页

广东工业大学试卷用纸，共6页，第5页

广东工业大学试卷用纸，共6页，第6页

总体均值的置信区间

置信区间作用
通过置信区间，可以了解样本统计量对总体参数的估计精度，进而对总体参数进行推断和决策。
置信水平与精度关系
置信水平
置信水平是指总体参数落在置信区间的概率，通常表示为1-α，其中α为显著性水平。
精度与置信水平关系
在样本量一定的情况下，置信水平越高，置信区间越宽，估计精度相对较低；置信水平越低，置信区间越窄，估计精度相对较高。但需要注意的是，过低的置信水平可能导致置信区间失去意义。
作出决策
根据p值与显著性水平α的比较，作出接受或拒绝原假设的决策。
实例分析：假设检验中置信区间应用
问题描述
构造置信区间
判断原假设是否成立
计算p值
作出决策
某公司生产了一批零件，规定其长度为50mm 。现在从该批零件中随机抽取了n个样本进行长度测量，得到样本均值为x_bar和样本标准差s 。要求利用这些信息对该批零件的平均长度是
总体均值的置信区间
详细阐述了在已知或未知总体方差情况下，如何构建总体均值的置信区间，并给出了具体的公式和步骤。
置信区间的解释和注意事项
对置信区间的含义进行了解释，并指出了在使用置信区间时需要注意的问题，如样本量、置信水平等。
置信区间在实际问题中价值体现
决策依据
01
在实际问题中，置信区间可以为决策者提供重要的参考依据，

置信区间(详细定义及计算)

2
21
为了估计一批钢索所能承受的平均张力（单位 kg/cm2), 随机选取了9个样本作试验，由试验所得数据得
x 6720 s 2 28 2 设钢索所能承受的张力X， X ~ N ( , 2 ) 分别估计这批钢索所能承受的平均张力的范围与所能承受的平均张力。 0.05
解本题是在σ2未知的条件下求正态总体参数μ的 S t 2 ( n 1)] 置信区间。由公式知μ的置信区间为 [ X n 查表 t 0.05 (8) t 0.025 (8) 2.306 x 6720 s 2 28 2
2
n
2
n
有
1－α= 0.95，σ0= 0.3，n = 4,
代入样本值算得 x 13 ,
0.3 0.3 [13 1.96 , 13 1.96 ] 2 2
z z0.025 1.96
2
得到μ的一个区间估计为
[12.706，13.294].
13
注：该区间不一定包含μ.
0.05 可以取标准正态分布上
1 ( x1 , x2 , xn ), 2 ( x1 , x2 , xn ) 都是常数。 [1 , 2 ] 为常数区间。
3
设
是总体X的一个未知参数，
若存在随机区间 [1 , 2 ], 对于给定的 0 1, 若满足
P{1 2 } 1

置信区间(详细定义及计算)

只依赖于样本的界限(构造统计量) (ˆ1 ˆ2 )
ˆ1 ˆ1( X1, X 2 , X n ) ˆ2 ˆ2 ( X1, X 2 , X n )
一旦有了样本，就把估计在区间 [ˆ1,ˆ2 ] 内.
这里有两个要求:
1. 要求很大的可能被包含在区间 [ˆ1,ˆ2 ]内，
X , S 2 分别是样本均值和样本方差。对于任意给定的α，我们的任务是通过样本寻找一
个区间，它以1－α的概率包含总体X的数学期望μ。
6
1、已知σ2时，μ的置信区间
设 X ~ N(, 2)
X ~ N(, 2 )
EX DX 2
n
n
则随机变量令 P{ X
2
n
X

[ X n z0.01 , X n z0.04 ]
与上一个置信区间比较，同样是 1 0.95
其区间长度不一样，上例
2

n
z0.025
3.92 1 4
0.98
比此例
1
1
4 (z0.04 z0.01) 4.08 4 1.02
短。
14
第一个区间为优
（单峰对称的）。可见，像 N(0,1)分布那样概率密度
σ2差多少？容易看出把 S 2 看成随机变量，又能找到
2
它的概率分布，则问题可以迎刃而解了。

区间估计及运算

如果你想把这一问题处理得更加高明些，你就应该计算所有样本均值的平均误差。均值的标准差有一个专门的名称：均值标准误差。
整理课件
4
关于区间估计
设为总体x 的未知参数，
为来自总
体的容量为n的简单随机样本，对于预先给
定的一个充分小的正数
，我们构造
两个统计量：
整理课件
5
使得
则称区间
为总体参数的区间估计或置
整理课件
24
3.正态总体、小样本情况下，总体方差未知，总体均值的估计
（重复抽样条件下）
X t（2 s不n 重NN复1n 抽样条件下）
整理课件
25
如果总体服从正态分布, 只要总体方差已知，即使在小样本情况下，也可以计算总体均值的置信区间。如果总体方差未知，需用样本方差代替，在小样本情况下，应用t分布来建立总体均值的置信区间。
t分布是类似正态分布的一种对称分布，通常要比正态分布平坦和分散。随着自由度的增大，t分布逐渐趋于正态分布。
整理课件
26
4.非正态总体且大样本时，均值μ的区间估计
首先，当总体为非正态分布时，只要样本容量充分大（一般习惯上要求n>=30），
的抽样分布近似服从正态分布。当已知时，仍可用上述公式，根据重复抽样
已知产品重量服从正态分布，且总体方差为 100。试估计该批产品平均重量的置信区间，置信水平为95％。

统计学第七版课后答案

【篇一：大学统计学第七章练习题及答案】

练习题

7.1 从一个标准差为5的总体中抽出一个样本量为40的样本，样本均值为25。

（1）样本均值的抽样标准差?等于多少?

（2）在95%的置信水平下，边际误差是多少？

解：⑴已知??5,n?40,?25

样本均值的抽样标准差???

n?5

40??0.79 4

⑵已知??5,n?40,?25，??，1???95% 4

?z?2?z0.025?1.96

边际误差

7.2 某快餐店想要估计每位顾客午餐的平均花费金额，在为期3周的时间里选取49名顾客

组成了一个简单随机样本。

（1）假定总体标准差为15元，求样本均值的抽样标准误差；（2）在95%的置信水平下，求边际误差；

（3）如果样本均值为120元，求总体均值?的95%的置信区间。解.已知.根据查表得z?/2=1.96

（1）标准误差：e?z??n?1.96*?1.55 4???n?15

49?2.14

（2）．已知z?/2=1.96

所以边际误差=z?/2*sn?1.96*15

49=4.2

（3）置信区间：?z?

2sn?120?15

49?1.96??115.8,124.2?

7.3 从一个总体中随机抽取n?100的随机样本，得到?104560，假定总体标准差

??85414，构建总体均值?的95%的置信区间。

z??1.96

z??96*85414

n?1.?16741.144

?z.?104560?16741.144?87818.856

?z?

.?104560?16741.144?121301.144

置信区间：（87818.856，121301.144）