总体均值μ的置信区间为

之 比 ：t
2(Y1 Y2 )
2S 2
2 2
2(Y1 Y2 ) Z ~ t(2) S
4
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
一、两个正态总体的统计量的分布
从总体X 中抽取容量为 n1 的样本 X1 , X 2 ,, X n1
从总体Y 中抽取容量为n2 的样本 Y1 ,Y2 ,,Yn2
6
2
3

2
2
;又 由 均 值 计 算 规 则 ：E (Y1
Y2 ) 0
Y1
Y2
~
2
N (0, 2
),化 成 标 准 变 量 ：U

Y1
Y2
2

0

2(Y1 Y2 ) ~ N (0,1)

2
3
第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识
Y2

1 3
(X7

X8

X 9 )是X 7、X 8、X 9 3个 样 本 变 量 的 样 本 均 值， 又
设总体 X ~ N 1 , 12 , Y ~ N 2 , 2 2 , 则
T X Y 1 2 ～
11
Sw
n1 n2
t n1 n2 2 , 其中Sw
(n1

1)S12

(n2

1)
S
2 2
n1 n2 2
6
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识


P
1 22
16 i 1
Xi X
2

100 22


P
(
2 2

25)

1
P
(
2 2

25)

1
0.05

0.95

2 0.0 5
(15)

25.0
例13-1-2（1999，数学三，7分）
设X
1
,
X
2
,,
X
是
9
来
自
正
态
总
体
的
简
单随
机
样
本
，
Y1

1 6
(X1

X 6 )，Y2
2
1)S22
~
2(n1
n2
2)
X与S12独立，Y与S22独立，∴统计量U与 也2 是独立的。

U
2
n1 n2 2
X

Y 1 n1

1
1 n2
Sw
2
~
t ( n1

n2

2)
7
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
定理8 设总体 X ~ N 1 , 12 , Y ~ N 2 , 22 , 则
,
2 1
n1
.
Y
~
N


2
,

2 2
n2
.
X
Y
~
N 1


2
,

2 1
n1


2 2
n2
.
将 X Y标准化即得结论.
推论 设总体 X ~ N 1 , 2 , Y ~ N 2 , 2 则
定理7
U X Y 1 2 ~ N 0,1. 11 n1 n2

1 22
16 i 1
X
2 i
~ 2 (16)
f2 x
P 16 i1
Xi2
128
P

1 22
16 i 1
Xi2

128 22


P
(
2 1

32) 1
P
(
2 1

32)
1 0.01 0.99

2 0.01
(16)

32.0
S 2

1 2
9 i7
(Xi
Y2 )2 ,容 量 减 一 方 差 比 ， 卡 方n 1,即 ：
(3 1)
22
9
(Xi
i7
Y2 )2

2S 2
2
~
2(2)
因 为样 本均 值 与样 本方差 独立 ， 所 以，Y1 Y2与S 2相 互独 立
由 ：t分 布 为 标 准 正 态 分 布 与单 位 自 由 度 的 卡 方 分 布的 开 方
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
例题13-1-2 设总体 X ~ N ,22 , 抽取容量为16的样本
（1）已知 0，求P 16 X i2 128;
（2） 未知，求P
16 i1
Xi
i 1

X
2


100
.
解 (1)

2 1
假设所有的试验都是独立的，所以样本 X i i 1,2,, n1
及 Y j j 1,2,, n2 都是相互独立的.
样本均值：
1 n1 X n1 i1 X i ,
1 Y
n2
样本方差： S
定理6 设总体
2 1

X
1 n1 ~N
证： U X Y 1 2 ~ N 0,1.
2 1

2 2
n1 n2
2 1

(n1
1)S12
2
~
2(n1
1), 22

(n2
1)S22
2
~
2(n2
1);
又 S12与S22独立，
2

2 1

2 2

(n1
1)S12 (n2
O
2 0.05
2 0.01


25.0 32.0 x
1
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
(2)


2 2

(16
1)S 22
2

1 22
16 i1
Xi X
2 ~ 2
15 ,
16
P i1
Xi X
2

100
证 ： 令DX


2 ,由总体 与样本同 分布，得 :
EY1

1 6
E(
6 i 1
Xi
)


1 (
6
6 i 1
EX i
)

1 6
6EX

EX ;
同 理 ：EY2

EX ,
Biblioteka Baidu
DY1

2
6
, DY2

2
3
由X
的
i
独
立
性
可
推
出Y1
,
Y2独
立
。
故
由
方
差
独
立
加减
都
是
加
得
D(Y1
Y2 )
2

1 3
(X7

X8

X 9 )，
S 2

1 2
9 i7
(Xi
Y2 )2 , Z

2(Y1 Y2 ) . S
证 明统 计 量Z服 从自 由 度 为2的t分 布。
2
第十二讲：中心极限定理数理统计基本知识
分 析 ：t分 布 为 标 准 正 态 分 布 与单 位 自 由 度 的 卡 方 分 布的 开 方 之 比 ， 因 此 ， 需 要 在 分子 分 母 凑 出 相 应 的 分 布
n1

1 i1
1,
X
2 1
i
,

X Y
2
~
n2
Yj
j 1
N 2
S
2 2

,22
1 n2
,则
1
n2

j1
Yj
Y
2
U X Y 1 2 ~ N 0,1.
2 1

2 2
n1 n2
5
第十三讲：中心极限定理数理统计基本知识
证： X
~
N
1
X n n1 i