相似三角形判定定理与证明
证明三角形相似的判定方法
证明三角形相似的判定方法
证明三角形相似的判定方法如下：
1.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形
与原三角形相似。2.三边成比例的两个三角形相似。3.两边成
比例且夹角相等的两个三角形相似。4.两角分别相等的两个三
角形相似。5.斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似。
相似三角形判定定理
判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个
角对应相等，那么这两个三角形相似。（简叙为：两角对应相等，两个三角形相似。）（AA）
判定定理2：如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应
的夹角相等，那么这两个三角形相似。（简叙为：两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。）（SAS）
判定定理3：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两
个三角形相似。（简叙为：三边对应成比例，两个三角形相似。）（SSS）
判定定理4：两三角形三边对应平行，则两三角形相似。（简
叙为：三边对应平行，两个三角形相似。）
判定定理5：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一
个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直
角三角形相似。（简叙为：斜边与直角边对应成比例，两个直角三角形相似。）（HL）
判定定理6：如果两个三角形全等，那么这两个三角形相似（相似比为1：1）（简叙为：全等三角形相似）。
相似的判定定理与全等三角形基本相等，因为全等三角形是特殊的相似三角形。
相似三角形判定定理的证明
当堂训练
1、如图所示，∠1=∠2，则( B )
A △ADE∽ △ABC
A
B △ADE∽ △ACB
D 1E
C △DEA∽ △BCA B 2
C
D △EDA∽ △CBA
哪些线段成比例？
2014.10
当堂训练
2. 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，那么 在下列比例式中，正确的是（ C ）
A AB OA
∴ △ADE ≌△A'B'C'． ∴ △ABC ∽△A'B'C'.
下面两组图形中的两个三角形是否相似？为什么？ A
A
A1
D
30°
C
B C1
B1 E 100°
FB
C
①
②
1. 如图所示： ∠ 1= ∠ 2 = ∠ 3
A
图中相似三角形有_____ △ AED∽△ ADB∽△ ABC
E
1D
√ 2. 判断并说理
AB CB
AC CB
B
F
C
∵ DE∥BC，DF∥AC， ∴ 四边形 DFCE 是平行四边形．∴ DE = CF.
A′
∴ AE DE AC CB
∴ AD AE DE AB AC BC
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C， ∴ △ADE ∽ △ABC.
相似判定定理
相似判定定理
相似三角形有四个判定定理，分别是：
1、平行于三角形一边的直线和其他两边所构成的三角形与原三角形相似。
2、两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似。
3、如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。
4、如果两个三角形的两个角分别对应相等，则有两个三角形相似。
相似三角形的预备定理：
平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（这是相似三角形判定的定理，是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明）。
相似三角形的性质：
相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。
相似三角形的周长比等于相似比。
相似三角形的面积比等于相似比的平方。
4.5.4《相似三角形判定定理的证明》
C′
∴△ ABC∽△ A′B′C′ (三边对应成比例的两个三角形相似.)
2.(选做题)
有一池塘, 周围都是空地. 如果要 测量池塘两端A、B间的距离, 你能利 用本节所学的知识解决这个问题吗? A•
C
•
•E
•D
B•
(三条对应边成比例的两个
三角形相似.)
• 如图,△ ABC与△ A′B′C′相似吗? • 你用什么方法来支持你的判断?
解:如图,设小正方形的边 长为1,由勾股定理可得: A
C A′ B′
B
AB 8 , BC 2 10 , AC 2 2 ; AB 4, BC 10, AC 2;
A′
你能证明吗？ 可要仔细哟！
B
C
B′
C′
应用
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD ·AC.
∵ AD=2, AC=8,
∴ AB =4.
探究2
知识要点
B'
A' E AC AB BC AC 又 . , A ' D AB， ∴ A 'C ' A 'C ' A ' B ' B 'C ' A 'C ' 同理 DE BC. ∴ A ' E AC.
相似三角形判定定理证明
如何證明相似三角形判定定理
預備知識：
圖1中，平行線等分線段定理 已知l 1//l 2//l 3，AB =BC ，則DE =EF
由已知條件構造三角形全等，可證得平行線間距離相等，然後以此結論做條件可構造線段DE ，EF 所在三角形全等，結論獲證. 圖2中，平行線分線段成比例定理 已知l 1//l 2//l 3，則
DE
EF
BC AB =
，命題可通過添加平行線轉化成平行線等分線段定理.
由比例性質還可得DF EF AC AB =，EF ED AB CB =，DF ED
AC CB =
相似三角形判定定理證明
圖3，已知DE//BC ，求證：△AD E ∽△ABC
析：欲證兩三角形相似，則需證三對角對應相等，三對邊の比 相等，本題目三對角相等，則證三邊比相等即可. 由DE//BC 得
AC EA AB AD =，作EF//AB 得AC EA
CB BF =
，依題意知四邊形DEFB 是平行四邊形，DE=BF . 則
CB
DE
AC AE AB AD ==，命題獲證. 圖4，已知DE//BC ，求證：△AD E ∽△ABC
作AG=AD ，GH//BC ，HM//AB ，可證△AD E ≌△AGH 此問題同圖3
圖5，在△ABC 與△A`B`C`中，
`
`````C A AC
C B BC B A AB =
= 求證：△ABC ∽△A`B`C`
在線段A`B`上截取A`D=AB ，過點D 作DE//B`C`，交A`C`於點E ，根據上面定理得△A`D E ∽△A`B`C` ∴
`
```````C A E
A C
B DE B A D A == ∵
相似三角形的判定(sss)
B
∴∠BAC━∠DAC=∠DAE━∠DAC
即∠BAD=∠CAE
求证：三角形的三条中位线所组成的三角形 与
原三角形相似。
A
已知：如图,DE,DF,EF是△ABC的中位线
求证： △ABC∽△FED
D
E
证明：
B ∵ DE,DF,EF是△ABC的中位线
F
C
∴ DE= 1 BC,DF= 1 AC,EF= 1 AB
三边对应成
A
比例
A’
B’
C’
B
C
AB' 'BC' 'AC' ' AB BC AC
是否有△ABC∽△A’B’C’？
推理论证：
已知:在△ABC和△A′B′C′中
求证:△ABC∽△A′B′C′ A
AB BC AC ,
AB BC A′ AC
D
E
B 分析：
C
B′
? △A′DE∽△A′B′C′
△A′DE≌△ABC
Leabharlann Baidu
∴△ADE≌△ ABC
∴△ ABC∽△ABC
B
C` E
C
A
A’
B
C
AB' 'BC' 'AC' ' AB BC AC
B’
4.5.2相似三角形判定定理的证明
D
A
E
。可得
D
E
A 平截型——平行 截相似
B
C
C B
3,下图中添加一个什么条件，可使△ADE∽△ABC
A
∠ ADE＝∠B，
E
或 ∠AED=∠C，
D
D E
A
斜截型—— 斜截构相似
或 AE:AC=AD:AB
B
C
B
C
4、如图，在ΔABC中 ，点D、E分别是边AB、AC上 的点，连结DE，利用所学的知识讨论：当具备怎样 的条件时，ΔADE与 ΔABC相似？
C
∴ ΔABC∽ΔCBD∽ΔACD。
AD
B
此结论可以作为相似定理”, 今后可以直接使用.
• 例3.在一次数学活动课上,为了测量河宽AB,张 杰采用了如下方法:从A处沿与AB垂直的直线方 向走４０Ｍ到达Ｃ处，插一根标杆，然后沿同方 向继续走１５Ｍ到达Ｄ处，再右转９０度走到Ｅ 处，使Ｂ，Ｃ，Ｅ三点恰好在一条直线上，量得 ＤＥ＝２０Ｍ，这样就可以求出河宽ＡＢ．请你 算出结果（要求给出解题过程）
例2、求证：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形 和原三角形相似。
已知：在RtΔABC中，CD是斜边AB上的高。 求证：ΔACD ∽ ΔABC ∽ ΔCBD 。
证明: ∵ ∠A=∠A，∠ADC=∠ACB=900，
∴ ΔACD∽ΔABC（两角对应相等，两 三角形相似）。
相似三角形的判定定理证明
C'
ABC.
∴
ABC ∽ A ' B ' C '.
新知应用
例1.弦AB和CD相交于⊙O内一点P. 求证:PA· PB=PC· PD.
A P B 证明:连接AC、BD. ⌒ ∵∠A、∠D都是CB所对的圆周角, O ∴ ∠A=∠D. 同理: ∠C=∠B. C ∴△PAC∽△PDB.
探究3
知识要点
边S 边S 边S A′
√
三边对应成比例，两三角形相似. 如果
AB BC AC , A B BC AC
那么，△ABC∽△A′B′C′. B′
A
C′
B
C
画一画
任意画一个三角形，再画一个三 角形，使它的各边长都是原来三角 形各边长的k倍，度量这两个三角 形的对应角，它们相等吗？这两个 三角形相似吗？与同桌交流一下， 看看是否有同样的结论.
A′
你能证明吗？ 可要仔细哟！
B
C
B′
C′
应用
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB ,
∴ AB : AC=AD : AB,
∴ AB2 = AD ·AC.
∵ AD=2, AC=8,
∴ AB =4.
相似三角形判定定理的证明
AB CB
AC CB
∵ DE∥BC, DF∥AC,
A′
∴ 四边形 DFCE 是平行
A
D1 2
E
四边形．
B′
C′ B
F
C
∴ DE = CF.
∴ AE DE ， ∴ AD AE DE .
AC CB
AB AC BC
A
A′
D1 2
E
B′
C′
B
F
C
而 ∠ 1 = ∠ B，∠ DAE = ∠ BAC，∠ 2=∠ C， ∴ △ADE ∽ △ABC. ∵ ∠ A = ∠ A'，∠ ADE = ∠ B =∠ B'，AD = A'B' ， ∴ △ADE ≌△A' B ' C ' ． ∴ △ABC ∽△A'B'C.
，
求证：△ABC ∽ △A'B'C' . A
A′
D
E
B
B′
C′
C
证明:
在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， A
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，∴ △ADE ∽ △ABC. D
E
∴ AD DE AELeabharlann Baidu. AB BC AC
B
C
相似三角形的判定条件及证明
相似三角形的判定条件及证明相似三角形是几何学中重要的概念，它们具有相似的形状但可能具有不同的大小。在实际问题中，我们经常需要确定两个三角形是否相似。本文将介绍判定相似三角形的条件及其证明方法。
1. AA相似定理
如果两个三角形的两个角分别相等（其中一个角必须是对应角），那么这两个三角形是相似的。
证明：
设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即∠A = ∠D，∠B = ∠E 或∠C = ∠F。我们需要证明它们是相似的。
根据AA相似定理，我们只需证明另外一个对应角也相等。假设
∠A = ∠D，∠B = ∠E。根据三角形内角和为180°，我们可以得到∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - ∠D - ∠E = ∠F。
因此，三角形ABC和三角形DEF的对应角都相等，根据AA相似定理，它们是相似的。
2. 三边比值相等定理
如果两个三角形的三边对应成比例，那么这两个三角形是相似的。
证明：
设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = BC/EF =
AC/DF。我们需要证明它们是相似的。
假设AB/DE = BC/EF，我们可以得到AB/BC = DE/EF。根据三角形的角边比例定理，如果三角形的两边之间的比值相等，那么这两个三角形的对应角也相等。因此，∠A = ∠D，而根据AA相似定理，我们可以得出三角形ABC和三角形DEF是相似的。
3. SAS相似定理
如果两个三角形的一对对应边成比例，并且两个对应角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
证明：
设三角形ABC和三角形DEF满足条件，即AB/DE = AC/DF，并且∠A = ∠D。我们需要证明它们是相似的。
相似三角形判定定理的证明
A′
D
E
B
F
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C
B′
C′
应用
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
解： ∵ ∠ A= ∠ A,∠ABD=∠C, ∴ △ABD ∽ △ACB , ∴ AB : AC=AD : AB, ∴ AB2 = AD ·AC. ∵ AD=2, AC=8, ∴ AB =4.
探究2 知识要点
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知：如图在△ABC 和△ A′B′C′中∠A = ∠A ′ ，
AB AC , A' B' A'C' A
求证：△ABC ∽△ A′B′C′.
A′
D
E
B
C
B′
C′
探究3 知识要点
三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图 ，在△ABC 和△ A′B′C′中
求证：△ABC∽△A′B′C′.
A
A′
AB BC AC , AB BC AC
4.5 相似三角形判定定理 的证明
回顾与复习
1、相似三角形的定义: 三角分别相等、三边成比例的两个三角形
叫做相似三角形。
2、相似三角形的判定方法: 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似.
探究1 知识要点
第13讲 相似三角形判定定理的证明
第13讲 相似三角形判定定理的证明
课程标准
1.了解相似三角形判定定理的证明过程，会选择恰当的方法证明两个三角形相似；
2.会作辅助线来证明两个三角形相似，掌握证明过程。
知识点01 相似三角形判定定理的证明
（一）相似三角形的判定定理1的证明过程
已知：如图,在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B ′.求证：△ABC ∽△A′B′C′.
证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠ADE=∠B ，∠AED=∠C,
(.AD AE
AB AC
=平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） 过点D 作AC 的平行线，交BC 与点F,则
(AD CF
AB CB =平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）. ∴AE CF
AC CB
=
∵DE ∥BC,DF ∥AC,
∴四边形DFCE 是平行四边形. ∴DE=CF. ∴AE:AC=DE:CB ∴
AD AE DE
AB AC BC
==
. 而∠ADE=∠B,∠DAE=∠BAC,∠AED=∠C, ∴△ADE ∽△ABC.
∵∠A=∠A′,∠ADE=∠B=∠B′,AD=A′B′, ∴△ADE ∽△A′B′C′.
知识精讲
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∴△ABC ∽△A′B′C′.
（二）相似三角形的判定定理2的证明过程 已知：在△ABC 和△A ′B′C′中，∠A=∠A′,
''''
AB AC
A B A C =
,求证：△ABC ∽△A′B′C′.
证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD=A′B′,过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E, 则∠B=∠ADE,∠C=∠AED,
相似三角形判定定理的证明
相似三角形判定定理的证明
穷举法证明相似三角形判定定理
相似三角形判定定理是指：任何两个三角形，只要它们的两条相应边成比例，那么它们就是相似。
穷举法可用来证明相似三角形判定定理。假设任意两个三角形ABC、A$_1$B$_1$C$_1$，如果其相应边成比例，A：
A$_1$=B：B$_1$=C：C$_1$，且都不为零，则三角形ABC、
A$_1$B$_1$C$_1$若有相应的内角满足：
α：α$_1$=β：β$_1$=γ：γ$_1$
其中α、β、γ分别为ABC的内角，α$_1$、β$_1$、γ$_1$分别为A$_1$B$_1$C$_1$的内角，则三角形ABC、
A$_1$B$_1$C$_1$相似；
否则，如果相应边成比例，但其中一内角不满足：
α：α$_1$=β：β$_1$=γ：γ$_1$
如A、A$_1$成比例，但α：α$_1$≠β：β$_1$，
则此时三角形ABC、A$_1$B$_1$C$_1$不能相似。
根据上述论证，我们可以得出结论：任何两个三角形，只要它们的两条相应边成比例，那么它们就是相似的。这就是相似三角形判定定理。穷举法的证明可以得出此定理。
总之，穷举法可以用来证明相似三角形判定定理，即任何两个三角形，只要它们的两条相应边成比例，那么它们就是相似。
证明相似三角形判定方法
证明相似三角形判定方法
证明相似三角形的判定方法有多种，以下是其中的50种方法，并对每种方法进行详细描述：
1. 相似角对应相等：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形相似。
2. 辅助角相等：如果两个三角形的一个角等于另一个角的辅助角，则这两个三角形
相似。
3. 边长比例相等：如果两个三角形的对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
4. 三边比例相等：如果两个三角形的三条边的比例相等，则这两个三角形相似。
5. 比较周长：如果两个三角形的周长比例相等，则这两个三角形相似。
6. 比较面积：如果两个三角形的面积比例相等，则这两个三角形相似。
7. 角平分线所成的相似三角形：如果两个三角形的一个角被其相对边的平分线所平分，且两个角相等，则这两个三角形相似。
8. 内切圆和外切圆：如果两个三角形的内切圆和外切圆的半径比例相等，则这两个
三角形相似。
9. 三角形的高比较：如果两个三角形的高的比例相等，则这两个三角形相似。
10. 图中的角平分线构成相似三角形：如果两个三角形的一个角被图中一条直线平分，且划分的相邻两边的比例相等，则这两个三角形相似。
11. 内接三角形相似性：如果一个三角形内部有另一个相似的三角形，则这两个三角
形相似。
12. 应用正弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的正弦比相等，则这两个三角形
相似。
13. 应用余弦定理：如果两个三角形中包含的两个角的余弦比相等，则这两个三角形
相似。
14. 应用正切定理：如果两个三角形中包含的两个角的正切比相等，则这两个三角形
相似。
15. 利用半角公式：如果两个三角形中包含的两个角的半角正弦比相等，则这两个三
如何判定相似三角形判定定理的证明
相似三角形的判定定理的证明过程如下:
相似三角形定理
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似
相似三角形判定定理1：两角对应相等，两三角形相似(ASA)
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
判定定理2：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似(SAS)
判定定理3：三边对应成比例，两三角形相似(SSS)
相似直角三角形定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似
性质定理1：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
性质定理2：相似三角形周长的比等于相似比
性质定理3：相似三角形面积的比等于相似比的平方
证两个相似三角形应该把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。如果是文字语言的“△ABC与△DEF相似”，那么就说明这两个三角形的对应顶点可能没有写在对应的位置上，而如果是符号语言的“△ABC∽△DEF”，那么就说明这两个三角形的对应顶点写在了对应的位置上。
相似三角形判定定理的证明乐乐课堂
相似三角形判定定理的证明乐乐课堂
摘要：
1.相似三角形的概念及判定定理
2.判定定理的证明方法
2.1 两角对应相等的两个三角形相似
2.2 两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似
2.3 三边对应成比例的两个三角形相似
正文：
一、相似三角形的概念及判定定理
相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。它们之间的对应角度相等，对应边长成比例。相似三角形的判定定理是指用于判断两个三角形是否相似的一些基本规则。
二、判定定理的证明方法
1.两角对应相等的两个三角形相似
假设三角形ABC 与三角形A"B"C"满足条件，即∠A = ∠A"，∠B =
∠B"。我们需要证明三角形ABC 与三角形A"B"C"相似。
证明：
在三角形ABC 和三角形A"B"C"中，
∠A = ∠A"，∠B = ∠B"，
根据三角形内角和定理，
∠C = ∠C"，
所以三角形ABC 与三角形A"B"C"具有相同的三个角。
又因为三角形ABC 与三角形A"B"C"的三个角分别相等，根据相似三角形的定义，它们是相似的。
2.两边对应成比例并且夹角相等的两个三角形相似
假设三角形ABC 与三角形A"B"C"满足条件，即AB / A"B" = BC / B"C"，且∠B = ∠B"。我们需要证明三角形ABC 与三角形A"B"C"相似。
证明：
在三角形ABC 和三角形A"B"C"中，
AB / A"B" = BC / B"C",∠B = ∠B",
根据正弦定理，
sin∠A / sin∠A" = AB / A"B" = BC / B"C",
所以sin∠A = sin∠A"，