(整理)几个重要的特殊数列

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发散数列的经典例子

发散数列，也被称为无穷数列，是指一个由无数个数字组成的数列，其中每个数字都比前一个数字大。发散数列是数学中的一个重要概念，在数学、物理、化学等领域都有着广泛的应用。下面就来介绍几个经

典的发散数列。

I. 等比数列

等比数列是指一个数列中每个数字都是前一个数字乘以一个常数，即

a1, a2, a3, …, an, …的公比为r，即a(n+1)=r*an。如果r>1，那么这个数列就是一个发散数列。例如，2, 4, 8, 16, 32, … 这个数列的公比为2，

无穷项趋于正无穷。

II. 斐波那契数列

斐波那契数列是指一个数列中，从第3项开始，每一项都等于前两项

之和，即a(1)=1, a(2)=1, a(n+1)=a(n)+a(n-1)。这个数列的性质非常特殊，如下：

1. 斐波那契数列是递增的；

2. 斐波那契数列的比值随着项数的增加越来越接近黄金分割（约

1.618）；

3. 斐波那契数列是一个发散数列。

III. 调和级数

调和级数是指一个数列中，每一项都是其前一项的倒数加1，即1,

1+1/2, 1+1/2+1/3, …, 其通项公式为an = 1 + 1/2 + … + 1/n。显然，调和级数是一个发散数列，但是其发散速度非常缓慢。例如，调和级数前1000项的和约为7.48，而前100万项的和已经接近21。

IV. 稀疏数列

稀疏数列是指一个数列中，每一项都是前一项的平方根，即

a(n+1)=sqrt(an)。这个数列的性质非常有趣，如下：

1. 稀疏数列最初的几项增长迅速，但是随着项数的增加越来越慢；

整理几个重要的特殊数列

几个重要的特殊数列

基础知识

1．斐波那契数列

莱昂纳多斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：

假设一对兔子每隔一个月生一对一雌一雄的小兔子，每对小兔子在两个月以后也开始生一对一雌一雄的小兔子，每月一次，如此下去。年初时兔房里放一对大兔子，问一年以后，兔房内共有多少对兔子？

这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。

现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。

特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为

（），其特征方程为，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为

（），其中A、B由初始值确定；

（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为

（），其中A、B由初始值确定。（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）

因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：

，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得

所以。

这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：

它的通项公式是以无理数的形式给出的，但用它计算出的每一项却都是整数。斐波那契数列在数学竞赛的组合数学与数论中有较为广泛地应用。为了方便大家学习这一数列，我们给出以下性质：（请同学们自己证明）

几个特殊的数列

几个重要的特殊数列

基础知识

1．斐波那契数列

这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共

有对，于是有。

现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。

特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为

（），其特征方程为，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为

（），其中A、B由初始值确定；

（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为

（），其中A、B由初始值确定。（这个问题的证明

我们将在后面的讲解中给出）

因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其

特征根为：

，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得

所以。

这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要

有趣的性质，如：

高考数列必考知识点

数列作为高中数学中的重要知识点之一，在高考中占据着重要的位置。掌握数列的概念、性质以及常见的数列类型是高考数学取得好成

绩的必备知识。本文将为同学们总结归纳高考数列必考的知识点。

一、数列的概念和性质

1. 数列的定义：数列是按照一定顺序排列的由数字组成的序列。

2. 数列的通项公式：数列的通项公式表示数列中第n个数的一般项，常用符号有an或者Un。

3. 数列的首项和公差：对于等差数列，首项表示数列的第一个数，

常用符号是a1；公差表示相邻两项之间的差值，常用符号是d。

4. 数列的递推公式：数列的递推公式表示数列中第n+1项与第n项

的关系式。

二、等差数列

1. 等差数列的定义：等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的

数列。

2. 等差数列的通项公式：对于公差为d的等差数列，其通项公式为an = a1 + (n-1)d。

3. 等差数列前n项和：等差数列前n项和的公式为Sn = (a1 + an) *

n / 2。

三、等比数列

1. 等比数列的定义：等比数列是指数列中相邻两项之比保持不变的数列，且首项不能为0。

2. 等比数列的通项公式：对于公比为q的等比数列，其通项公式为an = a1 * q^(n-1)。

3. 等比数列前n项和：等比数列前n项和的公式为Sn = a1 * (1-q^n) / (1-q)。

四、特殊数列

1. 斐波那契数列：斐波那契数列是指数列中的每一项都是前两项之和，首几项为0、1、1、2、3、5、8、13……

2. 等差-等比混合数列：等差-等比混合数列是指数列中既存在等差关系又存在等比关系的数列。

几种特殊数列求和的方法和技巧

的方法。
◆ 创新课堂 ◆
１）３＝ｋ３＋３ｋ２＋３ｋ＋ｌ把它变形可得（＋１）一：
同样．依据上面这种方法可以推得
１
３ｋ＋３ｋ＋ｌ。而这个式子里面有．可以利用裂项相加求和
＋１）＋ｒ — １） …
＋ｎ）＋ｒｔ
ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ十，－．１）
中的重要内容之一．除了运用等差数列和等比
数列的通项公式和求和公式之外．大部分数列
＝ｌ
代人上式整理
一ｊ＋
了＋． ‘ ． ’ 。
又ｌ＋２＋３＋ …＋ｎ＝旦后可得１２＋２ｚ＋．．
的求和都需要一定的方法与技巧本文通过对高考题及竞赛题的总结．从而发现和总结出了
一
＋Ｉ＿Ｉ丽
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一
・
鬲Ｊ】
些特殊数列的求和的方法与技巧．综合运用
上ｒ－１１
化归的思想．解决了既非等差又非等比数列的求和问题．以此使得数列求和化难为易。
我们把ｍ称作拆项因子．它就等于数列
通项中分母的最后一个因式减去其前一个因

特殊数列求和

特殊数列求和类型综述

特殊数列前n 项求和是数列中一个知识重点和难点，属于考试中较常见的题型，因此是数列单元中的一个重要部分。但不论是哪一类方法，都要求首先要认真观察数列的通项公式的特点，并且根据不同的特点采取不同的变形手段，采用不同的解题方法。

类型一：“拆项分组求和法”

例1.求和 n S =7+77+777+…+

7777个n 。解：

99999

7个n n a ⨯=

=)110

7-n

，

∴n n n S n

n n

n 9

7)110

(81

70]10

110

10[

97])1010

10[(9

---=-+++=

+ 。

例2.求和)223233()2233()23(22122n n n n n S ++∙+∙++++∙+++=-- 。

解： n n n n n a 223233221++∙+∙+=--

111

3]3

21)

2(1[3])3

2()32(321[3+++-=-

-∙=++++n n n n n n )2

22()3

33(1

321

+++++-+++=∴n n n S

++n n 。（注意：项数是n+1项,不是n 项）

类型二：“裂项相消法” 例3.求和

)

2(15

314

213

11++

+⨯+

⨯+

⨯n n 。

分析：抓住通项公式特点，进行巧妙变形：)

11(2

2(1+-=+=n n

n n a n

，

从而 )

2(15

314

213

11++

+⨯+

⨯+

⨯=

n n S

523)2

1211(21)211()1111()5131()4121()311(212

++=

数学数列与数学归纳法考点整理

数学数列与数学归纳法考点整理数学数列和数学归纳法是数学中重要的概念和方法。数列是一连串按照一定规律排列的数的集合，数学归纳法则是一种证明数学命题的方法。本文将对这两个重要的数学考点进行整理。

一、数学数列

数列是由一系列数字按照一定规律排列形成的集合。数列可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。

1. 等差数列

等差数列是指数列中相邻两项之间的差都相等。常见等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。

例：求等差数列1，3，5，7，9的前n项和。

解：首先写出等差数列的通项公式an = 2n - 1，然后求前n项和Sn = (a1 + an) * n / 2。带入公式得到Sn = (1 + 2n - 1) * n / 2 = n^2。

2. 等比数列

等比数列是指数列中相邻两项之间的比都相等。常见等比数列的通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。

例：求等比数列1，2，4，8，16的前n项和。

解：首先写出等比数列的通项公式an = 2^(n-1)，然后求前n项和

Sn = a1 * (r^n - 1) / (r - 1)。带入公式得到Sn = 1 * (2^n - 1) / (2 - 1) = 2^n - 1。

3. 其他特殊数列

数学中还存在其他一些特殊的数列，如斐波那契数列、调和数列等。斐波那契数列的特点是每一项都是前两项的和，调和数列的特点是每

一项是其前一项的倒数的和。

二、数学归纳法

数学归纳法是一种证明数学命题的方法，通过证明当命题对于某个

数列题型及解题方法

数列是高中数学中的重要内容，也是考试中经常出现的题型之一。掌握数列的相关知识和解题方法对于提高数学成绩至关重要。本文将从常见的数列题型入手，结合解题方法进行详细介绍，希望能够帮助大家更好地理解和掌握数列的相关知识。

一、等差数列。

等差数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项之差都是一个常数。这个常数就是公差，通常用d表示。等差数列的通项公式为，$a_n = a_1 + (n-1)d$，其中$a_n$表示第n项，$a_1$表示首项，n表示项数，d表示公差。

解题方法：

1. 求和公式，等差数列的前n项和公式为$S_n =

\frac{n}{2}(a_1 + a_n)$，利用这个公式可以快速求得等差数列的前n项和。

2. 求首项和公差，已知等差数列的前几项或者部分信息，可以

通过列方程组求得首项和公差。

3. 求项数，已知等差数列的前几项和或者部分信息，可以通过列方程求得项数。

二、等比数列。

等比数列是指一个数列中，从第二项开始，每一项与它的前一项的比值都是一个常数。这个常数就是公比，通常用q表示。等比数列的通项公式为，$a_n = a_1 q^{(n-1)}$，其中$a_n$表示第n 项，$a_1$表示首项，n表示项数，q表示公比。

解题方法：

1. 求和公式，等比数列的前n项和公式为$S_n =

\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，利用这个公式可以快速求得等比数列的前n项和。

2. 求首项和公比，已知等比数列的前几项或者部分信息，可以通过列方程组求得首项和公比。

3. 求项数，已知等比数列的前几项和或者部分信息，可以通过

(整理)几个重要的特殊数列

几个重要的特殊数列

基础知识

1．斐波那契数列

莱昂纳多•斐波那契（1175－1250）出生于意大利比萨市，是一名闻名于欧洲的数学家，其主要的著作有《算盘书》、《实用几何》和《四艺经》等。在1202年斐波那契提出了一个非常著名的数列，即：

现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。

特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为

（），其特征方程为，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为

（），其中A、B由初始值确定；

（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为

（），其中A、B由初始值确定。（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）

因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：

，所以可设其通项公式为，利用初始条件得，解得

所以。

这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：

几个重要的特殊数列

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基础知识

1．斐波那契数列

这就是非常著名的斐波那契数列问题。其实这个问题的解决并不是很困难，可以用表示第个月初时免房里的免子的对数，则有，第个月初时，免

房内的免子可以分为两部分：一部分是第个月初就已经在免房内的免子，共有对；另一部分是第个月初时新出生的小免子，共有对，于是有。

现在就有了这个问题：这个数列的通项公式如何去求？为了解决这个问题，我们先来看一种求递归数列通项公式的求法——特征根法。

特征根法：设二阶常系数线性齐次递推式为

（），其特征方程为，其根为特征根。

（1）若特征方程有两个不相等的实根，则其通项公式为

（），其中A、B由初始值确定；

（2）若特征方程有两个相等的实根，则其通项公式为

（），其中A、B由初始值确定。（这个问题的证明我们将在后面的讲解中给出）因此对于斐波那契数列，对应的特征方程为，其特征根为：

，所以可设其通项公式为，利用

初始条件得，解得

所以。

这个数列就是著名的斐波那契数列的通项公式。斐波那契数列有许多生要有趣的性质，如：

第一轮复习自己整理绝对经典数列--第一轮.

数列题型总结（2016版)

一:数列的概念（由前几项归纳通项)

数列是一种特殊函数,对于数列这种特殊函数,着重讨论它的定义域、值域、增减性和最值等方面的性质，依据这些性质将数列分类：依定义域分为：有穷数列、无穷数列;依值域分为：有界数列和无界数列；依增减性分为递增数列、递减数列和摆动数列。

数列的表示方法：列表法、图象法、解析法(通项公式法及递推关系法);数列通项:()n a f n = 例1.

数列的通项n a =

例2.数列2222

13571,1,1,12468+

-+-的通项n a =

例3.数列,.......7777,777,77,7的通项n a = 例4.数列,......24,15,8,3,0,1-的通项n a =

例5.根据下列５个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第n 个图中有＿__个点．

（1）（2) (3） (４）（5）练习1：⑴ ,33,17,9,5,3⑵

,9910

,638,356,154,32

⑶ ,21,15,10,6,3,1⑷

,17

,107,1,23

二：等差数列及其性质

1。等差数列定义:一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数

列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。用递推公式表示为

1(2)n n a a d n --=≥或1(1)n n a a d n +-=≥．

２。等差数列的通项公式:1(1)n a a n d =+-

说明：等差数列的单调性：d 0>为递增数列,0d =为常数列,0d < 为递减数列。

等比数列的应用

等比数列是一种特殊的数列，它的每一项与前一项的比值相等。在

数学中，等比数列具有广泛的应用，涵盖了各个领域。本文将探讨等

比数列在几个具体的应用场景中的运用。

一、金融领域

1. 存款利息

在银行存款中，利息通常按照等比数列的方式计算。假设你存款的

利率是r，第一个月存入的金额是a，那么第二个月的存款金额就是a*r，第三个月的存款金额就是a*r^2，依次类推。这里，存款金额就是等比

数列的项，r就是比值。

2. 投资收益

等比数列也可以用于投资收益的计算。假设你投资的某项理财产品

每个月的回报率是r，初始投资金额为a，那么随着时间的增长，每个

月的投资收益将以等比数列的方式增加。

二、物理学

等比数列在物理学中也有着广泛的应用。以下是其中的两个例子：

1. 自由落体

在自由落体的过程中，物体每次跳跃的高度都是前一次跳跃高度的

某个比值，这个比值就是等比数列的比值。通过分析等比数列的性质，我们可以计算出物体在每一次跳跃后的高度。

2. 光的反射与折射

当光线从一种介质进入另一种介质时，其入射角和折射角之间的关系可以用等比数列来表示。根据斯涅尔定律，入射角和折射角的正弦值成等比数列关系。

三、经济学

等比数列在经济学中也有着重要的应用，以下是其中的两个例子：

1. GDP增长

国家的GDP增长率通常可以用等比数列来描述。假设一个国家的GDP在初始时期是a，年度的增长率是r，那么经过n年，该国的GDP 可以通过等比数列的公式来计算。

2. 人口增长

人口的增长也常常以等比数列的形式呈现。假设一个地区的初始人口是a，年度的增长率是r，那么经过n年，该地区的人口可以用等比数列的方式来计算。

数列所有公式大全

数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定

规律排列的数所组成的。在数列中，每一个数称为该数列的项，而规律则是指相邻项之间的关系。数列在数学和其他科学领域中都有广泛的应用。接下来，我们将介绍一些常见的数列及其公式。

等差数列是最常见的数列之一，它的每一项与前一项之

间的差值都是相等的。等差数列的通项公式为：an = a1 +

(n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

等比数列是另一种常见的数列，它的每一项与前一项之

间的比值都是相等的。等比数列的通项公式为：an = a1 *

r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。

斐波那契数列是一种特殊的数列，其前两项为0和1，从第三项开始，每一项都等于前两项之和。斐波那契数列的通项公式为：an = an-1 + an-2，其中an表示第n项。

素数数列是由素数（只能被1和自身整除的数）组成的

数列。素数数列的通项公式较为复杂，通过直接给出每一项的算法来计算。

阶乘数列是由阶乘数（n!）组成的数列。阶乘数列的通

项公式为：an = n!，其中an表示第n项。

三角数列是由三角数（n(n+1)/2）组成的数列。三角数

列的通项公式为：an = n(n+1)/2，其中an表示第n项。

费马数列是由费马数（2^(2^n)+1）组成的数列。费马数

列的通项公式为：an = 2^(2^n)+1，其中an表示第n项。

自然数数列是由自然数（1, 2, 3, ...）组成的数列。自然数数列没有明确的通项公式，因为它包括了所有正整数。

(整理版)数列中的特殊化方法

数列中的特殊化方法

德国数学家希尔伯特说过：在讨论数学问题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用．当有一些比手头问题更为简单、更为特殊的问题没有解决，或者没有完全解决时，这一切都有赖于找出这些比拟特殊的问题，并用尽可能完善的方法解决它们．下面我们一起探讨特殊化这种方法在数列中的应用．

1．取特殊数列

例1 等差数列{}n a 的公差0d ≠，那么以下关系式成立的是〔〕

Ａ．2731336511a a a a a a a a +>+

Ｂ．2731336511a a a a a a a a +<+

Ｃ．2731336511a a a a a a a a +=+

Ｄ．2731336511a a a a a a a a ++≥

分析：取特殊数列n a n =，经计算可排除〔Ａ〕，〔Ｃ〕，〔Ｄ〕，应选〔Ｂ〕．

2．取特殊项

例2 在等差数列{}n a 中，()m n a n a m m n ==≠，，那么m n a +=〔〕Ａ．m n - Ｂ．0 Ｃ．2m Ｄ．2

n 分析：因为结论惟一，所以只需取两个满足条件的特殊项验证即可，如取

1221a a ==，，那么1230a a +==，应选〔Ｂ〕

． 3．取特殊和

例3 等差数列{}n a 的前m 项和为50，前2m 项和为140，那么它的前3m 项和为〔〕Ａ．190 Ｂ．230 Ｃ．270 Ｄ．290

分析：令1m =，那么1150a S ==，2211405090a S S =-=-=，

从而公差2140d a a =-=，

所以329040130a a d =+=+=．

数列知识点公式归纳总结

数列是数学中常见的概念，它可以通过一定的规律来表示一系列的数值。在数学学科中，数列的研究与应用非常广泛，无论是在纯数学中的数论、代数，还是在应用数学中的物理、经济学等领域都有数列的应用。因此，熟练掌握数列的知识点和公式对于提高数学水平以及解决实际问题都具有重要意义。

本文将针对数列的知识点进行归纳总结，旨在帮助读者更好地理解和应用数列的概念。在总结中，将包括一些常见的数列类型、特殊数列的性质以及数列求和公式等内容，以供读者参考和学习。

一、等差数列

等差数列是指数列中的相邻项之间的差等于一个常数。在等差数列中，我们可以总结出以下几个重要的知识点和公式：

1. 第n项公式：对于等差数列an，其第n项的公式可以表示为an = a1 + (n-1)d，其中a1是首项，d是公差。

2. 前n项和公式：对于等差数列an，其前n项和的公式可以表示为Sn = (n/2)(a1 + an) = (n/2)(2a1 + (n-1)d)，其中Sn表示前n项和。

3. 通项公式：对于等差数列an，我们可以通过观察数列中相邻项之间的关系，进而得出其通项公式。通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中

a1是首项，d是公差。

二、等比数列

等比数列是指数列中的相邻项之间的比等于一个常数。在等比数列中，我们可以总结出以下几个重要的知识点和公式：

1. 第n项公式：对于等比数列an，其第n项的公式可以表示为an = a1 * r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比。

2. 前n项和公式：对于等比数列an，其前n项和的公式可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中Sn表示前n项和。

高三数列知识点归纳总结

数列在数学中是非常重要的一种概念和工具。在高三数学学习过程中，数列是一个重要的知识点，也是数学建模和应用题目中经常遇到的内容。本文将对高三数列知识点进行归纳总结，以帮助同学们更好地理解和掌握数列相关的知识。

一、数列及其表示法

1. 数列的定义

数列是一列按照一定规律排列的数的集合，其中每个数称为该数列的项。

2. 数列的表示法

常见的数列表示法有：

(1) 通项公式：用an表示第n个数列项的数的表达式；

(2) 递推公式：表示每一项与前一项之间的关系，常用an+1 = an + d (等差数列)和 an+1 = an * q (等比数列)来表示。

二、等差数列

1. 等差数列的定义

等差数列是指一个数列中，从第二个数开始，每一项与它的前一项之差都是一个固定的常数d。

2. 等差数列的通项公式

对于等差数列an，其通项公式可以表示为an = a1 + (n - 1)d，其中

a1为首项，d为公差。

3. 等差数列的性质和应用

(1) 公差d的求解：已知等差数列前两项或者任意两项可以求出公

差d；

(2) 求等差数列的和：部分和Sn的计算公式为Sn = (a1 + an) * n / 2；

(3) 等差数列的应用：等差数列在数学建模和应用题目中经常出现，如等差数列作为一种数值规律，可用于解决实际问题。

三、等比数列

1. 等比数列的定义

等比数列是指一个数列中，从第二个数开始，每一项与它的前一项

之比都是一个固定的常数q。

2. 等比数列的通项公式

对于等比数列an，其通项公式可以表示为an = a1 * q^(n - 1)，其中