最优投资方案数学模型

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使收益最大化的数学模型

在商业和经济领域中，每个企业都追求实现最大的收益。为了达到这个目标，企业需要制定合理的经营策略和决策，以最大化其利润。数学模型就是帮助企业分析和解决这类问题的有力工具之一。本文将介绍一种常用的数学模型——线性规划模型，它可以帮助企业在资源有限的情况下最大化其收益。

线性规划是一种优化问题的数学模型，它在商业决策中得到广泛应用。它的基本思想是通过建立数学模型，将决策变量、目标函数和约束条件相结合，以求解最优解。在线性规划模型中，决策变量是企业为了实现最大收益而需要做出的决策，目标函数则是企业希望最大化的收益指标，约束条件则是企业在资源有限的情况下所面临的限制。

在线性规划模型中，决策变量可以是企业的生产数量、销售价格、广告投入等。目标函数可以是企业的利润、销售额或市场份额等指标。约束条件可以是企业的生产能力、市场需求、资源限制等。通过将这些因素量化为数学表达式，线性规划模型可以帮助企业找到最优的决策方案，以使收益最大化。

以一个简单的生产决策问题为例，假设一个企业生产两种产品A和B，每个产品的生产利润分别为10元和15元。企业的生产能力为100个单位，产品A的生产需求为50个单位，产品B的生产需求

为30个单位。根据这些信息，可以建立以下线性规划模型：

最大化目标函数：10A + 15B

约束条件：A + B ≤ 100

A ≤ 50

B ≤ 30

在这个模型中，A表示生产的产品A的数量，B表示生产的产品B 的数量。目标函数为企业的利润，约束条件分别表示生产能力、产品A的需求和产品B的需求。通过求解这个线性规划模型，可以得到最优解，即使收益最大化的生产方案。

数学建模投资收益和风险模型

投资利润微风险的模型

纲要

在现代商业、金融的投资中，任何理性的投资者老是希望利润能够获得最大化，可是他也面

临着不确立性和不确立性所引致的风险。并且，大的利润老是陪伴着高的风险。在有好多种财产

可供选择，又有好多投资方案的状况下，投资越分别，总的风险就越小。为了同时兼备利润微风

险，追求大的利润和小的风险组成一个两目标决议问题，依照决议者对利润微风险的理解和偏好

将其转变为一个单目标最优化问题求解。跟着投资者对利润微风险的日趋关注, 怎样选择较好的投资组合方案是提升投资效益的根本保证。传统的投资组合依照“不要将所有的鸡蛋放在一个蓝子

里”的原则 ,将投资分别化。

一问题的提出

某企业有数额为 M（较大）的资本，可用作一个期间的投资，市场上现有5种财产（S i） ( 如债券、股票等 ) 能够作为被选的投资项目，投资者对这五种财产进行评估，估量出在这一段期间内购

买 S i的希望利润率（ r i）、交易费率( p i)、风险损失率( q i)以及同期银行存款利率r0（ r0=3%）在投资的这一期间内为定值如表1，不受不测要素影响 , 而净利润和整体风险只受r i, p i, q i影响，不受其余要素扰乱。现要设计出一种投资组合方案,使净利润尽可能大,风险尽可能小.

表1

投资项目 S i 希望利润率 r i (%) 风险损失率 q i (%) 交易费率 p i (%)

存银行 S0 3 0 0

27 1

22 2

21 2

此中 i0,1,2,3,4,5.

二问题假定及符号说明

2.1 问题假定

(1)整体风险可用投资的这五种中最大的一个风险来胸怀；

凯利公式的应用

凯利公式是一种用于投资决策的数学模型，它通过计算投资者在不同风险下的最优投资比例，帮助投资者在资金管理上做出更明智的选择。本文将介绍凯利公式的应用，并探讨其在投资领域的重要性。

我们来了解一下凯利公式的基本原理。凯利公式由美国数学家凯利·约翰逊于1956年提出，其基本思想是根据投资者对投资项目的预期收益率和风险的估计，计算出最优的投资比例。公式的核心计算公式如下：

f* = (bp - q) / b

其中，f*表示最优投资比例，b表示投资项目的赔率（即预期收益率与投资金额的比值），p表示投资成功的概率，q表示投资失败的概率。

凯利公式的应用可以帮助投资者在面临多种投资项目时，选择最合适的投资比例。通过计算，投资者可以得到在不同投资项目之间分配资金的最佳方案，从而最大化资本的增长。

凯利公式的应用可以避免过度投资或过度风险，帮助投资者在投资决策上更加理性。传统的投资方法往往只关注预期收益率，忽视了风险因素。而凯利公式则将预期收益率与风险因素进行了综合考虑，使投资者能够更全面地评估投资项目的价值。

凯利公式还可以帮助投资者在不同期望收益率和风险偏好下，找到最适合自己的投资策略。根据公式计算得到的最优投资比例，可以帮助投资者平衡收益和风险之间的关系，制定出最合理的投资计划。

然而，凯利公式的应用也存在一定的局限性。首先，该公式假设投资者对投资项目的预期收益率和风险有准确的估计，但现实中往往很难准确预测。其次，凯利公式忽略了投资者的风险承受能力和时间偏好等因素，可能无法完全适用于所有投资者。

运筹学案例七：投资决策问题（2）

运筹学案例七: 投资决策问题(2)

一.问题的提出

某投资开发公司拥有总资金100万元,今有4个项目可供选择投资.投入资金及预计收益如下表所示:

项目一二三四投入资金预计收益 40 30 50 40 35 25 40 35

应如何决策投资方案.

二.构造数学模型

一个好的投资方案应是投资少,收益大的方案.

设{

1,2,3,4)(i 不投资第i项目

0,决定投资第i项目1,==x i

数学模型:

⎩⎨⎧==-≤+++++++++4,3,2,1,0)1(10040355040)35254030max()40355040(min 432143214321i x x x x x x x x x x x x x x i

改写上述模型为分式规划模型:

x x x x x x x x z 4

3214

3214035504035254030max ++++++=

⎩⎨⎧==-≤+++4,3,2,1,0)1(100403550404

321i x x x x x x i

i 令τ

y x j

j =,得

⎪⎩⎪

⎨⎧=≥≤-+++=++++++==)

4,3,2,1(0,00100

4035504014035504035254030max 4321432143211j y y y y y y y y y y y y y z j 或τττ 简化之,得

⎪⎩⎪

⎨

⎧=≥=++++++==)

4,3,2,1(010011

4035504035254030max 432143211j y y y y y y y y y z j

ττ或

三.求解

最优投资方案问题

一、问题的重述

将一定巨大数额的资金用于市场上i s (i=1、2………n)种资产的投资,对于每一种投资来说均既存在着收益有存在一定的风险，因此投资方会对这n 种投资进行评估，得出这一时期内购买i s 的平均收益率为 i r ，并预测出了购买i s 的风险损失率i q 。并且投资约分散总的风险越小，在这里公司确定投资的总体风险为所投资i s 的中最大的一个风险来度量。其中购买i s 要付交易费率为i p ，当购买额不超过给定值i u 时交易费按购买i u 计算（不够买当然无需付费）。另外，假定同期银行存款利率是0r ，且既无交易费也无风险。（0r =5%）现需要给该公司设计出一种他投资方案，即用给定的资金M 有选择地购买若干种资产或存银行生息，是净收益尽可能大，而总体风险尽可能小，试用一定的数学方法模型对上述问题解答

二、模型假设

（1）公司将总资金M 一部分用来投资一部分用来存款升息

（2）银行的存款升息也是一种投资，风险损失率为0

（3）相对于巨大数额的总资金，每一种投资的数额均超过了定值i u

（4）在该投资阶段公司一切正常，投资后不受其他影响

三、符号说明

i x ——为第i 种投资的金额

0m ——为投资银行的金额

1m ——为用于投资项目的总金额

T i T ——分别为公司总收益和第i 种投资的收益

R i R ——公司总的净收益和第i 种投资的收益

i D ——第i 种投资的风险损失

四、模型的建立

首先根据问题的条件列出显影的函数关系式，如下：

数学建模项目投资

项目投资的最优问题

摘要

本文主要讨论项目投资的最优化问题。首先对该问题进行分析，建立相应的数学模型，以使得投资获得的总利润达到最大值。这是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，以第五年末所拥有的本利息总额为目标函数，以资金流转分析加上各种投资金额的限制为约束条件。再用lingo软件对问题进行求解，得到比较理想的结果：现有10万元的可用资金经最优投资到第五年末拥有总资金为143750元，即盈利43.75%。

在本文最后我们对项目投资最优的建模方法做了评价，对其算法（如：自行设计算法，利用软件进一步求解，多种方法相结合等）进行综合考虑并做了简要分析。

关键词：线性规划优化模型 lingo

一问题的提出

1.背景

随着全球经济的高速发展，改革开放的不断推进，社会主义市场经济在中国不断完善，投资项目的最优化设计日渐突显其重要意义。在这样的市场经济条件下，企业追求的目标是利润最大化。由于企业的资金是有限的，对资金进行合理有效的配置，可以降低企业的成本，提高资金的使用效益，使企业获得最优效益。投资项目的最优化设计日渐突显其重要意义。

2.问题的提出

某部门在今后5年内考虑给以下4个项目投资：

项目A：从第一年到第四年年初需要投资，并于次年末回收本利115%；

项目B：从第三年年初需要投资，到第五年年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元。

项目C：从第二年年初需要投资，到第五年年末能收回本利140%,但规定最大投资额不超过3万。

项目D：五年内，每年年初可以够买公债，于当年末归还并加利息6%；

最优化经济模型及应用

最优化经济模型是将优化技术应用于经济学中的一种方法，用来分析在给定的

限制条件下如何最大化效益或最小化成本。该模型被广泛应用于商业、金融、政府和科学领域中，以帮助人们做出更好的决策，并寻找最佳的解决方案。

最优化经济模型的原理是通过使用数学模型来表示经济活动，然后将其转化为

优化问题，通过定义目标函数和约束条件来解决该问题，从而找到最佳的解决方案。为了进行优化，需要考虑多个因素，包括资源、成本、收益、风险等。

最常见的最优化经济模型是线性规划模型。它是一种通过优化线性目标函数来

解决问题的方法。该模型通常用于分配资源、规划生产和运输问题等。例如，一家工厂可以使用线性规划模型来确定如何分配其资源，以最大化收益并保持成本最低。在这种情况下，目标函数是收益最大化，约束条件是资源限制和成本限制。

另一种常见的最优化经济模型是非线性规划模型。它通常用于分析复杂的经济

问题，例如金融衍生品定价、投资组合优化等。非线性规划模型可以使用各种工具和算法来进行求解，包括梯度下降法、牛顿法和拟牛顿法等。

在实际应用中，最优化经济模型可以用于许多问题的分析和解决。例如，企业

可以使用该模型来分析生产和运输问题，以优化利润。政府可以使用该模型来制定合理的税收政策，以增加税收和平衡财政收支。金融机构可以使用该模型来管理投资和风险，以最大化回报和最小化损失。此外，最优化经济模型也常用于研究消费者行为和市场行为等，以了解市场运动的动态。

然而，在实际应用中，最优化经济模型也面临着一些挑战。一方面，该模型通

常需要大量数据和高级数学技能来进行求解，因此需要专业人员进行分析和解决。另一方面，该模型假设经济行为是理性的，但事实上，人类行为可能受到情感、社会因素等多种因素的影响，因此模型的准确性和实用性受到一定的限制。

数学建模最优化模型

或x=fminsearch（fun,X0 ，options）（3）[x，fval]= fminunc（...）；
或[x，fval]= fminsearch（...）（4）[x，fval，exitflag]= fminunc（...）；
或[x，fval，exitflag]= fminsearch （5）[x，fval，exitflag，output]= fminunc（...）；
2
min
m i 1
yi
a1
1
a3
a2 ln 1 exp
xi
x4 a5
有约束最优化
最优化方法分类
（一）线性最优化：目标函数和约束条件都是线性的则称为线性最优化。
非线性最优化：目标函数和约束条件如果含有非线性的，则称为非线性最优化。
（二）静态最优化：如果可能的方案与时间无关，则是静态最优化问题。
曲线不一定通过那m个测量点,而要产生“偏差”.
将测量点沿垂线方向到曲线的距离的
y
平方和作为这种“偏差”的度量.即
2
x
S
m i 1
yi
a1
1 a3
a2 ln 1 exp
xi a4 a5
显然偏差S越小,曲线就拟合得越好,说明参数值就选择得越好，从而我们的问题就转化为5维无约束最优化问题。即：
y
a1

数学建模-公司投资问题

公司最优投资方案的数学模型

摘要

本文解决的是某公司在未来5年内最优的投资方案问题，通过对该公司财务分析人员提供的数据（附录一到四）的统计分析，我们建立了三个最优化模型。

对于问题一，在考虑该公司现有资本及收益的情况下，以第五年末所得利润的最大值作为目标函数，以每年的投资上限和各项目投资方式限制作为约束条件，建立了单目标最优化模型。然后利用Lingo编程求得该公司在第五年末可以

大，我们采用将灰色预测和时间序列模型的二次指数平滑法组合的预测方式进行预测，预测了今后五年各项目独立投资及项目之间相互影响下的投资的到期利润率，以样本数据的方差值作为各项目的风险损失率，运用Matlab编程求出到期利润率，并利用Excel求出风险损失率，其具体结果见表十、十一和十二。

对于问题三，结合问题二的预测结果，考虑该公司争取到的资金捐赠，建立了与问题一相同的目标函数，即第五年末所得利润的最大值，改变了约束条件。然后利用Lingo编程求得该公司在第五年末可以获利润亿元，最佳的投资方案见表十三。

对于问题四，建立了与问题三相同的模型，即目标函数相同。问题四是在问题三的基础上考虑了风险投资率，即增加了约束条件。依照该模型求得该公司在第五年末可以获利润亿元，最佳的投资方案见表十四。

对于问题五，根据题目要求，采用同样的思想建立模型五，以第五年末还贷款后回收的总金额（包括投资本利和，存款本金及利息）作为目标函数，建立新的约束条件（考虑投资风险率）。利用Lingo求得该公司在第五年末可以获利润亿元，最佳的投资方案见表十五。

（

优化问题的数学模型

在现代社会中，优化问题是数学领域中非常重要的一个研究方向。优化问题的数学模型可以帮助我们更好地理解和解决现实中的各种

问题，例如最小化成本、最大化利润、最优化生产、最优化调度、最优化投资等。本文将从优化问题的定义、数学模型及其应用等方面进行阐述和探讨。

一、优化问题的定义

优化问题是指在给定的限制条件下，寻找能使某一目标函数取得最优值的决策变量的问题。这个目标函数可以是最大化、最小化或其他形式的函数。优化问题的求解过程可以通过数学方法来实现，例如线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划等。

二、优化问题的数学模型

优化问题的数学模型通常由目标函数、约束条件和决策变量三个部分组成。

1. 目标函数

目标函数是优化问题中的一个重要概念，它描述了我们想要优化的目标，可以是最大化、最小化或其他形式的函数。在数学模型中，目标函数通常表示为：

$$max f(x)$$

或

$$min f(x)$$

其中，$x$ 是决策变量，$f(x)$ 是关于 $x$ 的目标函数。

2. 约束条件

约束条件是指限制决策变量的取值范围，使其满足一定的条件。在数学模型中，约束条件通常表示为：

$$g_i(x) leq b_i$$

或

$$g_i(x) geq b_i$$

其中，$g_i(x)$ 是关于 $x$ 的约束条件，$b_i$ 是约束条件的上限或下限。

3. 决策变量

决策变量是指我们需要优化的变量，其取值范围受到约束条件的限制。在数学模型中，决策变量通常表示为：

$$x = (x_1, x_2, ..., x_n)$$

其中，$x_i$ 表示第 $i$ 个决策变量的取值。

均值方差模型确定最优组合的步骤

确定最优的投资组合通常使用均值方差模型，步骤包括：

1. 收集资产的历史收益率数据。

2. 计算每个资产的均值（期望收益率）和方差（风险）。

3. 构建一个包含所有可用资产的投资组合。

4. 计算每个组合的预期收益率和风险。

5. 根据投资者的风险偏好和目标，选择所需的约束条件。

6. 使用约束条件，优化择最佳投资组合。这可以通过优化算法（例如马尔可夫蒙特卡洛模拟）来实现。

7. 确定最佳组合的权重分配。

需要注意的是，均值方差模型是一个基于统计概率的模型，同时也假设资产的收益率服从正态分布。因此，对于非正态分布的资产收益率，可能需要使用其他模型或方法。

数学建模-最优方案

投资最优方案问题

摘要

在商品经济社会中，随着生产要素的多元化，投资的内涵变得越来越丰富，无论是投资的主体和对象，还是投资的工具和方式都有极大的变化，由于投资对企业的生存和发展有着非同寻常的影响，投资已经成为每个企业力图做大做强，扩大规模，增强效益，持续发展的必要条件。

本文讨论了投资所得利润问题，针对投资问题进行全面分析，在不考虑投资项目之间相互影响的前提下，分别讨论有风险与无风险两种情况下产生的不同结果，并制定最优投资方案。

问题1是在不考虑投资风险因素为1500万资金制定投资方案，为其获得最大利润，根据题设以及隐含约束条件，列出目标函数以及线性方程，最后求出最大利润367.1万元。

问题2则是考虑投资风险因素为1500万资金制定投资方案，为其获得最大利润，则该问题则要综合考虑投资风险及所获利润大小，则各个项目投资风险所处金额达到的最小时取得的项目投资方案，即为考虑风险时所获利润最大的方案，最后求出风险损失最小值为354.35万元。

问题3拟写出清晰明确的论文，作为投资商重要的参考依据。

关键字：线性规划、投资风险、投资方案、LINGO。

1 问题重述

某私募经理集资1500万资金，准备用于投资，目前共有8个项目可供投资者选择。为了分散风险，对每个项目投资总额不能太高，应有上限。这些项目投资一年后所得利润经过估算大致如下表，如表1所示。

请帮该私募经理解决以下问题：

问题1：就表1提供的数据，应该投资哪些项，各项目分别投资多少钱，使得第一年所得利润最高？

问题2:如果考虑投资风险，则应如何投资，使年总收益不低于300万，而风险尽可能小。专家预测出各项目的风险率，如表2所示。

数学模型之数学规划模型

05
多目标规划模型
多目标规划模型的定义
定义
多目标规划模型是一种数学模型，用于描述和解决具有多个相互冲突的目标的问题。这些目标通常难以同时达到最优，因此需要找到一种平衡，使得各个目标都能得到相对最优的解。
特点
多目标规划模型具有多个目标函数和约束条件，需要综合考虑不同目标之间的权衡和取舍。其解通常是一组Pareto最优解，即在给定约束条件下，无法通过改变任何一个目标函数的值而不损害其他目标函数的解。
• 整数规划与混合整数规划的拓展：整数规划模型解决了离散变量的优化问题，混合整数规划则进一步扩展了整数规划的适用范围。
数学规划模型的发展历程与现状
数学规划模型在各个领域得到广泛应用
无论是金融、经济、工程还是科研领域，数学规划模型都发挥着重要作用。
算法优化与软件发展
随着计算能力的提升，数学规划模型的求解算法不断优化，同时出现了许多成熟的数学规划软件，方便用户进行建模和求解。
可持续性与绿色发展
在可持续发展和绿色发展的背景下，数学规划模型将更多地应用于资源分配、环境保护和能源消耗优化等方面。
THANK YOU
感谢聆听
金融投资
数学规划模型可以用于金融投资组合优化，实现风险和收益的平衡。
资源分配
数学规划模型可以用于优化资源分配，使得资源得到充分利用，减少浪费。

数学建模-最优化模型PPT课件

例1：求函数y=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最大值与最小值。
解：令f(x)=y=2x3+3x2-12x+14 f’(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1)
解方程f’(x)=0，得到x1= -2，x2=1，又由于f(-3)=23，f(-2)=34，f(1)=7，f(4)=142，综上得，函数f(x)在x=4取得在[-3,4]上得最大值f(4)=142，在 x=1处取得在[-3,4]上取得最小值f(1)=7
最优化模型
一、最优化方法概述二、无约束最优化问题三、无约束最优化问题的MATLAB
求解四、有约束最优化问题
.
最优化方法概述
1、最优化理论和方法是近二十多年来发展十分迅速的一个数学分支。
2、在数学上，最优化是一种求极值的方法。 3、最优化已经广泛的渗透到工程、经济、电子技
术等领域。
.
• 在实际生活当中，人们做任何事情，不管是分析问题，还是进行决策，都要用一种标准衡量
一下是否达到了最优。（比如基金人投资）
• 在各种科学问题、工程问题、生产管理、社会经济问题中，人们总是希望在有限的资源条件下，用尽可能小的代价，获得最大的收获。
（比如保险）
.
数学家对最优化问题的研究已经有很多年的历史。
以前解决最优化问题的数学方法只限于古典求导方法和变分法（求无约束极值问题），拉格朗日（Lagrange）乘数法解决等式约束下的条件极值问题。

数学建模证券的投资问题

证券的投资问题

摘要

本文针对定量证券投资问题，基于单目标线性规划模型、运筹学知识，求解出了在不同条件下的最优投资方案使得获利最大。

第一问要求在1000万元的投资下确定最优投资方案。通过对限制条件的分析，对证券种类、信用等级、到期年限的不同要求分别做了约束，得到三组约束条件，另有总投资额的约束，共5个决策变量，4组约束条件.利用Lingo求解终得到证券A约投资2.182百万元，证券C约投资7.364百万元，证券E约投资0.455百万元，最大获利约0.298百万元具体如下表：

表0.1 问题一证券投资表（单位：百万元）

第二问增加一种情况即可借款投资，利用第一问求解的影子价格分析，得到收益大于利息可以进行借款，算得影子价格为0.098，而利息为0.075，所以可以借款100万元，最终得到投资方案为证券A投资2.4百万元，证券C投资8.1百万元，证券E投资0.5百万元，最终获利0.3282百万元。

表0.2 证券投资表(2)（单位：百万元）

第三问利用灵敏度分析，对证券A与证券C在目标函数中的系数进行灵敏度分析，得到证券A的税前收益增加4.5%不会对最优投资方案与最大利润产生影响；而证券C的税前收益减少到4.8%会产生影响，改变了投资方案，算得新的投资方案为证券A投资3.36百万元，证券D投资6.48百万元，证券E投资0.16百万元，最终获利0.29424百万元。

表0.3 证券投资表(3)（单位：百万元）

本文亦对上述模型的合理性及实际应用情况进行分析与改进。

关键词：计算求解模型，线性规划，影子价格，灵敏度分析