最优投资方案数学模型

项目投资的最优问题

摘要

本文主要讨论项目投资的最优化问题。首先对该问题进行分析，建立相应的数学模型，以使得投资获得的总利润达到最大值。这是一个典型的线性规划问题，我们首先建立单目标的优化模型，以资金总额加上各种投资项目的限制为约束条件。再用lingo软件对问题进行求解，得到比较理想的结果。在本文最后我们对项目投资最优的建模方法做了评价，对其算法进行综合考虑并做了简要分析

关键字：线性规划；LINGO软件；优化模型； 0-1规划

一、问题的重述与分析

随着市场经济的快速发展，投资各个项目进行盈利已成为许多公司取得利润的主要途径，但盈利的多少与项目的选择息息相关，所以有时需要对项目进行选择性投资。本题就是针对这样一个问题建立数学优化模型，用数学的眼光看待及解决这个问题。项目j 所需投资额和预期收益分别为：aj 、cj(j=1,2,...,n) （1）若选择项目1，就必须选择项目2，反之不一定；（2）项目3和4中至少选择一个；（3）项目5、6、7中恰好选择两个。

问题：在各项目只可进行单次投资（模型一）和可重复投资（模型二）两种情况下分别建立一个数学优化模型，如何选择投资项目使投资收益最大化。

二、模型假设

1.无交易费和投资费用等的费用开支；

2.投资期间市场发展基本稳定；

3.投资期间社会政策无较大变化；

4.公司的经济发展对投资无较大影响；

三、符号说明

j

a :项目j 所需投资金额； c j :项目j 的预期收益金额； x j :投资项目的决策变量（x j =0,1）； z:投资的最大收益

ij a ：项目j 投资i 次所需投资金额；

ij c ：项目j 投资i 次的预期收益金额；

四、模型建立

（1）模型一：

各项目只可进行单次投资,通过问题分析，运用线性规划的方法建立模型一。 目标函数为：

).....4,3,2,1(max 1n j c x z n

j j j ==∑=

注：j x = 1表示投资该项目，0表示不投资该项目（运用0-1规划） 约束条件：

B x

a n

j j

j ≤∑=1

012≥-x x （项目1和项目2的选择投资的限制）

143≥+x x （项目3和项目4的选择投资的限制） 2765=++x x x （项目5、6、7的选择投资的限制）

（2）模型二：

各项目可重复投资, 通过问题分析，运用线性规划的方法建立模型二。 目标函数：

)...2.1,3,2,1(max 11n j i c x z n

j ij j n

i ===∑∑==

约束条件：

10j 1j 2≤-≤x x （项目1和项目2的选择投资的限制）

10j 4j 3≤+≤x x （项目3和项目4的选择投资的限制）

2076j 5=++≤j j x x x （项目5、6、7的选择投资的限制）

∑∑

==≤n j j i ij n

i B x a 11

五、模型求解

（1）、对于模型一，假设资金额总数（单位：万元）为B 为100，投资项目N=7，项目投资额与预期收益的金额如下表： 单位：万元

运用longo 软件求的最大的投资收益为：30万元；

所选择的投资项目与各项目的预期收益情况如下表：

最大的投资收益：30万元

Lingo 软件的编辑程序详见附录1。

（2）对于模型二，假设资金额总数（单位：万元）为B 为100，投资项目N=7，j 3a 30 45 60 42 78 45 57 j 1c 3 4 5 3 6 7 8 j 3c

9

12

15

9

18

21

24

运用lingo求解所得最大收益为40万元；Lingo软件的编辑程序详见附录2

所选择的投资项目与各项目的预期收益情况如下表：单位：万

元

次数0 0 0 1 0 3 2 收益

0 0 0 3 0 21 16 金额

投资预期收益总金额：40万元

六、模型的评价与推广

本文合理的运用了0-1线性规划及lingo软件等对其建立了优化模型并予以解决，总体结构比较严谨完整，内容详细明了，思路清晰，但是对lingo软件的程序编辑稍有欠缺，总体不够熟练；

从文中对该题的解法可推广到当今社会各种项目投资方面，如银行投资取得利息问题，各大企业项目投资等，为其资金分配，投资方案的选择提供方便。

附录：

附录1：

model:

max=x1*3+x2*4+x3*5+x4*3+x5*6+x6*7+x7*8;

x1*10+x2*15+x3*20+x4*14+x5*26+x6*15+x7*19<=100;

x2-x1>=0;

x3+x4>=1;

x5+x6+x7=2;

@bin(x1);

@bin(x2);

@bin(x3);

@bin(x4);

@bin(x5);

@bin(x6);

@bin(x7);

End

Global optimal solution found.

Objective value: 30.00000

Objective bound: 30.00000

Infeasibilities: 0.000000

Extended solver steps: 0

Total solver iterations: 0

Variable Value Reduced Cost X1 1.000000 -3.000000 X2 1.000000 -4.000000 X3 1.000000 -5.000000 X4 1.000000 -3.000000 X5 0.000000 -6.000000 X6 1.000000 -7.000000 X7 1.000000 -8.000000

Row Slack or Surplus Dual Price

1 30.00000 1.000000

2 7.000000 0.000000

3 1.000000 0.000000

4 1.000000 0.000000

5 0.000000 0.000000