特征方程特征根法求解数列通项公式
特征根法求数列的通项公式
数列通项公式的求法 特征根法题型一、设已知数列{}n a 的项满足11,n n a b a ca d +==+,其中0,1,c c ≠≠求这个数列的通项公式。
【解题步骤】Ⅰ、将1n n a ca d +=+中的下标去掉（剃光头），即为a ca d =+，由此可以解得1d a c=–，这个“a ”的值就叫做“特征根”。
Ⅱ、在1n n a ca d +=+的左右两边同时减去“特征根”a ，即 111n n d d a ca d c c+-=+-–– 将上式变形得 ()111n n d d a c a c c +-=-–– 即 111n n da c c d a c +-=-–– 此时，你就会得到一个以c 为公比的等比数列{}111n n n d a c b d a c +⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭–– Ⅲ、求出数列{}n b 的通项公式，由此求出数列{}n a 的通项公式。
注意：第Ⅰ步的过程只能在草稿纸上进行，决不可写在试卷上，否则老师会扣分。
【典例1】已知数列{}n a 的项满足115,23n n a a a +==+,求这个数列的通项公式。
解、在123n n a a +=+的两边同时减去3–得1236n n a a +=++则有 1323n n a a ++=+ 又因为 1+3=8a 所以 1+2+3=82=2n n n a -因此数列{}n a 的通项公式+2=23n n a –注意在草稿纸上进行此过程由题意得23a a =+，可以解得a =-3草稿纸题型二、已知数列{}n a 满足21n n n a pa qa ++=+，其中12,a a αβ==，求数列{}n a 的通项公式。
【解题步骤】Ⅰ、将21n n n a pa qa ++=+中的下标去掉（剃光头），即2a pa q =+，为了方便把a 替换为x ，则有2=0x p x q --此时，我们把2=0x p x q --叫做数列{}n a 的“特征方程”。
特征方程重根 通项公式
特征方程重根通项公式比如说，一个线性齐次递推数列的特征多项式为P(某)=(某-1)^2(某+2)，其中(某-1)重复出现了两次。
这种情况下，就需要使用通项公式来求解递推数列。
通项公式的求解方法是先使用常规的特征方程解法求出P(某)的所有根和它们的重数，然后根据不同的重数计算出相应的通项公式。
对于重根，需要使用一些特殊的方法来求解。
假设线性齐次递推数列的特征方程为P(某)=(某-a)^kq(某)，其中a是一个根，k是它的重数，q(某)是另一个多项式，它的根都不等于a。
根据特征方程的定义，它的通项公式可以写成：f(n) = c1 a^n + c2 n a^n + ··· + ck-1 n^(k-2) a^n + pk(n) q(n)，其中 pk(n) 是一个多项式，它的次数小于 k-1。
上式的第一项是由根 a 的贡献引起的，第二项是由根 a 和它的一阶导数引起的，依此类推，最后一项是由其它根引起的。
pk(n) q(n) 是由q(某) 的根引起的。
将通项公式的各项展开，可以得到：f(n) = c1 a^n + c2 n a^n + ··· + ck-1 n^(k-2) a^n + pk(n) Σbi q_i^n，i≠a其中 bi 表示 q(某) 的根除了 a 之外的每个根 i，q_i 表示以 i为根的项式。
需要注意的是，在求解通项公式的过程中，需要考虑到根a和它的k-1阶导数的算法。
对于一个给定的k，可以使用递推的方法将它们的值都算出来，然后代入公式中求解即可。
总之，特征方程重根的通项公式是一种比较复杂的求解递推数列的方法，需要对数学知识有比较深入的了解和掌握。
在实际应用中，需要依据具体情况来选择恰当的解法，才能达到最优的效果。
用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式
用特征根法与不动点法求递推数列的通项公式特征根法和不动点法是两种常用的方法来求解递推数列的通项公式。
本文将从这两个角度详细介绍这两种求解方法，并举例说明其应用。
一、特征根法（Characteristic Root Method）特征根法是一种基于代数方法的求解递推数列通项公式的方法，它通过寻找递推关系式的特征根来获取通项公式。
1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。
（2）设通项公式：假设递推数列的通项公式为Un=a^n。
（3）代入递推关系式：将通项公式Un=a^n代入递推关系式，得到方程Un=P(Un-1,Un-2,...,Un-k)，其中P为k个变量的多项式函数。
（4）寻找特征根：解方程Un=0，得到特征根r1，r2，...，rk。
（5）确定通项公式：根据特征根，得到通项公式Un=C1*r1^n+C2*r2^n+...+Ck*rk^n，其中C1，C2，...，Ck为待定系数。
（6）确定待定系数：利用已知序列的初始条件，求解待定系数，得到最终的通项公式。
2.示例：求解递推数列Un=3Un-1-2Un-2，已知U0=1，U1=2（1）建立递推关系式：Un=3Un-1-2Un-2（2）设通项公式：Un=a^n。
（3）代入递推关系式：a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)。
（4）寻找特征根：解方程a^n=3a^(n-1)-2a^(n-2)，得到特征根a=2，a=1（5）确定通项公式：Un=C1*2^n+C2*1^n。
（6）确定待定系数：利用初始条件U0=1，U1=2，得到方程组C1+C2=1，2C1+C2=2，解得C1=1，C2=0。
最终的通项公式为Un=2^n。
二、不动点法（Fixed Point Method）不动点法是一种基于迭代的求解递推数列通项公式的方法，它通过设定一个迭代公式，求解极限来获得通项公式。
1.步骤：（1）建立递推关系式：根据问题描述，建立递推数列的递推关系式。
特征根法求数列的通项公式
.
1−
证明：因为 ≠ 0、1, 由特征方程得 =
作换元 = − ,则
−1 = −1 − = −2 + −
= −2 −
1−
1−
= −2 − = −2 .
故数列 是以为公比的等比数列， =
1 −1 , 1 = 1 − .
已知数列 满足：1 = 4,+1 =
1
− − 2， ∈ , 求 的通项公式.
3
3
1
3
+1 + = − 性递推式型题目的做题方法
概念：一阶线性递推式：+1 = + .
1、做出方程 = + ,称之为特征方程；解
出的值称之为特征根.
2、 = + ，其中数列 是以为公比
的等比数列， = 1 −1 , 1 = 1 − .
证明
证明：若数列 满足1 = ,+1 =
+ , 其中 ≠ 0、1,证明：这个数列的通项
公式为 = + ，其中数列 是以为公比
的等比数列， = 1 −1 , 1 = 1 − .
解：做方程 =
1 = 4
=
3
−
2
1
−
3
− 2,解得 =
3
− .
2
11
11
1 −1
= , =
−
2
2
3
3
11
1 −1
= − +
−
,
2
2
3
1
−
3
= 1 −1
3
+
2
+
特征根法求通项公式
特征方程法 解递推关系中 通项公式一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个,1,0≠≠c c 数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程称之为,d cx x +=特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为}{n b c 公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为由特征,1,0≠c 方程得作换.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为}{n b c 公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两例，说说说说明定理1的应用.例1．已知数列满}{n a 足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为}{n b 31-公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列满}{n a 足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数i 单位。
特征方程特征根法求解数列通项公式
特征方程特征根法求解数列通项公式
1、将数列的前两项给出，在此基础上推雅可比数列，得到数列的递
推公式；
2、将递推公式化为特征方程，且特征方程只包含未知数x；
3、求解特征方程的特征根，得到特征根为{r1,r2,…,rm}；
4、使用特征根构造数列的通项公式：利用特征根构造出原数列的通
项公式，即an = A1*r1^(n-1) + A2*r2^(n-1) + … + Am*rm^(n-1)（此
处n>=1）；
5、求解参数A1，A2，…，Am，即将特征根对应的数列项代入原数列，解方程组求出所有参数；
6、给出最终的数列通项公式：将前面求出的所有参数代入数列通项
公式中，得到最终的数列通项公式。
二、实例演示
下面以解决下列特征方程求数列的通项公式为例，详细介绍特征方程
特征根法的求解：
原特征方程：x^2-x-6=0；特征根：r1=3，r2=2；推出数列：a1=4，
a2=10；
求数列通项公式：
1、根据特征方程求出特征根：
原特征方程：x^2-x-6=0；
解之，得：x=3，2；
即特征根为r1=3，r2=2；。
特征根法求数列的通项公式
特征根法求数列的通项公式求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列{}n a 满足1n n n a a ba c a d+⋅+=⋅+......①其中*0,,c ad bc n N ≠≠∈.定义1:方程ax bx cx d+=+为①的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为,αβ.定理1:若1,a αβ≠且αβ≠,则11n n n n a a a c a a c a αααβββ++−−−=⋅−−−.证明:2()0,ax b a d bx cx d a x b cx d c cαβαβ+−=⇒+−−=⇒+==−+(),d a c b cαβαβ∴=−+=−11()()()()()()()()n n n n n n nn n n n n aa ba ca d aab ca d ac a bd aa b a aa b ca d a c a b d ca d αααααβββββ+++−−++−+−+−∴===+−+−+−+−−+()[()]()()()[()]()()n n n n a c a c a c c a c a a c a c a c a c c a c a a c ααβαβααααβαβαβββββ−+−−−−−−−==−+−−−−−−−n n a a c a c a ααββ−−=⋅−−证毕定理2:若1a αβ=≠且0a d +≠,则1121n n c a a d a αα+=+−+−.证明:22,d a c b cαα=−=−∵111()()()n n n n n n n n ca d ca daa b a aa b ca d a c a b dca dααααα+++∴===+−+−+−+−−+22222()(2)()()()2n n n n n nca a c ca a c ca a ca d a c a c a c a c a a αααααααααα+−+−+−===+−−+−−−−2242(2)2()()()()()()()()n n n n n n ca a c ca a c d c a a d a d a a d a a d a αααααα+−+−+−++===+−+−+−21n c a d a α=++−证毕例1.（09·江西·理·22）各项均为正数的数列{}n a ,12,a a a b ==,且对满足m n p q +=+的正数,,,m n p q 都有(1)(1)(1)(1)p q m nm n p q a a a a a a a a ++=++++.(1)当14,25a b ==时,求通项n a ;(2)略.解:由(1)(1)(1)(1)p q m n m n p q a a a a a a a a ++=++++得121121(1)(1)(1)(1)n n n n a a a a a a a a −−++=++++将14,25a b ==代入上式化简得11212n n n a a a −−+=+考虑特征方程212x x x +=+得特征根1x =±所以11111121112112113112n n n n n n n n a a a a a a a a −−−−−−+−−+−==⋅+++++所以数列11n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是以111113a a −=−+为首项,公比为13的等比数列故11111()()1333n nn n a a −−=−⋅=−+即3131n n na −=+例2.已知数列{}n a 满足*1112,2,n n a a n N a −==−∈,求通项n a .解:考虑特征方程12x x=−得特征根1x =111111111111111(2)11n n n n n n a a a a a a −−−−−====+−−−−−−所以数列11n a ⎧⎫⎨⎬−⎩⎭是以1111a =−为首项,公差为1的等差数列故11n n a =−即1n n a n+=例3.已知数列{}n a 满足11122,(2)21n n n a a a n a −−+==≥+，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x −=，解得121,1x x ==−，令111111n nn n a a c a a ++−−=⋅++由12,a =得245a =，可得13c =−，∴数列11n n a a ⎧⎫−⎨⎬+⎩⎭是以111113a a −=+为首项，以13−为公比的等比数列，1111133n n n a a −−⎛⎞∴=⋅−⎜⎟+⎝⎠，3(1)3(1)n nn n n a −−∴=+−例4.已知数列{}n a 满足*11212,()46n n n a a a n N a +−==∈+，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为2146x x x −=+，即24410x x ++=，解得1212x x ==−，令1111122n n ca a +=+++由12,a =得2314a =，求得1c =，∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+−⋅=−+，135106n n a n −∴=−2.已知数列{}n a 满足2112n n n a c a c a ++=+②其中12,c c 为常数,且*20,c n N ≠∈.定义2:方程212x c x c =+为②的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为12,λλ.定理3:若12λλ≠,则1122n n n a b b λλ=+,其中12,b b 常数,且满足111222221122a b b a b b λλλλ=+⎧⎨=+⎩.定理4:若12λλλ==,则12()n n a b b n λ=+,其中12,b b 常数,且满足1122212()(2)a b b a b b λλ=+⎧⎨=+⎩.设)(11−+−=−n n n n ta a s ta a ，则11)(−+−+=n n n sta a t s a ,令⎩⎨⎧−==+qst p t s （*）（1）若方程组（*）有两组不同的解),(),,(2211t s t s ,则)(11111−+−=−n n n n a t a s a t a ,)(12221−+−=−n n n n a t a s a t a ,由等比数列性质可得1111211)(−+−=−n n n s a t a a t a ,1212221)(1−+−=−n n n s a t a a t a ,,21t t ≠∵由上两式消去1+n a 可得()()()n n n s t t s a t a s t t s a t a a 21221221121112..−−−−−=.（2）若方程组（*）有两组相等的解⎩⎨⎧==2121t t s s ，易证此时11t s =，则()()112112112111111)(a t a s a t a s a t a s a t a n n n n n n n −==−=−=−−−−−+…，211121111s a t a s a s a nn n n −=−∴++,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n s a 1是等差数列，由等差数列性质可知()21112111.1s a t a n s a s a n n −−+=，所以n n s n s a t a s a t a s a a 1211122111211.⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡−+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−−=．例5.已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===−∈，求数列{}n a 的通项n a 解：其特征方程为232x x =−，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩，112n n a −∴=+例6.已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===−∈，求数列{}n a 的通项na 解：其特征方程为2441x x =−，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎞=+⎜⎟⎝⎠，由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+×=⎪⎪⎨⎪=+×=⎪⎩，得1246c c =−⎧⎨=⎩，1322n n n a −−∴=例7.已知数列{}n a 满足12212,8,44n n n a a a a a ++===−,求通项n a .解:考虑特征方程244x x =−得特征根2λ=则12()2n n a b b n =+其中1211222()2024(2)81nn b b b a n b b b +==⎧⎧⇒⇒=⎨⎨+==⎩⎩。
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项原理
特征根法求数列通项是一种解线性递推数列的方法，其原理如下：
1.对于递推数列$a_n$，可以写成线性递推方程$a_n=a_{n-1}+b_{n-1}$的形式，其中$b_n$是已知数列。
2.将递推方程转化为特征方程，令$a_n=r^n$，带入递推方程，得到：$r^n=r^{n-1}+b_{n-1}$。
3. 令特征方程的根为 $r_i$，则 $a_n$ 的通项公式为
$a_n=\sum_{i=1}^k C_ir_i^n$，其中 $C_i$ 是由初始条件求出的常数。
4.当特征方程的根为实数时，通项公式中的系数$C_i$可以通过初始
条件和根的值求解。
当特征方程的根为复数时，通项公式中的系数
$C_i$可以通过欧拉公式求解。
5.对于非齐次递推数列，通项公式需要加上一个特解，其形式可以根
据非齐次项的不同而不同。
特征根法求数列的通项公式
特征根法求数列的通项公式类型一、n n n qa pa a +=++12 对于由递推公式n n n qa pa a+=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根.(1)当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；(2)当21x x=时，数列{}n a 的通项为12)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）.例1. 数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n aa a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为232xx =-，解得121,2x x ==，令n n n B A a 21⋅+⋅=，由⎩⎨⎧=+==+=342221B A a B A a ，得⎪⎩⎪⎨⎧==211B A ， 112n na-∴=+.例2.已知数列{}na 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求{}n a 的通项n a .解：其特征方程为2441xx =-，解得1212x x ==，令n nnB A a)21)((+=，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+==+=241)2(121)(21B A a B A a ，得⎩⎨⎧=-=64B A ， 1322n n n a --∴=.类型二、 hra qpa a n n n ++=+1如果数列}{na 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有hra qpa an n n ++=+1， （其中p 、q 、r 、h 均为常数，且r h ar qr ph -≠≠≠1,0,），那么，其特征方程为hrx qpx x ++=，变形为0)(2=--+q x p h rx(1)若方程有二异根1x 、2x ，则可令212111x a x a c x a x an nn n --⋅=--++（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列12nn ax a x ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为2111x a x a --，公比为c 的等比数列，于是可求得na .(2)若方程有二重根0x ，则c x a x a n n +-=-+00111（其中c 是待定常数），代入12,a a 的值可求得c 值.这样数列01n a x ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为011x a -，公差为c 的等差数列，于是可求得na .例3. 已知数列{}na 满足11122,(2)21n n n a aa n a --+==≥+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为221x x x +=+，化简得2220x -=，解得121,1x x ==-，令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++ 由12,a=得245a =，可得13c =-， ∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是以111113a a -=+为首项，以13-为公比的等比数列，1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭，3(1)3(1)n nn nna --∴=+-.例4.已知数列{}na 满足*11212,()46n n n a aa n N a +-==∈+，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为2146x x x -=+，即24410xx ++=，解得1212x x ==-，令1111122n n c a a +=+++由12,a=得2314a =，求得1c =， ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是以112152a =+为首项，以1为公差的等差数列，123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+， 135106n n a n -∴=-.例5（2005，重庆,文,22）数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a aa n n n n n且满足记).1(211≥-=n a b n n（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；（Ⅱ）求数列}{nb 的通项公式及数列}{nn b a 的前n 项和.nS解：由已知,得nn n a a a816521-+=+,其特征方程为xx x 81652-+=解之得,211=x 或452=x∴n n n a a a 816)21(6211--=-+,nn n a a a 816)45(12451--=-+∴452121452111--⋅=--++n n n n a a a a , ∴n n n n a a a a 24)21(45214521111-=⋅--=---∴42521++=-nn n a )1(34231≥+⋅=n b n n ,121211+=-=n n n n n b b a a b 得由 n n n b a b a b a S +++= 2211故121()2n b b b n=++++ 1(12)53123n n -=+-1(251)3n n =+-.。
特征方程法求解递推关系中的数列通项
特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列｛a n ｝的项满足a j = b,a n 4 = ca n • d ,其中c = 0, c = 1,求这个数列的通项公式。
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法一一特征方程 法：针对问题中的递推关系式作出一个方程 x =cx • d,称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式•下面以定理形式进行阐述.定理1:设上述递推关系式的特征方程的根为 x 0，则当x 0 = a 4时，a n为常数列，即a n 二a i ；当X o 二a i 时,a^ b n ' x o ，其中｛b n ｝是以c 为公比 的等比数列，即 b n = b 4c n J,b 4 =a 4-x 0.pl证明：因为c = 0,1,由特征方程得x 0——.作换元b n = a n - x 0,贝U 1 -c n 1当X 。
=a 1时，b 1 =0 ,数列｛b n ｝是以c 为公比的等比数列， 故b n =b1C _; 当 x ° 二a 1 时，d =0 , ｛b n ｝为 0 数列，故 a * =a 1,n • N.（证毕） 下面列举两例，说明定理 1的应用.1例1•已知数列｛a n ｝满足：a n^^a -2,- N,a—,求a n.13 解：作方程x x -2,则x 0. 3 2b"a n「x0 © d—注乂a .cd1 -c二 c(a n -X °) = cb n . 11一2 -3 一2 +X — a-fl等的比公为11 1 n4丁 3) ,a n-3b n —3叫-」)n‘, n N. 2 2 2 3b n列是例2.已知数列｛a n｝满足递推关系：a n ^（2a n - 3）i, n，N,其中i为虚数3单位。
当a i 取何值时，数列｛a .｝是常数数列?a^ :-,a 2二：给出的数列：a n 爲方程x 2- px -q =0，叫做数列 :a n / 的特征方程。
(完整)特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项
特别解析：特征方程法求解递推关系中的数列通项一、（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。
定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明:因为,1,0≠c 由特征方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时,01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解:作方程.23,2310-=--=x x x 则 当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是以31-为公比的等比数列. 于是：.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 满足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中i 为虚数单位。
当1a 取何值时，数列}{n a 是常数数列？解：作方程,)32(i x x +=则.5360i x +-=要使n a 为常数，即则必须.53601ix a +-==二、(二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。
(完整版)特征根法求数列通项
2i2 4特征根法求解数列递推公式类型一、形如a n 2 pa * i qa n （p,q 是常数）的数列（二阶线性递推式）形如a i m i , a 2 m 2,a * 2 pa * 1 qa *（ p,q 是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项a n ，其特征方程为x 2 px q …①（1） 若①有二异根，，则可令a n C i n C 2 n （C i ,C 2是待定常数） （2） 若①有二重根，则可令a n （C i nC 2） n （C i ,C 2是待定常数）再利用a i m i ,a 2 m 2,可求得G ©，进而求得a .已知数列｛a n ｝满足a i2,a 2 3, a n 2 3a n i 2a n (n N ）,求数列｛a n ｝的通项a n 解: 其特征方程为x 23x 2，解得 X i i,X 2 2，令 a n C i iC 2 2n ,a i C i 2C 2 2a 2 C 4C 2 3 c ，得 C 2n ia n i 2例2已知数列｛a n ｝满足a i i,a 22,4a n 24a n i a n (n求数列｛a n ｝的通项a n 解：其特征方程为4x 24x解得 X iX 2a i ( C i C 2)Cinc 2a 2 (C i 2C 2)，得 &C 2a n3n 2 * i5133类型二、形如a n 1 A?」的数列 Ca n D （分式递推式）对于数列a n 1Aa n B，a 1 m,nCa n D N (代 B,C,D 是常数且 C 0,AD BC 0)其特征方程为 Ax B X，变形为 Cx DCx 2 (DA)x B 0…② （1）若②有二异根，，则可令旦口a n 1a n c— a n（其中c 是待定常数）代入a 1, a 2的值可求得c 值。
即数列aa n是首项为aa 1，公比为c 的等比数列，于是这样可求得a（2）若②有二重根，则可令 —1-—— c （其中c 是待定常数）a n 1a n代入a 1, a 2的值可求得c 值。
特征方程法求递推数列的通项公式
特点方程法求解递推关系中的数列通项一.（一阶线性递推式）设已知数列}{n a 的项知足d ca a b a n n +==+11,,个中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式.采取数学归纳法可以求解这一问题,然而如许做太甚繁琐,并且在猜测通项公式中轻易出错,本文提出一种易于被学生控制的解法——特点方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特点方程;借助这个特点方程的根快速求解通项公式.下面以定理情势进行阐述.定理1：设上述递推关系式的特点方程的根为0x ,则当10a x =时,n a 为常数列,即0101,;x b a a x a a n n n +===时当,个中}{n b 是认为c 公比的等比数列,即01111,x a b c b b n n -==-. 证实：因为,1,0≠c 由特点方程得.10cdx -=作换元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时,01≠b ,数列}{n b 是认为c 公比的等比数列,故;11-=n n c b b当10a x =时,01=b ,}{n b 为0数列,故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例,解释定理1的运用.例1．已知数列}{n a 知足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时,.21123,1101=+=≠a b x a数列}{n b 是认为31-公比的等比数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列}{n a 知足递推关系：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 个中i 为虚数单位.当1a 取何值时,数列}{n a 是常数数列？解：作方程,)32(i x x +=则.5360ix +-=要使n a 为常数,即则必须.53601ix a +-== 二.（二阶线性递推式）定理2：对于由递推公式nn n qa pa a +=++12,βα==21,a a 给出的数列{}n a ,方程02=--q px x ,叫做数列{}n a 的特点方程.若21,x x 是特点方程的两个根,当21x x ≠时,数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ,个中A,B 由βα==21,a a 决议（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入1211--+=n n n Bx Ax a ,得到关于A.B的方程组）;当21x x =时,数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x B A a ,个中A,B 由βα==21,a a 决议（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ,代入11)(-+=n n x Bn A a ,得到关于A.B 的方程组）. 例3：已知数列{}n a 知足),0(0253,,1221N n n a a a b a a a n n n ∈≥=+-==++,求数列{}n a 的通项公式.解法一（待定系数——迭加法） 由025312=+-++n n n a a a ,得)(32112n n n n a a a a -=-+++, 且a b a a -=-12.则数列{}n n a a -+1是认为a b -首项,32为公比的等比数列,于是11)32)((-+-=-n n n a b a a .把n n ,,3,2,1⋅⋅⋅=代入,得a b a a -=-12,)32()(23⋅-=-a b a a ,234)32()(⋅-=-a b a a ,21)32)((---=-n n n a b a a .把以上各式相加,得])32()32(321)[(21-+⋅⋅⋅+++-=-n n a b a a )(321)32(11a b n ---=-.a b b a a a b a n n n 23)32)((3)]()32(33[11-+-=+--=∴--.解法二（特点根法）：数列{}n a ：),0(025312N n n a a a n n n ∈≥=+-++,b a a a ==21,的特点方程是：02532=+-x x .32,121==x x , ∴1211--+=n n n Bx Ax a 1)32(-⋅+=n B A . 又由b a a a ==21,,于是 故1)32)((323--+-=n n b a a b a三.(分式递推式)定理3：假如数列}{n a 知足下列前提：已知1a 的值且对于N ∈n ,都有hra q pa a n n n ++=+1（个中p.q.r.h 均为常数,且rh a r qr ph -≠≠≠1,0,）,那么,可作特点方程hrx qpx x ++=.（1）当特点方程有两个雷同的根λ（称作特点根）时, 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ 若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a nn λ个中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特殊地,当消失,N 0∈n 使00=n b 时,无限数列}{n a 不消失.（2）当特点方程有两个相异的根1λ.2λ（称作特点根）时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n个中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中例3.已知数列}{n a 知足性质：对于,324,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.解:依定理作特点方程,324++=x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特点方程有两个相异的根,运用定理2的第（2）部分,则有∴.N ,)51(521∈-=-n c n n∴.N ,1)51(521)51(52211112∈----⋅-=--=--n c c a n n n n n λλ即.N ,)5(24)5(∈-+--=n a nn n 例5．已知数列}{n a 知足：对于,N ∈n 都有.325131+-=+n n n a a a（1）若,51=a 求;n a （2）若,31=a 求;n a （3）若,61=a 求;n a（4）当1a 取哪些值时,无限数列}{n a 不消失？ 解：作特点方程.32513+-=x x x 变形得,025102=+-x x特点方程有两个雷同的特点根.5=λ依定理2的第（1）部分化答.(1)∵∴=∴=.,511λa a 对于,N ∈n 都有;5==λn a (2)∵.,311λ≠∴=a a ∴λλr p rn a b n --+-=)1(11 令0=n b ,得5=n .故数列}{n a 从第5项开端都不消失, 当n ≤4,N ∈n 时,51751--=+=n n b a n n λ. (3)∵,5,61==λa ∴.1λ≠a ∴.,811)1(11N n n r p r n a b n ∈-+=--+-=λλ令,0=n b 则.7n n ∉-=∴对于.0b N,n ≠∈n ∴.N ,7435581111∈++=+-+=+=n n n n b a nn λ(4).显然当31-=a 时,数列从第2项开端便不消失.由本题的第（1）小题的解答进程知,51=a 时,数列}{n a 是消失的,当51=≠λa 时,则有.N ,8151)1(111∈-+-=--+-=n n a r p r n a b n λλ令,0=n b 则得N ,11351∈--=n n n a 且n ≥2. ∴当11351--=n n a （个中N ∈n 且N ≥2）时,数列}{n a 从第n项开端便不消失.于是知：当1a 在聚集3{-或,:1135N n n n ∈--且n ≥2}上取值时,无限数列}{n a 都不消失. 演习题：求下列数列的通项公式：1、 在数列}{n a 中,,7,121==a a )3(3221≥+=--n a a a n n n ,求n a .（key ：21)1(32---+⋅=n n n a ）2、 在数列}{n a 中,,5,121==a a 且2145---=n n n a a a ,求n a .（key ：)14(31-=n n a ）3、 在数列}{n a 中,,7,321==a a )3(2321≥-=--n a a a n n n ,求n a .（key ：121-=+n n a ）4、 在数列}{n a 中,,2,321==a a n n n a a a 313212+=++,求n a .（key ：2)31(4147--⋅+=n n a ）5、 在数列}{n a 中,,35,321==a a )4(3112n n n a a a -=++,求n a .（key ：1321-+=n n a ）6、 在数列}{n a 中,,,21b a a a ==n n n qa pa a +=++12,且1=+q p .求n a .（key ：1=q 时,))(1(a b n a a n --+=;1≠q 时,qq a b b aq a n n +---+=-1))((1）7、 在数列}{n a 中,,,21b a a a a +==0)(12=++-++n n n qa a q p pa （qp ,长短0常数）.求n a .（key ：bpq q p p a a n n )](1[1---+= (qp ≠);b n a a n )1(1-+=）(q p =)8.在数列}{n a 中,21,a a 给定,21--+=n n n ca ba a .求n a .(key:122211)(a c a a n n n n n ⋅--+⋅--=----αβαβαβαβ)(βα≠;若βα=,上式不克不及运用,此时,.)2()1(1122----⋅-=n n n a n a n a αα附定理3的证实定理3(分式递推问题)：假如数列}{n a 知足下列前提：已知1a 的值且对于N∈n ,都有hra qpa a n n n ++=+1（个中p.q.r.h 均为常数,且rh a r qr ph -≠≠≠1,0,）,那么,可作特点方程hrx qpx x ++=.（1）当特点方程有两个雷同的根λ（称作特点根）时, 若,1λ=a 则;N ,∈=n a n λ若λ≠1a ,则,N ,1∈+=n b a nn λ个中.N ,)1(11∈--+-=n r p rn a b n λλ特殊地,当消失,N 0∈n 使00=n b 时,无限数列}{n a 不消失.（2）当特点方程有两个相异的根1λ.2λ（称作特点根）时,则112--=n n n c c a λλ,,N ∈n 个中).(,N ,)(211212111λλλλλ≠∈----=-a n rp r p a a c n n 其中证实：先证实定理的第（1）部分. 作交流N ,∈-=n a d n n λ 则λλ-++=-=++hra qpa a d n n n n 11λλλλr h rd q p h r r p d n n -+--+--=])([)(2① ∵λ是特点方程的根,∴λ.0)(2=--+⇒++=q p h r hr qp λλλλ将该式代入①式得.N ,)(1∈-+-=+n rh rd r p d d n n n λλ②将rp x =代入特点方程可整顿得,qr ph =这与已知前提qr ph ≠抵触.故特点方程的根λ,rp≠于是.0≠-r p λ③ 当01=d ,即λ+=11d a =λ时,由②式得,N ,0∈=n b n 故.N ,∈=+=n d a n n λλ当01≠d 即λ≠1a 时,由②.③两式可得.N ,0∈≠n d n 此时可对②式作如下变更：.1)(11rp rd r p r h r p d r h rd d n n n n λλλλλ-+⋅-+=--+=+④由λ是方程hrx qpx x ++=的两个雷同的根可以求得.2rhp -=λ ∴,122=++=---+=-+h p p h rrh p p rr hp h r p r h λλ将此式代入④式得.N ,111∈-+=+n rp r d d n n λ 令.N ,1∈=n d b nn 则.N ,1∈-+=+n r p r b b n n λ故数列}{n b 是认为rp r λ-公役的等差数列.∴.N ,)1(1∈-⋅-+=n rp rn b b n λ个中.11111λ-==a db 当0,N ≠∈n b n 时,.N ,1∈+=+=n b d a nn n λλ 当消失,N 0∈n 使00=n b 时,λλ+=+=01n n n b d a 无意义.故此时,无限数列}{n a 是不消失的.再证实定理的第（2）部分如下：∵特点方程有两个相异的根1λ.2λ,∴个中必有一个特点根不等于1a ,无妨令.12a ≠λ于是可作变换.N ,21∈--=n a a c n n n λλ故21111λλ--=+++n n n a a c ,将hra qpa a n n n ++=+1代入再整顿得N ,)()(22111∈-+--+-=+n hq r p a hq r p a c n n n λλλλ⑤由第（1）部分的证实进程知rp x =不是特点方程的根,故.,21rp rp ≠≠λλ故.0,021≠-≠-r p r p λλ所以由⑤式可得：N ,2211211∈--+--+⋅--=+n rp h q a r p hq a rp r p c n n n λλλλλλ⑥∵特点方程hrx q px x ++=有两个相异根1λ.2λ⇒方程)(2=--+q p h x rx 有两个相异根1λ.2λ,而方程xrp xhq x --=-与方程0)(2=---q p h x rx 又是同解方程.∴222111,λλλλλλ-=---=--rp hq r p h q将上两式代入⑥式得当,01=c 即11λ≠a 时,数列}{n c 是等比数列,公比为rp rp 21λλ--.此时对于N ∈n 都有当01=c 即11λ=a 时,上式也成立. 由21λλ--=n n n a a c 且21λλ≠可知.N ,1∈=n c n所以.N ,112∈--=n c c a n n n λλ(证毕) 注:当qr ph =时,hra q pa n n ++会退化为常数;当0=r 时,hra qpa a n n n ++=+1可化归为较易解的递推关系,在此不再赘述.。
用特征根方程法求数列通项
r
0.③
0
ph
时,
qr,这与已知条件
由②式得bn0,n
ph
h
0,a1-），那么，可作特征方
r
,n
N；
P r
2Cn
q 0.
Cn
N.特别地，当存在n0N,使
n N,
(d
qr矛盾.故特征方程的根
卫于是
r
N,故andn
,n N.
例2：在数列｛an｝中，ai
3,a
（参考答案：
i22n i）考虑一个简单的线性递推问题
设已知数列｛an｝的项满足
a
其中c0,c1,求这个数列的通项公式.
采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学
生掌握的解法一一特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程
4(
例3.已知数列
｛aj满足:
对于
an
(5)
2 (
,n
N.
N
13a
1
(0若a15,求an；
（2）若a16,求an；
13x
解：作特征方程x
25
2
变形得x
10x
250,
特征方程有两个相同的特征根
x
3'
5n
43,,
(1)^a15, q x.
对于n
N,都有an
x
5；(2)
•-an
,n N.
n
7
一、数列的一阶特征方程（an
（2）当特征方程有两个相异的根
（称作特征根）
时，若a1
,则an
N,
a1
(n
(完整版)特征根法求数列通项
特征根法求解数列递推公式类型一、形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列 （二阶线性递推式） 形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项n a ，其特征方程为2x px q =+…①（1）若①有二异根,αβ，则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数）（2）若①有二重根αβ=，则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再利用1122,,a m a m ==可求得12,c c ，进而求得n a例1 已知数列{}n a 满足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a解：其特征方程为232x x =-，解得121,2x x ==，令1212n n n a c c =⋅+⋅，由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩，得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩， 112n n a -∴=+例2已知数列{}n a 满足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a解：其特征方程为2441x x =-，解得1212x x ==，令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩，得1246c c =-⎧⎨=⎩， 1322n n n a --∴=类型二、形如1n n n Aa B a Ca D++=+的数列 （分式递推式） 对于数列1n n n Aa B a Ca D ++=+，*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠） 其特征方程为Ax B x Cx D+=+，变形为2()0Cx D A x B +--=…② （1） 若②有二异根,αβ，则可令11n n n n a a c a a ααββ++--=⋅--（其中c 是待定常数） 代入12,a a 的值可求得c 值。
求数列递归关系常用的八种方法
求数列递归关系常用的八种方法简介数列递归关系是数学中常见的一种关系，它描述了数列中每一项与前几项的关系。
在解决数列问题时，了解常用的八种求数列递归关系的方法能够帮助我们更快地找到规律和解决问题。
1. 数列的通项公式法数列的通项公式法是通过观察数列的项之间的规律，推导出数列的通项公式。
通常可以先找出数列的前几项，然后试图找到一种关系式，将自然数或项数带入得到通项公式。
2. 数列的差分法数列的差分法是通过求数列相邻项之间的差，找到一个新的数列，直到找到一个与常数k成等差关系的数列。
进而可以通过逆向求差将等差数列转化为原数列的通项。
3. 数列的逐项求和法数列的逐项求和法是通过对数列的每一项进行求和，得到一个新的数列。
然后观察求和后的数列是否满足某种特定规律，进而得到原数列的递推关系。
4. 数列的倍项逐项求和法数列的倍项逐项求和法是通过对数列的倍项进行求和，得到一个新的数列。
再次观察求和后的数列是否满足某种特定规律，得到原数列的递推关系。
5. 数列的特征根法数列的特征根法是通过求解数列递推关系的特征方程的根来确定数列的通项公式。
特征方程是通过将数列的递推关系转化为多项式等式得到的。
6. 数列的生成函数法数列的生成函数法是通过特定的函数表达式将数列的每一项映射为函数值，然后利用函数的运算性质和求导等操作求解数列的递推关系。
7. 数列的递归法数列的递归法是通过定义数列的前几项和递推关系式来求解数列的通项公式。
递归法通常通过观察数列中每一项与前几项之间的关系来找到递推关系式。
8. 数列的变量替换法数列的变量替换法是通过对数列的递推关系进行变量替换，将原数列的递推关系化简为新数列的递推关系，进而得到新数列的通项公式。
以上八种方法是求解数列递归关系常用的方法，对于不同的数列问题，可以根据具体情况选择合适的方法来解决。
熟练掌握这些方法，能够提高数学问题的解决效率，并加深对数学的理解。
参考文献- {参考文献1}- {参考文献2}- {参考文献3}。
求数列通项公式的十种方法-例题答案详解
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细）总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、数学归纳法、不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、特征根法二。
四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。
等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。
三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。
一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。
2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则21321(1)(2) ()n n a a f a a f a a f n +-=-=-=两边分别相加得111()nn k a a f n +=-=∑例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-所以3 1.n n a n =+-解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以13n +，得111213333n n n n n a a +++=++，则111213333n n n n n a a +++-=+，故因此11(13)2(1)2113133133223n n n n na n n ---=++=+--⨯，则21133.322n n n a n =⨯⨯+⨯- 评注：已知aa =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项na .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。
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特征方程特征根法求解数列通项公式
一：A(n+1)=pAn+q, p,q为常数.
（1）通常设：A(n+1)-λ＝p(An-λ), 则λ=q／(1-p).
（2）此处如果用特征根法：
特征方程为：x=px+q，其根为x=q/（1-p）
注意：若用特征根法，λ的系数要是-1
例一：A（n+1)=2An+1 , 其中q=2,p=1,则
λ=1/（1-2）= -1那么
A（n+1）+1=2（An+1）
二：再来个有点意思的,三项之间的关系：
A(n+2)=pA(n+1)+qAn，p,q为常数
（1）通常设：A(n+2)-mA(n+1)=k[pA(n+1)-mAn],
则m+k=p, mk=q
（2）此处如果用特征根法：
特征方程是y×y=py+q（※）
注意：
①m n为（※）两根。
②m n可以交换位置，但其结果或出现两种截然不同的数列形式，但同样都可以计算An，而且还会有意想不到的惊喜，
③m n交换位置后可以分别构造出两组An和A(n+1)的递推公式，这个时侯你会发现，这是一个关于An和A(n+1)的二元一次方程组，那么不就可以消去A（n+1），留下An，得了，An求出来了。
例二：A1=1,A2=1,A(n+2)= - 5A（n+1）+6An，
特征方程为：y×y= - 5y+6
那么，m=3,n=2,或者m=2，n=3
于是，A（n+2）-3A（n+1）=2[A（n+1）-3A] (1)
A（n+2）-2A（n+1）=3[A（n+1）-2A] (2)
所以，A（n+1）-3A（n）= - 2 ^ n (3)
A（n+1）-2A（n）= - 3 ^ (n-1) (4)
you see 消元消去A（n+1），就是An勒
例三：
【斐波那挈数列通项公式的推导】斐波那契数列：0，1，1，2，3，5，8，13，21……
如果设F(n)为该数列的第n项(n∈N+)。
那么这句话可以写成如下形式：
F(0) = 0，F(1)=F(2)=1,F(n)=F(n-1)+F(n-2) (n≥3)
显然这是一个线性递推数列。
通项公式的推导方法一：利用特征方程
线性递推数列的特征方程为：
X^2=X+1
解得
X1=(1+√5)/2, X2=(1-√5)/2.
则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n
∵F(1)=F(2)=1
∴C1*X1 + C2*X2
C1*X1^2 + C2*X2^2
解得C1=1/√5，C2=-1/√5
∴F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}【√5表示根号5】
通项公式的推导方法二：普通方法
设常数r,s
使得F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
则r+s=1, -rs=1
n≥3时，有
F(n)-r*F(n-1)=s*[F(n-1)-r*F(n-2)]
F(n-1)-r*F(n-2)=s*[F(n-2)-r*F(n-3)]
F(n-2)-r*F(n-3)=s*[F(n-3)-r*F(n-4)]
……
F(3)-r*F(2)=s*[F(2)-r*F(1)]
将以上n-2个式子相乘，得：
F(n)-r*F(n-1)=[s^(n-2)]*[F(2)-r*F(1)]
∵s=1-r，F(1)=F(2)=1
上式可化简得：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
那么：
F(n)=s^(n-1)+r*F(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*F(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*F(n-3)
……
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*F(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（这是一个以s^(n-1)为首项、以r^(n-1)为末项、r/s为公差的等比数列的各项的和）=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解为s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
则F(n)=(1/√5)*{[(1+√5)/2]^n - [(1-√5)/2]^n}
三：最后准备好了吗，咱们来看最刺激，最具挑战性的一组：
A(n+1)=（MAn+N）/（CAn+D）M,C不同时为零
此题一般可以避开求通项公式而另辟蹊径的方法，比如数学归纳法一类的等等，但是如果一定要挑战一下自己，那我们现在就开始通项公式之路
（1）此处似乎只能用特征根法：
特征方程：x+（Mx+N）/(Cx+D)
①特征方程有两个不等的实根，设为α，β，
则{（An-α）/（An-β）}为等比数列
注意：α，β可以互换位置
②特征方程有一个实根，α
则{1/（An-α）}伟等差数列
③特征方程没有实数根，
则{An}为循环数列，
每年总要有几个题要来个A2007，A2008，A2009，A20xx
例四：这个例题的数字给的十分有意思——伟强
A（n+1)=（3An+4）/（2An+3）
特征方程：x=（3x+4）/（2x+3），x=±√2
则{（An+√2）/（An－√2）}为等比数列
（A（n+1）+√2）/（A（n+1）－√2）
＝[（3An+4）/（2An+3）+√2]/[（3An+4）/（2An+3）－√2] ＝[（3+√2）An+（3√2+4）]/[(3-2√2)/(4-3√2)]
＝（3+2√2）/（3-2√2）×（An+√2）/（An-√2）
＝(√2－1)^4×[（An+√2）/（An－√2）]。