特征方程特征根法求解数列通项公式

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特征根法求数列的通项公式

数列通项公式的求法特征根法

题型一、设已知数列{}n a 的项满足11,n n a b a ca d +==+,其中0,1,c c ≠≠求这个数列的通项公式。

【解题步骤】Ⅰ、将1n n a ca d +=+中的下标去掉（剃光头），

即为a ca d =+，由此可以解得1d a c

=–，这个“a ”的值就叫做“特征根”。 Ⅱ、在1n n a ca d +=+的左右两边同时减去“特征根”a ，

即 111n n d d a ca d c c

+-=+-–– 将上式变形得 ()

111n n d d a c a c c +-

=-–– 即 111n n d

a c c d a c +-=-–– 此时，你就会得到一个以c 为公比的等比数列

{}

111n n n d a c b d a c +⎧⎫-⎪⎪=⎨⎬-⎪⎪⎩⎭–– Ⅲ、求出数列{}n b 的通项公式，由此求出数列{}n a 的通项公式。

注意：第Ⅰ步的过程只能在草稿纸上进行，决不可写在试卷上，否则老师会扣分。

【典例1】已知数列{}n a 的项满足115,23n n a a a +==+,求这个数列的通项公式。

解、

在123n n a a +=+的两边同时减去3–得1236n n a a +=++

则有 1323n n a a ++=+ 又因为 1+3=8

a 所以 1+2+3=82=2n n n a -

因此数列{}n a 的通项公式+2=23n n a –

注意在草稿纸上进行此过程

由题意得23a a =+，可以解得a =-3

草稿纸

题型二、已知数列{}n a 满足21n n n a pa qa ++=+，其中12,a a αβ==，求数列{}n a 的通项公式。

特征根法求数列的通项公式

已知数列满足：1 = 4,+1 =
1
− − 2， ∈ , 求的通项公式.
3
3
1
3
+1 + = − +
2
3
2
一阶线性递推式型题目的做题方法
概念：一阶线性递推式：+1 = + .
1、做出方程 = + ,称之为特征方程；解
出的值称之为特征根.
2、 = + ，其中数列是以为公比
的等比数列， = 1 −1 , 1 = 1 − .
证明
证明：若数列满足1 = ,+1 =
+ , 其中 ≠ 0、1,证明：这个数列的通项
公式为 = + ，其中数列是以为公比
的等比数列， = 1 −1 , 1 = 1 − .

.
1−
证明：因为 ≠ 0、1, 由特征方程得 =
作换元 = − ,则

−1 = −1 − = −2 + −
= −2 −

1−
1−
= −2 − = −2 .
故数列是以为公比的等比数列， =
1 −1 , 1 = 1 − .
解：做方程 =
1 = 4
=
3
−
2
1
−
3

特征根法求通项公式

特征方程法‎ 解递推关系‎中通项公式

一、（一阶线性递‎推式）若已知数列‎}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个‎

,1,0≠≠c c 数列的通项‎公式。

采用数学归‎纳法可以求‎解这一问题‎，然而这样做‎太过繁琐，而且在猜想‎通项公式中‎容易出错，这里提出一‎种易于掌握‎的解法——特征方程法‎：针对问题中‎的递推关系‎式作出一个‎方程称之为‎,d cx x +=特征方程；借助这个特‎征方程的根‎快速求解通‎项公式.下面以定理‎形式进行阐‎述.

定理1：设上述递推‎关系式的特‎征方程的根‎为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即

0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为‎}{n b c 公比的等比‎数列，即01111,x a b c b b n n -==-.

证

明

：因为由特征‎

,1,0≠c 方程得作换‎

.10c

x -=

元

0x a b n n -=则

.)(110011n n n n n n cb x a c c

ca c d d ca x a b =-=--=--

+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为‎}{n b c 公比的等比‎数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两‎例，说说说说明‎定理1的应‎用.

例1．已知数列满‎}{n a 足：,4,N ,23

11=∈--=+a n a a n n 求.n a

数列特征根法原理

数列特征根法是一种常见的数列求解方法，通过寻找数列的特征根，可以得到

数列的通项公式，从而方便进行数列的求和、递推关系等操作。本文将介绍数列特征根法的原理及其应用。

数列特征根法的原理主要基于数列的递推关系。对于一个线性递推数列，其通

项公式可以表示为：

\[a_n = c_1r_1^n + c_2r_2^n + \cdots + c_kr_k^n\]

其中，$c_1, c_2, \cdots, c_k$为常数，$r_1, r_2, \cdots, r_k$为数列的特征根。

特征根法的核心就是求解特征根$r_1, r_2, \cdots, r_k$，进而得到数列的通项公式。

对于线性递推数列，其递推关系可以表示为：

\[a_n = p_1a_{n-1} + p_2a_{n-2} + \cdots + p_ka_{n-k}\]

其中，$p_1, p_2, \cdots, p_k$为常数。为了求解特征根，可以将递推关系转化

为特征方程：

\[r^k p_1r^{k-1} p_2r^{k-2} \cdots p_{k-1}r p_k = 0\]

解特征方程得到的根就是数列的特征根。

接下来，我们以一个具体的例子来说明数列特征根法的应用。

假设有一个线性递推数列，其递推关系为：

\[a_n = 3a_{n-1} 2a_{n-2}\]

我们可以将其转化为特征方程：

\[r^2 3r + 2 = 0\]

解特征方程得到特征根为$r_1 = 2, r_2 = 1$，因此数列的通项公式为：

\[a_n = c_1 \cdot 2^n + c_2 \cdot 1^n\]

特征方程特征根法求解数列通项公式

1、将数列的前两项给出，在此基础上推雅可比数列，得到数列的递

推公式；

2、将递推公式化为特征方程，且特征方程只包含未知数x；

3、求解特征方程的特征根，得到特征根为{r1,r2,…,rm}；

4、使用特征根构造数列的通项公式：利用特征根构造出原数列的通

项公式，即an = A1*r1^(n-1) + A2*r2^(n-1) + … + Am*rm^(n-1)（此

处n>=1）；

5、求解参数A1，A2，…，Am，即将特征根对应的数列项代入原数列，解方程组求出所有参数；

6、给出最终的数列通项公式：将前面求出的所有参数代入数列通项

公式中，得到最终的数列通项公式。

二、实例演示

下面以解决下列特征方程求数列的通项公式为例，详细介绍特征方程

特征根法的求解：

原特征方程：x^2-x-6=0；特征根：r1=3，r2=2；推出数列：a1=4，

a2=10；

求数列通项公式：

1、根据特征方程求出特征根：

原特征方程：x^2-x-6=0；

解之，得：x=3，2；

即特征根为r1=3，r2=2；

特征根法求数列的通项公式

证明：因为�� ≠ 0、1, 由特征方程得�� = 1−��.
作换元�� = �� − �� ,则
��−1
=
��−1
−
��
=
��−2
+
��
证明
证明：若数列 �� 满足��1 = ��,��+1 = �� + ��, 其中�� ≠ 0、1,证明：这个数列的通项公式为�� = �� + ��，其中数列 �� 是以��为公比的等比数列，�� = ��1��−1, ��1 = ��1 − ��.
=
��1��−1
��1
=
4
+
3 2
=
121,��
=
11 2
−1
3
��−1
��

特征方程法求数列通项

一、递推数列的定义和初值条件

首先需要明确递推数列的定义和初始条件。通常情况下，递推数列可

以表示为：an = p1 * an-1 + p2 * an-2 + … + pk * an-k，其中p1、

p2、…、pk为常数，an为数列的第n项，n为整数。

除了定义外，还需要给出数列的一些初始条件，如数列的第一项a1、第二项a2等。

二、构造特征方程

在特征方程法中，首先需要构造递推数列的特征方程。特征方程的构

造与递推式相关，通常可以通过将递推式中的n项移到等式的一边，然后

利用项的移位，将递推式表示为一个递推关系式：

an - p1 * an-1 - p2 * an-2 - … - pk * an-k = 0

然后，令n = k+1，得到an+1 - p1 * an - p2 * an-1 - … - pk * an-k+1 = 0

再通过移项，将递推式表示为：

an+1 = p1 * an + p2 * an-1 + … + pk * an-k+1

三、寻找递推数列的特征值

接下来需要找出递推数列的特征值（或称为根）。特征值是使得特征

方程成立的值。根据以上递推式，可以得到特征方程的形式：x^(k+1) - p1 * x^k - p2 * x^(k-1) - … - pk * x = 0

其中x为特征值。

四、确定递推数列的通项公式

已知递推式的通解形式为：an = c1 * x1^n + c2 * x2^n + … + ck * xk^n

通常，我们可以通过给定的初始条件，求解出常数c1、c2、…、ck，进而确定递推数列的通项公式。

特征根法求数列通项原理

特征根法是解线性递推方程的一种重要方法，可以用于求数列通项。在本文中，我将详细介绍特征根法的原理，并展示如何利用此方法求解数列的通项。

一、特征根法的基本原理

特征根法基于以下核心思想：解线性递推方程，一般需要首先找到数列的通解，然后根据已知初始条件来确定特定的通解。特征根法通过构造特征方程，寻找数列的特征根，进而求解通解的方法。

设数列的通项表示为：

an = c1 * λ1^n + c2 * λ2^n + ... + ck * λk^n

其中，c1, c2, ..., ck是待定系数，λ1, λ2, ..., λk是数列的特征根。

现在，让我们来详细讨论特征根法的求解步骤。

二、求解步骤

1.根据已知的递推关系式，得到数列的特征方程。对于一般的线性递推方程，形如：

an = a1 * an-1 + a2 * an-2 + ... + ak * an-k

其特征方程可表示为：

x^k - a1 * x^(k-1) - a2 * x^(k-2) - ... - ak = 0

2.求解特征方程的根。通过求解特征方程的根来得到数列的特征根。

这里需要用到一些代数求根的方法，比如因式分解、配方法等。

3. 根据特征根，构造数列的通解。特征根λ1, λ2, ..., λk 对

应的解分别为c1 * λ1^n, c2 * λ2^n, ..., ck * λk^n。由于特征根

可能为复数，所以通解可能包含实部和虚部。

4. 利用已知的初始条件，确定数列的具体通解。根据已知的初始条

件（比如前几项的值），代入数列的通解方程，并解出待定系数 c1,

特征根法求数列通项原理

特征根法求数列通项是一种解线性递推数列的方法，其原理如下：

1.对于递推数列$a_n$，可以写成线性递推方程$a_n=a_{n-1}+b_{n-1}$的形式，其中$b_n$是已知数列。

2.将递推方程转化为特征方程，令$a_n=r^n$，带入递推方程，得到：$r^n=r^{n-1}+b_{n-1}$。

3. 令特征方程的根为 $r_i$，则 $a_n$ 的通项公式为

$a_n=\sum_{i=1}^k C_ir_i^n$，其中 $C_i$ 是由初始条件求出的常数。

4.当特征方程的根为实数时，通项公式中的系数$C_i$可以通过初始

条件和根的值求解。当特征方程的根为复数时，通项公式中的系数

$C_i$可以通过欧拉公式求解。

5.对于非齐次递推数列，通项公式需要加上一个特解，其形式可以根

据非齐次项的不同而不同。

特征根法求数列的通项公式

类型一、n n n qa pa a +=++12 对于由递推公式n n n qa pa a

+=++12

，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的

特征方程。若2

,x x 是特征方程的两个根.

(1)当21

x x ≠时，

数列{}n a 的通项为1211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21

,a a 决定

（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1

211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于

A 、

B 的方程组）；

(2)当21x x

=时，数列{}n a 的通项为1

)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21

,a a

决定（即把2121,,,x x a a 和

2,1=n ，代入12)(-+=n n x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）.

例1. 数列{}n a 满足*

12212,3,32()n n n a

a a a a n N ++===-∈，求数列{}n a 的通项n a . 解：其特征方程为2

32x

x =-，解得121,2x x ==，令n n n B A a 21⋅+⋅=，

由

⎩⎨

⎧=+==+=342

221B A a B A a ，得⎪⎩

⎪⎨⎧==211

B A ， 112n n

-∴=+.

例2.已知数列{}n

a 满足*1

2211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈，求{}n a 的通项n a .

(完整版)特征根法求数列通项

2 4

特征根法求解数列递推公式

类型一、形如a n 2 pa * i qa n （p,q 是常数）的数列

（二阶线性递推式）

形如a i m i , a 2 m 2,a * 2 pa * 1 qa *（ p,q 是常数）的二阶递推数列都可用特

征根法求得通项a n ，其特征方程为x 2 px q …①

（1）若①有二异根，，则可令a n C i n C 2 n （C i ,C 2是待定常数）（2）若①有二重根

，则可令a n （C i nC 2） n （C i ,C 2是待定常数）

再利用a i m i ,a 2 m 2,可求得G ©，进而求得a .

已知数列｛a n ｝满足a i

2,a 2 3, a n 2 3a n i 2a n (n N ）,求数列｛a n ｝的通

项

a n 解: 其特征方程为x 2

3x 2，解得 X i i,X 2 2，令 a n C i i

C 2 2n ,

a i C i 2C 2 2

a 2 C 4C 2 3 c ，得 C 2

n i

a n i 2

例2已知数列｛a n ｝满足a i i,a 2

2,4a n 2

4a n i a n (n

求数列｛a n ｝的通

项

a n 解：其特征方程为4x 2

解得 X i

X 2

a i ( C i C 2)

nc 2

a 2 (C i 2C 2)

，得 &

C 2

a n

3n 2 * i

类型二、形如a n 1 A?」的数列 Ca n D （分式递推式）

对于数列a n 1

Aa n B

，a 1 m,n

Ca n D N (代 B,C,D 是常数且 C 0,AD BC 0)

数学特征根法求通项公式

特征根法是数学中一个重要的工具，可以用来求解线性差分方程的通项公式。在本文中，我们将详细介绍特征根法的原理、步骤和应用。一、特征根法的原理

特征根法基于线性差分方程的特征根理论。线性差分方程是指形如$y_{n+k}+a_{k-1}y_{n+k-1}+...+a_1y_{n+1}+a_0y_n=0$的方程，其中$k$是一个非负整数，$a_{k-1},...,a_1,a_0$是已知常数。特征根法的基本思想是寻找差分方程的特征根（即满足特定条件的根），然后将通解表达为特征根的函数。

二、特征根法的步骤

1.将差分方程转化为特征方程：将差分方程的所有项移到左侧，令$y_{n+k}+a_{k-1}y_{n+k-1}+...+a_1y_{n+1}+a_0y_n=0$，即得到特征方程。

2. 求解特征方程：解特征方程，得到特征根

$\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_k$。这些特征根是差分方程的解。

3. 求解特征根对应的通解：对于每个特征根$\lambda_i$，设其重数为$r_i$，则通解的形式为

$y_n=C_1\lambda_{i}^n+C_2n\lambda_{i}^n+...+C_{r_i}n^{r_i-

1}\lambda_{i}^n$，其中$C_1$到$C_{r_i}$是待定系数。

4.求解待定系数：利用已知的初始条件，确定待定系数的值。例如，如果已知差分方程的初始条件为$y_0=y_0^*,y_1=y_1^*,...,y_{k-

1}=y_{k-1}^*$，则将这些初始条件代入通解中，得到一组方程，通过求

特征根法求通项公式

特征方程法解递推关系中通项公式

一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，这里提出一种易于掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程

,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项

公式.下面以定理形式进行阐述.

定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当1

a x =时，n a 为常数列，即0101,;x

b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以

c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n

-==-.

证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c

x -=

作换元,

0x a b n n

-=则

.)(110011n n n n n n cb x a c c

cd ca c d d ca x a b =-=--=--

+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;11-=n n c b b 当10

a x =时，01=

b ，}{n b 为

0数列，故.N ,1∈=n a a n

（证毕）

下面列举两例，说说说说明定理1的应用.

例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23

11=∈--=+a n a a n n 求.n a

解：作方程.23

,23

10-=--=x x x 则

当41=a 时，.211

特征根法求通项公式

特征方程法解递推关系中通项公式

一、（一阶线性递推式）若已知数列}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中,1,0≠≠c c 求这个数列的通项公式。

采用数学归纳法可以求解这一问题，然而这样做太过繁琐，而且在猜想通项公式中容易出错，本文提出一种易于被学生掌握的解法——特征方程法：针对问题中的递推关系式作出一个方程,d cx x +=称之为特征方程；借助这个特征方程的根快速求解通项公式.下面以定理形式进行阐述.

先说定理1：设上述递推关系式的特征方程的根为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即

0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中}{n b 是以c 为公比的等比数列，即01111,x a b c b b n n -==-.

证明：因为,1,0≠c 由特征方程得.10c

x -=

作换元,0x a b n n -=则 .)(110011

n n n n n n cb x a c c

ca c d d ca x a b =-=--=--+=-=--

当10a x ≠时，01≠b ，数列}{n b 是以c 为公比的等比数列，故;1

1-=n n c b b

当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕）下面列举两例，说明定理1的应用.

例1．已知数列}{n a 满足：,4,N ,23

111=∈--=+a n a a n n 求.n a

解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.211

特征根法求数列的通项公式

胡贵平（甘肃省白银市第九中学，甘肃白银 730913）

类型一、n n n qa pa a +=++12

如果数列}{n a 满足下列条件：已知1a 的值且对于N ∈n ，都有n n n qa pa a +=++12（其中p ，q 均为非零常数）.先把原递推公式转化为)(112112n n n n a x a x a x a -=-+++，

其中21,x x 满足⎩⎨⎧-==+q

x x p x x 2121，显然21,x x 是方程02=--q px x 的两个非零根. 1）

如果0112=-a x a ，则0112=-++n n a x a ，n a 成等比，很容易求通项公式. 2）如果0112≠-a x a ，则{112++-n n a x a }成等比.公比为2x ，

所以12

11211)(-+-=-n n n x a x a a x a ，转化成： )(11222

21121

a x a x a x x x a n n n n -=---+， ( I )又如果21x x =，则{121

-+n n x a }等差，公差为)(112a x a -，所以))(1(1

1122121

a x a n a x a n n --+=-+，即：12

11221)])(1([-+--+=n n x a x a n a a 12211222])()2([---+=n n x x a x a n x a a 可以整理成通式：12)(-+=n n x Bn A a

( Ii)如果21x x ≠，则令1121

特征根法求数列的通项公式

求数列通项公式的方法很多，利用特征方程的特征根的方法是求一类数列通项公式的一种有效途径.1.已知数列{}n a 满足1n n n a a b

a c a d

+⋅+=⋅+......①其中*0,,c ad bc n N ≠≠∈.

定义1:方程ax b

x cx d

+为①的特征方程,该方程的根称为数列{}n a 的特征根,记为,αβ.定理1:若1,a αβ≠且αβ≠,则11n n n n a a a c a a c a αα

αβββ

++−−−=⋅−−−.

证明:2()0,ax b a d b

x cx d a x b cx d c c

αβαβ+−=

⇒+−−=⇒+==−+(),d a c b c

αβαβ∴=−+=−11()()()()()()()()

n n n n n n n

n n n n n aa b

a ca d aa

b ca d a

c a b

d aa b a aa b ca d a c a b d ca d α

ααααβββββ+++−−++−+−+−∴===

+−+−+−+−−+()[()]()()()[()]()()n n n n a c a c a c c a c a a c a c a c a c c a c a a c ααβαβαααα

βαβαβββββ

−+−−−−−−−=

−+−−−−−−−n n a a c a c a α

αββ

−−=

⋅

−−证毕

定理2:若1a αβ=≠且0a d +≠,则1121

n n c a a d a αα

+=+

−+−.证明:22,d a c b c