算法设计与分析 第3章2

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算法设计与分析王晓东

算法设计与分析王晓东

习题2-1 求下列函数的渐进表达式:3n^2+10n; n^2/10+2n; 21+1/n; logn^3; 10 log3^n 。

解答:3n^2+10n=O(n^2),n^2/10+2^n=O(2^n),21+1/n=O(1),logn^3=O(logn),10log3^n=O(n).习题2-3 照渐进阶从低到高的顺序排列以下表达式:n!,4n^2,logn,3^n,20n,2,n^2/3。

解答:照渐进阶从高到低的顺序为:n!、3^n、4n^2 、20n、n^2/3、logn、2习题2-4(1)假设某算法在输入规模为n时的计算时间为T(n)=3*2^n。

在某台计算机上实现并完成该算法的时间为t秒。

现有另外一台计算机,其运行速度为第一台计算机的64倍,那么在这台新机器上用同一算法在t秒内能解输入规模为多大的问题?(2)若上述算法的计算时间改进为T(n)=n^2,其余条件不变,则在新机器上用t秒时间能解输入规模多大的问题?(3)若上述算法的计算时间进一步改进为,其余条件不变,那么在新机器上用t秒时间能解输入规模多大的问题?解答:(1)设能解输入规模为n1的问题,则t=3*2^n=3*2^n/64,解得n1=n+6(2)n1^2=64n^2得到n1=8n(3)由于T(n)=常数,因此算法可解任意规模的问题。

习题2-5 XYZ公司宣称他们最新研制的微处理器运行速度为其竞争对手ABC公司同类产品的100倍。

对于计算复杂性分别为n,n^2,n^3和n!的各算法,若用ABC公司的计算机能在1小时内能解输入规模为n的问题,那么用XYZ公司的计算机在1小时内分别能解输入规模为多大的问题?解答:n'=100nn'^2=100n^2得到n'=10nn'^3=100n^3得到n'=4.64nn'!=100n!得到n'<n+log100=n+6.64习题2-6对于下列各组函数f(n)和g(n),确定f(n)=O(g(n))或f(n)=Ω(g(n))或f(n)=θ(g(n)),并简述理由。

算法设计与分析-第3章-蛮力法

算法设计与分析-第3章-蛮力法

哨兵
0123456789 k 10 15 24 6 12 35 40 98 55
查找方向
i
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算法设计与分析
算法3.2——改进的顺序查找
int SeqSearch2(int r[ ], int n, int k) //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合 { r[0]=k; i=n; while (r[i]!=k)
清华大学出版社
算法设计与分析
第3章 蛮力法
3.1 蛮力法的设计思想 3.2 查找问题中的蛮力法 3.3 排序问题中的蛮力法 3.4 组合问题中的蛮力法 3.5 图问题中的蛮力法 3.6 几何问题中的蛮力法 3.7 实验项目——串匹配问题
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算法设计与分析
3.1 蛮力法的设计思想
蛮力法的设计思想:直接基于问题的描述。 例:计算an
52 37 65 不可行 不可行 不可行 不可行 不可行
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算法设计与分析
对于一个具有n个元素的集合,其子集 数量是2n,所以,不论生成子集的算法 效率有多高,蛮力法都会导致一个Ω(2n) 的算法。
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算法设计与分析
3.4.4 任务分配问题
假设有n个任务需要分配给n个人执行, 每个任务只分配给一个人,每个人只分配一 个任务,且第j个任务分配给第i个人的成本 是C[i, j](1≤i , j≤n),任务分配问题要求 找出总成本最小的分配方案。
用蛮力法解决0/1背包问题,需要考虑给定n个 物品集合的所有子集,找出所有可能的子集(总重 量不超过背包容量的子集),计算每个子集的总价 值,然后在他们中找到价值最大的子集。
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10

《算法设计与分析》第3章 动态规划法

《算法设计与分析》第3章 动态规划法

最优解的递推关系 定义m[i:j],表示矩阵连乘A[i:j]所需的最少计算 量 则有: i j 0 m[i ][ j ] i j minj{m[i ][ k ] m[k 1][ j ] pi 1 pk p j } i k
假设:N个矩阵的维数依序放在一维数组p中, 其中Ai的维数记为Pi-1×Pi
A=A1×A2×A3×…×An
A=(A1×A2×…×Ak) × (Ak+1×Ak+2×…×An)
B
C
1.2 穷举法
穷举法:列举出所有可能的计算次序,并计算出 每一种计算次序相应需要的数乘次数,从中找出 一种数乘次数最少的计算次序。
穷举法复杂度分析: 对于n个矩阵的连乘积,设其不同的计算次序有P(n)种。 由于每种加括号方式都可以分解为两个子连乘的加括号问题: (A1...Ak)(Ak+1…An)可以得到关于P(n)的递推式如下:
【程序】矩阵连乘的 穷举法实现 int MatrixChain::LookupChain(int i, int j) { if(i==j) return 0; int u=LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j]; //k=i s[i][j]=i; //记录最优分解位置 for ( int k=i+1;k<j; k++ ) { //遍历k int t=LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j) +p[i]*p[k+1]*p[j+1]; if (t<u) { u=t; s[i][j]=k; //记录最优分解位置 } } int MatrixChain::LookupChain() return u; { } return LookupChain(1,n);

最新算法设计与分析(霍红卫)_第3章 动态规划教学讲义PPT课件

最新算法设计与分析(霍红卫)_第3章 动态规划教学讲义PPT课件

2 then error “incompatible domensions”
3 else for i ← 1 to rows[A]
4
do for j ← 1 to- columns[B]
5
do C[i, j]← 0
6
for k ← 1 to columns[A]
7
do C[i, j]← C[i, j]+A[i, k]·B[k, j]
第我3们章给矩动阵态加规上划括号的方式会对矩阵的计算开销产生巨大 影响。首先考虑两个矩阵的乘积。 标准计算两个矩阵乘积的算 法MATRIX-MULTIPLY描述如下,其中rows和columns分别表示 矩阵的行数和列数。
MATRIX MULTIPLY(A, B)
1 if columns[A]≠rows[B]
将这个问题形式描述如下:
约束条件为
max vixi
1in
(3.1)
wixi W,xi{0,1} (3.2)
8 11
24
(a)
9 13 + 5
4+
34 22
(b)
9 13
+ 7 10
23
(c)
图 3-4 0-1背包问题示例
第3章 动态规划 (1) 刻画0-1背包问题最优解的结构。
图 3-5 算法KNAPSACK-DP示例
第(34)章根据动计态算规的结划果, 构造问题最优解。
KNAPSACK-DP返回的c可用于快速构造背包问题的一个 最优解。如果c[i, w]=c[i-1, w],表明xi=0,然后考察c [i-1,w];否则xi=1,接着考察c[i-1,w-wi]。这个过程初 始调用为OUTPUT-SACK(c, W)。
OUTPUT SACK (c, w)

《算法设计与分析》(全)

《算法设计与分析》(全)
巢湖学院计算机科学与技术系
1.1、算法与程序
程序:是算法用某种程序设计语言的具体实现。 程序可以不满足算法的性质(4)。 例如操作系统,是一个在无限循环中执行的程序, 因而不是一个算法。 操作系统的各种任务可看成是单独的问题,每一个 问题由操作系统中的一个子程序通过特定的算法来实 现。该子程序得到输出结果后便终止。
渐近分析记号的若干性质
(1)传递性: ➢ f(n)= (g(n)), g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n)); ➢ f(n)= O(g(n)), g(n)= O (h(n)) f(n)= O (h(n)); ➢ f(n)= (g(n)), g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n)); ➢ f(n)= o(g(n)), g(n)= o(h(n)) f(n)= o(h(n)); ➢ f(n)= (g(n)), g(n)= (h(n)) f(n)= (h(n)); (2)反身性: ➢ f(n)= (f(n));f(n)= O(f(n));f(n)= (f(n)). (3)对称性: ➢ f(n)= (g(n)) g(n)= (f(n)) . (4)互对称性: ➢ f(n)= O(g(n)) g(n)= (f(n)) ; ➢ f(n)= o(g(n)) g(n)= (f(n)) ;
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渐近分析记号的若干性质
规则O(f(n))+O(g(n)) = O(max{f(n),g(n)}) 的证明: ➢ 对于任意f1(n) O(f(n)) ,存在正常数c1和自然数n1,使得对
所有n n1,有f1(n) c1f(n) 。 ➢ 类似地,对于任意g1(n) O(g(n)) ,存在正常数c2和自然数
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第1章 算法引论

黄宇《算法设计与分析》课后习题解析(二)精选全文

黄宇《算法设计与分析》课后习题解析(二)精选全文

黄宇《算法设计与分析》课后习题解析(⼆)第2章:从算法的视⾓重新审视数学的概念2.1:(向下取整)题⽬:请计算满⾜下⾯两个条件的实数的区间解析:根据向下取整的含义,令,讨论a的取值范围即可解答:令,则可得:即:故的取值区间为:2.2: (取整函数)题⽬:证明:对于任意整数,(提⽰:将n划分为)。

解析:根据提⽰将n进⾏划分,根据取整函数的定义⽤k表⽰取整函数,即可证明;证明如下:因为对于任意整数,可划分为,则:① ;② ;综上:对于任意整数,, 得证;2.3: (斐波拉契数列)对于斐波拉契数列,请证明:1)题⽬:是偶数当且仅当n能被3整除解析:由斐波拉契数列的递归定义式,容易联想到数学归纳法;证明如下:(采⽤数学归纳法)i)当n = 1,2,3时,依次为1,1,2,符合命题;ii)假设当(k>=1)时命题均成⽴,则:① 当n = 3k+1时,是奇数,成⽴;② 当n = 3k+2时,是奇数,成⽴;③ 当 n = 3(k+1)时,是偶数,成⽴;综上:归纳可得为偶数当且仅当,得证;2)题⽬:x x =1+a (0<a <1)x =1+a (0<a <1)⌊x ⌋=1⇒⌊x ⌋=21⌊x ⌋=2⌊1+a +22a ⌋=1a +22a <1⇒0<a <−21⇒1<a +1<⇒21<x <2x (1,)2n ≥1⌈log (n +1)⌉=⌊logn ⌋+12≤k n ≤2−k +11n ≥12≤k n ≤2−k +11k +1=⌈log (2+k 1)⌉≤⌈log (n +1)⌉≤⌈log (2)⌉=k +1k +1=>⌈log (n +1)⌉=k +1k =⌊log (2)⌋≤k ⌊logn ⌋≤⌊log (2−k +11)⌋=k =>⌊logn ⌋=k n ≥1⌈log (n +1)⌉=k +1=⌊logn ⌋+1F n F n n ≤3k F =n F +n −1F =n −2F +3k F =3k −1>F 3k +1F =n F +3k +1F =3k >F 3k +2F =n F +3k +2F =3k +1>F 3k +3F n 3∣n F −n 2F F =n +1n −1(−1)n +1解析:同1)理,容易联想到数学归纳法证明如下:(采⽤数学归纳法)i)当n = 2时,, 易知成⽴;ii)假设当 n = k 时命题成⽴,① 若k = 2m, 则,当n = k+1 = 2m+1时,要证命题成⽴,即证: => ,代⼊递推式, 得:, 易知是恒等式,故命题成⽴;②当 k=2m+1时,同①理可证命题成⽴;综上:归纳可得,得证;2.4:(完美⼆叉树)给定⼀棵完美⼆叉树,记其节点数为,⾼度为,叶节点数为,内部节点数为1)题⽬:给定上述4个量中的任意⼀个,请推导出其他3个量解析:根据完美⼆叉树的结构特点易得解答:(仅以已知⾼度h推导其他三个量为例,其余同理)已知⾼度为h,可得:节点数:叶节点数:内部节点数:2)题⽬:请计算完美⼆叉树任意⼀层的节点个数:① 如果任意指定深度为的⼀层节点,请计算该层节点个数;② 如果任意指定⾼度为的⼀层节点,请计算该层节点个数;解析:根据完美⼆叉树的结构特点易得(注意节点深度和节点⾼度是互补的,相加为树⾼)解答:① ; ② ;2.5: (⼆叉树的性质)对于⼀棵⾮空的⼆叉树T,记其中叶节点的个数为,有1个⼦节点的节点个数为,有两个⼦节点的节点个数为1)题⽬:如果T是⼀棵2-tree,请证明。

算法设计与分析(第4版)

算法设计与分析(第4版)

内容简介
《算法设计与分析(第4版)》以算法设计策略为知识单元,系统地介绍计算机算法的设计方法与分析技巧, 以期为计算机科学与技术学科的学生提供广泛而坚实的计算机算法基础知识。
第1章中首先介绍算法的基本概念,接着简要阐述算法的计算复杂性和算法的描述,然后围绕设计算法常用的 基本设计策略组织第2章至第10章的内容。第2章介绍递归与分治策略,这是设计有效算法常用的策略,是必须掌 握的方法。第3章是动态规划算法,以实例详述动态规划算法的设计思想、适用性以及算法的设计要点。第4章介 绍贪心算法,它与动态规划算法的设计思想有一定的。第5章和第6章分别介绍回溯法和分支限界法,这两章所介 绍的算法适合处理难解问题。第7章介绍概率算法,对许多难解问题提供解决途径。第8章介绍NP完全性理论和解 NP难问题的近似算法。第9章介绍有关串和序列的算法。第10章通过实例介绍算法设计中常用的算法优化策略。 第11章介绍算法设计中较新的研究领域——在线算法设计。
《算法设计与分析(第4版)》按照教育部制定的“计算机科学与技术专业规范的教学大纲”编写,在前三版 的基础下作了相应修改,按照国际计算机学科的教学要求进行整编。
《算法设计与分析(第4版)》是在21世纪大学本科计算机专业系列教材编委会的指导下完成出版。 2018年10月1日,《算法设计与分析(第4版)》由清华大学出版社出版。
全书共分11章,由算法引论、递归与分治策略、动态规划、章贪心算法、回溯法、分支限界法、概率算法、 NP完全性理论与近似算法、串与序列的算法、算法优化策略、在线算法设计组成。
成培养中国21世纪计算机各类人才的需要,结合中国高等学校教育工作的现状,立足培养学生能跟上 国际计算机科学技术的发展水平,更新教学内容和教学方法,提高教学质量,作者编写了该书。

算法设计与分析知识点

算法设计与分析知识点

第一章算法概述1、算法的五个性质:有穷性、确定性、能行性、输入、输出。

2、算法的复杂性取决于:(1)求解问题的规模(N) , (2)具体的输入数据(I),( 3)算法本身的设计(A),C=F(N,I,A。

3、算法的时间复杂度的上界,下界,同阶,低阶的表示。

4、常用算法的设计技术:分治法、动态规划法、贪心法、回溯法和分支界限法。

5、常用的几种数据结构:线性表、树、图。

第二章递归与分治1、递归算法的思想:将对较大规模的对象的操作归结为对较小规模的对象实施同样的操作。

递归的时间复杂性可归结为递归方程:1 11= 1T(n) <aT(n—b) + D(n) n> 1其中,a是子问题的个数,b是递减的步长,~表示递减方式,D(n)是合成子问题的开销。

递归元的递减方式~有两种:1、减法,即n -b,的形式。

2、除法,即n / b,的形式。

2、D(n)为常数c:这时,T(n) = 0(n P)。

D(n)为线形函数cn:r O(n) 当a. < b(NT(n) = < Ofnlog^n) "n = blljI O(I1P)二"A bl吋其中.p = log b a oD(n)为幕函数n x:r O(n x) 当a< D(b)II JT{ii) = O(ni1og b n) 'ia = D(b)ll].O(nr)D(b)lHJI:中,p= log b ao考虑下列递归方程:T(1) = 1⑴ T( n) = 4T(n/2) +n⑵ T(n) = 4T(n/2)+n2⑶ T(n) = 4T(n/2)+n3解:方程中均为a = 4,b = 2,其齐次解为n2。

对⑴,T a > b (D(n) = n) /• T(n) = 0(n);对⑵,•/ a = b2 (D(n) = n2) T(n) = O(n2iog n);对⑶,•/ a < b3(D(n) = n3) - T(n) = 0(n3);证明一个算法的正确性需要证明两点:1、算法的部分正确性。

算法分析与设计(习题答案)

算法分析与设计(习题答案)

算法分析与设计教程习题解答第1章 算法引论1. 解:算法是一组有穷的规则,它规定了解决某一特定类型问题的一系列计算方法。

频率计数是指计算机执行程序中的某一条语句的执行次数。

多项式时间算法是指可用多项式函数对某算法进行计算时间限界的算法。

指数时间算法是指某算法的计算时间只能使用指数函数限界的算法。

2. 解:算法分析的目的是使算法设计者知道为完成一项任务所设计的算法的优劣,进而促使人们想方设法地设计出一些效率更高效的算法,以便达到少花钱、多办事、办好事的经济效果。

3. 解:事前分析是指求出某个算法的一个时间限界函数(它是一些有关参数的函数);事后测试指收集计算机对于某个算法的执行时间和占用空间的统计资料。

4. 解:评价一个算法应从事前分析和事后测试这两个阶段进行,事前分析主要应从时间复杂度和空间复杂度这两个维度进行分析;事后测试主要应对所评价的算法作时空性能分布图。

5. 解:①n=11; ②n=12; ③n=982; ④n=39。

第2章 递归算法与分治算法1. 解:递归算法是将归纳法的思想应用于算法设计之中,递归算法充分地利用了计算机系统内部机能,自动实现调用过程中对于相关且必要的信息的保存与恢复;分治算法是把一个问题划分为一个或多个子问题,每个子问题与原问题具有完全相同的解决思路,进而可以按照递归的思路进行求解。

2. 解:通过分治算法的一般设计步骤进行说明。

3. 解:int fibonacci(int n) {if(n<=1) return 1;return fibonacci(n-1)+fibonacci(n-2); }4. 解:void hanoi(int n,int a,int b,int c) {if(n>0) {hanoi(n-1,a,c,b); move(a,b);hanoi(n-1,c,b,a); } } 5. 解:①22*2)(−−=n n f n② )log *()(n n n f O =6. 解:算法略。

算法设计与分析 第2版 吕国英 第三章课后习题答案

算法设计与分析 第2版 吕国英 第三章课后习题答案

3.1//计算2+22+222+...+222 (2)void main(){int i,n,sum=0;print("请输入最后一个因子的位数\n");scanf("%d",&n);for(i=1;i<=n;i++)sum=sum+((int)pow(10,i)-1)/9*2;print("2+22+222+...+222……2=%d\n",sum); }3.2显示{5,7,4,8,9,1}的方阵方式main(){int i,j,t,ori[6]={5,7,4,8,9,1};for(i=0;i<6;i++){for(j=0;j<6;j++){t=(j-i)<0?j-i+6:j-i;printf("%d ",ori[t]);}printf("\n");}}3.3main(){int n;int **up(int **array);scanf("%d",&n);int arr[1][1]={{n*n}};for(j=1;j<n;j++)arr=up(**arr,j);}int **up(int **array,n){int upN=n+1;int[upN][upN] tem;tem[1][1]=array[1][1]-pow(n+1,2);for(i=1;i<=n;i++)tem[1][i]=tem[1][i-1]+1;for(i=1;i<=n;i++)tem[n][i]=tem[n][i-1]+1;for(i=1;i<=n;i++)tem[n][n-i]=tem[n][n+1-i]+1;for(i=1;i<n;i++)tem[1][n-i]=tem[1][n-i+1]+1return **tem;}3.4main(){int i,j,t=0,next=1,n;printf("请输入n\n");scanf("%d",&n);printf("显示效果如下\n");for(i=1;i<=n;i++){for(j=1;j<=n-i+1;j++){if(j==1)t=next;elset=t+i+j-1;if(j==2)next=t-1;printf("%d ",t);}printf("\n");}}//思想:每一行的第二个数为next,下一行的第一个数为next-13.5main(){int n,i,j,k;int arr[100][100]={{0}};//动态定义数组太难,所以在系统直接定义一个100*100的方阵,可以处理部分小问题for(i=0;i<100;i++)for(j=0;j<100;j++)arr[i][j]=0;printf("请输入n\n");scanf("%d",&n);/*if(n%2==0){for(k=0;k<n/2;k++)for(i=k;i<n-k;i++)for(j=k;j<n-k;j++)arr[i][j]=k+1;}else{for(k=0;k<(n+1)/2;k++)for(i=k;i<n-k;i++)for(j=k;j<n-k;j++)arr[i][j]=k+1;}*///可将第一个for循环中的判断条件统一改为k<(n+1)/2 for(k=0;k<(n+1)/2;k++)for(i=k;i<n-k;i++)for(j=k;j<n-k;j++)arr[i][j]=k+1;printf("显示效果如下:\n")for(i=0;i<n;i++){for(j=0;j<n;j++)printf("%2d",arr[i][j]);printf("\n");}}3.7main(){int ack(int m,int n);int m,n,score;printf("请输入ackermann函数的m,n:\n");printf("m:");scanf("%d",&m);printf("n:");scanf("%d",&n);score=ack(m,n);printf("ack(%d,%d)=%d\n",m,n,score);}int ack(int m,int n){if(m==0)return n+1;elseif(n==0)return ack(m-1,1);elsereturn ack(m-1,ack(m,n-1));}3.8main(){char str[40];int i,l,t=1;printf("Please input a string!\n");scanf("%s",str);l=strlen(str);for(i=0;i<l/2;i++)if(str[i]!=str[l-i-1])t=0;if(t)printf("The string is Huiwen!\n");elseprintf("The string is not Huiwen!\n");}3.11main(){int i,n,sum=0;//sum为零的个数int zero(int pro);printf("此程序用于计算1*2*3*…*n所得的数末尾有多少个零。

算法分析与设计第二版习题答案-第三章到第五章

算法分析与设计第二版习题答案-第三章到第五章
{
int bool=1;
int min;
int j;
int i;
int k;
int flag;
for(i=0;i<count;i++)
{
if(buf[i]=='(')
push(buf[i],i);
if(buf[i]==')')
{
flag=pop();
算法设计与分析(第二版)习题答案 主编:吕国英
算法设计与分析(第二版)习题答案(第三章)
第三章:
1.#include<stdlib.h>#include<stdio.h>int main(int argc,char **argv){int n;int i,j,k;int *buf;printf("请输入n的数值:");
;}for(i=0;i<N;i++){ for(j=0;j<N;j++) printf("]",buf[i][j]); printf("\n");}return
0;}6.#include<stdio.h>#include<stdlib.h>typedef struct s_node s_list;typedef s_list *link;struct s_node{char ch;int flag;link next;};link top;void push(char ch,int flag){link newnode;newnode=(link)malloc(sizeof(s_list));newnode->ch=ch;newnode- >flag=flag;newnode-

算法设计与分析报告习题

算法设计与分析报告习题

《算法设计与分析》习题第一章算法引论1、算法的定义?答:算法是指在解决问题时,按照某种机械步骤一定可以得到问题结果的处理过程。

通俗讲,算法:就是解决问题的方法或过程。

2、算法的特征?答:1)算法有零个或多个输入;2)算法有一个或多个输出; 3)确定性;4)有穷性3、算法的描述方法有几种?答:自然语言、图形、伪代码、计算机程序设计语言4、衡量算法的优劣从哪几个方面?答:(1) 算法实现所耗费的时间(时间复杂度);(2) 算法实现所所耗费的存储空间(空间复杂度);(3) 算法应易于理解,易于编码,易于调试等等。

5、时间复杂度、空间复杂度定义?答:指的是算法在运行过程中所需要的资源(时间、空间)多少。

6、时间复杂度计算:{i=1;while(i<=n)i=i*2; }答:语句①执行次数1次,语句②③执行次数f(n), 2^f(n)<=n,则f(n) <=log2n;算法执行时间: T(n)= 2log2n +1时间复杂度:记为O(log2n) ;7.递归算法的特点?答:①每个递归函数都必须有非递归定义的初值;否则,递归函数无法计算;(递归终止条件)②递归中用较小自变量函数值来表达较大自变量函数值;(递归方程式)8、算法设计中常用的算法设计策略?答:①蛮力法;②倒推法;③循环与递归;④分治法;⑤动态规划法;⑥贪心法;⑦回溯法;⑧分治限界法9、设计算法:递归法:汉诺塔问题?兔子序列(上楼梯问题)?整数划分问题?蛮力法:百鸡百钱问题?倒推法:穿越沙漠问题?答:算法如下: (1) 递归法● 汉诺塔问题void hanoi(int n, int a, int b, int c) {if (n > 0) {hanoi(n-1, a, c, b); move(a,b);hanoi(n-1, c, b, a); } }● 兔子序列(fibonaci 数列 )递归实现:Int F(int n) {if(n<=2) return 1; elsereturn F(n-1)+ F(n-2); }● 上楼梯问题 Int F(int n) {if(n=1) return 1 if(n=2) return 2; elsereturn F(n-1)+ F(n-2); }● 整数划分问题问题描述:将正整数n 表示成一系列正整数之和,n=n1+n1+n3+…将最大加数不大于m 的划分个数,记作q(n,m)。

《算法设计与分析基础》课件-3.蛮力法

《算法设计与分析基础》课件-3.蛮力法

if A[j] < A[min] min j
swap A[i] and A[min]
7
2017/12/31
例题:对序列 {89,45,68,90,29,34,17}用选择排序 算法进行排序
• 第1遍: {89,45,68,90,29,34,17} //求最小元素 {17,45,68,90,29,34,89} //交换
• 第5遍: {17,29,34,45,90,68,89} {17,29,34,45,68,90,89}
• 第6遍: {17,29,34,45,68,90,89} {17,29,34,45,68,89,90} //排序结束
8
CHD
(本动画中,参与排序的是R[1]到R[n],R[0]作为交换中转的空 间;变量j对应前面算法中的变量min)
2017/12/31
ALGORITHM BubbleSort(A[0,…,n – 1]) // 冒泡排序算法在数组上的应用 // 输入:数组A,数组中的元素属于某偏序集 // 输出:按升序排列的数组A for i 0 to n – 2 do
for j 0 to n – 2 – i do if A[j+1] < A[j] swap(A[j], A[j+1])
CHD
(4)对解决一些小规模的问题实例仍然有效
(5)可作为衡量其他算法的参照。
2
2017/12/31
Brute Force Examples:
1. Computing an (a > 0, n a nonnegative integer)
2. Computing n!
3. Multiplying two matrices

高二信息技术教案程序设计与算法分析

高二信息技术教案程序设计与算法分析

高二信息技术教案程序设计与算法分析高二信息技术教案——程序设计与算法分析引言:程序设计与算法分析是高中信息技术课程中的重要组成部分。

通过学习程序设计和算法分析,学生能够提高他们的计算机编程能力和问题解决能力。

本教案旨在介绍程序设计与算法分析的基础知识和学习内容,通过实例和练习来巩固学生对相关概念的理解,并培养学生的编程思维和分析能力。

第一章程序设计基础1.1 程序设计概述1.1.1 程序设计的定义1.1.2 程序设计的重要性1.2 程序设计语言1.2.1 C语言简介1.2.2 Python语言简介1.3 编程环境搭建1.3.1 C语言编程环境搭建1.3.2 Python编程环境搭建第二章算法分析2.1 算法的概念2.1.1 算法的定义2.1.2 算法的特性2.2 算法复杂性分析2.2.1 时间复杂度分析2.2.2 空间复杂度分析2.3 常用算法示例2.3.1 排序算法:冒泡排序、快速排序2.3.2 查找算法:顺序查找、二分查找第三章程序设计基本语法3.1 变量和数据类型3.1.1 变量的定义与使用3.1.2 常用数据类型:整型、浮点型、字符型、布尔型等3.2 运算符3.2.1 算术运算符3.2.2 关系运算符3.2.3 逻辑运算符3.3 控制语句3.3.1 条件语句:if-else语句、switch语句3.3.2 循环语句:for循环、while循环3.4 函数3.4.1 函数的定义与调用3.4.2 函数参数的传递3.4.3 递归函数的设计与使用第四章算法设计与分析4.1 算法设计方法4.1.1 递推法4.1.2 分治法4.1.3 贪心算法4.1.4 动态规划算法4.2 算法性能评估指标4.2.1 最坏情况时间复杂度4.2.2 平均情况时间复杂度4.2.3 最好情况时间复杂度4.2.4 空间复杂度4.3 算法示例分析4.3.1 背包问题4.3.2 最短路径问题结语:通过学习本教案的内容,学生将能够全面了解程序设计与算法分析的基础知识和学习方法。

算法分析与设计实验报告模板2021

算法分析与设计实验报告模板2021

实验内容3-2 双关系递推数列集合M定义如下:1)M∈12)21,31∈⇒+∈+∈x M x M x M3)再无别的数属于M试求集合M元素从小到大排列的第2015个元素与前2015 个元素之和。

1、设计思路和关键点对数组m(i)设置两个队列:2*m(p1)+1,p1=1,2,3, …..3*m(p2)+1,p2=1,2,3, …..从两队列中选一排头,通过比较选数值较小者送入数组m中,所谓“排头”就是队列中尚未选入m的最小的下标。

2、伪代码#include<iostream>using namespace std;int main(){int n;int a[100001];int s=1;cout<<"请输入n:";cin>>n;int p1=1,p2=1;a[1]=1;for(int i=2;i<=n;i++)if(a[p1]*2+1<a[p2]*3+1){a[i]=a[p1++]*2+1;s+=a[i]; }else{a[i]=a[p2]*3+1; s+=a[i];if(a[p1]*2+1==a[p2]*3+1) p1++; p2++; }cout<<"m<"<<n<<">="<<a[n]<<endl; cout<<"s="<<s; return 0; }3、运行结果3-3 多幂序列设x,y,z 为非负整数,试计算集合}0,0,0|5,3,2{≥≥≥=z y x M z y x的元素由小到大排列的多幂序列第n 项与前n 项之和。

1、设计思路和关键点集合M 由2的指数,3的指数以及5的指数组成,是三个递推关系,第一项为1,从第二项开始,设置k 循环,在k 循环外赋初值:a=2;b=3;c=5;s=1;在k 循环中通过比较赋值。

算法设计与分析_第3章_动态规划1

算法设计与分析_第3章_动态规划1
8
引言
分治技术的问题
子问题是相互独立的
Why?
问题:
如果子问题不是相互独立的,分治方法将重复 计算公共子问题,效率很低,甚至在多项式量 级的子问题数目时也可能耗费指数时间
解决方案:动态规划
用表来保存所有已解决子问题的答案 不同算法的填表格式是相同的
9
引言
最优化问题
Why?
可能有多个可行解,每个解对应一个 值,需要找出最优值的解。
MATRIX-MULTIPLY(A, B) 1 if columns[A] ≠ rows[B] 2 then return “error: incompatible dimensions” 3 else for i ← 1 to rows[A] 4 for j ← 1 to columns[B] 5 C[i, j] ← 0 6 for k ← 1 to columns[A] 7 C[i, j]←C[i, j]+A[i, k]·B[k, j] 8 return C
(A1 (A2 (A3 A4))) , (A1 ((A2 A3) A4)) , ((A1 A2) (A3 A4)) , ((A1 (A2 A3)) A4) , (((A1 A2) A3) A4).
15
矩阵连乘问题
采用不同的加括号方式,可导致不同的、 甚至及其富有戏剧性差别的乘法开销
设有四个矩阵A,B,C,D,它们的维数分别 是: A=50×10 B=10×40 C=40×30 D=30×5 总共有五种完全加括号的方式: (A((BC)D)) ——16000 (A(B(CD))) ——10500 ((AB)(CD)) ——36000 (((AB)C)D) ——87500 ((A(BC))D) ——34500
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( n=4,i=1时 “摆放10,11,12”) 四个过程通过四个循环实现,用j表示i层内每边中行或列的下标
41
main( ) {int i,j,a[100][100],n,k; input(n); k=1; for(i=1;i<=n/2;i=i+1) {for( j=i;j<=n-i;j=j+1) { a [j][i]=k; k=k+1;} /左侧/ for( j=i;j<=n-i;j=j+1) {a [n+1-i][j]=k; k=k+1;} /下方/ for( j= n-i+1;j>=i+1;j=j-1){a[j][n+1-i]=k;k=k+1;} /右侧/ for( j= n-i+1;j>=i+1;j=j-1) {a[i][j]=k; k=k+1;} /上方/ }
29
【例1】编程求当N<=100时,N!的准确值 • 问题分析:问题要求对输入的正整数N,计算N!的
准确值,而N!的增长速度仅次于指数增长的速度, 所以这是一个高精度计算问题。 例如:
9!=362880 100! = 93 326215 443944 152681 699263 856266 700490 715968 264381 621468 592963 895217 599993 229915 608914 463976 156578 286253 697920 827223 758251 185210 916864
0 1110 2 0104 2 2044 2 0304 0 3330
• 算法设计:根据数据分布的特点,利用以上关于二 维数组的基本常识,在只考虑可读性的情况下,
37
• 算法如下:
main( )
{int i,j,a[100][100],n;
input(n);
for(i=1;i<=n;i=i+1)
for(j=1;j<=n;j=j+1)
以下就是一个n=3的魔方阵:
618
753
294
它的各行、各列及对角线上的元素之和为15。
49
for( i=1;i<=n;i=i+1) {print(“换行符”); for(j=1;j<=n;j=j+1)
print(a[i][j]); } }
• 说明:若当前位置已经填有数的话,则应填在上一个 数的下面,所以需要用变量记录上一个数据填入的位 置,算法中i1,j1的功能就是记录上一个数据填入的 位置。
下标下界为0时i+j<=n-1; 次下三角◢元素:下标下界为1时i +j>=n+1,
下标下界为0时i+j>=n-1;
36
• 【例1】编程打印形如下规律的n*n方阵。
• 例如下图:使左对角线和右对角线上的元素为0,它们 上方的元素为1,左方的元素为2,下方元素为3,右方元 素为4,下图是一个符合条件的阶矩阵。
35
2
3)用i代表行下标,以j代表列下标(除特别声明以后 都遵守此约定),则对n*n矩阵有以下常识:
主对角线元素i=j; 副对角线元素: 下标下界为1时 i+j=n+1,
下标下界为0时i+j=n-1; 主上三角◥元素: i <=j; 主下三角◣元素: i >=j; 次上三角◤元素:下标下界为1时i +j<=n+1,
for(i=1;i<=n;i=i+1) {print( “换行符”);
for( j=1;j<=n;j=j+1) print(a[i][j]); }
}
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• 【例2】螺旋阵:任意给定n值,按如下螺旋的方式输 出方阵: n=3 输出: 1 8 7 2 96 3 45 n=4 输出: 1 12 11 10 2 13 16 9 3 14 15 8 4 5 67
{if (i=j or i+j=n+1) a [i][j]=0;
if (i+j<n+1 and i<j) a [i][j]=1;
if (i+j<n+1 and i>j) a [i][j]=2;
if (i+j>n+1 and i>j) a [i][j]=3;
if (i+j>n+1 and i<j) a [i][j]=4;}
【例1】统计选票 【例2】统计身高 【例3】统计及格学生的名单 【例4】统计找数字对的出现频率
7
【例3】一次考试共考了语文、代数和外语三科。某小 组共有九人,考后各科及格名单如下表,请编写算法 找出三科全及格的学生的名单(学号)。
科目
及格学生学号
语文 代数 外语
1,9,6,8,4,3,7 5,2,9,1,3,7 8,1,6,7,3,5,4,9
12
3.2.2 数组使信息有序化
当题目中的数据缺乏规律时,很难把重复的工作抽象 成循环不变式来完成,但先用数组结构存储这些地信 息后,问题就迎刃而解了, • 【例1】编程将编号“翻译”成英文。例35706“翻 译”成three-five-seven-zero-six。
17
3.2.3 数组记录状态信息
算法设计与分析
林玉娥 linyu_e@
1
3.2 算法与数据结构
3.2.1 原始信息与处理结果的对应存储 3.2.2 数组使信息有序化 3.2.3 数组记录状态信息 3.2.4 大整数存储及运算 3.2.5 构造趣味矩阵
2
1、数据的存储结构
数据的存储结构可以分为:连续存储和链式存储。连续存 储又可以分为:静态存储和动态存储
2、连续存储和链式存储比较
顺序存储的优点: (1) 方法简单,各种高级语言中都提供数组结构,易实现。 (2) 不用为表示结点间的逻辑关系而增加额外的存储开销。 (3) 顺序表具有按元素序号随机访问的特点。
3
• 顺序存储的缺点:
(1) 在顺序表中做插入删除操作时,平均移动大约表中一 半的元素,因此对n较大的顺序表效率低。 (2) 需要预先分配足够大的存储空间,估计过大,可能 会导致顺序表后部大量闲置;预先分配过小,又会造成 溢出。
t= -t
k=k-1
j=n i=i+t n-1----1 i=1 j=j+t n-1----2 后半圈共2*k-1个
t= -t
用x模拟“摆放”的数据;用y(1——2*k-1)作循环变 量,模拟半圈内数据的处理的过程。
45
• 【例3】设计算法生魔方阵.
• 魔方阵是我国古代发明的一种数字游戏:n阶魔方是 指这样一种方阵,它的每一行、每一列以及对角线上 的各数之和为一个常数,这个常数是:1/2*n*(n2+1) ,此常数被称为魔方阵常数。由于偶次阶魔方阵(n= 偶数)求解起来比较困难,我们这里只考虑n为奇数 的情况。
• 问题提出: 有的问题会限定在现有数据中,每个数据只能被使用 一次,怎么样表示一个数据“使用过”还是没有“使 用过”? 一个朴素的想法是:用数组存储已使用过的数据,然 后每处理一个新数据就与前面的数据逐一比较看是否 重复。这样做,当数据量大时,判断工作的效率就会 越来越低。
23
例1
【例1】求X,使X2为一个各位数字互不相同的九位数 • 分析:只能用枚举法尝试完成此题。由X2为一个九
位数,估算X应在10000——32000之间。
24
3.2.4 大整数的存储及运算
• 计算机存储数据是按类型分配空间的。在微型机上 为整型提供2个字节16位的存储空间,则整型数据的 范围为-32768——32767;为长整型提供4个字节32位 的存储空间,则长整型数据的范围为-2147483648—— 2147483647;为实型也是提供4个字节32位的存储空 间,但不是精确存储数据,只有六位精度,数据的范 围±(3.4e-38~3.4e+38) ;为双精度型数据提供8个字节 64位的存储空间,数据的范围±(1.7e-308~1.7e+308) ,其精确位数是17位。
算法设计:
1)对每个同学,先计算其成绩高于90分的课程数目,若超过 3,则累加满足条件的人数中。
2)用二重循环实现以上过程,外层循环模拟50个同学,内层 循环模拟五门课程。
56
算法如下:
main( )
{int a[5],i,j,s,num=0;
for ( i=1;i<=50;i=i+1)
{s=0;
000000 000000 000000 000000
30
3.2.5 构造趣味矩阵
• 根据趣味矩阵中的数据规律,设计算法把要输出的数 据趣存味储矩到阵一经个常二用维二数维组数中组,来最解后决按行输出该数组中的 元素
• 基本常识: 1)当对二维表按行进行操作时,应该“外层循环控制行
;内层循环控制列”;反之若要对二维表按列进行操 作时,应该“外层循环控制列;内层循环控制行”。 2)二维表和二维数组的显示输出,只能按行从上到下连 续进行,每行各列则只能从左到右连续输出。所以, 只能用“外层循环控制行;内层循环控制列”。
总之,通过恰当的算术运算可以很好地提高编程效率,以及 相关算法的运行效率。值得认真总结学习。
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【例1】一次考试,共考了五门课。统计五十个学生中至 少有 三门课成绩高于90分的人数。 问题分析:若一个学生五门课的成绩分别记为:a1,a2,a3, a4,a5,则要表示有三门课成绩高于90分,有C35=10组关系 逻辑表达式,每组三个关系表达式。无论书写还是运行效率都 极低。但通过算法运算就能很简便地解决这类问题。
for( j=0;j<=4;j=j+1)
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