2013北京东城区高三一模数学试题(文科)带答案

北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）数学 （文科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知全集{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，那么集合U A ð为（A ）{3}（B ）{3,4} （C ）{1,2} （D ）{2,3}（2） “1a =”是“直线20x y +=与直线(1)40x a y +++=平行”的（A ） 充分不必要条件 （B ） 必要不充分条件 （C ） 充要条件 （D ） 既不充分也不必要条件（3）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB = a ，AC =b ，则向量BC 为（A ）-a b （B ）a +b（C ）-b a （D ）--a b（4）执行如图所示的程序框图，输出的结果是56， 则判断框内应填入的条件是 （A ）5?n ≤ （B ）5?n < （C ）5?n > （D ）5?n ≥（5）已知一个几何体的三视图如图所示(单位：cm)， 那么这个几何体的侧．面积是（A ）2（B ）2（C ）2(4 （D ）2（6）已知点(2,1)A ，抛物线24y x =的焦点是F ，若抛物线上存在一点P ，使得PA PF +最小，则P 点的坐标为（A ）(2,1)（B ）(1,1)（C ）1(,1)2（D ）1(,1)4（7）对于函数)(x f y =，部分x 与y 的对应关系如下表：数列n 满足1，且对任意，点1+n n 都在函数)(x f =的图象上，则201320124321x x x x x x ++++++ 的值为（A ）9394 （B ）9380 （C ）9396 （D ）9400（8）已知定义在R 上的函数()f x 的对称轴为3x =-，且当3x ≥-时，()23x f x =-.若函数()f x 在区间(1,)k k -（k ∈Z ）上有零点，则k 的值为（A ）2或7- （B ）2或8- （C ）1或7- （D ）1或8-第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知i 是虚数单位，那么i(1i)+等于 ．（10）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是 ，乙5次测试成 绩的平均数与中位数之差是 ．（11）不等式组20,0,0x y x y -≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩表示的平面区域为D ，则区域D 的面积为 ，z x y =+的最大值为 ．（12）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为 ．（13）函数()sin()3f x x π=-的图象为C ，有如下结论：①图象C 关于直线56x π=对称；②图象C 关于点4(,0)3π对称；③函数)(x f 在区间5[,]36ππ内是增函数，其中正确的结论序号是 ．(写出所有正确结论的序号)（14）数列{a n }的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若nn a a =(0)a ≠， 则位于第10行的第8列的项等于 ，2013a 在图中位于 ．（填第几行的第几列）三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且sin cos b A B =． （Ⅰ）求角B ；（Ⅱ）若b =ac 的最大值．（16）（本小题共14分）如图，已知AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ，F 为BC 的中点，若12AB AC AD CE ===．（Ⅰ）求证：//AF 平面BDE ；（Ⅱ）求证：平面BDE ⊥平面BCE ．（17）（本小题共13分）为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表：（Ⅰ）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？（Ⅱ）若245x ≥，245y ≥，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率．（18）（本小题共14分）已知函数()ln (1)f x m x m x =+- ()m ∈R ．（Ⅰ）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）讨论()f x 的单调性；（III ）若()f x 存在最大值M ，且0M >，求m 的取值范围．A BCDEF（19）（本小题共13分）已知椭圆C ：22221x y a b +=(0)a b >>的两个焦点分别为1F ，2F .（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）M ，N ，P ，Q 是椭圆C 上的四个不同的点，两条都不和x 轴垂直的直线MN 和PQ 分别过点1F ，2F ，且这两条直线互相垂直，求证：11||||MN PQ +为定值.（20）（本小题共13分）设A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作：12(,,,,,)i n A a a a a = .其中i a (1,2,,)i n = 称为数组A 的“元”，i 称为i a 的下标. 如果数组S 中的每个“元”都是来自 数组A 中不同下标的“元”，则称S 为A 的子数组.定义两个数组12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n B b b b = 的关系数为1122(,)n n C A B a b a b a b =+++ .（Ⅰ）若11(,)22A =-，(1,1,2,3)B =-，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求(,)C A S 的最大值；（Ⅱ）若(333A =，(0,,,)B a b c =，且2221a b c ++=，S 为B 的含有三个“元”的子数组，求(,)C A S 的最大值.北京市东城区2012-2013学年度第二学期高三综合练习（一）数学参考答案（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）C （3）C （4）A （5）C （6）D （7）A （8）A 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9）1i -+ （10）84 2 （11）2，2 （12）14（13）①②③ （14）89a 第45行的第77列 注：两个空的填空题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分）解：（Ⅰ）因为sin cos b A B =，由正弦定理可得sin sin cos B A A B =， 因为在△ABC 中，sin 0A ≠，所以tan B =又0B <<π，所以3B π=. （Ⅱ）由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-，因为3B π=，b = 所以2212a c ac =+-.因为222a c ac +≥，所以12ac ≤.当且仅当a c ==ac 取得最大值12. （16）（共14分）证明：（Ⅰ）取BE 的中点G ，连结GF ，GD .因为F 是BC 的中点，则GF 为△BCE 的中位线．所以//GF EC ，12GF CE =． 因为AD ⊥平面ABC ，CE ⊥平面ABC ， 所以////GF EC AD ．又因为12AD CE =，所以GF AD =．所以四边形GFAD 为平行四边形． 所以//AF DG ．因为DG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以//AF 平面BDE ．（Ⅱ）因为AB AC =，F 为BC 的中点，所以AF BC ⊥．ABCDEFG因为//EC GF ，EC ⊥平面ABC ，所以GF ⊥平面ABC ．又AF ⊂平面ABC ，所以GF AF ⊥．因为GF BC F = ，所以AF ⊥平面BCE ． 因为//AF DG ，所以DG ⊥平面BCE ．又DG ⊂平面BDE ， 所以平面BDE ⊥平面BCE ． （17）（共13分）解：（Ⅰ）由表可知，优秀等级的学生人数为：2000(380373370377x y +=-+++=． 因为80500202000⨯=， 故在优秀等级的学生中应抽取20份．（Ⅱ）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件A ． 因为500x y +=，245x ≥，245y ≥，且x ，y 为正整数， 所以数组(,)x y 的可能取值为：(245,255，(246,254)，(247,253)，…，(255,245)，共11个． 其中满足x y >的数组(,)x y 的所有可能取值为：(255,245)，(254,246)，(253,247)，(252,248)，(251,249)共5个，即事件A 包含的基本事件数为5． 所以5()11P A =． 故优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为511． （18）（共14分）解：（Ⅰ）当2m =时，()2ln f x x x =+．22()1x f x x x+'=+=． 所以(1)3f '=． 又(1)1f =，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是13(1)y x -=-， 即320x y --=．（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，(1)()1m m x m f x m x x-+'=+-=． 当0m ≤时，由0x >知()10mf x m x '=+-<恒成立，此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递减． 当m ≥1时，由0x >知()10mf x m x'=+->恒成立， 此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．当01m <<时，由()0f x '>，得1m x m <-，由()0f x '<，得1mx m>-， 此时()f x 在区间(0,)1m m -内单调递增，在区间(,)1m m+∞-内单调递减． （III ）由（Ⅱ）知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，当0m ≤或m ≥1时，()f x 在区间(0,)+∞上单调，此时函数()f x 无最大值． 当01m <<时，()f x 在区间(0,)1m m -内单调递增，在区间(,)1mm+∞-内单调递减， 所以当01m <<时函数()f x 有最大值．最大值()ln 11m mM f m m m m==---． 因为0M >，所以有ln 01m m m m ->-，解之得e1e m >+． 所以m 的取值范围是e(,1)1e+． （19）（共13分）（Ⅰ）解：由已知2c e a ==，所以222222112b a c e a a -==-=.所以222a b =. 所以C ：222212x y b b +=，即22222x y b +=. 因为椭圆C过点，得24b =， 28a =. 所以椭圆C 的方程为22184x y +=. （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知椭圆C 的焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F . 根据题意， 可设直线MN 的方程为(2)y k x =+，由于直线MN 与直线PQ 互相垂直，则直线PQ 的方程为1(2)y x k=--. 设11(,)M x y ，22(,)N x y .由方程组22(2),184y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消y 得 2222(21)8880k x k x k +++-=.则 21228,21k x x k -+=+21228821k x x k -=+.所以MN =22)21k k ++.同理可得PQ =22)2k k ++.所以11||||MN PQ +2=22==（20）（共13分）解：（Ⅰ）依据题意，当)3,1(-=S 时，(,)C A S 取得最大值为2．（Ⅱ）①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中c b a ,,三个“元”的对称性，可以只计算(,))C A S a b =+的最大值，其中1222=++c b a ． 由22222222()22()2()2a b a b ab a b a b c +=++≤+≤++=，得 a b ≤+≤当且仅当0c =，且a b ==b a +于是(,))C A S a b =+=．②当0不是S 中的“元”时，计算(,))3C A S a b c =++的最大值， 由于1222=++c b a ，所以bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++． 3)(3222=++≤c b a ， 当且仅当c b a ==时，等号成立．即当33===c b a 时，c b a ++(,))13C A S a b c =++=．综上所述，(,)C A S 的最大值为1．。