1.振动及摆动

➢竖直悬挂的弹簧振子
以弹簧原长处为重力势能、弹性势能零点
以平衡位置为坐标原点
k
EP=0 x0
k
m
mg-kx0=0
k
O
x
x
Ep
1 2
k(x
x0 )2
mg(x
x0)
)
1 2
k(x
x0
)2
kx0
(x
x0
)
1 2
kx2
1 2
kx02
E EP
EK
(1 2
k x2
1 2
mv
2
)
1 2
k x02
1 2
kA2
证明：设物体以的角速度作匀
速圆周运动，初始时刻的位置与
x轴夹角为 ，则任意时刻t物体
在x轴上的位移为
v
A
x
x
x Acos(t )
由简谐振动定义3，匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动
讨论：正因为在圆周运动中代表物体运动的角速度，因此， 简谐振动运动学方程中的称为简谐振动的角速度或角频率 (代表2秒内物体完成完全振动的次数)。代表物体振动的快慢
m
A
0
x
o
简谐振动可以用旋转矢量来描绘 t=0时刻, 投影点位移 x0 Acos 在任意时刻, 投影点的位移
x Acos(t )
旋转矢量 A 与谐振动的对应关系（教材 P.378 表13.1.2）
旋转矢量
A
模
角速度 t=0时，A与ox夹角
旋转周期 t时刻，A与ox夹角
r A 在ox 上的投影 r A 端点速度在ox 上的投影
世界本质是非线性的，因而才表现出如此的 丰富多彩和无限的复杂性。
四、混沌
决定性动力学系统中出现的貌似随机的运动。
运动方程是完全确定的（非线性微分方程） 由方程自身演化出来，在一定条件下行为不完全 确定（内在随机性）取决于初始条件的细微差别
二、混沌现象
（一）湍流
(1)雷诺实验
互不混杂的层流
流速达一定值
(3) 可以方便地比较同频率谐振动的步调
2
1
0 0
x2振动超前 x1
x2振动落后 x1
初相：0
描述t = 0时刻运动状态，由初始条件确定。
由 t = 0时
x Acos
0
0
v0 A sin0
0
arctg(
v0
x0
)
或
cos 0
x 0
A
sin v0 0 A
由 cos 0大小和s in 0的符号决定 0
A v0
x0 0 t0
t
sin0 0
0
arccos x0 A
为四象限角
(2) 与标准余弦函数比较
t 0
2
t
0
T
0
三. 旋转矢量法(几何表示方法)
思考： 写出质点 m 以角速率 沿半径 A 的圆周匀速运动
的参数方程
y
x Acos(t 0 ) y Asin(t 0 ) x、y 方向分运动均为简谐振动
F=-kx 准弹性力
系统本身决定的常数
2. 运动方程
F k x F m d2 x
dt2
d2 x dt2
k m
x
0
令 k 2 得
m
* d2 dt
x
2
2
x
0
线性微分方程
求解得运动方程：
x Acos(t 0 ) A,0 为积分常数
x可代表任意物理量
若某物理量满足*，则其运动方程可用时间 t 的正、 余弦函数形式描述，该物理量的变化称为简谐振动。
t m in
1T 6
0.5 s
利用旋转矢量法作 x-t 图:
x
x(cm)
t=0
tT A
12
O
tT
6
tT O
2
t(s)
T
四. 孤立谐振动系统的能量
不计振动传播带来的能量损失 —— 辐射阻尼
不计摩擦产生的热损耗 —— 摩擦阻尼
➢水平放置的弹簧振子
以平衡位置为坐标原点
{ x Acos(t 0)
v A sin(t 0)
3.
x,
dx, dt
d2 x dt2
均随时间周期性变化
由 x Acos( t 0 ) 得
v
dx dt
A
sin(t
0 )
a
d2 x dt2
A 2
cos(t
0 )
0
二. 简谐振动的特征量
1. 角频率 : k m 描述谐振运动的快慢
是由系统本身决定的常数，与初始条件无关
由谐振动周期性特征看 的物理意义: 固有角频率
A | xmax |
表示振动的范围（强弱），由初始条件决定。
由
x Acos( t 0 )
v A sin( t 0 )
在 t = 0 时刻
x Acos
0
0
v0 A sin0
解得
A
x2 0
v2 0
2
x2
v2
2
*3. 相位t + 0, 初相0
相位是描述振动状态的物理量
(1) ( t 0 )与状态参量 x，v有一一对应的关系
r A 端点加速度在ox 上的投影
简谐振动 符号或表达式
振幅
A
角频率
初相
0
振动周期 T=2/
相位
t+ 0
位移Biblioteka Baidu
x =Acos(t+ 0)
速度
v =- Asin(t+ 0)
加速度 a =- 2Acos(t+ 0)
直观地表达谐振动的各特征量
旋转矢量法优点： 便于解题, 特别是确定初相位
便于振动合成
当 很小时 sin
d 2
dt 2
2
0
运动 方程：
m
cos(
t
)
角谐振动
周期：T 2 2 J
mgh
由初始条件决定 由小角度摆动都是谐振动，可推广到
一切微振动均可用谐振动模型处理。例如晶体中原子 或离子在晶格点平衡位置附近的振动。
大角度摆动不是谐振动！
大多数非线性系统都会出现“混沌”现象。
非线性系统（描述系统运动状态的方程为非线性方程）， 当其非线性程度足够高时，系统出现混沌状态。
注意： 只要以平衡位置为坐标原点和零势点
Ep
1 2
kx2
准弹性势能: （包括重力势能、弹性势能）
E 1 kA2 2
振动系统总能量
• 能量法求谐振动的振幅和周期
自学 教材 P.381 [例6] [例7]
§13.2 摆动 混沌现象
研究摆动的理想模型 —— 单摆和复摆 一、单摆：无伸长的轻线下悬挂质点作无阻尼摆动
d 2
dt 2
2
0
角谐振动
运动 方程：
m
cos(
t
)
周期：
T 2 2 l
由初始条件决定
g
二、复摆：绕不通过质心的光滑水平轴摆动的刚体
由刚体定轴转动定律
M J
mgh sin
J
d2
dt 2
d2
dt 2
mgh J
sin
0
o
h
C
J
令 2 mgh
J
mg
d2
dt 2
2 sin
0
—— 复摆运动的微分方程也是非线性微分方程
x Acos(t 0 ); v A sin(t 0 )
例：
当t
0
3
时：
x A, 2
v 3 A
2
质点在x A 2处以速率v向 x方向运动
当
t
0
5
3
时：
x A, 2
v 3 A
2
质点在x A 2处以速率v向 x方向运动
(2) (t 0 )每变化 2 整数倍，x、v重复
原来的值（回到原状态），最能直观、方便地 反映出谐振动的周期性特征。
同学们好！
k
本学期教学内容及特点
基 实物运动规律 本 粒 子 相互作用和场
振动 与
波动
量子现象 与
量子规律
多粒子 体系的 热运 动
实物与场的共同运动形式和性质 单粒子 —— 多粒子体系 ➢ 物理概念、物理思想深化 ➢ 更加贴近物理前沿和高新科技 ➢ 对自学能力的要求提高
第四篇 振动和波动
共同特征：运动在时间、空间上的周期性
问题：混沌系统状态有何特征？如何描述?
混沌运动的特点：
（1）非定点、非周期运动—运动具有不确定性； （2）不确定性来自于系统自身—内禀随机性； （3）由内禀随机性引起的不确定性运动—混沌运动； （4）混沌运动的初值敏感依赖性—蝴蝶效应。
gh
v0
0 2
得： A
x2 0
v2 0
2
m2 g 2 mgh mg
k2
k
k
1 kh mg
又：
cos0
x0 A
0
v0 A sin 0 0
} 0
为三象限角
sin 0 0
0
arctg( v0
x0
)
arctg
kh
mg
[例2] 由振动曲线决定初相
x
(1)
cos0
x 0
A
0
v0 A sin0 0
m
此式表明，在平衡位置处，x = 0, 速度为最大；在 最大位移处，x = A, 速度为零。
由以上两式可见，当位移最大时，速度为零，动能也 为零，而势能达到最大值；当在平衡位置时，势能为 零，而速度为最大值，所以动能也达到最大值。
E-t 曲线
E - x 曲线
Ek , Ep变化频率为 x 的2倍 Ek , Ep彼此变化步调相反
•振动: 任何物理量在某一定值附近随时间周期性变化
•波动: 振动在空间的传播
摆动
*混沌
阻尼振动 受迫振动
共振
简谐振 动
*电磁振荡
振动的 合成
*频谱 分析
学时：6
第13章 振 动
一物理量在某一定值附近周期性变化的现象称振动。
力学量（如位移） 电磁量（如I 、V、 E、 B） 最基本、 最简单、最重要的振动是简谐振动。
x(t T ) x(t)
Acos[ (t T ) 0 ] Acos( t 0 ) (t T ) 0 t 0 2
T 2 周期
1 频率 T 2
在SI制中, 单位分别为 周期 S (秒)、频率 Hz (赫 兹)、角频率 rad·s-1 (弧度 / 秒)
2. 振幅A ：
n
l
N
m
mg
建立如图自然坐标
受力分析如图 切向运动方程
F ma ml
mg sin
ml
d2
dt2
d2
dt 2
g sin
l
0
d 2
dt 2
g l
s in
0
令 2 g l 得：
d2
dt2
2
sin
0
sin 3 5
3! 5!
单摆运动的微分方程
非线性微分方程 无解析解
当 很小时 sin
§13.1 简谐振动
一. 运动方程 1. 理想模型：弹簧振子
轻弹簧 k + 刚体 m (平动~质点） 集中弹性 集中惯性 回复力和物体惯性交互作用形成谐振动 F = -kx (平衡位置为坐标原点）
扩展: 以弹簧振子为例得出普遍结论：
动力学特征 F kx
下册 P.373 [例1]
离系统平衡位置的位移
[例1] 教材P.410 13-8
已知： k. m. h. 完全非弹性碰撞
求： T, A, 0
解：振动系统为（2 m, k)
k, 2m
T 2
2m k
以平衡位置为坐标原点，向下为正。
m
m
x0
o
h
v0
t 0
k
x
确定初始条件：以物块和平板共同运动时刻为t = 0
{ 有：
x0
mg k
0
m 2gh 2mv0
由x、v
的符号确定
A
所在的象限：
练习 教材P.410 13-6
已知： A = 24cm, T = 3s, t = 0时 x0 12cm, v0 0,
求：质点运动到 x = -12 cm处所需最短时间。
解：作t = 0时刻的旋转矢量 A0
作x = -12cm处的旋转矢量
A
A
A0
-12 o 12 24 x(cm)
x
0.5
o
0.5
x2 1的迭代
5
10 15 20 25 30
迭代次数
1.0
问题： 什么样的系统会出现混沌现象？
非线性系统（描述系统运动状态的方程为 非线性方程），当其非线性程度足够高时，系 统将出现混沌状态。
混沌是决定性动力学系统中出现的一种貌似随 机的运动。“决定性”是指描述系统运动状态的 方程和初始条件都是确定的，因此行为也应确定。
Εp
1 2
kx 2
1 kA2 cos2 (
2
t
0 )
Ek
1 2
mv2
1 2
mA2 2
sin2 (
t
0 )
1 2
k A2
sin2 ( t
0 )
E
Ep
Ek
1 kA2 2
恒量
孤立谐振动系统机械能守恒
由公式
E 1 mv 2 1 k x 2 1 kA2
2
2
2
得 v k ( A2 x2 ) A2 x2
1 2
kx02
恒量
恰当选择零势点，可去掉第二项。 如何选？以平衡位置为坐标原点和势能零点
k k
EP 0 x0 m
mg-kx0=0
k
O
x
Ep
1 2
k(x
x0
)2
mgx
1 2
k x02
1 2
k
(
x
x0
)2
k x0
x
1 2
k x02
1 kx2 2
x
E
Ek
Ep
1 2
mv2
1 2
k x2
1 2
k A2
简谐振动1：物体所受回复力与位移之间的关系满足 F kx 称物体所作的运动为简谐振动
简谐振动2：如果物体的动力学方程可以写为
d2x dt 2
2
x
称物体所作的运动为简谐振动
简谐振动3：如果物体的运动学方程可以写为 x Acos(t ) 称物体所作的运动为简谐振动
例：证明匀速圆周运动在x轴上的分量是一简谐振动
湍流
（2）燃烧烟柱的湍流
（3）木星上的大气湍流
木星大红斑
➢（二）洛仑兹水轮
水轮顶端有水流恒定的冲下来，注入挂在轮边缘的 水桶中。每只桶底部均有一小孔能恒定的漏水。
➢（三）滴水龙头
混 沌 现 象
水流速较高时，滴水间隔时间出现混沌。
➢（四)计算机迭代
迭代指重复一系列运算操作而逐次得到愈来愈接近结果的过 程。非线性方程一般无解析通解，常用迭代法获得数值解。