有理数域上的不可约多项式

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有理数域不可约判别法

有理数域不可约判别法
有理数域不可约判别法是指，在有理数域中，对于一个多项式$f(x)$，如果它不能分解为两个次数较低的多项式的乘积，则称$f(x)$在有理数域中是不可约的。

判断一个多项式是否在有理数域中不可约，可以使用以下方法：
1. 欧几里得算法：将多项式$f(x)$除以$x-a$，如果余数为0，则$x-a$是$f(x)$的一个因子。

重复这个过程直到无法继续除下去。

如果最后得到的余数是常数项，则$x-a$是$f(x)$的一个根。

如果最后得到的余数不是常数项，则$x-a$不是$f(x)$的因子。

2. 整除定理：如果$a$是多项式$f(x)$的一个根，则$(x-a)$一定是
$f(x)$的因子。

可以使用这个定理来判断多项式是否有有理根。

3. Eisenstein判别法：设多项式$f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-
1}+\cdots+a_0$，其中$a_i\in\mathbb{Z}$且$a_n\neq 0$。

如果存在一个质数$p$使得$p|a_i(i=0,1,\cdots,n-1),p\nmid a_n,p^2\nmid a_0$且$p|a_{n-1}$，则$f(x)$在$\mathbb{Q}$中不可约。

以上三种方法都可以用来判断多项式是否在有理数域中不可约，但是具体使用哪种方法需要根据多项式的形式和系数来决定。

不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解

不可约多项式的判定及应用摘要多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2. 不可约多项式的概念及性质2.1 整除的概念设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得()()()()f x q x g x r x =+成立，其中(())(())r x g x ∂<∂或者()0r x =，并且这样的()q x ，()r x 是唯一决定的。

定义2.1 数域P 上的多项式()g x 称为能整除()f x ，如果有数域P 上的多项式()h x 使等式()f x =()()g x h x成立，我们用“()g x |()f x ”表示()g x 整除()f x ，用“()g x ()f x ”表示()g x 不能整除()f x 。

定理 2.1[1] 对于数域P 上的任意两个多项式()f x ,()g x ,其中()g x 0≠,()g x |()f x 的充分必要条件是()g x 除()f x 的余式为零。

证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。

反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。

注1: 带余除法中()g x 必须不为零。

下面介绍整除性的几个常用性质:（1）如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。

有理数域上不可约多项式

第七章多项式环
§7.8 有理数域上的不可约多项式
高等代数课件--天津科技大学理学院高等代数精品课程教研小组
本节讨论有理数域上多项式的可约性，以及如何求Q上多项式的有理根，由于 f x 与 cf x 在 Q x 上的可约性相同。因此讨论 f x 在Q上的可约
性可转化为求整系数多项式在Q上的可约性。一、整系数多项式的可约性定义1（本原多项式）：若整系数多项式 f x 的系数互素，则称 f x 是一个本原多项式。例如：f x 3x2 6x 4, g x 5x2 1 是本原多项式。本原多项式的加、减运算所得的未必是本原多项式，但相乘之后必是本原多项式。
都是本原多项式
f x g x c0 c1x
p ck , k 1,2,
ci j xi j
cmn xmn .
若 f x g x 不是本原多项式，则存在素数p，使
, m n, 由于 f x , g x 都是本原多
项式，故 f x 的系数不能都被p整除，g x 的系数也不能被p整除，
n 即 g x g1 x r g1 x . m
提出来， mg x ng1 x , g1 x 是本原多项式，
同理，存在有理数S，使 h x sh1 x , h1 x 也是本原多项式，
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但两者不能同时成立。

p2
a0
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不妨设 p b0 但 p 由于 an bk cl ，由 p
c0 。
an 知 g x 的系数不能都被p

关于对整系数多项式在有理数域内不可约问题的研究

在有理数域上不可约的充分必要条件是，（ａｘ＋６）
在有理数域上不可约．
２主要结果
定理２设）为一个有理系数多项式，
ｇ（ｘ）为任意次数大于等于ｌ有理系数多项式，则）在有理数域上可约的充分必要条件是ｇ（））在有理数域上可约．证充分性
（，（ｇ（）））＞
（ｇ（））），（（ｇ（）））
由于ｇ（戈）为任意次数大于等于１有理系数多
项式，取ｇ（ｘ）＝，从而有厂（）＝（ｘ）Ａ（），易知））＞（（）），（（））．综上数域上可约．）在有理
个整系数多项式．且）没有有理根，如果ｂ，ｃ，证假设）在有理数域上是可约的，由已
厂（）＝（ｘ）Ａ（）其中（厂（））＞（（）），（（）），将换成ｇ（ｘ）可得ｇ（ｘ））＝
第３３卷第１期
２０１５年Ｏ１月
佳木斯大学学报（自然科学版）
ＪｏｕｎａｒｌｏｆＪｉａｍｕｓｉＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）
１预备知识
定理Ｉ …（Ｅｉｓｅｎｓｔｅｉｎ判别法）设）＝ａｎｘ “
＋ａｎ
＿

多项式在有理数域上不可约判定，

第21卷第1期湖南理工学院学报(自然科学版) Vol.21 No.12008年3月 Journal of Hunan Institute of Science and Technology (Natural Sciences) Mar. 2008有理数域上的一类不可约多项式张卫，史滋福(湖南师范大学数学与计算机科学学院，长沙 410081)摘要: 首先介绍了判别有理数域上多项式不可约的常用结论，讨论了形如12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"的多项式的性质，并且得到了定理：若，6n >()0x ϕ>且它的次数小于的一半，则n 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"在Q 上不可约.关键词: 有理数域; 不可约多项式; 次数中图分类号：O151.23 文献标识码：A 文章编号: 1672-5298(2008)01-0005-03A Class Irreducible Polynomials on Rational Number FieldZHANG Wei , SHI Zi-fu(Department of Mathematics, Hunan Normal University, Changsha 410081, China)Abstract: Some common results which used to decide a polynomial on rational number field irreducible are explained in this paper. Some properties of polynomial such as 12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−+"are discussed and some theorem is obtained if ，6n >()0x ϕ>and the degree of ()x ϕ is less than a half of ,then n ()f x is irreducible on rational number field.Key words: rational number field; irreducible polynomial; degree研究数域上不可约多项式就如研究整数中的素数一样重要. 如果F 是代数闭域，则F 上的不可约多项式就是全体的一次多项式，而在素域F 上的不可约多项式研究却是一个复杂的工作. 在我们熟悉的有理数域Q 上，存在着任意次的不可约多项式. 到目前为止，在有理数域Q 上，判断多项式不可约的方法主要有以下几类:Ⅰ 通过多项式的系数与某素数的整除关系来判定不可约，如Eisenstein 判别法及其推广形式[1][2]. Ⅱ 通过多项式的系数与某素数的大小关系来判定不可约，如命题1[3]设是一个素数，且整数适合p 12,,,n a a a "10nk k a =p <<∑，则多项式212()n n f x p a x a x a x =++++"在Q 上不可约.Ⅲ 将多项式作为函数所得到的一些特殊取值来判定不可约，如命题2[4] 若整系数多项式()f x 对于无限个整数值x ，其函数值()f x 都是素数，那么多项式()f x 在Q 上不可约.Ⅳ 通过辅助多项式的根的取值来判定不可约，如命题3[5] 设是n 个两两不同的整数，那么多项式12,,,n a a a "1()()1ni i f x x a ==−−∏在Q 上不可约.本文给出一类可以通过的多项式的次数或者多项式在某点的取值来进行判定的不可约多项式.收稿日期：2007-12-20 基金项目: 湖南省自然科学基金项目(04JJ40003) 作者简介：张卫(1963− ), 男，江西赣州人，博士，湖南师范大学讲师. 主要研究方向: 多项式代数和环论命题4[5]设是n (n ≥2)个两两不同的整数，如果多项式12,,,a a a "n 1()()1ni i f x x a ==−+∏在Q 上可约，则n 是一个偶数.引理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上可约，则存在整系数多项式h x ，使得()2()()f x h x =.证明因为n ，对于任何整数3≥0x ，或者()201020()()0n x a x a x a −−="或者−2201020010203()()()()()()n x a x a x a x a x a x a −−−≥−−−"2≥,所以，因此0()0f x ≠()f x 没有一次有理因式.现设()()()f x g x h x =是()f x 的真因式分解，其中()g x 与都是整系数多项式，且()h x ()g x 与的次数都小于，令()h x n ()()()x g x h x ϕ=−，由()1i f a =,()()1i i g a h a ==±，于是()0,1,2,,i a i n ϕ==".如果()0x ϕ≠，则必有deg(())x n ϕ<，这是不可能的，所以()0x ϕ=. 因此()()g x h x =，即有2()()f x h x =. 由引理1立即可得.定理1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，则当是偶数时，多项式12,,,n a a a "n 212()()()()1n f x x a x a x a =−−−"+在Q 上不可约.定理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+".若存在0x , 使得，则0()0f x <()f x 在Q 上不可约.引理2 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".若()f x 有真因式()g x ，则()g x 的次数至少是的一半.n 证明设()()()f x g x h x =，且deg(())g x <[2n]，由于()1,1,2,,i f a i n =="，所以, ，于是()1i g a =±1,2,,i n ="()g x 至少在[个点恒取值]deg(())12ng x ≥+1+或者1−，此时()g x 是常数，矛盾.推论1 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，若多项式12,,,n a a a "222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+""有真因式()g x ，则()g x 的次数deg(())[]2ng x r n ≤+−.引理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数， 12,,,n a a a "[]2nr <，且222121()()()()()()1r r n f x x a x a x a x a x a +=−−−−−+"".如果()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()f x h x =.证明设()f x 的真因式分解()()()f x g x h x =，(),()g x h x 都是整系数多项式，且次数[]2n deg(()),deg(())g x h x r n ≤≤+−[]2n . 令()()()x g x h x ϕ=−，和引理1相仿，由于也有deg(())x n ϕ<，所以()0x ϕ=，即2()()f x h x =.类似地可以证明引理4设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+ 6 湖南理工学院学报(自然科学版) 第21卷.第1期张卫等：有理数域上的一类不可约多项式 7如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()f x 在Q 上可约，则一定存在整系数多项式，使得()h x 2()()=f x h x .定理3 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且 deg(())x n ϕ+是奇数，则()f x 在Q 上不可约.定理4 设是n (n ≥3)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+.如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且存在实数0x ，使得0()0f x <，则()f x 在Q 上不可约.定理5 设是n (n >6)个两两不同的整数，且12,,,n a a a "12()()()()()1n f x x x a x a x a ϕ=−−−"+，如果deg(())[]2nr x ϕ=<，且()0x ϕ=没有有理根，则()f x 在Q 上不可约.证明不妨设，令12n a a a <<<"012n x a =−，因为0()0x ϕ≠，所以01()2r x ϕ≥，从而0001010()()()()()1ϕ−=−−−+"n n f x x x a x a x a <123311()()()()122222124211()()()(122222−⋅⋅⋅⋅⋅−+<−⋅⋅⋅⋅⋅−+""r r n n =222((2)!122−++−−⋅−+=−+n n r r n n 2)!1>. 因为当n 时，62deg(())[]log (2)!22nr x ，所以n ϕ=<<−−0()0f x <，再由定理4即得定理5.鉴于在定理证明中关于()x ϕ其实只利用了01()2r x ϕ≥，所以有推论2 若, 且，那么212()()()()1n f x x a x a x a =−−−+"6n >()f x 在Q 上不可约.最后提出两个问题作为本文的结束. 问题1 定理5在的时候是否也成立？6n =问题2 推论2中由于()x ϕ的次数仅等于1，是否的条件可以去掉？ 6n >参考文献[1] 张海山. Eisenstein 判别法的推广[J]. 首都师范大学学报(自然科学版), 2001，22(3):13~15 [2] 陈侠. 关于整系数不可约多项式[J]. 沈阳航空工业学院学报, 2004，21(1): 77~78 [3] 冯克勤，余红兵. 整数与多项式[M]. 北京: 高等教育出版社, 1999: 138~142[4] 黎伯堂，刘桂真. 高等代数解题技巧与方法[M]. 济南: 山东科学技术出版社, 1999:154~171 [5] 王品超. 高等代数新方法[M]. 济南: 山东教育出版社, 1989: 11~44李克安教授被评为第三届湖南省“双十佳期刊编辑”为了进一步加强编辑队伍建设，鼓励期刊出版行业出人才，出好人才，繁荣和发展期刊出版事业，中共湖南省委宣传部、湖南省新闻出版局联合组织评选了第三届湖南省“双十佳期刊编辑”。

2.有限域上的不可约多项式有限域上的不可约多项式

3.域扩域,代数元求 3 5 在有理数域上的极小多项式. 4.根域确定根域,及扩张次数有限域的根域存在性,唯一性证明方法重根与形式微商 Zp上n次不可约多项式根域
Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是什么？定理:Zp上的n次不可约多项式f(x)的根域是GF(pn)=Zp()
定理 2( 艾森斯坦 (Eisenstein) 判别法 ) ：设 f(x)=a0+a1x+…+anxn 是整系数多项式，若能找到一个素数p，使得 (1)p不能整除an； (2)p|a0,a1,┅,an-1； (3)p2不能整除a0；那么，f(x)在有理数域上不可约。 1.证明2xn+9x2+6(n>2)是有理数域上的不可约多项式。 p=3
艾森斯坦判别法是充分条件，不满足定理2的多项式，不一定就可约。如x2+3x+2和x2+1，都不满足定理2条件，前者在有理数域上可约，后者不可约。
2.有限域上的不可约多项式有限域上的不可约多项式，最直观的就是将域上所有n次多项式按次数列成表，次数小的在前面，大的在后，次数相等的按某种规定排列先后，排在最前面的多项式就是不可约的，把它圈出来，再把该多项式倍式的多项式从表中划去。剩下没有圈和划去的多项式中排在最前的就是不可约的，重复这一过程即可，但当n适当大时，工作量就很大。
如何判别一个多项式不可约，并没有一个行之有效的方法 1.在无限数域上的不可约多项式问题复数域上的任何多项式都是可约的。实数域上任何多项式，根据复根共轭的性质，知道实数域上只有2次不可约多项式。有理数域，存在任意次不可约多项式。

有理系数多项式

§9有理系数多项式一. 引入1) 在复数域上只有一次多项式才是不可约的。

2) 在实数域上不可约多项式只有一次的和某些二次的。

对于有理数域1) 每个次数≥1的有理系数多项式都能唯一地分解成不可约的有理系数多项式的乘积2) 要具体地作出它的分解式是一个很复杂的问题，3) 要判别一个有理系数多项式是否可约也不是一个容易解决的问题。

4) 可以归结为整(数)系数多项式的因式分解问题，并进而解决求有理系数多项式的有理根的问题。

5) 在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式。

问题：如何判断Q 上多项式的不可约性呢? 有理系数多项式可归结为整系数多项式的问题．设110()n n n n f x a x a x a --=+++，则i ）可选取适当整数c ，使()cf x 为整系数多项式．Ii ）若()cf x 的各项系数有公因子，提出来，得 ()()cf x dg x =，即()()df xg x c=，其中()g x 是整系数多项式，且各项系数没有异于1±的公因子．如 4242222()2(5153)3515f x x x x x x x =--=-- 二．本原多项式1．定义：设 1110()0n n n n g x b x b x b x b --=++++≠，,0,1,2.i b Z i n ∈=若110,,n n b b b b -没有异于1±的公因子，即110,,n n b b b b -是互素的，则称()g x 为本原多项式．２．有关性质1) ()[],f x Q x r Q ∀∈∃∈，使()()f x rg x =，其中()g x 为本原多项式（除了相差一个正负号外，这种表示法是唯一的）．2) 定理10 （Gauss 引理）两个本原多项式的积仍是本原多项式．证：设 110()n n n n f x a x a x a --=+++，110()m m m m g x b x b x b --=+++是两个本原多项式．而110()()()n m n m n m n m h x f x g x d x d x d ++-++-==+++，反证法，若()h x 不是本原的，则存在素数p ，|,0,1,.r p d r n m =+又()f x 是本原多项式，所以p 不能整除()f x 的每一个系数，令i a 为01,n a a a 中第一个不能被p 整除的数，即11|,.||,i i p a p a p a -同理，()g x 本原，令j b 为0m b b 中第一个不能被p 整除的数，即011|,|,||,.j j p b p b p b p b -又11i j i j i j d a b a b ++-=++，这里11||,,|i j i j i j p d p a b p a b ++-，矛盾．二. 整系数多项式的因式分解定理11 若一非零的整系数多项式可分解成两个次数较低的有理系数多项式，则它一定可分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积．证：设整系数多项式()f x 有分解式()()()f x g x h x =，其中 (),()[]g x h x Q x ∈，且()()()(),()()g x h x f x ∂∂<∂．令 1()()f x af x =，1()()g x rg x =，1()()h x sh x =这里，111(),(),()f x g x h x 皆为本原多项式，,,a Z r s Q ∈∈，于是 111()()()af x rsg x h x =⇒由定理10，11()()g x h x 本原，从而有rs a =±即 rs Z ∈，()11()()()f x rsg x h x ∴=．得证．推论：1）(),()f x g x 是整系数多项式，2）()g x 是本原的， 3）()()(),()[],f x g x h x h x Q x =∈则()h x 必为整系数多项式．证：令1111()(),()(),,,(),()f x af x h x ch x a Z c Q f x h x ==∈∈本原⇒111()()()()()af x g x ch x cg x h x ==c a ⇒=±⇒,c Z ∈1()()h x ch x ∴=为整系数．定理12 设1110()n n n n f x a x a x a x a --=++++是一个整系数多项式，而rs是它的一个有理根，其中,r s 是互素的，则必有0|,|.n s a r a 证：()rf x s 是的有理根，∴在有理数域上，()|()rx f x s-从而 ()|(),sx r f x -，又,r s 互素，sx r ∴-本原．由上推论，有1110()()(),,0,1,, 1.n n i f x sx r b x b x b b Z i n --=-+++∈=-．比较两端系数，得 10,n n a sb a rb -==-．所以， 0|,|n s a r a（注意：定理12是判断整系数多项式有理根的一个必要条件，而非充分条件．)例１求方程432230x x x -+-=的有理根，解：可能有理根为131,3,,22±±±±，用综合除法可知，只有1为根．例2 证明3()51f x x x =-+在Q 上不可约．证：若()f x 可约，它至少有一个一次因子，也即有一个有理根，但()f x 的有理根只可能是1±，而(1)3,(1)5f f =--=，所以()f x 不可约．定理13 艾森斯坦因Eisenstein 判别法设 1110(),,0,1,,n n n n i f x a x a x a x a a Z i n --=++++∈=，若有一个素数p ，使得1)|n p a 1202)|,,,n n p a a a --023)|.p a则()f x 在有理数域上是不可约的．证：若()f x 在Q 上可约，由定理11． ()f x 可分解为两个次数较低的整系数多项式的积111010()()(),,,,,l l m m l l m m i j f x b x b x b c x c x c b c Z l m n l m n----=++++++∈<+= 000,.n l m a b c a b c ∴==0|p a ，∴ 0|p b 或0|p c ，又20|p a ，p ∴不能同时整除00,b c ．不妨设0|p b 但0|p c ．另一方面，|.n p a |,|.l m p b p c ∴假设01,l b b b 中第一个不能被p 整除的数为k b ，比较两端kx 的系数，得0110k k k k a b c b c b c -=+++式中10,k k a b b -皆能被p 整除，0|k p b c ∴，0||.k p b p c ⇒或矛盾．（注意： Eisenstein 判别法是判断不可约的充分条件非必要条件，所以有些多项式需作线性变换．）例３证明：2n x +在Q 上不可约．证：（令2p =即可）．(可见存在任意次数的不可约有理系数多项式) 例４证明：2()1f x x =+在Q 上不可约．证：作变换1x y =+，则2()22f x y y =++，取2p =，由Eisenstein 判别法知222y y ++在Ｑ上不可约，所以()f x 在Ｑ上不可约．例５判断23()12!3!!px x x f x x p =+++++在Q 上是否可约．解：令()!()g x p f x =21!!!!2(1)!p p p p p p x x x x p -=+++++-，则()g x 为整系数多项式．!!|1,|,,!(1)!(2)!p p p p p p p --,，但2|!p p ，()g x ∴在Q 上不可约，从而()f x 在Q 上不可约．说明：许多Q 上的不可约多项式都可经过适当线性代换或化整系数多项式后用等森斯坦因判别法判定它是否不可约，但是，也存在Q #上不可约多项式()=+∈≠都不能x ay b a b Q af x，无论作怎样的代换,(,,0)使()()+=满足爱森斯坦因判别法的条件，即找不到相应的素数f ay bg yp．如，3=++．()1f x x x但可用反证法：若()f x有有理f x可约，则必有一次因式，从而()根，但()=≠-=≠∴不可约．f f f xf x的有理根只能是1±，而(1)30,(1)10,()总结：不可约多项式的3种判断法：1. 艾森斯坦因Eisenstein判别法2.做变换后再用上法3.试根法小结：i）有理系数多项式与复系数、实系数多项式分解的区别，ⅱ）整系数多项式的分解法，有理系数多项式的分解法，ⅲ）不可约多项式的判定。

不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解

不可约多项式的判定及应用多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念.本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳，较为系统的给出不可约多项式 Perron 判别法、Browm 判别法等。

研究了各判定方法的等价和包含关系。

此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。

关键词不可约多项式；判定方法；应用2.不可约多项式的概念及性质2.1整除的概念设P 是一个数域，对于P[x]中任意两个多项式f(x)与g(x)，其中g(x)H0，定有P[x]中的多项式q(x)， r(x)存在，使得f(x) =q(x)g(x)+ r(x)成立，其中c(r(x))<c(g(x))或者r(x)=0,并且这样的q(x)，r(x)是唯一决定的。

定义2.1数域P 上的多项式g(x)称为能整除f(x)，如果有数域P 上的多项式h(x)使等式f (x) = g(x)h(x)我们用g(x)|f(x) ”表示g(x)整除f(x)，用g(x) f (x) ”表示g(x)不能整除 f (x)。

定理2.1⑴ 对于数域P 上的任意两个多项式f(x) , g(x),其中的判定方法。

对于一般的不可约多项式的判定有 Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、成立，H0, g(x) | f (x)的充分必要条件是g(x)除f (x)的余式为零。

证明：如果r(x) = 0那么f(x) = q(x)g(x),即g(x) | f (x)。

反过来，如果g(x) | f(x)，那么 f(x) = q(x)g(x) = q(x)g(x) +0, 即卩 r(x) = 0。

注1:带余除法中g(x)必须不为零。

F 面介绍整除性的几个常用性质：(1)如果 f(x) | g(x), g(x) | f (x)，那么 f(x)=cg(x)，其中 c 为非零常数。

(2)如果 f(x) | g(x), g(x) |h(x)，那么 f(x) | h(x)(整除的传递性)。

有理数域上多项式的可约性

并且设 f (x)g(x) c0 c1x ci j xi j cnm xnm. 如果 f (x)g(x) 不是本原多项式, 那么一定存在一个
素数p , 它能整除所有系数 c0 , c1,cmn .
由于f (x)和g (x)都是本原多项式,所以p不能整除f (x)
也必须被p整除. 但p是一个素数, 所以 bs与c0中至少
有一个被p整除. 这是一个矛盾.
二、有理数域上多项式的有理根
定理2.8.3
设 f (x) a0 x n a1x n1 an
是一个整系数多项式. 若是有理数 u 是f (x)的一个根,
这里u和v是互素的整数, 那么
v
(i) u整除f (x)的最高次项系数 a0 , 而 u整除f (x) 的常
(3)
f (x) (vx u)q1(x),
这里 q1(x) rf1(x) 是一个整系数多项式. 令
q1 (x) b0 x n1 b1x n2 bn1.
那么由(3)得 a0 xn an (vx u)(b0 xn1 bn1).
f (x) g1(x)g2 (x),
这里 g1(x)和g2 (x)都是有理数域上的次数小于n的多
项.
令g1(x)的系数的公分母是 b1 . 那么 g1(x)
这里 h(x) 是一个整系数多项式.

1 b1
h(x)
，
又令 h(x) 的系数的最大公因数是 a1. 那么
g1(x)
a1 b1
f1 ( x),
方面, q (x)可以写成
a q(x) b f1 (x),
这里
a b
是一个有理数
f1(x)而是一个本原多项式.

所有多项式都可以被因式分解吗

所有多项式都可以被因式分解吗
将一个多项式分解成不可约多项式的乘积称为因式分解。

因此，对于不可约多项式，它不能继续因式分解。

不可约性与我们在哪个数域中探讨由关。

例如， x^2-2 ，它在有理数域中是不可约的，但是在实数域中，由平方差公式
x^2-2=(x+\sqrt{2})(x-\sqrt{2})
在有理数领域，艾森斯坦判别法是一种常用的判别方法，但完全没有必要。

一般来说，我们可以通过有限次数的尝试来判断，因为我们有以下定理:
x^n+...+a_0=0,a_k\in \mathbb{Z} ，若其存在有理根 r ，则必为整数根，并且有 r|a_0 .
任何有理多项式都可以转化为上述形式，而一个整数的除数是有限的，所以可以通过逐个试除法来判断该多项式是否能在有理数域内继续分解。

当然，您可以通过一些技术继续缩小验证范围，基于以下定理:
若 r 是上述方程的整数根，则 \frac{f(1)}{r-1},\frac{f(-1)}{r+1} 也是整数[1].
在实数域，也有判定定理和一套系统的方法，这里就不介绍了。

1.^【苏联】奥库涅夫《高等代数》下册，哈工大出版社。

上海大学高等代数历年考研真题

2000上海大学高等代数(一) 计算行列式:acccb ac cb b a cb b b a⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(二) 把二次型414332214321),,,(x x x x x x x x x x x x f +++=用非退化线性替换化成平方和. (三)B A ,分别为mn ⨯和m n ⨯矩阵,nI 表示n n ⨯单位矩阵.证明:m n⨯阶矩阵0n A I XB ⎛⎫= ⎪⎝⎭可逆当且仅当B A 可逆，可逆时求出X 的逆.(四) 设12,n e e e ⋅⋅⋅是n 维线性空间n V 的一组基，对任意n 个向量12,n a a a ⋅⋅⋅n V ∈，证明：存在唯一的线性变换A，使得(),1,2i i A e a i n ==⋅⋅(五) 设A 是n 维线性空间V 的线性变换，求证：1(0)VAV A -=⊕当且仅当若12,r a a a ⋅⋅⋅为A V 的一组基则12,r Aa Aa Aa ⋅⋅⋅是2()A V 的一组基. (六)设A 为2级实方阵，适合21001A -⎛⎫=⎪-⎝⎭，求证：A 相似于0110-⎛⎫⎪⎝⎭. (七) 已知,f g 均为线性空间V 上线性变换，满足22,f f g g==试证：（1）f 与g 有相同的值域⇔,fg g gf f==.（2）f 与g 有相同的核⇔,fg f gf g==.2001上海大学高等代数（一）计算行列式：231212123n n n x a a a a x a a a a x a a a a x（二）设A 为3阶非零方阵，且20A =.（1）求证：存在123,,a a a ，123,,b b b ，()121233a A ab b b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（2）求方程组0A X=的基础解系.（三）用正交的线性替换化二次行2221231231323(,,)3244f x x x x x x x x xx=++--为标准形（四）设A 为n m ⨯阶实矩阵，且()()r A m n m =≥.若'2'()AA aAA=，求证'm AA aE =.（五）设A 是n （n 为奇数）维线性空间V 上线性变换，若10,0n n A A -≠=求证：存在a V ∈，使2211,,,,n n n a A a A aA aA a A a A a a---++++为V 的一组基，并求A 在此组基下的矩阵.（六）设A 是欧式空间V 上的对称变换.求证：对任意0a ≠，都有()0,0a Aa a ≠<⇔A的所有特征值都小于0.（七）设Aa B aβ-⎛⎫=⎪⎝⎭，其中A 为n 阶负定矩阵，a 为n 维列实向量，β为实数.求证B 正定的充分必要条件为'1a A a β-+>.（八）若A 是正交阵，且A -特征值为1的重数是S ，求证：(1)sA =-（A为A 的行列式）.2002 上海大学高等代数（一）计算行列式：若1232nx a a aax a aA B a a x a aaax ==，求AB A BA ⎛⎫=⎪⎝⎭.（二）设A 是n 阶可逆方阵，0A AB A ⎛⎫= ⎪⎝⎭. （1）计算k B （K 是整数），（2）假设100110111A =，C 为6阶方阵，而且2B CC E=+，求C .（三）设(1)(1)(1)(1)p p p n ppp n pp A p n p p p n pppp--------=--------，A是n 阶矩阵（0p ≠），求0A X =的基础解系.（四）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为1，1，-1.并且对应的特征值有特征向量(1,1,1)，(2,2,1).（五）设向量组A ：123,,n a a a a ⋅⋅的秩为r （r n <），则A 中任意r 个向量线性无关的充分必要条件为：对任意向量121,,r i i i aa a + ，若121121r i i ri k a k a k a ++++= ，则121,r k k k + 或全为0或全不为0.（六）设A 为n 阶正定矩阵，n m B ⨯为秩为m 的实矩阵，求证'B AB tE +（0t >，E 为单位矩阵）为正定矩阵.（七）设A 为欧式空间V 上的线性变换，且2A E =.（1）求证：A 是V 上的正交变换的充分必要条件为A 是V 上的对称变换. （2）设{}1,V aa V Aa a =∈=，求证：12V V V =+是直和.（八）设A 为n 阶实正交矩阵，123,,n a a a a ⋅⋅为n 维列向量，且线性无关，若12,n A Ea A Ea A Ea +++ 线性无关，则1A =.2003上海大学高等代数（一）计算行列式：x a a a ax a a A a a x a aaax=（A为n 阶矩阵），2AA B A A ⎛⎫=⎪⎝⎭（1）求A （2）求B（二）设A 为21n k =+阶反对称矩阵，求A .（三）设,A B 为n 阶整数方阵（,A B 中元素为整数），若AB E A =- （1）求证：1A=±，（2）若200120232B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求A .（四）设12(,)n A a a a = 为n 阶方阵，()1r A n =-，且121nn a a a a -=++121n n a a a a β-=+++ ，求AX β=的解.（五）设A 是n 阶可逆方阵，且A 每行元素之和为a ，求证：k A -的每行元素之和为k a -（k 为正整数）（六）设A为n 阶正交矩阵，若.证明：存在正交矩阵G 使1rs E GAG E -⎛⎫=⎪-⎝⎭. （七）设2A A =，且A 为n 阶方阵，()R A r =. （1）求证：2rE A += （2）求证：()()R A R A E n +-=（3）若1r =，求0A X=的解.（八）构造一个3阶实对称方阵A ，使其特征值为2，1，1，且有特征向量(1,1,1). （九）设二次型22221234121314232434()222222f X x x x x x x x x x x x x x x x x =++++++---（1）求()f X 对应的实对称矩阵A . （2）求正交变换XPY=，将()f X 化为标准型.（十）设A 是n 维线性空间V 上的线性变换，12,k a a a 是对应的不同特征值12,k λλλ 的特征向量.若12k a a a W ++∈ ，而W 是A 的不变子空间，则有维（W ）k ≥（十一）设B 为欧式空间V 上的变换，A 为欧式空间V 上的线性变换且有：(,)(,),,Aa a B a Vβββ=∀∈.证明：（1）B 为欧式空间V 上的线性变换. （2）1(0)()A B V -⊥=2004 上海大学高等代数（一）设n 阶可逆方阵()ijA a =中每一行元素之和为(0)a a ≠，证明：（1）11(1,2)nij j A aA i n -===∑，其中ij A 为ij a 的代数余子式.（2）如果ija 都是整数(1,2)i n = ，则a 整除A .（二）设1212121n n nn n a a a a A b b b b -⨯-⎛⎫= ⎪⎝⎭为实矩阵，且()2r A =.（1）求行列式'E A A λ-. （2）求'0A AX=的解（X是n 维列向量）.（三）设,A B 为n 阶整数方阵，若2B E AB=-.（1）求证：21A B+=.（2）若100110231B -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，求1(2)A B -+. （四）若A 为非零的半正定矩阵，B 为正定矩阵，求证：（1）求证：存在实矩阵T ，使'T T B=.（2）1A E +>. （3）A B B +>.（五）设λ为A 的特征值的最小者.求证:对任意的n 维列向量a ,有''a Aa a a λ≥.(六) 设123,,λλλ为3阶方阵A的特征值,且()()()111,011,01分别为其对应的特征向量,求n A .(七)V是n 维欧氏空间,σ是n 维空间V 上的线性变换,如果1231,,n a a a a -是V 中1n -个线性无关的向量,且(),σββ分别与1231,,n a a a a - 正交(β不为0).求证: β为σ的特征向量.(八)设3223303060303A B ⨯⨯⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求证：（1）()()2r A r B == （2）题型与钱吉林书习题类示。

有理数域上一类不可约多项式的简单推广

有理数域上一类不可约多项式的简单推广黎智【摘要】若a1,a2,…,an是n-1个不同的整数,证明了当n≥4时,f(x)=(x-a1)(x--n2)...(x-an)-1在有理数域Q上不可约;当n≥3时,f(x)=(x-a1)2(x-a2)2 (x)an)2+1在有理数域Q上不可约.【期刊名称】《重庆工商大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(032)005【总页数】3页(P23-25)【关键词】有理数域;多项式;不可约;系数;次数【作者】黎智【作者单位】重庆师范大学数学学院,重庆401331【正文语种】中文【中图分类】O156有理系数多项式、整系数多项式是数论研究的重要类容，研究数域上的不可约多项式就好比研究整数中的素数一样重要．在代数中已经证明如果一个非零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它一定能分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积．也就是说，在Z上不可约的整系数多项式，在Q上也不可约．因此，关于有理数域上多项式的可约性问题，可以简化为讨论整系数多项式在整数环上的可约性问题．而判别一个整系数多项式是否可约，常常是困难的．在这方面比较著名的方法有以下几类:Ⅰ通过多项式的系数和某素数的整除关系来判定不可约，如Eisenstein判别法及其推广形式［1－2］．Ⅱ通过比较多项式系数的大小来判别不可约，如Perron判别法及其改进形式［3－4］．Ⅲ通过计算f( x)在Z上的取值来判别不可约，如命题1．命题1［3］设f( x)是n次整系数多项式，S( f) ={…，，…}，Ni表示S( f)中1的个数，Np表示S( f)中素数的个数，如果Np+2N1－4＞n，则f( x)在Q上不可约．Ⅳ通过辅助多项式根的取值来判别不可约，如命题2．命题2［3］设a1，a2，…，an是彼此不相同的整数，则1) f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1在有理数域Q上不可约;2) f( x) = ( x－a1)2( x－a2)2…( x－an)2+1在有理数域Q上不可约．定理及其证明如下:命题2实则是Schur本世纪初提出的两个简单问题，已经得到了证明，此处在此基础上做了一个简单的推广，主要结果是:定理1设a1，a2，…，an是n－1个不同的整数，则1)当n≥4时，f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1在有理数域Q上不可约;2)当n≥3时，f( x) = ( x－a1)2( x－a2)2…( x－an)2+1在有理数域Q上不可约．证明1)不妨设an=a1，则f( x) = ( x－a1)2( x－a2)…( x－an－1)－1．若f( x)在Q上可约，可设f( x) = f1( x) f2( x)，fi( x)是整系数多项式; 1≤°( fi( x) )＜n( i= 1，2)，其中，( f( x) )表示f( x)的次数，由于f( ai) =－1，i= 1，2，…，n，故f1( ai) =±1，f2( ai) =1，i= 1，2，…，n，即f1( ai) +f2( ai) = 0，i= 1，2，…，n．若f1( x) +f2( x)的次数小于n－1，则f1( x) +f2( x) = 0，即f1( x) =－f2( x)，f( x) =－( x)，因为f( x)的最高项系数是1，此不可能．故f1( x) +f2( x)的次数只能等于n－1．不妨令( f1( x) ) = n－1，则( f2( x) ) = 1，此不可能．因为根据文献［5］引理1的证明可知，当n≥4时，即n－1≥3，对于任何整数x'，要么( x'－a1)2( x'－a2)…( x'－an－1) = 0，要么式，与( f2( x) ) =1矛盾．综上，当n≥4时，f( x) = ( x－a1) ( x－a2)…( x－an)－1在有理数域Q上不可约．2)不妨设an=a1，则f( x) = ( x－a1)4( x－a2)2…( x－an－1)2+1．显然f( x)没有实根，若f( x)在Q上可约，类似1)可设f( x) = f1( x) f2( x)，fi( x)是整系数多项式，1≤( fi( x) )＜n( i=1，2)．因为对任意实数，f( x)＞0，不妨设对所有实数f1( x)＞0，f2( x)＞0，由于f( ai) = 1，i=1，2，…，n，故f1( ai) = f2( ai) = 1，i=1，2，…，n．若fi( x) ( i= 1，2)的次数小于n－1，则fi( x)≡1( i=1，2)，与所设不和，故只可能是以下两种情形:，所以f( x')≠0，因此f( x)没有一次有理因或者当n≥3时，对于式( 1)，可令其中a，b，p，q为整数，由f( x) = f1( x) f2( x)可知比较左右两端系数得即化简得( x－a1)2+1=0，此不可能．对于式( 2)，类似式( 1)，可令其中c，d，m，n为整数，由f( x) = f1( x) f2( x)可知比较等式左右两边系数得即解得x=a1，与xai矛盾．综上所述，当n≥3时，f( x) = ( x－a1)2( x－a2)2…( x－an)2+1在有理数域Q上不可约．在上述定理中，若把f( x)换成f( x) = k－1，k＞0，结论显然也是成立的．【相关文献】［1］王萼芳，石生明．高等代数［M］．3版．北京:高等教育出版社，2007［2］赵敦，罗彦峰，雷鹏．Eisenstein判别法的一个推广［J］．高等理科教育，2005( 6) : 38-39［3］柯召，孙琦．数论讲义(下)［M］．北京:高等教育出版社，1987［4］王瑞．判定Q上多项式不可约的一种方法［J］．数学研究与评论，2002，22( 4) : 679-684 ［5］张卫，史滋福．有理数域上的一类不可约多项式［J］．湖南理工学院学报:自然科学版，2008，21( 1) : 5-7。

有理数域上多项式的可约性

rf1(x)和f2 (x)显然各与 g1(x)和g2 (x) 有相同的次数.
这样, f (x)可以分解成次数都小于n的两个整系数多
项式的乘积.
定理2.8.2 (Eisenstein判断法) 设f (x) a0 a1x an xn 是一个整系数多项式. 若是能够找到一个素数p,使
这里
a1 b1
是一个有理数而
f1 ( x)
是一个本原多项式.
同理,
g2 (x)
a2 b2
f2 (x),
这里
a2 b2
是一个有理数而
f2 ( x)
是一个本原多项式.
于是,
f (x) a1a2 b1b2
f1 ( x)
f2 (x)

r s
f1(x) f2 (x),
其中r与s是互素的整数, 并且s > 0 . 由于f (x)是一整
也必须被p整除. 但p是一个素数, 所以 bs与c0中至少
有一个被p整除. 这是一个矛盾.
二、有理数域上多项式的有理根
定理2.8.3
设 f (x) a0 x n a1x n1 an
是一个整系数多项式. 若是有理数 u 是f (x)的一个根,
这里u和v是互素的整数, 那么
v
(i) u整除f (x)的最高次项系数 a0 , 而 u整除f (x) 的常
(i) 最高次项系数 an 不能被p整除,
(ii) 其余各项的系数都能被p整除,
(iii)常数项 a0 不通被 p 2整除,
那么多项式f (x)在有理数域约,那么由定理
2.8.2, f (x)可以分解成两个次数较低的整系数多项式
的乘积:
f (x) g(x)h(x)

不可约多项式

p1 ( x ) q1 ( x )q2 ( x ) qt ( x )
p1 ( x ) q j ( x ).
q j ( x ), 使得
不妨设 q j ( x ) q1 ( x ), 则
p1 ( x ) q1 ( x )
q1 ( x ) c1 p1 ( x ), c1 0
(1)两边消去 q1 ( x ), 即得
2i （在复数域上）

二、不可约多项式
定义：设 p( x ) P[ x ] ，且 p x 1 ，若 p( x )
不能表示成数域 P上两个次数比 p( x ) 低的多项式的乘积，则称 p( x ) 为数域P上的不可约多项式.
注： ①一个多项式是否不可约依赖于系数域.
②一次多项式总是不可约多项式. ③零多项式与零次多项式无可约，不可约的概念
公因式与系数域无关，则公因式也就不会随系数域的扩大而改变 . 最大公因式是由辗转相除法求得的，故这里问题的关键是带余除法中的商式q(x)，余式r(x)尽管唯一确定，是否与系数域无关？→ 事实上，设 f,g∈P[x], P∈P/ → 据带余除法定理，存在唯一的q, r ∈P[x], 使得 f = qg + r, r = 0或 ∂r＜∂g成立.
一、问题的引入
二、不可约多项式
三、不可约多项式的性质
四、因式分解及唯一性定理
一、问题的引入
因式分解与多项式系数所在数域有关
如： x 4 4 x 2 2

x2 2
2

2
（在有理数域上）
x 2 x 2

x 2 x

（在实数域上）

x 2 x 2i x

整系数多项式在有理数域上不可约判别法

整系数多项式在有理数域上不可约判别法鲁翠仙【摘要】在艾森斯坦因判别法的基础上，证明了整系数多项式在有理数域上不可约的一个判定定理，再利用模p剩余类域知识对整系数多项式的系数进行了进一步的讨论，给出了一个整系数多项式在有理数域上不可约的新的判别法。

%According to the research thought of Eisenstein Criterion,the thesis offers a new method of proving the irreducibility of integer polynomial in rational field.We apply the knowledge of abstract algebra to study integral polynomials that are simplified by module p and obtain new irreducibility tests for integral polynomials.【期刊名称】《齐齐哈尔大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2015(000)001【总页数】2页(P71-72)【关键词】不可约;整系数多项式;有理数域;模p剩余类域【作者】鲁翠仙【作者单位】临沧师范高等专科学校数理系，云南临沧 677099【正文语种】中文【中图分类】O174.14引理1 设z是整数环, p是素数, 则z/p是域。

引理2 设是一个次数n大于0的整系数多项式，如果是f( x)的一个有理根，其中p、q是互素的整数，那么p|an，q|a0。

引理2（Eisenstein）判别法设是一个次数n大于0的整系数项式。

如果存在一个素数p，使得（1）那么f( x)在Q上不可约。

对于Eisenstein判别法中的3个条件，很自然地会想：如果改成存在素数p，使得那么f( x)是否在Q上部可约？为了回答这个问题，本文考虑由数域K上的分式组成的集合K（ x），它有加法和乘法运算，成为一个有单位元的交换环。

有理数域上不可约多项式

有理数域上不可约多项式
有理数域上的不可约多项式是指在有理数范围内不能被分解为两个次数较低的多项式乘积的多项式。

在代数和数学的其他领域中，这些多项式具有非常重要的性质和应用。

首先，我们需要明确什么是有理数域。

有理数域是由所有有理数（即可以表示为两个整数之比的数）构成的数域。

有理数包括所有的整数、分数以及有限小数和无限循环小数。

有理数域在数学中占有重要地位，因为它是实数域的一个子域，并且许多数学定理和结论都是在有理数域上得出的。

接下来，我们讨论有理数域上的不可约多项式。

一个多项式如果在有理数域上不能被分解为两个次数较低的多项式的乘积，则称该多项式为有理数域上的不可约多项式。

例如，多项式 x
2
−2 在有理数域上就是不可约的，因为它不能表示为两个一次多项式的乘积。

不可约多项式在代数中具有重要地位。

它们是多项式环中的“原子”，类似于整数环中的质数。

正如质数在整数分解中起到基本构建块的作用一样，不可约多项式在多项式分解中也扮演着类似的角色。

许多代数定理和结论都是基于不可约多项式的性质和存在性得出的。

此外，不可约多项式还与代数方程的解密切相关。

例如，一个代数方程在有理数域上是否有解，往往取决于其对应的多项式是否可以在有理数域上分解为线性因子的乘积。

如果多项式是不可约的，并且次数大于1，那么该方程在有理数域上就没有解。

总之，有理数域上的不可约多项式是代数和数学中的一个重要概念。

它们在多项式分解、代数方程的解以及更高级的代数理论中都具有广泛的应用和深刻的内涵。