2020年中考数学动态问题-图形最值问题探究(含答案)
2020年中考数学必考经典(江苏版)专题24二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题(含答案)
2020年中考必考经典（江苏版）专题24二次函数与图形面积的最值及定值压轴问题
【方法指导】
面积是平面几何中一个重要的概念，关联着平面图形中的重要元素边与角，由动点而生成的面积问题，是抛物线与直线形结合的觉形式，常见的面积问题有规则的图形的面积（如直角三角形、平行四边形、菱形、矩形的面积计算问题）以及不规则的图形的面积计算，解决不规则的图形的面积问题是中考压轴题常考的题型，此类问题计算量较大。有时也要根据题目的动点问题产生解的不确定性或多样性。
解决动点产生的面积问题，常用到的知识和方法有：
（1）如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式．
（2）三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法．
（3）同底等高三角形的面积相等．平行线间的距离处处相等． （4）同底三角形的面积比等于高的比． （5）同高三角形的面积比等于底的比．
【题型剖析】
【类型1】二次函数与面积最值问题
【例1】如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），与轴相交于点．为抛物线上一点，横坐标为，且． （1）求此抛物线的解析式；
（2）当点位于轴下方时，求面积的最大值；
（3）设此抛物线在点与点之间部分（含点和点最高点与最低点的纵坐标之差为． ①求关于的函数解析式，并写出自变量的取值范围； ②当时，直接写出的面积．
2
(1)y x k =-+x A B A B y
(0,3)C -P m 0m >P x ABP ∆C P C )P h h m m 9h =BCP ∆
2020初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练5(附答案详解)
顺时针旋转一周，在旋转的过程中， M 的对应点为 M1 ，请直接写出 NM1 的最大值和
最小值.
20．类比特殊四边形的学习，我们可以定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸 四边形叫做“等对角四边形”．
(1)若把矩形 OABC 沿直线 DE 折叠，使点 C 落在点 A 处，直线 DE 与 OC, AC, AB 的 交点分别为 D, F, E ，求折痕 DE 的长； (2)在(1)的条件下，点 P 在 x 轴上，在平面内是否存在点 Q ，使以 P, D, E, Q 为顶点的 四边形是菱形？若存在，则请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由；
10．已知在菱形 ABCD 中，BAD 60 ， E 为 AB 边上一点，且 AE 3， BE 5 ， 在对角线 AC 上找一点 P ，使 PE PB 的值最小，则最小值为______．
11．点 P 是菱形 ABCD 的对角线 AC 上的一个动点，已知 AB=1，∠ADC=120°, 点 M，
2020 初中数学中考专题复习——四边形中的线段最值问题专项训练 5（附答案详解） 1．如图,在△ ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,P 为边 BC 上一动点,PE⊥AB 于 E,PF⊥AC 于 F, 则 EF 的最小值为( )
2020年数学中考最值问题试题总汇【含答案】
⎭⎝⎝44⎭初中代数、几何所有最值问题
一代数问题中的最值问题
1、从 - 3，- 2，-1,4,5中任取两个数相乘，所得积中最大值为a ，最小值为b ，求
－
4答案：32、若a , b , c 都是大于1的自然数，且a c
= 252b , 求a 的最小值？答案：42.
a 的值？
b 解析：252b 可以分成某数幂的形式。252b=6×6×7b ，×即
b=7，即 a=6×7=42.3、下面是按一定规律排列的一组数：1 ⎛-1 ⎫第一个数： - 1+⎪
2 ⎝ 2 ⎭
1 ⎛－1 ⎫⎛(-1)
2 ⎫⎛(-1)
3 ⎫第二个数： - 1+⎪ 1+⎪1+⎪
3 ⎝ 2 ⎪⎪⎭⎝⎭1 ⎛-1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛(-1)3 ⎫⎛(-1)
4 ⎫⎛(-1)
5 ⎫第三个数： - 1+ 1+1+1+4 ⎝ 2 ⎪⎪⎭⎝⎭⎝⎪⎪⎭⎝⎭……
第 n 个数：
1⎛-1 ⎫⎛(-1)2 ⎫⎛(-1)3
⎫⎛
(-1)2n -1 ⎫- 1+⎪ 1+⎪1+⎪…… 1+⎪n +1 ⎝ 2 ⎭ ⎪⎪ ⎭⎝⎭⎝
2n ⎪；那么在第 10 个数，第 11 个数，第 12个数中，最大数是？
答案：第 10 个。
解析：第n 个数是1- n 2(n +1)
, 把n = 10, n = 11, n = 12, n = 13分别代入得出答案。4、已知： 20n 是整数，求满足条件的 最小整正数n 的值？
答案：5
解析：20n=4×5×n ，因为20n 是整数，∴ 20n 是一个完全平方数，∴ n 的最小值为5
4、当（m+n ）²+1 取最小值时，求
中考数学专题——动态问题(非常全面)
（中考数学专题3） 动态几何问题
【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．
D N
C
M B A
（1）当MN AB ∥时，求t 的值；
（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
【例3】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．
（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你
的结论．
（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？
（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）
【例4】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．
（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；
（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y
与x 的函数关系式； （3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．
2020年中考数学压轴题专题9 动态几何定值问题学案(原版+解析)
专题九动态几何定值问题
【考题研究】
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
【解题攻略】
动态几何形成的定值和恒等问题是动态几何中的常见问题，其考点包括线段（和差）为定值问题；角度（和差）为定值问题；面积（和差）为定值问题；其它定值问题。
解答动态几何定值问题的方法，一般有两种：
第一种是分两步完成：先探求定值. 它要用题中固有的几何量表示.再证明它能成立.探求的方法，常用特殊位置定值法，即把动点放在特殊的位置，找出定值的表达式，然后写出证明.
第二种是采用综合法，直接写出证明.
【解题类型及其思路】
在中考中，动态几何形成的定值和恒等问题命题形式主要为解答题。在中考压轴题中，动态几何之定值（恒等）问题的重点是线段（和差）为定值问题，问题的难点在于准确应用适当的定理和方法进行探究。
【典例指引】
类型一【线段及线段的和差为定值】
【典例指引1】已知：△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，将△ABC绕点C顺时针方向旋转得到△A′B′C，记旋转角为α，当90°＜α＜180°时，作A′D⊥AC，垂足为D，A′D与B′C
2020年中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆问题(含答案)
2020中考数学线段最值问题之阿波罗尼斯圆(阿氏圆)
【知识背景】
阿波罗尼斯与阿基米德、欧几里德齐名,被称为亚历山大时期数学三巨匠。阿波罗尼斯对圆锥曲线有深刻而系统的研究,其主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是其研究成果之一，本文主要讲述阿波罗尼斯圆在线段最值中的应用，下文中阿波罗尼斯圆简称为“阿氏圆”。
【定 义】
阿氏圆是指：平面上的一个动点P 到两个定点A ，B 的距离的比值等于k ，且k≠1的点P 的轨迹称之为阿氏圆。即：
)1(≠=k k PB
PA
，如下图所示：
上图为用几何画板画出的动点P 的轨迹，分别是由图中红色和蓝色两部分组成的的圆，由于是静态文档的形式，无法展示动图，有兴趣的可以用几何画板试一试。
【几何证明】
证明方法一：初中纯几何知识证明：阿氏圆在高中数学阶段可以建立直角坐标系，用解析几何的方式来确定其方程。但在初中阶段，限于知识的局限性，我们可以采用纯几何的证明方式，在证明前需要先明白角平分线定理及其逆定理，请看下文： 知识点1：内角平分线定理及逆定理
若AD 是∠BAC 的角平分线，则有：
CD
BD
AC AB =
。即“两腰之比”等于“两底边之比”。 其逆定理也成立：即CD
BD
AC AB =
，则有：AD 是∠BAC 的角平分线。
知识点2：外角平分线定理及其逆定理
若AD 是△ABC 外角∠EAC 的角平分线，则有
CD
BD
AC AB =
。即“两腰之比”等于“两底边之比”。 其逆定理也成立：即CD
BD
AC AB =
，则有：AD 是外角∠EAC 的角平分线。
【阿氏圆的证明】
2020年中考数学 压轴专题 二次函数中的最值问题(含答案)
2020中考数学 压轴专题 二次函数中的最值问题（含答案）
1. 如图,已知c ＜0,抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (x 1,0),B (x 2,0)两点(x 2＞x 1),与y 轴交于点C . (Ⅰ)若x 2=1,BC =5,求函数y =x 2＋bx ＋c 的最小值;
(Ⅱ)过点A 作AP ⊥BC ,垂足为P (点P 在线段BC 上),AP 交y 轴于点M .若OA OM
=2,求抛物线y =x 2
＋bx ＋c 顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.
第1题图
解:(Ⅰ)∵x 2=1,
∴OB =1,
∵BC =
5, ∴OC =22BC OB =2,
∴C (0,－2),
把B (1,0),C (0,－2)代入y =x 2＋bx ＋c ,得:0=1＋b －2,
解得:b =1,
∴抛物线的解析式为:y =x 2＋x －2.
转化为y =(x ＋12)2－94
; ∴函数y =x 2＋bx ＋c
的最小值为－94; (Ⅱ)∵∠OAM ＋∠OBC =90°,∠OCB ＋∠OBC =90°,
∴∠OAM =∠OCB ,又∵∠AOM =∠BOC =90°,
∴△AOM ∽△COB ,
∴OA OC OM OB ＝,
满足点P在线
段BC上的x最小取值,使P、C、M重合,
根据根与系数的关系,对于x2＋bx＋c=0,
由c=2b－
4,解得c=－1,
2.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a<0)过(m,b),(m＋1,a)两点, (Ⅰ)若m=1,c=1,求抛物线的解析式;
(Ⅱ)若b≥a,求m的取值范围;
2020年中考数学系列复习之最大值最小值专项训练题(附答案详解)
2020 年中考数学系列复习之最大值最小值专项训练题（附答案详解）
1．已知二次函数y ax2 bx c同时满足下列条件：对称轴是x 1；最值是15；
二次函数的图象与x轴有两个交点，其横坐标的平方和为15 a，则b 的值是（）A．4或30 B．30 C．4 D．6或20 2．如图， AB 为⊙O的直径，AB 4，点 C为半圆 AB 上动点，以 BC为边在⊙O 外作正方形 BCDE ，（点 D在直线 AB 的上方）连接 OD，当点 C运动时，则线段 OD 的长（）
A ．随点 C 的运动而变化，最大值为2 2 2
B ．不变
C．随点 C 的运动而变化，最小值为2 2 D．随点 C 的运动而变化，但无最值
3．如图， AB 是⊙O的直径， C为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O的半径为2，P为
ACB DCE 90o，连接BE ，AD ，两条线段所在的直线交于点
（1）线段BE与AD 有何数量关系和位置关系，请说明理由.
（ 2）若已知BC 12，DC 5，DEC绕点C顺时针旋转，
① 如图 2 ，当点D 恰好落在BC 的延长线上时，求AP 的长；
②在旋转一周的过程中，设PAB的面积为S，求S的最值 .
12
5．如图，抛物线y x2 x 4 与 y 轴交于点 C，与 x 轴交于点 A 和点
B．若2
N 点是 AC 所在直线下方该抛物线上的一个动点，过点 N 作 MN 平行于y 轴，
交
AC 于点 M ．
（1）求直线 AC 的解析式；
（ 2）当点 N 运动至抛物线的顶点时，求此时 MN 的长；
（ 3）设点 N 的横坐标为 t， MN 的长度为 l；
2020年中考数学二轮专项冲刺复习——动点、最值问题、压轴题型(含详细解答)
2020年中考数学二轮专项冲刺复习——动点、最值问题、压轴题型
1、（2019陕西•中考 第25题•12分）
问题提出：
（1）如图1，已知ABC ∆，试确定一点D ，使得以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，10BC =，若要在该矩形中作出一个面积最大的BPC ∆，且使90BPC ∠=︒，求满足条件的点P 到点A 的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座草根塔A ，按规定，要以塔A 为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE ．根据实际情况，要求顶点B 是定点，点B 到塔A 的距离为50米，120CBE ∠=︒，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE ？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE 的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A 的占地面积忽略不计）
【考点】四边形综合题
【分析】（1）利用平行四边形的判定方法画出图形即可．
（2）以点O 为圆心，OB 长为半径作O e ，O e 一定于AD 相交于1P ，2P 两点，点1P ，2P 即为所求．
（3）可以，如图所示，连接BD ，作BDE ∆的外接圆O e ，则点E 在优弧¶BD 上，取·BED 的中点E '，连接E B '，E D '，
四边形BC DE ''即为所求．
【解答】解：（1）如图记为点D 所在的位置．
（2）如图，
4AB =Q ，10BC =，∴取BC 的中点O ，则OB AB >．
∴以点O 为圆心，OB 长为半径作O e ，O e 一定于AD 相交于1P ，2P 两点，
2020年中考数学 专题复习最值问题专题练习(有答案)
九年级数学中考复习最值问题专题练习
一、选择题：
1.如图，菱形ABCD的边长为6，∠ABC=120°，M是BC边的一个三等分点，P是对角线AC 上的动点，当PB+PM的值最小时，PM的长是（）
A．√7
2B．2√7
3
C．3√5
5
D．√26
4
2.如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是（）．
A. 4.5
B.5
C.6
D.3.5
3.如图四边形ABCD是菱形，且∠ABC=60°，△ABE是等边三角形，M为对角线BD（不含B 点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM，则下列五个结论中正确的是（）
①菱形ABCD的边长为1，则AM+CM的最小值1；
②△AMB≌△ENB；
③S四边形AMBE=S四边形ADCM；
④连接AN，则AN⊥BE；
⑤当AM+BM+CM的最小值为2√3时，菱形ABCD的边长为2．
A．①②③B．②④⑤C．①②⑤D．②③⑤
4.如图，菱形ABCD边长为2，∠C=60°．当点A在x轴上运动时，点D随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点O的最大距离为( )
A. 3
B. √3
C.2
D.1+√3
2
5.如图，正方形ABCD的边长是2，点P从点D出发沿DB向点B运动，至点B停止运动，连接AP，过点B作BH垂直于直线AP于点H，在点P运动过程中，点H所走过的路径长是（）
A．2 B．√2C．πD．2π
6.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，P为对角线BD上的一个动点，则下列线段的长等于AP+EP最小值的是（）
2019-2020年中考数学 专题31 动态几何之单动点形成的最值问题(含解析)
2019-2020年中考数学 专题31 动态几何之单动点形成的最值问题（含解析）
数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。
动态几何形成的最值问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的最值问题，双（多）动点形成的最值问题，线动形成的最值问题，面动形成的最值问题。本专题原创编写单动点形成的最值问题模拟题。
在中考压轴题中，单动点形成的最值问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类和选择正确的解题方法。
1. 如图，A 、B 两点的坐标分别是（8，0）、（0，6），点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 作匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由A 出发沿AO （O 为坐标原点）方向向点O 作匀速直线运动，速度为每秒2
个单位长度，连接PQ ，若设运动时间为t （0＜t
．解答如下问题：
（1）当t 为何值时，PQ ∥BO ？ （2）设△AQP 的面积为S ，
2020中考数学 几何培优-平面几何的最值问题(含详解版)
2020中考数学 几何培优:平面几何的最值问题（含答案）
1．如图，将两张长为8、宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形．容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值，那么菱形周长的最大值是 ．
2．D 是半径为5cm 的⊙O 内一点，且OD =3cm ，则过点O 的所有弦中，最短的弦AB = cm ． 3．如图，有一个长方体，它的长BC =4，宽AB =3，高BB 1=5．一只小虫由A 处出发，沿长方体表面爬行到C 1，这时小虫爬行的最短路径的长度是 ．
4. 在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．
第4题图
第1题图 第3题图 第5题图 第6题图
5．如图，在△ABC 中，AB =10，AC =8，BC =6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB ，CA 分别相交于点E ，F ，则线段EF 长度的最小值是( ) A ．42
B ．4.75
C ．5
D ．4.8
6．如图，圆锥的母线长OA =6，底面圆的半径为2．一小虫在圆锥底面的点A 处绕圆锥侧面一周又回到点A ，则小虫所走的最短距离为( )
A ．12
B ．4π
C ．62
D ．63
7．如图，已知∠MON = 40°，P 是∠MON 内的一定点，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上移动，当△P AB 周长最小时，∠APB 的值为( )
A ．80°
B ．100°
C ．120°
D ．140°
8．如图， ⌒AD 是以等边三角形ABC 一边AB 为半径的四分之一圆周，P 为AD 上任意一点．若AC =5，则四边形ACBP 周长的最大值是( )
2020年中考数学 压轴专题 二次函数中的最值问题(含答案)
2020中考数学 压轴专题 二次函数中的最值问题（含答案）
1. 如图,已知c ＜0,抛物线y =x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (x 1,0),B (x 2,0)两点(x 2＞x 1),与y 轴交于点C . (Ⅰ)若x 2=1,BC =5,求函数y =x 2＋bx ＋c 的最小值;
(Ⅱ)过点A 作AP ⊥BC ,垂足为P (点P 在线段BC 上),AP 交y 轴于点M .若OA OM
=2,求抛物线y =x 2
＋bx ＋c 顶点的纵坐标随横坐标变化的函数解析式,并直接写出自变量的取值范围.
第1题图
解:(Ⅰ)∵x 2=1,
∴OB =1,
∵BC =
5, ∴OC =22BC OB =2,
∴C (0,－2),
把B (1,0),C (0,－2)代入y =x 2＋bx ＋c ,得:0=1＋b －2,
解得:b =1,
∴抛物线的解析式为:y =x 2＋x －2.
转化为y =(x ＋12)2－94
; ∴函数y =x 2＋bx ＋c
的最小值为－94; (Ⅱ)∵∠OAM ＋∠OBC =90°,∠OCB ＋∠OBC =90°,
∴∠OAM =∠OCB ,又∵∠AOM =∠BOC =90°,
∴△AOM ∽△COB ,
∴OA OC OM OB ＝,
满足点P在线
段BC上的x最小取值,使P、C、M重合,
根据根与系数的关系,对于x2＋bx＋c=0,
由c=2b－
4,解得c=－1,
2.已知抛物线y=ax2＋bx＋c(a<0)过(m,b),(m＋1,a)两点, (Ⅰ)若m=1,c=1,求抛物线的解析式;
(Ⅱ)若b≥a,求m的取值范围;
四川省2020年九年级数学中考复习专题 操作探究型+最值问题(含答案)
操作探究型+最值问题
1.如图,将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△EDC .若点A ,D ,E 在同一条直线上,∠ACB ＝20°,则∠ADC 的度数是 ( )
A .55°
B .60°
C .65°
D .70°
答案：C
2.如图,在边长为a 的正方形ABCD 中,把边BC 绕点B 逆时针旋转60°,得到线段BM ,连接AM 并延长交CD 于N ,连接MC ,则△MNC 的面积为 ( ) A .
2312a - B . 2212a - C . 2
314
a - D . 2214a -
答案：C
3.如图,Rt △ABC 中,∠B ＝90°,AB ＝3 cm ,AC ＝5 cm ,将△ABC 折叠,使点C 与A 重合,得折痕DE ,则△ABE 的周长等于 cm .
答案：7
4.如图,把等边三角形ABC 沿着DE 折叠,使点A 恰好落在BC 边上的点P 处,且DP ⊥BC ,若BP ＝4 cm ,
则EC ＝ cm .
答案：2＋2
[解析] 根据“30°角所对的直角边等于斜边的一半”可求得BD ＝8,再由
勾股定理求得DP ＝4
.根据折叠的性质可以得到∠DPE ＝∠A ＝60°,DP ＝DA ＝4
,易得
∠EPC ＝30°,∠PEC ＝90°,所以EC ＝PC ＝(8＋4－4)＝2＋2.
5.如图,P 是等边三角形ABC 内一点,将线段AP 绕点A 顺时针旋转60°得到线段AQ ,连接BQ .若PA ＝6,PB ＝8,PC ＝10,则四边形APBQ 的面积为 .
答案：24＋9[解析] 连接PQ,如图,
∵△ABC为等边三角形,
2020年中考数学动态问题-图形最值问题探究(含答案)
专题09 动点类题目图形最值问题探究
题型一：矩形中的相似求解
例1.（2019·绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，MN 、EF 交于点P . 记k =MN :EF .
（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值.
（2）若a ：b 的值为
21，求k 的最大值和最小值. （3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE =60°，MP =EF =3PE 时，求a ：b 的值.
B
C D
A E M
F N
题型二：二次函数中几何图形最值求解
例2.（2019·衡阳）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
例3.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点.
（1）求抛物线C 函数表达式；
（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；
2020年中考数学专题复习卷：几何图形的动态问题精编(含解析)
几何图形的动态问题精编
1.如图，平行四边形ABCD中，AB= cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的大致图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】：分三种情况讨论：
①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E．∵∠B=45°，∴△ABE是等腰直角三角形．∵AB= ，∴AE=1，∴S= BP×AE= ×t×1= t；
②当2＜t≤ 时，S= = ×2×1=1；
③当＜t≤ 时，S= AP×AE= ×（-t）×1= （-t）．
故答案为：A．
【分析】根据题意分三种情况讨论：①当0≤t≤2时，过A作AE⊥BC于E；②当2＜t≤ 2 +时；③当 2 + ＜t≤ 4 +时，分别求出S与t的函数解析式，再根据各选项作出判断，即可得出答案。
2.如图，边长为a的菱形ABCD中,∠DAB=60°,E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,满足AE+CF=a,△BEF的周长最小值是( )
A. B.
C.
D.
【答案】B
【解析】：连接BD
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD，
∵∠DAB=60°，
∴△ABD是等边三角形，
∴AB=DB，∠BDF=60°
∴∠A=∠BDF
又∵AE+CF=a，
∴AE=DF，
在△ABE和△DBF中，
∴△ABE≌△DBF（SAS），
∴BE=BF，∠ABE=∠DBF，
∴∠EBF=∠ABD=60°，
∴△BEF是等边三角形．
∵E是异于A、D两点的动点,F是CD上的动点,
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专题09 动点类题目图形最值问题探究
题型一：矩形中的相似求解
例1.（2019·绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，MN 、EF 交于点P . 记k =MN :EF .
（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值.
（2）若a ：b 的值为
21，求k 的最大值和最小值. （3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE =60°，MP =EF =3PE 时，求a ：b 的值.
B
C D
A E M
F N
题型二：二次函数中几何图形最值求解
例2.（2019·衡阳）如图，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于点A （﹣1，0）和点B （3，0），与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．
（1）求该抛物线的函数关系表达式；
（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；
（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：△MBN 的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
例3.（2019·自贡）如图，已知直线AB 与抛物线2:2C y ax x c =++相交于点A （-1,0）和点B （2,3）两点.
（1）求抛物线C 函数表达式；
（2）若点M 是位于直线AB 上方抛物线上的一动点，以MA 、MB 为相邻的两边作平行四边形MANB ，当平行四边形MANB 的面积最大时，求此时平行四边形MANB 的面积S 及点M 的坐标；
（3）在抛物线C 的对称轴上是否存在定点F ，使抛物线C 上任意一点P 到点F 的距离等于到直线417=y 的距离，若存在，求出定点F 的坐标；若不存在，请说明理由.
题型四：反比例函数中面积最值的求解
例4.（2018·扬州一模）如图1，反比例函数y = k x
（x ＞0）的图象经过点A （23，1），射线AB 与反比例函数图象交于另一点B （1，a ），射线AC 与y 轴交于点C ，∠BAC =75°，AD ⊥y 轴，垂足为D ．
（1）求k 的值；
（2）求tan ∠DAC 的值及直线AC 的解析式；
（3）如图2，M 是线段AC 上方反比例函数图象上一动点，过M 作直线l ⊥x 轴，与AC 相交于点N ，连接CM ，求△CMN 面积的最大值．
例5.（2019·达州）如图1，已知抛物线y=－x2+bx+c过点A(1,0)，B(－3,0).
（1）求抛物线的解析式及其顶点C的坐标；
（2）设点D是x轴上一点，当tan（∠CAO+∠CDO）=4时，求点D的坐标；
（3）如图2，抛物线与y轴交于点E，点P是该抛物线上位于第二象限的点，线段P A交BE于点M，交y轴于点N，△BMP和△EMN的面积分别为m、n，求m－n的最大值.
题型六：二次函数中最值及最短路径题型
例6.（2019·绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y=ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A 在点B的左侧），OA=1，经过点A的一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．
（1）求抛物线和一次函数的解析式；
（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E 的坐标；
（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+3
5
P A的最小值．
例7.（2019·潍坊）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B （0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点．
（1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD 于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF＝45时，求点P的坐标．
答案与解析
题型一：矩形中的相似求解
例1.（2019·绍兴）如图，矩形ABCD 中，AB =a ，BC =b ，点M 、N 分别在边AB 、CD 上，点E 、F 分别在边BC 、AD 上，MN 、EF 交于点P . 记k =MN :EF .
（1）若a ：b 的值为1，当MN ⊥EF 时，求k 的值.
（2）若a ：b 的值为2
1，求k 的最大值和最小值. （3）若k 的值为3，当点N 是矩形的顶点，∠MPE =60°，MP =EF =3PE 时，求a ：b 的值.
B
M
F N
【分析】（1）当a ：b =1时，可得四边形ABCD 为正方形，由MN ⊥EF ，可证MN =EF ，即k =1；（2）先确定MN 和EF 的取值范围，当MN 取最大值，EF 取最小值时，k 的值最大，否则反之；（3）根据N 是矩形顶点，分两种情况讨论，即N 分别与D 点和C 点重合，依据不同图形求解.
【答案】见解析.
【解析】解：（1）当a ：b =1时，即AB =BC ，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴四边形ABCD 是正方形，
过F 作FG ⊥BC 于G ，过M 作MH ⊥CD 于H ，如下图所示，
B
D
N
H
∵MN ⊥EF ，
∴∠NMH =∠EFG ，