高数同济五版 (13)
高数第五版答案(同济)12-7
GAGGAGAGGAFFFFAFAF
习题127
1
下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
(1)x x
2
解 因为x x
x =2不恒为常数 所以x
x 2
是线性无关的
(2)x
2x
解 因为22=x
x 所以x 2x 是线性相关的
(3)e
2x
3e
2x
解 因为3
32=x
x
e
e 所以e 2x
3e 2x
是线性相关的
(4)e
x
e
x
解 因为x x x e e
e 2=-不恒为常数 所以e
x
e x
是线性无关
的
(5)cos2x sin2x
解 因为x x
x 2tan 2cos 2sin =不恒为常数
所以cos2x
sin2x
是线性无关的
GAGGAGAGGAFFFFAFAF
(6) 2
x
e 2
2x
xe
解 因为x e
xe x x 2222
=不恒为常数 所以2
x
e 2
2x xe 是线性
无关的
(7)sin2x cos x ×sin x
解 因为2sin cos 2sin =x
x x 所以sin2x
cos x ×sin x 是线
性相关的
(8)e x
cos2x e x
sin2x
解 因为
x x
e x e x x 2tan 2cos 2sin =不恒为常数
所以e x
cos2x
e x sin2x 是
线性无关的
(9)ln x
x ln x
解 因为x x
x x =ln ln 不恒为常数 所以ln x
x ln x 是线
性无关的
(10)e
ax
e bx
(a
b )
GAGGAGAGGAFFFFAFAF
解 因为x a b ax bx e e
e )(-=不恒为常数 所以e
ax
e bx
是线性无
关的
2
验证y 1
cos x 及y 2sin x 都是方程
y 2
高等数学(同济五版)难点总结范文及课后习题解读
高等数学（同济五版）难点总结范文及课后习题解读
上册：
函数（高等数学的主要研究对象）
极限：数列的极限（特殊）——函数的极限（一般）极限的本质是通
过已知某一个量（自变量）的变化趋势，去研究和探索另外一个量（因变量）的变化趋势
由极限可以推得的一些性质：局部有界性、局部保号性应当注意到，
由极限所得到的性质通常都是只在局部范围内成立
连续：函数在某点的极限等于函数在该点的取值连续的本质：自变量
无限接近，因变量无限接近
导数的概念
本质是函数增量与自变量增量的比值在自变量增量趋近于零时的极限，更简单的说法是变化率
微分的概念：函数增量的线性主要部分，这个说法有两层意思，一、
微分是一个线性近似，二、这个线性近似带来的误差是足够小的，实际上
任何函数的增量我们都可以线性关系去近似它，但是当误差不够小时，近
似的程度就不够好，这时就不能说该函数可微分了
不定积分：导数的逆运算什么样的函数有不定积分
定积分：由具体例子引出，本质是先分割、再综合，其中分割的作用
是把不规则的整体划作规则的许多个小的部分，然后再综合，最后求极限，当极限存在时，近似成为精确什么样的函数有定积分
求不定积分（定积分）的若干典型方法：换元、分部，分部积分中考虑放到积分号后面的部分，不同类型的函数有不同的优先级别，按反对幂三指的顺序来记忆
定积分的几何应用和物理应用
高等数学里最重要的数学思想方法：微元法
微分和导数的应用：判断函数的单调性和凹凸性
微分中值定理，可从几何意义去加深理解
泰勒定理：本质是用多项式来逼近连续函数。要学好这部分内容，需要考虑两个问题：一、这些多项式的系数如何求？二、即使求出了这些多项式的系数，如何去评估这个多项式逼近连续函数的精确程度，即还需要求出误差（余项），当余项随着项数的增多趋向于零时，这
同济第五版高数答案(高等数学课后习题解答)
习题1-1
1. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞), A ⋂B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).
2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明 因为
x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .
3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明 因为
y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y
⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈ f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为
y ∈f (A ⋂B )⇒ ∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).
4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、
同济大学第五版高数
f ( x2 ) f ( x1). y f ( x)在[a,b]上单调减少.
例1 讨论函数y ex x 1的单调性.
解 y e x 1.又 D : (,).
在(,0)内, y 0,
第三章
第四节
函数的单调性与极值
一、单调性的判别法
二、单调区间的求法 三、函数极值的定义
四、函数极值的求法 五、最大值的求法 六、应用举例
一、单调性的判别法
y
y f (x) B
A
yA y f (x) B
oa
bx
f ( x) 0
oa
bx
f ( x) 0
定理 设函数 y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可
当2 x 时， f ( x) 0, 在[2,)上单调增加；
单调区间为 (,1]， [1,2]，[2,).
例3 确定函数 f ( x) 3 x2 的单调区间.
解 D : (,).
f ( x) 2 , 33 x
( x 0)
当x 0时,导数不存在.
所以，函数 f ( x) 在x0 处取得极大值．同理可证(2).
例2 求出函数 f ( x) x3 3x2 24x 20 的极值. 解 f ( x) 3x2 6x 24 3( x 4)(x 2) 令 f ( x) 0， 得驻点 x1 4, x2 2. f ( x) 6x 6, f (4) 18 0, 故极大值 f (4) 60,
高数(同济)第五版习题答案1-6
习题1-6
1. 计算下列极限:
(1)x
x x ωsin lim 0→; 解 ωωωωω==→→x x x
x x x sin lim sin lim 00. (2)x
x x 3tan lim 0→; 解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→x
x x x x x x . (3)x
x x 5sin 2sin lim 0→; 解 5
2525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x . (4)x x x cot lim 0
→; 解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0
000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x . (5)x
x x x sin 2cos 1lim 0-→; 解法一 ()2sin lim 2sin 2lim 2cos
1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→x
x x x x x x x x x x x x .
解法二 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→x x x x x x x x x x x . (6)n n n x 2
sin 2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x x
x
x n
n n n n n =⋅=∞→∞→22sin lim 2sin 2lim . 2. 计算下列极限:
(1)x x x 10)1(lim -→;
同济大学第五版高数
两个重要 极限
等价无穷小 及其性质
无穷小 的性质
唯一性
求极限的常用方法
极限的性质
1、极限的定义
定义 如果对于任意给定的正数 (不论它多么 小),总存在正数N ,使得对于n N 时的一切xn ,不 等式xn a 都成立,那末就称常数a 是数列xn 的极限,或者称数列xn 收敛于a,记为
lnim xn a,或xn a (n).
"N"定义
0 , N 0 , 使 n N 时 , 恒 x n a 有 .
定义 2 如果对于任意给定的正数(不论它多么小),
总存在正数,使得对于适合不等式0 x x0 的 一切x,对应的函数值f (x)都满足不等式
3、极限的性质
定理 设 lim f (x) A,lim g(x) B,则 (1) lim[ f (x) g(x)] A B; (2) lim[ f (x) g(x)] A B; (3) lim f (x) A, 其中B 0. g(x) B
推论1 如l果 im f(x)存,在 而 c为常 ,则 数 lim c(f[x)]clim f(x).
x
3、反函数
由 yf(x)确定 yf的 1(x)称为.反函
ysinxh yf1(x)arsinxh
4、隐函数
由方F程(x, y)0所确定的函数 y f(x)称为隐函 . 数 如 yxey0
同济第五版高数下册答案
高等数学同步练习
第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
1. 求定义域
(1){(x,y ) 1
xy e e
≤≤}；
(2)},122),{(22N k k y x k y x ∈+≤+≤； (3){(x,y,z )22219x y z <++≤}.
2.求极限
(1)00
1)2x y →→=;
(2)0 ;
(3)22
2
2200
2sin
2lim 0()xy
x y x y x y e →→+=+; (4)20
sin cos lim
.2x y xy xy
x xy →→=.
3.判断下列极限是否存在，若存在，求出极限值
(1)沿直线y=kx 趋于点（0，0）时，2222
222201lim 1x x k x k x k x k
→--=++,不存在; (2)沿直线y =0,极限为1；沿曲线y
,极限为0，不存在 ;
(3)2222222211
00x y x y x y x y x y x y x y x y
+≤≤+≤+=+→+++.极限为0 .
4.因当220x y +≠时，
22
2
222
0.x y x y y x y x y ≤=≤++, 所以0
lim (,)0(0,0)x y f x y f →→==，故连续.
1. 求下列函数的偏导数
(1)2(1).2(1)xy y y xy +=+; 2x (1+xy ); (2)yz cos(xyz )+2xy ; xz cos(xyz )+2x ; (3)22()1()x y x y -+- , 2
2()
1()
x y x y --+-. 2.
6
π.
同济高数课后习题答案解析
同济大学高等数学
一、求下列极限
1、sin ()
lim x x x →−−22111；
解一：()()
12sin 1cos 1lim 02x x x x
→−−==原式解二：()
()
1
1
sin 1sin 1lim lim
1
1
x x x x x x →→−−==−+原式2、lim sin x x x →2
203解一：
00021311
lim lim lim 6sin3cos39sin3cos39
x x x x x x x x x →→→==⋅=
原式解二：
sin 3~30021
lim
lim 6sin 3cos 39cos 39
x x
x x x x x x
x x →→==
=原式3、20tan 2lim sin 3x x x
x →解：
()
2tan 2~2,sin3~32
22
lim
9
3x x x x
x x
x →=原式
=
4、0lim ln(1)
x x x →+解一：
()001
lim lim 11
11x x x x
→→==+=+原式解二：
()
10
11lim
1ln ln 1x x
e
x →===+原式5、2lim x
x x x →∞−⎛⎞⎜⎟⎝⎠
解一：()22
2
2lim 1x
x e
x −⋅−−→∞⎛⎞
=−=⎜⎟
⎝⎠
原式解二：
()1
211ln 2ln 22lim
lim ln
2lim
2
2
lim x x x x x
x x x x x
x x
x x x e
e
e
e
e
−−→∞
→∞→∞−
−−−−−→∞−−−=====原式
6、()1
1
1
lim 32x x x −→−解
一
：
()
()1
1
22
20
lim 12t x t
t t e
=−−−−→=−=令原式解二：
同济第五版高数下第七章课件
一、曲面 • 二次曲面 球面，椭球面，抛物面，双曲面， 球面，椭球面，抛物面，双曲面，圆锥面 • 旋转面 曲线f ( y , z ) = 0绕z轴
空间解析几何
⇒ 旋转面f ± x + y , z = 0
2 2
• 柱面 方程中缺少变量，准线和母线 方程中缺少变量， •几个曲面围成的立体的图形 几个曲面围成的立体的图形
2 2
r uuuu OA0 = ( cos α ,cos β ,cos γ )
π
1 2
于是
uuuu r r uuu 1 1 1 0 OA = 8OA = 8 , , ± = 4, 4, ±4 2 2 2 2
(
)
r r r为单位向量 且满足 r r r r 例3 已知 a , b , c 为单位向量,且满足 a + b + c = 0, r r r r r r 计算 a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a . r r r r r r 解 由 a ⋅ (a + b + c ) = a ⋅ 0, 得 r2 r r r r a + a ⋅ b + a ⋅ c = 0, r r r r r2 r 而 a = 1, 故 a = 1, 于是有 1 + a ⋅ b + a ⋅ c = 0, r r r r 即 a ⋅ b + c ⋅ a = −1. r r r r r r r r 类似可得 a ⋅ b + b ⋅ c = −1, c ⋅ a + b ⋅ c = −1. r r r r r r 三式相加， 三式相加，得 2(a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a ) = −3. 3 r r r r r r 即 a ⋅b + b ⋅c + c ⋅a = − . 2
同济第五版高数习题答案
习题7-1
1. 设u =a −b +2c , v =−a +3b −c . 试用a 、b 、c 表示2u −3v .
解 2u −3v =2(a −b +2c )−3(−a +3b −c )=2a −2b +4c +3a −9b +3c =5a −11b +7c .
2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分, 试用向量证明这是平行四边形.
证明 ; ,
而, ,
所以.
这说明四边形ABCD 的对边AB =CD 且AB //CD , 从而四边形ABCD 是平行四边形.
3. 把ΔABC 的BC 边五等分, 设分点依次为D 1
、D 2
、D 3
、D 4
, 再把各分点与点A 连接. 试以、
表示向量、、A
3、A 4.
解 ,
,
,
.
4. 已知两点M 1
(0, 1, 2)和M 2
(1, −1, 0). 试用坐标表示式表示向量及.
解 , .
5. 求平行于向量a =(6, 7, −6)的单位向量.
解
,
平行于向量a =(6, 7, −6)的单位向量为 或 . 6. 在空间直角坐标系中, 指出下列各点在哪个卦限？ A (1, −2, 3); B (2, 3, −4); C (2, −3, −4); D (−2, −3, 1).
解 A 在第四卦限, B 在第五卦限, C 在第八卦限, D 在第三卦限.
7. 在坐标面上和坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置:
A (3, 4, 0);
B (0, 4, 3);
C (3, 0, 0);
D (0, −1, 0).
解 在xOy 面上, 的点的坐标为(x , y , 0); 在yOz 面上, 的点的坐标为(0, y , z ); 在zOx 面上, 的点的坐标为(x , 0, z ).
高数课后答案详解
高数课后答案详解
【篇一：高数课后习题答案】
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《全新版大学英语综合教程》（第一册）练习答案及课文译文
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《会计学原理》同步练习题答案
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《微观经济学》课后答案（高鸿业版）
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《西方经济学》习题答案（第三版，高鸿业）可直接打印
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毛邓三全部课后思考题答案(高教版)/毛邓三课后答案
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新视野大学英语听说教程1听力原文及答案下载
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西方宏观经济高鸿业第四版课后答案
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《管理学》经典笔记（周三多，第二版）
/viewthread.php?tid=280fromuid=164951
《中国近代史纲要》课后习题答案
/viewthread.php?tid=186fromuid=164951
同济高数 教案
第一章函数与极限
教学目的：
1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法,并会建立简单应用问题中的函数关系式.
2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性.
3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念.
4、掌握基本初等函数的性质及其图形。
5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限
之间的关系。
6、掌握极限的性质及四则运算法则。
7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限
的方法.
8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9、理解函数连续性的概念(含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型.
10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性,了解闭区间上连续函数的性质（有界
性、最大值和最小值定理、介值定理)，并会应用这些性质.
教学重点：
1、复合函数及分段函数的概念；
2、基本初等函数的性质及其图形；
3、极限的概念极限的性质及四则运算法则;
4、两个重要极限；
5、无穷小及无穷小的比较;
6、函数连续性及初等函数的连续性；
7、区间上连续函数的性质。
教学难点：
1、分段函数的建立与性质;
2、左极限与右极限概念及应用;
3、极限存在的两个准则的应用；
4、间断点及其分类；
5、闭区间上连续函数性质的应用。
§1. 1 映射与函数
一、集合
1. 集合概念
集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A，B, C….等表示.
元素: 组成集合的事物称为集合的元素。a是集合M的元素表示为a M。
集合的表示:
列举法: 把集合的全体元素一一列举出来。
最全高数教材
函数项级数的一致收敛性及 一致收敛级数的基本性质
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第十一章(续)
第七节 傅里叶级数 第八节 一般周期函数的傅里叶级数 习题课
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第十二章 微分方程
第一节 微分方程的基本概念 第二节 可分离变量的微分方程 第三节 齐次方程 第四节 一阶线性微分方程 第五节 全微分方程 习题课 (一阶方程) 第六节 可降阶的高阶微分方程
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第二章 导数与微分
第一节 导数概念 第二节 函数的求导法则 第三节 高阶导数 第四节 隐函数和参数方程求导 相关变化率 第五节 函数的微分 习题课
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第三章 微分中值定理与 导数的应用
第一节 微分中值定理 第二节 洛必达法则 第三节 泰勒公式 第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性 第五节 函数的极值与最大值最小值
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5. 课件内容完整 , 使用方便 , 便于修改 本课件不仅包含了 便于修改. 同济大学 《高等数学》（第五版）全部内容， 同时还添加了习 也可以此为素材, 题课和备用题课件， 教师讲课时既可直接使用, 根据自己的风格和学生的具体情况重新编辑或进行适当补充与 修改 . 由于课件内容完整、系统、详细，且操作简便, 因此也 可供学生学习参考. 6. 课件中包含了数学家简介与重要曲线两个附录 为教师备 课件中包含了数学家简介与重要曲线两个附录, 课提供了方便. 课提供了方便 尤其是附录Ⅱ, 不仅有生成曲线的动画, 还列出 了参数的意义和曲线的各种特征. 7.本课件是在作者30多年教学实践及经过四年多媒体课件研 7. 制与试点的基础上修改而成, 在教学实践中颇受好评.
同济第五版高数答案(高等数学课后习题解答)
F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)
所以 F(x)为偶函数即两个偶函数的和是偶函数. 如果 f(x)和 g(x)都是奇函数则
F(x)f(x)g(x)f(x)g(x)F(x)
所以 F(x)为奇函数即两个奇函数的和是奇函数.
证明 因为对于任意的 yY, 有 xg(y)X, 且 f(x)f[g(y)]I y yy, 即 Y 中任意元素都是 X 中某元素的像, 所以 f 为 X 到 Y 的满射. 又因为对于任意的 x1x2, 必有 f(x1)f(x2), 否则若 f(x1)f(x2) g[ f(x1)]gf(x2)] x1x2. 因此 f 既是单射, 又是满射, 即 f 是双射. 对于映射 g: YX, 因为对每个 yY, 有 g(y)xX, 且满足 f(x)f[g(y)]I y yy, 按逆映射的 定义, g 是 f 的逆映射. 5. 设映射 f : XY, AX . 证明: (1)f 1(f(A))A; (2)当 f 是单射时, 有 f 1(f(A))A .
解 (1)不同.因为定义域不同.
(2)不同.因为对应法则不同x0 时g(x)x. (3)相同.因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同.因为定义域不同. |sin x | | x | 3 求 ( ) , ( ) , ( ) , (2), 并作出函数 y(x)的图形. 8. 设 ( x) 6 4 4 | x | 0 3
同济第五版高数习题答案
习题3−1
1. 验证罗尔定理对函数y =ln sin x 在区间 上的正确性.
解 因为y =ln sin x 在区间 上连续, 在
内可导, 且
, 所以由罗尔
定理知, 至少存在一点 , 使得y ′(ξ)=cot ξ=0. 由y ′(x )=cot x =0得 .
因此确有
, 使y ′(ξ)=cot ξ=0.
2. 验证拉格朗日中值定理对函数y =4x 3
−5x 2
+x −2在区间[0, 1]上的正确性.
解 因为y =4x 3
−5x 2
+x −2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点ξ∈(0, 1), 使 . 由y ′(x )=12x 2
−10x +1=0得 .
因此确有
, 使
.
3. 对函数f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间 上验证柯西中值定理的正确性. 解 因为f (x )=sin x 及F (x )=x +cos x 在区间
上连续, 在
可导, 且F ′(x )=1−sin x 在
内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点 , 使得
.
令 , 即 .
化简得 . 易证 , 所以
在
内有解,
即确实存在
, 使得
.
4. 试证明对函数y =px 2
+qx +r 应用拉格朗日中值定理时所求得的点 总是位于区间的正中间.
证明 因为函数y =px 2
+qx +r 在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点ξ∈(a , b ), 使得y (b )−y (a )=y ′(ξ)(b −a ), 即 (pb 2
同济第五版高数习题答案
习题9−1
1. 设有一平面薄板(不计其厚度), 占有xOy面上的闭区域D, 薄板上分布有密度为μ=μ(x, y)的电荷,且μ(x, y)在D上连续,试用二重积分表达该板上全部电荷Q.
解板上的全部电荷应等于电荷的面密度μ(x, y)在该板所占闭区域D上的二重积分
.
2. 设,其中D
1
={(x, y)|−1≤x≤1, −2≤y≤2};
又,其中D
2
={(x, y)|0≤x≤1, 0≤y≤2}.
试利用二重积分的几何意义说明I
1与I
2
的关系.
解I
1表示由曲面z=(x
2
+y
2
)
3
与平面x=±1, y=±2以及z=0围成的立体V的体积.
I 2表示由曲面z=(x
2
+y
2
)
3
与平面x=0, x=1, y=0, y=2以及z=0围成的立体V
1
的体积.
显然立体V关于yOz面、xOz面对称,因此V
1
是V位于第一卦限中的部分,故
V=4V
1, 即I
1
=4I
2
.
3. 利用二重积分的定义证明:
(1)∫∫ (其中σ为D的面积);
证明由二重积分的定义可知,
其中Δσ
i
表示第i个小闭区域的面积.
此处f(x, y)=1, 因而f(ξ, η)=1, 所以
.
(2)∫∫ (其中k为常数);
证明
.
(3),
其中D =D 1
∪D 2
, D 1
、D 2
为两个无公共内点的闭区域.
证明 将D 1
和D 2
分别任意分为n 1
和n 2
个小闭区域
和,
n 1
+n 2
=n , 作和
.
令各
和
的直径中最大值分别为λ1
和λ2
, 又λ=ma x (λ1λ2
), 则有
,
即 .
4. 根据二重积分的性质, 比较下列积分大小:
(1)∫∫与, 其中积分区域D 是由x 轴, y 轴与直线
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y24xy2 (4x2 2)y2 6xex2 4x3ex2 4x(ex2 2x2ex2)(4x2 2)xex2 0
并且
y2 y1
x 不恒为常数
所以 y1 ex2 与 y2 2xex2 是方程的线性无关解
提示 令 k1exk2exk3cos xk4sin x0
则 k1exk2exk3sin xk4cos x0 k1exk2exk3cos xk4sin x0 k1exk2exk3sinxk4cos x0
上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为
ex ex cosx sin x
ex ex
ex ex
sin x cosx
解
因为 ex ex
e2x 不恒为常数
所以 ex ex 是线性无关的
(5)cos2x sin2x
解 因为 sin2x tan2x 不恒为常数 所以 cos2x sin2x 是线性无关的 cos2x
(6) ex2 2xex2
解
因为
2xex2 ex2
2x
不恒为常数
所以 ex2
2xex2 是线性无关的
所以 y1ex y2ex y3cos x y4sin x 是方程 y(4)y0 的线性无关解 从而 YC1exC2exC3cos xC4sin x 是方程的通解
又因为
y*(4)y*0(x2)x2
所以 y*x2 是方程 y(4)yx2 的特解 因此 yC1exC2exC3cos xC4sin xx2 是方程 y(4)yx2 的通解
解 因为 xln x x 不恒为常数 所以 ln x xln x 是线性无关的 ln x
(10)eax ebx(ab)
解
因为
ebx eax
e(ba)x
不恒为常数
所以 eax ebx 是线性无关的
2 验证 y1cosx 及 y2sinx 都是方程 y2y0 的解 并写 出该方程的通解
解 因为 y12y12cosx2cosx0 y22y22sinx2sinx0
从而方程的通解为 y C1ex2 C22xex2
提示 y1 2xex2 y1 2ex2 4x2ex2
y2 ex2 2x2ex2 y2 6xex2 4x3ex2
4 验证
(1)
y
C1ex
C2e2x
1 12
e5x
(C1、C2
是任意常数)是方程
y3y2ye5x
的通解
解 令 y1ex y2e2x
解 令 y1ex y2ex y3cos x y4sin x y*x2 因为
y1(4)y1exex0
y2(4)y2exex0
y3(4)y3cos xcos x0
并且
y4(4)y4sin xsin x0
ex ex cosx sin x
ex ex
ex ex
sin x cosx
cosx sin x
4
0
ex ex sin x cosx
32
32
所以 y*是方程 y9yxcos x 的特解
因此
y
C1
c
os3x
C2
sin
3x
1 32
(4xcosxsin
x)
是方程
y9yxcos
x
的通解
(3)yC1x2C2x2ln x(C1、C2 是任意常数)是方程 x2y3xy4y0 的通解
解 令 y1x2 y2x2ln x 因为 x2y13xy14y1x223x2x4x20 x2y23xy24y2x2(2ln x3)3x(2xln xx)4x2ln x0
y19y19cos3x9cos3x0
y29y29sin3x9sin3x0
且
y2 y1
tan3x 不恒为常数
所以 y1 与 y2 是齐次方程 y9y0 的线
性无关解 从而 YC1exC2e2x 是齐次方程的通解 又因为
y*9y* 1 (9sin x4xcosx)9 1 (4xcosxsin x) xcosx
xy1
x(
2ex x3
2ex x2
ex x
)
2(
ex x2
ex x
)
x ex x
0
xy2 2 y2
xy2
x(
2ex x3
2ex x2
ex x
)2(
ex x2
ex x
)
x
ex x
0
且
y1 e2x 不恒为常数 y2
所以 y1 与 y2 是齐次方程 xy2yxy0 的
线性无关解
从而
Y
1 x
(C1ex
C2ex
93
99
9
所以 y*是方程 x2y3xy5yx2ln x 的特解
因此
y
C1x5
C2 x
x2 9
ln
x
是方程
x2y3xy5yx2ln
x
的通解
(5)
y
1 x
(C1ex
C2ex
)
ex 2
(C1、C2 是任意常数)是方程
xy2yxyex
的通解
解
令
y1
1 x
ex
y2
1 x
ex
y* ex 因为 2
xy1 2 y1
x2y13xy15y1x220x33x5x45x50
x2
y23xy2
5y2
x2
2 x3
3x(
1 x2
)
5
1 x
0
且
y1 y2
x6 不恒为常数
所以 y1 与 y2 是齐次方程 x2y3xy5y0 的
线性无关解
从而 Y
C1x5
C2 x
是齐次方程的通解
又因为
x2 y*3xy*5y*
x2( 2 ln x1)3x( 2x ln x x)5( x2 ln x) x2 ln x
并且
y1 y2
cotx 不恒为常数
所以 y1cosx 与 y2sinx 是方程的
线性无关解 从而方程的通解为 yC1cosxC2sinx
提示 y1 sinx y12cosx y2 cosx y12sinx
3 验证 y1 ex2 及 y2 xex2 都是方程 y4xy(4x22)y0 的解
并写出该方程的通解 解 因为
且
y2 ln x 不恒为常数 y1
所以 y1 与 y2 是方程 x2y3xy4y0 的线性
无关解 从而 yC1x2C2x2ln x 是方程的通解
(4)
y
C1x5
C2 x
x2 9
ln
x
(C1、C2
是任意常数)是方程
x2y3xy5yx2ln x
的通解
解 令 y1x5
y2
1 x
y* x2 ln x 因为 9
y* 1 e5x 因为 12
y13y12y1ex3ex2ex0
y23y22y24e2x3(2e2x2e2x0
且
y2 y1
ex 不恒为常数
所以 y1 与 y2 是齐次方程 y3y2y0 的线
性无关解 从而 YC1exC2e2x 是齐次方程的通解 又因为
y*3y*2y* 25e5x 3 5 e5x 2 1 e5x e5x
习题 127
1 下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？
(1)x x2
解 因为 x2 x 不恒为常数 所以 x x2 是线性无关的 x
(2)x 2x
解 因为 2x 2 所以 x 2x 是线性相关的 x
(3)e2x 3e2x
解
因为 3e2x ex
3
所以 e2x 3e2x 是线性相关的
(4)ex ex
)
是齐次方程的通解
又因为
xy*2y*xy* xex 2ex xex ex 222
所以 y*是方程 xy2yxyex 的特解
因此
y
ห้องสมุดไป่ตู้
1 x
(C1ex
C2ex
)
ex 2
是方程
xy2yxyex 的通解
(6)yC1exC2exC3cos xC4sin xx2(C1、C2、C3、C4 是任意常
数)是方程 y(4)yx2 的通解
cosx sin x
40
ex ex sin x cosx
所以方程组只有零解 即 y1ex y2ex y3cos x y4sin x 线性无关
12
12
12
所以 y*是方程 y3y2ye5x 的特解
因此
y
C1ex
C2e2x
1 12
e5x
是方程
y3y2ye5x
的通解
(2)
y
C1c
os3x
C2
sin
3x
1 32
(4x
cosx
sin
x)
(C1、C2
是任意常
数)是方程 y9yxcos x 的通解
解 令 y1cos3x y2sin3x
y* 1 (4xcosxsin x) 因为 32
(7)sin2x cos xsin x
解 因为 sin2x 2 所以 sin2x cos xsin x 是线性相关的 cosxsin x
(8)excos2x exsin2x
解
因为
ex ex
s c
in 2x os2x
tan
2x
不恒为常数
所以 excos2x exsin2x 是
线性无关的
(9)ln x xln x