正弦定理经典题型总结

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正余弦定理知识点及题型归纳

正余弦定理是三角学中的重要知识点，用于解决与三角形相关的问题。

下面是对正余弦定理的知识点及题型归纳：一、正弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有sinA/a = sinB/b = sinC/c。

2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。

3. 应用：-已知三个角的度数，求边长；-已知两个边的长度，求第三个边的长度；-已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数；-已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数。

二、余弦定理1. 定义：在任意三角形ABC中，设角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，那么有cosA = (b ²+ c²- a²) / (2bc)。

2. 性质：-等式两边同时乘以任意非零常数，等式仍然成立；-等式两边同时除以相同的角，等式仍然成立；-等式两边同时取反函数，等式仍然成立。

三、题型归纳1. 已知三个角的度数，求边长：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度代入公式中，求解边长；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

2. 已知两个边的长度，求第三个边的长度：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的两个边的长度代入公式中，求解第三个边的长度；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

3. 已知一个角和一条边的长度，求另外两个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和边的长度代入公式中，求解另外两个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

4. 已知一个角和两条边的长度，求第三个角的度数：-根据正弦定理或余弦定理，将已知的角度和两条边的长度代入公式中，求解第三个角的度数；-如果已知的是弧度制的角度，需要将其转换为角度制。

题型06 正弦定理(解析版)

秒杀高考数学题型之正弦定理在解三角形中的应用【秒杀题型一】：正弦定理解三角形应用一之已知两角与任意一条边。

『秒杀策略』：2sin sin sin a b cR A B C===(外接圆直径)，利用三角形内角和：A B C π++=，求出第三角，再利用正弦定理可求出另两边。

1.(2016年新课标全国卷II13)ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若135cos ,54cos ==C A , 1=a ，则b = 。

【解析】：6563sin cos cos sin )sin(sin =+=+=C A C A C A B ，由正弦定理得1321=b 。

2.(高考题)设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且35cos ,cos ,513A B ==3b =，则c = 。

【解析】：由正弦定理得514。

3.(高考题)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为a ,b ,c ，若a =21sin =B ，6π=C ，则b = 。

【解析】：由正弦定理得1。

4.(2015年新课标全国卷I16)在平面四边形ABCD 中，︒=∠=∠=∠75C B A ，2=BC ，则AB 的取值范围是。

【解析】：当A 与D 重合时最长为26+，当C 与D 重合时最短为26-。

【秒杀题型二】：正弦定理解三角形应用二之已知两边与其中一边所对的角。

『秒杀策略』：在这类题型中注意增根与丢根，因为求正弦时一定为正值，如为1，则只有一组解，如为()0,1时，利用大边对大角，小边对小角原理，如这条边是大边则有两组解(锐角与钝角均成立)，如这条边是小边，则只有一组解(只取锐角)，如正弦值大于1，则无解。

1.(2017年新课标全国卷I11)ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知 sin sin (sin cos )0B A C C +-=，2,2==c a ,则C = ( )A.π12B.π6C.π4D.π3【解析】：由)sin(sin C A B +=得π43=A ，由正弦定理得6π=C ，选B 。

考点28正弦定理、余弦定理(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习核心题型(新高考版

考点28正弦定理、余弦定理（2种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.掌握正弦定理、余弦定理及其变形.2.理解三角形的面积公式并能应用.3.能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．【知识点】1．正弦定理、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容asin A＝＝＝2Ra 2＝；b 2＝；c 2＝变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝，c ＝；(2)sin A＝a2R ，sin B＝，sin C ＝；(3)a ∶b ∶c ＝____________cos A ＝；cos B ＝；cos C ＝2．三角形解的判断A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式a ＝b sin A b sin A < a b 解的个数一解两解一解一解3．三角形中常用的面积公式(1)S ＝12ah a (h a 表示边a 上的高)；(2)S ＝＝＝；(3)S ＝ (r 为三角形的内切圆半径)．常用结论在△ABC 中，常有以下结论：(1)∠A ＋∠B ＋∠C ＝π.(2)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．(3)a >b ⇔A >B ⇔sin A >sin B ，cos A <cos B .(4)sin(A ＋B )＝sin C ；cos(A ＋B )＝－cos C ；tan(A ＋B )＝－tan C ；sin A ＋B 2＝cos C 2；cosA ＋B2＝sin C2.(5)三角形中的射影定理在△ABC 中，a ＝b cos C ＋c cos B ；b ＝a cos C ＋c cos A ；c ＝b cos A ＋a cos B .(6)三角形中的面积S p ＝12(a ＋b ＋c )).【核心题型】题型一　利用正弦定理、余弦定理解三角形(1)由y ＝sin ωx 的图象到y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的变换：向左平移φω(ω>0，φ>0)个单位长度而非φ个单位长度．(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致，那么应先利用诱导公式化为同名函数，ω为负时应先变成正值【例题1】（2024·广东江门·二模）P 是ABC V 内一点，45,30ABP PBC PCB ACP Ð=°Ð=Ð=Ð=°，则tan BAP Ð=（）A ．23B ．25C ．13D ．12【变式1】（2024·河北沧州·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若3cos cos cos b B a C c A =+，且34b c =，则C =.【变式2】（2024·山东日照·二模）ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ．分别以,,a b c 为边长的正三角形的面积依次为123,,S S S ，且123S S S --=．(1)求角A ；(2)若4BD CD =uuu r uuu r ，π6CAD Ð=，求sin ACB Ð．【变式3】（2024·辽宁沈阳·模拟预测）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且222sin sin sin 1cos cos C C B B A -=-.(1)求角A 的大小；(2)若ABC V 为锐角三角形，点F 为ABC V 的垂心，6AF =，求CF BF +的取值范围.题型二　正弦定理、余弦定理的简单应用命题点1　三角形的形状判断判断三角形形状的两种思路(1)化边：通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．(2)化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，从而判断三角形的形状．此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．【例题2】（2024·陕西渭南·三模）已知ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若cos cos b C c B b +=，且cos a c B =，则ABC V 是（）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【变式1】（2024·湖南衡阳·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sin 2sin 2A B =，则ABC V 的形状为 .【变式2】（2024·安徽淮北·二模）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22sin 2Ac b c -=(1)试判断ABC V 的形状；(2)若1c =，求ABC V 周长的最大值.【变式3】（2024·内蒙古·三模）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且())cos cos a C c B A =-.(1)求ba的值；(2)若2B C =，证明：ABC V 为直角三角形.命题点2　三角形的面积三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．【例题3】（2024·云南昆明·三模）已知ABC V 中，3AB =，4BC =，AC =ABC V 的面积等于（）A ．3B C ．5D ．【变式1】（2024·安徽·三模）在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足a =sin 1cos ()(sin sin )sin 3sin ,sin cos C Ca c A Cb Bc A B B-++=+=，则ABC V 的面积是．【变式2】（2024·浙江绍兴·二模）在三角形ABC 中，内角,,A B C 对应边分别为,,a b c 且cos sin 2b C B a c =+.(1)求B Ð的大小；(2)如图所示，D 为ABC V 外一点，DCB B Ð=Ð，CD =1BC =，30CAD Ð=o ，求sin BCA Ð及ABC V 的面积.【变式3】（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，已知()sin sin sin sin sin A B CA B B+=-.(1)求证：sin 2sin A B =；(2)若D 为AB 的中点，且AB =CD =ABC V 的面积.命题点3　与平面几何有关的问题在平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值、优化设计等问题时，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决．在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，再解方程即可．若研究最值，常使用函数思想【例题4】（2024·山东聊城·二模）如图，在平面四边形ABCD 中，2,2120AB AD B D °==Ð=Ð=，记ABC V 与ACD V 的面积分别为12,S S ，则21S S -的值为（）A ．2BC ．1D【变式1】（22-23高三上·江苏扬州·期末）如图，在ABC V 中，1sin 3A =，AB =D 、E 分别在边BC 、AC 上，EC EB =，ED BC ^且1DE =.则cos C 值是；ABE V 的面积是.【变式2】（2024·广东梅州·二模）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，cos sin B b A -=，2c =，(1)求A 的大小：(2)点D 在BC 上，（Ⅰ）当AD AB ^，且1AD =时，求AC 的长；（Ⅱ）当2BD DC =，且1AD =时，求ABC V 的面积ABC S V ．【变式3】（23-24高三下·山东·开学考试）如图所示，圆O 的半径为2，直线AM 与圆O 相切于点,4A AM =，圆O 上的点P 从点A 处逆时针转动到最高点B 处，记(],0,πAOP q q Ð=Î.(1)当2π3q =时，求APM △的面积；(2)试确定q 的值，使得APM △的面积等于AOP V 的面积的2倍.【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·河南新乡·二模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且7a =，3b =，5c =，则（）A ．ABC V 为锐角三角形B ．ABC V 为直角三角形C ．ABC V 为钝角三角形D ．ABC V 的形状无法确定2．（2024·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，D 为AC 的中点，已知2c =，BD =cos cos 2cos a B b A c B +=-，则ABC V 的面积为（）A ．BCD 3．（23-24高三下·河南·阶段练习）记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知3a =，2239b c c =++，ABC Ð的平分线交边AC 于点D ，且2BD =，则b =（）A ．B ．C ．6D ．4．（2024·山东枣庄·模拟预测）在ABC V 中，1202ACB BC AC Ð=°=，，D 为ABC V 内一点，AD CD ^，120BDC Ð=°tan ACD Ð=（）A ．BCD 二、多选题5．（2024·江西·二模）已知ABC V 中，1,4,60,AB AC BAC AE ==Ð=°为BAC Ð的角平分线，交BC 于点,E D 为AC 中点，下列结论正确的是（）A ．BE =B ．AE =C ．ABE VD ．P 在ABD △的外接圆上，则12PB PD +6．（2024·重庆·模拟预测）已知ABC V 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，则下列说法正确的有（）A ．若a b >，则sin sin A B>B ．若a b >，则cos cos A B>C ．若222a b c +<，则ABC V 为钝角三角形D ．若222a b c +>，则ABC V 为锐角三角形三、填空题7．（2024·北京昌平·二模）已知ABC V 中，34,2,cos 4a b c A ===-，则ABC S =V ．8．（2024·江苏·二模）设钝角ABC V 三个内角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，若2a =，sin b A =3c =，则b = .9．（2024·河南·三模）如图，在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,45,3B A c a ==-=o o ，B Ð的平分线BD 交边AC 于点,D AB 边上的高为,CF BC 边上的高为,AE BD CF P Ç=，,AE CF R BD AE Q Ç=Ç=，则PQR Ð= ；PQ = .四、解答题10．（2024·上海宝山·二模）在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.(1)求角B 的大小；(2)若ABC V a c +的最小值，并判断此时ABC V 的形状.11．（2024·江西·ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，其外接圆的半径为cos sin b C a B =．(1)求角B ；(2)若B Ð的角平分线交AC 于点,D BD =E 在线段AC 上，2EC EA =，求BDE △的面积．【综合提升练】一、单选题1．（2024·浙江金华·三模）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c .若a =2b =，60A =°，则c 为（）A ．1B ．2C ．3D ．1或32．（2024·青海西宁·二模）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若b =，且cos 2cos 33A AC +=，则cos C 的值为（）A B C D 3．（2024·山东·模拟预测）在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且()()2sin 2sin 2sin a A b c B c b C =+++，则cos A =（）A ．12-B ．13C ．12D ．234．（2024·四川成都·模拟预测）在ABC V 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，给出以下4个命题：（1）若a b >，则cos2cos2A B <；（2）若cos cos a B b A c -=，则ABC V 一定为直角三角形；（3）若4a =，5b =，6c =，则ABC V （4）若cos()cos()cos()1A B B C C A ---=，则ABC V 一定是等边三角形.则其中真命题的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2024·内蒙古赤峰·一模）已知ABC V 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足22cos a b c B +=，且sin sin 1A B +=，则ABC V 的形状为（）A ．等边三角形B ．顶角为120°的等腰三角形C ．顶角为150°的等腰三角形D ．等腰直角三角形6．（2024·吉林长春·模拟预测）ABC V 的内角A B C ､､所对的边分别为,1,2a b c a b A B ==､､，则c =（）A ．2B C D ．17．（2024·河北秦皇岛·三模）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2B C =，b ，则（）A ．ABC V 为直角三角形B ．ABC V 为锐角三角形C ．ABC V 为钝角三角形D ．ABC V 的形状无法确定8．（2024·重庆·三模）若圆内接四边形ABCD 满足2AC =，30CAB CAD Ð=Ð=°，则四边形ABCD 的面积为（）A B C ．3D ．二、多选题9．（2024·全国·模拟预测）若ABC V 的三个内角为,, A B C ，则下列说法正确的有（）A ．sin ,sin ,sin A B C 一定能构成三角形的三条边B ．sin 2,sin 2,sin 2 A B C 一定能构成三角形的三条边C ．222sin ,sin ,sin A B C 一定能构成三角形的三条边D 一定能构成三角形的三条边10．（2024·广东广州·二模）在梯形中，3//,1,3,cos 4AB CD AB CD DAC ACD ==Ð=Ð=，则（）A ．AD =B ．cos BAD Ð=C ．34BA AD ×=-uuu r uuu r D ．AC BD^11．（2024·浙江·三模）已知 ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2sin sin 2A C b A +×=×，下列结论正确的是（）A ．π3B =B ．若 45a = ，则 ABC V 有两解C ．当a c -=时， ABC V 为直角三角形D ．若 ABC V 为锐角三角形，则 cos cos A C + 的取值范围是三、填空题12．（2024·全国·模拟预测）已知在ABC V 中，点M 在线段BC 上，且π10,14,6,4AM AC MC ABC ===Ð=，则AB = ．13．（2024·湖南长沙·二模）在ABC V 中，若2BC =，4tan 3A =-，4cos 5B =，则AC = .14．（2024·福建厦门·三模）记锐角ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若32cos b aC a b=-，则B 的取值范围是 .四、解答题15．（2024·陕西西安·模拟预测）设ABC V 的内角,,A B C 所对的边分别是,,,a b c 且向量(,),(,sin )m a b n A B ==u r r 满足//m n u r r .(1)求A ；(2)若3a b ==，求BC 边上的高h .16．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在平面四边形ABCD 中，//AB CD ，sin cos AD D ACD ×=×Ð，BAC Ð的角平分线与BC 相交于点E ，且1,AE AB ==(1)求ACD Ð的大小；(2)求BC 的值.17．（2023·黑龙江·模拟预测）某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于：“观光湖”内两处景点A ，C 之间的距离，如图，B 处为码头入口，D 处为码头，BD 为通往码头的栈道，且100m BD =，在B 处测得π6π4ABD CBD Ð=Ð=，在D 处测得2π3π34BDC ADC Ð=Ð=．（A ，B ，C ，D 均处于同一测量的水平面内）(1)求A ，C 两处景点之间的距离；(2)栈道BD 所在直线与A ，C 两处景点的连线是否垂直？请说明理由．18．（2024·湖南·模拟预测）在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()()3cos ,sin sin sin 3sin 5A a c A C bB c A =++=+．(1)证明：ABC V 是锐角三角形；(2)若2a =，求ABC V 的面积．19．（2023·辽宁鞍山·二模）请从①2sin cos cos cos a B B C B =；②()22sin sin sin sin sin A C B A C -=-；a =这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答（如未作出选择，则按照选择①评分.选择的编号请填写到答题卡对应位置上）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若___________，(1)求角B 的大小；(2)若△ABC 为锐角三角形，1c =，求22a b +的取值范围.【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·山东·二模）在ABC V 中，设内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，设甲：(cos cos )b c a C B -=-，设乙：ABC V 是直角三角形，则（）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件2．（2024·安徽·模拟预测）在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a c =，且()22sin 21sin BB A=+，则B =（）A ．π3B ．2π3C ．3π4D ．5π63．（2024·陕西咸阳·三模）为了进一步提升城市形象，满足群众就近健身和休闲的需求，2023年某市政府在市区多地规划建设了“口袋公园”.如图，在扇形“口袋公园”O PQ 中，准备修一条三角形健身步道OAB ，已知扇形的半径3OP =，圆心角π3POQ Ð=，A 是扇形弧上的动点，B 是半径OQ 上的动点，//AB OP ，则OAB V 面积的最大值为（）A B ．34C D ．354．（2024·辽宁·模拟预测）三棱锥P ﹣ABC 所有棱长都等于2，动点M 在三棱锥P ﹣ABC 的外接球上，且0,||AM BM PM ×=uuuu r uuuu r uuuu r的最大值为s ，最小值为t ，则:s t =（）A ．2BCD ．3二、多选题5．（2024·湖北·模拟预测）在ABC V 中，,,A B C 所对的边为,,a b c ，设BC 边上的中点为M ，ABC V 的面积为S ，其中a =，2224b c +=，下列选项正确的是（）A ．若π3A =，则S =B ．S 的最大值为C ．3AM =D ．角A 的最小值为π36．（23-24高一下·河北石家庄·阶段练习）已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列说法中正确的是（）A ．若cos cos a A bB =，则ABC V 一定是等腰三角形B ．若cos()cos()1A B B C -×-=，则ABC V 一定是等边三角形C ．若cosC cos a c A c +=，则ABC V 一定是等腰三角形D ．若cos(2)cos 0B C C ++>，则ABC V 一定是钝角三角形三、填空题7．（2024·全国·三模）在ABC V 中，()cos ,sin AB q q =uuu r ，()3sin ,3cos BC q q =uuu r .若2AB BC ×=uuu r uuu r ，则ABC V 的面积为 .8．（2024·陕西铜川·三模）已知ABC V ,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，点D 是AB 的中点.若22cos a b c B +=，且1,AC CD ==，则AB = .9．（2024·广西·模拟预测）在锐角ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且ABC V 的面积(1cos )S bc A =-，则2a bc的取值范围为．四、解答题10．（2024·河南·三模）已知P 是ABC V 内一点，π3π,,,44PB PC BAC BPC ABP ÐÐÐq ====.(1)若π,24BC q ==AC ；(2)若π3q =，求tan BAP Ð.11．（2024·黑龙江大庆·模拟预测）某公园计划改造一块四边形区域ABCD 铺设草坪，其中2AB =百米，1BC =百米，AD CD =，AD CD ^，草坪内需要规划4条人行道DM 、DN 、EM 、EN 以及两条排水沟AC 、BD ，其中M 、N 、E 分别为边BC 、AB 、AC 的中点．(1)若π2ABC Ð=，求排水沟BD 的长；(2)若ABC a Ð=，试用a 表示4条人行道的总长度．。

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「正弦定理」用正弦定理解三角形常见的四个题型以及易错点分析
【方法总结】利用正弦定理解决“已知三角形的任意两边与其中一边的对角求其他边与角”的问题时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合“三角形大边对大角”来判断解的情况，做到正确取舍．
【变式2】满足a＝4，b＝3和A＝45°的△ABC的个数为( )．
A．0个B．1个
C．2个D．无数多个
题型三利用正弦定理判断三角形的形状
【方法总结】依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：
(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；
(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．题型四利用正弦定理求最值或范围
【题后反思】在三角形中解决三角函数的取值范围或最
值问题的方法：
(1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量．
(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值的问题．【易错点分析】忽视等价转化而致误
当两个角的某三角函数值相等时，我们并不能肯定这两个角一定相等，一定要根据两个角的取值范围结合诱导公式写出所有的情况．
灵活运用诱导公式sin(2kπ＋α)＝sin α(k∈Z)，sin(π－α)＝sin α是解三角形的关键，当出现sin A＝sin B时，一是易忽略A、B的范围；二是易忽略A＋B＝π时，sin A＝sin B同样成立．。

正余弦定理知识点及高考考试题型整理学生理

正、余弦定理一、知识总结 (一)正弦定理1.正弦定理：2,sin sin sin a b cR A B C===其中R 是三角形外接圆半径. 2.变形公式：（1）化边为角：（2）化角为边：（3）（4）.3、正弦定理可解决两类问题：（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；（解唯一）（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角. （解可能不唯一）在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下：a ＝b sin A b sin A <a b 1.余弦定理: 2222cos a b c bc A =+-2222cos c a b ab C =+-2222cos b a c ac B =+-2.变形公式:222222222cos ,cos ,cos .222b c a a c b a b c A B C ab ac ab+-+-+-===.注：2a ＞22c b +⇒A 是钝角；2a =22c b +⇒A 是直角；2a ＜22c b +⇒A 是锐角；2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ===sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R ===::sin :sin :sin a b c A B C =2sin sin sin sin sin sin a b c a b c RA B C A B C ++====++3.余弦定理可以解决的问题：（1）已知三边，求三个角；（解唯一）（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角；（解唯一）：4.由余弦定理判断三角形的形状a2=b2+c2⇔A是直角⇔△ABC是直角三角形，a2＞b2+c2⇔A是钝角⇔△ABC是钝角三角形，a2＜b2+c⇔A是锐角/△ABC是锐角三角形。

（注意：A是锐角/ △ABC是锐角三角形，必须说明每个角都是锐角）(三) ΔABC的面积公式:（1）1() 2a aS a h h a= 表示边上的高；（2）111sin sin sin() 2224abcS ab C ac B bc A RR====为外接圆半径；（3）1()() 2S r a b c r=++为内切圆半径(四) 实际问题中的常用角1.仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）2.方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

正弦定理知识点及题型总结

6.4.3.2正弦定理一、概念1.正弦定理：设ABC ∆的三个内角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，外接圆的半径为R ，则R CcB b A a 2sin sin sin === 证明：2.正弦定理的变形（1）A R a sin 2=；B R b sin 2=；C R c sin 2= （2）=A sin R a 2；=B sin R b 2；=C sin Rc 2 （3）c b a C B A ::sin :sin :sin =（4）CB A cb a Cc B b A a sin sin sin sin sin sin ++++=== （5）C A c B A b a sin sin sin sin ==；C B c A B a b sin sin sin sin ==；ACa B Cbc sin sin sin sin == 3.三角形的面积公式：设ABC ∆的角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，则ABC ∆的面积c b a ABC ch bh ah S 212121===∆（其中c b a h h h ,,分别为边c b a ,,上的高）B ca A bcC ab sin 21sin 21sin 21=== C BA cBC A b A C B a sin 2sin sin sin 2sin sin sin 2sin sin 222=== C B A R sin sin sin 22=（其中R 是ABC ∆的外接圆半径）R abc 4= )(21c b a r ++=（其中r 是ABC ∆的内切圆半径） 22)()(21AC AB AC AB ⋅-= ))()((c p b p a p p ---=（海伦公式）（其中p 为半周长2cb a p ++=）特别地，若设点),(),,(2211y x B y x A ，则122121y x y x S OAB -=∆ 4.三角形解的个数ABC ∆中，已知b a ,和A 时，三角形的解得情况如下：A 为锐角 A 为钝角图形关系式 A b a sin <A b a sin =b a A b <<sinb a ≥b a ≥解的个数无解一解两解一解一解例1.证明角平分线定理：ABC ∆中，AD 是角内A 或其外角的平分线，则CDBDAC AB =题型一已知两角和一边，解三角形例2.在ABC ∆中，已知015=A ，045=B ，33+=c ，解这个三角形小结：已知三角形的两角及一边，解三角形的步骤： ①先由内角和定理求出第三个角； ②再用正弦定理另外两边.跟踪训练：在ABC ∆中，已知030=A ，0105=C ，10=a ，解这个三角形题型二已知两边和其中一边的对角，解三角形例2.在ABC ∆中，已知030=B ，2=b ，2=c ，解这个三角形小结：（1）已知三角形的两边及一边所对的角，解三角形的步骤：解法1：①先由正弦定理求另外一边所对的角（注意大边对大角）； ②再用内角和定理求第三个角； ③由正弦定理求第三边.解法2：①由已知角的余弦定理得到第三边的方程，解出第三边（注意大角对大边） ②再用余弦定理或正弦定理求出第二个角； ③用内角和定理求第三个角. 跟踪训练：在ABC ∆中，已知3=a ，2=b ，045=B ，解这个三角形题型三判断三角形解得个数例3.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若3=a ，4=b ，030=A ，则此三角形（）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练1.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若2=b ，4=c ，060=B ，则此三角形（）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练2.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若18=a ，20=b ，0150=A ，则此三角形（）A.有一解B.有两解C.无解D.不确定跟踪训练 3.在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，根据下列条件，判断三角形解得情况，其中正确的有①8=a ，16=b ，030=A ，有一个解； ②18=b ，20=c ，060=B ，有两个解 ③5=a ，2=c ，090=A ，无解； ④30=a ，25=b ，0150=A ，有一个解；题型四判断三角形的形状例4.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若22tan tan ba B A =，试判断三角形的形状小结：根据已知条件判断三角形形状，通常有两种思路：（1）化边为角：根据正弦定理把已知条件中的边角混合关系化为角的关系，再根据三角恒等变换化简，进而确定三角形的形状（2）化角为边：根据正弦定理和余弦定理把已知条件中的边角混合关系化为边的关系，再根据代数运算化简，进而确定三角形的形状跟踪训练1.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若A a B c C b sin cos cos =+，试判断三角形的形状小结：三角形的射影定理：ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，则B cC b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=，A b B a c cos cos +=注：a c b B c C b 22cos cos -=-，b c a A c C a 22cos cos -=-，cb a A b B a 22cos cos -=-跟踪训练2.ABC ∆中，角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，若A b a B a c cos )2(cos -=-，试判断三角形的形状总结：三角形中常见的结论：设ABC ∆的角C B A ,,所对的边长分别为c b a ,,，则（1）三角形的内角和定理：π=++C B A （2）三角形的大边对大角，大角对大边（3）锐角三角形的任何一个内角的正弦都大于其余角的余弦（4）平行四边形的性质：平行四边形的两条对角线的平方和等于四条边的平方和（5）中线长定理：设ABC ∆的边c b a ,,上的中线分别为CF BE AD ,,，则222)(221a c b AD -+=，222)(221b c a BE -+=，222)(221c b a CF -+= （6）角平分线定理：ABC ∆中，AD 是角A 或其外角的平分线，则CD BDAC AB =（7）（1）=+)sin(B A ，=+)cos(B A ，=+)tan(B A ，=+2sinB A ，=+2cos B A ，=+2tan BA （8）B A B A =⇔-)sin(⇔ABC ∆为等腰三角形（9）B A B A =⇔=2sin 2sin 或2π=+B A ⇔ABC ∆为等腰或直角三角形（10）B A b a B A >⇔>⇔>sin sin B A cos cos <⇔（11）三角形中的射影定理：B cC b a cos cos +=，A c C a b cos cos +=，A b B a c cos cos +=注：a c b B c C b 22cos cos -=-，b c a A c C a 22cos cos -=-，cb a A b B a 22cos cos -=-（12）ABC Rt ∆的内切圆半径22c b a c b a S r ABC -+=++=∆，旁切圆半径2'c b a r ++=（13）1tan tan >B A ⇔ABC ∆为锐角三角形；1tan tan =B A ⇒ABC ∆为直角三角形； 1tan tan ++C B A ，则ABC ∆为锐角三角形（15）若c b a ,,成等差数列，则①C B A sin ,sin ,sin 也成等差数列；②30π≤<B（16）若c b a ,,成等比数列，则30π≤<B（17）ABC ∆中的恒等式：①1cos cos cos 2sin 2sin 2sin 4-++==C B A CB A R r ②2cos 2cos 2cos 4sin sin sin cB AC B A =++③2cos 2sin 2sin 4sin sin sin cB AC B A =-+④C B A C B A sin sin sin 42sin 2sin 2sin =++ ⑤1cos cos cos 42cos 2cos 2cos --=++C B A C B A ⑥C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++⑦12tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan=++AC C B B A ⑧2cot 2cot 2cot 2cot 2cot 2cot C B A C B A =++⑨1cot cot cot cot cot cot =++A C C B B A。

正弦定理题型精解(全) 好好好

正弦定理一、课前预热1.在B A, b a,∠∠∆分别为中，已知ABC 所对的边，则B A B A b a sin ____sin ___⇔⇔>2.正弦定理：在三角形中，________________________________________________________即______________________===_______( )3.一般的，把三角形的三个角A,B,C 和它们的对边a,b,c 叫做三角形的元素。

已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____.二、课堂探究解斜三角形的类型：1.已知两角和任意一边，求其他两边和一角2.已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）．条件：A b a sin =解的个数：_____条件：b a A b <<sin解的个数：_____解解的个数：_____条件： b a ≥解的个数：_____条件： b a >解的个数：_____三、题型讲解题型1 已知两角和任意一边，求其他两边和一角例1 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆题型2 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角例2 在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆例3 C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆例4 ABC ∆中，已知045,2,===B cm b xcm a ，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是_____四、巩固练习1.在ABC ∆中，5,15,13500===A C B ,则此三角形的最大边长为_____ .____,6,3,60.2=∠===∠∆︒C AB BC A ABC 则中，3.已知︒=∠==∆30,34,4,A b a ABC 中，则______=∠B .4.______,4,13,60====∠∆︒b c a A ABC 则中，若在.5.______,sin 2=∠=∆C B c b ABC 则中，若在五、提炼讲解例1.ABC ∆中，已知C c B b A a cos cos cos ==，试判断三角形的形状.变式1：在ABC ∆中,______,cos cos 的形状为则ABC B C b c ∆=变式2： ABC ∆中，A B B A 22sin tan sin tan ⋅=⋅，那么ABC ∆一定是_______变式3：ABC ∆中，A 为锐角，2lg sin lg 1lg lg -==+A cb ，则ABC ∆形状为_____例2. 在ABC ∆中，若,60,3︒==A a 那么ABC ∆的外接圆的周长为________变式：在ABC ∆中，若3,600==a A ，则_______sin sin sin =++++C B A c b a例3：在ABC ∆中，AD 是BAC ∠的平分线，用正弦定理证明：AB BD AC DC=．例4：某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为35︒，沿倾斜角为20︒的斜坡前进1000米后到达D 处，又测得山顶的仰角为65︒，求山的高度。

正弦定理余弦定理题型

一、知识点1、正弦定理及其变形2(sin sin sin a b cR R A B C===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b cA B C R R R===（）(角化边公式） 3::sin :sin :sin a b c A B C =（） sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b Bb Bc C c C===2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）已知a ，b 和A ，求B 时的解的情况:如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解；如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解. 3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc Ab ac ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B aca b c C ab+-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边。

5、常用的三角形面积公式（1）高底⨯⨯=∆21ABC S ；（2）B ca A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆（两边夹一角）；6、三角形中常用结论（1）,,(a b c b c a a c b +>+>+>即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sin sin (ABC A B a b A B ∆>⇔>⇔>在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在△ABC 中，A+B+C=π，所以sin(A+B)=sinC ；cos(A+B)=－cosC ；tan(A+B)=－tanC 。

正弦定理经典题型归纳

正弦定理经典题型归纳正弦定理是三角形中的一种重要定理，它表明各边和它所对角的正弦的比相等。

这个定理适用于任意三角形。

除了原始的正弦定理，还有一些变形。

其中一个问题是“已知a、b和A，解三角形”。

当sinB>1时，无解；当sinB=1时，只有一个解；当sinB<1时，有两个解。

需要根据“大边对大角”以及“三角形内角和等于180”来判断B是锐角还是钝角，或者两个都有可能。

在解三角形的过程中，有几种常见的题型。

第一种是已知两角及任意一边，需要解出三角形。

例如，在△ABC中，已知A＝45°，B＝60°，a＝2，则b等于2.另一个例子是，在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，则b等于43.第二种题型是已知两边及一边对角，需要解出三角形。

例如，在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，则角B为45°或135°。

另一个例子是，在△ABC中，a＝6，b＝26，B＝120°，则c等于2.第三种题型是正弦定理的边角转化。

例如，在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，则sinA∶sinB∶sinC等于1∶5∶6.另一个例子是，在△ABC中，若cosAb＝cosBa，则△ABC是等腰三角形。

需要注意的是，在解三角形的过程中，如果sinB>1或者sinB=1，则无法解出三角形。

此外，如果已知的条件不足以解出三角形，也无法得出解。

因此，在解题时需要仔细分析已知条件，判断是否能够得到解。

最后，需要注意一些常见的错误。

例如，将角度和弧度混淆，或者错误地使用正弦定理等。

为了避免这些错误，需要认真研究和理解三角函数及其应用，多做练，加深对知识点的理解和掌握。

A。

等腰三角形 B。

等边三角形 C。

直角三角形 D。

无法确定在三角形中，有几种常见的类型，包括等腰三角形、等边三角形和直角三角形。

正弦定理经典题型归纳

正弦定理1. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即公式适用于任意三角形。

2. 正弦定理的变形3. 判断三角形解的问题 “已知a,b 和A,解三角形”①当sin B >1,无解 ②sin B =1,一解 ③sinB <1,两个解（其中B 可能为锐角也可能为钝角，具体是锐角还是钝角还是两个都可以，要根据“大边对大角”及“三角形内角和等于180”来判断）题型一：已知两角及任意一边解三角形1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝2，则b 等于( ) A. 6 B. 2 C. 3 D ．2 62．在△ABC 中，已知a ＝8，B ＝60°，C ＝75°，则b 等于( )A ．4 2B ．4 3C ．4 6 D.3233．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若A ＝105°，B ＝45°，b ＝2，则c ＝( )A ．1 B.12C ．2 D.14变形：题型二：已知两边及一边对角解三角形1．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则角B 为( )A ．45°或135°B ．135°C ．45°D ．以上答案都不对2．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于( ) A. 6 B ．2 C. 3 D. 2 3．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a ＝1，c ＝3，C ＝π3，则A ＝________.4 .在△ABC 中，已知a ＝433，b ＝4，A ＝30°，则sin B ＝________. 5．在△ABC 中，b ＝43，C ＝30°，c ＝2，则此三角形有________组解．6. 判断满足下列条件的三角形个数（1）b=39,c=54,︒=120C 有________组解（2）a=20,b=11,︒=30B 有________组解（3）b=26,c=15,︒=30C 有________组解（4）a=2,b=6,︒=30A 有________组解7.在△ABC 中，已知∠A ＝30°，∠B ＝120°，b ＝12，则a ＋c ＝________.8.在△ABC 中，B=4π,b=2,a=1,则A 等于 .题型三：正弦定理的边角转化1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝1∶5∶6，则sin A ∶sin B ∶sin C 等于( )A ．1∶5∶6B ．6∶5∶1C ．6∶1∶5D ．不确定2．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a，则△ABC 是( ) A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．直角三角形 D ．等腰三角形或直角三角形 3.在△ABC 中，如果Cc B b A a tan tan tan ==,那么△ABC 是（） A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形 4. 在△ABC 中，已知b B a 3sin 32=，且cosB=cosC ，试判断△ABC 形状。

(完整版)正弦定理知识点总结(精华)与试题

正弦定理知识点总结（精华）与试题1．特殊情况：直角三角形中的正弦定理：sinA=sinB= sinC=1 即：c= c= c= ==c a c b A a sin B b sin C c sin A a sin B b sin Cc sin 2．能否推广到斜三角形？证明一（传统证法）在任意斜△ABC 当中：S △ABC =Abc B ac C ab sin 21sin 21sin 21==两边同除以即得：==abc 21A a sin B b sin Ccsin 3．用向量证明：证二：过A 作单位向量垂直于j AC+= 两边同乘以单位向量AC CB AB j •(+)=• 则：•+•=•j AC CB j AB j AC j CB j AB ∴||•||cos90︒+||•||cos(90︒-C)=||•||cos(90︒-A)j AC j CB j AB ∴ ∴=A c C a sin sin =A a sin Ccsin 同理：若过C 作垂直于得：= ∴==j CB C c sin B b sin A a sin B b sin Ccsin 当△ABC 为钝角三角形时，设 ∠A>90︒ 过A 作单位向量垂直于向量j AC 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，==A a sinB b sin Ccsin 注意：（1）正弦定理适合于任何三角形。

（2）可以证明===2R （R 为△ABC 外接圆半径）A a sin B b sin Ccsin （3）每个等式可视为一个方程：知三求一Cl l ngt h 5.知识点整理6、应用：例1、已知在Bb a C Ac ABC 和求中，,,30,45,100===∆解：21030sin 45sin 10sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=C A c a C c A a 00105)(180=+-=C A B 25654262075sin 2030sin 105sin 10sin sin ,sin sin 00+=+⨯==⨯==∴=C B c b C c B b 又练习：1、在△ABC 中，已知A=450,B=600,a=42，解三角形.2、在△ABC 中，AC=，∠A=45°，∠C=75°，则BC 的长为．33、在△ABC 中，B=45,C=60,c=1，则最短边的边长等于例2．1 在CA a cB b ABC ,,1,60,30和求中，===∆解：21360sin 1sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=b B c C C cB b 00090,30,,60,==∴<∴=>B C C B CB cb 为锐角， 222=+=∴c b a 例2．2 CB b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆解：23245sin 6sin sin ,sin sin 0=⨯==∴=aA c C C c A a 0012060,sin 或=∴<<C c a A c ，1360sin 75sin 6sin sin ,75600+=====∴C B c b B C 时，当1360sin 15sin 6sin sin ,1512000-=====∴C B c b B C 时，当或0060,75,13==+=∴C B b 00120,15,13==-=C B b 注意：三角形的情况：时解和中，已知在A b a ABC ,∆（1）当A 为锐角（2）当A 为直角或钝角练习：1. ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若120c b B === ，则a 等于（）A B ．2C D 2、已知ABC ∆中，C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c 若a c ==且75A ∠=o ，则b = ( )A.2 B ．4＋．4—3、在ABC △中，若1tan 3A =，150C =，1BC =，则AB = . 4、已知△ABC 中，045,a b B ===解三角形例3：在△ABC 中，分别根据下列条件指出解的个数（1）、a=4,b=5,A=300; (2)、a=5,b=4,A=600;(3)、; (3)、0120a b B ===060.a b A ===练习：1．符合下列条件的三角形有且只有一个的是（） A ．a=1,b=2 ,c=3 B ．a=1,b= ,∠A=30°2 C ．a=1,b=2,∠A=100° D ．b=c=1, ∠B=45°1、在△ABC 中，a=5，b=3，C=1200,则sinA:sinB=2、在△ABC 中，acosB=bcosA,则⊿ABC 为（）A 、直角三角形B 、等腰三角形C 、等腰直角三角形D 、钝角三角形3、在△ABC 中，若b=2asinB,则A=4、在△ABC 中，若sin cos ,A BB a b=则的值为5、在△ABC 中，a:b:c=1:3:5,2sin sin sin A BC-则的值为6、在△ABC 中，已知sinA:sinB:sinC=4:5:6,且a+b+c=30，则a=7、若三角形的三个内角之比为1：2：3，则该三角形的三边之比为 8、在△ABC 中，0a b c60,sin sin sin A a A B C++=++则等于9.的三内角的对边边长分别为,若,则( )ABC ∆,,A B C ,,a bc ,2a A B ==cos B =10、在△ABC 中，若sinA>sinB,则有（）ab D a bA ≥、、、、、的大小关系无法确定。

正弦定理基础知识及常见题型汇总

正弦定理一、考点、热点回顾（一）正弦定理及其变形1．正弦定理：________＝________＝________＝2R ，其中R 是三角形外接圆的半径． 2．正弦定理的常用变形(1)a ∶b ∶c ＝________________；(2)a ＝__________，b ＝__________，c ＝__________； (3)sin A ＝________，sin B ＝__________，sin C ＝________；3．三角形中边角的不等关系在三角形中，A ＞B ＞C ⇔ a ＞b ＞c ⇔ sinA ＞sinB ＞sinC 。

（二）正弦定理的应用：解三角形 1、解三角形的概念2、利用正弦定理解三角形利用正弦定理可解决两类解三角形问题：（1）已知两角及一边解三角形基本思路： 1)由三角形的内角和定理求出第三个角．2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边．（2）已知两边及其中一边的对角解三角形基本思路：1)由正弦定理求出另一已知边所对的角．2)由三角形的内角和定理求出第三个角． 3)由正弦定理公式的变形，求第三条边．（3）解三角形的解的情况在△ABC 中，已知a ，b 和A ，以点C 为圆心，以边长a 为半径画弧，此弧与射线AB 的公共点（除去顶点A ）A 为锐角 A 为钝角或直角图形关系式 a ＜b sin A a ＝b sin A b sin A ＜a ＜ba ≥b a ＞b a ≤b 解的个数无解一解两解一解一解无解（三）三角形的面积公式S △ABC ＝12ah ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·()()()p p a p b p c ---二、典型例题考点一、正弦定理概念及变形例1、已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a ＝________.变式训练1、（1）在△ ABC 中，若b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝ .（2）在△ABC 中，若A ＝60°，a ＝3，则a ＋b ＋csin A ＋sin B ＋sin C＝________.考点二、已知两角及一边解三角形例2、在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c.变式训练2、（1）在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝() A．43B．2 3C. 3D.3 2（2）在△ABC中，A=45°，B=75°，c=2，则此三角形的最短边的长度是。

专题01：正弦定理常见题型

专题01：正弦定理常见题型题型一：正弦定理及辨析例1：1．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若sin cos A Ba b=，则B =（） A ．34πB ．3π C ．4π D ．6π【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理结合sin cos A Ba b=求得tan 1B =，即可求出B . 【详解】由正弦定理可得sin sin cos A B B a b b==，则sin cos B B =，tan 1B =，又()0,B π∈，则4B π=.故选：C. 举一反三1．（多选）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，则下列说法正确的有（） A ．A :B :C = a :b :c B ．sin sin sin sin a b c aA B C A++=++C ．若A >B ，则a >bD ．πA B C ++=【答案】BCD 【解析】【分析】结合三角形的性质、正弦定理求得正确答案. 【详解】在三角形中，大角对大边，所以C 选项正确. 三角形的内角和为π，所以D 选项正确.由正弦定理得::sin :sin :sin a b c A B C =，所以A 选项错误. 设sin sin sin a b ck A B C===，则()sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin k A B C a b c a k A B C A B C A++++===++++，B 选项正确.故选：BCD2．在ABC 中，15,10,60a b A ===︒，则sin B =( )ABCD【答案】A 【解析】【详解】由正弦定理可知：sin sin sin a b B A B =⇒=故选：A题型二：正弦定理解三角形例2：1．（2015·山东·高考真题）在△ABC 中，105A ∠=︒，45C ∠=︒，AB =BC 等于______．【解析】【分析】由和角正弦公式求sin105︒函数值，再应用正弦定理求BC 即可. 【详解】sin105sin(6045)sin 60cos 45cos 60sin 45︒=︒+︒=︒︒+︒︒=由正弦定理可知，sin sin AB BCC A=，∴sin sin AB A BC C ==2．（2016·江苏·高考真题）在ABC 中，AC=6，4cos .54B C π==，（1）求AB 的长；（2）求()6cos A π-的值.【答案】（1）2【解析】【详解】试题分析：（1）利用同角三角函数的基本关系求sin B ，再利用正弦定理求AB 的长；（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin ,cos A A ，然后求cos().6A π-试题解析：解（1）因为4cos B=5，0B π<<，所以2243sin 1cos 1(),55B B =-=-= 由正弦定理知sin sin AC AB B C =，所以26sin 25 2.3sin 5AC CAB B⨯⋅===（2）在ABC 中，A B C π++=，所以，于是cos cos()cos()cos cos sin sin ,444A B C B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==故42322cos 55A =-= 因为0A π<<，所以272sin 1cos A A =- 因此23721726cos()cos cos sin sin 6662A A A πππ--=+==举一反三1．（2012·湖南·高考真题（文））在△ABC 中，7，BC=2，B =60°，则BC 边上的高等于 A 3B 33C 36+D 339+【答案】B 【解析】【详解】 7232127sin 60sin 7A A A =⇒==，所以321sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+= 则BC 边上的高3213377h C ===B . 2．（2018北京高考）在△ABC 中，a =7，b =8，cos B = –17．（Ⅰ）求∠A ；（Ⅱ）求AC 边上的高．【答案】(1) ∠A =π3 (2) AC 33【解析】【详解】分析：（1）先根据平方关系求sin B ,再根据正弦定理求sin A ，即得A ∠；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程11sin 22ab C hb =，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求sin C ，解得AC 边上的高．详解：解：（1）在△ABC 中，∵cos B =–17，∴B ∈（π2，π），∴sin B =2431cos 7B -=．由正弦定理得sin sin a b A B = ⇒ 7sin A =8437，∴sin A =32．∵B ∈（π2，π），∴A ∈（0，π2），∴∠A =π3．（2）在△ABC 中，∵sin C =sin （A +B ）=sin A cos B +sin B cos A =311432727⎛⎫⨯-+⨯ ⎪⎝⎭=3314．如图所示，在△ABC 中，∵sin C =h BC ，∴h =sin BC C ⋅=33337142⨯=，∴AC 边上的高为332．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的. 题型三：正弦定理判定三角形解得个数例3：1．设在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若满足3,,6a b m B π===的ABC 不唯一，则m 的取值范围为（） A ．33⎝ B ．3)C ．132⎛ ⎝⎭D ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】根据正弦定理计算可得；【详解】解：由正弦定理sin sin a b A B =12m=，所以m =，因为ABC 不唯一，即ABC 有两解，所以566A ππ<<且2A π≠，即1sin 12A <<，所以12sin 2A <<，所以11122sin A <<m <<故选：A2．在ABC 中，若3b =，2c =，45B =，则此三角形解的情况为（） A ．无解 B ．两解C ．一解D ．解的个数不能确定【答案】C 【解析】【分析】求出sin C 的值，结合大边对大角定理可得出结论. 【详解】由正弦定理可得sin sin b c B C=可得2sin 2sin sin 33c B C B b ===<，因为c b <，则C B <，故C 为锐角，故满足条件的ABC 只有一个. 故选：C. 举一反三1．在△ABC 中，3A π∠=，b ＝6，下面使得三角形有两组解的a 的值可以为（）A ．4 B．C．D．【答案】C 【解析】【分析】由正弦定理即可求解. 【详解】解：由题意，根据正弦定理有sin sin a bA B=，所以sin sin b A B a =，要使三角形有两组解，则sin sin 1b AB a=<，且a b <，即sin b A a b <<，所以6a <，所以a 的值可以为故选：C ．2．（多选）ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边分别是a ，b ，c ，以下条件中，使得ABC 无解的是（）A ．120a b A ===；B ．45a b A ===；C ．60;b A B ===D ．,sin ,60c A B c ===，【答案】ABD 【解析】【分析】根据正余弦定理及三角形的性质分析解即可. 【详解】对于A ，大边对大角，而a ，无解；对于C ，由cos A 可得sin A =a ，再由正弦定理或余弦定理可求出c ，有解；对于D ，由=c 和a ，通过余弦定理可得cos 0C =，与60C =矛盾，无解. 故选：ABD题型四：正弦定理求外接圆的半径例4：1．（2011·全国·高考真题（理））设向量,,a b c 满足2a b ==，2a b ⋅=-，,60a c b c --=︒，则c 的最大值等于A ．4B ．2CD ．1【答案】A 【解析】【详解】因为2a b ==，2a b ⋅=-，所以1cos ,2a b a b a b⋅==-, ,120a b =︒.如图所以，设,,OA a OB b OC c ===，则CA a c =-, C B b c =-,120AOB ∠=︒. 所以60ACB ∠=︒，所以180AOB ACB ∠+∠=︒，所以,,,A O B C 四点共圆. 不妨设为圆M ，因为AB b a =-,所以222212AB a a b b =-+=. 所以23AB =由正弦定理可得AOB ∆的外接圆即圆M 的直径为2R 4AB sin AOB==∠.所以当OC 为圆M 的直径时，c 取得最大值4. 故选A.点睛:平面向量中有关最值问题的求解通常有两种思路：①“形化”，即利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；②“数化”，即利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决． 2．（2022·上海·高考真题）在△ABC 中，3A π∠=，2AB =，3AC =，则△ABC 的外接圆半径为________ 211213【解析】【分析】运用正弦定理及余弦定理可得解. 【详解】根据余弦定理：22212cos 4922372BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠=+-⨯⨯⨯=，得7BC =由正弦定理△ABC sin3=故答案为举一反三1．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）ABC 的内角A B C ､､的对边分别为a b c ､､，且1,cos sin a b C c A ==-，则ABC 的外接圆半径为__________.【解析】【分析】利用正弦定理可得sin sin cos sin sin B A C C A =-，进而可得34A π=，即得.【详解】1a =，则cos sin b a C c A =-，由正弦定理，得sin sin cos sin sin B A C C A =- 故()sin sin cos sin sin A C A C C A +=-，展开化简得：cos sin sin sin A C C A =-，()0,C π∈，sin 0C ≠，故cos sin A A =-，()0,A π∈，即34A π=，∴外接圆直径2R sin aA==，.2．（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边若2a =，3b =，sin 2sin cos A B C =，则ABC 外接圆的半径为_____________．【解析】【分析】利用正弦定理角化边求出cos C ，再根据余弦定理求出c ，进而求出外接圆半径.由正弦定理得，2cos a b C =，1cos 3C =，由余弦定理得222222231cos 22233a b c c C ab +-+-===⨯⨯，解得3c =．又sin C =，所以外接圆半径12sin c R C =⋅=故答案为：8. 题型五：正弦定理边角互化例5：1．（2019·全国·高考真题（文））ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】34π. 【解析】【分析】先根据正弦定理把边化为角，结合角的范围可得. 【详解】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠得sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=故选D ．【点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,)π范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．2．（2022·全国·高考真题（文））记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ﹐已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-． (1)若2A B =，求C ； (2)证明：2222a b c =+ 【答案】(1)5π8； (2)证明见解析．【解析】（1）根据题意可得，()sin sin C C A =-，再结合三角形内角和定理即可解出；（2）由题意利用两角差的正弦公式展开得()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再根据正弦定理，余弦定理化简即可证出．（1）由2A B =，()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()sin sin sin sin C B B C A =-，而π02B <<，所以()sin 0,1B ∈，即有()sin sin 0C C A =->，而0π,0πC C A <<<-<，显然C C A ≠-，所以，πC C A +-=，而2A B =，πA B C ++=，所以5π8C =．（2）由()()sin sin sin sin C A B B C A -=-可得，()()sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin C A B A B B C A C A -=-，再由正弦定理可得，cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，然后根据余弦定理可知，()()()()22222222222211112222a cb bc a b c a a b c +--+-=+--+-，化简得：2222a b c =+，故原等式成立．举一反三1．（2014·江西·高考真题（文））在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .若32a b =，则2222sin sin sin B A A -的值为（）A ．19B ．13C ．1D ．72【答案】D 【解析】【分析】根据正弦定理边化角求解即可. 【详解】由正弦定理有22222222sin sin 221sin B A b a b A a a --⎛⎫==- ⎪⎝⎭.又3322b a b a =⇒=, 故297212142b a ⎛⎫-=⨯-= ⎪⎝⎭.故选：D【点睛】本题主要考查了正弦定理边化角的问题,属于基础题.2．（2022·安徽·一模（理））在锐角ABC 中，角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，若sin a c B =，则tan A 的最大值为（）A ．1B ．32C ．43D ．54 【答案】C【解析】【分析】先由正弦定理化简得111tan tan C B +=，结合基本不等式求得tan tan 4B C ≥，再由正切和角公式求解即可.【详解】在ABC 中，sin a c B =，所以sin sin sin A C B =，又()sin sin A B C =+，整理得：sin cos cos sin sin sin B C B C B C +=，又sin sin 0B C ≠，得到111tan tan C B +=，因为角A 、B 、C 为锐角，故tan A 、tan B 、tan C 均为正数，故1≥tan tan 4B C ≥，当且仅当tan tan 2B C ==时等号成立，此时tan tan tan tan 1tan tan()11tan tan 1tan tan 1tan tan B C B C A B C B C B C B C +⋅=-+=-=-=---⋅，当tan tan B C 取最小值时，1tan tan B C 取最大值，11tan tan B C -取最小值，故111tan tan B C-⋅的最大值为43，即当tan tan 2B C ==时，tan A 的最大值为43．故选：C ．。

正弦定理知识点

1．1．1正弦定理课上讲解：1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sin sin abAB=sin cC==2R其中R 为三角形外接圆半径。

2.正弦定理的基本作用：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin a A B b=。

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

3.常用变形： ①π=++C B A②C B A C B A sin )cos(,sin )sin(=+=+ ③C ab S abc sin 21=∆题型一：已知两角和一边（唯一确定）例1. 已知在B b a C A c ABC 和求中，,,30,45,1000===∆.变式练习1：1.已知ΔABC ，已知A=600，B=300，a=3；求边b=（）:A.3B.2C.3D.2 2.已知ΔABC 已知A=450，B=750，b=8；求边ａ＝（）A.8B.4C.43-3D.83-8 3.已知a+b=12，B=450，A=600则a=_____，b=_____题型二：已知两边和其中一边所对的角（两种情况，由y=sin x 的性质决定）例2.在C A a c B b ABC ,,1,60,30和求中，===∆变式练习1：C B b a A c ABC ,,2,45,60和求中，===∆变式练习2：0135,ABC a A b B ∆===中，求变式练习3：在ABC ∆中，已知角334,2245===b c B ，，则角A 的值是 A.15 B.75 C.105 D.75或15变式练习4：在ABC ∆中，若14,6760===a b B ，，则A= 。

题型三：外接圆问题例3. 试推导在三角形中A a sin =B b sin =Ccsin =2R 其中R 是外接圆半径变式练习1：在△ABC 中，kCcB b A a ===sin sin sin ,则k 为( A 2R B RC 4RD R 2(R 为△ABC 外接圆半径)变式练习2：在ABC ∆中，5,40,20===c B A oo ，则R 2为（）A 、3310 B 、10 C 、25 D 、210变式练习3：在ABC ∆中，=+A Rb B R a cos 2cos 2 （） A 、B A sin sin + B 、)sin(B A +C 、)sin(B A -D 、)cos(B A -变式练习4：设△ABC 的外接圆半径为R ，且已知AB ＝4，∠C ＝45°，则R ＝________．题型四：比例问题例4.在ABC ∆中,已知,cos cos cos a b cA B C==判断ABC ∆的形状．变式练习1：已知∆ABC 满足条件cos cos a A b B =，判断∆ABC 的类型。

正余弦定理典型例题

正余弦定理典型例题一、正弦定理典型例题1. 例题1：已知两角和一边，求其他边和角题目：在△ ABC中，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 2，求b，c和C。

解析：根据三角形内角和C=180^∘-A B，所以C = 180^∘-30^∘-45^∘=105^∘。

由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，已知a = 2，A = 30^∘，B = 45^∘，则b=(asin B)/(sin A)。

因为sin A=sin30^∘=(1)/(2)，sin B=sin45^∘=(√(2))/(2)，所以b=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。

再根据正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C)，sin C=sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(3))/(2)×(√(2))/(2)+(1)/(2)×(√(2))/(2)=(√(6)+√(2)) /(4)。

所以c=(asin C)/(sin A)=(2×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)}=√(6)+√(2)。

2. 例题2：已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有两解）题目：在△ ABC中，a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘，求B，C，c。

解析：由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得sin B=(bsin A)/(a)。

把a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘代入，sinB=frac{6×sin30^∘}{2√(3)}=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。

因为b > a，A = 30^∘，所以B = 60^∘或B = 120^∘。

当B = 60^∘时，C=180^∘-A B=180^∘-30^∘-60^∘=90^∘，再由(a)/(sinA)=(c)/(sin C)，c=(asin C)/(sin A)=frac{2√(3)×sin90^∘}{sin30^∘} = 4√(3)。

正弦定理经典题型归纳

正弦定理1. 正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即公式适用于任意三角形。