空间向量专题讲解

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专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系(讲)(解析版)

专题8.6 空间向量及其运算和空间位置关系

【考纲解读与核心素养】

1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置

2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 3．掌握空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算.

4．掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量夹角，并会解决简单的立体几何问题. 5．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养. 6. 高考预测：

（1）空间向量的线性运算及其坐标表示. （2）运用向量的数量积判断向量的共线与垂直. （3）应用空间向量解决立体几何问题.

（4）一般不独立命题．预测2020年高考会以简单几何体为载体，利用空间向量解决与平行、垂直有关的证明及空间角的计算问题．解题时要求有较强的运算能力. 7.备考重点：

（1）掌握空间向量的线性运算、坐标运算；（2）掌握空间向量的数量积计算方法. （3）利用向量判断垂直关系、平行关系.

【知识清单】

知识点1．空间向量的线性运算 1.空间向量的有关概念

(1)空间向量：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量，其大小叫做向量的模或长度． (2)几种常用特殊向量

①单位向量：长度或模为1的向量． ②零向量：长度为0的向量．

③相等向量：方向相同且模相等的向量. ④相反向量：方向相反而模相等的向量．

⑤共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，则这些向量叫作共线向量或平行向量． ⑥共面向量：平行于同一个平面的向量． 2.空间向量的线性运算

空间向量知识点归纳总结

知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈

运算律：⑴加法交换律：a b b a

+=+

⑵加法结合律：)()(c b a c b a

++=++

⑶数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)( 3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也

叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a

//。

当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b

的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b

存在实数λ，

使a

＝λb 。

4. 共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。

高中空间向量练习题及讲解讲解

### 高中空间向量练习题及讲解

#### 练习题一：空间向量的坐标运算

题目：

设空间向量\( \vec{a} \)和\( \vec{b} \)的坐标分别为\( (1, 2, 3) \)和\( (4, -1, 2) \)，求向量\( \vec{a} + \vec{b} \)的坐标。

解答：

向量加法遵循坐标的分量相加原则。对于向量\( \vec{a} \)和

\( \vec{b} \)，其坐标分别为\( (a_1, a_2, a_3) \)和\( (b_1,

b_2, b_3) \)，向量和的坐标为\( (a_1 + b_1, a_2 + b_2, a_3 +

b_3) \)。

将给定的向量坐标代入公式，得到：

\[ \vec{a} + \vec{b} = (1 + 4, 2 - 1, 3 + 2) = (5, 1, 5) \]

#### 练习题二：空间向量的模长

题目：

已知空间向量\( \vec{c} \)的坐标为\( (2, 3, -1) \)，求向量

\( \vec{c} \)的模长。

解答：

空间向量的模长可以通过以下公式计算：

\[ |\vec{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2} \]

将向量\( \vec{c} \)的坐标代入公式，得到：

\[ |\vec{c}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]

#### 练习题三：空间向量的夹角

题目：

设空间向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的坐标分别为\( (1, 2, 1) \)和\( (2, 1, 3) \)，求向量\( \vec{d} \)和\( \vec{e} \)的夹角。

《空间向量》专题1基本概念学案（Word版含答案）

《空间向量》专题1-1

基本概念

（4套，7页，含答案）

知识点：

空间向量的概念：

在空间中具有大小和方向的量叫做空间向量

注：⑴空间的一个平移就是一个向量

⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量

⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示

标注空间坐标点：

空间直角坐标系的x轴是横轴（对应为横坐标），y轴是纵轴（对应为纵轴），z轴是竖轴（对应为竖坐标）.（1）X、Y、Z轴。两两之间要垂直；

（2）先从正方体、长方体开始训练标注坐标点；

（3）不容易标注的几何体，可以先画出其俯视图，标注俯视图的坐标点（x，y），然后再标注立体坐标；

（4）涉两点中点的坐标，用中点公式比较方便。。

典型例题：

1.已知正方体棱长为1，试建立恰当的坐标系并表示出各个顶点的坐标．（答案：略；）

2.在空间直角坐标系中，在Ox轴上的点P1的坐标特点为，在Oy 轴上的点的坐标特点为，在Oz轴上的点的坐标特点为，在xOy平面上的点的坐标特点为，在yOz平面上的点的坐标特点为，在xOz平面上的点的坐标特点为

答案：，，；

．

3.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长都为2，侧棱AA1⊥

底面ABC，建立适当坐标系写出各顶点的坐标．

答案：作图略；

[分析] 题中给出了三棱柱的棱长，要求各顶点的坐标，可以作出两两垂直的三条线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，然后确定各点坐标．

[解析] 取AC的中点O和A1C1的中点O1，可得BO⊥AC，分别以OB、OC、OO1所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．因为三棱柱各棱长均为2，所以OA＝OC＝1，OB＝，可得A(0，－1，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，－1，2)，B1(，0，2)，C1(0，1，2)．

空间向量知识点归纳总结（经典）

空间向量与⽴体⼏何知识点归纳总结

⼀．知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有⼤⼩和⽅向的量叫做向量。注：（1）向量⼀般⽤有向线段表⽰同向等长的有向线段表⽰同⼀或相等的向量。（2）向量具有平移不变性

2. 空间向量的运算。

定义：与平⾯向量运算⼀样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

OB OA AB a b =+=+ ;BA OA OB a b =-=- ;()OP a R λλ=∈

运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+

⑵加法结合律：)()(c b a c b a

++=++

⑶数乘分配律：b a b a

λλλ+=+)(

运算法则：三⾓形法则、平⾏四边形法则、平⾏六⾯体法则 3. 共线向量。

（1）如果表⽰空间向量的有向线段所在的直线平⾏或重合，那么这些向量也叫做共

线向量或平⾏向量，a

平⾏于b ，记作

b a

//。（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b

（b ≠0 ），a //b

存在实数

λ，使a

＝λb 。

（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=

<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中

（4）与

共线的单位向量为

4. 共⾯向量

（1）定义：⼀般地，能平移到同⼀平⾯内的向量叫做共⾯向量。说明：空间任意的两向量都是共⾯的。

（2）共⾯向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b

共⾯的条件是存在实数

,x y 使p xa yb =+

。

（3）四点共⾯：若A 、B 、C 、P 四点共⾯<=>AC y AB x AP +=

高中数学：空间向量知识点

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

;;

运算律：⑴加法交换律：

⑵加法结合律：

⑶数乘分配律：

3. 共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。

当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。

4. 共面向量

（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。

5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。

若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。

6. 空间向量的直角坐标系：

（1）空间直角坐标系中的坐标：

在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组

叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。

（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。

空间向量考点(全)

空间向量考点（全）

1、空间向量的坐标及基本运算

空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵坐标），

z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.

=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b =， ),,(332211b a b a b a b a ±±±=+，

))(,,(321R a a a a ∈=λλλλλ，

332211b a b a b a ++=⋅ ，

向量平行：a ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ3

2211b a b a b a ==⇔ 。向量垂直：0332211=++⇔⊥b a b a b a b a 。

222321a a a ++==

=⇒•=空间两个向量的夹角公式：23

32211|

|||,cos b

b b a a a b a b a b a b a b

a b a ++⋅++++=⋅•>=<ρρ

ρρρ

空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=. 2、法向量

若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥那么向量a 叫做平面α的法向量. 3、向量的应用

①利用法向量求点到面的距离定理：

如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α的

距离为

|n ②.利用向量求异面直线间的距离

d =

(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n r

，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为

空间向量知识点归纳总结(经典)

空间向量与立体几何知识点归纳总结

一.知识要点。

1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：(1)向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

(2) 向量具有平移不变性

2. 空间向量的运算。

定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。

OB = OA+ AB = a+b .BA = OA-OB = a-b .OP = λa(λGR)

运算律：⑴加法交换律：a + b =b + a ⑵加法结合律：(^ + fe) + c = + + c)

⑶数乘分配律：+ b) = λa + λb

运算法则：三角形法则、平行四边形法则.平行六面体法则 3. 共线向量。

(1) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，N 平行于方，记作N 〃b 。

(2 )共线向量定理：空间任意两个向量万、b (方≠6),

ababAB = λAC OC = XOA+ yOB(^^x + y = l) a 土

(1) 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向

量都是共面的。

(2) 共面向量定理：如果两个向量",5不共线，0与向量久5共面的条件是存在实数

—♦

兀」'使p = xa + yb 9

(3) 四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AP = xAB + yAC

共面向量

©OP = XOA + yOB +zOC(其中兀 + y + z = 1)

在一个唯一的有序实数组x,y,Z f使p = xa+ yb +zc 9

高考数学专题复习《空间向量及其运算》PPT课件

(3)a·b= x1x2+y1y2+z1z2
;
(4)|a|= ·=
(5)当 a≠0 且 b≠0
12 + 12 + 12
·
时,cos<a,b>=||||
;
=
1 2 +1 2 +1 2
12 +12 +12 22 +22 +22
.
9.空间向量的坐标与空间向量的平行、垂直
②数量积的几何意义:a与b的数量积等于a在b上的投影a'的数量与b的长
度的乘积,特别地,a与单位向量e的数量积等于a在e上的投影a'的数量.规定
零向量与任意向量的数量积为0.
(4)空间向量数量积的性质:
①a⊥b⇔a·b=0;②a·a=|a|2=a2;③|a·b|≤|a|·|b|;④(λa)·b=λ(a·b);
xa+yb+zc
.
特别地,当a,b,c不共面时,可知xa+yb+zc=0⇔x=y=z=0.
7.相关概念
(1)线性组合:表达式xa+yb+zc一般称为向量a,b,c的
线性组合
或线性表达式 .
(2)基底:空间中不共面的三个向量a,b,c组成的集合{a,b,c},常称为空间向
量的一组基底.
(3)基向量:基底{a,b,c}中a,b,c都称为基向量.

空间向量(知识点梳理)

>% )一空间向量的概念

1.空间向量的有关概念及线性运算

(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.

(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.

(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.

(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).

(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).

(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.

(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.

推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).

②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.

(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.

推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面

《空间向量基本定理》专题精讲

空间向量基本定理:

(1)定理

如果三个向量,,a b c 不共面,那么对任意一个空间向量p ,存在唯一的有序实数组(,,)x y z ,使得x y z =++p a b c .

(2)基底

我们把定理中的{,,}a b c 叫做空间的一个基底,,,a b c 都叫做基向量.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.

(3)单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{,,}i j k 表示.

(4)空间向量的正交分解

由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a ,均可以分解为三个向量,,x y z i j k ,使

x y z =++a i j k ,像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.

注意:

(1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底.基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示;不同基底下,同一向量的表达式也有可能不同.

(2)一个基底是一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念.

(3)由于零向量与任意一个非零向量共线,与任意两个不共线的非零向量共面,所以若三个向量不共面,就说明它们都不是零向量.

典例1 已知{}123,,e e e 是空间的一个基底,且1232,OA =+-e e e 12332,

OB =-++e e e 123OC =+-e e e ,且判断{,,}OA OB OC 能否作为空间的一个基底.

思路:本题考查空间基底的概念,在理解空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底的概念的基础之上,通过分析计算进行判定.

专题01 空间向量及其运算(知识梳理+专题过关)(原卷版)

专题01空间向量及其运算

【知识梳理】

1、空间向量的概念：

（1）在空间，具有大小和方向的量称为空间向量．

（2）向量可用一条有向线段来表示．有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向．

（3）向量AB 的大小称为向量的模（或长度），记作

A B uuu r

．

（4）模（或长度）为0的向量称为零向量；模为1的向量称为单位向量．（5）与向量a 长度相等且方向相反的向量称为a 的相反向量，记作a -．（6）方向相同且模相等的向量称为相等向量．2、空间向量的加法和减法：

（1）求两个向量和的运算称为向量的加法，它遵循平行四边形法则．即：在空间以同一点O 为起点的两个已知向量a 、b 为邻边作平行四边形C OA B ，则以O 起点的对角线C O 就是a 与b 的和，这种求向量和的方法，称为向量加法的平行四边形法则．

（2）求两个向量差的运算称为向量的减法，它遵循三角形法则．即：在空间任取一点O ，作a OA =，

b OB =，则a b BA =-．

3、实数λ与空间向量a 的乘积a λ是一个向量，称为向量的数乘运算．当0λ>时，a λ与a 方向相同；当0λ<时，a λ与a 方向相反；当0λ=时，a λ为零向量，记为0．a λ的长度是a 的长度的

λ倍．

4、设λ，μ为实数，a ，b 是空间任意两个向量，则数乘运算满足分配律及结合律．分配律：()

a b a b λλλ+=+；结合律：()()a a λμλμ=．

5、如果表示空间的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量称为共线向量或平行向量，并规定零向量与任何向量都共线．

空间向量专题讲义一------小题题型突破

a、b、c 共面的充要条件是：存在实数对 (， ) 满足 c = a + b.
四点共面定理：
任意三点不共线的四点 A、B、C、D 共面的充要条件是：对空间任意一点 O 有：
OD = xOA + yOB + zOC (其中x + y + z = 1).
③基本定理
如果三个向量 a、b、c 不共面，那么对于空间任意向量 p, 存在唯一的实数对 ( x, y, z ) 满足： p = xa + yb + zc.
注意平面的法向量一定是非零向量，一个平面的所有法向量都互相平行，若向量 n 是平面的法向量，向量 m
是与平面平行或在平面内，则有 m n = 0 ．求解平面法向量的一般步骤：
•第一步：写出平面内两个不平行的向量 a = ( x1, y1, z1 ) ,b = ( x2, y2, z2 ).
i jk
•第二步：那么平面法向量 n = x1 x2
y1 y2
z1 z2
=
y1 y2
z1 ，z1 z2 z2
x1 ，x1 x2 x2
( ) y1
y2
=
y1 z2 − z1 y2 ,z1x2 − x1z2 ,x1 y2 − y1x2
1/6
题型一：空间向量的坐标运算（线性运算、数量积运算、投影）
1．若向量 a = (2, 0, −1) ，向量 b = (0,1, −2) ，则 2a − b = （）

专题3 空间向量基本定理讲义

专题1.3 空间向量基本定理

知识点一空间向量基本定理

如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对任意一个空间向量p ，存在唯一的有序实数组(x ，y ，z)，使得p ＝xa ＋yb ＋zc.

我们把{a ，b ，c}叫做空间的一个基底，a ，b ，c 都叫做基向量．

知识点二空间向量的正交分解 1．单位正交基底

如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i ，j ，k}表示．

2．向量的正交分解

由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a ，均可以分解为三个向量xi ，yj ，zk 使得a ＝xi ＋yj ＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解．知识点三证明平行、共线、共面问题

(1) 对于空间任意两个向量a ，b(b≠0)，a∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb.

(2) 如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y)，使p ＝xa ＋yb.

知识点四求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a ，b 的夹角，则cos θ＝a·b

|a||b|. (2)若a ，b 是非零向量，则a∥b ⇔a·b ＝0. 知识点五求距离(长度)问题 ||a ＝a·a( ||AB →＝AB →·AB → )．

【题型1 空间向量基底的判断】

【例1】（2020秋•嘉祥县校级期中）已知{a →

，b →

，c →

}是空间向量的一个基底，则与向量p →

=a →

+b →

，q →

空间向量知识点总结讲解

一、向量的基本概念

1. 向量的定义：

在数学中，向量是具有大小和方向的量，通常表示为有向线段。向量可以用坐标表示，也可以用行向量或列向量表示。

2. 向量的运算：

向量的运算包括加法、数量乘法、点乘、叉乘等。向量之间的加法和数量乘法可以直接进行，而点乘和叉乘需要通过向量的坐标或分量进行计算。

3. 向量的性质：

向量具有大小和方向两个基本属性，同时还具有平行四边形法则，向量共线与共面的性质等。

二、空间向量的概念

1. 空间向量的定义：

在三维空间中，向量的坐标可以用三个实数表示，即(x, y, z)，这就是空间向量。空间向量通常表示为有向线段，具有大小和方向。

2. 空间向量的运算：

空间向量的运算与平面向量相似，可以进行向量的加法、数量乘法、点乘、叉乘等运算。叉乘是空间向量特有的一种运算，用来得到垂直于两向量所在平面的向量。

3. 空间向量的坐标表示：

空间向量的坐标表示为(x, y, z)，用来描述向量的起始点和终点在三维空间中的位置。

4. 空间向量的性质：

空间向量具有大小和方向的性质，同时还具有与平面向量相似的性质，如共线、共面等。

三、空间向量的线性运算

1. 空间向量的线性组合：

空间向量的线性组合是指将若干个向量以一定的比例相加得到新的向量的过程。线性组合在向量空间中有重要的应用，可以通过线性组合来表示向量的线性相关性和线性无关性。

2. 空间向量的线性相关性和线性无关性：

当一组向量能够用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性相关的；当一组向量

不能用线性组合的方式得到零向量时，这组向量就是线性无关的。线性相关性和线性无关

空间向量知识点总结

空间向量与立体几何知识点总结

一、基本概念: 1、空间向量：

2、相反向量：

3、相等向量：

4、共线向量：

5、共面向量：

6、方向向量:

7、法向量

8、空间向量基本定理：

二、空间向量的坐标运算： 1.向量的直角坐标运算

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b 则

(1) a ＋b ＝112233(,,)a b a b a b +++； (2) a －b ＝112233(,,)a b a b a b ---； (3)λa ＝123(,,)a a a λλλ (λ∈R)； (4) a ·b ＝112233a b a b a b ++； 2.设A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则

AB OB OA =-= 212121(,,)x x y y z z ---.

3、设111(,,)a x y z =，222(,,)b x y z =，则

a b ⇔(0)a b b λ=≠； a b ⊥⇔0a b ⋅=⇔1212120x x y y z z ++=.

4.夹角公式

设a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ，则2cos ,a b a <>=.

5．异面直线所成角

cos |cos ,|a b θ==

||||||

a b a b x ⋅=

⋅+.

6．平面外一点p 到平面α的距离

已知AB 为平面α的一条斜线，n 为平面α的一个法

向量，A 到平面α的距离为：||

AB n d n •=

空间向量与立体几何练习题

一、选择题

1.如图，棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -在空间直角坐标系中，若,E F 分别是1,BC DD 中点，则EF 的坐标为（）

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