数学分析教材

§1 一致收敛性
我们已经知道可以用收敛数列（或数项级数）来表示或定义一个数.本章将讨论怎样用函数列（或函数项级数）来表示（定义）一个函数，并研究这个函数所具有的性质.
一 函数列及其一致收敛性
设
,..
.,...,,21n f f f (1) 是一列定义在同一数级E 上的函数，称为定义在E 上的函数列.(1)也可简单地写作
{}n f 或 ,n f 1,2,n =
设E ∈0x ,以0x 带入(1)可得数列
()()().,,,,00201 x f x f x f n (2) 若数列(2)收敛,则称数列(1)在点0x 收敛,0x 称为函数列(1)的收敛点.若数列(2)发散,则称数列(1)在点0x 发散.若数列(1)在数集E ⊂D 上每一点都收敛,则称(1)在数集D 上收敛.这时D 上每一点x ,都有数列(){}x f n 的一个极限值与之相对应,由这个对应法则所确定的D 上的函数,称为函数列(1)的极限函数.若把此极限函数记作f ,则有
()()x f x f n n =∞
→l i m , D x ∈ 或
()()x f x f n → (),∞→n D x ∈.
函数列极限的N -ε定义是:对每一固定的D x ∈,任给正数ε,恒存在正数N (注意:一般来说N 值的确定与ε的值都有关，所以也用()x N ,ε表示它们之间的依赖关系），使得当N n >时，总有
()()ε<-x f x f n .
使函数列{}n f 收敛的全体收敛点集合,称为函数列{}n f 的收敛域. 例1 设()n n x x f =， ,2,1=n 为定义在()+∞∞-,上的函数列，证明它的
()⎩⎨⎧=<=.1,1,1,0x x x f （3）
证 任给0<ε（不妨设1<ε），当10<<x 时，由于
()()n
n x x f x f =-, 只要取()x
x N ln ln ,εε=，当()x N n ,ε>时就有 ()()ε<-x f x f n .
当0=x 和1=x 时,则对任何正整数n ,都有
()()ε<=-000f f n ,()()ε<=-011f f n .
这就证得{}n f 在(]1,1-上收敛,且有(3)式所表示的极限函数.
当1>x 时,则有()∞→∞→n x n
,当1-=x 时,对应的数列为 .,1,1,1,1 --
它显然是发散的.所以函数列{}
n x 在区间(]1,1-外都是发散的. 例2 定义在()+∞∞-,上的函数列().,2,1,sin ==n n nx x f n 由于对任何实数x ,都有
n x nx 1sin ≤, 故对任给的0<ε,只要ε
1=>N n 就有 ε<-o n
nx sin .
所以函数列⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n nx sin 的收敛区域为无限区间()+∞∞-,,极限函数()0=x f . 对于函数列,我们不仅要讨论它在哪些点上收敛,而更重要的是要研究极限函数所具有的解析性质.比如能否有函数列每项的连续性判断出极限函数的连续性.又如极限函数的导数和积分,是否分别是函数列每项导数或积分的极限.对这些问题的讨论,只要求函数列在数集D 上的收敛是不够的,必须对它在D 上的收敛性提出更高的要求才行,这就是以下所要讨论的一致收敛性问题.
定义1 设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上,若对任给的正数ε,总
存在某一正整数N ,使得当N n >时,对一切D x ∈,都有 ()()ε<-x f x f n , 则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ,记作 ()()().,D x n x f x f n ∈∞→→→ 由定义看到,如果函数列{}n f 在D 上一致收敛,那么对于所给的ε不管在哪一点x ,总存在公共的()εN (即N 的选取仅与ε有关,与x 的取值无关),只要N n >,都有
()()ε<-x f x f n . 由此看到函数列{}n f 在D 上一致收敛,必在D 上每一点都收敛.反之,在D 上每一点都收敛的函数列{}n f ,在D 上不一定一致收敛.
如上述例2中⎭
⎬⎫⎩⎨⎧n nx sin ,对任给正数ε,不管x 取()+∞∞-,上什么值,都可取ε1
=N (它仅依赖于ε的值),当N n >时,恒有ε<n nx sin ,所以函数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n nx sin 在()+∞∞-,上一致收敛于函数()0=x f .。