换元法在椭圆问题中运用
换元法在高中数学解题中的应用技巧
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１０㊀换元法在高中数学解题中的应用技巧换元法在高中数学解题中的应用技巧Һ梁茸茸㊀（甘肃省临夏中学，甘肃㊀临夏㊀７３１１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ通过 换元 分析题目㊁梳理思路㊁简化运算㊁解决问题，是高中一种至关重要的解题技巧．文章参考２０１９年人教版高中数学教材核心知识点，从内涵㊁价值㊁方法㊁类型题等多个维度层层深入，探究换元法的具体应用，希望对一线教师的教学有一定启发，帮助学生在高中数学解题中全面掌握换元法．ʌ关键词ɔ高中数学；换元法；解题教学引㊀言换元法是一种数学解题方法，体现着重要的数学思想，在高中数学方程㊁不等式㊁函数等问题中有着十分广泛的应用．教师应使学生充分认识换元法在高中数学解题中的应用价值，掌握其应用技巧，以培养学生高中数学解题能力，使其数学思想㊁能力等实现良好的发展．这要求教师立足实际研究换元法在高中数学解题中的应用技巧，全面把握其基本方法与关联题型，为学生提供恰到好处的指导．一㊁换元法的内涵换元法也称 变量代换法 辅助元素法 ，是一种在数学解题过程中以新的变量取代原有变量的方法．展开来说，换元法是在数学解题过程中引入一个或多个新的变量代替题目中原有的某些复杂或干扰变量，从而将分散在题目中的已知条件准确联系起来，突出隐含条件，将题目变成学生更容易理解的形式，简化烦琐的运算过程．二㊁换元法在高中数学不同类型题中的应用掌握换元法在高中数学解题中的应用技巧，应准确理解其适用题型．这样，学生才能在面对换元法相关题目时，及时确定 换元 解题思路，节约思考时间．因此，教师还应引导学生归类典型题，探索换元法在高中数学不同类型题中的应用．比如，方程问题㊁函数问题㊁不等式问题㊁数列问题．（一）方程问题方程问题是高中数学最基础的一项知识，是学生解答高中数学函数㊁导数等其他问题的重要基础．以人教版高中数学教材为例（２０１９年版），其在高一必修第一册便编排了 一元二次方程 知识点，足见方程在整个高中数学学习过程中的重要性．而对于一些复杂的方程问题，只有通过换元才能顺利求解．例如，人教版高一必修第一册（２０１９年版）第二章 一元二次函数㊁方程和不等式 教学中，有下列题目：解方程：ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２＋ｘ２＋１ｘ－２＝０．方程最高次项为４次，使其具有较大难度，不能直接运用解一元二次方程的解题经验，由此可考虑应用换元法，将方程最高次 降次 ，具体思路和过程如下：观察方程未知数，可知ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２与ｘ２＋１ｘ为平方关系．因此可设ｘ２＋１ｘ为ｙ，则ｘ４＋２ｘ２＋１ｘ２可表示为ｙ２，原方程转化为ｙ２＋ｙ－２＝０，（ｙ＋２）（ｙ－１）＝０，ｙ值可取－２或１．当ｙ值取－２时，ｘ２＋１ｘ＝－２，ｘ２＋１＋２ｘ＝０，ｘ＝－１；当ｙ值取１时，ｘ２＋１ｘ＝１，ｘ２＋１－ｘ＝０，ｘ－１２æèçöø÷２＝－３４，无解．所以原方程解为ｘ＝－１．一方面，基于换元法在方程问题中的 降次 优势解题，将方程最高次项由４次转化为２次．另一方面，应用整体换元法，将方程中代数式ｘ２＋１ｘ视为一个整体，整体代入未知数ｙ．通过换元法在方程问题中的混合应用，非常见一元四次方程被转化为学生再熟悉不过的一元二次方程，解方程难度大大降低．此外，高中数学 圆锥曲线方程 解题中，也需要应用换元法解题技巧．例如，人教版高二选择性必修第一册（２０１９年版）第三章 椭圆 ，有下列题目：在椭圆ｘ２４＋ｙ２＝１上有一移动的点Ｐ，其坐标可表示为（ｘ，ｙ），求函数ｕ＝ｘ２＋２ｘｙ＋４ｙ２＋ｘ＋２ｙ的最大值．基于换元法，其解题思路与过程如下：设ｘ＝２ｃｏｓθ，ｙ＝ｓｉｎθ，θɪ［０，２π）．ｕ＝４ｃｏｓ２θ＋４ｓｉｎθｃｏｓθ＋４ｓｉｎ２θ＋２ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθ＝２（ｓｉｎθ＋ｃｏｓθ）２＋２ｃｏｓθ＋２ｓｉｎθ＋２．㊀㊀㊀解题技巧与方法１１１㊀㊀再设ｇ＝ｃｏｓθ＋ｓｉｎθ＝２ｓｉｎπ４＋θæèçöø÷，ｇɪ［－２，２］ｕ＝２ｇ２＋２ｇ＋２＝２ｇ＋１２æèçöø÷２＋３２，ｇ＝２时，ｕ最大，值为６＋２２．某种意义上，圆锥曲线方程问题可以视为高一方程问题的升级，其复杂性更高，难度有显著提升，因此要求学生掌握更加灵活的解题方法．例题解题思路为三角换元法在圆锥曲线方程问题中的运用，是先根据椭圆参数方程ｘ＝ａｃｏｓθ，ｙ＝ｂｓｉｎθ特点还原，然后依据三角函数ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１等知识点化简方程，求出最终解．（二）函数问题高中数学函数问题可概括为 基础函数问题 与三角函数问题 ，前者还可细分为 二次函数基础问题 指数函数基础问题 对数函数基础问题 等，后者由于在 三角形 背景下，因此被单独归类．换元法不仅可以用于解决 二次函数 等基础函数问题，还在三角函数问题的解答中有特殊功能．教师应使学生全面掌握函数问题中的换元技巧．而 换元法在基础函数解题的应用 中，主要题型有 函数解析式问题 与 最值问题 ，下面将结合具体例题一一论述．１．函数解析式问题一般情况下，高中数学函数解析式问题可以通过待定系数法求解，若题中已知条件无法满足待定系数法解题需要，换元法便派上了用场．例如：已知函数，ｆ２ｘ＋１æèçöø÷＝ｌｇｘ，求ｆ（ｘ）．这是一个典型的求对数函数解析式问题，题目所给条件十分有限，不能直接套用待定系数法．换元法解题思路与过程如下：令２ｘ＋１＝ｕ，则ｘ＝２ｕ－１，ｆ（ｕ）＝ｌｇ２ｕ－１．结合题意ｆ２ｘ＋１æèçöø÷＝ｌｇｘ，可知ｘ＞０，则ｕ＞１，则ｆ（ｕ）＝ｌｇ２ｕ－１成立．以未知数ｘ表示ｕ，则ｆ（ｘ）＝ｌｇ２ｘ－１ｘ＞１()．直接将已知函数关系式中２ｘ＋１视为一个整体，用未知数ｕ进行表示，求出换元后的函数解析式．之后再次换元，代入新的未知数替换ｕ，解得原函数ｆ（ｘ）解析式．通过变量的多次替换，轻松求出原复杂函数解析式．但是需要注意的是，由于在多次换元中， 新元 取值范围存在变化，所以在最终确定函数解析式时，要着重关注ｘ的取值范围．此外，教师还可以视此题目为典型，引导学生归纳函数解析式问题换元规律：形如ｙ＝ｆｇ（ｘ）[]的函数中，求解其解析式，可以先对ｇ（ｘ）换元，再求解原函数解析式．学生由此形成对函数解析式问题换元技巧的规律性掌握，可在自主求解函数解析式问题时，更加自信㊁巧妙地应用换元法．２．最值问题高中数学最值问题包括 最大值 最小值 问题，在二次函数㊁指数函数等函数中均有应用．而且，在某种意义上，圆锥曲线方程问题也属于函数问题，上述 三角换元解椭圆方程最大值 问题，本质上也是换元法在函数最值问题中的应用．因此在本部分，将不再对圆锥曲线方程最值问题展开赘述，以二次函数为重点讨论对象．例如：求函数ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｘ－１的最小值．题目只有寥寥一句话，却能困扰很大一部分学生．这并非常见的一元二次函数，应该采取何种方法求最小值？解题思路与过程如下：应用换元法可以将函数关系式 根号 部分的变量视为一个整体，令ｘ－１＝ｕ，则ｘ＝ｕ２＋１，函数ｆ（ｕ）＝２ｕ２＋２－ｕ（ｕȡ０）．此时，函数ｆ（ｘ）＝２ｘ－ｘ－１的求解问题，被顺利转化为函数ｆ（ｕ）＝２ｕ２＋２－ｕ（ｕȡ０）的求解问题．通过顶点式表达ｆ（ｕ）函数关系式，ｆ（ｕ）＝２ｕ－１４æèçöø÷２＋１５８，函数开口向上，在顶点处取最小值，ｕ＝１４，ｆ（ｕ）＝１５８．通过整体换元，函数由一次函数被转化为易于求最值的二次函数形式，然后将二次函数表达式转化为 顶点式 ，可根据二次函数顶点坐标特征顺利求解．但是在换元过程中，同样要明确与 元 相对应的变量取值范围变化情况．３．三角函数问题三角函数是特殊的一种高中数学函数问题，因此换元法在其实际解题过程中的应用也具有一定特殊性，包括角换元㊁三角式㊁ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＝１换元等．例如：求三角函数ｆ（ｘ）＝ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＋ｓｉｎｘｃｏｓｘ的值域．这是一个典型的 三角式换元 问题，可以通过三角式换元将三角函数转化为二次函数，使 求值域 更加简单，思路与过程如下：设ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ，则ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２，１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２，ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２－１２．根据三角函数诱导㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１１２㊀公式，ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔ＝２ｓｉｎｘ＋π４æèçöø÷，则ｔ取值范围为ｔɪ［－２，２］，ｆ（ｘ）＝ｔ＋ｔ２－１２＝ｔ＋１()２－２２，其对称轴为ｔ＝－１，因此在区间ｔɪ［－２，２］内，其值域为ｆ－１()，ｆ２()[]．ｆ－１()＝－１，ｆ２()＝２２＋１２，求得原函数值域为－１，２２＋１２éëêêùûúú．通过将三角函数中某一个三角函数关系式换元，引发原函数其他变量的相应变化，将原函数由三角函数转化为二次函数，根据 换元 后函数变量取值范围变化情况确定二次函数定义域，求出其值域，该值域也是原函数待求值域．在换元法与三角函数问题的紧密融合中，高中数学三角函数解题难度也大大降低．（三）不等式问题不等式问题同样是人教版高一必修第一册（２０１９年版）第二章 一元二次函数㊁方程和不等式 部分教学内容，其典型题目包括求不等式某一变量取值范围㊁证明不等式等．例如：求证－１２ɤｘ１－ｘ２ɤ１２．这是典型的证明不等式问题，初读题目，除待证不等式外，题目并未给出其他已知条件，使很多学生毫无头绪．但是应用换元法，将式中ｘ设为ｃｏｓθ，结果将天差地别，解题过程与思路如下：令ｘ＝ｃｏｓθ，且θɪ０，π[]，则ｘ１－ｘ２＝ｃｏｓθｓｉｎθ＝１２ｓｉｎ２θ．θɪ０，π[]，－１ɤｓｉｎ２θɤ１，则－１２ɤ１２ｓｉｎ２θɤ１２，－１２ɤｘ１－ｘ２ɤ１２．具体来说，此题应用三角换元法，通过设原不等式变量ｘ为三角函数ｃｏｓθ，同时设定角θ取值范围，将不等式转化为与ｓｉｎθ相关的关系式．之后，可根据角θ在特殊取值范围下的值域确定ｓｉｎθ取值范围，从而反证不等式，降低不等式证明难度．但是在应用此技巧时，还要注意换元的等价性，不仅要保持题目各个变量之间的关系不变，还要使各变量取值范围在换元前后保持一致．（四）数列问题换元法在数列解题中的应用，主要包括在数列的递推通项公式或前ｎ项和公式过程中，构造等差数列或等比数列；在关于数列的不等式问题中，求解数列最值．例如，人教版高二选择性必修第二册（２０１９年版）第四章 数列 教学中，有下列题目：已知在数列｛ａｎ｝中，ａ１＝１，当ｎȡ２时，数列前ｎ项和Ｓｎ满足Ｓｎ２＝ａｎＳｎ－１２æèçöø÷，求Ｓｎ的表达式．结合题意，解决此问题，需要根据ａ１＝１以及ｎȡ２时数列前ｎ项和Ｓｎ所满足条件逆推前ｎ项和公式，而逆推数列前ｎ项和公式，需要构造新的数列，由此可应用换元法．解题思路如下：任意一个数列中，都有ａｎ＝Ｓｎ－Ｓｎ－１，当ｎȡ２时，将其代入Ｓｎ２＝ａｎＳｎ－１２æèçöø÷，得到２ＳｎＳｎ－１＋Ｓｎ－Ｓｎ－１＝０．若题目成立，则Ｓｎʂ０，等式两边可同时除以ＳｎＳｎ－１，得到２＋１Ｓｎ－１－１Ｓｎ＝０，１Ｓｎ－１Ｓｎ－１＝２．应用换元法，可设Ｃｎ＝１Ｓｎ，则Ｃｎ－Ｃｎ－１＝２，Ｃｎ{}为首项为１㊁公差为２的等差数列，表达式为２ｎ－１．将Ｃｎ＝２ｎ－１代入Ｃｎ＝１Ｓｎ，则１Ｓｎ＝２ｎ－１，Ｓｎ＝１２ｎ－１．首先，根据题意以及数列特征消掉题目的ａｎ，使其只存在Ｓｎ与Ｓｎ－１两个变量，突出数列前ｎ项和与前ｎ－１项和的数学联系．其次，将Ｓｎ与Ｓｎ－１其中一个变量设为新的变量，通过还原构造新的数列，求出其表达式．最后，将新数列表达式代入之前所求得的数学关系式，求出数列｛ａｎ｝真正的前ｎ项和表达式．将换元法渗透在运算过程中，及时设元，减少无关运算，顺利逆推出数列问题答案．结㊀语综上所述，在高中数学解题中，换元法既可以保障解题效果，又可以使学生感悟数学思想，感悟换元法应用在高中数学解题中具有的极高现实意义．教师应使学生领会换元法在高中数学解题中的常见方法，同时区分适用于换元法的不同题型，使学生全面掌握换元法应用技巧．此外，教师还需让学生建立 勿忘换元 意识，使其 换元 有始有终．ʌ参考文献ɔ［１］李志明．巧妙换元㊀解决难题 换元法在高中数学解题中的应用［Ｊ］．数理化解题研究，２０２２（３６）：１４－１６．［２］刘延群．高中数学换元解题 六法 ［Ｊ］．中学数学，２０２２（９）：８１－８２，９５．［３］雷文发，张红霞．灵活换元㊀巧妙转换［Ｊ］．数学大世界（中旬），２０２１（６）：６８．。
高中数学椭圆中的最值问题与定点、定值问题
椭圆中的最值问题与定点、定值问题解决与椭圆有关的最值问题的常用方法 （1）利用定义转化为几何问题处理；（2）利用数形结合，挖掘数学表达式的几何特征进而求解； （3）利用函数最值得探求方法，将其转化为区间上的二次 函数的最值来处理，此时应注意椭圆中x 、y 的取值范围；（4）利用三角替代（换元法）转化为 三角函数的最值问题处理。
一 、椭圆上一动点与焦点的距离的最值问题 椭圆上一动点与焦点的距离称为焦半径，椭圆上一动点与长轴的两端点重合时，动点与焦点取得最大值a+c （远日点）、最小值a -c （近日点）。
推导：设点),(00y x P 为椭圆)0( 12222>>=+b a by a x 上的任意一点，左焦点为)0,(1c F -，2201)(||y c x PF ++=，由 1220220=+b y a x 得)1(22020ax b y -=，将其代入 20201)(||y c x PF ++=并化简得a x acPF +=01||。
所以，当点),(00y x P 为长轴的右端点)0,(2a A 重合时，a c a a acPF +=+⋅=max 1||；当点),(00y x P 为长轴的左端点)0,(1a A -重合时。
c a a a acPF -=+-⋅=)(||min 1。
当焦点为右焦点)0,(2c F 时，可类似推出。
1. （2015浙江卷）如图，已知椭圆 1222=+y x 上两个 不同的点A 、B 关于直线21+=mx y 对称。
（1）求实数m 的取值范围；（2）求AOB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）。
解：（1）由题意知0≠m ，可设直线AB 的方程为b x my +-=1。
联立⎪⎩⎪⎨⎧+-==+bx m y y x 11222，消y 去，得012)121(222=-+-+b x m b x m 。
因为直线b x my +-=1与椭圆 1222=+y x 有两个不同的交点， 所以042222>++-=∆m b 。
例谈数学解题中的换元法
例谈数学解题中的换元法如果用新的未知量或变量替换原来的未知量或变量，求出新的未知量或变量后，再利用替换关系式求出原来的未知量或变量的方法，叫做辅助元素法，简称换元法。
其中，新的未知量叫做辅助元素，简称辅助元。
某些数学问题通过这种“换元”，往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题途径。
1、若(x-z)2-4(x-y)(y-z)=0，求证：x, y, z成等差数列。
（1979年）分析：作变换a=x-y, b=y-z，问题化为(a+b)2-4ab=0a=b。
问题已变得十分简单明了。
2、设对所有实数x，不等式x2log2＞0恒成立，求a的取值范围。
（1987年）分析：作变换m=log2，则原式变为(3+m)x2-2mx+2m＞0。
其对一切x∈R恒成立的充要条件完全暴露为：。
由此解出0＜a＜1。
3、设复数z1和z2满足关系式=0，其中A为不等于0的复数，证明：（1）|z1+A|·|z2+A|=|A|2；（2）。
（1987年）分析：作变换α=z1+A，β=z2+A，则z1=α-A，z2=β-A，代入条件式，并化简得α=|A|2。
（1）|z1+A||z2+A|=|α||β|=|α|||=|α|=|A|2；（2），∴。
4、求同时满足下列条件的所有复数z：（1）z+∈R且1＜z+≤6；（2）z的实部与虚部均为整数。
（1992年）分析：设t=z+，则t∈R，且1＜t≤6，∴z2-tz+10=0。
由条件知Δ=t2-40＜0。
再由求根公式知z=±。
∵是整数，∴t=2,4, 6。
当t=2时，z=1±3i；当t=4时，z的虚部不为整数，舍去；当t=6时，z=3±i。
故所求的复数是z=1±3i或3±i。
换元法不仅是一个重要的数学解题方法，而且也是解高考题的热点方法之一，掌握它的关键在于通过观察、联想发现与构造出变换式（或新元换旧式、或新式换旧元、或新式换旧式）。
换元法在椭圆问题中的运用
换元法在椭圆问题中的运用〔关键词〕椭圆问题；换元法；中点弦方程；最值；椭圆方程我们在解决椭圆问题时往往因为运算量大，而感觉问题变得很难。
其实，在椭圆方程中，令a=b=r，则椭圆方程变为圆方程；在椭圆面积公式S=πab中，令a=b=r，则椭圆面积公式变为圆的面积公式.以上说明圆可以看作是特殊的椭圆，它们有很多相似的性质，从而椭圆的有些问题就可以用圆的知识来处理.下面分类举例，予以说明.求椭圆的中点弦方程例１：已知椭圆+=1，定点P（m，n）（mn≠0）在椭圆内，求以Ｐ（m，n）为中点的弦所在的直线方程.解：令x′=，y′=，则已知椭圆和定点P（m，n）变为相应的圆x′2+y′2=1和定点P′（，），从而所求问题变为：求圆x′2+y′2=1内以P′（，）为中点的弦所在的直线方程.∵直线OP′的斜率kOP′==，∴以P′为中点的弦所在直线的斜率为-，弦所在直线的方程为y′-=－（x′-），化简得b2mx+a2ny-b2m2-a2n2=0.评析：本题也可用韦达定理或“点差法”解决，但运算较繁琐，而以上解法通过换元法将椭圆转化为圆，再运用圆的性质轻松求解，可谓方法独特.求椭圆上的动点到定直线（或定点）的距离的最值例2：在椭圆+=1上求一点，使它到直线l：3x-2y-16=0的距离最短，并求此距离.解：令x′=，y′=，则已知椭圆和直线l变为相应的圆x′2+y′2=1和直线l′：6x′-2y′-16=0.从而所求问题变为：求圆x′2+y′2=1上一点到直线l′：6x′-2y′-16=0的距离最短问题.由平面几何知识可知，过圆x′2+y′2=1的圆心O′（0，0）作直线l′的垂线段，交圆于点P′（x′，y′），点P′到垂足的距离最短.因此由直线l′的垂线O′P′：y′=-x′和圆x′2+y′2=1相交，可求得点P′为（，-）.则相应椭圆上所求的点Ｐ为（，-），所求最短距离为=.评析：此类问题还可用函数法、判别式法、导数法和参数法求解，而通过换元法将椭圆和直线（或定点）转化为相应的圆和直线（或定点），运用圆的性质和平面几何知识使问题易于理解，又可避免较为繁琐的计算过程.求椭圆方程例３：已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点M（0，2）作直线l与椭圆交于A、B两点，设N为AB的中点，且KＯＮ=，=，求椭圆的方程.解：设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），已知e==，得a2=2b2，椭圆方程变为+=1，即x2+=2b2.令x′=x，y′=y，则椭圆和定点M（0，2）变为相应的圆x′2+y′2=2b2和定点M′（0，2）.变化前后如上图所示：设N为（x0，y0），N′为（x′0，y′0），则kO′N′===kON=.∵N为AB的中点，∴坐标线性变换后，N′为A′B′的中点，∴O′N′⊥A′B′，∴kA′B′=-=-2，∴直线A′B′的方程为：y′=-2x′+2，O′到直线A′B′的距离d′=|O′N′|=.又|O′M′|=2，∴在Rt △O′M′N′中，|M′N′|=. ∵==，又N′为A′B′的中点，∴|A′N′|=|M′N′|=，∴|O′A′|2=2b2=d′2+|A′N′|2=，得b2=，∴椭圆方程为+=1.评析：本题通过换元法将椭圆转化为圆，使得题目中的已知条件变为圆的条件，从而多增加了“圆心与弦的中点的连线与弦垂直”这个条件，接着利用圆中的垂径定理和勾股定理，就使问题变得容易解决.。
换元法高中数学思想方法
换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t〔t>0〕，而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用代数式中与三角知识中有某点联系进展换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2〔r>0〕时，那么可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原那么，换元后要注重新变量围的选取，一定要使新变量围对应于原变量的取值围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
2.设f(x2＋1)＝loga(4－x4) 〔a>1〕，那么f(x)的值域是_______________。
利用换元法解决高中数学问题的形式探究
利用换元法解决高中数学问题的形式探究胡志军(江苏省南通市如皋中学㊀２２６５００)摘㊀要:运用换元法解决数学问题ꎬ通过引入新的变量把之前题目当中给出的已知条件重新联系在一起ꎬ也可以找到分散条件之间的相关关系ꎬ从而更好地挖掘题目想要透露出的隐含条件.运用这种方法能够将复杂的问题变得更加简单ꎬ也可以尽自己最大的努力把题目换成自己熟悉的方式ꎬ通过复杂的计算和推理进行内容的简化.关键词:换元法ꎻ高中数学ꎻ技巧分析中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)３０－００１０－０２收稿日期:２０２１－０７－２５作者简介:胡志军(１９７８.１－)ꎬ男ꎬ江苏省如皋人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀应用换元法解决问题是在高中数学解题过程中非常常见的一种方法ꎬ对同学们个人能力的发展有非常重要的帮助.换元法又可以称之为是辅助元素法㊁变量代换法.同学们从高一开始就会使用到这种方法ꎬ能够贯穿到整个学习过程中.教师在日常的教学中更是应该有针对性地帮助同学们了解这些方法的具体使用ꎬ也要明确有哪些题目能够运用换元法解决.具体解决一定要以有利于计算㊁有利于标准化为基本的原则ꎬ也要对变量的范围进行重新的选取ꎬ尽可能的避免因为马虎而导致的不必要的失误.本文以三角函数问题运用不同的换元法等基本方法进行了探究ꎬ包括局部换元法㊁三角换元法㊁均值换元法.㊀㊀一㊁应用局部换元法解决三角函数问题应用局部换元法解决三角函数问题需要同学们结合自己学过的相关内容对题目中已知条件进行换元处理.例１㊀设存在ａ>０ꎬ求解ｆｘ()＝２ａｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ()－ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ－２ａ２的最大值和最小值.分析㊀运用局部换元法解决ꎬ设ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔꎬ抓住ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ与ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ的内在联系ꎬ将三角函数的值域问题转化为二次函数在闭区间上的值域问题ꎬ简化难度.但是在换元过程中ꎬ一定要注意新的参数范围ꎬ即ｔɪ[－２ꎬ２]要与ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ对应.否则会出现不必要的错误.㊀解㊀设ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ＝ｔꎬ则ｔɪ－２ꎬ２[]由ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ()２＝１＋２ｓｉｎｘｃｏｓｘ可得ｓｉｎｘｃｏｓｘ＝ｔ２－１２ʑｆｘ()＝ｇｘ()＝－１２ｔ－２ａ()２＋１２(ａ>０)ꎬｔɪ[－２ꎬ２]㊀㊀分情况讨论:当ｔ＝－２时ꎬ取最小值－２ａ２－２ａ－１２.当２ａȡ２ꎬ即ｔ＝２时ꎬ取最大值－２ａ２－２ａ－１２.当０<２ａɤ２时ꎬ即ｔ＝２ａ时ꎬ取最大值１２.ʑｆｘ()的最小值为－２ａ２－２ａ－１２ꎬ最大值为１２(０<２ａɤ２)－２ａ２－２ａ－１２(２ａȡ２)ìîíïïïï０１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.通过这种换元的方法对原来的题目进行处理ꎬ问题得到了有效的简化ꎬ但是在解决问题时对应到新的未知数存在区间的问题ꎬ需要同学们加以注意ꎬ并保证原有未知量和新的未知量的定义域是一一对应的ꎬ并且要对定义域内的不同情况进行分类讨论.㊀㊀二㊁应用三角换元解决三角函数问题一般遇到圆㊁椭圆㊁双曲线等问题时ꎬ需要应用三角换元法解决三角函数问题ꎬ同学们先将代数问题或是解析几何问题转化为含参三角不等式的恒成立问题ꎬ然后结合 参数分离法 转化为三角函数的值域问题ꎬ从而求出参数范围.例２㊀若实数ｘ㊁ｙ满足(ｘ－１)２９＋(ｙ＋１)２１６＝１ꎬ设ｘ＋ｙ－ｋ>０恒成立ꎬ求ｋ的值.分析㊀运用三角换元的思路ꎬ已知(ｘ－１)２９＋(ｙ＋１)２１６＝１ꎬ采用三角换元的方法需要根据三角函数的基本关系来进行换元处理ꎬ即ｓｉｎ２θ＋ｃｏｓ２θ＝１ꎬ对应到题目中ꎬ寻找ｓｉｎθ与ｃｏｓθ分别对应的未知量关系.直线ｘ＋ｙ－ｋ>０的斜率小于０ꎬ向右下方倾斜ꎬ可根据题目条件得到椭圆的图像在直线ｘ＋ｙ－ｋ>０的右上方.解㊀由题可知(ｘ－１)２９＋(ｙ＋１)２１６＝１ꎬ设ｘ－１３＝ｃｏｓθꎬ１４＝ｓｉｎθꎬ则有ｘ＝１＋３ｃｏｓθｙ＝１＋４ｓｉｎθ{ꎬ代入不等式ｘ＋ｙ－ｋ>０可得３ｃｏｓθ＋４ｓｉｎθ－ｋ>０ꎬ即ｋ<３ｃｏｓθ＋４ｓｉｎθ＝５ｓｉｎ(θ＋φ)ꎬʑｋ<－５时恒成立.㊀㊀三㊁应用均值换元法解决三角函数问题应用均值换元法解决三角函数问题需要同学们结合自己学过的相关内容对题目中已知条件进行换元处理.例３㊀若实数ｘ㊁ｙ满足４ｘ２－５ｘｙ＋４ｙ２＝５ꎬ设Ｓ＝ｘ２＋ｙ２ꎬ求１Ｓｍａｘ＋１Ｓｍｉｎ的值.分析㊀运用三角换元的思路ꎬ已知Ｓ＝ｘ２＋ｙ２ꎬ设ｘ２＝Ｓ２＋ｔꎬｙ２＝Ｓ２－ｔꎬ通过减少条件中 元 的个数ꎬ化简问题后代入求解即可.解㊀由题可知Ｓ＝ｘ２＋ｙ２ꎬ设ｘ２＝Ｓ２＋ｔꎬｙ２＝Ｓ２－ｔꎬｔɪ[－Ｓ２ꎬＳ２]ꎬ则有ｘｙ＝Ｓ２４－ｔ２ꎬ代入４ｘ２－５ｘｙ＋４ｙ２＝５中可得４Ｓʃ５Ｓ２４－ｔ２＝５移项㊁平方整理后可得１００ｔ２＋３９Ｓ２－１６０Ｓ＋１００＝０ꎬʑ３９Ｓ２－１６０Ｓ＋１００ɤ０ꎬ解得１０１３ɤＳɤ１０３ꎬʑ１Ｓｍａｘ＋１Ｓｍｉｎ＝３１０＋１３１０＝１６１０＝８５.高中数学的教学主要是为了让同学们的思想能够有所发展ꎬ让同学们可以更加灵活的使用抽象思维的能力去探索数学问题的奥秘.三角函数是高中数学教学中非常重要的一部分内容ꎬ几乎会和所有重要的模块建立起密切的联系ꎬ所以需要教师和同学们在日常的学习和练习当中加以注意.而以上的介绍提到的只是在解决三角函数的相关问题时常见的一些换元的方法ꎬ具体的解题方法还需要结合不同的问题进行更加多样化的探索和总结ꎬ数学的学习是永无止境的ꎬ同学们需要在学习中保持一种探索和创新的意识.换元不仅仅是一种方法ꎬ更是同学们在日常数学学习当中日积月累所得到的一种思想ꎬ能够帮助同学们在日常应对数学问题时更加得心应手ꎬ同学们也可以通过学习更多的知识进行方法的转变ꎬ从而实现知识的灵活运用ꎬ让同学们能够在解决数学问题的过程中更加顺利ꎬ有更多的收获.所以ꎬ教师应该在日常的教学中帮助同学们进行方法的总结和归纳ꎬ让同学们在学过了一些知识之后能够建立起更加清晰的体系ꎬ把相关的知识总结在一起进行复习巩固ꎬ为未来的学习和复习奠定更加扎实的基础.㊀㊀参考文献:[１]王凤梅.换元法在高中数学解题中的应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２０(３３):１６－１７.[２]朱平.解答高中数学问题的几个常用措施[Ｊ].语数外学习(高中版上旬)ꎬ２０２０(１０):４９－５０.[３]王秀娣ꎬ何玉友.高中数学中的换元法[Ｊ].数理天地(高中版)ꎬ２０２０(０５):９－１０.[责任编辑:李㊀璟]１１ Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
三角换元在椭圆中的应用
三角换元在椭圆中的应用椭圆是很多数学中重要的概念，早在古希腊数学家艾克斯多德时代就已经有了。
艾克斯多德发现了两条椭圆的曲线，即椭圆的标准表达式。
后来，人们发现，在特定的情况下，椭圆可以用三角换元神奇的方法表示出来。
三角换元是一种不同的方法，可以把一个复杂的问题转换成简单的三角形问题，可以把复杂的方程变成很容易的三角函数的方程。
它可以用来解决各种复杂数学问题，比如椭圆。
椭圆的一个基本性质是它的长轴与短轴之比永远是一定的，即它的集合可以用一个参数来表示。
这个参数通常被称为焦距，即椭圆聚焦。
使用三角换元，可以用椭圆的短焦距和长焦距来表示其集合。
下面介绍三角换元在椭圆中的应用。
首先，椭圆具有两个焦点（F1，F2）和一个长轴（a）。
焦点以及长轴可以组成一个三角形，如图所示。
然后，利用三角换元可以用F1，F2，a计算三角形的其它值，包括短轴（b）、角度（α）和周长（C）。
由于椭圆有两个焦点和一个长轴，所以可以建立一个椭圆方程，描述一条椭圆的曲线。
一个椭圆曲线的标准表达式是：$$frac{x^2}{a^2}+frac{y^2}{b^2}=1$$这里的a和b是椭圆的短轴和长轴，而x和y是可变的方程变量。
利用三角换元，可以用a，b和α来计算出方程的x和y，即：$$x = a cos(α) y = b sin(α)$$使用这些变量，可以构造一个椭圆曲线的标准方程：$$frac{a^2 cos^2(α)}{a^2}+frac{b^2 sin^2(α)}{b^2}=1$$ 椭圆曲线在很多地方都有着重要的应用，尤其在几何和天文学中都有广泛的应用。
例如，在几何学中，椭圆曲线可以用来分析圆周率的值，以及画出复杂的图形。
在天文学中，椭圆曲线可以用来描述行星轨道和其他天体运动轨迹。
从上面可以看出，三角换元在椭圆中有着重要的应用，它可以使椭圆的曲线变得更加的容易理解和更容易进行推导。
同样的道理，三角换元也可以用在其他一些数学问题中，因此，三角换元在学习数学中起着重要的作用。
三角换元在椭圆中的应用
三角换元在椭圆中的应用近年来，椭圆形状已经成为许多科学和工程领域中最重要的几何形状之一，特别是在航空航天、航天机械、能源系统和电力调度等领域有着广泛的应用。
这篇文章将介绍三角换元(Triangle Transform)，即将一个椭圆从坐标系A系统中变换到坐标系B系统中来，进而讨论三角换元在椭圆中的应用。
三角换元是一种坐标变换的方法，它的基本原理是将一个椭圆的数据从一个坐标系转换到另一个坐标系。
它可以将椭圆坐标系转换为椭圆极坐标系，也可以将椭圆极坐标系转换为椭圆坐标系。
首先，在椭圆坐标系下，一个椭圆的参数可以用两个变量a和b 表示，其中a为椭圆的长轴，b为椭圆的短轴。
而在椭圆极坐标系下，椭圆的参数可以用一个变量r来表示，其中r为椭圆的极径。
因此，将椭圆从坐标系A中变换到坐标系B中的过程即三角换元，它的目的是求解椭圆极坐标系中的椭圆参数r和椭圆坐标系中的椭圆参数a、b之间的关系。
接下来，要解决三角换元变换，我们需要一些基本的数学概念，比如三角函数、椭圆方程和椭圆极坐标系等。
在这里简单介绍一下。
三角函数是一类数学函数，它以任意角度弧度作为输入参数，然后以某种规则输出数值。
椭圆方程定义了一个椭圆，它一般使用二次多项式方程来表示。
椭圆极坐标系是一种坐标系，它以椭圆的中心作为坐标原点，以椭圆的长轴和短轴作为极轴，以椭圆的原点和长轴之间的夹角作为极角。
总结一下，在解决三角换元在椭圆中的应用时，需要结合三角函数、椭圆方程和椭圆极坐标系的概念，将椭圆坐标系下的椭圆参数a、b转换为椭圆极坐标系下的椭圆参数r，即实现从坐标系A中变换到坐标系B中的椭圆变换。
三角换元已经在许多科学和工程领域得到广泛的应用，其中最著名的例子是在天文学中用于解决太阳系物理问题。
例如，在太阳系物理学中，三角换元可以用来计算太阳系物体的轨道和其他参数，以及太阳系物体之间的引力相互作用。
此外，三角换元也被广泛应用于给定时刻椭圆的数值分析。
该方法结合三角函数、椭圆方程和椭圆极坐标系，可以计算出椭圆的参数，并生成一个有效的椭圆模型。
待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝-解析版
待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝在运用函数与方程思想解题的过程中,在确定函数、方程、不等式的参变数的值时需要运用待定系数法,而构造法又常常与待定系数法紧密相联,换元法往往可以使较为复杂的问题变为基本题型,许多数学问题就是在不断转换的过程中加以解决的.如函数问题可以转换为方程问题求解,方程问题可以转换为函数问题通过图像结合不等式知识求解,善于转换是数学核心素养的体现.典型例题1设抛物线y =ax 2+bx +c 过点A 1,2 和B -2,-1 .(1)试用a 表示b 和c ;(2)对于任意非零实数a ,抛物线都不过点P m ,m 2+1 ,试求m 的值.【分析】对本题题意的理解是关键,什么是抛物线都不过某点呢?换一种说法是:将该点的坐标代入所给的抛物线方程,方程无实数解,所以本题体现了一种等价转换的思想以及待定系数法在研究函数与方程问题中的应用.【解析】1 依题意,a +b +c =2,4a -2b +c =-1, 解得b =1+a ,c =1-2a .(2)y =ax 2+1+a x +1-2a ,将m ,m 2+1 代人,得am 2+1+a m +1-2a =m 2+1,整理得m 2+m -2 a =m 2-m .由题意,关于a 的方程无非零实数解,由m 2+m -2=0,m 2-m ≠0, 得m =-2;由m 2+m -2≠0,m 2-m =0, 得m =0.故所求的值为m =-2或m =0.2(1)已知数列a n 中,a 1=10,且a n =15a n -1+2⋅5n ,求这个数列的通项公式;(2)已知数列a n 中,a 1=3,a 2=5,a n =a n -2+4n -3n ≥3 ,求通项公式a n .法构造新的特殊数列,从而使问题获解;第2 问,一般解法是设待定系数A ,即由a n +An 2=a n -2+An 2+4n -3配方,得a n +An 2=a n -2+A (n -2)2+4A +4 n -4A -3,令4A +4=0,解得A =-1,从而构造等差数列.当然,如果直接对递推关系变形很难看出解题者的数学核心素养.【解析】(1)先对递推式进行变形,a n 5n =15a n -15n +2.即a n 5n =3⋅a n -15n -1+2.设b n =a n 5n n ∈N * ,则b n =3b n -1+2.(1)引人待定系数α,β,使α,β满足b n -β=αb n -1-β .展开得b n =αb n -1-αβ+β.(2)对照(1)式和(2)式,可得方程组α=3,-αβ+β=2,解得α=3,β=-1. 即数列b n +1 是以b 1+1=a 15+1=3为首项,3为公比的等比数列,所以b n +1=3⋅3n -1=3n ,b n =3n -1.于是,b n =a n 5n =3n -1,a n =15n -5n n ∈N * .(2)由条件可得a n -n 2=a n -2-(n -2)2+1n ≥3 .令b n =a n -n 2,则数列b n 可化为两类等差数列,其中b 2n -1 是以b 1=a 1-1=2为首项,d =1为公差;b 2n 是以b 2=a 2-22=1为首项,d =1为公差.因此,b 2n -1=2+n -1 ,b 2n =1+n -1 .所以a 2n -1=(2n -1)2+n +1,a 2n =(2n )2+n .故a n =122n 2+n +3(n 为奇数)122n 2+n(n 为偶数) 可简化为a n =122n 2+n +341+(-1)n +1 .3设a 为实数,函数f x =a 1-x 2+1+x +1-x 的最大值为g a .(1)设t =1+x +1-x ,求t 的取值范围,并把f x 表示为t 的函数m t ;(2)求g a ;(3)试求满足g a =g 1a的所有实数.【分析】本例是一道苐进式的综合题,主要考查函数、方程等基础知识,考查分类与整合以及函数与方程的思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力,难度上循序渐进,第(1)问考查变量代换的技巧,难点在新变量范围的确定,可以有不同的方法求解;第(2)问是含参函数在区间上最大值的求法.分类与整合并结合函数单调性是解答的关键;第3 问实质是解方程,由于g a 是分段的,对于方程g a =g 1a 解的讨论更要分类全面、环环相扣.正如罗素所言:“数学不仅拥有真理,而且还拥有至高的美一种冷峻而严肃的美,正像雕塑所具有的美一样⋯⋯”本题的解决过程不仅能显示解题者的数学功力,也展现了“一种冷峻而严肃的美”.【解析】(1) 【解法一】 (代数法)令t =1+x +1-x ,要使t 有意义,必须1+x ≥0,1-x ≥0,即-1≤x ≤1.∵t 2=2+21-x 2,x ∈-1,1 ,t ≥0(1)∴t 的取值范围是2,2 ,由(1)式得1-x 2=12t 2-1,故m t =a 12t 2-1 +t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 .【解法二】(三角换元法)令x =sin2θ,θ∈-π4,π4.t =1+x +1-x =1+sin2θ+1-sin2θ=sin θ+cos θ +sin θ-cos θ=sin θ+cos θ-sin θ+cos θ=2cos θ,a 1-x 2=a 1-sin 22θ=a cos2θ由于θ∈-π4,π4 ,所以cos θ∈22,1,即t ∈2,2 ,f x =m t =a cos2θ+t ,又cos2θ=2cos 2θ-1=2×t 24-1=t 22-1故m t =a 12t 2-1 +t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 .(2)由题意知g a 即为函数m t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 的最大值.注意到直线t =-1a 是抛物线m t =12at 2+t -a 的对称轴,故分以下几种情况讨论.①当a >0时,函数y =m t ,t ∈2,2 的图像是开口向上的一段抛物线,∵t =-1a <0,知m t 在2,2上单调递增,∴g a =m2 =a+2.②当a=0时,∵m t =t,t∈2,2,∴g a =2.③当a<0时,函数y=m t ,t∈2,2的图像是开口向下的一段抛物线.若t=-1a∈0,2.即a≤-22,则g a =m2=2;若t=-1a∈2,2,即-22<a≤-12,则g a =m-1a=-a-12a;若t=-1a∈2,+∞,即-12<a<0,则g a =m2 =a+2.综上可得:g a =a+2a>-12-a-12a-22<a≤-122 a≤-22(3)①当a<-2时,1a >-12,此时g a =2,g1a=1a+2.由2+1a=2,解得a=-1-22,与a<-2矛盾.②当-2≤a<-2时,-22<1a≤-12.此时g a =2⋅g1a=-1a-a2.2=-1a-a2,解得a=-2与a<-2矛盾.③当-2≤a≤-22时,-2≤1a≤-22,此时g a =2=g1a,所以-2≤a≤-2 2④当-22<a≤-12时,-2≤1a<-2,此时g a =-a-12a,g1a= 2.由g a =g1a 即得-a-1 2a = 2.解得a=-22与a>-22矛盾.⑤当-12<a<0时,1a<-2,此时g a =a+2,g1a=2.由g a =g1a即得a+2=2,解得a=2-2与a>-12矛盾.(6)当a>0时,1a >0,此时g a =a+2,g1a=1a+2.由g a =g1a即得a+2=1a+2.解得a=±1,由a>0得a=1.综上可得,满足g a =g1a的所有实数a为-2≤a≤-22或a=1.4如图3-3所示,设直线l与椭圆x22+y2=1相切,切点为P,点M是坐标原点O在直线l上的正投影,求MP的最大值和最小值.【分析】本例的解答分3步:第一步,求出切线l 的方程和直线OM 的方程;第二步,求出点M 的坐标用点P x 0,y 0 的坐标表示,运用两点间距离公式求得|MP |2关于y 20的函数关系式;第三步,进入求MP 最值的流程,然而函数解析式太复杂了,可通过换元法变为基本函数求最值问题,当然新元的取值范围一定要紧紧㧓住!【解析】设P x 0,y 0 ,则-1≤y 0≤1,x 20=21-y 20 (点P 在椭圆上),切线l 的方程为x 0x +2y 0y =2(已知切点求䢶圆的切线方程),由OM ⊥l 得直线OM 的方程为2y 0x -x 0y =0.联立两直线方程,求得点M x ,y 的坐标为x =2x 0x 20+4y 20=2x 021-y 20 +4y 20=x 01+y 20x 20=2(1- y 20) ，y =4y 0x 20+4y 20=2y 01+y 20∴|MP |2=x -x 0 2+y -y 0 2=y 201+y 20 2x 20y 20+1-y 20 2 =y 201-y 20 1+y 200≤y 20≤1 设y 20=t 0≤t ≤1 ,则|MP |2=g t =t 1-t 1+t =-t +2-21+t =3-t +1+2t +1≤3-22(由基本不等式求得).当且仅当t +1=2t +1,即t =2-1时等号成立.∵0<2-1<1.∴函数g t 在区间0,1 上有最大值3-22,最小值0.即MP 的最大值和最小值分别为MP |max =3-22=2-1, MP |min =0.。
椭圆的三角换元的推导
椭圆的三角换元的推导椭圆是中学数学中要讲解的几何体形，也是数学发展史中有着重要意义和地位的一个概念，它由著名的古希腊数学家爱泼斯坦发现，也是他发现圆的概念之后继而发展而来的。
它的定义是比较特殊的，椭圆的定义是：它是在平面上的某一特定点，由两个相等的半径构成的曲线。
椭圆的形状有很多种，其中比较有意思的一种是椭圆的三角换元法，也就是说，它可以通过三角换元的方式求解椭圆的定义。
椭圆的三角换元法来源于古代科学家爱泼斯坦的思想。
他受到费马逻辑学和几何学中换元法的启发，认为可以用换元法推导出椭圆的定义。
他先用曲率定理证明出椭圆的局部表面积，接着用另外一些定义继续证明，最终可以得到有关椭圆的定义，而这种定义也可以用三角换元法求解。
要用三角换元法求解椭圆的定义，首先要确定椭圆的中心点和圆半径。
中心点是指椭圆的中心，圆半径指从椭圆的中心到它的任意一个边界的距离。
一旦确定了椭圆的中心点和圆半径，接下来就要根据三角换元法来求解椭圆的定义。
首先，要将椭圆的定义变换成极坐标表示，即把椭圆的定义变换成椭圆的极点的距离和角度的表达式：在这个表达式中，中心点的距离是极坐标系的极点，半径r是椭圆的圆半径，θ是从中心点出发的角度，然后就可以根据三角换元法的思想来求解椭圆的定义：这里假定了椭圆的中心点距离椭圆任意一点的距离和角度的表达式，这就是椭圆的三角换元法求解椭圆定义的全部内容。
而椭圆的三角换元法有着重要的意义，它更加直观地表示了椭圆的概念，同时也可以更加方便地求出椭圆的定义，也可以用在其他几何体形的推导中。
总之，椭圆的三角换元法是一种非常有用的数学技巧，可以用来求解椭圆的定义，也可以用来给出其他几何体形的推导。
它以古希腊数学家爱泼斯坦的思想为基础，然后结合古代的换元法，让数学家们对椭圆的概念有一个更加清晰的认识，从而更好地掌握椭圆的定义、求解方法及其应用。
换元法在高中解析几何中的应用研究
换元法在高中解析几何中的应用研究摘要：换元法作为数学发展的一个杠杆，是用一种变数形式取代另一种变数形式的方法，也是高中数学中一个重要的解题方法，不仅在函数、解析几何等多个模块中具有至关重要的作用，还对学生科学思维的发展具有积极的推进作用。
因此，本文笔者以高中解析几何作为切入点，对换元法的应用展开研究。
关键词：换元法；高中数学；解析几何换元的本质为转化，它能够将复杂的研究对象简单化，将隐含的条件显现出来。
而解析几何作为高中数学的重要模块，是以代数方法研究平面几何问题的过程，包括直线与圆的方程、圆锥曲线等，这些内容都是初中平面几何学习的继续、内容的扩充、方法的提升，由于这部分内容具有较强的抽象性，学生的抽象思维还未发展成熟，因此，学生在学习过程中，常常产生思维障碍，而换元法的引入不仅有助于打破学生存在的思维障碍，还能使学生开拓思路，并进一步内化数学思想，以保障学习活动的顺利进行。
本文笔者对换元法的基本特点、意义以及在解析几何中的应用进行分析。
一、换元法的基本特点换元法是通过引入一个或者几个新的变量来代替原来的某些变量找到问题的解决途径，再返回求原变量的过程。
使用换元法既要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，又需要注意换元后重新变量范围的选取。
此外，高中数学所运用的换元法主要包括：整体换元、三角换元、均值换元等，它们的应用较为广泛，在求函数的值域、解析几何等方面都有突出的体现。
整体换元可以达到简化问题的目的，当然有时候要通过变形才能发现。
三角换元主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
均值换元法解数学题的关键在于适当引入新的变量，通过代换达到减元的目的，从而使问题得以简化。
但在具体问题中，换元的形式多种多样，追究其本质，是从“通过换元使形式更凝练、通过换元改造难以处理的形式”这两个角度针对性地选择换元方式。
二、换元法研究的意义换元法是一种数学思维方法，也是落实素质教育理念的一项内容。
受传统的教育理念的影响，学生的学习以单纯的记忆和模仿为主要形式，以提高应试能力为主要目的，这样对学生思维的发展和长期的学习活动都会造成不利影响。
高中数学换元法解题案例及练习题
高中数学换元法解题案例及练习题解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x ＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π]，问2题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y 2＝r 2（r>0）时，则可作三角代换x ＝rcos θ、y ＝rsin θ化为三角问题。
均值换元，如遇到x ＋y ＝S 形式时，设x ＝S 2＋t ，y ＝S 2－t 等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2]。
Ⅰ、再现性题组：1.y ＝sinx ·cosx ＋sinx+cosx 的最大值是_________。
《椭圆的几何性质1》教学反思
《椭圆的几何性质1》教学反思1、《椭圆的几何性质1》教学反思近期,我开设了一节公开课《椭圆的几何性质1》。
在新课程背景下，如何有效利用课堂教学时间，如何尽可能地提高学生的学习兴趣，提高学生在课堂上45分钟的学习效率，是一个很重要的课题。
要教好高中数学，首先要对新课标和新教材有整体的把握和认识，这样才能将知识系统化，注意知识前后的联系，形成知识框架；其次要了解学生的现状和认知结构，了解学生此阶段的知识水平，以便因材施教；再次要处理好课堂教学中教师的教和学生的学的关系。
课堂教学是实施高中新课程教学的主阵地，也是对学生进行思想品德教育和素质教育的主渠道。
课堂教学不但要加强双基而且要提高智力，发展学生的智力，而且要发展学生的创造力；不但要让学生学会，而且要让学生会学，特别是自学。
尤其是在课堂上，不但要发展学生的智力因素，而且要提高学生在课堂45分钟的学习效率，在有限的时间里，出色地完成教学任务。
一、要有明确的教学目标教学目标分为三大领域，即认知领域、情感领域和动作技能领域。
因此，在备课时要围绕这些目标选择教学的策略、方法和媒体，把内容进行必要的重组。
备课时要依据教材，但又不拘泥于教材，灵活运用教材。
在数学教学中，要通过师生的共同努力，使学生在知识、能力、技能、心理、思想品德等方面达到预定的目标，以提高学生的综合素质。
二、要能突出重点、化解难点每一堂课都要有教学重点，而整堂的教学都是围绕着教学重点来逐步展开的。
为了让学生明确本堂课的重点、难点，教师在上课开始时，可以在黑板的一角将这些内容简短地写出来，以便引起学生的重视。
讲授重点内容，是整堂课的教学高潮。
教师要通过声音、手势、板书等的变化或应用模型、投影仪等直观教具，刺激学生的大脑，使学生能够兴奋起来，对所学内容在大脑中刻下强烈的印象，激发学生的学习兴趣，提高学生对新知识的接受能力。
尤其是在选择例题时，例题最好是呈阶梯式展现，我在准备例2时，就设置了三个小题，从易到难，便于学生理解接受。
高中数学解题基本方法——换元法
⾼中数学解题基本⽅法——换元法⾼中数学解题基本⽅法——换元法解数学题时，把某个式⼦看成⼀个整体，⽤⼀个变量去代替它，从⽽使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，⽬的是变换研究对象，将问题移⾄新对象的知识背景中去研究，从⽽使⾮标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法⼜称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化⾼次为低次、化分式为整式、化⽆理式为有理式、化超越式为代数式，在研究⽅程、不等式、函数、数列、三⾓等问题中有⼴泛的应⽤。
换元的⽅法有：局部换元、三⾓换元、均值换元等。
局部换元⼜称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式⼏次出现，⽽⽤⼀个字母来代替它从⽽简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），⽽变为熟悉的⼀元⼆次不等式求解和指数⽅程的问题。
三⾓换元，应⽤于去根号，或者变换为三⾓形式易求时，主要利⽤已知代数式中与三⾓知识中有某点联系进⾏换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三⾓函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，⼜有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三⾓代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三⾓问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使⽤换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，⼀定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩⼩也不能扩⼤。
如上⼏例中的t>0和α∈[0,π2]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx·cosx＋sinx+cosx的最⼤值是_________。
关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)
关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)首页>生活常识 >正文关于椭圆的第一定义和第二定义(关于椭圆的第一定义和第二定义的最值转化问题)发布日期：2023-09-21 12:26:22 次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的'并、补、交、非'也就解决了。
还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。
在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。
关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。
函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。
对于幂函数还要搞清楚当指数幂大于一和小于一时图像的不同及函数值的大小关系，这也是常考点。
另外指数函数和对数函数的对立关系及其相互之间要怎样转化等问题，需要着重回看课本例题。
二次函数的零点的δ判别法，这个需要你看懂定义，多画多做题。
这一章主要讲斜率与直线的位置关系，只要搞清楚直线平行、垂直的斜率表示问题就错不了。
考试题中，通项公式、前n项和的内容出现频次较多，这类题看到后要带有目的的去推导就没问题了。
这一章的易错点，都集中在空集这一概念上，而每次考试基本都会在选填题上涉及这一概念，一个不小心就会丢分。
次一级的知识点就是集合的韦恩图、会画图，掌握了这些，集合的“并、补、交、非”也就解决了。
还有函数的定义域和函数的单调性、增减性的概念，这些都是函数的基础而且不难理解。
在第一轮复习中一定要反复去记这些概念，最好的方法是写在笔记本上，每天至少看上一遍。
函数的几大要素和相关考点基本都在函数图像上有所体现，单调性、增减性、极值、零点等等。
关于这三大函数的运算公式，多记多用，多做一点练习，基本就没问题。
函数图像是这一章的重难点，而且图像问题是不能靠记忆的，必须要理解，要会熟练的画出函数图像，定义域、值域、零点等等。
换元法在高中数学解题中的应用
换元法在高中数学解题中的应用换元法是高中数学解题中常见的一种方法，它可以将原问题转化为另一个问题，通过解决这个新问题，从而解决原问题。
换元法在高中数学中的应用十分广泛，下面将分别介绍在微积分、代数和几何中的应用。
在微积分中，换元法的主要应用是求不定积分。
换元法的核心思想是将一个复杂的函数替换成容易处理的函数，从而进行计算。
具体来说，如果一个积分中有f(x)和f'(x)两个因式，那么就可以将f(x)替换成u，从而转化为u的积分，然后再对u进行解析求解。
这种方法非常有效，因为有时候一个函数可能很难被直接积分，但是用换元法将它转化成另外一个函数，就可以很容易地求出它的积分。
除了求不定积分外，换元法还可以用来求定积分和求导数。
在定积分中，我们可以通过换元法来将被积函数转化为另外一个函数，从而简化计算。
在求导数中，我们常常会遇到复杂的函数，但是如果我们能够将它们替换成其他容易处理的函数，就可以借助链式法则和导数的线性性来求出它们的导数。
在代数中，换元法的应用非常广泛。
在解方程和求函数值时，我们常常会遇到复杂的多项式表达式，这时候我们可以通过换元法将一些变量替换成其他变量，从而简化计算。
比如，对于一个三次方程，我们可以通过将x替换成u+v来消去二次项，然后再通过变量替换将三次项消去，从而转化为一个一次方程。
在求函数值时，我们有时候会遇到不好处理的分式表达式，这时候我们可以通过变量替换将它们转化为其他类型的函数，然后再进行计算。
在几何中，换元法的应用也非常广泛，主要是在坐标变换和参数化方程中。
在坐标变换中，我们经常需要将一个图形转换到另一个坐标系中，这时候可以通过适当的变量替换来达到这个目的。
比如，如果需要将一个圆形转换为一个椭圆形，我们可以将x和y分别替换成u和v，然后再通过变量替换将圆形转换为椭圆形。
在参数化方程中，我们常常需要将复杂的曲线图形用简单的参数方程表示出来，这时候也可以借助换元法来达到这个目的。
三角换元在椭圆中的应用
三角换元在椭圆中的应用
中国古代数学家们发展了一些用于解决椭圆问题的关键方法，其中最重要的是以三角换元（即“改变参数”）为中心的方法。
三角换
元在椭圆中的应用可以追溯到六百多年前，唐朝的数学家杨舜开创了三角换元的研究。
他通过三角换元，将椭圆形的问题转换成余弦函数的函数形式，从而帮助解决了椭圆中的一些关键问题。
随后，有一些古代数学家就基于三角换元来研究椭圆的问题，包括著名的明朝数学家戴晗、清朝数学家林若武和王永安等。
他们采用了椭圆形标准和余弦标准，使椭圆形变得更加简单和易于理解。
这些数学家们把椭圆形相关的问题归结为一个固定参数（即椭圆形标准）和一系列可变参数（即余弦标准）的函数形式。
他们发现，这样可以使用简单的数学工具来解决椭圆形中各种关键问题。
椭圆的许多特性，例如椭圆的面积、周长和轴长，都可以利用三角换元在椭圆形中计算出来。
此外，三角换元在椭圆形中的应用也可以帮助求解椭圆的极点、切点和偏心率等信息。
这些信息对椭圆形的完整理解至关重要，因为椭圆形的特性直接影响了空间几何结构及其在编程中的应用。
椭圆形的空间几何结构被广泛用于工程制图、计算机图形学和机器人等领域，而三角换元在椭圆中的应用正是这些领域的核心方法。
例如，在工程制图中，用三角换元来计算椭圆形的面积和周长可以帮助解决椭圆形的位置大小问题；在计算机图形学中，用三角换元来计算椭圆形的偏心率可以帮助设计出准确的椭圆形图案；在机器人方面，
用三角换元来计算椭圆形的极点可以帮助设计机器人移动轨迹。
高考数学 考前解题基本方法二 换元法
二、换元法解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
换元法又称辅助元素法、变量代换法。
通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。
或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。
例如解不等式：4x＋2x－2≥0，先变形为设2x＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如求函数y＝x＋1-x的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin2α，α∈[0,π2]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。
如变量x、y适合条件x2＋y2＝r2（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝S2＋t，y＝S2－t等等。
我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α∈[0,π2 ]。
Ⅰ、再现性题组：1.y＝sinx²cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。
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换元法在椭圆问题中使用
我们在解决椭圆问题时往往因为运算量大，而感觉问题变得很难。
其实，在椭圆方程中，令a=b=r，则椭圆方程变为圆方程；在椭圆面积公式S=πab中，令a=b=r，则椭圆面积公式变为圆的面积公式.以上说明圆能够看作是特殊的椭圆，它们有很多相似的性质，从而椭圆的有些
问题就能够用圆的知识来处理.下面分类举例，予以说明.求椭圆的中
点弦方程例１：已知椭圆+=1，定点P（m，n）（mn≠0）在椭圆内，求以Ｐ（m，n）为中点的弦所在的直线方程.解：令x′=，y′=，则已知椭圆和定点P（m，n）变为相对应的圆x′2+y′2=1和定点P′（，），从而所求问题变为：求圆x′2+y′2=1内以P′（，）为中点的弦所在的直线方程.∵直线OP′的斜率kOP′==，∴以P′为中点的弦所在直
线的斜率为-，弦所在直线的方程为y′-=－（x′-），化简得
b2mx+a2ny-b2m2-a2n2=0.评析：本题也可用韦达定理或“点差法”解决，但运算较繁琐，而以上解法通过换元法将椭圆转化为圆，再使用
圆的性质轻松求解，可谓方法独特.求椭圆上的动点到定直线（或定点）的距离的最值例2：在椭圆+=1上求一点，使它到直线l：3x-2y-16=0
的距离最短，并求此距离.解：令x′=，y′=，则已知椭圆和直线l变为相对应的圆x′2+y′2=1和直线l′：6x′-2y′-16=0.从而所求问
题变为：求圆x′2+y′2=1上一点到直线l′：6x′-2y′-16=0的距
离最短问题.由平面几何知识可知，过圆x′2+y′2=1的圆心O′（0，0）作直线l′的垂线段，交圆于点P′（x′，y′），点P′到垂足的距离最短.所以由直线l′的垂线O′P′：y′=-x′和圆x′2+y′2=1
相交，可求得点P′为（，-）.则相对应椭圆上所求的点Ｐ为（，-），所求最短距离为=.评析：此类问题还可用函数法、判别式法、导数法
和参数法求解，而通过换元法将椭圆和直线（或定点）转化为相对应
的圆和直线（或定点），使用圆的性质和平面几何知识使问题易于理解，又可避免较为繁琐的计算过程.求椭圆方程例３：已知椭圆的中心
在原点，焦点在x轴上，离心率为，过点M（0，2）作直线l与椭圆交于A、B两点，设N为AB的中点，且KＯＮ=，=，求椭圆的方程.解：
设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），已知e==，得a2=2b2，椭圆方程变为
+=1，即x2+=2b2.令x′=x，y′=y，则椭圆和定点M（0，2）变为相对应的圆x′2+y′2=2b2和定点M′（0，2）.变化前后如上图所示：设
N为（x0，y0），N′为（x′0，y′0），则kO′N′===kON=.∵N为
AB的中点，∴坐标线性变换后，N′为A′B′的中点，
∴O′N′⊥A′B′，∴kA′B′=-=-2，∴直线A′B′的方程为：y′=-
2x′+2，O′到直线A′B′的距离d′=|O′N′|=.又|O′M′|=2，∴
在Rt△O′M′N′中，|M′N′|=.∵==，又N′为A′B′的中点，
∴|A′N′|=|M′N′|=，∴|O′A′|2=2b2=d′2+|A′N′|2=，得b2=，∴椭圆方程为+=1.评析：本题通过换元法将椭圆转化为圆，使得题目
中的已知条件变为圆的条件，从而多增加了“圆心与弦的中点的连线
与弦垂直”这个条件，接着利用圆中的垂径定理和勾股定理，就使问
题变得容易解决.
换元法在椭圆问题中使用。