20世纪数学概观
第12章 20世纪数学的发展
第12章20世纪数学概观课时：4课时教学目标：理解20世纪纯粹数学（核心数学）、应用数学、数学与计算机等发展的重要特征及其主要成果。
教学方式：阅读史料、讨论思考、感悟总结主题：20世纪数学的发展概述：在16世纪之前形成了以代数和几何的初等数学体系，主要对象是现实世界的静态描述，表现为解释性和工具性功能。
17世纪伴随解析几何和微积分的创立和18世纪分析的开拓，数学的发展进入近代数学，其处理对象进入变量，形成了以函数概念为主体的分析领域，数学表现为科学的工具。
19世纪，传统领域的崛起和开拓，极大突破了分析一统天下的局面，形成了现代数学经典三大学科：代数、几何和分析。
这一世纪，人才辈出，经过众多数学家的努力极大拓展了数学的疆域和数学信念，数学本位特征加强。
20世纪，数学急剧膨胀，纯粹数学的扩张、应用数学的发展和计算机的应用为数学点缀了一个绚丽的天空，让人应接不暇。
我们不仅惊异于数学的伟大成就，而且也受益于数学创造带来的力量。
Ⅰ20世纪纯粹数学的发展线索问题：1 20世纪纯粹数学发展的主要特征或趋势是什么？2希尔伯特23个问题的重要意义是什么？3公理化方法和集合论在20世纪数学发展中的意义是什么？4 20世纪有哪些重要的学科的发展及其基本思想是什么？5 20世纪数学统一化的主要数学成果有哪些？6 三大学派的代表人物及其主要思想有哪些？主要内容：19世纪数学的变革与积累使数学建立了分支众多、知识庞大的体系，已经初步体现出了参天大树的雏形，20世纪的数学在此基础上急剧扩展，并广泛应用，为数学的发展展现了广阔的前景和提供了强大的动力。
20世纪的数学发展表现出了如下主要特征和趋势：（1）更高的抽象性；（2）更强的统一性（同时，数学也表现出了更大的分化性，呈现多元化发展）；（3）更深入的基础探讨。
一、新世纪数学序幕1900年8月，在巴黎举行的第二届国际数学家大会（1897年在瑞士举行第一次大会）上，德国数学家希尔伯特在大会上发表了题为《数学问题》的演说，高瞻远瞩地提出了著名的23个问题。
数学科学前沿简介(第一讲)概览
数学的分类纵向：初等数学和古代数学 17世纪以前数量数学 17-19世纪近代数学 19世纪现代数学 20世纪横向：基础数学（代数、几何、分析）应用数学计算数学概率论与数理统计运筹学与控制论国外：纯粹数学、应用数学、概率论第一讲数学科学前沿简介一、20世纪数学研究的简单回顾站在数学内部看，上个世纪的数学必须归结到1900年8月6日，在巴黎召开的第二届国际数学家大会代表会议上，38岁的德国数学家希尔伯特(Hilbert, 1862--1943)所发表的题为《数学问题》的著名讲演。
他根据过去特别是十九世纪数学研究的成果和发展趋势，提出了23个最重要的数学问题。
这23个问题通称希尔伯特问题。
这一演说成为世界数学史发展的里程碑，为20世纪的数学发展揭开了光辉的一页。
在这23个问题中，头6个问题与数学基础有关，其他17个问题涉及数论、不定积分、二次型理论、不变式理论、微分方程、变分学等领域。
到了1905年，爱因斯坦创立了狭义相对论（事实上，有两位数学家，庞加莱和洛伦兹也已经走到了相对论的门口），1907年，他发现狭义相对论应用于物理学的其他领域都很成功，唯独不能应用于万有引力问题。
为了解决这个矛盾，爱因斯坦转入了广义相对论的研究，并很快确立了“广义相对论”和“等效理论”，但数学上碰到的困难使他多年进展不大。
大约在1911年前后，爱因斯坦终于发现了引力场和空间的几何性质有关，是时空弯曲的结果。
因此爱因斯坦应用的数学工具是非欧几何。
1915年，爱因斯坦终于用黎曼几何的框架，以及张量分析的语言完成了广义相对论。
德国女数学家诺特（Emmy Noether 1882~1935）发表的论文《Idealtheorie in Ringbereiche（环中的理想论）》标志着抽象代数现代化开端。
她教会我们用最简单、最经济、最一般的概念和术语去进行思考：如同态、理想、算子环等等。
还有其它许多数学大成果。
20世纪近50名菲尔兹数学奖得主的工作都是数学内部的大成果。
现代数学概观-二十世纪的数学
第十四章：现代数学概观－二十世纪的数学第一节五大新兴学科的建立一、数理逻辑1．符号逻辑数理逻辑作为一门数学学科，来源于对数学和逻辑基础的探讨，它最早可追溯到莱布尼茨，他关于逻辑演算的观念预示着布尔代数，而英国数学家布尔(G．Boole 1815—1864)在1847年出版《逻辑的数学分析》一书，正式推出所谓布尔代数，在逻辑上相当于命题演算．其后由英国数学家杰方斯(W．S．Jevons，1835—1882)和小皮尔斯(C．S．Peirce，1839—1914)在1874年加入次序关系，德国数学卷中加以公理化．第一个完全形式化的语言是德国数学家弗瑞格(G．Frege，1848—1925)在1879年出版的《概念文字》中引进的．他首先定义了全称量词及存在量词．并引进一般的谓词逻辑．不过相应的逻辑代数一直到1950年才由波兰数学家塔斯基(A．Tarski，1902—1983)所发展，他引进所谓“圆柱代数”．1955年美国数学家哈尔莫斯(P．Halmos，1916—)又引进多进代数，形成一般的逻辑代数理论．1889年意大利数学家皮亚诺(G．Peano，1858—1932)提出自然数的公理系统，即后来所谓皮亚诺算术公理．而戴德金在前一年也提出类似的公理系统．弗雷格在1884年出版的《算术基础》中开始提到算术无非是扩展的逻辑．戴德金也提出类似的观点．弗雷格在1893年出版的《算术的基本规律》第一卷中，用五条逻辑公理来推导算术命题．1902年6月罗素给弗雷格一封信，提出著名的罗素悖论，并指出弗雷格的矛盾．弗雷格在1903年出版的《算术的基本规律》第二卷附录中承认这是对他的巨大打击，正是这个悖论，揭开了数理逻辑新的一章．2．罗素悖论罗素的悖论是关于集合论的，康托尔已经意识到不加限制地谈论“集合的集合”会导致矛盾．其他人也发现集合论中存在矛盾．而罗素在1903年出版的《数学的原理》(Principles of Mathematics)中，则十分清楚地表现出集合论的矛盾，从而动摇了整个数学的基础．罗素的悖论是说：可以把集合分成两类：凡不以自身为元素的集合称为第一类集合，凡以自身做为元素的集合称为第二类的集合，每个集合或为第一类集合或为第二类集合．设M表示第一类集合全体所成的集合．如果M是第一类集现了这个矛盾之后，导致第三次数学危机，在数学界出现了各种意见，从抛弃集合论到尽可能保持集合论在数学中的基础地位的都有．由于20世纪数学的发展主流是建立在集合论基础之上，这里只考虑数学家如何消除悖论．在20世纪初，大致有两种办法，一个办法是罗素的分支类型论，它在1908年发表，在这个基础上罗素与怀特海(A．N．Whitehead，1861—1947)写出三大卷《数学原理》(principia Mathematica，1910—1913)，成为数理逻辑最早一部经典著作．还有一个办法是公理方法限制集合，由此产生公理集合论．3．集合论的公理化康托尔本人没有对集合论进行公理化．集合论公理化是策梅罗(E．Zermelo，1871—1953)在1908年发表的．富兰克尔(A．Fraenkel，1891—1965)等人曾加以改进，形成著名的ZF系统，这是最常用的一个系统，因此大家都希望从中推出常用的选择公理(1904年策梅罗引进它来设与ZF系统是相容的．1963年，柯亨(P．Cohen，1934—)发明“力迫法”证明这两条“公理”的否定也不能在ZF系统中证明，从而推出其独立性．4．希尔伯特纲领为了使数学奠定在严格公理化基础上，1922年希尔伯特提出希尔伯特纲领，首先将数学形式化，构成形式系统，然后通过有限主义方法证明其无矛盾性．1928年希尔伯特提出四个问题作为实现其纲领的具体步骤：(1)分析的无矛盾性．1924年阿克曼(W．Ackermann，896—1962)和1927年冯诺伊曼(J．Von Neumann，1903—1957)的工作使希尔伯特相信只要一些纯算术的初等引理即可证明分析的无矛盾性．1930年夏天，哥德尔开始研究这个问题，他不理解希尔伯特为什么要直接证明分析的无矛盾性．哥德尔认为应该把困难分解：用有限主义的算术证明算术的无矛盾性，再用算术的无矛盾性证明分析的无矛盾性．哥德尔由此出发去证明算术的无矛盾性而得出不完全性定理．(2)更高级数学的无矛盾性．特别是选择公理的无矛盾性．这个问题后来被哥德尔在1938年以相对的方式解决．(3)算术及分析形式系统的完全性．这个问题在1930年秋天哥尼斯堡的会议上，哥德尔已经提出了一个否定的解决．这个问题的否定成为数理逻辑发展的转折点．(4)一阶谓词逻辑的完全性，这个问题已被哥德尔在1930年完全解决．这样一来哥德尔把希尔伯特的方向扭转，使数理逻辑走上全新的发展道路．5．哥德尔的三项重大贡献除了连续统假设的无矛盾性之外，哥德尔在1929—1930年证明下面两大定理：(1)完全性定理：哥德尔的学位论文《逻辑函数演算的公理的完全性》解决了一阶谓词演算的完全性问题．罗素与怀特海建立了逻辑演算的公理系统及推演规则之后，数学家最关心的事就是公理系统的无矛盾性及完全性．所谓完全性就是，每一个真的逻辑数学命题都可以由这个公理系统导出，也就是可证明．命题演算的完全性已由美国数学家波斯特(E．Post，1897—1954)在1921年给出证明．而一阶谓词演算的完全性一直到1929年才由哥德尔给出证明．(2)不完全性定理：这是数理逻辑最重大的成就之一，是数理逻辑发展的一个里程碑和转折点．哥德尔证明不完全性定理是从考虑数学分析的无矛盾性问题开始的．1930年秋在哥尼斯堡会议上他宣布了第一不完全性定理：一个包括初等数论的形式系统，如果是无矛盾的，那就是不完全的．不久之后他又宣布：如果初等算术系统是无矛盾的，则无矛盾性在算术系统内不可证明．哥德尔的不完全定理造的是一个不自然的数论问题，数学家一直希望在一阶皮亚诺算术中找到一个数学表述既简单又有趣的数论问题，就像哥德巴赫猜想或费马大定理来说明算术的不完全性．这一直到1977年才由巴黎斯(J．Paris)等人造出，这更加证明希尔伯特纲领是不可能实现的．6．哥德尔以后的数理逻辑．哥德尔的不完全性定理从根本上动摇了数学的基础，它指出绝对的无矛盾性的证明是不可能实现的，数学家只能限制自己的领域及要求．数理逻辑也成为一个专门的学科，它分成四大分支：证明论、递归论、公理集合论及模型论，它们都在30年代发展起来．证明论仍然继续希尔伯特纲领，但不得不放宽有限主义的条件．其中最主要的成就是根岑(G．Gentzen，1909—1945)在1934年用超穷归纳法证明自然数算术的无矛盾性．递归论也奠定基础，1935年克林尼(S.Kleene，1909—1994)定义一般递归函数，1936年图林(A．Tuˉring，1912—)提出图林机概念．同年车尔赤(A．Church1903—)提出车尔赤论点：任何有效可计算函数均等价于一般递归函数．递归论与数学关系至为密切，它不仅为计算机科学奠定基础，同时一系列判定问题则直接涉及数学基本问题：如群的基本问题是问什么时侯两个群同构，对于有限表出群是1908年提出的，到50年后，苏联数学家阿其扬(C．И．Aдьян，)在1957年及以色列数学家拉宾(M．O．Rabin，)在1958年独立证明这问题是不可解的．在这个基础上，小马尔科夫(A．A．MapkoB，1903—1979)证明拓扑学的基本问题——同胚问题也是不可解的，1970年最终证明希尔伯特第十问题是不可解的．模型论首先是处理真假问题，它指出一系列命题在某些模型下为真，而在另外模型下非真．其次它构造一批非标准模型．1934年斯科仑(T．Skolem，1887—1968)给出整数的非标准模型，1961年鲁宾逊(A．Robinson，1918—1974)提出非标准分析，使莱布尼茨的无穷小合法化，创立了非标准数学．二、抽象代数学代数学与拓扑学是现代数学的两大部门．它们构成现代数学的基础与核心．没有代数学和拓扑学，现代数学(除了那些较为孤立的、相对地讲不太重要的学科)可以说寸步难行．抽象代数学或近世代数学是在20世纪初发展起来的．1930—1931年范德瓦尔登(B．L．vander Waerden，1903—)的《近世代数学》(Moderne Algebra)一书问世，在数学界引起轰动，由此之后，抽象代数学或近世代数学成为代数学的主流，不久之后也就理所当然地把“抽象”及“近世”的帽子甩掉，堂尔皇之成为代数的正统．范德瓦尔登的书至今仍然是代数学的模式．它是根据德国女数学家E．诺特(E．Noether，1882—1935)和德国数学家阿廷(E．Artin，1898—1962)的讲义编写而成，在精神上基本来源于他们两位，特别是诺特，被公认为“近世代数学之母”．在诺特之前，不少大数学家都对近世代数学有过这样或那样的贡献，但是这种与经典代数学迥然不同的思想主要来源于戴德金和希尔伯特，戴德金不仅引进大多数抽象代数观念——如理想、模、环、格等，而且初步研究它们的结构及分类，而希尔伯特的抽象思维方式及公理方法则对现代整个数学都有举足轻重的影响．抽象代数学的研究对象与研究目标与经典代数学有着根本的不同：经典代数学的主要目标是求解代数方程和代数方程组，而抽象代数学的目标则是研究具有代数结构的集合的性质，刻划它们并加以分类，这些对象是用公理定义的．1．域论从古代起，人们就已经熟悉有理数和它们的运算——加法和乘法．这些运算满足加法交换律和加法结合律，乘法交换律和乘法结合律，以及分配律，而且对于加法存在零元素(0)及逆元素(倒数)．所有有理数的集合是人们最早认识的具体的域，后来也知道实数集合、复数集合同样满足上述公理，它们也是城．除了这些最熟悉的域之以，在19世纪研究得最多的域是代数数域，这些都是含有无穷多元素的数域．有没有有限多个元素的域呢？1830年伽罗瓦已知有有限多个元素的域(后来被称为伽罗瓦域)，其元素被称为伽罗瓦虚数，它们满足pa＝0，其中p是一个素数，p称为域的特征．伽罗瓦曾具体证明，在一个特征为p的伽罗瓦域中，元素个数是p的一个幂．如在当时的情况一样，伽罗瓦所作的一切都是有具体表示的．到19世纪末，人们知道其他域的例子还有有理函数域及代数函数域．从整体结构上对域进行考察始自戴德金及克罗内克对代数数域的研究(从1855年起)．但抽象域的观念则来自德国数学家韦伯(H．Weber，1842—1913)，他的思想来自抽象群的观念．后来美国数学家狄克逊(L．E．Dickson，1874—1954)及亨廷顿(E．V．Huntington，1874—1952)给出域的独立的公理系统．在韦伯的影响下，德国数学家施泰尼茨(E．Steinitz，1871—1928)在1910年发表《域的代数理论》一文，为抽象域论奠定了基础．他把域分为两种类型：一种是特征为p的域，也即对所有元素a满足pa＝0的域，它们一定包含最小的城(称为素域)，最小的域一定是只含p个元素的伽罗瓦域．另一种是不存在这种p的域，称为特征0，其素域一定是有理数域．不管域属于哪一种类型，任何域均可由素域添加一些新元素“扩张”而成．所以域的根本问题是研究域的扩张．他对扩张进行了分类，其中主要的一类是添加系数在原域中的多项式的根后所得的扩张(代数扩张)．当一个域通过代数扩张不能再扩大时称为代数封闭域．施泰尼茨证明，每个域均有唯一的代数封闭域．特别他还对特征p一般域胁许多特殊性质如不可分性、不完全性进行研究．关于抽象有限域，已经有了相当完整的结果：1893年美国数学家莫尔(E．H．Moore，1862—1932)证明，任何一有限域必定与某一个伽罗瓦域同构．反过来，对于任意素数p和正整数a，必定存在唯一一个伽罗瓦域，具有p a个元素．有限域理论在数论、编码理论、组合理论及数理统计等方面有着许多应用．在域论中引进p进域是一个重大成就．德国数学家亨泽尔(K．Hensel，1861—1941)在1908年出版的《代数数论》(Theorie der algebraischen Zahlen)中系统阐述了p进数，他对这种数规定了加、减、乘、除四种基本运算，构成一个域称p进域，而它是有理数域的一个完备化，如同实数域一样．但是与实数域性质的一个很大的不同是实数域具有阿基米德性质，也就是对任何两个实数a，b总存在一个正整数n，使na＞b．p进域虽然也有一个自然的顺序，但却没有阿基米德性质．pˉ进数域是一种“局部”域，在它里面也可定义整数及代数数，它的建立大大有助于数论的发展．亨泽尔之后，抽象赋值论得到发展，在代数数论及代数几何学上有着重要应用．抽象理论的建立不仅使已有的零散知识系统化，而且有助于许多问题的解决，1927年阿廷解决希尔伯特第17问题就是靠他引进抽象的实域(他称为形式实域)．实域k是把实数域的一个特性抽象化：即-1不能表示为k中元素的平方和．通过这个概念，他证明“任何正定有理函数都可表示为有理函数平方和”．2．环论环的概念原始雏型是整数集合．它与域不同之处在于对于乘法不一定有逆元素．抽象环论的概念来源一方面是数论，整数的推广——代数整数具有整数的许多性质，也有许多不足之处，比如唯一素因子分解定理不一定成立，这导致理想数概念的产生．戴德金在1871年将理想数抽象化成“理想”概念，它是代数整数环中的一些特殊的子环．这开始了理想理论的研究，在诺特把环公理化之后，理想理论被纳入环论中去．环的概念的另一来源是19世纪对数系的各种推广．这最初可追溯到1843年哈密顿关于四元数的发现．他的目的是为了扩张用处很大的复数．它是第一个“超复数系”也是第一个乘法不交换的线性结合代数．它可以看成是实数域上的四元代数．不久之后凯莱得到八元数，它的乘法不仅不交换，而且连结合律也不满足，它可以看成是第一个线性非结合代数．其后各种“超复数”相继出现．1861年，魏尔斯特拉斯证明，有限维的实数域或复数域上的可除代数，如满足乘法交换律，则只有实数及复数的代数(1884年发表)．1870年戴德金也得出同样结果(1888年发表)．1878年弗洛宾尼乌斯(F．G．Frobenius，1849—1917)证明实数域上有限维可除代数只有实数、复数及实四元数的代数．1881年小皮尔斯也独立得到证明．1958年用代数拓扑学方法证明，实数域上有限维可除代数，连非结合可除代数也算在内，只有1，2，4，8这四种已知维数．可见实数域及复数域具有独特的性质．关于域上线性结合代数的研究在19世纪末处于枚举阶段，1870年老皮尔斯(B．Peirce，1809—1880)发表《线性结合代数》，列举6维以下的线性结合代数162个．他还引进幂零元与幂等元等重要概念为后来的结构理论奠定基础．1898年、嘉当(E．Cartan)在研究李代数的结构基础上，对于结合代数进行类似的研究，1900年，德国数学家摩林(T．Molien，1861—1941)征明，复数域上维数≥2的单结合代数都与复数域上适当阶数的矩阵代数同构．线性结合代数的结构定理是1907年由美国数学家魏德本(J．HM．Wedderburn，1882—1948)得出的：线性结合代数可以分解为幂零代数及半单代数，而半单代数又可以表示为单代数的直和．单代数可表为域上可除代数的矩阵代数．这样结合代数就归结为可除代数的研究．可除代数有着以下的结果．1905年魏德本证明：有限除环都是(交换)域，也即伽罗瓦域．当时除了伽罗瓦域及四元数之外，不知道有别的除环．20世纪虽然发现了一些新的除环，但除环的整个理论至今仍不完善．从线性结合代数到结合环的过渡是阿廷完成的．1928年，阿廷首先引进极小条件环(即左、右理想满足降键条件的环，后称阿廷环)，证明相应的结构定理．对于半单环的分类，雅可布孙(N.Jacobson，1910—)创立了他的结构理论．他认为对任意环均可引进根基的概念，而对阿廷环来说，根基就是一组真幂零元．对于非半单的阿廷环(主要出现于有限群的模表示中)，如福洛宾尼乌斯代数及其推广也有许多独立的研究．而与阿廷环对应的是诺特环，对于有么无的环，秋月康夫(1902—1984)及霍普金斯(C．H opkins)证明阿廷环都是诺特环．对于诺特环，却长期没有相应的结构理论．一直到1958年英国数学家戈尔迪(A．W．Gold－ie)才取得突破，他证明任何诺特半素环都有一个阿廷半单的分式环，这才促进了新研究．与诺特环平行发展的是满足多项式等式的环．近来环表示论及同调方法的应用对结合环理论有极大促进．环论的另一来源是代数数论及代数几何学及它们导致的交换环理论．1871年戴德金引进理想概念，开创了理想理论．环这个词首先见于希尔伯特的数论报告．代数几何学的研究促使希尔伯特证明多项式环的基定理．在本世纪初英国数学家腊斯克(E．Lasker，1868—1941)及麦考莱(F．S．Macaulay，1862—1937)对于多项式环得出分解定理．对于交换环的一般研究来源于E．诺特．她对一般诺特环进行公理化，证明准素分解定理从而奠定交换环论乃至抽象代数学基础，其后克鲁尔(W．Krull，1899—1971)给出系统的研究，他还引进了最值得注意的局部环．四十年代，薛华荔、柯恩(I．S．Cohen，1917—1955)及查瑞斯基(O．Zariski，1899—1986)对局部环论进行了系统的研究．3．群论19世纪末抽象群开始成为独立研究的对象，当时主要问题仍是以置换群为模式的有限群，问题涉及列举给定阶数的所有群以及群的可解性的判据．当时主要的定理是由挪威数学家西洛(L ．Sylow ，1832—1918)在的．而19世纪90年代群论最主要成就是群表示论的出现，它是由德国数学家福洛宾尼乌斯奠定的．后由他的学生舒尔(I ．Schur ，1875—1941)所发展，成为研究群论不可缺少的工具．所谓群表示即是把群具体实现为某种结构的自同构群，例如域F 上的有限维线性空间的线性变换群，通常是把群的元素与F 上的n ×n 可逆矩阵相对应．在英国数学家伯恩塞德(W ．Burnside ，1852—1927)的经典著作《有限阶群论》(Theory of Groups of Finite Order)第二版(1911)已经进行综述并给出应用．20世纪有限群论的中心问题是有限单群的分类．很久以来，就已经知道一个相当长的有限单群的表，除了素数阶循环群之外，对于每一个整数n ≥5存在一个n ！/2阶单群，它由n 个事物的所有偶置换构成，这就是所谓交错群．当n=5时，它就是二十面体群．另外还知道许多射影特殊线性变换群PSL(n ，q)，它们通过行列式为1的n ×n 矩阵群(元素取在有限域GL(q)中)的商群构造出来．另外对于正交矩阵、辛矩阵、酉矩阵也可以造出一批单群来．这些“典型群”，从若尔当时候起就已知道，后来经过美国数学家狄克逊、荷兰数学家范德瓦尔登、法国数学家丢东涅(J ．Dieudonn é，1906—1992)进行系统研究．真正重大的突破是1955年薛华荔在日本《东北数学杂志》上发表的“论某些单群”的论文，这篇论文的重要性不仅展示一些新单群，而且更重要的是对于以前知道的绝大部分通过李代数换基的办法进行统一的处理，从而得出九个系列的薛华荔群．其后，这些薛华荔群经过美国数学家斯坦伯格(R ．Steinberg ，1922—)、韩国数学家李林学、比利时数学家梯茨(J ．Tits ，1930—)、日本数学家铃木通夫(1926—)等人加以扩充，得出全部李型单群的16系列．除了上述这18个序列中的有限单群之外，还有几个不属于它们的所谓“散在单群”，其中头一个是7920阶的群M 11是法国数学家马丢(E ．L ．Mathieu ，1835—1890)在1861年发现的，他不久又发现另外4个单群M 12，M 22，M 23，M 24．一直到1965年之前再没有发现新的散在单群了．突然1965年南斯拉夫数学家严科(Z ．Janko ，1932—)发现了一个175560阶的新单群，其后10年间，陆续发现另外20个敬在单群，其中最大的称为费舍尔(B ．Fischer ，1936—)“魔群”，其阶大约为8.1053，到这时候是否所有单群均已找到，也就是有限单群的分类已经完成了呢？在这条漫长的路上，首先的突破是一系列群论性质及表示论的成果，其中包括1955年布劳尔(R ．Brauer 1901—1977)的工作．第二个突破是1963年美国数学家费特(W ．Feit ，1930—)和汤姆逊(J ．G ．Thompson ，1932—)证明除循环群之外，奇阶群都是可解群，这个长达250页的论文包括了极其丰富的信息．70年代，在群的结构研究上有了新的突破，最终导致1981年，有限单群的分类彻底完成，不过全文需要1万页以上，这是各国上百位群论专家通力合作的结果．对于无穷阶的离散群，也有一些重要的研究，其中重要的是与数理逻辑有关的“字的问题”，即两个符号序列何时相等，对于有限生成的具有有限个关系式的群，1955年左右苏联数学家诺维科夫(ΠC Hовиков，1901—1975)、美国数学家布里顿(J．L．Britton)和布恩(W．Boone，1920—1983)证明一般的字的问题是不可解的，也就是不存在一个普遍的算法来判定两个字是否相等，但是另一方面德国数学家马格努斯(W．Magnus，1907—)在1932年解决一个关系式的有限生成群的字的问题．另一个重要的问题是伯恩赛德问题，他问一个有限生成的群如果其所有元素都是有限阶的，该群是否有限，这个问题一直到1964年由前苏联数学家考斯特利金(А．И．Кострикин，1929—)举出例子而得出否定的回答．另外还有一个狭义的伯恩赛德猜想，即有限生成群当所有元素x满足x n＝0是有限群，现在知道当n＝2，3，4，6时，狭义伯恩赛德猜想成立，但如果n相当大，诺维科夫和布里顿等人也举出反例．三、测度与积分理论测度是长度、面积和体积概念的精密化及推广．各民族数学发展一开始均致力于测量长度和面积，得出相应的公式及方法，而统一的求积方法一直到牛顿和莱布尼茨建立微积分之后才得到．这时求积问题变成一个特殊的积分问题．但积分是一个相当复杂的概念，19世纪由于分析的严格化才导致由柯西、黎曼及达布相继改进的黎曼积分的概念，最后确定下来．随着康托尔点集论的建立，要求对更一般的点集的“大小”进行比较及量度，这要求定义测度．先是对黎曼可积性条件中函数的不连续点集的“测度”给出定义．最早是哈那克(A．Harnack，1851—1888)、杜布瓦—瑞芒(P．du Bois Rey－mond，1831—1889)、史托尔茨(O．Stolz，1842—1905)及康托尔在1881到1885试着做出定义，他们均采用覆盖区间长度的下确界，但是这样定义有毛病．例如，两个无公共点集的并集的“测度”有时能够小于两集的“测度”之和，除了上述定义的“外”测度之外，最先定义“内”测度的是皮亚诺，他在1887年定义“可测”集为内、外测度相等，这样虽然克服上述困难，但有界开集并不一定可测．若尔当在他的《分析教程》第一卷第二版(1893)中也做了类似的定义，同样也有类似的毛病．对这些毛病的补救来自波莱尔(E．Borel，1871—1956)，他在《函数论教程》中大大改进了以前的测度观念，利用可数可加性对任一有界开集构造地定义测度．他还考虑零测度集(实际上这个观念可以追溯到黎曼)．而真正把波莱尔的方法同皮亚诺—若尔当的办法结合而形成系统测度论的则是波莱尔的学生勒贝格，这些发表在他的博士论文《积分、长度、面积》当中．勒贝格的功绩不仅在于建立系统的测度理论，更主要的是建立系统的积分理论．在勒贝格之前，除了黎曼积分之外，还有斯蒂尔吉斯(T．J．Stieltjes，1856—1894)积分．斯蒂尔吉斯在1894年发表的“连分式的研究”中证明：如连分式。
第12章20世纪数学的发展
第12章20世纪数学的发展20世纪是数学发展的重要时期，不仅涌现出了许多重要的数学理论和概念，还推动了数学应用的广泛发展。
本文将主要介绍20世纪数学的几个重要方向及其发展。
一、集合论和数理逻辑20世纪初，集合论和数理逻辑成为数学的两个重要分支。
集合论是处理集合和其中元素关系的数学分支，而数理逻辑研究符号逻辑和形式系统。
集合论和数理逻辑的发展推动了数学的严谨化，成为了数学基础的理论框架。
其中，哥德尔的不完全性定理和康托尔的连续统假设等重要结果对后来数学研究产生了深远影响。
二、拓扑学20世纪数学的另一个重要发展方向是拓扑学。
拓扑学研究的是空间的性质和结构，以及它们的变形。
除了发展了一般的拓扑学理论，还形成了各种各样的拓扑空间，如流形、纤维丛等。
此外，拓扑学研究还涉及不动点定理、同伦论和奇点论等重要概念和结果。
它在物理学、计算机科学和生物学等领域的应用广泛。
三、代数学代数学在20世纪得到了极大的发展。
其中，抽象代数和代数几何的发展尤为显著。
抽象代数研究的是代数结构的性质和关系，如群论、环论、域论等。
代数几何则研究几何对象的代数特征和性质。
这两个分支不仅使数学理论更加深入，还在数学应用和其他学科中产生了重要影响。
另外，20世纪代数学的一个重大突破是数论领域的著名费马大定理的证明。
四、概率论和数理统计概率论和数理统计是20世纪数学的另外两个重要分支。
概率论研究的是随机现象的规律和性质，数理统计则用于收集、分析和解释数据。
概率论和数理统计的应用非常广泛，不仅在自然科学中得到广泛应用，而且在金融、经济、医学和社会科学等领域也起着重要作用。
此外，20世纪概率论还形成了一些重要的随机过程理论，如布朗运动和马尔可夫过程等。
五、数学物理和控制论20世纪数学的另一个重要发展方向是数学物理和控制论。
数学物理研究的是物理学中的数学问题和方程，如偏微分方程和数值分析等。
控制论则研究的是控制系统的稳定性和性能，这对自动控制和工程问题的解决起到了重要作用。
全国大学生教师职业技能大赛
赌博问题－－1654年帕斯卡(法, 1623-1662)与费马 (法, 1601-1665)通信讨论“点问题”
1657年惠更斯(荷, 1629-1695)在“论赌博中的机 会”中提出数学期望
帕斯卡(法, 1962)
7授课Biblioteka XXX2021/3/10惠更斯(荷, 1929)
数学基础
逻辑主义
罗素 (英, 1872-1970)
事业，我们今天必须通过团结一致的努 力和合作
世界哥伦布博览会:芝加哥1893 1897年国际数学家大会 庞加莱(法，1854-1912):
关于纯分析和数学物理的报告
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授课：XXX
2021/3/10
国际数学家大会
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授课：XXX
2021/3/10
纯粹数学的发展
更高度的抽象
•更高度的抽象
集合对象的抽象 推动数学研究的工具
三大学派
直觉主义
布劳威尔 (荷, 1881-1966)
形式主义
希尔伯特 (德, 1862-1943)
《数学原理》
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授课：XXX
《论数学基础》
《数理逻辑基础》
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数学基础
哥德尔时代
▪ 亚里士多德、莱布尼茨以来最伟大的逻辑学家
▪ 数学家、哲学家
▪ 1906-1924年：捷克布尔诺，“为什么先生”
▪ 1929-1930年策梅洛确定为“策梅洛-费伦克尔公理 系统”(ZF系统, ZFC系统)
▪ 1938年哥德尔证明了选择公理、连续统假设的相容 性
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授课：XXX
2021/3/10
谢谢观赏
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授课：XXX
2021/3/10
数学教育概论重点
1.数学观的变化（1）公理化方法、形式演绎仍然是数学的特征之一，但是数学不等于形式。
数学正在走出形式主义的光环。
（2）在计算机技术的支持下，数学注重应用。
（3）数学不等于逻辑，要做“好”的数学。
2. 20世纪我国数学教育观的变化（1）由关心教师的“教”转向也关注学生的“学”；（2）从“双基”与“三力”观点的形成，发展到更宽广的能力观和素质观；（3）从听课、阅读、演题到提倡实验、讨论、探索的学习方式；（4）从看重数学的抽象和严谨到关注数学文化、数学探究和数学应用。
3. 我国影响较大的几次数学教改实验（P38）第三章4.弗赖登塔尔的数学教育理论倡导数学教育研究要像研究数学一样，以科学论文的形式交流研究心得，并有详细文献支持，因而使数学教育研究不再只停留在经验交流的水平上。
5. 数学教育有五个主要特征:（1）情境问题是教学的平台；（2）数学化是数学教育的目标；（3）学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分（4）“互动”是主要的学习方式；（5）学科交织是数学教育内容的呈现方式。
这些特征可以用三个词加以概括：现实、数学化、再创造（指通过教师精心设计、创造问题情境，学生自己动手实验研究、合作商讨、探索问题的结果并进行组织的学习方式，其核心是数学过程的再现。
）6.现实数学教育所说的数学化有两种形式：（1）实际问题转化为数学问题的数学化（2）从符号到概念的数学化7.波利亚的数学教育观中学数学教育的根本目的是“教会学生思考”。
主动学习。
数学老师必须具备数学内容知识和数学教学法的知识。
9.建构主义的数学教育理论10. 数学知识是什么建构主义学说认为，数学知识并非绝对真理，即不是现实世界的纯粹客观的反映。
数学只不过是人们对客观世界的一种解释、假设或假说，并将随着人们认识程度的深入而不断地变革、升华和改写，直至出现新的解释和假设。
11.儿童如何学习数学数学教学应该符合学生的年龄特征、知识基础以及个性特点，不能不顾教学对象盲目施教。
[最新]《数学史》习题
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《数学史》习题总体要求每一讲写一600字左右的读书笔记，30%,,,,,记录学期总成绩。
第一讲,,,,,,,,,,数学的起源与早期发展1、您对《数学史》课程的期望。
2、谈谈您的理解：数学是什么?3、数学崇拜与数学忌讳。
4、从数学的起源简述人类活动对文化发展的贡献。
5、数的概念的发展给我们的启示。
6、探讨古代埃及和古代巴比伦的数学知识在现实生活中的意义。
第二讲古代希腊数学1、试分析芝诺悖论：飞矢不动。
2、欧几里得《原本》对数学以及整个科学的发展有什么意义？3、简述欧几里得《原本》的现代意义？4、以“化圆为方”问题为例，说明未解决问题在数学中的重要性。
5、体验阿基米德方法：通过计算半径为1的圆内接和外切正96边形的周长，计算圆周率的近似值，计算到小数点后3位数。
6、毕达哥拉斯学派是怎样引起第一次数学危机的？他们为什么要对这次数学危机采取回避的态度？第三讲：中世纪的东西方数学I1、简述刘徽的数学贡献。
2、用数列极限证明：圆内椄正6•2^{n}边形的周长的极限是圆周长。
3、《九章算术》在中国数学发展史上的地位和意义如何？4、试比较阿基米德证明体积计算公式的方法与中国古代数学家的球体积计算公式的推导方法的异同。
5、更精确地计算圆周率是否有意义？谈谈您的理由。
6、分析宋元时期中国传统数学兴盛的社会条件。
第四讲：中世纪的东西方数学II1、印度数学对世界数学发展最重要的贡献是什么？他们的数学发展有何重要贡献？2、有关零号“0”的历史。
3、简述阿尔·花拉子米的数学贡献。
4、论述阿拉伯数学对保存希腊数学、传播东方数学的作用。
5、试说明：古代东方数学的特点之一是以计算为中心的实用化数学。
6、求斐波那契数列的通项公式。
第五讲：文艺复兴时期的数学1、阐述天文学革命对近代数学兴起的影响。
2、简述符号“＋”、“－”的历史。
3、通过具体例子说明16世纪的意大利数学家是如何求解三、四方程的。
4、学习珠算有现实作用吗？5、简述欧几里得《原本》在中国出版的历史意义。
数学发展史考试说明
数学发展史考试说明一、考核对象本课程的考核对象为开放教育《数学与应用数学》本科专业学生。
二、考核方式新疆电大统一命题，统一考试时间，闭卷，90分钟。
三、教材教材采用高等教育出版社李文林主编的《数学史概论》（第二版）四、考试题型选择题24分（每题3分）填空题28分（每空2分）简答题32分（每题8分）论述题16分五、考核要求《数学史》课程的考核内容是：数学的定义和数学史的分期、数学的起源与早期发展、初等数学时期、近代数学的兴起、微积分的创立与分析时代、19世纪数学的发展和20世纪数学概观。
考核对基本概念、思想方法、基本知识和综合能力作全面测试。
考核要求有三个层次，由低到高顺序排列，且高一级层次要求包含低一级层次，三个层次分别为：了解：对所列知识的含义有初步的认识，知道有关内容。
理解、掌握：对所列知识的含义有较深刻的认识，能够解释、举例或变形、推断，并能运用有关知识解决问题。
熟练掌握、灵活运用：能运用所列知识解决较为综合的问题。
六、课程考核内容和要求一、绪论考核知识点：数学的文化特点、数学的定义和数学史的分期。
考核要求1、了解数学的定义和数学史的分期的有关线索。
二、数学的起源与早期发展考核知识点：数、计数、记数、记数系统的概念，古埃及数学、美索不达米亚数学的基本知识；考核要求1、了解数、计数、记数、记数系统的概念及古人类的记数方法、记数系统和早期人们对形的认识及早期埃及、印度、中国的几何学；2、掌握古埃及纸草书及其记数系统；三、初等数学时期考核知识点：古代希腊数学，中世纪中国数学、印度数学和阿拉伯数学的成就及重要数学家和成就。
考核要求1、了解古代希腊数学的几个主要时期：泰勒斯的成就和毕达哥拉斯学派，雅典时期的希腊数学及有关学派的主要成就；希腊数学的黄金时代—亚历山大学派：欧几里得与几何原本、阿基米德的数学成就；希腊数学的亚历山大后期的数学成就。
知道这一时期的著名数学家及其主要成就。
2、掌握中世纪的东方数学的成就：（1）中世纪中国数学史——《算经十书》，主要是《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《张邱建算经》和《缉古算经》的成就，宋元时期的贾宪三角到“正负开方术”、中国剩余定理、内插法垛积术、天元术与四元术等数学成就，著名数学家：刘徽、祖冲之父子、张邱建、贾宪、杨辉、秦九韶朱世杰、沈括、李冶等人的简介和数学成就；（2）印度数学的成就——吠陀时期的印度数学、重点是悉檀多时期—有关零号的发明、这一时期的一些著名数学家：阿耶波多、婆罗摩芨多、马哈维拉、婆什迦罗等数学家的主要成就。
数学史选讲
高中数学校本教材《数学史选讲》主讲人：沈玉川目录导言：为什么学习数学史第一讲：数学的起源与早期发展；第二讲：古代希腊数学；第三讲：中国古代的数学；第四讲：印度与阿拉伯数学；第五讲：文艺复兴时期的数学；第六讲：解析几何与微积分的创立；第七讲：18世纪的数学；第八讲：19世纪的代数；第九讲：19世纪的几何；第十讲：19世纪的中国数学；第十一讲：20世纪数学概观（一）；第十二讲：20世纪数学概观（二）；第十三讲：20世纪数学概观（三）；授课形式：讲解与自学相结合。
导言：为什么学习数学史1．为了更全面、更深刻地了解数学每一门学科都有它的历史，文学有文学史，哲学有哲学史，天文学有天文学史等等。
数学有它自己的发展过程，有它的历史。
它是活生生的、有血有肉的。
无论是概念还是体系，无论是内容还是方法，都只有在与其发展过程相联系时，才容易被理解。
数学史研究数学概念、数学方法和数学思想的起源与发展，及其与社会、经济和一般文化的联系。
学习数学史，对于深刻认识作为科学的数学本身，及全面了解整个人类文明的发展都具有重要的意义。
可以说，不懂得数学史，就不能真心地理解数学。
数学课本上的数学，经过多次加工，已经不是原来的面貌；刀斧的痕迹，清晰可见。
数学教师要把课本上的内容放到历史的背景上考察，才能求得自己的理解；然后，才有可能帮助学生理解。
2．为了总结经验教训，探索发展规律我国自古以来就非常重视历史、“前事之不忘，后事之师”（《战国策·赵策一》）早已成为人们的共识。
英国哲学家培根（Francis Bacon，1561—1626）的名言“历史使人明智”（Histories make men wise）也是尽人皆知的成语。
数学有悠久的历史，它的成长道路是相当曲折的。
有时兴旺发达，有时衰败凋残。
探索它的发展规律，可以指导当前的工作，使我们少走或不走弯路，更好地做出正确的判断，制定合理的政策。
3．为了教育的目的（1）激发兴趣，开阔眼界，启发思维，经验证明，在数学课中加入数学史的讲授会使学生兴趣盎然。
二十世纪的数学(课件)
一、运筹学 二十世纪四十年代开始形成，主要分支有对策论、规划论、 排队论、最优化方法和质量控制等。 1、对策论：在竞争性的活动中如何找出制胜对方的最优策略， 是一门研究斗争的数学。 由美籍匈牙利数学家冯· 诺伊曼首创。 1944年，他和摩根斯特嗯合著的《对策论与经济行为》出 版，成为对策论的奠基性著作。 在军事斗争和生产实践中得到广泛应用。
五、公理化思想的发展 19世纪与20世纪之交，产生了公理化运动，提 出以公理系统作为数学统一的基础。 1899年，德国数学家希尔伯特出版《几何基础》 一书，把欧几里德几何学整理为从公理出发的纯粹 演绎系统，并且十分注意公理系统的逻辑结构。他 提出了关于公理系统的三个重要问题，即： 相容性（即公理系中诸公理的无矛盾性）、 独立性 完备性
二、纯粹数学的研究领域 一方面，从更高的抽象上说，发展了 1、实变函数与泛函分析 2、抽象代数 3、拓扑学 4、公理化概率论 另一方面，从更高的统一化上说，发展了 1、微分拓扑与代数拓扑 2、整体微分几何 3、其他学科的融合
三、纯粹数学发展研究的序幕——希尔伯特问题 1900年8月，德国数学家希尔伯特在巴黎国际数学家 大会上作了题为《数学问题》的著名演讲。希尔伯特整 个演说的主体，是根据19世纪数学成果和发展趋势而提 出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要 领域。一个世纪以来，这些问题一直激发着数学家们浓 厚的研究兴趣。 希尔伯特问题中近一半已经解决或基本解决，有些 问题虽未最后解决，但也取得了重要进展。希尔伯特问 题的解决与研究，大大推动了数理逻辑、几何基础、李 群论、数学物理、概率论、数论、函数论、代数几何、 常微分方程、偏微分方程、黎曼曲面论、变分法等一系 列数学分支的发展，有些问题的研究还促进了现代计算 机理论的成长。
【精品】转载 20世纪数学史略
转载20世纪数学史略原文地址：20世纪数学史略作者:木桃20世纪数学史略20世纪的数学一如既往地向前发展,其速度可以说超出了人们的预料.与19世纪的经典数学相比，20世纪的数学也可称之为现代数学。
§120世纪数学的特点一般认为,现代数学具有以下特征:（1)各门数学学科以集合论为基础，按数学结构的框架展开,推理方式进一步形式化，数理逻辑成为数学的基础分支。
（2）纯粹数学进一步抽象化了,但却并未离开整个科学的发展。
它的核心内容已从过去的微积分，单元多项式理论，三维解析几何及局部微分几何为主体转到以泛函分析，抽象代数和拓扑学（所谓新三高)为主体.数学内容从单变量发展到多变量，从平面和立体几何转向一般的n维空间的几何，从研究局部性态发展为研究整体性态，从线性问题过渡为非线性问题.(3）新的应用学科蓬勃发展。
概率论与数理统计迅速普及，几乎渗入所有的科学分支。
控制论、信息论、对策论、规划论等全新学科在二次大战后纷纷问世.数学广泛渗入一切科学分支自然科学的，也包括社会科学的。
各科学分支数量化的进程仍在一日千里地前进。
（4）最重要的特点也许是电子计算机的问世,它改变了数学发展的方向。
大范围的科学计算使许多数学方法获得新生,并正在改变数学家的工作方式.机器证明正在成为数学界的现实。
与计算机相关，离散数学将成为数学中的主角之一.§220世纪数学中心的转移在上世纪末、本世纪初之时,法国的大数学家庞加莱（H。
poinoare1854-1912）执国际数坛牛耳，巴黎是世界数学中心之一.当时正在上升的明星是德国的希尔伯特（D.Hilbert1962—1943)。
1900年，他在巴黎的国际数学家会议上发表演说，提出了著名的23个问题，表明他将领导新世纪的数学新潮流.从1900年到1933年，德国的哥庭根大学成为世界数学的中心，其中早期的核心人物是克莱茵(F。
Klein1849-1925），希尔伯特和闵可夫斯基（H。
《数学史概论》读书笔记
《数学史概论》读书笔记王振红数学源自于人类早期的生产活动，早期古希腊、古巴比伦、古埃及、古印度及中国古代都对数学有所研究.数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。
通过抽象化和逻辑推理的运用，由计数、计算、量度和对物体形状及运动的观察中产生.数学的基本要素是：逻辑和直观、分析和推理、共性和个性.以下对李文林著《数学史概论》作一个读后的总结。
一、《数学史概论》简介及其特点《数学史概论(第2版)》以重大数学思想的发展为主线，阐述了从远古到现代数学的历史.书中对古代希腊和东方数学有精炼的介绍和恰当的分析；同时充分论述了文艺复兴以来近现代数学的演进与变革,尤其是20世纪数学的概观，内容新颖.《数学史概论（第2版）》中西合炉,将中国数学放在世界数学的背景中述说，更具客观性与启发性。
《数学史概论（第2版）》脉络分明，重点突出，并注意引用生动的史实和丰富的图片。
本书共分十五章，其中第一章“数学的起源与早期发展”介绍了人类在蒙昧时期由于生产生活的需要，逐渐形成了数与形的概念，从最早的手指计数到石头计数，再到结绳计数直到距今大约五千多年前，出现了书写计数以及相应的计数系统。
在灿烂的“河谷文明”中，重点介绍了埃及数学和美索不达米亚数学。
第二章“古代希腊数学"，介绍了雅典时期和亚历山大时期的数学，其中重点对数学家泰勒斯、毕达哥拉斯、欧几里得、阿基米德及阿波罗尼奥斯及其成就作了详尽的介绍.第三章“中世纪的中国数学”,从古代著作《世本》中提到的黄帝使“隶首作算数”，殷商甲骨文中使用的完整的十进制计数，到两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期达到了发展的高潮。
介绍的著作主要有《周髀算经》,《九章算术》，《算经十书》，介绍了刘徽的“割圆术”和他在面积、体积公式推证的成就，祖冲之父子推算“圆周率”，在推导几何图形体积公式时提出了“出入相补”及“祖氏原理”；第四章“印度与阿拉伯的数学"；第五章“近代数学的兴起",讲述了中世纪的欧洲，从代数学、三角学、透视学、射影几何等方面的发展向近代数学的过渡，以至解析几何的诞生;第六章“微积分的创立”，分别介绍了牛顿和莱布尼茨从不同的角度提出的微积分原理；第七章“分析时代”；第八章至第十章,分别以代数、几何、分析这三大领域的变革为主要线索,介绍了19世纪数学的发展；第十一章至十三章是“20世纪数学概观”，分别介绍了纯粹数学的主要趋势、空前发展的应用数学、现代数学成果十例；第十四章“数学与社会",第十五章“中国现代数学的开拓"。
《数学史》20世纪数学概观(II)(上)
数学的广泛渗透与应用，是它一贯的特点，但在数学史上， 数学的应用在不同时期的发展是不平衡的． 18世纪是数学与力学紧密结合的时代；19世纪是纯粹数 学形成的时代；20世纪则可以说既是纯粹数学的时代，又是应 用数学的时代． 特别是20世纪40年代以后，数学以空前的广度与深度向 其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助， 应用数学的蓬勃发展已形成为当代数学的一股强大潮流．应用 数学的这个新时代具有以下几方面的特点．
1 R T g T , 2
g 就是黎曼度规张量，爱因斯坦指出：“由于这组方程，
数学在物理学中的应用经历了一系列激动人心的重大事件； 现代化学为了描述化学过程已少不了微分方程和积分方程，并且 有许多还是连数学家都感到棘手的非线性方程；生物学不用数学 的时代也已一去不返． 除了自然科学，在经济学、社会学、历史学等社会科学部门 中，数学方法的应用也在崭露头角．与以往时代不同的是，数学 在向外渗透过程中越来越多地与其他领域相结合而形成一系列交 叉学科，如数学物理、数理化学、生物数学、数理经济学、数学 地质学、数理气象学、数理语言学、数理心理学、数学考古 学，……等等，它们的数目还在增加．
(2)纯粹数学几乎所有的分支都获得了应用，其中最抽象 的一些分支也参与了渗透．
在20世纪60年代，像拓扑学这样的抽象数学离实际应用 似乎还很遥远．然而正如我们在下面要讲到的，拓扑学在今 天的物理学、生物学和经济学中正在扮演重要角色．
在凝聚态物理中分类晶体结构的“缺陷”及液晶理论中 所用到的某些齐性空间中同伦群的计算，即使对专业的代数 拓扑学家也是很难的问题；
例如以计算流体力学为基础的数值模拟已成为飞行器 设计的有效工具，类似的数值模拟方法正在被应用于许多技 术部门以替代耗资巨大的试验； 1980年代以来，以调和分析为基础的小波分析直接应 用于通信、石油勘探与图象处理等广泛的技术领域；现代大 规模生产的管理决策、产品质量控制等也密切依赖于数学中 的线性规划算法与统计方法；现代医学仪器工业也离不开数 学(如Cr扫描仪、核磁共振仪等研制的理论基础主要是现代积 分理论)，等等，这样的例子举不胜举．
数学史概论
华沙学派: 点集拓扑、集论、数学基础
• 带头人: 谢尔宾斯基(1882-1969), 马祖凯维奇(1888-1945) • 刊物《数学基础》(1920年创刊) • 数学家: 萨克斯(1897-1942), 库拉托夫斯基(1896-1980), 塔尔斯基 (1902-1983), 波苏克(1905-1982)
美国数学家获菲尔兹奖简况
数 学 家 道格拉斯(1897-1965) 米尔诺(1931- ) 柯恩(1934-2007) 斯梅尔(1930- ) 汤普逊(1932- ) 曼福德(1937- ) 费弗曼(1949- ) 奎伦(1940- ) 瑟斯顿(1946- ) 弗里德曼(1951- ) 威顿(1951- ) 麦克马伦(1958- ) 欧克恩科夫(1969- ) 时间 1936 1962 1966 1966 1970 1974 1978 1978 1983 1986 1990 1998 2006 年龄 39 31 32 36 38 37 29 38 37 35 39 40 37 主要研究领域 复分析 微分拓扑、代数拓扑 连续统假设、调和分析 微分拓扑、动力系统 有限群论 代数几何 调和分析、多复变函数 代数 K 理论 低维拓扑 四维庞加莱猜想 超弦理论 复动力系统、双曲几何 概率论
4.法国数学渐渐复苏 在20年代末，法国的一批青年数学家组成了名为布 尔巴基的团体，倡导法国数学改革，提倡结构主义， 研究整个数学，编著《数学原本》。在二次大战后风 靡一时，对20世纪数学有深远影响.
5.德国数学渐渐复苏 第二次世界大战后的德国数学总的来说未能恢复哥庭 根昔日的雄风. 联邦德国的数学家以F.Hirzebruch为首在波恩创立 了Plank的数学研究所，成绩显著. 1984年法尔廷斯解决了Mordell猜想，震惊世界， 德国数学家仍在复苏中.
第三节20世纪我国数学教育观的变化
1996年的普通高中数学教学大纲指出：“数 学学习是以数学思维活动为核心的教学，教 学过程也是学生的认识过程。在教学中，教 师起主导作用，学生学习的主体。教学要按 照学生的学习规律和特点，从学生实际出发， 调动学生学习的主动性，使他们积极地参与 教学活动。”由该大纲可见，20世纪末，学 生在教学中的主体地位已经明确。
正在修订的《全日制义务教育数学课程 标准（修订稿）》主张将“双基”发展 为“四基”：基础知识，基本技能、基 本思想方法、基本数学活动经验。
近半个世纪以来，我国的数学学习 理念也发生了显著的变化，从传统 的听课、阅读、演题型的学习，到 提倡实验性的研究探索型学习
（1）重视解题训练，要求逐步明确 20世纪50～90年代，我国一直把解题训练 视为数学教学的重要组成部分。这里不再 赘述。
表2-1 我国数学学习理念的显著变化
时代
20世纪50年代
21世纪前后至今
课内的学习 教师与学生 练习与活动
听讲：看清、听清、问清、记 清
教师讲清、讲透，学生学好、 练好
严格要求学生按时并独立地完 成作业，严禁互相抄袭和用集
体讨论的办法来做题
不应仅限于接收、 记忆，还应主动地进 行观察、实验、猜测、 验证、推理与交流
（2）提倡实验与探索，鼓励合作与交流 2000年《全日制普Байду номын сангаас高级中学数学教学大 纲》对于数学学习中的“创新意识”作了 界定，它主要是指“对自然界和社会中的 数学现象具有好奇心，不断追求新知，独 立思考，会从数学的角度发现和提出问题， 进行探索和研究。”
2001年，我国《全日制义务教育数学课程标准（实 验稿）》对于新的历史条件下的数学教与学的理念 与方法进行了较为全面的阐述，它指出：“学生的 数学学习的内容应当是现实的、有意义的，富有挑 战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、 实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。内容 的呈现应采取不同的表达方式，以满足多样化的学 习要求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿 与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学 习数学的重要方式。…，学生的数学学习活动应当 是一个生动活泼、主动和富有个性的过程。”
131-第12章20世纪数学概观（Ⅱ）——空前发展的应用数学
第12章20世纪数学概观（Ⅱ）——空前发展的应用数学引言数学从它萌芽之日起，就表现出解决因人类实际需要而提出的各种问题的功效。
历法、航海、商业的计算，桥梁、寺庙、宫殿的建造，武器与工事的设计等等，往往都需要借助于数学去获取圆满解决。
在人类文明进步的历次重大产业革命和思想革命中，数学作为科学的推动力或直接的参与者，也起到了不可或缺的作用。
尤其是进入20世纪以后，数学更是以空前的广度与深度向其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助，应用数学的蓬勃发展已经形成为当代数学的一股强大潮流。
本章概览学习目标1了解二十世纪应用数学与计算数学的发展状况。
2.了解数学物理、生物数学、数理经济学，电子计算机的诞生、计算机影响下的数学。
本章主要内容：介绍20世纪的一些数学研究成果及数学奖，数学物理、生物数学、数理经济学，电子计算机的诞生、计算机影响下的数学本章学习时数：学习内容：知识点1——应用数学的新时代20世纪40年代以后，数学以空前的广度和深度向其他科学技术和人类知识领域渗透，加上电子计算机的推助，应用数学的发展是当代数学的一大潮流。
随着科学发展，学科之间的相互渗透已是一种普遍现象，而其中数学的渗透又特别明显。
这种渗透不能简单地理解为把数学作为一种科学研究的工具和技术，而是新的研究领域和交叉学科建立的动力。
数学已成为其他学科理论的一个重要组成部分，这是数学应用日益广泛的体现。
这种体现具体讲就是数学化。
现代科学发展的一个显著特点是：自然科学、技术科学以及社会科学都普遍地处于数学化的过程之中，它们都在朝着愈来愈精确的方向发展。
电子计算机的发展和应用，为各门科学的数学化提供了可能性，因而加速了各门科学数学化的趋势。
在20世纪应用数学有以下几方面特点：（1）、数学的应用突破了传统的范围而向人类几乎所有的知识领域渗透。
（2）、纯粹数学几乎所有的分支都得到应用，其中最抽象的一些分支也参与了渗透。
（3）、现代数学对生产技术的应用变得越来越直接。